mecanique des solides...

Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, CER de Bordeaux – Talence Esplanade des Arts et Métiers, F-33405 Talence Cedex

MECANIQUE DES SOLIDES

DEFORMABLES

(A L ’USAGE DE L ’INGENIEUR)

Thierry PALIN-LUC

Novembre 2007

Thierry PALIN-LUC Arts et Métiers ParisTech ENSAM CER de Bordeaux Esplanade des Arts et Métiers 33405 Talence Cedex Tél. 05 56 84 53 60, Fax. 05 56 84 53 66 e-mail : [email protected] version 2007

Préambule

Ce cours de Mécanique des Solides Déformables constitue la première des trois parties du cours du même nom dispensé à l’E.N.S.A.M. en première année dans le cadre de l’Unité d’Enseignement Disciplinaire « Mécanique ». Après les cours de mécanique du point matériel, des solides rigides (ou indéformables) vus dans les classes antérieures, ce cours a pour objectif de donner aux élèves ingénieurs les bases de la mécanique des solides déformables (mécanique des milieux continus) pour des matériaux homogènes isotropes à comportement élastique linéaire. Nous présenterons le formalisme mathématique utilisé pour représenter les champs de déformations et de contraintes et trouver les corrélations entre le champ des déplacements des points constituant le milieu, les efforts intérieurs et extérieurs. Ceci permettra de mettre en place les bases du dimensionnement des organes mécaniques au travers des critères de plasticité. Nota : Tous les commentaires permettant de faire évoluer ce document peuvent être envoyés à : [email protected]

Table des matières Préambule ...........................................................................................................................................3

Chapitre I : Introduction - Notion de continuité.............................................................................6

1. Hypothèse de continuité du milieu ...............................................................................................6 2. Hypothèses de continuité des transformations............................................................................6 3. Exemples de cas ne vérifiant pas les hypothèses de continuité ..................................................7

Chapitre II : Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point ........................8

1. Définitions.......................................................................................................................................8 2. Variables de Lagrange et variables d'Euler ................................................................................8

2.1. Variables de Lagrange..............................................................................................................8 2.2. Variables d'Euler ......................................................................................................................9

3. Trajectoires, Dérivée particulaire et Lignes de courant.............................................................9 3.1. Trajectoire.................................................................................................................................9 3.2. Notion de dérivée particulaire ................................................................................................10 3.3. Lignes de courant à un instant donné .....................................................................................10

4. Eléments d'algèbre et d'analyse tensorielle ...............................................................................11 5. Tenseur de GREEN .....................................................................................................................13 6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.)............................................................................15 7. Déplacement, Déformation et Rotation......................................................................................16 8. Interprétation des termes du tenseur de déformation pure .....................................................19

8.1. Dilatation et glissement ..........................................................................................................19 8.2. Interprétation des termes du tenseur des déformations ..........................................................20 8.3. Distorsion, variation d'angle ..................................................................................................20

9. Quadriques des déformations .....................................................................................................21 10. Directions principales ................................................................................................................22 11. Diagramme de MOHR des déformations ................................................................................24

11.1. Cas particulier PLAN ...........................................................................................................25 11.2. Application à l'extensométrie................................................................................................27

12. Conditions de compatibilité des déformations ........................................................................30

Chapitre III : Distribution des contraintes autour d'un point ....................................................35

1. Equilibre d'un milieu continu solide ..........................................................................................35 2. Notion de vecteur contrainte.......................................................................................................36 3. Tenseur des contraintes...............................................................................................................37

3.1. Notion de matrice des contraintes ..........................................................................................37 3.2. Tenseur des contraintes ..........................................................................................................38

4. Réciprocité des contraintes (Relation de Cauchy)....................................................................40 5. Contraintes principales et directions principales des contraintes...........................................41 6. Ellipsoïde de Lamé des contraintes ............................................................................................41 7. Invariants du tenseur des contraintes ........................................................................................42 8. Partie sphérique et déviateur des contraintes ...........................................................................42 9. Tension et cission octoaédrales en un point...............................................................................43 10. Représentation de Mohr............................................................................................................44 11. Cas particulier du diagramme de Mohr dans un plan principal...........................................46 12. Equations générales de l'équilibre local...................................................................................48

Chapitre IV : Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire..........................................50

1. Expérience de traction .................................................................................................................50 2. Loi de Hooke (élasticité linéaire isotrope)..................................................................................55

3. Energie potentielle élastique (ou énergie de déformation élastique).......................................59 4. Etats particuliers de contraintes et de déformations ................................................................60

4.1. Déformations planes ...............................................................................................................60 4.2. Contraintes planes ..................................................................................................................60

Chapitre V : Résolution d’un problème d’élasticité .....................................................................62

1. Présentation du problème d’élastostatique................................................................................62 2. Méthode des déplacements (ou méthode de Lamé et Clapeyron)............................................63 3. Méthode des contraintes (ou des conditions de compatibilité) ................................................65 4. Cas des problèmes plans..............................................................................................................67

4.1. Contraintes planes ..................................................................................................................67 4.1.1. Méthode des déplacements ..............................................................................................67 4.1.2. Méthode des forces ..........................................................................................................68

4.2. Déformations planes ...............................................................................................................68 4.2.1. Méthode des déplacements ..............................................................................................69 4.2.2. Méthodes des forces.........................................................................................................69

Chapitre VI : Quelques états de contraintes et déformations particuliers .................................70

1. Problèmes axisymétriques méridiens .........................................................................................70 2. Problèmes plans en coordonnées cylindriques ..........................................................................71

2.1. Contraintes planes ..................................................................................................................71 2.2. Déformations planes ...............................................................................................................72

Chapitre VII : Méthodes énergétiques...........................................................................................74

1. Energie de déformation élastique ...............................................................................................74 1.1. Hypothèses ..............................................................................................................................74 1.2. Energie de déformation élastique par unité de volume ..........................................................75 1.3. Théorème de Clapeyron ..........................................................................................................76 1.4. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti ...........................................................................77

2. Théorème des Travaux virtuels, des Puissances virtuelles et leurs applications ...................77 2.1. Définitions...............................................................................................................................77 2.2. Etude des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles ...........................78 2.3. Etude des champs de contraintes statiquement admissibles...................................................82

3. Corrélation entre les états cinématiquement admissibles et ceux statiquement admissibles.............................................................................................................................................................83

Chapitre VIII: Critères de limite d’élasticité ..... ...........................................................................84

1. Critère de Von Mises ...................................................................................................................84 2. Critère de Tresca..........................................................................................................................86

Références bibliographiques ...........................................................................................................88

Formulaire ........................................................................................................................................89 Module d'Young E et coefficient de Poisson νννν pour quelques matériaux usuels .......................95 Synoptique de la « Méthode des DEPLACEMENTS » ou de Lamé – Clapeyron .....................96 Synoptique de la « Méthode des FORCES » ou de Beltrami .......................................................97

Introduction - Notion de continuité Chapitre I

- 6 -

Chapitre I : Introduction - Notion de continuité

1. Hypothèse de continuité du milieu

Un milieu continu est un milieu dans lequel les propriétés physiques au repos (on ne

s’intéressera pas aux ondes de chocs) varient de façon continue d'un point à un autre.

En particulier la distribution de la masse est supposée continue. Un élément de volume dv

renferme une masse élémentaire dm dv= ρ , où ρ désigne la masse volumique, fonction continue

des coordonnées ( )x x x1 2 3, , et du temps t.

( )dm

dvx x x t= ρ 1 2 3, , ,

Nous serons amenés à supposer que ρ est continûment différentiable, au moins dans

certains domaines. Toutes les propriétés physiques qui interviendront seront supposées continues

et différentiables.

Remarque : A l'échelle moléculaire ou même à une échelle plus grande, celle des cristaux,

la matière est discontinue (joints de grains dans les métaux par exemple). Mais la mécanique des

milieux continus se place à l'échelle macroscopique. A cette échelle la matière (le milieu)

apparaît comme continue, sauf éventuellement en certaines surfaces de discontinuité.

Ceci implique qu'un élément de volume dv doit être considéré comme assez petit pour

qu'on puisse le traiter mathématiquement comme un infiniment petit , mais cependant assez

grand pour qu'il renferme un très grand nombre de molécules ou de cristaux. On parle alors

de volume élémentaire représentatif.

2. Hypothèses de continuité des transformations

Nous admettrons que deux points matériels infiniment voisins à l'instant t=0 restent

infiniment voisins à tout instant suivant. De plus, deux points matériels infiniment voisins à

l'instant t proviennent de deux points infiniment voisins à l'instant t=0. Cette hypothèse exclut la

possibilité de mélange de deux portions du milieu initialement distinctes.

Traduction mathématique :

Soit ( )M a a a0 1 2 3, , un point matériel à l'instant t=0, soit ( )M x x x1 2 3, , la position du même

point à l'instant t, t > 0. On admettra la continuité de la transformation par rapport au temps.

Si ( )x f a a a t ii i= ∀ =1 2 3 1 2 3, , , , , , formules définissant la transformation du milieu entre 0

et t ou bien si ( )a x x x t ii i= ∀ =ϕ 1 2 3 1 2 3, , , , , , formules définissant la transformation inverse,

alors nous admettrons que les fonctions f i et ϕi sont toutes continues par rapport à toutes leurs

Introduction - Notion de continuité Chapitre I

- 7 -

variables. De plus, nous admettrons qu'elles ont des dérivées partielles premières continues

par rapport à ces variables.

3. Exemples de cas ne vérifiant pas les hypothèses de continuité

D'après les hypothèses précédentes l'étude des phénomènes suivants sort du cadre de ce

cours.

- formation de trous (Figure 1a) :

- fissures dans les solides

- cavitation dans les fluides

- glissement relatif de deux parties du milieu (Figure 1b) :

- faille dans les solides

- sillage dans les fluides

- choc de deux veines fluides (Figure 1c)

- ondes de choc dans les solides (impacts)

Figure 1 : exemples sortant du cadre de la mécanique des milieux continus

MM'

MM'

Fig. 1a

M

M'

Fig. 1b

M

M'

Fig. 1c

Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point Chapitre II

- 8 -

Chapitre II : Cinématique du milieu continu - Défor mations autour d'un point

1. Définitions

Un solide passant d'un état A à un état B est dit déformé quand les distances séparant

certains couples de points de ce solide ont varié.

M0

N0

-A- -B-

N

M

On applelle dilatation relative ou dilatation linéïque la quantité ε :

ε = −ds ds

ds0

0 En raisonnant non plus sur une distance mais sur un volume élémentaire passant de la

valeur dv0 pour l'état A à la valeur dv pour l'état B, on appelle dilatation cubique relative la

quantité e définie par : e

dv dv

dv= − 0

0

2. Variables de Lagrange et variables d'Euler

L'étude du mouvement d'un milieu déformable peut se faire en utilisant 2 systèmes de

variables indépendantes.

2.1. Variables de Lagrange

Les variables indépendantes sont les coordonnées d'un point matériel M dans un état initial choisi comme référence ( )a a a1 2 3, , et le temps t.

Il est alors commode de définir le mouvement en considérant, qu'à chaque instant t, les

coordonnées xi du point matériel M sont des fonctions des coordonnées initiales ai .

( )x x a a a t

ii i=

=

1 2 3, , ,

pour 1,2,3 (II.1)

Nota : Les équations (II.1) définissent les trajectoires des points matériels du milieu, nous

y reviendrons.

A un instant t donné, les coordonnées du champ des vitesses r

V sont alors données par r

r

Vdx

dt= où

rx désigne le vecteur position de la particule considérée, ( )r

x a a a t= 1 2 3, , , , à un instant

t donné.

ds M N

ds MN

0 0 0=

=

∩

∩


- 9 -

( )

( )

( )

rV

vx

ta a a t

vx

ta a a t

vx

ta a a t

11

1 2 3

22

1 2 3

33

1 2 3

=

=

=

∂∂∂∂

∂∂

, , ,

, , ,

, , ,

2.2. Variables d'Euler

Les variables indépendantes sont les coordonnées d'un point géométrique ( )x x x1 2 3, , ,

point fixe par rapport au repère du mouvement, et le temps t.

L'état cinématique du milieu est ici défini par le champ des vitesses r

V dépendant des

coordonnées du point géométrique ( )x x x1 2 3, , et du temps t.

On considère alors que la masse volumique et toutes les autres propriétés physiques du

milieu sont des fonctions de ( )x x x1 2 3, , et t.

Intérêt de cette description : Dans le cas général on ne connait pas d'état initial

remarquable, de plus les forces qui s'exercent sur le milieu sont souvent exprimées comme des

fonctions des coordonnées actuelles ( )x x x1 2 3, , à l'instant t. On considère alors que la masse

volumique et toutes les autres propriétés physiques du milieu sont des fonctions de ( )x x x1 2 3, , et

t. En général on utilise la description lagrangienne pour les solides et la description eulérienne

pour les fluides (sauf pour la propagation d'ondes).

3. Trajectoires, Dérivée particulaire et Lignes de courant.

3.1. Trajectoire

Définition : On appelle trajectoire d'un point matériel, situé en rx à l'instant t, le lieu des

positions successives de ce point matériel quand le temps varie.

- En variables Lagrangiennes nous avons vu que les équations (II.1) définissent

directement les trajectoires des points matériels du milieu.

- En variables Eulériennes les coordonnées vi du vecteur vitesse r

V sont telles que :

vdx

dtii= pour i=1, 2, 3. On obtient les équations des trajectoires des points matériels en intégrant

le sytème différentiel suivant :

( ) ( ) ( )dx

v x x x t

dx

v x x x t

dx

v x x x tdt1

1 1 2 3

2

2 1 2 3

3

3 1 2 3, , , , , , , , ,= = =


- 10 -

Ce système est formé de trois équations du premier ordre dans lesquelles les fonctions vi

sont supposées connues. De façon générale, ce sytème a pour solution :

( )( )( )

x x C C C t

x x C C C t

x x C C C t

1 1 1 2 3

2 2 1 2 3

3 3 1 2 3

=

=

=

, , ,

, , ,

, , ,

où C1, C2 et C3 sont trois constantes d'intégration qui peuvent être prises égales aux coordonnées

initiales à t=0. Les équations ci-dessus sont donc une réprésentation paramétrique de la

trajectoire d'un point matériel.

REMARQUE : Par un point géométrique passent en général une infinité de trajectoires (les

différents éléments matériels qui se succèdent en ce point géométrique ont généralement des

trajectoires différentes).

3.2. Notion de dérivée particulaire

Définition : On appelle dérivée particulaire (par rapport au temps) d'une fonction ( )f x tr, ,

la dérivée de f par rapport au temps t lorsque le rayon vecteur rx est celui d'un point matériel

(particule) animé de la vitesse r

V , donc fonction du temps. On dit que l'on suit la particule dans

son mouvement.

- En variables de Lagrange : rx est fonction des coordonnées initiales

rx0 ( )a a a1 2 3, , et de t. La dérivée particulaire n'est

autre que la dérivée partielle ∂∂t

de la fonction f.

- En variables d'Euler :

df

dt

f

t

f

x

x

t

f

x

x

t

f

x

x

t= + ⋅ + ⋅ + ⋅∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂1

1

2

2

3

3

On retrouve dans l'expression ci-dessus les composantes du vecteur vitesse : vx

tii= ∂

∂.

3.3. Lignes de courant à un instant donné

Définition : A un instant donné, les lignes de courant sont les lignes tangentes en chacun

de leurs points au vecteur vitesse.

REMARQUES :

a./ Il ne faut pas confondre les trajectoires et les lignes de courant à un instant donné.

Généralement les trajectoires sont différentes des lignes de courant à un instant donné.

b./ En général, les lignes de courant ne sont pas les mêmes à deux instants différents.


- 11 -

Pour le champ des vitesses ( )r r

V x t, à t=constante, les lignes de courant sont définies par le

système différentiel de deux équations à trois inconnues x x x1 2 3, , :

( ) ( ) ( )dx

v x x x t

dx

v x x x t

dx

v x x x t1

1 1 2 3

2

2 1 2 3

3

3 1 2 3, , , , , , , , ,= = pour t=constante.

4. Eléments d'algèbre et d'analyse tensorielle

Définition : Un tenseur du second ordre est un opérateur linéaire, notons le T , qui fait

correspondre à tout vecteur rY de l'espace euclidien un vecteur

rB de ce même espace, soit :

( )v rB Y= T

REMARQUE : Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons à un espace euclidien à trois

dimensions.

Dans l'espace euclidien à trois dimensions que nous considérons, le caractère linéaire de

l'opérateur T permet immédiatement d'énoncer :

Un tenseur du second ordre est déterminé de façon unique si l'on connait les valeurs

prises par ( )TrY pour trois vecteurs

rY linéairement indépendants, c'est-à-dire pour une base de

l'espace considéré.

Cas particulier : Si

rni désignent les vecteurs unitaires d'un repère orthonormé (i=1, 2, 3), le tenseur est

parfaitement défini par les 3 vecteurs : ( )Tr rn t nj ij i= ⋅

c'est-à-dire par les 9 nombres tij que l'on appelle composantes du tenseur dans le système

d'axes ( )r r rn n n1 2 3, , . Ainsi, ( )T

r r r rn t n t n t nj j j j= ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 3 3

On remarquera qu'il n'y a aucun inconvénient à utiliser la même notation pour désigner un

tenseur du second ordre et la matrice carrée formée par ses composantes dans un repère

orthonormé donné. D'autre part, on peut noter un tenseur soit par une seule lettre, T par exemple, soit plus

simplement par ses composantes dans un système d'axes déterminé. Ainsi, le tenseur défini par l'opérateur linéaire T sera désigné soit par T , soit par tij .

Si

=

333231

232221

131211

ttt

ttt

ttt

T et rY

y

y

y

1

2

3

dans ( )r r rn n n1 2 3, , alors,

( ) BnBnyt

y

y

y

ttt

ttt

ttt

YTY jijjijrrrrr

===

=⋅=

3

2

1

333231

232221

131211

T


- 12 -

Convention de notation : La notation t yij j est celle introduite par Einstein ; lorsqu'un indice

apparait plus d'une fois dans un terme produit il faut faire la somme du terme produit sur toutes

les valeurs de l'indice multiple. Ainsi t y t y t y t y t yij j ij jj

j

i i i= = + +=

=

∑1

3

1 1 2 2 3 3, ce qui permet d'éviter

d'écrire les signes somme. Autre exemple : ( )t t t t t trace Tkk kkk

k

= = + + ==

=

∑1

3

11 22 33 .

Tenseur unité : On appelle tenseur unité l'opérateur identité qui fait correspondre à tout

vecteur rY ce même vecteur

rY.

Les composantes de ce tenseur unité sont les nombres δ ij , tels que δ ij

i j

i j=

≠

0

1

si

si =. Le

symbole δ ij est appelé symbole de Kronecker.

On peut par exemple noter le tenseur unité I , ainsi : I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

et

( )Ir rY y y Yij j j= = =δ .

Tenseur symétrique : Soit par définition la forme bilinéaire ( )F X Yr r

, associée au tenseur

du second ordre T par : ( ) ( )F X Y X Yr r r r

, T= ⋅ . Notons que ( )F n n ti j ij

r r, = dans la base ( )r r r

n n n1 2 3, , .

Soit un autre tenseur T* , également du second ordre, défini à partir de F par la relation :

( ) ( )F X Y Y Xr r r r

, T*= ⋅

Par définition T est dit symétrique si T et T* sont des opérateurs identiques ; alors :

( ) ( )F X Y F Y Xr r r r

, ,≡ .

Nota : T* s'appelle le tenseur adjoint de T.

Condition nécessaire et suffisante : Pour qu'un tenseur du second ordre T soit symétrique il faut et il suffit que t t i jij ji= ∀, , .

Nota : Dans le cadre de ce cours nous ne manipulerons que des tenseurs symétriques sauf

spécification particulière.

REMARQUE sur les tenseurs en général :

- La notion de tenseur du second ordre apparait comme une généralisation de la notion de

vecteur, un vecteur étant considéré comme un opérateur linéaire faisant correspondre à un

vecteur rX un scalaire réel. Un vecteur peut donc être considéré comme un tenseur du premier

ordre.


- 13 -

- Un tenseur du troisième ordre est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur rZ , fait

correspondre un tenseur du second ordre T.

