cours de mecanique 2ème année

Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans

COURS DE MECANIQUE

2ème année

Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL

Chapitre 1. CINEMATIQUE DU SOLIDE

Université du Maine - UFR Sciences et Techniques

Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans

AVANT-PROPOS A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation usuelles d'un document écrit.

Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2

Catherine Potel - 1.1 - Université du Maine - Le Mans

I RAPPELS DE CINEMATIQUE DU POINT 1 Repères et bases

a) Base orthonormée directe B =

r r re e ex y z, ,d i est une base orthonormée si et seulement si :

⎪⎩

⎪⎨⎧

===⊥⊥

1eeeeee

zyx

zyxrrr

rrr

(vecteurs orthogonaux deux à deux) (vecteurs unitaires)

e y

ez

ex

Figure 1.1

.

e y

ez

ex

Figure 1.2

Si, de plus, deux des vecteurs de la base définissent le sens positif du troisième selon la "règle du tire-bouchon" ou selon la "règle des trois doigts", B =

r r re e ex y z, ,d i est une base orthonormée directe. Sinon, elle

est indirecte. Règle du tire bouchon : rotation de rex vers rey : progression selon rez (figure 1.1)

Représentation plane :

où . désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille

. désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur (figure 1.2).

b) Repère orthonormé direct

Un repère R de l'espace est défini par la donnée - d'un point de l'espace appelé origine, soit O. - soit de trois directions orientées x, y, z perpendiculaires deux à deux - soit de trois vecteurs libres unitaires, orthogonaux deux à deux, soit B =

r r re e ex y z, ,d i ,

la base orthonormée associée au repère R . Terminologie et notations : on parle alors du repère O x y z,b g ou du repère d'origine O et de base B =

r r re e ex y z, ,d i , noté selon les cas :

R , O x y z,b g, O e e ex y z; , ,r r rd i ou O,Bb g .



c) Coordonnées d'un point - composantes d'un vecteur

y

z

x

O

M

H

z

y

x

e y

ez

ex

Figure 1.3

Un vecteur a des composantes sur une base B =

r r re e ex y z, ,d i . Ainsi,

OM xe ye zex y z

⎯ →⎯= + +

r r r ,

également noté :

OM x

yz

⎯ →⎯

B (1.1)

Remarque fondamentale. Un même vecteur a des composantes différentes suivant la base sur laquelle il est projeté. Il faut donc toujours signaler dans quelle base on a projeté le vecteur.

Un point M a pour coordonnées dans le repère R B= O,b g : M x y z, ,b g

d) Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes

Soit R = O e e ex y z; , ,r r rd i un repère orthonormé positif donné.

A tout point M de l'espace, on associe le vecteur libre OM⎯ →⎯

.

Les composantes de OM⎯ →⎯

sur la base r r re e ex y z, ,d i sont appelées "coordonnées

cartésiennes du point M dans le repère R ". Nous les noterons x, y, z.

Cela revient à dire que OM xe ye zex y z

⎯ →⎯= + +

r r r (1.2)

e) Coordonnées cylindriques

On considère un plan Π orienté conformément au sens de sa normale, soit Oz, et un repère R = O e e ex y z; , ,r r rd i . Le repère O e ex y; ,r rd i est donc un repère positif du plan.

i) Coordonnées polaires dans le plan

H étant un point quelconque de O e ex y; ,r rd i, on considère la droite OHb g sur laquelle on

choisit une orientation qui n'est pas nécessairement celle du vecteur OH⎯ →⎯

. On définit ainsi un axe Ox1. On désigne par :



O

y

z x

x 1 = OHρ

ϕΗ

.

Figure 1.4

ρ : la mesure algébrique OH sur Ox1. ϕ : l'angle algébrique Ox Ox, 1b g , défini modulo 2π. ρ et ϕ constituent un couple de "coordonnées polaires"

associé au point H.

