cours de mécanique des milieux déformables

ENSM-SE MMD - CPMI 2011-2012 1

Cycle Préparatoire Médecin-Ingénieur 2011-2012

Cours de mécanique des milieux déformables

Pierre Badel Ecole des Mines Saint Etienne

Les bases essentielles de mécanique des milieux déformables

Mécanique des milieux continus

Mécanique des solides déformables, Elasticité

Mécanique des fluides parfaits et visqueux


Introduction

Limites du modèle indéformable…

Notion déjà vue et comprise en RDM

Vérification / Dimensionnement de pièces déformables…

Ne plus se limiter au cas de la RDM

Evaluer contraintes, déformations dans un cadre plus général

Applications classiques aux solides et aux fluides

Selon l’application, on préfère adopter des formalismes adaptés mais les équations de base

sont les mêmes…

Découvrir la mécanique de l’ingénieur

Connaître les concepts fondamentaux

La physique, les formalismes et les équations de la mécanique des milieux déformables

Applications aux solides élastiques et aux fluides

Résoudre des problèmes simples

Mécanique des milieux déformables

Objectifs


Ch. 1 – Préliminaires – Formalisme mathématique

Ch. 2 – Introduction à la MMD avec un problème 1D

Ch. 3 – Cinématique des milieux continus

Ch. 4 – Contraintes

Ch. 5 – Equations de conservation

Ch. 6 – SOLIDES : élasticité linéaire

Ch. 7 – FLUIDES non visqueux

Ch. 8 – FLUIDES visqueux



Ch. 1 – Préliminaires – Formalisme mathématique

1 - Applications linéaires

2 - Notation matricielle

3 - Notation indicielle

4 - Calcul différentiel



Application linéaire de R3 dans R3

Image d’un vecteur par l’application linéaire A :

On peut représenter les applications linéaires sous forme de matrice

Attention, la forme de la matrice dépend de la base d’expression

On introduira la trace et le déterminant : tr(A) et det(A)

L’application transposée AT est définie par :

La composition de deux applications A et B est notée A o B :

On définit les parties symétrique et antisymétrique de A :

Ch. 1 Préliminaires maths 1 – Applications linéaires

Aa A.a (notation à ne pas confondre avec le produit scalaire)

Définitions

,T3a b R b. A .a = a. A.b

S T A T1 1A = A+A et A = A-A

2 2

.3a R A B .a = A. B.a parfois noté AB

T A

T S

A symétrique A=A A 0

A anti-symétrique A=-A A 0


Définitions

Base orthonormée :

Représentation des vecteurs et applications linéaires en notation matricielle :

Produit scalaire

Ch. 1 Préliminaires maths 2 – Notation matricielle

1 2 3e , e , e .i j

1 si i=je e

0 si i j

1e

2e

3e

11 12 13 11 1i

21 22 23 1 21 i 2i

31 32 33 31 3i

a a a a a

A repr. par a a a où A.e a ; A.e a

a a a a a

...

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

c a a a b

c = A.b repr. par c a a a b

c a a a b

...

T

1 1 1 2 3 1

2 2 2

3 3 3

a b a a a b

a.b a b = b

a b b

11 21 31

T

12 22 32

13 23 33

a a a

A repr. par a a a

a a a


Convention de sommation (convention d’Einstein)

Dans une expression, chaque fois qu’un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à 3 et de faire la somme.

Ecriture d’un vecteur :

Si :

L’indice j est « muet ». On aurait pu écrire aikbk.

L’indice i est « libre ». Pour chaque membre de l’égalité, on doit avoir les mêmes indices libres.

Ch. 1 Préliminaires maths 3 – Notation indicielle

3

1

i i i ia a e a ei

c = A.b 1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3 i ij j

3 31 1 32 2 33 3

c a b a b a b

c a b a b a b c = a b

c a b a b a b


Symbole de Kronecker


Symbole de Kronecker :

Ainsi, la matrice identité s’écrit :

En particulier, pour les vecteurs de la base (ei) :

Ecriture d’un produit scalaire :

Composition de deux applications linéaires (produit des matrices respectives) :

. i i j j i j i j

i j ij i i

ab a e .b e ab e .e

ab δ ab

1

1

1

11 12 13

21 22 23 ij

31 32 33

δ δ δ

I δ δ δ = δ

δ δ δ

ij

1 si i = jδ =

0 si i ≠ j

.i j ije e δ

ijik jkC = A B ; C = A B


Symbole de permutation


Symbole de permutation :

Ecriture des produits vectoriels des vecteurs de la base (ei) :

Vérifier, par exemple,

Ecriture d’un produit vectoriel :

i i j j i j i j

i jijk k

a b a e b e ab e e

ε ab e

ijk

1 si i,j,k permutation paire de 1,2,3 (soit 123 ou 231 ou 312)

ε -1 si i,j,k permutation impaire de 1,2,3 (soit 213 ou 132 ou 321)