5. Tenseur de GREEN

N0

M0M1

N1

(r0) (r)

U

ds0

ds

y

z

x

k

jiO

Soit un élément linéaire de longueur ds M N0 0 0= (infinitésimale, i.e. M0 et N0 sont

infiniment proches) dans l'état initial (r0). Les coordonnées du vecteur ds→

0 sont dai dans le repère

( )O i j k, , ,r r r

: ds da i da j da k→

= ⋅ + ⋅ + ⋅0 1 2 3

r r r

Après transformation (passage de l'état (r0) à l'état (r)) la longueur de cet élément est

ds M N= 1 1, l'élément est déformé : ds dx i dy j dz k→

= ⋅ + ⋅ + ⋅r r r

D'où : ds da da da

ds dx dy dz

02

12

22

32

2 2 2 2

= + +

= + +

Or, les coordonnées ( )x y z, , du point M1 dépendent de celle du point M0 ( )a a a1 2 3, , . En

supposant que les fonctions x, y et z sont différentiables (cf. chapitre 1) on a :

dxx

ada

x

ada

x

ada

dyy

ada

y

ada

y

ada

dzz

ada

z

ada

z

ada

= + +

= + +

= + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

11

22

33

11

22

33

11

22

33

OM a i a j a k

OM x i y j z k

U u i v j w k

0 1 2 3

1

→= + +

→= + +

→= + +

r r r

r r r

r r r


- 14 -

Ainsi :

ds dsx

a

y

a

z

ada

x

a

y

a

z

ada

x

a

y

a

z

ada

x

a

x

a

y

a

202

1

2

1

2

1

2

12

2

2

2

2

2

2

22

3

2

3

2

3

2

32

1 2 1

1 1 1

2

− =

+

+

−

+

+

+

−

+

+

+

−

+ +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂ya

z

a

z

adada

x

a

x

a

y

a

y

a

z

a

z

adada

x

a

x

a

y

a

y

a

z

a

z

ada da

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂2 1 2

1 21 3 1 3 1 3

1 32 3 2 3 2 3

2 32 2+

+ + +

+ + +

On pose alors :

ds ds E da E da E da G da da G da da G da da20

21 1

22 2

23 3

21 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2 2− = + + + + +

Que l'on peut aussi écrire sous forme matricielle :

[ ]ds ds da da da

E G G

G E G

G G E

da

da

da

20

21 2 3

1 3 2

3 2 1

2 1 3

1

2

3

2− =

Définition : E G G

G E G

G G E

1 3 2

3 2 1

2 1 3

est la matrice associée au tenseur de GREEN dans la base ( )r r ri j k, , .

Ce tenseur est noté ∆ , c'est le tenseur des déformations.

Exprimons le tenseur de GREEN ∆ en fonction des dérivées partielles du champ des

déplacements :

( ) kaaawjaaaviaaauMMaaaMoUrrrr

⋅+⋅+⋅==→

),,(),,(),,(),,( 32132132110321 .

D'après l'expression de r

U on a immédiatement : OM OM U1 0

→ → →= + d'où :

+=+=+=

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

3213321

3212321

3211321

aaawaaaaz

aaavaaaay

aaauaaaax

Ainsi en différenciant x, y et z nous obtenons :

∂∂

∂∂

x

a

u

a1 1

1= + ∂∂

∂∂

x

a

u

a2 2

= ∂∂

∂∂

x

a

u

a3 3

=

∂∂

∂∂

y

a

v

a1 1

= ∂∂

∂∂

y

a

v

a2 2

1= + ∂∂

∂∂

y

a

v

a3 3

=

∂∂

∂∂

z

a

w

a1 1

= ∂

∂∂∂

z

a

w

a2 2

= ∂∂

∂∂

z

a

w

a3 3

1= +

Or Ex

a

y

a

z

a11

2

1

2

1

21

21=

+

+

−

∂∂

∂∂

∂∂

donc Eu

a

v

a

w

a11

2

1

2

1

21

21 1= +

+

+

−

∂∂

∂∂

∂∂


- 15 -

De même, Gx

a

x

a

y

a

y

a

z

a

z

a12 3 2 3 2 3

1

2= + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

donc,

Gu

a

u

a

v

a

v

a

w

a

w

a12 3 2 3 2 3

1

21 1= + +

+ +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

En procédant de façon analogue pour les autres termes du tenseur de GREEN on obtient :

Eu

a

v

a

w

a

u

a11

2

1

2

1

2

1

1

22=

+

+

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Gu

a

u

a

v

a

v

a

w

a

w

a

v

a

w

a12 3 2 3 2 3 3 2

1

2= + + + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Eu

a

v

a

w

a

v

a22

2

2

2

2

2

2

1

22=

+

+

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Gu

a

u

a

v

a

v

a

w

a

w

a

u

a

w

a21 3 1 3 1 3 3 1

1

2= + + + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Eu

a

v

a

w

a

w

a33

2

3

2

3

2

3

1

22=

+

+

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Gu

a

u

a

v

a

v

a

w

a

w

a

u

a

v

a31 2 1 2 1 2 2 1

1

2= + + + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

- Signification des termes Ei.

Nous avons vu que [ ]ds ds da da da

E G G

G E G

G G E

da

da

da

20

21 2 3

1 3 2

3 2 1

2 1 3

1

2

3

2− =

Soit ε la dilatation linéïque de l'élément linéaire ds M N0 0 0

→ →= de cosinus directeurs α β γ, , .

da ds1 0= α da ds2 0= β da ds3 0= γ

Pour un élément parallèle à l'axe ( )O i,r

: α β γ= 1, = = 0 donc ds ds E ds20

21 0

22− = d'où :

Eds ds

ds

ds ds ds

ds

ds ds ds ds

ds1

20

2

02

0 02

02

20 0

2

02

1

2

2 2

2

2

2= − = − + − +

Or par définition ε = −ds ds

ds0

0

, on a donc E1

2

2= +ε ε

.

Ainsi, il y a coïncidence entre E1 et ε au second ordre près si ε est infiniment petite.

6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.)

On supposera dans la suite de ce cours que les composantes des vecteurs déplacements et

leurs dérivées partielles sont infiniment petites et du même ordre de grandeur (1er ordre). On

peut alors négliger les termes du second degré (second ordre) par rapport à ceux du premier.

On obtient ainsi les termes linéarisés ei et gi d'après les termes Ei et Gi .


- 16 -

eu

a11

= ∂∂

gv

a

w

a13 2

1

2= +

∂∂

∂∂

ev

a22

= ∂∂

gu

a

w

a23 1

1

2= +

∂∂

∂∂

ew

a33

= ∂∂

gu

a

v

a32 1

1

2= +

∂∂

∂∂

Ces termes sont les composantes du tenseur de GREEN en petites perturbations, le tenseur se note alors ε , c'est le tenseur des déformations.

ε =

e g g

g e g

g g e

1 3 2

3 2 1

2 1 3

que l'on note aussi généralement εε ε εε ε εε ε ε

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

avec ε εij ji=

En notation indicielle cela se note : ε ∂∂

∂∂ij

i

j

j

i

u

a

u

a= +

1

2

7. Déplacement, Déformation et Rotation

Soit ( )O i j k, , ,r r r

un repère orthonomé direct lié à un solide. Isolons par la pensée, au sein de

ce solide, un domaine élémentaire . Considérons une particule M qui, dans l'état initial (r0)

occupe la position ( )M a a a0 1 2 3, , et dans l'état final (r) occupe la position ( )M x y z1 , , .

Soient u, v, w les coordonnées du vecteur déplacement M M U0 1

→ →= de la particule M.

La particule courante N de , infiniment voisine de M occupe la position

( )N a da a da a da0 1 1 2 2 3 3+ + +, , dans l'état initial (r0) et la position N1 dans l'état (r).

Le vecteur déplacement N N0 1

→ de la particule N a pour coordonnées u+du, v+dv, w+dw,

d'où les égalités suivantes :

N N

u du uu

ada

u

ada

u

ada

v dv vv

ada

v

ada

v

ada

w dw ww

ada

w

ada

w

ada

0 1

11

22

33

11

22

33

11

22

33

→

+ = + + +

+ = + + +

+ = + + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂


- 17 -

Ceci peut donc s'écrire :N N U S M N0 1 0 0

→ → →= + ⋅ où S est le tenseur du second ordre de

matrice associée :

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

u

a

u

a

u

av

a

v

a

v

aw

a

w

a

w

a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. On remarquera que S grad M M=→

0 1 .

Comme tout tenseur du second ordre, S peut se décomposer en une partie symétrique,

notons la ε , et une partie anti-symétrique que nous noterons Ω : S = +ε Ω

avec

ε = +

= −

→ →

→ →

1

2

1

2

0 1 0 1

0 1 0 1

grad M M grad M M

grad M M grad M M

T

TΩ

S

u

a

u

a

v

a

u

a

w

a

u

a

v

a

v

a

v

a

w

a

u

a

w

a

v

a

w

a

w

a

u

a

v

a

u

a

w

=

+

+

+

+

+

+

+

−

−∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

2 1 3

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

01

2

1

2 a

u

a

v

a

v

a

w

a

u

a

w

a

v

a

w

a

1

2 1 3 2

3 1 3 2

1

20

1

2

1

2

1

20

− −

−

− −

− −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

On obtient donc : N N M M M N M N0 1 0 1 0 0 0 0

→ → → →= + ⋅ + ⋅ε Ω (II.2)

Supposons maintenant que le solide considéré soit peu déformable, c'est-à-dire que deux

particules voisines aient nécessairement des déplacements très peu différents : c'est l'hypothèse

des Petites Perturbations (H.P.P.) encore appelée hypothèse des petits gradients de déplacement. Alors, les 9 composantes du tenseur S sont petites devant l'unité en module.

REMARQUE : Cette hypothèse est valable pour les verres, les métaux et les roches en

général. Dans la pratique l'ordre de grandeur des composantes est 10-6 à 10-3.

Attention,ces grandeurs sont sans unité.

D'après (II.2) la transformation générale qui fait passer la particule N de la position N0 dans l'état initial (r0) à la position N1 dans l'état (r) se décompose en trois transformations :

- une translation,

- une déformation pure,

- une rotation.


- 18 -

a./ Si ε = =Ω 0 : alors N N M M0 1 0 1

→ →=

Cette transformation est une translation de vecteur M M0 1

→.

b./ Si M M0 1 0→ →

= et Ω = 0 : alors N N M N0 1 0 0

→ →= ⋅ε

Il s'agit d'une déformation pure.

c./ Si M M0 1 0→ →

= et ε = 0 : N N M N0 1 0 0

→ →= ⋅Ω

On peut aussi écrire cette relation : N N M N0 1 0 0

→ ← →= ∧ω où ω

← est le pseudo-vecteur adjoint

du tenseur anti-symétrique Ω .

ω←

étant petit devant l'unité cette seconde transformation est une rotation d'angle ω = ω←

autour de l'axe portant ω←

et issu de M.

ω← →

=←

1

2 0 1rot M M

En résumé : Au cours de la déformation quelconque d'un solide, tout domaine élémentaire,

isolé par la pensée en son sein subit :

- une translation de vecteur M M0 1

→

- une déformation pure, caractérisée par le tenseur symétrique ε :

ε = +

→ →1

2 0 1 0 1grad M M grad M MT

- une rotation autour de M d'angle ω = ω←

tel que ω← →

=←

1

2 0 1rot M M

M

ω←

ωN0

N1

H

M0

M1

Translation

M0

M1

Rotation

M0

M1

Déformation

N0

N1

N1

N0 N0

N1


- 19 -

8. Interprétation des termes du tenseur de déformat ion pure

La translation et la rotation sont des transformations qui engendrent un déplacement du domaine élémentaire , c'est-à-dire une transformation ponctuelle conservant les distances et les

angles. Nous allons maintenant étudier séparément la déformation pure de .

Pour cela, plaçons nous dans un repère local M i j k; , ,r r r

entrainé dans la translation et la

rotation. Par rapport à ce repère, M M0 1

→ et ω

← sont nuls ; la formule (1) se réduit à

N N M N0 1 0 0

→ →= ⋅ε .

8.1. Dilatation et glissement

Isolons un élément MN du domaine , que nous appellerons une fibre, tube infiniment fin de longueur l. Pendant la déformation sa longueur varie de l0 (état r0) à l1 (état r) et sa direction change, le vecteur unitaire passe de

rn0 à

rn1.

n0M N0

N1n1

g

gn1

n0

Par définition, la dilatation linéïque relative ε est égale à : ε δ= − =l l

l

MN

M N1 0

0 0 0

(sans unité)

Le vecteur glissement, noté rg , est défini par :

r r r rg n n n= − =1 0 δ

Le module de rg est appelé taux de glissement et noté g, c'est la mesure en radian (sans

unité) de l'angle ( )r rn n0 1, .

δ δ δMN MN n MN n→

= ⋅ +r r. c'est-à-dire N N MN n MN g0 1

→= ⋅ +ε. .

r r

or N N M N0 1 0 0

→ →= ⋅ε si on ne considère que la déformation pure (ce qui est le cas ici par

hypothèse). Ainsi, ε ε⋅ = ⋅ +→

M N

MN

MN

MNn

MN

MNg0 0 . .

r r d'où : ε ε⋅ = ⋅ +r r r

n n g (II.3)

On appelle vecteur déformation en M relativement à la direction vn , le vecteur

rd défini

par : r rd n= ⋅ε

La composante axiale selon vn du vecteur

rd est

r rε ε= ⋅n , sa composante transversale est rg , d'où :

r r rd g= +ε

Nota : Par convention le signe de ε est tel que : la dilatation linéïque relative ε est positive

si la fibre considérée s'allonge, négative si elle se raccourcit.


- 20 -

M

rn

Nr rε ε= ⋅n

rg

r rd n= ⋅ε

D'après ce qui précède nous voyons que : - rε est la projection orthogonale de

rd sur

vn donc : ε = ⋅r

rn d et ε ε= ⋅ ⋅r r

n n

soit sous forme matricielle : [ ] ε ε= r rn n

T

- Dans la rotation M ,ω←

le vecteur unitaire

vn voit son extrémité se déplacer de

r rg nrot = ∧

←ω .

8.2. Interprétation des termes du tenseur des défor mations

Soit MN l'élément fibre de vecteur unitaire nx

→ orienté selon l'axe x

→,

soit :n i j kx

→= ⋅ + ⋅ + ⋅1 0 0

r r r. Le vecteur déformation de cet élément fibre est noté dx

→, il vaut :

d nx x

→= ⋅ =

⋅

εε ε εε ε εε ε ε

r11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

0

0

dans la base ( )r r ri j k, ,

d i j kx

→= + +ε ε ε11 21 31

r r r d'où g j kx

→= ⋅ + ⋅ε ε21 31

r r.

Remarques : - on peut aussi noter εε ε εε ε εε ε ε

=

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

- On a toujours ε εij ji= ∀i j,

Ainsi :

- ε11 (ou bien ε xx) est la dilatation linéïque relative, en M, dans la direction de l'axe x→

.

- ε21 (ou bien ε yx) est la composante suivant (M, y→

) du vecteur glissement gx

→ relatif à la

direction (M, x→

).

Il en est de même pour les autres termes en permutant les indices et les axes.

8.3. Distorsion, variation d'angle

Soient dans le domaine élémentaire deux éléments fibres d'origine commune M et de

vecteurs unitaires rn1 et

rn2 faisant l'angle ϕ entre eux.


- 21 -

M rn1

rn2

ϕ

Au cours de la déformation, l'angle ϕ subit la variation δϕ appelée distorsion en M, relativement aux directions

rn1 et

rn2.

Calculons la variation δϕ r rn n1 2⋅ = cosϕ , d'où en différentiant cette expression :

( ) ( )δ δ δ ϕ δϕr r r r r rn n n n n n1 2 1 2 1 2⋅ = ⋅ + ⋅ = − sin

Ainsi : δϕ δ δϕ

= − ⋅ + ⋅r r r rn n n n1 2 1 2

sin

Or nous avons vu que δr rn g1 1= et δr r

n g2 2= , d'après (II.3) nous avons alors δ ε εδ ε ε

r r r r

r r r r

n g n n

n g n n

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

= = ⋅ − ⋅

= = ⋅ − ⋅

D'où : ( ) ( ) ( )

1212

1212 2

sin

cos..

sin

2

sin

cosε−

ϕϕε−ε

=εϕ

−ϕ

ϕε+ε=δϕ nn

rr

• Si rn1 et

rn2 sont initialement orthogonaux, ϕ π=

2, on a : δϕ ε= −2 12

ε12 est donc, au signe près, la demi-variation de l'angle ( )r rn n1 2, , ε12 s'appelle aussi le

demi-glissement.

Nota : il en est de même pour ε13 et ε23 relativement aux angles ( )r rn n1 3, et ( )r r

n n2 3, .

9. Quadriques des déformations

Nous avons vu que ε ε= ⋅ ⋅r rn n . Si

rn a pour coordonnées (α,β,γ) dans la base ( )r r r

i j k, , on

obtient :

( )ε ε α ε β ε γ ε γβ ε αγ ε αβ φ α β γ= + + + + + =112

222

332

23 13 122 2 2 , ,

Notons ( )φ α β γ, , l'expression précédente.

Définition : On appelle quadriques des déformations, les quadriques d'équations :


- 22 -

( )φ α β γ, , = ±1 dans le repère ( )O i j k; , ,r r r

.

Le signe ±1 est choisi de manière à ce que les quadriques soient réelles.

Un point M appartenant à ces quadriques est tel :

si OM r n→

= ⋅ r alors : ( )r r2 11⋅ = ± ⇔ =±

φ α β γε

, , = ±1

Si le signe de ±1 est toujours le même, la quadrique est un ellipsoïde de révolution, si il

faut prendre tantôt le signe + tantôt le signe -, on obtient deux hyperboloïdes conjugués.

10. Directions principales

Définition : On appelle directions principales de la transformation en M0 (état initial) les 3 directions

orthogonales qui restent orthogonales après la transformation. Ceci est une condition

nécessaire et suffisante.

Ces directions principales s'obtiennent en diagonalisant la matrice associée au tenseur des

déformations, elles coïncident avec les vecteurs propres de la matrice dans la base où la matrice

est écrite.

Propriété : Les valeurs propres de la matrice associée au tenseur ε sont toujours réelles

car ce tenseur est symétrique par définition. Il existe donc toujours au moins un repère

orthonormé dans lequel la matrice qui lui est associée est diagonale.

εε

εε

=

X

Y

Z

0 0

0 0

0 0

dans la base ( )M X Y Z0; , ,r r r

formée par les trois directions principales.

REMARQUE : les glissements relatifs aux directions principales sont nuls.

• Conséquences :

La particule N au voisinage de M a pour vecteur translation N N0 1

→ de coordonnées

ε ε εX Y ZdX dY dZ, , dans ( )M X Y Z0; , ,r r r

.

Supposons tout d'abord que ε εX Y= = 0 et εZ ≠ 0. On passe alors de N0 à N1 par une

affinité orthogonale de plan (XMY) et de rapport ( )1+ ε Z .


- 23 -

En général, ε ε εX Y, et Z ≠ 0. La déformation pure du domaine élémentaire est donc le

produit de 3 affinités orthogonales de plans (YMZ), (XMZ) et (XMY) et de rapports respectifs ( )1+ ε X , ( )1+ εY et ( )1+ ε Z .

→→→→ Par conséquent, les fibres élémentaires portées par les axes principaux conservent

leurs directions.

→→→→ Les fibres situées dans un plan principal restent dans ce plan.

- Dilatation volumique ou cubique relative

La sphère élémentaire de rayon r, centrée sur M devient après déformation un ellipsoïde

dont les demis-axes sont portés par les directions principales. Ils ont pour longueurs ( )r X⋅ +1 ε ,

( )r Y⋅ +1 ε et ( )r Z⋅ +1 ε , voir figure suivante.

On peut alors calculer la variation relative de volume : eV V

V= −1 0

0

.

V r034

3= π ( )( )( )V r X Y Z1

34

31 1 1= + + +π ε ε ε

or, les déformations principales ε ε εX Y Z, , et sont très petites devant 1 en module

(H.P.P.), d'où :

M

X

Z

YdX

dY

H

N 0

N 1

dXdY

dZ

dXdY

( )1 + ε Z d ZdZ

X

Z

Y( )r Z1 + εMr

( )r X1 + ε

( )r Y1 + ε


- 24 -

( )eV V

VtraceX Y Z= − ≈ + + =1 0

0

ε ε ε ε

REMARQUE :

La trace d'un tenseur du second ordre est un invariant dans tout changement d'axes

orthogonaux.