Remarques : A un point H correspond une infinité de couples de coordonnées polaires : - il y a déjà l'infinité ρ ϕ π, + ∈2k ka f - si l'on change le choix de l'orientation de la droite OHb g , l'axe Ox1 est changé en son

opposé, donc ρ en -ρ et ϕ en ϕ + π (modulo 2π).

- on a donc la double infinité de points : ρ ϕ π

ρ ϕ π π,

,+

− + +RST ∈

22

kk

ka f (1.3)

i) Coordonnées cylindriques

Le repère R = O e e ex y z; , ,r r rd i étant donné, on peut repérer un point M quelconque de l'espace

de la manière suivante : on considère les projections H sur le plan O e ex y; ,r rd i et K sur l'axe

Oz. La position de H est repérée dans le plan par ses coordonnées polaires H ρ ϕ,b g et celles

de K sur Oz par la mesure algébrique OK z= .

Oy

z

x

M

H

K

= OH x1ρ

= OKz

ϕ

Figure 1.5

Le point M est donc repéré par le triplet ρ ϕ, , zb g appelé "coordonnées cylindriques" de M

dans R = O e e ex y z; , ,r r rd i , avec l'indétermination

sur ρ et ϕ déjà signalée.

On définit la base orthonormée locale des coordonnées cylindriques B c ze e e=

r r rρ ϕ, ,d i où

r r re e ezρ ϕ, , sont définis dans le sens des ρ ϕ, , z

croissants.

iii) Relations avec les coordonnées cartésiennes

Marche à suivre : Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées

cartésiennes B =r r re e ex y z, ,d i et les vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées

cylindriques B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i .



Sachant ensuite que OM xe ye zex y z

⎯ →⎯= + +

r r r et aussi que OM e zez

⎯ →⎯= +ρ ρ

r r , on en déduira alors les relations entre x y z, ,b get ρ ϕ, , zb g Obtention des relations cherchées :

ϕ.

ey

ez

ex

ϕ eρ

eϕ

Figure 1.6

La projection des vecteurs de la base B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i sur

ceux de la base B =r r re e ex y z, ,d i donne :

y

y

x

x

zz

ee

cossin

ee

esincos

eee

r

r

r

r

rr

r

r

ϕϕ

++

ϕ−ϕ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

ϕ

ρ

. (1.4)

Inversement, la projection des vecteurs de la base B =

r r re e ex y z, ,d i sur ceux de la base

B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i donne :

r

r

r r

r

r

r

reee e

ee

ee

x

y

z z

===

RS|T|

−+

cossin

sincos

ϕϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ

ϕ , (1.5)

ce qui peut être résumé dans le tableau suivant :

100e0cossine0sincoseeee

z

zyx

r

r

r

rrr

ϕϕ−ϕϕ

ϕ

ρ . (1.6)

De plus,

OM e zee e ze

xe ye ze

z

x y z

x y z

⎯ →⎯= +

= + += + +

ρ

ρ ϕ ϕρr r

r r r

r r rcos sind i d'où

xyz z

===

RS|T|

ρ ϕρ ϕ

cossin . (1.7)

f) Coordonnées sphériques

Le repère O x y z,b g étant donné, ce qui revient à définir R = O e e ex y z; , ,r r rd i , et M désignant

un point quelconque non situé sur Oz, on considère le plan défini par Oz et ce point M. Ce plan coupe le plan O e ex y; ,r rd i selon une droite que l'on oriente de telle sorte que l'axe Ox1 ainsi défini "pointe" dans le demi plan contenant M. Comme précédemment, on appelle reρ le

vecteur unitaire porté par cette droite orientée.



On désigne par : ϕ : l'angle algébrique Ox Ox, 1b g , défini modulo 2π, Oy1 : l'axe perpendiculaire, dans le plan O e ex y; ,r rd i tel que Oy Oy, 1b g = ϕ , reϕ : le vecteur unitaire porté par l'axe Oy1,

Oz2 : la droite OMb g orientée dans le sens du vecteur OM⎯ →⎯

,

r : la mesure algébrique OM , toujours positive, rer : le vecteur unitaire porté par l'axe Oz2, θ : l'angle orienté Oz Oz, 2b g, compté positivement dans le plan O z x, 1b g, c'est-

à-dire le plan O e ez; ,r rρd i, conformément à l'orientation de sa normale Oy1 et

compris entre 0 et π, Ox2 : l'axe perpendiculaire, dans le plan O e ez; ,r r

ρd i tel que Ox Ox1 2,b g = θ , reθ : le vecteur unitaire porté par l'axe Ox2.