0 si deux indices répétés

i j ijk ke e ε e

1 2 1 1e e et e e


Définitions

On considère des fonctions d’une variable spatial de R3 à valeurs scalaires,

vectorielles ou tensorielles (~matrices).

f champ scalaire

Gradient : vecteur

Laplacien : scalaire

champ vectoriel

Divergence : scalaire

Laplacien : vecteur

Rotationnel : vecteur

Gradient : tenseur

Ch. 1 Préliminaires maths 4 – Calcul différentiel

df grad f.dx 1

i 2i

3

f xf

grad f = f = e f xx

f x

x

2 2 2 2

2 2 2i i 1 2 3

f f f ff

x x x x x

v

3i 1 2

i 1 2 3

vvv vdiv v

x x x x

2i

ij j

vv e

x x

kiijk

j

vrot v ε e

x

dv grad v.dx 1 1 1 12 3

i12 2 2 2 3

j13 2 3 3 3

v x v x v xv

grad v = v = v x v x v xx

v x v x v x


champ tensoriel

Divergence : vecteur

Ch. 1 Préliminaires maths 4 – Calcul différentiel

A

Γ Ω

F.n dS = div F dV

Théorème de la divergence

11 1 12 2 13 3ij

i 121 22 2 23 3j

121 22 2 23 3

A x A x A xA

div A e A x A x A xx

A x A x A x

Ω

Γ

Champ F

Γ Ω

f n dS = f dV


Ch. 2 – Introduction à la MMD avec un problème 1D

masses + ressorts

1 – Approche discrète

2 - Approche continue

3 – Loi de comportement de la chaîne

4 – Conservation de la masse

5 – Equation de la dynamique

6 – Chaîne d’amortisseurs visqueux

7 – Bilan comparatif

8 – Conclusion : quelle différence entre solides et fluides



On considère le système suivant :

Déformations 1D de la chaîne

Position de la masse i à t = 0 : Xi

Position de la masse i à t > 0 : xi(t) Déplacement de la masse i à t > 0 : ui(t) = xi(t) - Xi

Longueur du ressort i à t = 0 : l0 = Xi+1 – Xi (la même pour tous)

Longueur du ressort i à t > 0 : li(t) = xi+1(t) - xi(t)

Force dans le ressort i : soit

Dynamique de la masse i :

PFD :

i = -∞, …, -1,0,1, …, +∞

Chaîne de masses et ressorts

Ch. 2 Introduction avec un problème 1D 1 – Approche discrète

K K K

mi-1 mi mi+1

li-1(t) li(t) li+1(t)

i imu t forces sur m

i i+1 i-1 imu t K u t u t 2u t

i i+1 i σ t K u t u t ii l tσ t K


Point de vue continu adopté pour la suite

On travaille à une échelle bien plus grande

que la distance entre masses (dX >> l0)

On suppose l’existence de la fonction φ qui donne à chaque instant la position x

d’un point matériel initialement en X :

On suppose que pour t > 0, cette fonction a une inverse :

, ainsi, à t fixé , on définit :

Il sera admis que

Remarque : cela a un sens physique…

2 – Approche continue Ch. 2 Introduction avec un problème 1D

t>0 O

x

dx

t=0 O

X

dX

N masses N ressorts

x X, t

X x, t

∂ X, t ∂ X, tdx = dX + dt

∂X ∂t

∂ X, t∂xJ X, t = =

∂X ∂X

X, t, J X, t 0


… relier forces et déformations de la chaîne

Longueur des ressorts dans dX : l0(X) Longueur des ressorts dans dx : l(x,t)

Force dans la chaîne à x et t > 0 fixé :

Introduisons la masse par unité de longueur de chaîne :

à t=0 : à t > 0 :

D’où la loi de comportement du point de vue continu :

Ainsi, la force dépend du gradient du déplacement des masses.

3 – Loi de comportement de la chaîne Ch. 2 Introduction avec un problème 1D

t>0 O

x

dx

t=0 O

X

dX

0σ x,t K l x,t l X

00 0

Nm mρ X

Nl l

Nm m

ρ x,tNl x,t l x,t

0 0

1 1 Kmσ x,t Km ... = J X,t 1 ...

ρ x,t ρ X ρ X

0

Km uσ x,t

Xρ X


Celui que nous venons de voir :

Masse de dX = masse de dx

On travaille à x fixé dans le laboratoire

(coordonnées eulériennes)

On fait un bilan de masse sur la portion [x, x+dx] pendant l’intervalle δt :

variation de masse = + masse in – masse out

………

Point de vue « lagrangien »

4 – Conservation de la masse Ch. 2 Introduction avec un problème 1D

0

dxρ ρ ρJ

dX

O

x dx

O

X dX

x = φ(X,t)

ρ0(X) ρ(x,t)

t=0 t>0

(notation allégée par soucis de clarté)

Point de vue « eulérien »

x x+dx

ρ=ρ(x,t)

v(x,t) v(x+dx,t)

0

ρvρt x

(notation allégée par

soucis de clarté)

