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CI26 Solides déformables RDM PARTIE 3 : Traction / Compression / Torsion
JC ROLIN (crédits B. Havette) 1 Lycée G Eiffel Dijon
Solides déformables
Cours de Résistance des Matériaux (RDM)
PARTIE 3 : TRACTION / COMPRESSION / TORSION
Contenu
1 SOLLICITATION DE TRACTION COMPRESSION .................................................... 2
1.1 EXEMPLES ....................................................................................................................................................... 2 1.2 TORSEUR DE COHESION EN TRACTION ET COMPRESSION PURES .................................................................................... 2 1.3 CONTRAINTE NORMALE AU SEIN D’UNE SECTION DROITE ............................................................................................ 2 1.4 DEFORMATION DE LA POUTRE : ALLONGEMENT........................................................................................................ 3 1.5 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN TRACTION COMPRESSION ................................................................................ 3 1.6 EXEMPLES SIMPLES ........................................................................................................................................... 3
2 TORSION PURE (POUTRES CYLINDRIQUES OU TUBULAIRES) ............... 4
2.1 EXEMPLES ....................................................................................................................................................... 4 2.2 TORSEUR DE COHESION EN TORSION PURE .............................................................................................................. 4 2.3 DEFORMATIONS EN TORSION ............................................................................................................................... 5 2.4 CONTRAINTES EN TORSION.................................................................................................................................. 5 2.5 LOI DE COMPORTEMENT EN TORSION .................................................................................................................... 5 2.6 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN TORSION ..................................................................................................... 6 2.7 CONCENTRATIONS DE CONTRAINTE CLASSIQUES EN TORSION ....................................................................................... 6 2.8 EXEMPLES SIMPLES DE CALCULS EN TORSION ........................................................................................................... 7
3 EXTRAIT DU SUJET CENTRALE SUPELEC 2013 : ASCENSEUR DE LA TOUR EIFFEL .. 8
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JC ROLIN (crédits B. Havette) 2 Lycée G Eiffel Dijon
1 SOLLICITATION DE TRACTION COMPRESSION
1.1 Exemples
Les sollicitations en traction ou compression sont fréquentes dans les poutres, on prendra comme exemple :
Mécanique : câble de levage Enrouleur / dérouleur (Extrait Centrale SI2 2011) Bielle de moteur
Centre Pompidou (arch. R. Piano et R. Rogers, ing. P. Rice ) «les éléments tendus sont plus élancés que les éléments comprimés »
Equilibrage des poussées par tirant (Maison Jaoul Le Corbusier)
Pont suspendu : Pylône béton en compression, Câble acier verticaux en traction Arc en chaînette inversée (compression pure)
1.2 Torseur de cohésion en traction ou compression pure
Une poutre droite est soumise à une sollicitation de traction ou compression si dans un tronçon de cette poutre le torseur de cohésion se résume à :
BaseLocale
x
G
coh
N
xT
00
00
0
)(
x
y
F F
Nx > 0 sollicitation de traction pure
Nx < 0 sollicitation de compression pure
1.3 Contrainte normale au sein d’une section droite
Pour la traction ou compression pure, la contrainte normale au sein de chaque section a une répartition uniforme.
nTSM xnM.,
),(
ncompressio
tractionavec
x
x
:0
:0
La contrainte normale est S
N xx (S section de la poutre)
x x
A
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1.4 Déformation de la poutre : allongement
Tout au long de la poutre, et cstepoutreP x ),( .
D’après la loi de Hooke S
NE x
xx . d’où cstex .
Or )(xudx
dx , on en déduit : 0
.)( ux
SE
Nxu x
Si la poutre est encastrée en x = 0, u0=0.
Pour une section constante S et une longueur totale L soumise à un effort normal (Nx) égal à F.
Le déplacement à son extrémité (ΔL) donne SE
LFL
.
.
1.5 Dimensionnement d’une poutre en traction compression
L’objectif recherché est d’avoir une contrainte normale maximale au sein de la poutre (max) inférieure à la résistance pratique à l’extension (Rpe)
Pex Rmax
La résistance pratique à l’extension (Rpe) est inférieure à la limite élastique (Re) du matériau constituant la poutre. Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement.
s
RR e
Pe
1.6 Exemples simples 1.6.1 Barre en traction
Pour éviter le flambage de poteaux, on met en place des tirants constitués de barres d’acier de 10 mm de diamètre. L’effort de traction est de 12560 N.
Quelle est la contrainte normale dans la barre ?
Quelle est l’allongement de la barre sur 5 mètres si E = 210000 N/mm² (210 GPa)?