O y

z

x

M

H

K

x1

y1

ϕ

θ

z 2

r

x 2

θ

Figure 1.7

O x y z, 1 1b g ou R c zO e e e= ; , ,r r rρ ϕd i est donc un

nouveau repère orthonormé positif, déduit de O x y z,b g par rotation de ϕ autour de Oz, commun aux deux repères. O z x y, 2 2 1b g ou R s rO e e e= ; , ,r r r

θ ϕd i est donc un

nouveau repère orthonormé positif, déduit de O x y z, 1 1b g par rotation de θ autour de Oy1, commun

aux deux repères. Le point M est donc repéré par le triplet r, ,θ ϕb g appelé

"coordonnées sphériques" de M dans

R = O e e ex y z; , ,r r rd i , avec r >∈

∈

RS|T|

00

0 2 2θ π

ϕ π π,

, b g . (1.8)

Remarque. Ces coordonnées ne sont pas définies lorsque M est sur Oz. ϕ s'appelle l'azimut et θ la colatitude. Cherchons maintenant les relations avec les coordonnées cartésiennes.



Marche à suivre : * Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes B =

r r re e ex y z, ,d i avec les vecteurs de la base locale des coordonnées cylindriques

B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i, ce qui a fait l'objet du § I/1-e).

* Il faut ensuite déterminer les relations entre les vecteurs de la base locale des coordonnées cylindriques B c ze e e=

r r rρ ϕ, ,d i avec les vecteurs de la base locale des coordonnées sphériques

B s re e e=r r r, ,θ ϕd i .

* Sachant ensuite que OM xe ye zex y z

⎯ →⎯= + +

r r r et aussi que OM rer

⎯ →⎯=r , on en déduira alors les

relations entre x y z, ,b get r, ,θ ϕb g. Obtention des relations cherchées :

Les deux figures suivantes 1.8 a) et 1.8 b) sont tout à fait équivalentes. La première se rapproche plus du dessin en perspective de la figure 1.7, alors que la deuxième permet de se ramener à une configuration classique pour projeter les vecteurs de base.

ez e r

eθ

θ

θ eρeϕ

. θ. ez

e r

eθ

θ

eρ

eϕ figure 1.8-a) figure 1.8-b)

où . désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille

. désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur. La projection des vecteurs de la base B s re e e=

r r r, ,θ ϕd i sur ceux de la base B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i

donne :

r

r

r r

r

r

r

reee e

ee

ee

r z

z

===

RS|T|

−++θ

ϕ ϕ

ρ

ρ

θθ

θθ

cossin

sincos . (1.9)



Inversement, la projection des vecteurs de la base B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i sur ceux de la base

B s re e e=r r r, ,θ ϕd i donne :

r

r

r r

r

r

r

reee e

ee

ee

z r

r

===

RS|T|

−+ρ

ϕ ϕ

θ

θ

θθ

θθ

cossin

sincos . (1.10)

Il reste ensuite à remplacer les vecteurs de la base B c ze e e=

r r rρ ϕ, ,d i par leur expression en

fonction des vecteurs de la base B =r r re e ex y z, ,d i dans l'équation précédente, ce qui peut être

résumé dans le tableau suivant :

r r r

r

r

r

e e eeee

x y z

r sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

sin cos

θ ϕ θ ϕ θθ ϕ θ ϕ θ

ϕ ϕθ

ϕ

−− 0

(1.11)