FORME LAGRANGIENNE

FORME EULERIENNE


PFD local

Sur dx, masse . accélération = somme des forces

……

Pour une écriture en X, on introduit :

……

Ch. 2 Introduction avec un problème 1D 5 – Equation de la dynamique

x x+dx

σ(x,t) σ(x+dx,t)

σ x,t

ρ x,t a x,tx

(écriture eulérienne en x) (écriture sur la configuration actuelle déformée)

X,t =σ X,t ,t

A X,t =a X,t ,t

0

X,tρ X A X,t

X

(écriture langrangienne en X) (écriture sur la configuration initiale)


Ecriture eulérienne

On veut exprimer la dérivée « totale » par rapport à t :

Ecriture lagrangienne

Expression de l’accélération de la particule dx

Ch. 2 Introduction avec un problème 1D 5 – Equation de la dynamique

dv x,t v x,t

a x,ttdt

...dv x,t

dv x,t v x,t v x,t = a x,t = v x,t

t xdt

DERIVEE « PARTICULAIRE » de la vitesse = dérivée pour la particule qui est en x à instant t

cf. notion de point coïncident… Terme de variation / tps

Terme de transport

2

2

d u X,tA X,t

dt


Chaîne masses + amortisseurs

Ici la force est proportionnelle à

la dérivée de l’allongement / tps

(« vitesse de déformation ») :

On introduit les masses linéiques :

……

Ainsi, la force dépend du gradient de vitesse des masses.

Ch. 2 Introduction avec un problème 1D 6 – Chaîne d’amortisseurs visqueux

c c c

mi-1 mi mi+1

li-1(t) li(t) li+1(t)

0σ x,t c l x,t l X

0

1 1σ x,t cm

ρ x,t ρ X

(remarquer la notation de la dérivée / tps)

v x,tcmσ x,t

xρ x,t

2

0

u x,tcmσ x,t

x tρ X,t

ENSM-SE

0

0

Km uσ x,t

Xρ X

Km uX,t

Xρ X

2

0

v x,tcmσ x,t

xρ x,t

u x,tcmΣ x,t

x tρ X,t

MMD - CPMI 2011-2012 20

Conservation de la masse

Ecriture lagrangienne Ecriture eulérienne

Lois de comportement

Chaîne masses + ressorts Chaîne masses + amortisseurs

Caractéristique d’un solide Caractéristique d’un fluide visqueux

élastique linéaire newtonien

Equations de la dynamique

…

Equation d’onde Equation de diffusion

Ch. 2 Introduction avec un problème 1D 7 – Bilan comparatif

0

dxρ ρ ρJ

dX

0ρvρ

t x

2 2

2 2 20

u Km u

t ρ X

2

2 20

v cm v

t ρ X


Différence qualitative entre solides et fluides

Solides Une certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique

Résistance au cisaillement

Force cte Déformation cte

Contraintes proportionnelles au gradient du déplacement

Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules

Fluides Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique

Prend la forme du récipient

Force cte Déformation croissante

Vitesse de déformation cte

Contraintes proportionnelles au gradient de la vitesse

Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules

Ch. 2 Introduction avec un problème 1D 8 - Conclusion

Temps court / temps long ?

En pratique tout matériau est solide et fluide ! (ex : glacier, verre…)

Tout est question d’échelle de temps « caractéristique » : Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h

Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans

Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s

Dans ce cours : SOLIDES ELASTIQUES

FLUIDES NEWTONIENS

" σ = K u "

" σ = υ v "


Ch. 3 – Cinématique et déformation des milieux continus

1 – Introduction : qu’est ce qu’un milieu continu

2 – Rappel du cas 1D

3 – Variable lagrangienne / fonction placement / déplacement

4 - Variable eulérienne / dérivée matérielle ou particulaire

5 – Déformations



Qu’est ce qu’un milieu continu (MC) ?

Milieu continu = modélisation physique macroscopique

Issue de l’expérience

… notion d’échelle des phénomènes étudiés

Applications : fluides et solides avec des écritures/formalismes adaptés.

Qu’est ce que le modèle mathématique du MC ?

• Un système = un volume constitué de particules (un ensemble de particules)

• Pour la compréhension, on assimile chaque point du système à une particule.

• On appelle configuration du MC à l’instant t l’ensemble des positions des points du MC.

• Continuité :

Des particules initialement voisines restent voisines au cours de l’évolution du MC.

Ch. 3 Cinématique des MC 1 – Introduction


Vu au chapitre précédent…

X désigne la position initiale d’un point matériel

x = φ(X,t) désigne la position actuelle d’un point matériel

u(X) = x – X est le déplacement

est la déformation

2 – Rappel en 1D Ch. 3 Cinématique des MC

u X,tdx-dX

ε X,tdX X

x = φ(X,t)

O

X

dX

t=0

O

x

dx t>0

u(X)

dx = J(X,t)dX

X+dX

x+dx

u(X+dX)


Variable lagrangienne

Identification de chaque point matériel : « étiquetage »

Points identifiés à partir de leur position dans une configuration ΩR dite de référence.