11. Diagramme de MOHR des déformations

Le but de ce diagramme est de représenter graphiquement l'état de déformation en un point du domaine élémentaire .

Nous avons vu qu'en un point M de , nous pouvons associer à toute fibre élémentaire issue

de M et de vecteur unitaire rn un couple de valeurs ( )ε,g qui sont respectivement la dilatation

linéïque relative dans la direction rn et le glissement associé, ici on suppose g ≥ 0.

Nous nous proposons de chercher le domaine engendré par un point A de coordonnées ( )ε,g lorsque le vecteur unitaire ( )r

n α β γ, , varie dans toutes les directions de l'espace

autour du point matériel M .

D'après les 3 équations déjà vues

ε ε

ε

= ⋅ ⋅

= +=

r r

v

n n

d g

n

2 2 2

2 1

, nous obtenons en développant ces

expressions :

ε α ε β ε γ ε

ε α ε β ε γ εα β γ

X Y Z

X Y Z g

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1

+ + =

+ + = +

+ + =

Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2, , . Si les déformations principales

ε ε εX Y Z, , et sont distinctes deux à deux on obtient :

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

αε ε ε ε

ε ε ε ε

βε ε ε ε

ε ε ε ε

γε ε ε ε

ε ε ε ε

22

22

22

=+ − −

− −

=+ − −

− −

=+ − −

− −

g

g

g

Y Z

X Y X Z

Z X

Y Z Y X

X Y

Z X Z Y

Pour fixer les idées on peut choisir de noter ε ε εX Y Z, , tels que ε ε εX Y Z> > . De plus, par

hypothèse on a α2 0≥ , β2 0≥ , γ 2 0≥ , alors compte-tenu du choix précédent sur l'ordre de

ε ε εX Y Z, , on obtient :


- 25 -

( )( )( )

ε ε ε ε ε εε ε ε ε ε εε ε ε ε ε ε

2 2

2 2

2 2

0

0

0

+ − + + ≥

+ − + + ≤

+ − + + ≥

g

g

g

Y Z Y Z

X Z X Z

X Y X Y

Par conséquent le point A de coordonnées ( )ε,g solutions du système ci-dessus appartient

au domaine non hachuré de la figure suivante, limité par 3 demis-cercles.

De même, à tout point A( )ε,g du domaine de Mohr correspond une valeur du triplet

( )α β γ2 2 2, , soient huit valeurs du triplet ( )α β γ, , , donc huit vecteurs rn deux à deux opposés en

M. Quatre fibres se trouvent donc dans le même état de déformation ( )ε,g .

Nota : Le taux de glissement a pour valeur maximale : g X Zmax = −ε ε

2

Dans le cas où 2 déformations principales sont égales et différentes de la troisième, le

diagramme de Mohr se réduit à un demi-cercle ; si les trois déformations propres sont égales à

e/ 3, il se réduit à un seul point de coordonnées (e/ 3, 0) dans la représentation de Mohr ; l'état

de déformation autour du point matériel considéré est alors isotrope.

L'état non déformé est caractérisé par une dilatation volumique nulle (e=0) c'est-à-dire

ε = =0 0, g .

11.1. Cas particulier PLAN

Plaçons-nous dans le plan principal (XMY) contenant le point M du milieu considéré et cherchons le domaine de Mohr correspondant à toutes les fibres ( )M n,

r du plan principal

(XMY).

ε YΟε Z ε X

εε

g

gA


- 26 -

M

rY

rX

rn

dn

d

r

ϕrg

( )r

rd n

rε ϕ

De façon générale rn

α ϕβ ϕγ

===

cos

sin

0

dans le repère principal ( )M X Y Z; , ,r r r

.

Nous avons vu que le vecteur déformation ( )rrd n de la fibre orientée selon

rn s'exprime de la

façon suivante : ( )r r r rrd n n gn = ⋅ = ⋅ +ε ε , soit dans ( )M X Y Z; , ,

r r r

:

( )d n X Yn

X

Y

Z

X Yr

r r r→= ⋅ =

⋅

= +εε

εε

ϕϕ ε ϕ ε ϕ

0 0

0 0

0 0 0

cos

sin .cos .sin

Or

r rr

r rr

X nn

d

Y nn

d

= −

= +

cos sin

sin cos

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ

d

d

d'où

( ) ( )r rr

rd ndn

dn X YX Y= + − −ε ϕ ε ϕ ε ε ϕ

ϕcos sin sin2 2

22 soit en simplifiant et en factorisant

( ) ( )r r

r

rd ndn

dnX Y X Y X Y= + + −

⋅ + −

−ε ε ε ε ϕ ε ε ϕ

ϕ2 22

22cos sin

En notant g la mesure algébrique de rg sur l'axe de vecteur unitaire

dn

d

r

ϕ on obtient :

( )r r

r

rd n gdn

dn = +εϕ

avec

( )

ε ε ε ε ε ϕ

ε ε ϕ

= + + −

= − −

X Y X Y

X Yg

2 22

22

cos

sin


- 27 -

g

εO ε ε X

−2ϕg

εY

C

( )ε εX Y+2

( )Cercle de rayon r =

ε εX Y−2

A

Ainsi le domaine de Mohr, ensemble des points A( )ε,g représentatifs du point matériel M,

est le cercle de centre Cε εX Y+

20; et de rayon r =

ε εX Y−2

dans le diagramme ( )ε,g .

- L'angle polaire du vecteur CA→

, c'est-à-dire l'angle orienté ε C A∧

, est égal à −2ϕ, où

ϕ désigne l'angle orienté ( )r rX n, .

- La correspondance entre fibres et points A du diagramme de Mohr est bijective.

- Le glissement maximal se produit dans les fibres bissectrices de l'angle XMY∧

.

11.2. Application à l'extensométrie

Expérimentalement on ne sait pas mesurer des contraintes (notion introduite au chapitre

suivant), seules les déformations sont mesurables directement pas les méthodes de

l'extensométrie.

A la surface d'un solide, en un point où aucune sollicitation extérieure n'est appliquée,

le plan tangent à cette surface est plan principal de déformation. Attention, cela ne signifie

pas forcément que la déformation dans la direction normale au plan tangent est nulle.

Nous pouvons donc utiliser la méthode du cercle de Mohr des déformations pour une

direction se déplaçant dans un plan principal.

Il est courant d'utiliser des jauges de déformation (jauges d'extensométrie utilisées en TP) à

résistance électrique variable pour mesurer les déformations. Ces jauges mesurent seulement des

allongements ou des raccourcissements ; elles ne mesurent pas des glissements par rapport à leur

direction longitudinale.


- 28 -

Nous venons de voir qu'en un point M d'un solide la dilatation linéïque dans une direction rn est donnée par :

ε ε ε ε ϕX Y X Y+ + −2 2

2cos (II.4)

Ainsi, si l'on colle sur le solide étudié 3 jauges de déformation, comme indiqué sur la figure

ci-dessous, faisant deux à deux un angle α, nous disposons de trois relations dépendant des deux

déformations principales ε X et εY (que nous recherchons) et de la position ϕ de ces directions

principales par rapport aux trois jauges.

( )

( )

ε ε ε ε ε ϕ

ε ε ε ε ε ϕ α

ε ε ε ε ε ϕ α

aX Y X Y

bX Y X Y

cX Y X Y

= + + −

= + + − +

= + + − +

2 22

2 22

2 22 2

cos

cos

cos

ε X , εY et ϕ sont solutions du système précédent.

Dans la pratique, on utilise des jauges disposées selon les angles remarquables α égaux à

45°, 60° ou 120°, nous allons examiner dans ce cours un exemple de disposition.

Pour tracer le cercle de Mohr des déformations nous avons besoin de connaître son rayon r

et l'abscisse c de son centre C.

Par habitude nous noterons ε X la plus grande des deux déformations principales cherchées,

nous avons alors :

r X Y= −ε ε2

et c X Y= +ε ε2


- 29 -

Exemple : Rosette de 3 jauges à 45°

Dans cette configuration les trois équations générales précédentes deviennent :

ε ε ε ε ε ϕ

ε ε ε ε ε ϕ

ε ε ε ε ε ϕ

aX Y X Y

bX Y X Y

cX Y X Y

= + + −

= + − −

= + − −

2 22

2 22

2 22

cos

sin

cos

On obtient donc c X Y a c= + = +ε ε ε ε2 2

et ( )

( )( ) ( )

ε ε ε ε ϕ ϕ

ε ε ε ε ϕ ϕε ε ε ε

a bX Y

b cX Y

a b b cr− = − +

− = − −

⇒ = − + −22 2

22 2

1

2

2 2cos sin

cos sin

On peut alors d'après εa , εb et εc tracer le cercle de Mohr des déformations et en déduire

ϕ , ε X et εY.


- 30 -

g

εO ε a ε X

−2ϕ

εY

C

( )ε εa c+2

ε bε c

AcAb

Aa

Après avoir placé sur l'axe ε les trois résultats de mesure εa , εb et εc, on positionne le

point C, milieu de [εa , εc]. Puis on trace le cercle de centre C et de rayon r que l'on calcule. Pour déterminer ce rayon on peut aussi remarquer que les distances (Cεb) et (εa Aa) sont égales.

Il n'y a alors qu'une seule solution pour positionner les points Aa, Ab et Ac décalés les uns

par rapport aux autres de -2 x 45° soit -90°. En effet, sur le solide on passe de la jauge Ja à la

jauge Jb par rotation de +45°, donc dans le diagramme de Mohr on passe du point représentatif

Aa au point Ab par rotation de -2 x 45°.

Par mesure ou bien par calcul de l'angle ( )εCAa = -2ϕ on connait l'angle ϕ .

Les déformations principales étant directement les abscisses des points d'intersection de

l'axe Oε avec le cercle de Mohr des déformations.

12. Conditions de compatibilité des déformations

Imaginons un milieu continu (solide par exemple) et découpons le, par la pensée, en petits

éléments au moyen de trois familles de plans parallèles aux trois plans du repère orthonormé

choisi. Si l'on se donne dans le solide un champ de déformations arbitraire, on impose à ces

éléments des déformations arbitraires ; les éléments ainsi déformés ne pourront pas toujours

rester juxtaposés sans laisser de vide entre eux.

Un champ de déformations ne peut donc pas être donné arbitrairement : il doit

satisfaire des conditions de compatibilité pour que la juxtaposition reste assurée afin de

conserver la continuité du milieu.


- 31 -

Nous avons montré que la déformation, entre les états (r0) et (r), d'un domaine élémentaire

de centre M, isolé par la pensée au sein d'un solide, est fonction des coordonnées de M. A

chaque particule M d'un solide on peut associer :

- un vecteur translation M M0 1

→

- un tenseur de déformation ε

- un tenseur rotation Ω (ou son pseudo-vecteur adjoint ω←

)

tels que : grad M M0 1

→= +ε Ω avec

ε = +

= −

→ →

→ →

1

2

1

2

0 1 0 1

0 1 0 1

grad M M grad M M

grad M M grad M M

T

TΩ

Nous examinons ces champs de tenseurs en prenant comme hypothèse que leurs dérivées

partielles existent et sont continues dans le domaine étudié (hypothèse de continuité du chapitre

1).

Compatibilité des déformations

Nous savons que "rot grad A→

= 0" d'où : ( )rot grad M M rot rot rot 0 1 0→

= + = + =ε εΩ Ω (II.5)

Or, ω← →

=←

1

2 0 1rot M M donc divω←

= 0.

Ω = −

→ →1

2 0 1 0 1grad M M grad M MT

⇒ rot rot grad M M rot grad M M grad rot M MTΩ = −

= −

→ → →1

2

1

20 1 0 1 0 1

soit rot gradΩ = −←ω or d'après (II.5) nous avons rot rotΩ = − ε ⇔ rot gradε ω=

←

• Ainsi la condition de compatibilité des déformations (ou d'intégrabilité) est : rot rot ε = 0

Notation : rotT représente le tenseur d'ordre 2 dont la matrice associée a pour vecteurs

colonnes les rotationnnels des vecteurs lignes de T en coordonnées cartésiennes.

Donc, si εε ε εε ε εε ε ε

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

dans la base ( )r r rx x x1 2 3, , orthonormée.

rot

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

ε

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

=

− − −

− − −

− − −

13

2

12

3

23

2

22

3

33

2

32

3

11

3

13

1

21

3

23

1

31

3

33

1

12

1

11

2

22

1

21

2

32

1

31

2


- 32 -

L'équation de compatibilité des déformations rot rot ε = 0 donne 6 équations scalaires.

Exemple : ∂

∂∂ε∂

∂ε∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂x x x x x x2

33

2

32

3 3

23

2

22

3

0−

− −

= , soit 2

232

2 3

233

22

222

32

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂x x x x

= +

Cette équation est l'une des 6 équations de compatibilité suivantes.

22

12

1 2

222

12

211

22

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂x x x x

= +

22

13

1 3

233

12

211

32

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂x x x x

= +

22

23

2 3

233

22

222

32

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂x x x x

= +

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

211

2 3 1

23

1

13

2

12

3x x x x x x= − + +

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

222

1 3 2

23

1

13

2

12

3x x x x x x= − +

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

233

1 2 3

23

1

13

2

12

3x x x x x x= + −

Calcul des déplacements à partir des déformations

Les conditions de compatibilité précédentes sont des conditions nécessaires pour pouvoir

calculer les déplacements u, v, w coordonnées du vecteur déplacement U→

tel que

ε = +

→ →1

2grad U grad UT

Ces fonctions doivent être uniformes dans le domaine étudié. Alors, les conditions de compatibilité sont suffisantes lorque le domaine est simplement connexe, c'est-à-dire tel

qu'une courbe fermée quelconque tracée dans puisse être réduite à zéro (un point) par

déformation continue sans sortir de ( ne doit pas contenir de cavité). Montrons ceci dans le

cas de la déformation plane

Déformation plane :

Cas d'une plaque déformée dans son plan : u(x, y) ; v(x, y)

ε ∂∂11 = u

x ε ∂

∂22 = v

y ε ∂

∂∂∂12

1

2= +

u

y

v

x

Le pseudo-vecteur rotation ω← →

= 1

2rotU a pour coordonnées ω

ω ∂∂

∂∂

ω ∂∂

∂∂

ω ∂∂

∂∂

←

= −

= −

= −

1

2

3

1

2

1

2

1

2

w

y

v

z

u

z

w

x

v

x

u

y


- 33 -

D'où

ε ω ∂∂

ε ω ∂∂

12 3

12 3

− =

+ =

u

y

v

x

On recherche u(x, y) et v(x, y) or : ( )

( )

duu

xdx

u

ydy

dvv

xdx

v

ydy

du dx dy

dv dx dy

= +

= +

⇔= + −

= + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ε ε ωε ω ε11 12 3

12 3 22

Pour pouvoir intégrer ces 2 relations il faut : ∂ε∂

∂ε∂

∂ω∂

11 12 3

y x x= − et

∂ε∂

∂ε∂

∂ω∂

22 12 3

x y y= +

Or dx

dxy

dyω ∂ω∂

∂ω∂3

3 3= + donc dx y

dxx y

dyω ∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂3

12 11 22 12= −

+ −

(II.6)

Cette équation est intégrable si ∂ω∂ ∂

∂ω∂ ∂

3 3

x y y x= c'est-à-dire si la condition suivante de

compatibilité des déformations est vérifiée : 22

122

222

2112

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂x y x y

= +

Supposons cette condition vérifiée, alors on peut intégrer (II.6) le long d'un arc OM.

( )dx y

dxx y

dy

OM OM

ω ω ω ∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂3 3 3 0

12 11 22 12

∩ ∩∫ ∫= − = −

+ −

L'intégrale est indépendante du chemin suivi en raison

- du domaine simplement connexe,

- de la condition de compatibilité des déformations supposée vérifiée.

Nous pouvons maintenant intégrer les équations permettant de calculer u et v.

( ) ( )( )u u dx dy

OM

= + + −∩∫0 11 12 3ε ε ω

( ) ( )( )v v dx dy

OM

= + + +∩∫0 12 3 22ε ω ε

Ces intégrales sont indépendantes du chemin suivi pour les mêmes raisons que

précédemment.

Si le domaine est multiplement connexe (anneau, tore) les conditions de compatibilité

ne sont pas suffisantes. Les intégrales le long de l'arc OM peuvent être différentes selon le type

de connexion utilisée.


- 34 -

Soit n le nombre de connexions entre deux points du domaine. Les intégrales le long de

l'arc OM∩

sont indépendantes du type de connexion si et seulement si elles sont nulles pour (n-1)

cycles ou circuits fermés irréductibles que l'on peut tracer dans le domaine.

Il faut donc ajouter aux conditions de compatibilité précédentes 3(n-1) conditions de

fermeture dans le plan et 6(n-1) conditions dans l'espace à 3 dimensions.

M

O

M

O

n=2 n=3

Distribution des contraintes autour d'un point Chapitre III

- 35 -

Chapitre III : Distribution des contraintes autour d'un point

1. Equilibre d'un milieu continu solide

Soit un domaine solide , de volume V et de frontière S. Les forces extérieures à ce

domaine, isolé par la pensée, sont de deux types :

Les forces de volume (ou de masse) : Elles s'appliquent à toutes les particules du domaine et agissent à distance : forces de

pesanteur, d'inertie par exemple. Nous noterons rf dv la résultante de ces forces pour le volume

élémentaire dv centré au point M.

Les forces de surface (ou de contact) : Elles s'exercent uniquement sur la frontière S de , ce sont des actions de contact : pression

sur un solide immergé, efforts aérodynamiques sur un élément de voilure, etc...

Nous noterons rC ds leur résultante sur l'élément de frontière ds.

Remarques : - désigne, soit un solide dans son ensemble, soit une partie d'un tel solide isolé par la

pensée en son sein.

- Nous remarquerons que seuls ces deux types de forces existent (selon leur mode

d'application). Les forces ponctuelles ou de lignes (appliquées en tous les points d'une courbe) ne

sont obtenues que par modélisation ou schématisation.

Milieu en équilibre

D'après le principe fondamental de la mécanique, le torseur de toutes les forces extérieures appliquées à est nul à chaque instant, en n'omettant pas les forces d'inertie éventuelles, d'où les

deux équations vectorielles suivantes :

r r rC ds f dv

S

∫∫ ∫∫∫+ =D

0 et OM C ds OM f dvS

→ →∧ + ∧ =∫∫ ∫∫∫

r r r

D

0

rC ds

rf dv


- 36 -

La première équation traduit la nullité de la résultante générale, la second la nullité du moment résultant en un point O quelconque (M est le point courant parcourant ).

Nota : Si , domaine isolé par la pensée, est infiniment petit , prenons son diamètre infiniment

petit et le point O à l'extérieur ; dans les formules précédentes les intégrales triples sont des

infiniments petits d'ordre trois, négligeables devant les intégrales doubles, infiniment petits

d'ordre deux. On a alors :

infiniment petit ⇒⇒⇒⇒

r r

r r

C ds

OM C ds

S

D

∫∫

∫∫

=

∧ =

→

0

0

Remarque : Dans les solides électromagnétiques chaque élément de volume peut être

soumis à un couple de volume (couple électromagnétique) en plus de la force rf dv . Ce cas sort

du cadre de ce cours.

2. Notion de vecteur contrainte

Considérons à l'intérieur d'un solide un élément fibre de centre M et soit rn le vecteur

unitaire dirigeant l'axe de cet élément. La section droite ds de centre M sépare la fibre en une

partie amont (I) et une partie aval (II).

Si le solide est chargé ses particules exercent les unes sur les autres des efforts. La partie

(II) exerce donc sur la partie (I) suivant l'élément de surface ds un ensemble de forces dont rC ds

est la résultante.

•••• rC se nomme vecteur contrainte en M relativement à la direction

rn .

La fibre considérée étant en équilibre au sein du solide, la partie (I) exerce sur la partie (II)

une résultante égale à -rC ds .

vn

rσ

rτ

rC

θvn


- 37 -

•••• La projection de rC sur

rn est la contrainte normale à la surface ds on la note

généralement rσ . La mesure algébrique de

rσ est égale à σ σ= ⋅

r rn .