Section
Contrainte 1N/mm² = 1 MPa
Allongement
1.6.2 Poteau béton en compression
La charge maximale rapportée d’un bâtiment sur un poteau en béton est de 45.10
4N. Le
poteau est de section circulaire. La contrainte maximale admissible en compression du béton est de 7 N/mm², son module de Young vaut E = 14000 N/mm² (14GPa). Déterminer le diamètre D du poteau en mm avec un coefficient de sécurité s = 5. Déterminer sa déformation si le poteau a une longueur L = 4m.
²/4,15
7max mmN
s
Rex
4,1max
max
S
N xx
²32,0²10.32,04,1
10.45
4,1
64
max mmmN
S x
4
².DS
> 0,32m² donne D > 0,63m
mmSE
LNl x 4,0
10.32,0.14000
4.10.45
.
.6
4
max
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2 TORSION PURE (POUTRES CYLINDRIQUES OU TUBULAIRES) Seules les poutres de section circulaire pleine ou creuse sont traitées, car elles respectent les conditions de Navier Bernoulli, à savoir que les sections droites restent planes (pas de gauchissement).
2.1 Exemples
Serrage de vis Barre de torsion (suspension auto) Arbre de transmission, ici de camion
2.2 Torseur de cohésion en torsion pure
Une poutre est sollicitée en torsion simple si, en un point quelconque G de la ligne moyenne, le torseur de cohésion est représentable par un couple Mt porté par la tangente à la ligne moyenne d’axe �⃗�.
Torseur de cohésion en torsion pure :
BaseLocaleG
coh
Mt
T
0
0
0
0
0
Mise en situation :
Une poutre de section circulaire est encastrée à son extrémité gauche suivant la section droite (SA) de centre A.
On applique à l'extrémité droite de la poutre, sur toute la section (SB) de centre B, une action mécanique modélisable par un torseur couple.
A
L
B x0
y0
C.x0
CONSTATATIONS
L’application du couple de torsion permet de visualiser une déformation correspondant :
- A une rotation entre les 2 sections extrêmes de la poutre d’un angle α de torsion,
- A la déformation de la
génératrice P0P1 d’un angle de cisaillement.
α angle de torsion,
angle de cisaillement
P0 P1
P1'
BAC.x0
GP
P’
GP
P’(S)
BP1
P’1atota
xL
La génératrice P0P1 (droite avant la déformation) se déforme en P0P1’ (hélice après la déformation).
- Toute section plane, normale à la ligne moyenne, reste plane et normale à la ligne moyenne (hypothèse de Navier-Bernoulli vérifiée).
- La distance entre deux sections droites données reste inchangée, le diamètre et la longueur de la poutre ne varient pas.
- Le déplacement d'une section droite (S) est uniquement une rotation d'angle α autour de l’axe )x,G( ,
- les sections droites glissent les unes par rapport aux autres et la rotation d’une section S est proportionnelle à la distance AG = x.
L’angle de glissement ou cisaillement est lié à la résistance au cisaillement ou glissement du matériau.
L’angle de torsion α caractérise la déformation de la poutre dans des situations ou le positionnement est important.
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2.3 Déformations en torsion
Pour une poutre de révolution, on définit x l’angle de torsion unitaire le rapport entre l’angle de torsion total sur la
longueur de la poutre : L
totx
a (rad.m-1)
Avec
- aB l’angle de rotation de la section terminale en B (SB) par rapport à la section initiale (SA) - L la longueur de la poutre.
Si la poutre est régulière et les déformations petites, cette définition permet d’écrire au point x : xxa .
2.4 Contraintes en torsion
La contrainte en un point P quelconque d’une section droite (S) d’une poutre de révolution, sollicitée en torsion, est une
contrainte tangentielle )(P portée
par une perpendiculaire au rayon de la poutre.
On montre que : rG x ..
Le module de la contrainte tangentielle est proportionnel au rayon r du point
P considéré.
Cette contrainte est maximale lorsque r = rmax = R d’où :
G
P
r
(P)
(S)
x
G
(S)
(P)
R
max
x
RG x ..max Contrainte tangentielle en un point P quelconque d’une section (S)
Contrainte tangentielle tout le long d’un diamètre d’une section (S)
2.5 Loi de comportement en torsion
Au même titre que pour une poutre en flexion, pour dimensionner un arbre en torsion on introduit un moment quadratique relatif à la rotation angulaire, le moment quadratique polaire IG.
Le moment quadratique polaire (IG) caractérise la répartition de surface (S) autour du point G en m4 ou mm
4.
Par définition, dsrIS
G .²)(
, en pratique, on retiendra les deux cas suivants :
G
(S)
R
D
Poutre de section
circulaire pleine
32
DI
4
G
G
(S)
Dd
Poutre de section
tubulaire
32
dDI
44
G
On établit la relation suivante valable sur un tronçon où Mt et IG sont constants:
Gx IGMt ..