La fonction placement donne la position des points matériels dans une configuration Ω.

Paramétrage avec le temps : On note Ωt la configuration à t.

3 – Variable lagrangienne Ch. 3 Cinématique des MC

X

O

X ΩR

Placement

X

O

X

ΩR

x X

Ω

X x X

X, t x X, t


Déplacement

Le déplacement est donné par la différence de placement entre 2 configurations

Ce sont les dérivées successives de la position par rapport à t (à X fixé) :

3 – Variable lagrangienne Ch. 3 Cinématique des MC

Vitesse / Accélération

u X

O

X

ΩR

x

Ωt

u X

0u X x X X, t X, t

v X, t = X, tt

2

2γ X, t = X, t

t

i i isoit, dans une base fixe e : v = et

i iv = t

2

i i i2soit, dans une base fixe e : γ = e

t

2

i i2γ =

t


Représentation lagrangienne / eulérienne

Représentation lagrangienne :

Toutes les quantités définies sont des champs fonctions de (et de t).

est la variable lagrangienne.

Adapté à l’étude des MC solides.

Inadaptée aux MC fluides :

On ne s’intéresse qu’aux points matériels qui se trouvent à l’instant t au voisinage de l’objet.

Ex : étude d’écoulement autour d’une pile de pont, dans une filière…

Représentation lagrangienne impossible !

Représentation eulérienne

On s’intéresse à la distribution des vitesses

dans une zone déterminée de l’espace.

On fixe et on étudie l’évolution de la vitesse

des points matériels qui passent en .

est la variable eulérienne.

4 – Var. eulérienne Ch. 3 Cinématique des MC

X

X

?

?

x

x

x


Variable eulérienne


En représentation eulérienne,

est la variable eulérienne

On est conduit à chercher une fonction où désigne un point de l’espace où passent

des points matériels différents au cours du temps.

Les quantités physiques sont des fonctions de et de t.

On peut passer d’une représentation à l’autre :

Par changement de variable

Pour calculer l’accélération des particules (utile dans les bilans), il faut fixer et dériver par rapport à t :

Même chose pour toutes les grandeurs physiques :

Dérivée matérielle (ou particulaire)

x

v x, t

x

x

E E L

v x, t v X, t , t v X, t

X x X, t

X

v X, t

... .

x

dv x, t v x, t v x, t v x, t

tdt

xd ∂

ρ x, t = ...= ρ + ∇ ρ.vdt ∂t

x

d ∂v v + ∇ v.v

dt ∂tx, t

E L

v v


Bilan


En MMC, les positions et les vitesses sont données par des fonctions (des champs).

Il existe deux représentations des champs : lagrangienne et eulérienne

• Lagrangienne :

identifie les points matériels → on travaille à partir de

• Eulérienne :

est un point de l’espace où passent différents points matériels

→ on travaille à partir de

• Lagrangien ↔ eulérien par changement de variable :

En eulérien, une spécificité importante est celle de la dérivée matérielle

x X, t

X X

x

v x, t


Section plutôt dédié aux MC solides

Objectif : caractériser les déformations…

Isolons un carré infinitésimal :

Comment caractériser ces changements de forme ?

Exemple sur l’approche 2D

5 – Déformations Ch. 3 Cinématique des MC

(X, Y) (x, y) = (X+u, Y+v)

M

F

F

X+u

Y+v M

X

Y

x

y

X

y

x

Y

X+dX

Y+dY

X+ u(X,Y)

X+dX+ u(X+dX,Y)

Y+v(X,Y)

Y+v(X+dX,Y) αx

αy



Hypothèse de petites déformations : du et dv << dX et dY

Allongement des côtés :

Variations d’angles :

Déformation ou rotation ?

Si εxx = 0 ; εyy = 0 et αx = - αy → rotation pure :

Définition :

On distingue Distorsion :

Rotation :

...xx

longueurε

longueur initiale

...yyε

x xα tan α = ...

yα = ...



Formalisme matriciel

Transformation linéaire tangente : Définition

φ étant supposée continue est différentiable, il vient au 1er ordre :

Variations de distance

Etude des distances à partir du produit scalaire :

donne l’évolution de la distance (au carré) entre points matériels voisins.

est le tenseur des déformations de Green (ou des dilatations, ou métrique).

Notion importante en MMC.

dx X+dX X supposé petit

...dx dx =F.dX

i ij jdx =F .dX i i

ijj j

F =X X

x

est la transformation linéaire tangente

. ...dxdx . . .dxdx CdX dX

d dxF = =

dX dX

TC F .F

C

C

F

φ

dXΩR

dx

Ωt

Xx




Variations de volume

On considère le volume engendré par

Pour un milieu incompressible, dv=dV, soit J = 1.

1 2 3dx , dx , dx

...3dv = n ds .dx

dv = det F .dV = J.dV J = det F

3dx

2dx

1dx

n

ds




Déformations

Il s’agit de caractériser les variations de distance depuis la configuration initiale.