•••• La projection de rC sur le plan contenant ds est la contrainte tangentielle

rτ , encore

appelée contrainte de cisaillement.

Notons θ l'angle entre rn et

rC .

Si θ est aigu, alors σσσσ > 0, la fibre est tendue

Si θ est obtu, alors σσσσ < 0, la fibre est comprimée

θ = 0, τ=0, traction pure

θ = π/2, σσσσ=0, cisaillement pur

θ = π, τ=0, compression pure

Cas particulier important : surface d'un solide

Soit ds un élément de la frontière d'un solide, de centre M et de normale unitaire rn .

Imaginons un élément fibre de section droite finale ds. Alors, le milieu extérieur exerce sur la

facette ds l'effort rC ds éventuellement nul si aucune action ne s'applique en M.

3. Tenseur des contraintes

3.1. Notion de matrice des contraintes

Soient une particule M au sein du solide considéré et un élement fibre de centre M, d'axe

x'x. Plaçons-nous dans un repère orthonormé M x y z; , , de base v v ri j k, , .

rσ

rτx

rC

θ

τxy

τxz

rj

rk

vi


- 38 -

Notons Cx

→ le vecteur contrainte en M relatif à la surface élémentaire ds de normale

r rn i= ,

σ x

→ est la composante de Cx

→ selon

r rn i= , τ x

→ est la composante tangentielle de Cx

→ située dans le

plan (yMz) contenant ds, avec σ σx x i→

= r

.

Nous noterons τ xy et τ xz les composantes du vecteur τ x

→ sur les axes My et Mz.

Alors, σ x , τ xy et τ xz désignent les 3 composantes du vecteur contrainte Cx

→. On définit de

même au point M :

- pour une fibre d'axe y'y, le vecteur contrainte Cy

→ de composantes τ yx , σ y et τ yz selon

les axes respectifs Mx, My et Mz.

- pour une fibre d'axe z'z, le vecteur contrainte Cz

→ de composantes τ zx , τ zy et σ z selon les

axes respectifs Mx, My et Mz.

Ainsi, la matrice

σ τ ττ σ ττ τ σ

x yx zx

xy y zy

xz yz z

formée des coordonnées des vecteurs colonne Cx

→, Cy

→ et

Cz

→ dans la base v v r

i j k, , se nomme matrice des contraintes au point M.

3.2. Tenseur des contraintes

Considérons en un point M du solide les axes Mx, My et Mz définissant un trièdre direct

pourvu de la base v v ri j k, , .

Soit le tétraèdre MABC illustré par la figure suivante. Les points A, B et C sont sur les

parties positives des axes du trièdre et infiniment proches du point M.

Nous appelons rn=α β γ

r r ri j k+ + le vecteur unitaire sortant normal à la face ABC, d'aire ds.

z

y

x

M

A

C

B

rn

−rCy

−rCz

−rCx

rCr

krj

ri


- 39 -

Les facettes MCB, MAC et MAB ont pour normale unitaire extérieure (sortante) les

vecteurs − − −r r ri j k, , et pour aire élémentaires respectives :

ds ds dsyz MCB= = α

ds ds dsxz MAC= = β ds ds dsxy MAB= = γ

Sur chaque facette du tétraèdre s'exercent les forces suivantes :

sur MBC : −→C dsx α

sur MAC : −→C dsy β

sur MAB : −→C dsz γ

L'équilibre du tétraèdre se traduit alors par la relation vectorielle :

C ds C ds C ds C dsx y z

→ → → → →− − − =α β γ 0

soit encore : C C C Cx y z

→ → → → →− − − =α β γ 0 que nous pouvons écrire sous forme matricielle :

[ ]C n→ →

= ⋅

Σ

Les vecteurs C→

et n→

étant indépendants du choix du repère, [ ]Σ est la matrice de

l'opérateur linéaire Σ faisant correspondre C→

à n→

, cet opérateur est appelé tenseur des contraintes au point M. Nous noterons ce tenseur Σ .

C n→ →

= ⋅Σ

Nota : Si Σ est connu en un point M quelconque du solide, alors la relation précédente

permet de calculer le vecteur contrainte dans toutes les fibres d'orientation n→

passant par M.

- Au point M, la contrainte normale σ→

, à la facette élémentaire de normale n→

est :

σ σ→ →

= n avec σ = ⋅ ⋅→ →n nΣ

sous forme matricielle on écrit : [ ]σ =

⋅ ⋅

→ →n n

T

Σ

- Au point M, la contrainte tangentielle τ→

, relative à la facette élémentaire de normale n→

est :

τ σ→ → →

= −C soit

τ σ→ → →

= ⋅ −Σ n n

• Propriété : Symétrie du tenseur des contraintes

Imaginons un parallélépipède élémentaire centré en M dont les côtés ont pour longueur 2a,

2b et 2c parallèlement aux axes Mx, My et Mz.


- 40 -

Ce parallélépipède étant infiniment petit, l'équilibre des moments s'écrit en ne considérant

que les forces de surface : moment selon x : 2 4 2 4 0b ac c abyz zy. . τ τ− = ⇔ τ τyz zy=

moment selon y : 2 4 2 4 0c ba a bczx xz. . τ τ− = ⇔ τ τzx xz=

moment selon z : 2 4 2 4 0a bc b acxy yx. . τ τ− = ⇔ τ τyx xy=

•••• Le tenseur des contraintes en un point est donc symétrique.

4. Réciprocité des contraintes (Relation de Cauchy)

En un point M, soient deux facettes S et S' de normales respectives n→

et n'→

. Les vecteurs

contraintes relatifs à chacune de ces facettes sont respectivement C→

et C'→

tels que : C n→ →

= ⋅Σ et

C n' '→ →

= ⋅Σ .

Si nous notons α i et α i ' les coordonnées respectives de n→

et n'→

dans la base quelconque

e e e1 2 3

→ → →

, , : ( )n

→α α α1 2 3, , et ( )n' ' , ' , '

→α α α1 2 3 , alors :

C n Ci ii

ij j i

→ →⋅ = =∑' ' 'α σ α α

C n Ci ii

ij j i' '→ →

⋅ = =∑ α σ α α ' or σ σij ji= puisque Σ est un tenseur symétrique donc,

C n ij j i ji i j'→ →

⋅ = =σ α α σ α α ' ' d'où :

C n C n→ → → →

⋅ = ⋅' '

• Ceci signifie que la projection du vecteur contrainte, relatif à une première facette, sur la

normale à une seconde facette est égale à la projection du vecteur contrainte relatif à la seconde

facette sur la normale à la première.

z

y

x

M

σ x

σ z

σ y

τ xy

τ xz τ yx

τ yzτ zyτ zx

2a

2b

2c


- 41 -

5. Contraintes principales et directions principale s des contraintes

Le tenseur des contraintes Σ étant symétrique, sa matrice associée est diagonalisable,

ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres orthogonaux.

En tout point M d'un solide, il existe donc au moins un repère orthonormé M X Y Z, , ,r r r

dans lequel la matrice associée au tenseur des contraintes est diagonale.

Σ =

σσ

σ

X

Y

Z

0 0

0 0

0 0

dans le repère M X Y Z, , ,r r r

- Les contraintes σ X , σ Y , σ Z sont appelées contraintes principales, ce sont les valeurs

propres de la matrice associée à Σ .

- Les axes MXr

, MrY et M

rZ sont les axes principaux de Σ encore appelées directions

principales des contraintes.

• Propriété :

Les éléments fibre de centre M, orientés selon les directions principales ne supportent

aucun cisaillement, ils travaillent en traction pure ou en compression pure selon le signe des

contraintes principales. Cette propriété caractérise les directions principales des contraintes

(comme l'absence de glissement caractérise les directions principales des déformations, voir

chapitre II).

6. Ellipsoïde de Lamé des contraintes

L'extrémité du vecteur contrainte C→

relatif à toutes les fibres de centre M décrit un

ellipsoïde d'axes MXr

, MrY et M

rZ (axes principaux des contraintes) dont les demi-axes sont

respectivement |σ X |, |σ Y |, |σ Z |.

Démonstration

Soit ( )n→

α β γ, , la normale unitaire à une facette élémentaire passant par M, ces

coordonnées étant données ici dans le repère principal M X Y Z, , ,r r r

. Alors, si le vecteur

contrainte relatif à la facette orientée par n→

a pour coordonnées ( )C C C CX Y Z

→, , dans le repère

principal.

C n X Y ZX Y Z

→ → → → →= ⋅ = + +Σ α σ β σ γ σ


- 42 -

or, n→

= 1 donc α β γ2 2 2 1+ + = on obtient ainsi,

C C CX

X

Y

Y

Z

Zσ σ σ

+

+

=

2 2 2

1

7. Invariants du tenseur des contraintes

Les invariants du tenseur des contraintes sont les coefficients de l'équation caractéristique ;

( )det Σ − =−

−−

= − + − + =λσ λ σ σ

σ σ λ σσ σ σ λ

λ λ λ1 011 12 13

12 22 23

13 23 33

31

22 3I I I

Ces coefficients sont les suivants.

( )I trace X Y Z ii1 11 22 33= = + + = + + =Σ σ σ σ σ σ σ σ

( )( ) ( ) ( )I trace trace ii ij ij2

2 2 21

2

1

2= −

= −Σ Σ σ σ σ

I X Y X Z Y Z2 11 22 11 33 22 33 232

132

122= + + − − − = + +σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

( )I X Y Z3 = =det Σ σ σ σ

8. Partie sphérique et déviateur des contraintes

On peut toujours écrire : ( )Σ Σ= +1

31trace S

• ( )1

31trace Σ : est la partie sphérique du tenseur des contraintes,

elle a la même trace, que Σ : ( )s trace= Σ .

( )1

31

1

3

0 0

0 0

0 0

11 22 33

11 22 33

11 22 33

trace Σ =+ +

+ ++ +

σ σ σσ σ σ

σ σ σ

nota : 1 représente le tenseur identité.

• S : désigne la partie déviatrice (ou déviatorique) du tenseur des contraintes. On

l'appelle aussi tenseur déviateur des contraintes. La trace de S est nulle.

Z

Y

X

σ YΜ

σ Z

σ X


- 43 -

S a pour valeurs propres : σ X

s−3

, σ Y

s−3

, σ Z

s−3

.

( )( )

( )S =

− −− + −

− − +

2 3

2 3

2 3

11 22 33 12 13

12 11 22 33 23

13 23 11 22 33

σ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σ

- Si S=0 (tenseur déviateur des contraintes nul)

alors ( )

σ = ⋅ ⋅ = ∀→ → →n n

tracenΣ

Σ3

, et τ σ→ → → → →

= ⋅ − = ∀Σ n n n , 0

•••• La partie déviatrice du tenseur des contraintes est donc seule responsable de

l'apparition du cisaillement (cission) et de la différence de σ avec s

3.

•••• Invariants du tenseur déviateur des contraintes Pour les distinguer des invariants de Σ on les note Ji.

( )J trace S1 0= =

( )J trace S s sij ij221

2

1

2= =

9. Tension et cission octoaédrales en un point

Si nous cherchons en un point M d'un solide, toutes les directions n→

telles que la tension

normale soit égale à la contrainte normale sphérique ( )

σ o

trace=

Σ3

nous trouvons les directions

remarquables telles que : n n n12

22

32 1

3+ + = avec ( )n n n n

→

1 2 3, , dans la base principale r r rX Y Z, ,

En effet, dans ce cas ( )σ σ σ σ= ⋅ ⋅ = + + =→ →n n n n n traceX Y ZΣ Σ1

22

232 1

3

Les 8 vecteurs n→

=±±±

1

3

1

1

1

dans la base principale r r rX Y Z, , sont tels que :

( )σ σ= =o

trace Σ3

Ces vecteurs ont pour directions les trissectrices du trièdre formé par les directions

principales des contraintes.

•••• La contrainte normale octaédrique (ou octaédrale) est : ( )

σ o

trace=

Σ3

on la note aussi σ oct


- 44 -

•••• La cission octaédrique (ou octaédrale) τ oct est telle que :

C noct oct oct

→ → →= +σ τ donc ( ) ( )τ σ σ σ σ σ σ σoct oct oct X Y Z X Y ZC

→ →= − = + + − + +

2 22 2 2 2 21

3

1

9

( ) ( ) ( )[ ]τ τ σ σ σ σ σ σoct oct X Y X Z Y Z2

22 2 21

9= = − + − + −

→ , τ oct J= 2

3 2

Cette valeur de τ oct est remarquable car elle est associée aux directions qui font des

angles égaux avec les 3 directions principales.

Nota : rappelons que le signe d'une contrainte de cisaillement (ou cission) n'a pas de sens

physique.

10. Représentation de Mohr

Cette représentation a pour but d'illustrer l'état de contrainte en un point du solide

considéré.

En un point M de ce solide, considérons une fibre élémentaire de direction n→

. A la surface

élémentaire ds passant par M et de normale n→

correspond le vecteur contrainte C n→ →

= ⋅Σ .

Dans le diagramme ( )σ τ, avec τ≥0 (le signe de τ n'a pas de sens physique) on peut

associer à chaque fibre de direction n→

, centrée en M (point du solide), le point A n( )r représentatif

de l'état de contrainte.

Cherchons le domaine engendré par ce point A n( )r quand la direction n

→ prend toutes les

directions possibles de l'espace autour de M.

Nous avons déjà établi les trois relations :

σ

σ τ

= ⋅ ⋅

= +=

→ →n n

C

n

Σr

r

2 2 2

2 1

Si nous notons les coordonnées de la normale unitaire ( )n→

α β γ, , dans la base principale

r r rX Y Z, , nous obtenons :

σ σ α σ β σ γσ α σ β σ γ σ τα β γ

= + +

+ + = +

+ + =

X Y Z

X Y Z

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1

Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2, , .

Si les contraintes principales sont deux à deux distinctes, le système a pour solution :


- 45 -

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

ατ σ σ σ σ

σ σ σ σ

βτ σ σ σ σ

σ σ σ σ

γτ σ σ σ σ

σ σ σ σ

22

22

22

=+ − −

− −

=+ − −

− −

=+ − −

− −

Y Z

X Y X Z

Z X

Y Z Y X

X Y

Z X Z Y

Pour fixer les idées on peut choisir de noter σ σ σX Y Z, , tels que σ σ σX Y Z> > . De plus,

par hypothèse on a α 2 0≥ , β 2 0≥ , γ 2 0≥ , alors compte-tenu du choix précédent sur l'ordre de

σ σ σX Y Z, , on obtient :

( )( )( )

σ τ σ σ σ σ σσ τ σ σ σ σ σσ τ σ σ σ σ σ

2 2

2 2

2 2

0

0

0

+ − + + ≥

+ − + + ≤

+ − + + ≥

Y Z Y Z

X Z X Z

X Y X Y

avec τ τ= ≥ 0

Le point A n( )

r de coordonnées ( )σ τ, dans le plan de Mohr des contraintes appartient donc

au domaine non hachuré de la figure suivante, limité par 3 demi-cercles.

Réciproquement à tout point A n( )r de ce domaine correspond un triplet ( )α β γ2 2 2, , donc 8

valeurs deux à deux opposées de ( )α β γ, , , soient 8 vecteurs unitaires n→

deux à deux opposés

définissant 4 fibres élémentaires de centre M ayant même ( )σ τ, .

Nota : La plus forte contrainte de cisaillement a pour valeur τ σ σmax = −X Z

2

•••• Cas particulier : Etat de cisaillement pur

Soit un point du solide où le tenseur des contraintes Σ dans la base quelconque r r ri j k, , a

pour seules composantes non nulle τ τxy yx= par exemple.

σ Y

Οσ Z σ X

σ

ττ m ax

( )Anr

τ

σ


- 46 -

Alors, les vecteurs contraintes Cx

→ et Cy

→ sont :

C i j k

C i j k

x xy

y xy

→

→

= + +

= + +

0 0

0 0

r r r

r r r

τ

τ

Les fibres dirigées selon ri et

rj sont donc en état de cisaillement pur d'intensité τ xy .

•••• Les contraintes principales sont σ τ σ τ σX xy Y xy Z= = − =; ; 0 .

•••• Les axes principaux MX, MY sont les bissectrices du repère M i j; ,r v

comme

indiqué sur la figure suivante. Le diagramme de Mohr des contraintes correspondant à cet état de

cisaillement pur est le suivant.

11. Cas particulier du diagramme de Mohr dans un pl an principal

En un point M du solide intéressons-nous uniquement aux fibres centrées en M et

appartenant au plan principal XMY par exemple.

Repérons une de ces fibres par sa direction n→

faisant l'angle polaire ϕ par rapport à l'axe

MX.

Appelons τ la mesure algébrique de τ→

sur le vecteur unitaire dn

d

r

ϕ.

De façon générale rn

α ϕβ ϕγ

===

cos

sin

0

dans le repère principal ( )M X Y Z; , ,r r r

.

σ Y σ Z σ X

σ

ττ τ σmax = =yx X

τ yx


- 47 -

Le vecteur contrainte C→

sur la facette de normale unitaire rn s'exprime de la façon

suivante : C n n→ → → →

= ⋅ = ⋅ +Σ σ τ , soit dans ( )M X Y Z; , ,r r r

:

C n X YX

Y

Z

X Y

→ →= ⋅ =

⋅

= +Σσ

σσ

ϕϕ σ ϕ σ ϕ

0 0

0 0

0 0 0

cos

sin .cos .sin r r

Or

r rr

r rr

X nn

d

Y nn

d

= −

= +

cos sin

sin cos

ϕ ϕϕ

ϕ ϕϕ

d

d

d'où

( )C ndn

dX YX Y

→= + − −σ ϕ σ ϕ σ σ ϕ

ϕcos sin sin2 2

22

rr

soit en simplifiant et en factorisant

( )C ndn

dX Y X Y X Y

→= + + −

⋅ + −

−σ σ σ σ ϕ σ σ ϕ

ϕ2 22

22cos sin

rr

or, C ndn

d

→ →= +σ τ

ϕ

r

donc

( )

σ σ σ σ σ ϕ

τ σ σ ϕ

= + + −

= − −

X Y X Y

X Y

2 22

22

cos

sin

L'ensemble des points A n( )r de coordonnées ( )σ τ, décrit donc le cercle :

- de centre ΩΩΩΩ de coordonnées σ σX Y+

20,

- de rayon r = σ σX Y−

2.

La correspondance entre fibres et points A n( )

r est bijective.

•••• Les fibres bissectrices de l'angle XMY sont celles où le cisaillement est le plus grand

et égal à σ σX Y−

2.

rY

rX

rnϕd

ndr

rτ

rC

rσ ϕ


- 48 -

12. Equations générales de l'équilibre local

Compte-tenu de ce que nous venons de voir, nous pouvons associer un tenseur des contraintes Σ à tout point M d'un solide chargé. Nous allons maintenant supposer que toutes les

composantes de ce champ de tenseurs possèdent des dérivées partielles continues. Si désigne un domaine élémentaire, de frontière S, inclus dans le solide considéré,

l'équilibre de ce domaine nous a conduit au début de ce chapitre à l'équation :

r r rC ds f dv

S

∫∫ ∫∫∫+ =D

0 où C n→ →

= ⋅Σ

donc Σ ⋅ + =→

∫∫ ∫∫∫n ds f dvS

r r

D

0

Grâce au théorème d'Ostrogradski nous pouvons transformer l'intégrale double en intégrale

triple d'où :

( )r rf div dv + =∫∫∫ Σ

D

0

Cette équation peut être vérifiée dans tout domaine D d'où l'équation de l'équilibre local :

r rf div + =Σ 0

Notation :

vf représente ici la résultante des forces de volume (cf début de ce chapitre) y

compris les forces d'inertie éventuelles.

τ

σO

σ

σYσ X

Ω

τ −2ϕ

τmax


- 49 -

Rappel :

Théorème d'Ostrogradski : divUdv n U dsV S

→ → →

∫∫∫ ∫∫= ⋅

Remarque :

Dans le cas d'un solide en mouvement par rapport à un repère galiléen, on fait souvent apparaître explicitement l'accélération

rγ du solide par rapport au repère galiléen. Cette équation

devient alors : r rf div + =Σ ρ γ

où ρ désigne la masse volumique du solide au point considéré.

Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV

- 50 -

Chapitre IV : Loi de Comportement : Isotrope, Elast ique, Linéaire

Après avoir étudié indépendamment les notions de déformations et de contraintes, le

présent chapitre a pour but d’étudier les relations liant ces deux champs dans le cas particulier

des matériaux homogènes et isotropes dans leur domaine élastique linéaire. Nous établirons, d’après un ensemble de résultats expérimentaux simples, la loi liant les tenseurs ε et Σ en tout

point M du solide, dite loi de comportement.

Dans tout ce chapitre nous ferons les hypothèses suivantes :

- milieu continu,

- homogène,

- isotrope,

- élastique linéaire,

- Petites Perturbations (petits déplacements et petites déformations).

1. Expérience de traction

Soit une éprouvette d’un matériau solide, homogène, isotrope, ayant une forme

parallélépipédique (voir figure suivante).

Notons X’X la direction longitudinale de ce barreau, Y’Y et Z’Z les deux autres directions

perpendiculaires à la première et axes principaux de la section droite de l’éprouvette. Appelons

Jx, Jy, Jz les jauges collées sur cette éprouvette selon la disposition de la figure ci-dessous.

Notons a0 , b0 les dimensions de la section droite de l’éprouvette en l’absence de chargement et

l0 la distance séparant deux traits délimitant la partie centrale de l’éprouvette où les lignes de

force sont parallèles et le champ des contraintes uniforme.

Nous sollicitons alors cette éprouvette à l’aide d’une machine de traction en lui appliquant

un effort de traction1 selon la direction X’X, d’intensité F lue sur un dynamomètre. Dans la partie

centrale de l’éprouvette (loin des têtes d’amarrage de l’éprouvette) la seule composante non nulle

du tenseur des contraintes est :

σ X

F

S

F

ab= =

Les jauges Jx, Jy et Jz mesurent les dilatations linéïques ε X , εY et ε Z résultant de ce

chargement.

1 On peut aussi imposer à l’éprouvette un allongement ou une déformation, nous en reparlerons en E.D.

X' XrF

a0

b0

l0

X

ZY

Jz

JxJy

Jx

rF


- 51 -

On constate les résultats expérimentaux suivants :

1.) Si la force F croît à partir de zéro, les fibres parallèles à X’X subissent un allongement

relatif ε X

l l

l=

− 0

0

proportionnel à F, donc à la contrainte σ X . On note alors :

ε σX

X

E=

définissant ainsi le coefficient positif E, homogène à une force surfacique et appelé

module d’Young ou module d’élasticité longitudinal du matériau.

Nota : Pour les aciers E ≈ 200 000 MPa (voir tableau en annexe).

Si l’on fait décroître F jusqu’à zéro, le point M( )ε σX X, du diagramme contrainte

déformation revient en O par le même chemin rectiligne : le processus est réversible et il n’y a

pas de déformation résiduelle, c’est le domaine de l’élasticité linéaire.

2.) ε Y

a a

a=

− 0

0

et ε Z

b b

b=

− 0

0

restent égaux entre eux et proportionnels à ε X mais de

signe opposé. On note : ε ε υ εY Z X= = − ⋅

Le coefficient ν s’appelle coefficient de Poisson du matériau, il est sans dimension et se

définit par la relation précédente. Pour les aciers ν ≈ 0,3 (voir tableau en annexe).

3.) Les relations de proportionnnalité précédentes ne sont vérifiées que si l’on ne dépasse pas un certain seuil ReT appelé limite d’élasticité en traction.

Au-delà de cette limite le comportement n’est plus linéaire, les déformations croissent plus

vite que les contraintes, ni élastique (ou réversible) ; si l’on décharge ensuite l’éprouvette, le point M( )ε σX X, décrit un chemin rectiligne jusqu’en M0 sur l’axe des déformations ε X , il y a

donc une déformation résiduelle. En faisant croître σ X au-delà de ReT on atteint la contrainte

de rupture en traction RrT .


- 52 -

4.) En compression, on observe des phénomènes similaires. σ X et ε X sont négatifs et sont proportionnels : σ εX XE= ⋅ .

ε εY Z= (positifs) et ε ε υ εY Z X= = − ⋅ .

Il existe une limite d’élasticité en compression Rec au-delà de laquelle le comportement

n’est plus élastique ni linéaire. Il existe également une contrainte de rupture en compression Rrc .

REMARQUES : a) Les divers paramètres E, ν, ReT , Rec , RrT , Rrc sont caractéristiques du matériau

constitutif de l’éprouvette. b) L’intervalle de variation de σ X entre Rec et ReT se nomme domaine d’élasticité du

matériau. A l’extérieur de ce domaine se trouve le domaine plastique, plus ou moins étendu

selon les matériaux.

c) Dans la zone de mesure, c’est-à-dire loin des zones d’amarrage de l’éprouvette, les

champs de contraintes et déformations sont uniformes et ont mêmes directions principales : X’X,

Y’Y et Z’Z. Pour respecter cela les dimensions de l’éprouvette doivent être conformes à la norme

NF A03-151.

d) Au cours de l’essai de traction et dans le domaine plastique, il se produit une striction

vers le centre de l’éprouvette (étranglement local), la surface S=ab diminue sensiblement sur une

certaine longueur.

NB : quelques valeurs du module d’Young et du coefficient de Poisson pour des matériaux

usuels sont données en annexe (voir à la fin de ce document).

σ X

ε X

RrT

ReT

Rec

Rrc

Compression

Traction

dom

aine

d'é

last

icit

é lin

éair

e

O


- 53 -

e) En traction, le coefficient de dilatation cubique e est positif (augmentation de volume).

eEX Y Z X= + + = − ⋅ε ε ε υ σ1 2

> 0

Nota : pour les aciers eE

X≈ 0 4,σ

.

ATTENTION : Courbe de traction conventionnelle et courbe rationnelle Lorsque l’on réalise un essai de traction monotone classique (à vitesse de déplacement des mors

imposée) on enregistre une courbe représentant la force F en fonction de l’allongement ∆l de

l’éprouvette (Figure ci-dessous).

Courbe de traction conventionnelle

Striction

éprouvette parallélépipédique

Striction

éprouvette cylindrique de révolution

F

∆l0


- 54 -

En réalité la section droite de l’éprouvette n’a pas une aire constante puisqu’elle diminue

sous l’effet Poisson. On définit alors à chaque instant t la contrainte vraie σv comme le rapport de la force F(t) à l’instant t sur l’aire de la section droite à cet instant S(t) : )(/)()(v tStFt =σ .

Comme la déformation se passe à volume constant on a )().(. 00 tltSlS = d’où :

)(1)(

.)(/.)( 0

0

0000 t

S

tll

lStllStS

convε+=

∆+==

La relation entre contrainte vraie et contrainte conventionnelle est donc à chaque

instant :

( )convconvv 1 ε+σ=σ

Pour connaître la relation entre déformation conventionnelle et déformation vraie il faut

revenir à la définition incrémentale de la déformation. Ainsi pour un incrément d’allongement dl

on définit l’incrément de déformation dε par dε=dl/l . En intégrant entre l’instant initial pour

lequel la longueur initiale de référence vaut l0 et l’instant t où la longueur vaut l(t) on obtient :

( ))(1ln)()(

1ln/)( convvraie0

0)()(

vraie

00

ttl

ltlldldt

tl

l

tl

l

ε+=ε⇔

−+==ε=ε ∫∫

La courbe de traction rationnelle est donc toujours croissante comme ci-dessous.

Courbe de traction rationnelle

contrainte vraie

déformation vraie0


- 55 -

2. Loi de Hooke (élasticité linéaire isotrope)

D’après la loi de comportement élastique linéaire obtenue précédemment pour une

structure très simple (parallélépipède rectangle) et un effort uniaxial, déduisons-en la relation générale liant les tenseurs Σ et ε en tout point d’un solide homogène, isotrope, élastique

linéaire quelles que soient sa forme et celle du chargement.

Isolons par la pensée un volume élémentaire de centre M dont les faces sont parallèles aux

directions principales des contraintes MXr

, MYr

, MZr

. Les facettes de ce cube élémentaire sont

donc sollicitées en compression pure ou en traction pure et subissent au cours de la déformation

des translations selon leur normale ; MXr

, MYr

, MZr

sont aussi directions principales des

déformations.

D’après le premier paragraphe de ce chapitre nous savons que si σ X ≠ 0 et σ σY Z= = 0

alors : ε σX

X

E= et ε ε υ σ

Y ZX

E= = − ⋅

Par permutation circulaire des indices on obtient les déformations dues aux contraintes σ X , σ Y , σ Z appliquées séparément.

due à σ X seule due à σ Y seule due à σ Z seule

valeur de ε X σ X

E − ⋅υ σ Y

E − ⋅υ σ Z

E

valeur de ε Y − ⋅υ σ X

E

σ Y

E − ⋅υ σ Z

E

valeur de ε Z − ⋅υ σ X

E − ⋅υ σ Y

E

σ Z

E

Les relations étant linéaires, le cas général s’obtient par superposition des trois états

d’équilibre. On obtient ainsi les relations suivantes :

Μ

rX

rY

rZ

σZ

σY

σ X


- 56 -

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

ε σ υ σ σ

ε σ υ σ σ

ε σ υ σ σ

X X Y Z

Y Y Z X

Z Z X Y

E

E

E

= − +

= − +

= − +

1

1

1

En utilisant la trace de Σ (premier invariant) on obtient,

( )s trace X Y Z= = + + ⇒Σ σ σ σ

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

ε υ σ υ

ε υ σ υ

ε υ σ υ

X X

Y Y

Z Z

Es

Es

Es

= + −

= + −

= + −

11

11

11

Ces relations traduisent dans le repère principal la relation tensorielle suivante également

vraie dans un repère orthonormé quelconque (non principal) :

ε υ υ= + −11

E EsΣ que l’on note aussi ε υ σ υ σ δij ij kk ijE E

= + −1

L’équation tensorielle précédente est équivalente aux six équations scalaires suivantes.

ε υ σ υ

ε υ σ υ

ε υ σ υ

xx xx

yy yy

zz zz

E Es

E Es

E Es

= + −

= + −

= + −

1

1

1

ε υ σ

ε υ σ

ε υ σ

yz yz

xz xz

xy xy

E

E

E

= +

= +

= +

1

1

1

NOTA : Ces relations se vérifient par exemple sur un essai de torsion sur tube cylindrique (voir T.P).

On remarquera la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ :

eE

s= −1 2υ avec ( )e trace= ε et ( )s trace= Σ

D’autre part, si le matériau est isotrope les directions principales de contraintes et de

déformations coïncident. Ce n’est pas le cas pour les matériaux anisotropes (ex : composites

stratifiés), il faut alors prendre des précautions en extensométrie !

La relation tensorielle ε υ υ= + −11

E EsΣ peut s’inverser, on obtient alors :

Σ = +λ µε e1 2 que l’on note aussi σ λ ε δ µεij ij ij= + kk 2

avec : ( )( )λ υυ υ

=+ −

E

1 1 2 et ( )µ

υ= =

+G

E

2 1


- 57 -

• λ et µ sont les coefficients de Lamé du matériau, ils sont homogènes à des forces

surfaciques ; µ est aussi noté G et appelé module de glissement ou de cisaillement.

On peut également exprimer E et ν en fonction des coefficients de Lamé du matériau :

E = ++

µ λ µλ µ

3 2 ( )υ λ

λ µ=

+2

D’après la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ : eE

s= −1 2υ on

obtient ( )s e K e= + =3 2λ µ

• K est le module de compressibilité du matériau, KE=

−1 2υ

- Signes des différents coefficients

E et ν sont positifs donc µ également.

Montrons que ν < 0,5 (cas des matériaux incompressibles) ce qui implique λ > 0. Soit un état de compression hydrostatique, c’est-à-dire : σ σ σX Y Z p= = = − < 0 , (cas d’un

solide plongé dans un liquide), alors − = = −3 0

0

p Ke KV V

V

La variation relative de volume étant strictement négative, le coefficient K est positif d’où

υ < 05, .

Autre écriture de la loi de comportement élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope. La loi de comportement élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope (dite loi de Hooke) s’écrit d’une façon plus générale que vous reverrez en cours de Mécanique des Solides Déformables et pour décrire le comportement de matériaux anisotropes :

ε υ υ= + −11

E EsΣ s’écrit aussi Σ⋅=ε S

où S est un tenseur d’ordre 4 appelé tenseur des souplesses.

Pour un matériau isotrope, S est symétrique (mais pas pour un matériau anisotrope)


- 58 -

σσσσσσ

⋅

υ−υ−

υ−υ−

υ−υ−

=

εεε

εεε

12

13

23

33

22

11

12

13

23

33

22

11

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

.2

.2

.2

G

G

G

EEE

EEE

EEE

, où ( )υ+=µ=

12

EG

La règle suivante de contraction des indices permet d’écrire les tenseurs des contraintes et

des déformations sous la forme de vecteurs colonne :

(11) ↔ 1, (22) ↔ 2, (33) ↔ 3,

(23)=(32) ↔ 4, (13)=(31) ↔ 5, (12)=(21) ↔ 6

Cette règle se résume de la façon suivante : si i=j ↔ i, si i≠j ↔ 9-(i+j).

On écrit alors :

σσσσσσ

⋅

υ−υ−

υ−υ−

υ−υ−

=

εεε

εεε

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

.2

.2

.2

G

G

G

EEE

EEE

EEE

De même on écrit aussi : Σ = +λ µε e1 2 ⇔ ε⋅=Σ C

où C est le tenseur de comportement (d’ordre 4) appelé aussi tenseur des complaisances.

Pour un matériau isotrope, C est symétrique (mais pas pour un matériau anisotrope)

εεε

εεε

⋅

λ+λλλλ+λλλλ+

=

σσσσσσ

12

13

23

33

22

11

12

13

23

33

22

11

.2

.2

.2

00000

00000

00000

0002

0002

0002

G

G

G

G

G

G

avec : ( )( )λ υυ υ

=+ −

E

1 1 2 et ( )µ

υ= =

+G

E

2 1


- 59 -

En tenant compte de la règle de contraction des indices on écrit :

εεε

εεε

⋅

λ+λλλλ+λλλλ+

=

σσσσσσ

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

.2

.2

.2

00000

00000

00000

0002

0002

0002

G

G

G

G

G

G

3. Energie potentielle élastique (ou énergie de déf ormation élastique)

Nous cherchons à calculer le travail fourni au solide pour le déformer c’est-à-dire l’énergie

emmagasinée par le solide lorsqu’il passe d’un état initial à un état final.

Soit un parallélépipéde élémentaire de cotés dX, dY, dZ dont les faces sont parallèles aux

directions principales des contraintes MXr

, MYr

, MZr

.

Evaluons le travail des forces de surface appliquées aux faces du parallélépipède ;

calculons-le dans le repère principal des contraintes.

Dans un premier temps considérons que seule σ X ≠ 0

Dans le domaine élastique, lorsque la force appliquée sur la facette perpendiculaire à l’axe M

rX passe de zéro à la valeur σ X dYdZ, le déplacement de cette facette évolue

proportionnellement à la contrainte et passe de zéro à ε X dX .

Le travail élémentaire associé à la direction rX est alors :

dW dYdZ dX dVX X X X X= ⋅ =1

2

1

2σ ε σ ε

dX

dY

dZ

Μ

rX

rY

rZ σZ

σY

σ X


- 60 -

En raisonnant de même dans les deux autres directions rY et

sZ on obtient,

( )dW

dV X X Y Y Z Z= + +1

2σ ε σ ε σ ε

L’énergie potentielle élastique emmagasinée, par unité de volume, au voisinage du

point M considéré, est donc égale à :

( ) ( )[ ]dW

dVtrace M M= ⋅

1

2Σ ε

Cette énergie se nomme aussi densité volumique d’énergie élastique emmagasinée au

voisinage du point M.

Nota : c’est un scalaire, elle est indépendante du repère choisi !

4. Etats particuliers de contraintes et de déformat ions

Voici à titre de formulaire l’expression de la loi de Hooke pour deux états particuliers de

contraintes et déformations.

4.1. Déformations planes

Un solide subit une déformation plane s’il existe un repère O i j k; , ,r r r

dans lequel le

vecteur déplacement a des composantes de la forme :

M M U

u x y

v x y

w C z0 1

→ →= =

=

( , )

( , )

.

εε εε ε=

xx xy

xy yy

C

0

0

0 0

Σ =

σ σσ σ

σ

xx xy

xy yy

zz

0

0

0 0

( )[ ]( )[ ]

ε υ υ σ υσ υ

ε υ υ σ υσ υ

ε υ σ

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

EC

EC

E

= + − − − ⋅

= + − − − ⋅

= +

11

11

1

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]

συ υ

υ ε υ ε

συ υ

υ ε υ ε

συ υ

υ ε ε υ

συ

ε

xx xx yy

yy yy xx

zz xx yy

xy xy

EC

EC

EC

E

=+ −

− + +

=+ −

− + +

=+ −

+ + −

=+

1 1 21

1 1 21

1 1 21

1

Nota : ( )σ υ σ σzz xx yyEC= + +

4.2. Contraintes planes

Un solide est dit en état de contraintes planes, perpendiculairement à la direction z’z par

exemple, s’il existe un repère O i j k; , ,r r r

lié à ce solide tel que les deux conditions suivantes

soient vérifiées :

- le tenseur des contraintes est de la forme Σ =

σ σσ σ

xx xy

xy yy

0

0

0 0 0


- 61 -

-les composantes σ xx , σ yy , σ xy sont indépendantes de z.

Nota : les fibres parallèles à l’axe z’z sont toutes non contraintes (vecteur contrainte nul).

On a alors : εε εε ε

ε=

xx xy

xy yy

zz

0

0

0 0

[ ][ ][ ]

ε σ υσ

ε σ υσ

ε υ σ σ

ε υ σ

xx xx yy

yy yy xx

zz xx yy

xy xy

E

E

E

E

= −

= −

= − +

= +

1

1

1

[ ][ ]

συ

ε υε

συ

ε υε

συ

ε

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

E

E

E

=−

+

=−

+

=+

1

1

1

2

2

Notons : ( )ε υυ

ε εzz xx yy= −−

+1

Résolution d’un problème d’élasticité Chapitre V

- 62 -

Chapitre V : Résolution d’un problème d’élasticité

Ce chapitre présente les deux grandes méthodes permettant de calculer les tenseurs des

contraintes et des déformations en tout point d’une structure.

1. Présentation du problème d’élastostatique

Hypothèses : Nous supposerons dans la suite de ce chapire que le solide considéré est

élastique linéaire, isotrope et homogène.

A l’état initial le solide n’est pas chargé.

A l’état final le solide est en équilibre.

On connaît :

- la géométrie du solide,

- ses caractéristiques matériau : E, ν (ou λ, µ),

- les conditions aux limites et aux liaisons éventuelles,

- un repère orthonormé lié au solide.

Nous cherchons à déterminer en tout point M(x, y, z) du solide : - le tenseur des déformations ( )ε M

- le tenseur des contraintes ( )Σ M

- le vecteur déplacement U M M→ →

= 0 1

- le pseudo-vecteur rotation ( )ω←

M

De façon générale deux méthodes sont utilisées :

1.) On cherche d’abord à calculer les déplacements puis on en déduit les déformations et les

contraintes (voir synoptique de cette méthode en annexe).

2.) On cherche d’abord à calculer les contraintes puis on en déduit les déformations et les

déplacements (voir synoptique de cette méthode en annexe).

Pour ces deux méthodes nous disposons des équations suivantes (cf. précédents chapitres).

ε = +

→ →1

2grad U grad UT (V.1)

ω→ →

=←

1

2rot U (V.2)

f div→ → →

+ =Σ 0 (V.3)

ε υ υ= + −11

E EsΣ ou Σ = +λ µε e1 2 (V.4)


- 63 -

2. Méthode des déplacements (ou méthode de Lamé et Clapeyron)

Nous choisissons de rechercher les 3 composantes (u, v, w) du vecteur déplacement

U M M→ →

= 0 1 . Grâce aux équations (V.1) à (V.4) nous avons :

ε = +

→ →1

2gradU grad UT ω

→ ← →=

1

2rot U

Σ = ⋅ ⋅ + ⋅ +

→ → →λ µ div U 1 grad U grad UT

D’après l’équation (V.3) traduisant l’équilibre local du matériau et l’expression du tenseur des

contraintes ci-dessus nous obtenons l’équation de Navier.