De plus,

OM rer e e exe ye ze

r

x y z

x y z

⎯ →⎯== + += + +

r

r r r

r r rsin cos sin sin cosθ ϕ θ ϕ θd i

d'où x ry rz r

===

RS|T|

sin cossin sincos

θ ϕθ ϕθ

. (1.12)

g) En résumé

- Coordonnées cartésiennes : x, y, z ; OM xe ye zex y z

⎯ →⎯= + +

r r r

- Coordonnées cylindriques : ρ ϕ, , zb g ; OM e zez

⎯ →⎯= +ρ ρ

r r

- Coordonnées sphériques : r, ,θ ϕb g ; OM rer

⎯ →⎯=r

OM xyz

OM

z

OM r

c s

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯

= =B B B

ρ0 0

0



2. Vecteurs vitesse, rotation et accélération

a) Vecteur vitesse

Définition : on appelle vecteur vitesse (ou simplement la vitesse) d'un point M par rapport à un repère R B= O,b g le vecteur dérivée par rapport au temps t , et par

rapport à la base B , du vecteur position OM⎯ →⎯

. Notation :

rV M d M

dt/

/

R

B

a f=FHGG

IKJJ

⎯→⎯O . (1.13)

Dimension : V LT en m s= −1 /

b) Vecteur accélération

Définition : On appelle vecteur accélération ( ou simplement accélération) d'un point M par rapport à un repère R B= O,b g le vecteur dérivée par rapport au temps, et par rapport à la base B , du vecteur vitesse

rV M /Rb g .

Notation :

r

r

Γ M d Mdt

dVdtM/

/

/

/

R

B

R

B

a f=FHGG

IKJJ =

FHG

IKJ

⎯→⎯2

2

O . (1.14)

Dimension : Γ = −LT en m s2 2/

c) Vecteur rotation

i) Introduction : mouvement d'un point dans le plan

Première méthode : utilisation des composantes cartésiennes sur B 0

O

y

z x

x 1 = OMρ

ϕΜ

.0

0

0 Figure 1.9

Les coordonnées polaires ρ tb g et ϕ tb g sont liées aux

coordonnées cartésiennes par (voir ch 1 § I/1-g) :

x t t ty t t tb g b g b gb g b g b g

==

RSTρ ϕρ ϕ

cossin

. (1.15)



On a donc : & & cos & sin& & sin & cosx ty tb gb g

= −= +

RSTρ ϕ ρϕ ϕρ ϕ ρϕ ϕ

(1.16)

Or ,

r r rV M x e y ex y/ & &R 0 0 0d i = + (1.17)

c'est-à-dire r r r r rV M e e e ex y x y/ & cos sin & sin cosR 0 0 0 0 0d i d i d i= + + − +ρ ϕ ϕ ρϕ ϕ ϕ ,

d'où

r r rV M e e/ & &R 0d i = +ρ ρϕρ ϕ (1.18)

en introduisant la base B c e e=r rρ ϕ,d i, vue au chapitre 1 § I/1-g), dite "base locale" car elle

dépend de la position du point M.

Deuxième méthode : utilisation des composantes sur la base locale B c

OM e⎯ →⎯

= ρ ρr donc ( )

00

//

0 tded

etd

OMd/MVB

B

R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ+ρ=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= ρ

ρ

⎯→⎯ rr

&r

. (1.19)

Identification Par identification des relations (1.18) et (1.19), il vient

ϕρ ϕ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛e

tded

0/

r&

r

B

,

soit ( ) ρρ ∧Ω=∧

ϕ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛e/

001

00

tded

0c

00/ 0

rr

&

r

BBBBB

. (1.20)

Le vecteur vitesse du point M par rapport au repère 0R peut donc s'écrire

( ) MO//

tdMOd

/tdMOd

0c

c0

∧Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛BB

BB

r (1.21)

avec ( )0z0c e/ r

&r

ϕ=Ω BB . (1.22)

ii) Cas particulier important

Soient B1 et B 2 deux bases orthonormées définies par :

B1 1 1 1= r r re e ex y z, ,d i et B 2 2 2 2

= r r re e ex y z, ,d i avec r re ez z1 2

= . B1 et B 2 sont déduites l'une de l'autre par rotation d'angle α autour de re z 1

(figure 1.10).