On s’intéresse donc à entre les configurations actuelle et initiale :

On appelle tenseur des déformations de Green Lagrange :

Lien avec le déplacement (comme vu en 2D)

…… ……

Voir la correspondance avec le 2D…

C

. . . .dxdx dXdX dX C I dX . . ...dxdx dXdX

1E = C I2

x X u X d

F = = I+ udX

E = ...

T S

X X X

1ε = u u u

2

est le tenseur des déformations linéarisé

ε

T A

X X X

1Ω = u u u

2

est le tenseur des rotations

ω

C = ...

ENSM-SE

est caractérisée par :

MMD - CPMI 2011-2012 35

Exemple 2D


u X, Y 0.2 X - 0.1 Yu X u X, Y

v X, Y 0.3 X + 0.1 Y

....Xu

....ε

....Ω

x

y

1 O

1

u

x

y

1 O

1

x

y

1 O

1

Ω

ε


est symétrique donc diagonalisable avec des valeurs propres réelles

Valeurs propres appelées déformations principales : εI, εII, εIII

Directions propres orthogonales = direction principales, forment une base o.r.n. :

Variations de volume faciles à calculer…


Déformations principales

ε

, ,I II IIIe e e

, ,I II III

I

II

III e e e

ε 0 0

ε 0 ε 0

0 0 ε

γxy= γxz= γyz = 0 → pas de distorsion, ni changement d’angle

1

1

1

IIe

IIIe

Ie

1

1

1

IIe

IIIe

Ie


Ch. 4 – Contraintes

1 – Rappel sur le vecteur contrainte

2 – Matrice des contraintes (ou tenseur)



Répartition supposée homogène, pt. de vue « global »

Répartition non homogène, pt de vue local :

Le vecteur contrainte dépend, en fait, de l’orientation de dS (donc de ) et du point M :

Force interne : contrainte sur une surface

Ch. 4 Contraintes 1 – Rappel sur le vecteur contrainte

(2)

(1)

F

F

Section S

FT

S

σ n t

Vecteur contrainte :

contrainte normale

contrainte tangentielle

n

dF

T M, n σ n tdS

T M, n et T M, n' ne sont pas indépendants

Notion d’état de contrainte en un point

F

(1)

n

t

F

n

t

dF

M,dS M,dS

n'

SF = T(M,n)dS


Approche 2D

Idée : caractériser complètement l’état de contrainte en un point

Isolons un prisme de matière autour de M PFS

PFS mène à …

Notion de tenseur ≠ matrice… matrice = projection du tenseur dans une base.

2 – Matrice des contraintes Ch. 4 Contraintes

M

12 21

11 12

21 22

σT M, n . n σ M . n

σ

La matrice des contraintes en M définit complètement l’état de contrainte en M, quelle que soit la direction n.

(écriture dans la base ) ie

(Théorème de Cauchy)

1e

2e

n

θ θ

σ22

σ11

τ21

τ12

σ

τ

dL

M



Matrice des contraintes symétrique donc diagonalisable

Valeurs propres réelles, appelées contraintes principales : σI, σII

Directions propres orthogonales = directions principales, forment une base o.r.n. :

Il vient donc :

Il n’y pas de cisaillement dans les directions principales, seulement des contraintes normales.

Exemple :

Contraintes et directions principales

11 12

12 22

σ=

σ

σ M

, ,1 2 I II

11 12 I

12 22 IIe e e e

0σ M

0

σ σ= =

σ σ

,I IIe e

I I I

II II II

T n e σ e

T n e σ e

,1 2e e

0

0

1e

2e

τ

τ

τ

τ

,I IIe e

0

0

1e

2e

τ τ

τ τ

IeIIe


Généralisation en 3D

Une direction supplémentaire…

Fluide au repos (compression isotrope)

Traction/compression uniaxiale

Cisaillement pur

Contraintes planes


, ,1 2 3

11 12 13

12 22 23

13 23 33 e e e

σ M

σ

= σ

σ

1T e 2T e 3T e

T M, n σ M n .

, ,I II III

I

II

III e e e

0 0

σ M 0

sym

σ

= σ

σ

Exemples d’états de contrainte


Ch. 5 – Equations de conservation

1 – Conservation de la masse

2 – Conservation de la quantité de mouvement (= PFD)

3 – Exemples



Approche lagrangienne

masse de dV = masse de dv

masse entrante – masse sortante = delta (masse)

Décomposition…

Ch. 5 Equations de conservation 1 – Conservation de la masse

φ dV

X

dv x

0 0ρ dV = ρdv ρ = ρ J

Approche eulérienne

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

v x , x , x , t

v x, t v x , x , x , t

v x , x , x , t

2e

1e

3e

i

i

ρvρ ρ0 div ρv 0

t x t

ρ ρdiv v 0

div v 0… et si incompressible (ρ = cte) :


Bilan des actions extérieures

On suppose deux types d’actions par u. de masse

• Actions à distance par u. de masse (ex gravité) :

• Actions de « contact » par u. de surface :

PFD

masse . accélération = Σ actions ext.

