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I - 1Statique des milieux déformables
[email protected] 10 août 2007
Statique des milieux déformables I - 1 - 2
Statique des milieux déformables� Efforts dans les milieux déformables
– Notion d’efforts internes– Définition des contraintes et interprétation
� Équations d’équilibre– de translation et de rotation
� Cercle de Mohr– Changement d’axes d’un tenseur– [Frey, 1998, Vol. 3, Chap. 2] ou [Warzée, 2003]– [Studer, 1997, Chap. 8 & 11]
Statique des milieux déformables I - 1 - 3
Efforts externes
Pont de Sclayn, Andenne,Credits: Roland Nizet, Structurae, 2006
EQUILIBRE
Statique des milieux déformables I - 1 - 4
Efforts internes� Principe de la coupe
PAS EQUILIBRE
Statique des milieux déformables I - 1 - 5
Efforts internes
� Les efforts internes R et C → sollicitations� Sollicitations = efforts internes + convention de signe� Sollicitations dans les poutres 2D : N (effort normal),
T (effort tranchant) et M (moment fléchissant)
EQUILIBRE
C
R
Statique des milieux déformables I - 1 - 6
Notion de contraintes� Les efforts internes sont des résultantes dans
le plan de coupe� Ils ne rendent pas compte de la variation
éventuelle des efforts dans ce plan de coupe� Nécessité d’introduire une notion à une
échelle de représentation plus fine(sans descendre à l’échelle des liaisons interatomiques !)
Statique des milieux déformables I - 1 - 7
Définition du vecteur contraintes� Considérons un solide à l’équilibre
( )( )
dA
FdT
n
dA
n
rr
0lim
→=A
dA n
)(nFd
Statique des milieux déformables I - 1 - 8
Rappel : la pression� Grandeur scalaire
� Un plongeur subitA
Fp =
p
p
Statique des milieux déformables I - 1 - 9
� Un « plongeur » dans un solide subirait
� Le vecteur contraintes dépend de l’orientation� Le vecteur contraintes a 2 composantes
Analogie de la pression
( )nTr
Statique des milieux déformables I - 1 - 10
Lien efforts internes/contraintes
les efforts internes sont les résultantes des contraintes
( )nTr
EQUIVALENT
C
R
Statique des milieux déformables I - 1 - 11
Illustration : traction simple� État de traction unixiale (simple)
F
F
F
F
n Fσ
A
F=σ
n
0
A = section transversale
(m2)
Statique des milieux déformables I - 1 - 12
Illustration : traction simple� État de traction unixiale (simple)
F
F
n
F
Τ(n)
nΤ(n)
στ
σ : contrainte normaleτ : contrainte tangentielle
Statique des milieux déformables I - 1 - 13
Définition du tenseur des contraintes� Le vecteur contraintes dépend de la direction
d’observation = la normale extérieure au plan de coupe
� Les contraintes forment donc un tenseur
d’ordre 2• Mêmes propriétés que le tenseur d’inertie
� Le vecteur contraintes est la projection du tenseur des contraintes sur la normale
jij
n
i nT τ=)(
Statique des milieux déformables I - 1 - 14
Les contraintes dans un milieu 2D� À chaque facette élémentaire, définie par sa
normale extérieure, est associée un vecteur contraintes (défini par ses composantes)
• τnn = σn = σ = contrainte normale• τnt = τ = contrainte tangentielle (ou de cisaillement)
x
y
σx
σyτyx
τxy
τij : contrainte associée àune facette de normale i pointant dans la direction j
Statique des milieux déformables I - 1 - 15
Les contraintes dans un milieu 3D� Idem en 3D
(Warzée, 2003)
Statique des milieux déformables I - 1 - 16
Interprétation physique� Le vecteur contraintes est une force par unité
de surface (unités : le Pa)� La pression est un cas particulier de vecteur
contraintes• La pression est un tenseur isotrope (en fait, un scalaire)• La pression agit toujours en sens opposé à la normale
� Importance des contraintes normales et tangentielles
• Exemple de la rupture d’une feuille de papier
ijij pδτ −=
Statique des milieux déformables I - 1 - 17
Équilibre dans un milieu déformable
équilibre de translation suivant x (à 2D) :
0dxdyfdxdyx
dxdydxx
dy x
yx
yxyxx
xx =+
∂
∂++−
∂
∂++−
τττ
σσσ
(Warzée, 2003)
Statique des milieux déformables I - 1 - 18
=+∂
∂+
∂
∂
=+∂
∂+
∂
∂
0fyx
0fyx
yyxy
xyxx
στ
τσ
Équations d’équilibre de translation 2D� après simplifications
� de même,
� en général, on ne peut pas résoudre ces équations– approximations numériques (éléments finis)– approximations de la résistance des matériaux
Statique des milieux déformables I - 1 - 19
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
0
0
0
zzxyxz
y
zyyxy
xzxyxx
fzyx
fzyx
fzyx
σττ
τστ
ττσ
Équations d’équilibre de translation 3D� Généralisation
� Notations abrégées
03
1
=+∂
∂∑
=i
j j
jif
x
τ0=+∂ ijij fτou
notations indicielles d’Einstein
Statique des milieux déformables I - 1 - 20
après simplifications yxxy ττ =
( ) ( ) 02222
=−+
∂
∂−
∂
∂+−
dxdxdyf
dydxdyf
dxdydx
y
dydxdy
xdxdydydx yx
yxyxxy
σσττ
Équilibre de rotation(Warzée, 2003)
équilibre de rotation autour de C :
Statique des milieux déformables I - 1 - 21
Réciprocité des contraintes tangentielles
yxxy ττ =
� Résultat universel pour tous les milieux– sous les hypothèses de milieux continus
� Le tenseur des contraintes est symétrique� « réciprocité des contraintes tangentielles »
x
y
x−
y−
Statique des milieux déformables I - 1 - 22
Interprétation physique� Équilibre de rotation
τyx
τxy
τyx
τxy
Équilibre !