( )λ µ µ+

+ ⋅ = −

→ → →→

→grad divU U f∆ avec ∆U grad divU rot rotU

→→

→ → →=

−

← ←.

que l’on note aussi : ( )µ λ µ rot rotU grad divU f← ←

− +

=

→ → → →. 2

Ces deux expressions sont équivalentes. En les projetant sur les axes du repère orthonormé

dans lequel nous travaillons on obtient trois équations aux dérivées partielles, indiquées ci-dessous

en coordonnées cartésiennes.

( )

( )

( )

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

∂∂

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

∂∂

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

∂∂

+ + +

+ + +

= −

+ + +

+ + +

= −

+ + +

+ + +

= −

x

u

x

v

y

w

z

u

x

u

y

u

zf

y

u

x

v

y

w

z

v

x

v

y

v

zf

z

u

x

v

y

w

z

w

x

w

y

w

zf

x

y

z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Nota : on remarquera que la dilatation cubique intervient : ∂∂

∂∂

∂∂

u

x

v

y

w

ze+ +

=

Il faut donc intégrer ces 3 équations différentielles pour obtenir les coordonnées (u, v, w) du

vecteur déplacement en tout point du solide. Les différentes constantes d’intégration sont

déterminées d’après les conditions aux limites du problème. Il est nécessaire de vérifier si les

conditions aux limites en contraintes sont respectées pour s’assurer de la validité de la solution

obtenue (voir synoptique en Annexe).

De façon générale ces équations sont difficiles à traiter nous pouvons cependant remarquer les

points suivants.

1.) On obtient la solution générale des équations de Navier en sommant la solution générale

des équations sans second membre (f→ →

= 0) et une solution particulière quelconque des équations

complètes.


- 64 -

2.) Si le vecteur déplacement dérive d’une fonction de déplacement ( )φ x y z, , alors :

ux

= ∂φ∂

vy

= ∂φ∂

wz

= ∂φ∂

ω← → →

=←

=1

20rot U

Alors l’équation vectorielle de Navier s’écrit :

( ) ( )λ µ φ+ + =→ → →

2 0grad f∆ puisque l’on a : ( )grad grad→ →

=

∆ ∆φ φ

Si par ailleurs les forces de volume sont négligeables par rapport aux efforts appliqués au

solide on a :

( ) ( )λ µ φ+ =→ →

2 0grad ∆ d’où ∆φ = constante = e

3.) En dérivant les 3 équations scalaires de Navier respectivement par rapport à x, y, z en

sommant les 3 équations ainsi obtenues on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ µ φ µ ∂∂

∂∂

∂∂

+ + + +

+ =

→∆ ∆ ∆ ∆ ∆

xu

yv

zw div f 0

d’où ( )λ µ µ ∂∂

∂∂

∂∂

+ + ⋅ + +

+ =

→∆ ∆e

u

x

v

y

w

zdiv f 0

( )λ µ+ + =→

2 0∆e div f

Alors, si f→ →

= 0 ou si div f→

= 0 (cas de la pesanteur) on obtient : ∆e = 0

Cette méthode est utilisée dans le cas des tubes épais.

Exemple : Calcul d’un réservoir sphérique sous pression

Considérons un réservoir sphérique (constitué d’un matériau homogène isotrope), voir figure ci-dessous, contenant un gaz à la pression pi et soumis sur sa paroi extérieure à la pression pe .

Nous cherchons le champ des contraintes et celui des déformations en tout point de ce réservoir.

Le problème présente une symétrie de révolution, le champ des déplacements est donc

purement radial (donc irrotationnel).

Re

r

Ripi

pe


- 65 -

Nous négligerons les forces de volume par rapport aux pressions mises en jeu ; l’équation

de Navier se réduit alors à : grad divU→ → →

= 0

En coordonnées sphériques cette équation est équivalente aux trois équations suivantes : d

dr

du

dr

u

r+

=

==

2 0

0 0

0 0

L’intégration de la première équation différentielle donne : uAr B

r= +

3 2

D’où ε rr

du

dr

A B

r= = −

3

23

ε εθθ ϕϕ= = = +u

r

A B

r3 3 ε ε εθ ϕ θϕr r= = = 0

et ( )σ λ µ µrr

A B

r= + −3 2

34

3 ( )σ σ λ µ µθθ ϕϕ= = + +3 2

32

3

A B

r σ σ σθ ϕ θϕr r= = = 0

Les conditions aux limites sont : ( )σ rr i ir R p= = − et ( )σ rr e er R p= = − d’où

( )( )Ap R p R

R Ri i e e

e i

=−

+ −3

3 2

3 3

3 3λ µ et

( )( )B

p p R R

R R

i e i e

e i

=−

−

3 3

3 34µ

Nota : le cas particulier où iRe<< est intéressant à discuter (voir E.D.).

3. Méthode des contraintes (ou des conditions de co mpatibilité)

Dans un premier temps, nous cherchons les six composantes du tenseur des contraintes.

Dans le chapitre II nous avons établit la condition de compatibilité des déformations : rot rot. ε = 0

En utilisant la loi de Hooke cette condition s’écrit : ( )[ ]rot rot s. . .1 1 0+ − =υ υΣ

Les deux relations suivantes d’analyse vectorielle

rot rot grad div grad div grad grad sT. Σ Σ Σ ∆Σ=

+

−

−

→ → →

( )rot rot s grad grad s s. . ( ).1 1= −

−

→∆

permettent de transformer la condition de compatibilité précédente ; on obtient :

grad div grad div grad grad s sT→ → →

+

− −

+

+

+=Σ Σ ∆Σ ∆1

1 11 0

υυ

υ( ).

Par ailleurs, l’équation de l’équilibre local permet d’écrire : div fΣ→ →

= − d’où

grad f grad f grad grad s sT→ → →

+ + ++

−

+=∆Σ ∆1

1 11 0

υυ

υ( ).


- 66 -

Or, si l’on calcule la trace de cette expression tensorielle on obtient

21

1

3

10

1

1.div f s s s s div f

→ →+ +

+−

+= ⇔ = − +

−∆ ∆ ∆ ∆

υυυ

υυ

(V.5)

D’où les équations de compatibilité de Beltrami :

∆Σ ++

= − − −

−

→ → → →1

1 11

υυ

υ grad grad s grad f grad f div fT .

div fΣ→ →

= −

En projection sur les axes du repère cartésien orthonormé ces équations donnent :

(V.6)

∆

∆

∆

∆

∆

∆

συ

∂∂

∂∂

υυ

συ

∂∂

∂∂

υυ

συ

∂∂

∂∂

υυ

συ

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

συ

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

συ

∂∂ ∂

∂∂

∂

xxx

yy

y

zzz

yz

y z

xzx z

xyx

s

x

f

xdiv f

s

y

f

ydiv f

s

z

f

zdiv f

s

y z

f

z

f

y

s

x z

f

z

f

x

s

x y

f

y

f

++

= − −−

++

= − −−

++

= − −−

++

= − −

++

= − −

++

= − −

→

→

→

1

12

1

1

12

1

1

12

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

x∂

(V.7)

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

xx xy xzx

xy yy yzy

xz yz zzz

x y zf

x y zf

x y zf

+ + = −

+ + = −

+ + = −

Remarque : Dans les calculs précédents on a supposé que les conditions de compatibilités des déformations se réduisaient à rot rot. ε = 0 ce qui revient à supposer que le domaine solide est

simplement connexe (cf chapitre II) ; dans le cas contraire il faut ajouter les conditions de fermeture,

il faut alors calculer les déplacements et la méthode perd en partie son intérêt.

Nous remarquerons également que la solution générale des équations de Beltrami peut être

obtenue par superposition de la solution générale du sytème sans second membre (f→ →

= 0) et d’une

solution particulière quelconque du système complet.


- 67 -

Le champ de contraintes solution doit bien entendu vérifier les équations de Beltrami

(compatibilité et équilibre local) mais aussi les conditions aux limites imposées au vecteur

contrainte sur la frontière du solide (voir synoptique en Annexe).

En général pour des problèmes tridimensionnels la méthode des contraintes est plus lourde

que celle des déplacements ; dans des problèmes bidimensionnels les deux méthodes sont

équivalentes.

4. Cas des problèmes plans


Ce cas se rencontre sur certaines plaques soumises à des efforts parallèles au plan moyen,

noté ici xOy, et constantes dans l’épaisseur. Les tenseurs contraintes et déformations sont du

type :

Σ =

σ σσ σ

xx xy

xy yy

0

0

0 0 0

εε εε ε

ε=

xx xy

xy yy

zz

0

0

0 0

D’après les équations de l’équilibre local on en déduit que la résultante des forces de volume

est nécessairement parallèle au plan xOy et indépendante de z, f z = 0 et ( )f f x y→ →

= , .

- L'équation (V.5) et la troisième équation de Beltrami (V.6) impliquent div f→

= 0 d’où

∆s= 0

- Le champ des déplacements s’obtient en intégrant ε = +

→ →1

2gradU grad UT il est de la

forme M M U

u x y z u x y az

v x y z v x y bz

w x y z z ax by c0 1

2

2→ →

= =

= −

= −= + +

( , , ) ( , ) ² /

( , , ) ( , ) ² /

( , , ) .( )

4.1.1. Méthode des déplacements

On a donc div Uu

x

v

yax by c

→= + + + +∂

∂∂∂

( )

Les 3 équations de Navier se réduisent aux équations suivantes (la troisième est toujours

vraie).

( )

( )

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

λ

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

λ

+ +

+ +

= − −

+ +

+ +

= − −

x

u

x

v

y

u

x

u

ya f

y

u

x

v

y

v

x

v

yb f

x

x

2

2

2

2

2

2

2

2


- 68 -

4.1.2. Méthode des forces

Les équations de Beltrami sont équivalentes au système suivant :

( )

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

σ σ

xx xyx

xy yyy

xx yy

x yf

x yf

+ + =

+ + =

+ =

0

0

0∆

•••• Méthode d’Airy (variante de la méthode des forces)

Dans les cas (fréquents) où la résultante des forces de volume dérive d’une fonction V,

f gradV→

=→

, on peut ramener l’intégration des équations à la détermination d’un fonction unique

( )φ x y, .

On pose σ ∂ φ∂xxy

V= −2

2 σ ∂ φ

∂yyx

V= −2

2 σ ∂ φ

∂ ∂xy x y= −

2

Les deux premières équations du système précédent sont identiquement vérifiées.

( ) ( )∆ ∆ ∆σ σ φ ∂ φ∂

∂ φ∂

∂ φ∂ ∂xx yy x y x y

+ = ⇔ = =0 04

4

4

4

4

2 2 + + 2

La fonction φφφφ solution d’une équation biharmonique se nomme fonction d’Airy .


Les états de déformations planes sont généralement rencontrés pour des solides longs,

cylindriques ou prismatiques sollicités par des forces de volume ou de surface perpendiculaires

à la direction de la génératrice (notée ici Oz) et indépendantes de la coordonnée z. Contraintes,

déformations et rotations sont indépendantes de z ; le déplacement selon cet axe est donné : w=Cz.

M M U

u x y

v x y

w C z0 1

→ →= =

=

( , )

( , )

.

εε εε ε=

xx xy

xy yy

C

0

0

0 0

Σ =

σ σσ σ

σ

xx xy

xy yy

zz

0

0

0 0

Ainsi, d’après l’équation de l’équilibre local on en déduit que f→

est perpendiculaire à Oz et

indépendante de z.

D’après les trois premières équations (V.6) on obtient : ∆s div f= − +−

→1

1

υυ

Et la troisième équation (V.6) donne ( )∆ σ συxx yy div f+ = −

−

→1

1


- 69 -

4.2.1. Méthode des déplacements

On a div Uu

x

v

yC

→= + +∂

∂∂∂

Les 3 équations de Navier se réduisent aux équations suivantes (la troisième est toujours

vraie).

( )

( )

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

λ µ ∂∂

∂∂

∂∂

µ ∂∂

∂∂

+ +

+ +

= −

+ +

+ +

= −

x

u

x

v

y

u

x

u

yf

y

u

x

v

y

v

x

v

yf

x

y

2

2

2

2

2

2

2

2

4.2.2. Méthodes des forces

Les équations de Beltrami sont équivalentes au système suivant :

( )

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

σ συ

xx xyx

xy yyy

xx yy

x yf

x yf

div f

+ + =

+ + =

+ +−

→=

0

0

1

10∆

•••• Méthode d’Airy (variante de la méthode des forces)

Si f gradV→

=→

, on peut poser σ ∂ φ∂xx y

V= −2

2 σ ∂ φ

∂yy xV= −

2

2 σ ∂ φ

∂ ∂xy x y= −

2

Les deux premières équations du système ci-dessus sont identiquement vérifiées.

( )∆ ∆ ∆φ υυ

= −−

1 2

1 V

Quelques états de contraintes et déformations particuliers Chapitre VI

- 70 -

Chapitre VI : Quelques états de contraintes et défo rmations particuliers

1. Problèmes axisymétriques méridiens

Un problème est dit axisymétrique méridien lorsque le solide, le chargement et les forces

de liaison admettent un axe de révolution, appelons-le Oz, il faut de plus que toutes ces forces

soient méridiennes, c’est-à-dire qu’elles n’aient pas de composante circonférentielle.

Exemple : Tube cylindrique de révolution sous pression, traité en E.D.

Pour traiter ce type de problème les coordonnées cylindriques ( )r z, ,θ dans la base

e e er z

→ → →

, ,θ orthonormée directe sont les plus appropriées.

D’après la symétrie de révolution, tous les paramètres sont indépendants de θθθθ.

On a donc :

( )

( )

rU u v w

u r z

w r ze e er z

( , , )

,

,, ,

=

→ → →

0

θ

ω ∂∂

∂∂

θ

←

= −

→ → →

0

1

2

0

u

z

w

r

e e er z, ,

Σ =

→ → →

σ σσ

σ σθθ

θ

rr rz

rz zz e e er z

0

0 0

0, ,

εε ε

εε ε

θθ

θ

=

→ → →

rr rz

rz zz e e er z

0

0 0

0, ,

Avec : ε ∂∂rr

u

r= ε θθ = u

r ε ∂

∂zz

w

z= ε ∂

∂∂∂rz

u

z

w

r= +

1

2

- Equations de Navier (méthode des déplacements) : projetées sur e er z

→ →

,

( )

( )

µ −

− + µ =

µ −

+ µ −

− + µ =

∂∂

∂∂

∂∂

λ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

λ ∂∂

z

w

r

u

z

e

rf

r

u

z

w

r r

u

z

w

r

e

zf

r

z

2

2

avec e trace= ( )ε


- 71 -

- Equations de Beltrami (méthode des contraintes) :

Nota : Seules les équations différentes de “ 0=0 ” sont données ci-dessous.

( )

( )

fr r z

fr r z

f

rf

r

s

r

rf f

r r

s

r

f

zf

s

z

f

r

f

z r

s

r

rrr rr rz

zrz rz zz

rrr rr

r rr

zzz

z rrz rz

+ + − + =

+ + + =

+−

→+ − − +

+=

+−

→+ + − +

+=

+−

→+ +

+=

+ + − ++

∂σ∂

σ σ ∂σ∂

∂σ∂

σ ∂σ∂

∂∂

υυ

σ σ συ

∂∂

υυ

σ σ συ

∂∂

∂∂

υυ

συ

∂∂

∂∂

∂∂

σ συ

∂∂

θθ

θθ

θθ θθ

0

0

21

2 1

10

2

1

2 1

1

10

21

1

10

1 1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

div

div

div

∆

∆

∆

∆∂z

=

0

avec ( )s trace= Σ ∆s f= − +−

→1

1

υυ

div et div( )ff

r

f

r

f

zr r z

→= +

∂∂

∂∂

+

2. Problèmes plans en coordonnées cylindriques

Remarque : Au chapitre V nous avons vu les diverses équations utilisées pour résoudre des

problèmes d’élasticité plane en coordonnées cartésiennes, nous donnons ci-dessous ces équations

en coordonnées cylindriques dans la base orthonormée directe e e er z

→ → →

, ,θ .

Nous noterons

( )( )( )

rU u v w

u r z

v r z

w r ze e er z

( , , )

, ,

, ,

, ,, ,

=

→ → →

θθθ

θ

le vecteur déplacement.


Rappelons qu’il s’agit du cas de certaines plaques soumises à des forces parallèles au plan moyen (noté ici ( )r r

e O er , , θ ) et constantes dans l’épaisseur (cf chapitre V, § 4.1.). L’axe ( )O ez,r

est pris normal à la plaque, ( )O er,r

et ( )O e,r

θ sont dans le plan moyen.

- Equations de Navier (méthode des déplacements) : projetées sur e er

→ →

, θ

( )

( )

fe

ru

u

r r

v

fr

ev

v

r r

u

r + + µ + µ − −

=

+ + µ + µ − +

=

λ ∂∂

∂∂θ

λ ∂∂θ

∂∂θθ

∆

∆

2 2

2 2

20

1 20

avec e trace Uu

r

u

r r

v w

z= =

→= + + +( ) divε ∂

∂∂∂θ

∂∂

1 et ∆ = ∂

∂∂

∂θ∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

1

r r r r z+

1+ +

2


- 72 -



( )

fr r r

fr r r

rrr r rr

rr

rr

+ + +−

=

+ + + =

+ =

∂σ∂

∂σ∂θ

σ σ

∂σ∂

∂σ∂θ

σ

σ σ

θ θθ

θθ θθ

θ

θθ

10

1 20

0∆

- Fonction d’Airy :

σ ∂φ∂

∂ φ∂θ

σ ∂ φ∂

σ ∂∂

∂φ∂θ

θθ

θ

rr

r

r r rV

rV

r r

= + −

= −

= −

1 1

1

2

2

2

2

2 si f

fV

r

fr

V

r→ =

=

∂∂∂∂θθ

1


Rappelons que l’état de déformations planes se rencontre généralement dans des solides

longs, cylindriques ou prismatiques, soumis à des forces de surface et de volume perpendiculaires à l’axe ( )O ez,

r, direction des génératrices, et indépendantes de la cote z.

Contraintes, déformations et rotations sont indépendantes de z ; le déplacement selon cet

axe est donné : w=C.z, C=Cte (cf chapitre V, § 4.2.).

Exemple : Cas du tube sous pression, traité en E.D.

- Equations de Navier (méthode des déplacements) : projetées sur e er

→ →

, θ

Identiques au cas des contraintes planes.

( )

( )

fe

ru

u

r r

v

fr

ev

v

r r

u

r + + µ + µ − −

=

+ + µ + µ − +

=

λ ∂∂

∂∂θ

λ ∂∂θ

∂∂θθ

∆

∆

2 2

2 2

20

1 20

avec e trace Uu

r

u

r r

vC= =

→= + + +( ) divε ∂

∂∂∂θ

1 et ∆ = ∂

∂∂

∂θ∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

1

r r r r z+

1+ +

2


- 73 -



( )

fr r r

fr r r

f

rrr r rr

rr

rr

+ + +−

=

+ + + =

+ +−

→=

∂σ∂

∂σ∂θ

σ σ

∂σ∂

∂σ∂θ

σ

σ συ

θ θθ

θθ θθ

θ

θθ

10

1 20

1

10∆ div

avec div ff

r rf

r

frr

→= + +

∂∂

∂∂θ

θ1 1

- Fonction d’Airy :

Identique au cas des contraintes planes.

σ ∂φ∂

∂ φ∂θ

σ ∂ φ∂

σ ∂∂

∂φ∂θ

θθ

θ

rr

r

r r rV

rV

r r

= + −

= −

= −

1 1

1

2

2

2

2

2 si f

fV

r

fr

V

r→ =

=

∂∂∂∂θθ

1

Méthodes énergétiques Chapitre VII

- 74 -

Chapitre VII : Méthodes énergétiques

1. Energie de déformation élastique

1.1. Hypothèses

Soit un solide déformable soumis à des forces extérieures qui le font passer d’un état initial

non chargé (0) à un état final (1). Nous supposerons dans la suite de ce chapitre :

- que le solide est parfaitement élastique (le frottement interne sera négligé), et qu'il le

reste (en aucun de ses points la limite d’élasticité n’est dépassée),

- que les déformations sont petites, proportionnelles aux efforts et déterminées par ceux-

ci,

- que les efforts appliqués évoluent linéairement en fonction du temps et sans échange de

chaleur avec l’extérieur,

- que les frottements dans les appuis sont négligeables,

- que l’énergie cinétique du solide est constamment nulle,

- que le solide est immobile dans son ensemble grâce aux appuis : le travail des actions de

contact est nul.