Bilan sur la direction 1 :

Idem sur autres directions…

PFD sur une élément de volume…

2 – Conservation de la qdm Ch. 5 Equations de conservation

12σ

1212 2

2

σσ dx

x

1313 3

3

σσ dx

x

13σ

1e

3e

2e

1111 1

1

σσ dx

x

11σb

σ

111 11 1 11 2 3

1

1212 2 12 1 3

2

1313 3 13 1 2

3

1

σρ dv a σ dx σ dx dx

x

σ σ dx σ dx dx

x

σ σ dx σ dx dx

x

ρ dv b

ij

i i

j

σρ a +ρ b

x

ρ a div σ +ρ b

ENSM-SE

• D est le domaine fluide

• Γ = SE ∪ SS ∪ S0 est la frontière du domaine

• sont supposées uniformes dans les sections SE et SS

• L’écoulement est permanent (indépt de t)

On applique sur D…

……

En statique, le principe fondamental devient…

Application à l’équilibre d’un cube unitaire

• Déterminons l’état de contrainte en tout point du cube…

MMD - CPMI 2011-2012 45

Conservation du débit dans un tube de courant

3 – Exemple Ch. 5 Equations de conservation

Ev

Sv

Sn

En

SE

S0

SS

D

E Sv et v

ρ

div ρv 0t

Cube unitaire pesant

div σ ρb 0

x

y

g

1

1


Ch. 6 – Elasticité linéaire ( solides)

1 – Rappel du cas 1D

2 – Loi de Hooke / Cas 3D

/ Coefficients de Lamé

/ Notation vectorielle

3 – Exemples de problèmes simples en élasticité



Modèle de comportement élastique linéaire (loi de Hooke)

Loi de Hooke (matériau élastique linéaire isotrope)

Ce modèle décrit une relation linéaire entre contrainte et déformation :

Autre aspect (constat expérimental) :

Déformation longitudinale εx Déformation transversale εt

Relation linéaire :

Un matériau élastique linéaire isotrope est caractérisé par :

• Module d’Young E

• Coefficient de Poisson ν

Ch. 6 Elasticité linéaire 1 – Rappel du cas 1D

xx

σε =

E

E est le module d’Young, Unité : Pa

ν est le coefficient de Poisson, Sans unité

xt x

σε = - ε -

E


Loi de Hooke 3D

On se place dans les axes principaux.

Equations linéaires superpositions de 3 cas 1D.

Il vient :

Ecriture matricielle :

Ecriture indicielle :

2 – Loi de Hooke / Cas 3D Ch. 6 Elasticité linéaire

1

2

3

σ 0 0

σ 0 σ 0

0 0 σ

2e

1e

3eσ1

σ2

σ3

11 2 3

2 2

3 3

σ ν νε = - σ - σ

E E E

1+ν νε = σ - tr σ

E E

1+ν νε = σ - tr σ

E E

1 1 2 3 1

1+ν ν 1+ν ν = σ - σ +σ +σ = σ - tr σ

E E E E

1+ν ν

ε = σ - tr σ IE E

ij ij ijkk

1+ν νε = σ - σ δ

E E

Loi de Hooke avec E,υ


Loi de Hooke 3D : remarques

2 – Loi de Hooke / Cas 3D Ch. 6 Elasticité linéaire

Loi de comportement 3D des solides élastiques isotropes

Démontrée dans les axes principaux mais rien n’empêche de changer de base

Valable dans n’importe quelle base

2 paramètres E, υ suffisent : comme en 1D, un essai de traction simple suffisant.

Correspond à un grand nombre de problèmes courants : un grande majorité des solides sont élastiques à faible contrainte.

Si contrainte > limite élastique loi de Hooke fausse.

Il existe des solides anisotropes (ex : bois) : E, υ dépendent de la direction.

Ce que l’on va voir sous une autre approche, plus générale…


Cas le plus général

On écrit la proportionnalité entre tenseur des contraintes et des déformations :

soit 9x9 = 81 coefficients !!

Mais des simplifications… au maximum 21 coeff. indépendants.

C’est le cas du plus grand degré d’anisotropie possible.

On montre qu’il y a 2 coeff. indépendants et que cela mène à :

2 – Loi de Hooke / Coefficients de Lamé Ch. 6 Elasticité linéaire

:ij ijkl klσ C ε ou σ = C ε

Cas isotrope

Eμ=

2 1+υσ = 2μ ε λtr ε I avec

Eυλ=

1+υ 1-2υ

-1 < υ < 0.5

λ et μ sont les

coefficients de Lamé

du matériau

Forme inverse de la loi de Hooke

ij ij ijkkσ = 2μ ε λ ε δ


2 – Loi de Hooke / notation vectorielle Ch. 6 Elasticité linéaire

Problématique… représenter le tenseur d’élasticité

On profite des symétries de pour introduire une nouvelle notation :

Notation de Voigt (ou notation vectorielle)

Notation habituelle

C

σ et ε

11 11

22 22

33 33

12 12

23 23

31 31

σ ελ+2μ λ λ

σ ελ λ+2μ λ

σ ελ λ λ+2μσ = C : ε devient

σ ε2μ

σ ε2μ

σ ε2μ

11 11

22 22

33 33

12 12

23 23

31 31

1E -υ E -υ Eε σ

υε σ-υ E 1E -

Eε σ

-υ E -υ E 1Eε σ

1+υ Eε σ

1+υ Eε σ

1+υ E


Il suffit de vérifier

Il suffit de vérifier

Ch. 6 Elasticité linéaire

Contraintes planes

...