τyx
τxy
τyx
τxy
Pas équilibre !
Statique des milieux déformables I - 1 - 23
Changement d’axes d’un tenseur d’ordre 2
� Passage de (x, y) vers (u, v)
+−
−=
−−
−+
=
+−
++
=
ϕτϕσσ
τ
ϕτϕσσσσ
σ
ϕτϕσσσσ
σ
2cos2sin2
2sin2cos22
2sin2cos22
xy
yx
uv
xy
yxyx
v
xy
yxyx
u
centre du cercle
+0,
2
yx σσrotation d’un angle -2ϕ
Statique des milieux déformables I - 1 - 24
Cercle de Mohr� Représentation géométrique des contraintes
– abscisse σ (contraintes normales)– ordonnée τ (contraintes tangentielles)– angle ϕ dans le plan physique
= 2ϕ dans le cercle de Mohr– un point N représente
• un vecteur contraintes associé la direction n• pour un état de contraintes donné• en un point physique du milieu continu
Statique des milieux déformables I - 1 - 25
Tracé du cercle de Mohr� soit un état σx > 0, σy > 0 et τxy > 0
( )xyx ,τσ
( )xyy , τσ −
figures extraites de [Warzée, 2003]
Statique des milieux déformables I - 1 - 26
Changement d’axes
figures extraites de [Warzée, 2003]
Statique des milieux déformables I - 1 - 27
Directions principales� Dans le plan, il existe 2 directions telles que
– la contrainte normale est extrémale (max ou min)– les contraintes tangentielles sont nulles
figures extraites de [Warzée, 2003]
Statique des milieux déformables I - 1 - 28
Directions principales� Relations analytiques
– directions principales
– valeurs principalesyx
xy22tan
σσ
τθ
−=
2xy
2
yxyx
2
1
22τ
σσσσ
σ
σ+
−±
+=
Statique des milieux déformables I - 1 - 29
Directions principales� Propriété : les contraintes tangentielles
‘ pointent ’ vers I
figures extraites de [Warzée, 2003]
Statique des milieux déformables I - 1 - 30
Cercle de Mohr : exemples
P
Traction pure
q
q
P
Compression pure
q
q
P
État isotrope
σ
τ
σ1=qσ
τ
σ2=qσ
τ
σ=q
=
00
0qijτ
−=
qij
0
00τ
=
q
qij
0
0τ
Statique des milieux déformables I - 1 - 31
« Trajectoires » des contraintes
[Frey, 1998, Vol. 3]
τ
Statique des milieux déformables I - 1 - 32
« Trajectoires » des contraintes� Poutre en flexion
[Frey, 1998, Vol. 3]
Statique des milieux déformables I - 1 - 33
Étude de cas : le Berlaymont� Contexte : rénovation du Berlaymont
– Bureaux de la commission européenne
� But de l’étude– vérifier la reprise de la poussée des terres par les
noyaux suite aux modifications des parkings
(© SMC-ULB, 2001)
Statique des milieux déformables I - 1 - 34
Berlaymont : maillages
(© SMC-ULB, 2001)
noyaux
Statique des milieux déformables I - 1 - 35
Berlaymont : résultats
(© SMC-ULB, 2001)
Contraintes principalesEfforts dans les passerelles
Statique des milieux déformables I - 1 - 36
direction principale
direction principale
mineure (II) : compression
majeure (I) : traction
Structure osseuse du fémur
figure extraite de [Fung, 1990]reproduisant un article de Wolff (1870)
Statique des milieux déformables I - 1 - 37
Autres définitions� Lorsque le problème est géométriquement
non linéaire– grands déplacements– grandes déformations
� il existe de nombreuses autres définitions du tenseur des contraintes, parfois plus pratiques– [Criesfield, 1997]