On obtient aussi x
GIG
Mt
.
Mt : le moment de torsion au centre G d’une section droite (S) (en Nm)
G : le module d’élasticité transversale ou de Coulomb (en Pa)
x : l’angle de torsion unitaire (en rad.m-1
)
IG: le moment quadratique polaire de la section (S) en G (en m4)
Rappel : en flexion la déformée y=f(x) est telle que )(''..),(
xMfyIE zzG
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2.6 Dimensionnement d’une poutre en torsion
Un arbre en torsion est généralement dimensionné pour :
- résister à la torsion, - éviter les vibrations trop importantes (phénomène de résonance pour une
vitesse de rotation > 1000 tr/min).
Rupture fragile en torsion (angle de 45°)
2.6.1 Relations pratiques pour calculer la contrainte
Calcul de la contrainte en un point P quelconque
d’une surface (S) : rI
Mt
G
. avec r=GP. Calcul de la contrainte maximale : R
I
Mt
R
I
Mt
GG
.max
avec R le rayon extérieur de la section droite (S)
2.6.2 Dimensionnement d’une poutre en torsion
CONDITION DE RESISTANCE L’objectif recherché est d’avoir une contrainte tangentielle maximale au sein de la poutre (max) inférieure à la résistance pratique au glissement ou cisaillement (Rpg)
PgRmax
La résistance pratique au glissement ou cisaillement (Rpg) est inférieure à la limite élastique au glissement
(e) du matériau constituant la poutre.
Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement. s
R ePg
CONDITION DE RIGIDITE Une limitation de la déformation d’un arbre en torsion peut également être imposée pour limiter les vibrations dans le cas où la fréquence de rotation est élevée et éviter des phénomènes de résonance.
On limite alors l’angle unitaire de torsion x limite x
2.7 Concentrations de contrainte classiques en torsion
Dans la pratique, pour transmettre un couple il est nécessaire de réaliser sur l’arbre des accidents de formes tels que : rainures de clavette, épaulements, cannelures,…
Clavette entre arbre et moyeu Arbre avec alésage
pour goupille Changement de diamètre, épaulement, congé
Cannelure, montage de joint, circlips…
Ces accidents de forme générent une augmentation significative de contrainte tangentielle. La contrainte tangentielle maximale théorique doit donc être multipliée par un coefficient Kt déterminé par des expérimentations.
La nouvelle contrainte maximale se calcule ainsi théoriquetmax .K
Exemple : Cas d’une rainure de clavette
- théorique contrainte calculée au rayon maximal de la poutre.
- Kt le coefficient de concentration de contraintes
- max la contrainte maximale. r/c 0.5 0.3 0.2 0.1
Kt 2.1 2.7 3.5 5.4
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2.8 Exemples simples de calculs en torsion
2.8.1 Arbre plein et arbre creux…
On veut dimensionner un arbre de transmission soit plein (diamètre d,) , soit creux (diamètre extérieur D, diamètre intérieur d = 0,80D). On utilise le même acier de module d’élasticité transversal G = 80 000 N.mm-2. Le couple à transmettre est Mt = 200 Nm, la résistance pratique au cisaillement adoptée est Rpg = 100 N.mm-2.
Si on compare les masses des 2 arbres à longueurs égales on obtient un rapport de masse égal au rapport des sections soit :
51,0
369
189
1
2
1
2 S
S
m
m
2.8.2 Arbre de moteur
Un moteur électrique d’une puissance de 10 kW tourne à la vitesse de 750 tr/min. Son arbre est en acier XC32 de limite élastique Re = 320 N/mm
2, sa contrainte au cisaillement est égale à 0,58 Re =Rpg
Déterminer son diamètre si on prend un coefficient de sécurité égal à 2,3.
Recherche de la contrainte admissible
Recherche du moment de torsion
Recherche du diamètre
2.8.3 Arbre d’entraînement d’hélice de bateau
Soit un arbre d’hélice de bateau de 15 m de long.
L’arbre est creux, le rapport entre le diamètre intérieur d et le diamètre extérieur D est d/D = 0,6.
L’arbre transmet une puissance de 4,5 MW à la vitesse de 350 tr/min.
La contrainte de cisaillement admissible de l’acier de l’arbre est τadm = 80 N.mm-², le module d’élasticité transversal G = 80 000 N.mm2.
a) Déterminer les diamètres intérieur et extérieur d et D de cet arbre.
b) Calculer l’angle de torsion à pleine puissance entre les deux extrémités distantes de 15 m.