11

11

22

22 33 11 22

33

12

12

εσ λ+2μ λ λ 0

ε λσ λ λ+2μ λ 0 et ε ε ε

ε λ+2μσ 0 0 0 2μ

ε

33 13 23σ σ σ 0

Déformations planes

33 13 23ε ε ε 0

11 11

22 22 33 11 22

12 12

σ λ+2μ λ 0 ελ

σ λ λ+2μ 0 ε et σ σ σ2 λ+μ

σ 0 0 2μ ε

3 – Exemples


Matériaux incompressibles

Incompressible → volume constant ↔

…

3 – Exemples Ch. 6 Elasticité linéaire

tr ε 0

υ 0.5

Cisaillement simple

Compression/Dilatation uniforme

Traction simple

1 1 2

2 2

3 3

x X + αX

x X ......

x X

i ix 1 ε X ......

11σ 0 0

σ = 0 0 ......

0


Ch. 7 – Fluides non visqueux

1 – Conservation de la masse / incompressibilité

2 – Dynamique d’un fluide non visqueux : équation d’Euler

3 – Relation de Bernoulli

4 – Bilan de qdm sur un domaine



Loi de comportement

Hypothèse de fluide non visqueux :

• Tous les fluides réels sont visqueux → frottement, dissipation d’énergie.

• Le modèle du fluide non visqueux s’applique quand les forces de frottement peuvent être négligées

devant les forces d’inertie :

Comportement

• Dans un fluide non visqueux, les efforts sur un élément de surface sont perpendiculaires à la surface.

(la composante tangentielle est une composante de frottement)

Ch. 7 Fluides non visqueux 0 – Introduction

T x, n p x n

forces d'inertie ρUL >> 1 Re >> 1

forces visqueuses η

.or T x, n σn σ pI

ij ijσ pδ


Rappel

Equations développées précédemment :

Si le fluide est incompressible (ρ = cte), hypothèse classique pour les liquides,

alors :

Ch. 7 Fluides non visqueux 1 – Conservation masse / incompressibilité

i

i

ρvρ ρ0 div ρv 0

t x t

ρ ρdiv v 0

div v 0


= Loi LOCALE de la dynamique

On réécrit la conservation de qdm pour un volume élémentaire de fluide :

Autres écritures :

Démonstration possible en écrivant l’équilibre d’un cube fluide soumis à …

… soit, dans le champ de pesanteur…

2 – Equation d’Euler Ch. 7 Fluides non visqueux

ij

i i

j

σρ a +ρ b ... devient...

x

i i

i

pρ a +ρ b

x

i i

i

pρ v +ρ b

x

.

ρ v p + ρ b

vρ v v p + ρ b

t

b

Rappel : action par u. de volume b

Equation d’Euler pour les fluides non visqueux

Cas de l’hydrostatique

p + ρ b 0

tep + ρgz = c


Equation qui traduit la conservation de l’énergie dans un fluide non visqueux

Point de départ …

……

Fluide incompressible et homogène

Ecoulement stationaire

Sur une ligne de courant

(donc l’écoulement est aussi irrotationnel)

3 – Relation de Bernoulli Ch. 7 Fluides non visqueux

ρ v p + ρ g

Hypothèses du développement

Relation de Bernoulli

teρ c

. 0

t

2 te1ρv p + ρgz c

2


3 – Relation de Bernoulli Ch. 7 Fluides non visqueux

Exemples

Vidange d’un réservoir : loi de débit

Portance d’une aile d’avion

B

A B

s

v

S

h(t)


= Bilan dynamique GLOBAL (forme intégrale)

On intègre le PFD sur un domaine fluide

Pour un écoulement permanent :

Exemple : écoulement à débit constant dans un tuyau horizontal

4 – Bilan de qdm sur un domaine Ch. 7 Fluides non visqueux

.

.

extd

F = ρ u dvdt

ρ u dv u ρ u dvt

ρ u dv un ρ u dst

. extρ u un ds F

1n 2n

3n

u1

Q = ud S

u2

D S

u supposée uniforme dans les sectionsp2 p1


Ch. 8 – Fluides visqueux

1 – Rhéologie des fluides

2 – Equations de Navier Stokes

3 – Conditions aux limites

4 – Exemples de calcul d’écoulement

5 – Adimensionnalisation des éq de NS / Reynolds ?