D’après le 1er principe de la thermodynamique on obtient : W Q E UFext c+ = +∆ ∆

où : Q : quantité de chaleur fournie au solide WFext : travail des forces extérieures au solide

∆Ec : variation d’énergie cinétique

∆U : variation d’énergie interne

D’après les hypothèses précédentes nous avons ici : Q = 0 et ∆Ec = 0 d’où :

W UFext = ∆

Appliquons alors le théorème de l’énergie cinétique : ∆E W Wc Fext F= + int (VII.1)

où : WF int = travail des forces intérieures au solide

Ici ∆Ec = 0 donc W WFext F= − int d’après (VIII.1) on a donc : ∆U WF= − int

Le solide passe de l’état initial (naturel, non chargé) à l’état final de manière réversible.

L’énergie interne est une fonction de l’état du système, elle ne dépend pas des états

intermédiaires.

L’accroissement de cette énergie interne est égal à l’énergie de déformation élastique ou

potentiel élastique.


- 75 -

1.2. Energie de déformation élastique par unité de volume

Dans le chapitre IV (§ 3) nous avons calculé l’énergie potentielle élastique par unité de

volume (ou de déformation élastique par unité de volume) emmagasinée par le solide lorsqu’il

passe de l’état initial à l’état final. En tout point M du solide nous avons obtenu l’expression :

( ) ( )( )dW

dVtrace M M= ⋅1

2Σ ε

Nota : Les tenseurs des contraintes et des déformations sont liés par la loi de comportement

élastique du matériau.

Rappelons que cette densité volumique d’énergie est indépendante du repère dans lequel on

calcule les tenseurs des contraintes et des déformations.

On peut décomposer la densité volumique d’énergie de déformation élastique en une partie

engendrant uniquement une variation de volume et une partie engendrant uniquement un

changement de forme.

En effet, on peut toujours écrire (chapitre III, § 8) :

( ) ( )( )Σ ΣM trace M SI

S= ⋅ + = ⋅ +1

31

311

où : I 1 représente le premier invariant du tenseur des contraintes

S désigne le tenseur déviateur des contraintes, tel que ( )trace S = 0

La déformation ε ' engendrée par S est égale à : ( )ε υ υ υ'= + − ⋅ = +1

11

ES

Etrace S

ES

La dilatation volumique associée e’ est nulle puisque ( )trace S = 0 . La déformation

engendrée par le tenseur déviateur des contraintes se fait donc sans changement de volume,

il n’y a qu’un changement de forme. La densité volumique d’énergie de déformation élastique

engendrant ce changement de forme est :

( ) ( )dW

dVtrace S

Etrace S S

dW

dV EJForme Forme= ⋅ = + ⋅ ⇔ = + ⋅1

212

12ε υ υ

'

où ( )J trace S S2

1

2= ⋅ = second invariant du tenseur déviateur des contraintes.

La partie sphérique du tenseur des contraintes, c’est-à-dire I1

31⋅ correspond à un état de

traction (ou de compression) équi-triaxiale (pression hydrostatique). Elle n’engendre qu’une

variation de volume : eE

I= −1 21

υ.

La densité volumique d’énergie élastique de déformation nécessaire pour ce changement de

volume est :

dW

dV Etrace

I dW

dV EIVolume Volume= − ⋅

⇔ = −1 2

2 31

1 26

12

12υ υ

Nous pouvons donc écrire :


- 76 -

dW

dV

dW

dV

dW

dV EI

EJVolume Forme= + = − + + ⋅1 2

61

12

2

υ υ

On peut également donner cette expression en fonction de la contrainte normale octaédrale σ oct et de la cission octaédrale τ oct .

σ oct

I= 1

3 et τ oct J2

2

2

3= d’où

( ) ( )dW

dV E Eoct oct=−

++

⋅3 1 2

2

3 1

22 2υ

συ

τ

Exemples : - Traction (ou compression) équi-triaxiale

Σ =

σσ

σ

0 0

0 0

0 0

d’où ( )dW

dV E

dW

dVVolume= − =3 1 2

22υ σ

- Cisaillement simple

Σ =

0 0

0 0

0 0 0

ττ d’où

dW

dV E

dW

dVForme= + =1 2υ τ

1.3. Théorème de Clapeyron

Supposons que les forces appliquées sur le solide soient des forces concentrées et que le

solide soit ainsi en équilibre. Notons U j

→ le déplacement du point M j soumis à la force F j

→

appliquée en ce point.

Mn

M jM i

rFj

rFi

rFn

Supposons également qu’à tout instant les forces soient proportionnelles à leur valeur

finale F j

→ dans un rapport λ variant entre 0 (état initial non chargé) et 1 (état final).

Pour un accroissement dλ du paramètre λ les forces λ.Fj

→ engendrent un déplacement

élémentaire : d M U dj j

→=

→. λ

d’où le travail élémentaire de ces forces d F U dj jj

n

ϖ λ λ=→ →

=∑ . .

1

λvariant entre 0 et 1 on obtient : ϖ λ λ=→ →

=∑∫ . .d F Uj jj

n

10

1

ϖ =→ →

=∑

1

2 1

F Uj jj

n

.


- 77 -

Cette formule dite de Clapeyron permet souvent de calculer rapidement le potentiel

élastique d’un système, c'est-à-dire son énergie de déformation élastique.

1.4. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti

Considérons deux systèmes de forces (F) et (F') qui assurent tous deux l'équilibre d'un

même solide élastique. Nous noterons U j

→ et U j '

→ les déplacements respectifs engendrés par (F) et

par (F').

En appliquant le théorème de Clapeyron nous pouvons calculer le potentiel élastique du

solide considéré soumis aux deux systèmes de forces :

ϖ F j jj

n

F U=→ →

=∑

12 1

. ϖ F j jj

n

F U ' =→ →

=∑

1

2 1

'. '

Imaginons qu'après avoir appliqué le système de forces (F) au solide on ajoute au solide

chargé ainsi en équilibre, une partie du système de forces (F') que l'on va noter (λ.F').

L'effort en un point M j du solide est alors : F Fj j

→ →+ λ '

Le déplacement en ce même point est : U Uj j

→ →+ λ. '

Alors le travail des forces appliquées au solide entre l'état (λF') et l'état [(λ+dλ)F'] est :

F F U d F U d F U dj j jj

n

j jj

n

j jj

n→ → →

=

→ →

=

→ →

=

+

= +∑ ∑ ∑λ λ λ λ λ. ' ' . ' ' . ' .

1 1 1

En intégrant cette relation pour λ variant entre 0 et 1 on obtient : ϖ ϖ ϖF F F F j jj

n

F U+

→ →

== + +∑ ' ' . '

1

Or l'énergie de déformation élastique par unité de volume est indépendante de l'ordre

d'application des charges on peut donc écrire également : ϖ ϖ ϖF F F F j jj

n

F U+

→ →

== + +∑ ' ' '.

1

En comparant les deux relations précédentes on obtient le théorème suivant :

•••• Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti : F U F Uj jj

n

j jj

n→ →

=

→ →

=∑ ∑=. ' '.

1 1

Pour deux états d'équilibre d'un même solide élastique, le travail d'un système de forces (F)

dans les déplacements correspondants à un autre système de forces (F') est égal au travail de (F')

dans les déplacements correspondants à (F).

2. Théorème des Travaux virtuels, des Puissances vi rtuelles et leurs applications

2.1. Définitions

Conditions aux limites

Soit un solide (S) de volume V, limité par une surface (Ω), en équilibre par rapport à un

repère R sous l'effet de forces de volume f→

par unité de masse et de forces de surface T→

par

unité de surface. On distingue deux types de conditions aux limites sur ce solide :


- 78 -

- Conditions aux limites cinématiques

Sur une partie ΩD de Ω sont imposés des déplacements notés U→

.

- Conditions aux limites statiques Sur la partie complémentaire ΩC de ΩD (ΩC + ΩD = Ω, ΩC ⊂ Ω et ΩC ∩ ΩD = ∅) sont

imposées des contraintes (forces de surface T→

).

- Champ de déplacement cinématiquement admissible

On appelle champ de déplacement cinématiquement admissible tout champ respectant la

continuité du solide et les conditions aux limites cinématiques.

- Champ de contraintes statiquement admissible

On appelle champ de contraintes statiquement admissible tout champ de contraintes

continûment dérivable vérifiant les équations d'équilibre et les conditions aux limites statiques.

2.2. Etude des champs de déplacements virtuels ciné matiquement admissibles

Soit un champ de déplacements virtuels U u i v j w k→

= + +* *. *. *.r r r

cinématiquement

admissible. Notons f f i f j f kx y z

→= + +. . .

r r r et T T i T j T kx y z

→= + +. . .

r r r

Le travail virtuel des forces extérieures (de volume f→

et de surface T→

) est :

W f U dv T U dV

* . . *. . *.= +→ → → →

∫∫∫ ∫∫ρ ΩΩ

Or, par définition T n→ →

= Σ. ⇔

T

T

T

x xx xy xz

y xy yy yz

z xz yz zz

= + += + += + +

ασ βσ γσασ βσ γσασ βσ γσ

où ( )n→

α β γ, , donc

( ) ( ) ( )[ ]T U d u v w u v w u v w dxx xy xz xy yy yz xz yz zz

→ →

∫∫ ∫∫= + + + + + + + +. * * * * * * * * * *Ω ΩΩ Ω

σ σ σ α σ σ σ β σ σ σ γ

Si u*, v*, w* et σ ij sont continus et dérivables alors on peut transformer l'intégrale de

surface sur Ω en intégrale de volume sur V à l'aide de la formule d'Ostrogradsky.

Pour simplifier les notations, notons I l'intégrale : I T U d=→ →

∫∫ . * ΩΩ

soit W f U dv IV

* . . *.= +→ →

∫∫∫ ρ

( ) ( ) ( )Ix

u v wy

u v wz

u v w dvxx xy xz xy yy zz xz yz zz

V

= + + + + + + + +

∫∫∫

∂∂

σ σ σ ∂∂

σ σ σ ∂∂

σ σ σ* * * * * * * * *


- 79 -

d'où Ix y z

ux y z

vx y z

wxx xy xz xy yy yz xz yz zz

V

= + +

+ + +

+ + +

∫∫∫

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

* * *

+ + + + +

+ +

+ +

σ ∂

∂σ ∂

∂σ ∂

∂σ ∂

∂∂∂

σ ∂∂

∂∂

σ ∂∂

∂∂xx yy zz xy xz yz

u

x

v

y

w

z

u

y

v

x

u

z

w

x

v

z

w

ydv

* * * * * * * * *

Or les équations de l'équilibre local f div→ → →

+ =

Σ 0 sont équivalentes à :

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

ρ

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

ρ

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

ρ

xx xy xzx

xy yy yzy

xz yz zzz

x y zf

x y zf

x y zf

+ + + =

+ + + =

+ + + =

.

.

.

0

0

0

En posant : ε ∂∂

∂∂ij

i

j

j

i

u

x

u

x*

* *= +

1

2 tenseur des déformations virtuelles

associées au champ U→

* , on obtient après simplification :

( ) ( )ρ σ εf u f v f w dv T u T v T w d dvx y z

V

x y z ij ij

V

. * . * . * . * . * . * *+ + + + + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ΩΩ

soit ρ σ ε. . * . * *f U dv T U d dvV

ij ij

V

→ → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ =ΩΩ

•••• Théorème des travaux virtuels

Pour un solide déformable en équilibre, le travail de déformation est égal à la somme des

travaux virtuels des forces de volume et de surface dans tout champ de déplacements

cinématiquement admissible.

Ecrivons ce théorème avec le champ de déplacement réel U→

:

ρ σ ε. . .f U dv T U d dvV

ij ij

V

→ → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ =ΩΩ

(VII.2)

On remarque que le membre de droite de cette égalité représente le double de l'énergie de

déformation élastique ; d'où le théorème suivant.

•••• Théorème (dit du travail)

Si dans un système élastique (S) en équilibre sous l'action d'un système (F) de forces

extérieures (de volume f→

et de surface T→

) les déplacements à partir de la configuration de

référence définissent le champ U→

, alors le “ travail ” des forces de (F) dans le champ U→

est égal

au double de l'énergie de déformation élastique.


- 80 -

Nota : le travail dont il est question dans l'énoncé est le premier membre de l'équation

(VII.2), le second membre n'est autre que le double de l'énergie élastique.

•••• Théorème de l'énergie potentielle

Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, le champ des déplacements réels est

celui qui minimise l'énergie potentielle totale.

Démonstration

D'après la définition des conditions aux limites statiques nous pouvons écrire :

T U d T U d T U dD C

→ → → → → →

∫∫ ∫∫ ∫∫= +. . .Ω Ω ΩΩ Ω Ω

Sur ΩD on a U U→ →

= * champ virtuel cinématiquement admissible. En appliquant le

théorème des travaux virtuels et en faisant la différence des équations obtenues avec les champs

U→

(réel) et U→

* (virtuel) on obtient :

( )ρ ρ σ ε ε. . . . * . . * *f U dv f U dv T U d T U d dvV V

ij ij ij

VC C

→ → → → → → → →

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫− + − − − =Ω ΩΩ Ω

0 (VII.3)

Or, d'après le théorème de Maxwell-Betti : σ ε σ εij ij ij ij * *=

En effet, σ λ δ µεij ij ije= + 2 et σ λ δ µεij ij ije* * *= + 2 donc,

( )σ ε λ δ µε ε λ δ ε µε ε λ µε ε λε δ µε ε σ εij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ije e ee e * * * * * * * * *= + = + = + = + =2 2 2 2

On a donc : ( ) ( )( )2σ ε ε σ ε σ ε σ σ ε εij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij− = − + − −* * * * *

Au tenseur des contraintes virtuelles ( )σ σij ij− * correspond le tenseur des déformations

virtuelles ( )ε εij ij− * et une densité volumique d'énergie de déformation élastique :

( )( )dW

dV ij ij ij ij

** *= − −1

2σ σ ε ε

En exprimant dW

dV

* en fonction des déformations on trouve une forme quadratique définie

positive d'où :

( )1

20σ ε σ ε σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij ij− − + ≥* * * * ⇔ ( )1

2

1

2σ ε σ ε σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij ij− − ≥ −* * * *

En ajoutant membre à membre 1

2σ εij ij et en tenant compte de l'égalité σ ε σ εij ij ij ij * *= on

obtient : ( ) ( )σ ε ε σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij− ≥ −* * *1

2 (VII.4)


- 81 -

Posons ϖ σ ε* * *= ∫∫∫12 ij ij

V

dv alors compte-tenu de (VIII.4), l'équation (VIII.3) s'écrit :

ϖ ρ ϖ ρ− − ≤ − −→ → → → → → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫. . . * . . * . *f U dv T U d f U dv T U dV VC C

Ω ΩΩ Ω

Appelons W U→

* l'énergie potentielle totale d'un champ cinématiquement admissible U

→* ,

W U f U dv T U dV C

→ → → → →

= − −∫∫∫ ∫∫* * . . * . *ϖ ρ Ω

Ω

avec : - potentiel élastique : ϖ *

- potentiel des forces actives : ρ. . * . *f U dv T U dV C

→ → → →

∫∫∫ ∫∫+ ΩΩ

nous obtenons alors : W U W U→ →

≤

* ce qui démontre le théorème.

•••• Théorème des Puissances virtuelles Pour un milieu matériel isolé nous distinguerons les actions extérieures agissant sur ce

milieu des actions intérieures qui sont en fait les liaisons entre toutes les parties du milieu.

Axiome d’objectivité (Paul Germain 1972)

Pour tout mouvement rigidifiant, la puissance des efforts intérieurs est nulle.

Axiome d’équilibre (statique ou dynamique) (Paul Germain 1972)

Dans un référentiel absolu, à chaque instant et pour tout mouvement virtuel d’un milieu matériel, la puissance virtuelle des quantités d’accélération Pa * est égale à la somme des

puissances virtuelles des efforts intérieurs Pi * et des efforts extérieurs Pe * .

P P Pi e a* * *+ =

- Puissance virtuelle des efforts intérieurs : Pi *

P dvi ij ijV

* *= −∫∫∫σ ε

- Puissance virtuelle des efforts extérieurs : Pe *

P f U dv T U deV

* . . * . *= +→ → → →

∫∫∫ ∫∫ρ ΩΩ

- Puissance virtuelle des quantités d’accélaration : Pa *

En notant γ→

le vecteur accélération en tout point M, Pa * s’écrit : P U dvaV

* . . *=→ →

∫∫∫ρ γ


- 82 -

D’où le Théorème des Puissances virtuelles

ρ σ ε ρ γ. . * . * * . . *f U dv T U d dv U dvV

ij ijV V

→ → → → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫+ − =ΩΩ

que l’on peut aussi écrire

ρ ρ γ σ ε. . * . . * . * *f U dv U dv T U d dvVV

ij ijV

→ → → → → →− + =∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫Ω

Ω

Cette expression est analogue à celle du théorème des puissances virtuelles avec le terme

−

→ →

∫∫∫ρ γ. . *U dvV

en plus dans le membre de gauche.

2.3. Etude des champs de contraintes statiquement a dmissibles

Soit un état de contraintes statiquement admissible pour lequel on notera :

- les forces de volume réelles : ρ. f dv→

- les forces de contact réelles : Td→

Ω sur ΩC

- les forces de contact virtuelles : T d→

* Ω sur ΩD Associons à ce système de charges le tenseur des contraintes virtuelles σ ij * statiquement

admissible.

Le travail virtuel des forces extérieures (définies ci-dessus) dans le champ réel U→

est :

ρ σ ε. . . *. *f U dv T U d T U d dvV

ij ij

VC D

→ → → → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ + =Ω ΩΩ Ω

or, ρ σ ε. . .f U dv T U d dvV

ij ij

V

→ → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ =ΩΩ

d'où par différence : ( )T U d T U d dvD D

ij ij ij

V

→ → → →

∫∫ ∫∫ ∫∫∫− = −. *. *Ω ΩΩ Ω

σ σ ε (VII.5)

Comme précédent, le théorème de Maxwell-Betti permet d'écrire : σ ε σ εij ij ij ij * *=

De plus, au tenseur des contraintes virtuelles ( )σ σij ij− * correspond le tenseur des

déformations virtuelles ( )ε εij ij− * et une densité volumique d'énergie de déformation élastique :

( )( )dW

dV ij ij ij ij

** *= − −1

2σ σ ε ε

En procédant comme précédemment on montre que : ( ) ( )ε σ σ σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij− ≥ −* * *1

2 (VIII.6)

Posons ϖ σ ε* * *= ∫∫∫1

2 ij ij

V

dv alors compte-tenu de (VIII.6) l'équation (VIII.5) s'écrit :


- 83 -

ϖ ϖ− ≤ −→ → → →

∫∫ ∫∫T U d T U dD D

. * *.Ω ΩΩ Ω

Appelons W TC

→

* l'énergie potentielle complémentaire d'un champ statiquement admissible T

→*

W T T U dC

D

→ → →

= −∫∫* * *.ϖ Ω

Ω

nous obtenons alors : W T W TC C

→ → ≤

*

•••• Théorème de l'énergie potentielle complémentaire :

Parmi tous les champs statiquement admissibles, le champ des contraintes réelles est celui

qui minimise l'énergie potentielle complémentaire.

Nota : Si les liaisons sur la frontière ΩD du solide sont parfaites (U→ →

= 0 ou U T→ →

⊥ * et

U T→ →

⊥ ) alors : ϖ ϖ≤ *

On trouve le théorème de Ménabréa :

L'énergie de déformation élastique est minimale pour l'état réel (contraintes et déformations).

3. Corrélation entre les états cinématiquement admi ssibles et ceux statiquement

admissibles.

