I - 1Statique des milieux déformables

Philippe.Bouillard@ulb.ac.beversion 10 août 2007

Statique des milieux déformables I - 1 - 2

Statique des milieux déformables� Efforts dans les milieux déformables

– Notion d’efforts internes– Définition des contraintes et interprétation

� Équations d’équilibre– de translation et de rotation

� Cercle de Mohr– Changement d’axes d’un tenseur– [Frey, 1998, Vol. 3, Chap. 2] ou [Warzée, 2003]– [Studer, 1997, Chap. 8 & 11]

Statique des milieux déformables I - 1 - 3

Efforts externes

Pont de Sclayn, Andenne,Credits: Roland Nizet, Structurae, 2006

EQUILIBRE

Statique des milieux déformables I - 1 - 4

Efforts internes� Principe de la coupe

PAS EQUILIBRE

Statique des milieux déformables I - 1 - 5

Efforts internes

� Les efforts internes R et C → sollicitations� Sollicitations = efforts internes + convention de signe� Sollicitations dans les poutres 2D : N (effort normal),

T (effort tranchant) et M (moment fléchissant)

EQUILIBRE

C

R

Statique des milieux déformables I - 1 - 6

Notion de contraintes� Les efforts internes sont des résultantes dans

le plan de coupe� Ils ne rendent pas compte de la variation

éventuelle des efforts dans ce plan de coupe� Nécessité d’introduire une notion à une

échelle de représentation plus fine(sans descendre à l’échelle des liaisons interatomiques !)

Statique des milieux déformables I - 1 - 7

Définition du vecteur contraintes� Considérons un solide à l’équilibre

( )( )

dA

FdT

n

dA

n

rr

0lim

→=A

dA n

)(nFd

Statique des milieux déformables I - 1 - 8

Rappel : la pression� Grandeur scalaire

� Un plongeur subitA

Fp =

p

p

Statique des milieux déformables I - 1 - 9

� Un « plongeur » dans un solide subirait

� Le vecteur contraintes dépend de l’orientation� Le vecteur contraintes a 2 composantes

Analogie de la pression

( )nTr

Statique des milieux déformables I - 1 - 10

Lien efforts internes/contraintes

les efforts internes sont les résultantes des contraintes

( )nTr

EQUIVALENT

C

R

Statique des milieux déformables I - 1 - 11

Illustration : traction simple� État de traction unixiale (simple)

F

F

F

F

n Fσ

A

F=σ

n

0

A = section transversale

(m2)

Statique des milieux déformables I - 1 - 12

Illustration : traction simple� État de traction unixiale (simple)

F

F

n

F

Τ(n)

nΤ(n)

στ

σ : contrainte normaleτ : contrainte tangentielle

Statique des milieux déformables I - 1 - 13

Définition du tenseur des contraintes� Le vecteur contraintes dépend de la direction

d’observation = la normale extérieure au plan de coupe

� Les contraintes forment donc un tenseur

d’ordre 2• Mêmes propriétés que le tenseur d’inertie

� Le vecteur contraintes est la projection du tenseur des contraintes sur la normale

jij

n

i nT τ=)(

Statique des milieux déformables I - 1 - 14

Les contraintes dans un milieu 2D� À chaque facette élémentaire, définie par sa

normale extérieure, est associée un vecteur contraintes (défini par ses composantes)

• τnn = σn = σ = contrainte normale• τnt = τ = contrainte tangentielle (ou de cisaillement)

x

y

σx

σyτyx

τxy

τij : contrainte associée àune facette de normale i pointant dans la direction j

Statique des milieux déformables I - 1 - 15

Les contraintes dans un milieu 3D� Idem en 3D

(Warzée, 2003)

Statique des milieux déformables I - 1 - 16

Interprétation physique� Le vecteur contraintes est une force par unité

de surface (unités : le Pa)� La pression est un cas particulier de vecteur

contraintes• La pression est un tenseur isotrope (en fait, un scalaire)• La pression agit toujours en sens opposé à la normale

� Importance des contraintes normales et tangentielles

• Exemple de la rupture d’une feuille de papier

ijij pδτ −=

Statique des milieux déformables I - 1 - 17

Équilibre dans un milieu déformable

équilibre de translation suivant x (à 2D) :

0dxdyfdxdyx

dxdydxx

dy x

yx

yxyxx

xx =+

∂

∂++−

∂

∂++−

τττ

σσσ

(Warzée, 2003)

Statique des milieux déformables I - 1 - 18

=+∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂

0fyx

0fyx

yyxy

xyxx

στ

τσ

Équations d’équilibre de translation 2D� après simplifications

� de même,

� en général, on ne peut pas résoudre ces équations– approximations numériques (éléments finis)– approximations de la résistance des matériaux