Cisaillement d’un fluide

L’expérience de Newton montre :

• Le profil de vitesse est linéaire :

• L’effort F est proportionnel à

• La surface S

• La vitesse V0

• Inversement à la hauteur h

Il vient…

Ch. 8 Fluides visqueux 1 – Rhéologie des fluides

F S V0

x

y

h

Plaque de surface S entraînée à la vitesse V0

Paroi immobile

x 0

yv V

h

0VF S

h 0V

soit F η S h

avec η=cte viscosité dynamique

0 xxyxy

V vF τ η η 2η ε

S h y

Fluide visqueux



On écrit le tenseur des contraintes sous la forme suivante :

En 3D :

Loi de comportement d’un fluide visqueux newtonien

sphérique déviatoriqueσ σ σ

Partie sphérique (isotrope) : → Pression → Terme non visqueux

Partie déviatorique : → « Cisaillement » (≃ tout ce qui n’est pas pression) → Terme visqueux

ij ij ij ijkk kk

ij ij

1 1σ σ δ σ - σ δ

3 3

= -pδ +d

1 1σ tr σ I σ tr σ I

3 3

-pI d



L’expérience a montré que les gradients de vitesse en cisaillement (ou taux de déformation) sont sources d’efforts dans les fluides.

Expérience de Newton : (seulement pour les termes de cisaillement)

Généralisation :

Loi de comportement d’un fluide visqueux newtonien

ijijτ 2η ε

déviatorique

d 2η ε

12η ε tr ε I

3

Loi de comportement d’un fluide visqueux newtonien : Relation linéaire entre et . η=cte est la viscosité dynamique. dév

σ = ddév

ε

ijij ij

jiij ij

j i

1d 2η ε tr ε δ

3

vv1 1d 2η div v δ

2 x x 3



Exemples de comportement de fluides non newtoniens

Fluide newtonien Modèle de base courant

Ex : eau, huiles minérales, solvants…

ε

τ

ε

η

Fluide rhéo-fluidifiant Modèle le plus courant

Ex : peinture, pâte à papier, ciments…

ε

τ

ε

η

Fluide rhéo-épaississant (peu courant)

Ex : sable mouillé compacté,

certains huiles polymériques…

ε

τ

ε

η

Fluide visco-plastique (à seuil)

Ex : boue, dentifrice…

ε

τ

cτ

Quelques ordres de grandeur

Air η = 1,8.10-5 Pa.s

Eau η = 10-3 Pa.s

Huile de cuisine η ≃ 0,1 Pa.s

Glycérine η ≃ 1 Pa.s

Unité SI : Pa.s aussi appelée Poiseuille (PI).


C’est l’équation de la dynamique pour un fluide newtonien

Calcul de : ……

devient…

est la viscosité cinématique. Unité : m2.s-1.

3 équations scalaires

3 inconnues (les composantes de vitesse v1, v2, v3)

Equations non linéaires (résolution peu aisée)

2 – Equations de Navier Stokes Ch. 8 Fluides visqueux

ij

i i

j

σρ a +ρ b

x

ij

j

σ

x

.

2i i i

j i

j i j j

v v v1 p ηv = b +

t x ρ x ρ x x

v 1 ηv v = b p + v

t ρ ρ

η = ν

ρ

Equation de NAVIER STOKES

Fluide newtonien incompressible

Ex : νair = 10-5 m2.s-1

νeau = 10-6 m2.s-1

Développement de l’équation


La résolution des équations de NS demande à introduire

des conditions aux limites …

• Paroi imperméable :

Il y a adhérence à la paroi.

Egalité des vitesses des points coïncidents.

Effort exercé sur la paroi ? …

• Interface fluide-fluide non miscibles :

Continuité de la vitesse normale et tangentielle.

Continuité des contraintes (tangentielle et pression)

si l’on néglige les tensions superficielles.

• Surface libre (interface liquide-gaz) :

On néglige la contrainte tangentielle exercée par le gaz :

glissement sans frottement à la surface libre.

Continuité des pressions

Profil de vitesse près de la surface ? …

3 – Conditions aux limites Ch. 8 Fluides visqueux

Paroi mobile

Paroi fixe

n = yv(y)

Fluide 1

Fluide 2

(1)

n

(2)

n

Surface libre n y


Ecoulement de Poiseuille plan

4 – Exemples de calculs d’écoulement Ch. 8 Fluides visqueux

Hypothèses

• Canal infiniment profond : écoulement indépendant de z.

• Ecoulement permanent.

• Masse volumique uniforme. Incompressible.

• Ecoulement supposé parallèle (aux faces fixes) : la vitesse n’a qu’une composante.

• Moteur de l’écoulement : gradient de pression conique soit ∇xp = -λ.

Notation habituelle en méca. flu. :

Calculer le champ de vitesse, la vitesse moyenne (ou débitante), les efforts aux parois

u

v v

w

y

x

z

+L

-L

p1 p2 Gradient de pression selon x

cours de mécanique des milieux déformables

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