Avec les forces et les déplacements réels le théorème des travaux virtuels s'écrit :

ρ σ ε. . . .f U dv T U d T U d dvV

ij ij

VD C

→ → → → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ + − =Ω ΩΩ Ω

0

d'où :

ϖ ρ ω− − + − =→ → → → → →

∫∫∫ ∫∫ ∫∫. . . .f U dv T U d T U dV C D

Ω ΩΩ Ω

0 ⇔ ( ) ( )min minW WC+ = 0

Les valeurs minimales de l'énergie potentielle totale W et de l'énergie potentielle

complémentaire sont opposées.

Critères de limite d’élasticité Chapitre VIII

- 84 -

Chapitre VIII : Critères de limite d’élasticité

Nous avons vu dans le chapitre IV (Loi de comportement : isotrope, élastique, linéaire) que

le comportement d’un matériau chargé en traction (respectivement en compression) simple peut

être élastique linéaire tant que la contrainte appliquée reste inférieure à une valeur seuil appelée

limite d’élasticité en traction (respectivement en compression). Cette contrainte encore

dénommée seuil de plasticité unidimensionnel définit la frontière entre le domaine d’élasticité

et le domaine plastique dans le cas monodimensionnel.

Dans le cas général d’un état de contraintes tridimensionnel la limite entre le domaine

d’élasticité et le domaine plastique du matériau ne peut plus être définie par une seule contrainte,

il faut utiliser un critère de limite d’élasticité, appelé aussi critère de plasticité.

Remarque : Nous ne traiterons ici que des critères isotropes c’est-à-dire s’appliquant à des

matériaux isotropes ayant un écrouissage également isotrope.

A priori la frontière du domaine d’élasticité est définie par une équation faisant intervenir

toutes les composantes du tenseur des contraintes et une variable scalaire fixant le seuil de plasticité σ s.

( )f sΣ,σ = 0 (VIII.1)

Le matériau étant supposé isotrope il est nécessaire que la frontière soit invariante par

changement de repère. La fonction f ne dépend donc que des 3 invariants du tenseur des contraintes et de σ s.

1. Critère de Von Mises

Ce critère est très fréquemment utilisé pour modéliser le comportement des matrériaux

métalliques usuels. Il repose sur la constatation expérimentale que les déformations plastiques

des métaux résultent de glissements et de cisaillements des plans cristallographiques gouvernés

par les contraintes tangentielles exercées sur ces plans.

Von Mises fait l’hypothèse que le seuil de plasticité est directement lié à la densité

volumique d’énergie potentielle élastique de cisaillement (de distorsion) emmagasinée dans le

matériau et choisit une fonction linéaire pour la fonction f.

Rappel : Nous avons montré au chapitre VII (§ 1.2.) qu’en un point la densité volumique

d’énergie élastique de déformation s’écrit :

dW

dV

dW

dV

dW

dV EI

EJVolume Forme= + = − + + ⋅1 2

6

112

2

υ υ (VIII.2)


- 85 -

où : ( )I trace1 = Σ = premier invariant du tenseur des contraintes

( )J trace S S2

1

2= . = second invariant du tenseur déviateur des contraintes

Pour un matériau donné dans un état de contrainte tridimensionnel, Von Mises suppose que

le seuil de plasticité est atteint en un point M lorsque la densité volumique d’énergie élastique de

changement de forme (distorsion) en ce point est égale à la densité volumique d’énergie élastique de changement de forme obtenue en traction simple à la limite d’élasticité Re. On a donc Re s= σ

Pour un état de contrainte unidimensionnel de traction simple équivalent au seuil de

plasticité on obtient : J s2

2

3=

σ (VIII.3)

La fonction de seuil f peut donc s’exprimer par : ( )[ ]J M s2

2

30Σ − =

σ (VIII.4)

Définition : En un point M, pour un tenseur de contrainte quelconque ( )Σ M , on appelle

contrainte équivalente de Von Mises la contrainte σeq unidimensionnelle (traction pure) qui

engendre la même densité volumique d’énergie de distorsion que ( )Σ M .

( ) ( ) ( )( )σeq J M trace S M S M= =33

2. . .2 (VIII.5)

La fonction seuil f s’écrit alors : f eq s= − =σ σ 0 (VIII.6)

- En fonction des termes du tenseur des contraintes ( )Σ M le critère de Von Mises s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1

26 011 22

2

22 33

2

33 11

2

122

232

132 2σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ− + − + − + + + − = s (VIII.7)

- Dans l’espace des contraintes principales Σ I , Σ II , Σ III , le critère devient :

( ) ( ) ( )[ ]1

2

2 2 2Σ Σ Σ Σ Σ ΣI II II III III I s− + − + − = σ (VIII.8)

Représentation graphique du critère de Von Mises

L’équation (VIII.8) est celle d’un cylindre à base circulaire dont l’axe est confondu avec la

première trissectrice du repère des contraintes principales et de rayon R s=2

3 σ .


- 86 -

On notera que le plan du déviateur des contraintes est le plan perpendiculaire à la première

trissectrice du repère principal et contenant l’origine. L’intersction du cylindre (VIII.8) avec le

plan du déviateur est donc un cercle de centre O et de rayon R s=2

3 σ .

Figure VIII.1. : Représentation graphique du critère de plasticité de Von Mises dans le

repère principal des contraintes.

2. Critère de Tresca

Tresca ne fait plus d’hypothèse sur la densité volumique d’énergie mais sur la contrainte

tangentielle maximale. Cette dernière vaut : 1

2Supi j

i j≠

−Σ Σ (VIII.9)

Le critère de Tresca s’obtient alors en égalant la valeur de cette contrainte tangentielle

maximale avec sa valeur pour un état de traction simple équivalent au seuil de plasticité :

1

2 2Supi j

i js

≠− =Σ Σ

σ (VIII.10)

La fonction f s’écrit donc : f Supi j

i j s= − − =≠

Σ Σ σ 0 (VIII.11)

Représentation graphique du critère de Tresca L’équation (VIII.11) est celle d’un prisme droit à base hexagonale dont l’axe est confondu avec la première trissectrice du repère des contraintes principales (Figure VIII.2). Ce prisme est inscrit dans le cylindre de Von Mises (Figure VIII.3).

ΣΙΙΙ

ΣΙ

ΣΙΙΟ

ΣΙΙΙ

ΣΙΣΙΙ

Ο 2

3 σs

2

3 σs

2

3 σs


- 87 -

Figure VIII.2 : Illustration du critère de Tresca dans le repère principale des contraintes.

Figure VIII.3 : Comparaison des critères de Von Mises et Tresca.

ΣΙΙΙ

ΣΙΣΙΙ

Ο 2

3 σs

2

3 σs

2

3 σs

ΣΙΙΙ

ΣΙ

ΣΙΙΟ

ΣΙΙΙ

ΣΙΣΙΙ

Ο 2

3 σs

2

3 σs

2

3 σs

Tresca

Von Mises

Références

- 88 -

Références bibliographiques

BARRAULT J., 1995, "Mécanique des milieux continus", cours de l'ENSAM CER de Bordeaux,

50 p. DARTUS D., 1995, "Elasticité linéaire", Cépaduès-Editions, Coll. Polytech, 162 p. DUC J et BELLET D., 1976, "Mécanique des solides réels. Elasticité", Cépaduès-Editions, Coll.

Sup'Aéro, 211 p. DUVAUT G. 1990, "Mécanique des milieux continus", Ed. Masson, Paris, 292 p. GERMAIN P. et MULLER P., 1995, "Introduction à la mécanique des milieux continus", Ed.

Masson, Paris, 467 p. LAROZE S. et BARRAU J.-J., 1991, "Mécanique des structures", Tome 1, Ed. Masson, Paris,

292 p. MANDEL J. 1966, "Mécanique des Milieux continus", Ed. Gauthiers Villars, Paris, Tomes 1 et

2. BACON C. et POUYET J, 2000, Mécanique des solides déformables, Ed. Hermès, Paris, 310 p.

Formulaire

- 89 -

Formulaire

-Coodonnées cartésiennes (x,y,z) dans la base ( )r r ri j k, , orthonormée directe-

A°) Soit la fonction scalaire :f(x,y,z)

Gradient d'une fonction scalaire : ( )

( )

grad

, ,

→=

f

f

xf

yf

z i j k

∂∂∂∂∂∂ r r r

Laplacien d'une fonction scalaire : ∆ff

x

f

y

f

z= ∂

∂∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2+ +

B°) Soit le vecteur déplacement :

( )( )( ) ( )

r

r r r

U u v w

u x y z

v x y z

w x y zi j k

( , , )

, ,

, ,

, ,, ,

=

Divergence d'un vecteur : div( )r

Uu

x

v

y

w

z= +∂

∂∂∂

∂∂

+

Gradient d'un vecteur : ( )

( )

grad

, ,

r

r r r

U

u

x

u

y

u

zv

x

v

y

v

zw

x

w

y

w

zi j k

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Rotationnel d'un vecteur :

( )

rot( )

, ,

←=

−

−

−

r

r r r

U

w

y

v

zu

z

w

xv

x

u

yi j k

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

C°) Soit le tenseur symétrique du deuxième ordre :

( )

S

S S S

S S S

S S S

xx xy xz

xy yy yz

xz zy zz i j k

=

r r r, ,

Divergence d'un tenseur symétrique du deuxième ordre :

( )

div( )

, ,

S

S

x

S

y

S

zS

x

S

y

S

zS

x

S

y

S

z

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

i j k

=

+ +

+ +

+ +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ r r r

Formulaire

- 90 -

D°) Quelques équations utiles

Tenseur des déformations : ( ) ( )( )ε = +1

2grad grad

r rU UT ⇔ ε ∂

∂∂∂ij

i

j

j

i

u

x

u

x= +

1

2

Equations d'équilibre local :

r rf + =

→div( )Σ 0 ⇔

fx y z

fx y z

fx y z

xxx xy xz

yxy yy yz

zxz yz zz

+ + + =

+ + + =

+ + + =

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

0

0

0

Equation de compatibilité des déformations :

( )rot. rot ε

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

∂ ε∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε

= ⇔

= − + +

= − + +

= − + +

= +

= +

= +

0

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

xx yz xz xy

yy xz xy yz

zz xy yz xz

yz zz yy

xz xx zz

xy yy

x y x x y z

x z y y z x

x y z z x y

y z y z

x z z x

x y xxx

y∂ 2

Formulaire

- 91 -

-Coodonnées cylindriques (r,θ,z) dans la base e e er z

→ → →

, ,θ orthonormée directe-

A°) Soit la fonction scalaire : f(r,θ,z)

Gradient d'une fonction scalaire : ( )→

=

→ → →

grad

, ,

f

f

r

r

f

f

z e e er z

∂∂∂∂θ

∂∂

θ

1

Laplacien d'une fonction scalaire : ∆ff

r

f f

r

f

z= ∂

∂∂∂θ

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2+

1

r+

1

r +

2

B°) Soit le vecteur déplacement :

( )( )( )

rU u v w

u r z

v r z

w r ze e er z

( , , )

, ,

, ,

, ,, ,

=

→ → →

θθθ

θ

Divergence d'un vecteur : div( )r

Uu

ru

v w

z= +

+∂

∂∂∂θ

∂∂

+1

r

Gradient d'un vecteur : ( )grad

, ,

rU

u

r r

uv

u

zv

r r

vu

v

zw

r r

w w

z e e er z

=

−

+

→ → →

∂∂

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂

θ

1

1

1

Rotationnel d'un vecteur : rot( )

, ,

←

=

−

−

− +

→ → →

rU

r

w v

zu

z

w

rv

r r

u v

r e e er z

1

1

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂θ

θ

C°) Soit le tenseur symétrique du deuxième ordre : S

S S S

S S S

S S S

rr r rz

r z

rz z zz e e er z

=

→ → →

θ

θ θθ θ

θθ, ,

Divergence d'un tenseur du deuxième ordre :

div( )

, ,

S

S

r r

SS S

S

zS

r r

SS

S

zS

r r

SS

S

z

rr rrr

rz

rr

z

rz zrz

zz

e e er z

=

+ + −

+

+ +

+

+ +

+

→ → →

∂∂

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂θ

∂∂

θθθ

θ θθθ

θ

θ

θ

1

12

1

Formulaire

- 92 -

D°) Quelques équations utiles

Tenseur des déformations : ( ) ( )( )ε = +1

2grad grad

r rU UT

ε

ε ∂∂

ε ∂∂θ

∂∂

ε ∂∂

∂∂

ε ε ∂∂θ

ε ∂∂

∂∂θ

ε ε ε ∂∂

θ

θ θθ θ

θ

θ

=

= = + −

= +

= + = +

=

→ → →

rr r rz

r z

rz z zz

e e e

u

r r

u v

r

v

r

u

z

w

ru

r r

v v

z r

w

w

zr z

1

2

1 1

21 1

2

1

, ,

Equation d'équilibre local :

r rf + =

→div( )Σ 0 ⇒

fr r z

fr r z

fr r z

rrr r

rrrz

rr

z

zrz z

rzzz

+ + + −

+ =

+ + +

+ =

+ + +

+ =

∂σ∂

∂σ∂θ

σ σ ∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂θ

σ ∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂θ

σ ∂σ∂

θθθ

θθ θθ

θθ

θ

10

12 0

10

Equation de compatibilité des déformations :

( )rot. rot ε

∂ ε∂θ

∂ε∂

∂ ε∂

∂ ε∂θ∂

∂ε∂

∂ ε∂θ∂

∂∂

∂ε∂

∂ ε∂

∂∂

∂ε∂θ

∂∂

∂ε∂θ

∂ ε∂θ∂

∂ ε∂θ

∂∂

∂ε∂

∂ε∂

∂ ε∂

∂ ε

θθ θ

θ θ

θ θ θθ

= ⇔

+ + − − =

+

− −

=

+ − −

+ =

+0

1 1 2 20

1 1 10

1 1 1 1 10

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r r r z r z r z

r zr

r r z z r r

r rr

r z r r rr

z r z

r

zz zz z rz

rz z r zz

z r rz rr

zz rr

( )∂

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂ ε∂

∂∂

∂ε∂

∂∂

∂ε∂θ

∂ ε∂θ∂

∂∂

∂ε∂

∂ ε∂θ

∂ε∂

∂∂

∂ε∂θ

θ θ

θθ θ θ

z r z

r r

r

r r rr

z r r r z

r rr

r r r r r rr

rz

z r rz rr

r rr r

2

2

22

2

22

2

2

2

2 0

1 1 1 10

1 1 1 20

− =

− +

+

−

=

+ − −

=

Formulaire

- 93 -

- Coodonnées sphériques (r,θ,ϕ) dans la base

→→→

ϕθ eeer ,, orthonormée directe -

A°) Soit la fonction scalaire : f(r,θ,ϕ)

Gradient d'une fonction scalaire : ( )

→

→→→

=

ϕθ∂ϕ∂

θ

∂θ∂

∂∂

eeer

f

r

f

r

r

f

f

,,sin

1

1grad

Laplacien d'une fonction scalaire :

∂θ∂

θθ

∂∂

∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂ f

r

fff

r

ffgraddivf

sinr

cos

r

2+

sinr

1+

r

1+)(

22

2

222

2

22

2

+=

=∆→

B°) Soit le vecteur :

( )( )( )

→→→

=

ϕθϕθϕθϕθ

eeerrw

rv

ru

wvuU

,,,,

,,

,,

),,(r

Divergence d'un vecteur : r

v

r

uwv

r

uU

θ∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂ cotan 2

sinr

1

r

1+)div( +++=

r

Gradient d'un vecteur : ( )

→→→

++

−

+

−

=

ϕθ

θ∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

θ∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

∂ϕ∂

θ∂θ∂

∂∂

eeerr

v

r

uw

r

w

rr

wr

wv

ru

v

rr

v

u

r

wv

u

rr

u

U

,,

2

cotan

sin

11

cotan

sin

11sin

1

gradr

Rotationnel d'un vecteur :

←

→→→

+−

−−

+−

=

ϕθ∂θ∂

∂∂

∂∂

∂ϕ∂

θ

θ∂ϕ∂

θ∂θ∂

eeerr

vu

rr

vr

w

r

wu

r

r

wv

r

w

r

U

,,

1sin

1

cotan

sin

11

)(rotr

Formulaire

- 94 -

C°) Soit le tenseur symétrique du deuxième ordre :

→→→

=

ϕθϕϕθϕϕ

θϕθθθ

ϕθ

eeer

r

rrrr

r

SSS

SSS

SSS

S

,,

Divergence d'un tenseur du deuxième ordre :

( )

→→→

++++

−++++

+

−−+++

=

ϕθ

ϕθϕϕϕϕθϕ

ϕϕθθθθϕθθθ

θϕϕθθϕθ

θ∂ϕ

∂θ∂θ

∂∂

∂

θ∂ϕ

∂θ∂θ

∂∂

∂

θ∂ϕ

∂θ∂θ

∂∂

∂

eee

rr

rr

rrrrrrr

r

Sr

Sr

S

r

S

rr

S

SSr

Sr

S

r

S

rr

S

Sr

SSSr

S

r

S

rr

S

S

,,

cotan2

3

sin

11

cotan3

sin

11

cotan2

sin

11

)div(

Module d’Young et coefficient de Poisson

- 95 -

Module d'Young E et coefficient de Poisson νννν pour quelques matériaux usuels

à température ambiante (20 °C)

Matériau E (GPa) νννν acier de construction 210 0,285 acier à ressort 220 0,29 acier inox 18-10 & 18-12 203 0,29 invar 144 0,35 fonte grise 90 à 120 0,29 fonte malléable 170 à 190 0,17 Alliage pour disques de turbines TA6V 105 0,25 Alliages pour aubes de turbines IN 100 217 0,25 MARM 509 200 0,25 Alliages aéronautiques 2618 (AU2GN) 75 0,33 2024 (AU4GN) 72,5 0,33 7010 70 0,33 Zinc 78 0,21 Cuivre 100 0,33 Béryllium 300 0,5 Bronze 130 0,34 Titane 105 0,34 Granite 60 0,27 Marbre 26 0,3 Béton en compression 10 à 13 0,15 Verre 60 0,25 Plexiglass 2,9 0,4 Caoutchouc 0,2 0,5 Bois de pin (dir. cristallo 001) 7 0,2

D'après G. Duvaut, 1990, Mécanique des milieux continus, Ed Masson, Paris

Synoptiques des méthodes de résolution

- 96 -

Synoptique de la « Méthode des DEPLACEMENTS » ou de Lamé – Clapeyron

Equations de l’équilibre local

0rr

=+Σ fdiv tΣ=Σ

Loi de comportement élastique linéaire (matériau isotrope)

εµλ 21+=Σ e

( ))()(2

1 UgradUgrad trr

+=ε

Equation générale de la méthode des déplacements

( )→

→→→→

−=∆⋅+

+ fUUdivgrad µµλ

Conditions de symétrie Conditions aux limites en déplacements du problème

Proposer un champ ( )xUrr

??

Le champ ( )xUrr

est

élastostatiquement acceptable

?

Construire les champs de tenseurs de contraintes et de déformations

εµλ 21+=Σ e

( ))()(2

1 UgradUgrad trr

+=ε

Conditions aux limites en contraintes du problème

nCrr

⋅Σ=

Si toutes les conditions aux limites sont vérifiées, alors La solution est LA solution du problème.

?

Synoptiques des méthodes de résolution

- 97 -

Equations de l’équilibre local

0rr

=+Σ fdiv tΣ=Σ

Loi de comportement élastique linéaire (matériau isotrope)

1)()1( Σ−Σ+= traceEEννε

( ))()(2

1 UgradUgrad trr

+=ε

Equation générale de la méthode des forces

∆Σ ++

= − − −

−

→ → → →1

1 11

υυ

υ grad grad s grad f grad f div fT .

div fΣ→ →

= −

Conditions de symétrie Conditions aux limites en contraintes du problème

Proposer un champ ( )xΣ

??

Le champ ( )xΣ est

élastostatiquement acceptable

?

- Construire le champs de tenseurs de

déformations ε

- Déterminer le champ de déplacement

)(xUr

par intégration du champ ε

Conditions aux limites en déplacements du problème

Ur

sur les surfaces limites

Si toutes les conditions aux limites sont vérifiées, alors La solution est LA solution du problème.

?

Synoptique de la « Méthode des FORCES » ou de Beltr ami

mecanique des solides...

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