Statique des milieux déformables I - 1 - 19

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

0

0

0

zzxyxz

y

zyyxy

xzxyxx

fzyx

fzyx

fzyx

σττ

τστ

ττσ

Équations d’équilibre de translation 3D� Généralisation

� Notations abrégées

03

1

=+∂

∂∑

=i

j j

jif

x

τ0=+∂ ijij fτou

notations indicielles d’Einstein

Statique des milieux déformables I - 1 - 20

après simplifications yxxy ττ =

( ) ( ) 02222

=−+

∂

∂−

∂

∂+−

dxdxdyf

dydxdyf

dxdydx

y

dydxdy

xdxdydydx yx

yxyxxy

σσττ

Équilibre de rotation(Warzée, 2003)

équilibre de rotation autour de C :

Statique des milieux déformables I - 1 - 21

Réciprocité des contraintes tangentielles

yxxy ττ =

� Résultat universel pour tous les milieux– sous les hypothèses de milieux continus

� Le tenseur des contraintes est symétrique� « réciprocité des contraintes tangentielles »

x

y

x−

y−

Statique des milieux déformables I - 1 - 22

Interprétation physique� Équilibre de rotation

τyx

τxy

τyx

τxy

Équilibre !

τyx

τxy

τyx

τxy

Pas équilibre !

Statique des milieux déformables I - 1 - 23

Changement d’axes d’un tenseur d’ordre 2

� Passage de (x, y) vers (u, v)

+−

−=

−−

−+

=

+−

++

=

ϕτϕσσ

τ

ϕτϕσσσσ

σ

ϕτϕσσσσ

σ

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

xy

yx

uv

xy

yxyx

v

xy

yxyx

u

centre du cercle

+0,

2

yx σσrotation d’un angle -2ϕ

Statique des milieux déformables I - 1 - 24

Cercle de Mohr� Représentation géométrique des contraintes

– abscisse σ (contraintes normales)– ordonnée τ (contraintes tangentielles)– angle ϕ dans le plan physique

= 2ϕ dans le cercle de Mohr– un point N représente

• un vecteur contraintes associé la direction n• pour un état de contraintes donné• en un point physique du milieu continu

Statique des milieux déformables I - 1 - 25

Tracé du cercle de Mohr� soit un état σx > 0, σy > 0 et τxy > 0

( )xyx ,τσ

( )xyy , τσ −

figures extraites de [Warzée, 2003]

Statique des milieux déformables I - 1 - 26

Changement d’axes

figures extraites de [Warzée, 2003]

Statique des milieux déformables I - 1 - 27

Directions principales� Dans le plan, il existe 2 directions telles que

– la contrainte normale est extrémale (max ou min)– les contraintes tangentielles sont nulles

figures extraites de [Warzée, 2003]

Statique des milieux déformables I - 1 - 28

Directions principales� Relations analytiques

– directions principales

– valeurs principalesyx

xy22tan

σσ

τθ

−=

2xy

2

yxyx

2

1

22τ

σσσσ

σ

σ+

−±

+=

Statique des milieux déformables I - 1 - 29

Directions principales� Propriété : les contraintes tangentielles

‘ pointent ’ vers I

figures extraites de [Warzée, 2003]

Statique des milieux déformables I - 1 - 30

Cercle de Mohr : exemples

qq

P

Traction pure

q

q

P

Compression pure

q

q

P

État isotrope

σ

τ

σ1=qσ

τ

σ2=qσ

τ

σ=q

=

00

0qijτ

−=

qij

0

00τ

=

q

qij

0

0τ

Statique des milieux déformables I - 1 - 31

« Trajectoires » des contraintes

[Frey, 1998, Vol. 3]

τ

Statique des milieux déformables I - 1 - 32

« Trajectoires » des contraintes� Poutre en flexion

[Frey, 1998, Vol. 3]

Statique des milieux déformables I - 1 - 33

Étude de cas : le Berlaymont� Contexte : rénovation du Berlaymont

– Bureaux de la commission européenne

� But de l’étude– vérifier la reprise de la poussée des terres par les

noyaux suite aux modifications des parkings

(© SMC-ULB, 2001)

Statique des milieux déformables I - 1 - 34

Berlaymont : maillages

(© SMC-ULB, 2001)

noyaux

Statique des milieux déformables I - 1 - 35

Berlaymont : résultats

(© SMC-ULB, 2001)

Contraintes principalesEfforts dans les passerelles

Statique des milieux déformables I - 1 - 36

direction principale

direction principale

mineure (II) : compression

majeure (I) : traction

Structure osseuse du fémur

figure extraite de [Fung, 1990]reproduisant un article de Wolff (1870)

Statique des milieux déformables I - 1 - 37

Autres définitions� Lorsque le problème est géométriquement

non linéaire– grands déplacements– grandes déformations

� il existe de nombreuses autres définitions du tenseur des contraintes, parfois plus pratiques– [Criesfield, 1997]