α.ez

α

e y1

1

ex1

ex2

e y2 →

→→

→→

Figure 1.10

r

r

r r

r

r

r

reee e

ee

ee

x

y

z z

x

x

y

y

2

2

1 1

1

1

1

1

===

RS|T|

−++

cossin

sincos

αα

αα

r r r

r

r

r

e e eeee

x y z

x

y

z

2 2 2

1

1

1

00

0 0 1

cos sinsin cos

α αα α

−

Définition : On appelle vecteur rotation instantané (à l'instant t) associé au mouvement de B 2 par rapport à B1 le vecteur :

r rΩB B2 / &1 1

d i = α e z , (1.23)

c'est-à-dire que rΩB B2 / 1d i est le vecteur autour duquel on tourne, multiplié par la dérivée

par rapport au temps de l'angle dont on tourne. Dimension :

rΩB B2 / 1d i est une vitesse angulaire instantanée, donc Ω = −rad s. 1

! 1 260

1tr rad s/ min .= −π

iii) Cas général

On peut montrer que, lorsque les bases B1 et B 2 sont quelconques,

r rr

r rr

r rr

rΩB B

B B B2 1

1 1 1

22

2 22

2 22

2/ .

/.

/.

/d i = F

HGIKJ

L

NMMM

O

QPPP

+FHG

IKJ

L

NMMM

O

QPPP

+FHG

IKJ

L

NMMM

O

QPPP

ede

dte e

dedt

e ede

dtez

yx x

zy y

xz (1.24)

avec

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∧Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∧Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∧Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

22

22

22

z12

1

z

y12

1

y

x12

1

x

e//

dted

e//

dted

e//

dted

rrr

rrr

rrr

BBB

BBB

BBB

.

(1.25)



3 Dérivée d'une fonction vectorielle par rapport à des bases mobiles entre elles - La base de projection est la base sur laquelle on projette un vecteur. - La base de dérivation est la base par rapport à laquelle on dérive un vecteur. - La base de dérivation et la base de projection ne sont pas forcément les mêmes et seront souvent différentes. - Si la base de projection est la même que la base de dérivation, alors la dérivée du vecteur sera obtenue en dérivant uniquement les composantes de ce vecteur par rapport au temps. - Si les deux bases sont différentes, il faudra alors dériver aussi les vecteurs de la base de projection par rapport à la base de dérivation, ou utiliser la formule de changement de base de dérivation.

Soit F→

une fonction vectorielle à dériver par rapport au temps t et par rapport à B 1.

d Fdt

d Fdt

F→ →

→FHGG

IKJJ =

FHGG

IKJJ + ∧

/ //

B BB B

1 2

2 1

rΩd i . (1.26)

Cette égalité apparaît comme la formule de changement de base de dérivation. En particulier, la vitesse et l'accélération d'un point M par rapport au repère 0R s'écrivent

respectivement

( ) ( ) MO//

tdMOd

/tdMOd/MV 01

10

0 ∧Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= BB

BBR

rr (1.27)

et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )001

1

0

0

00 /MV/

/td/MVd

/td/MVd

/M RBBB

R

B

RR

rrrr

r∧Ω+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Γ (1.28)

4 Composition des mouvements On a déjà vu que l'étude du mouvement des systèmes mécaniques fait souvent appel à plusieurs repères de l'espace, mobiles les uns par rapport aux autres. On attachera alors un repère à un solide, et on dira que le repère est lié au solide.



R 1 2R

3R

d i1S 2S id

S 3id

Figure 1.11

⇒ Nécessité de préciser par rapport à quel repère on étudie le mouvement d'un point ou d'un solide. Notation : R Bi i iO= ,d i lié au solide S id i .

a) Point lié à un repère donné et point coïncident

i) Point lié à un repère donné

Définition : Etant donné un repère R 1, éventuellement mobile par rapport à d'autres repères, on dit qu'un point M est lié au repère R 1 s'il est fixe par rapport à R 1, c'est-à-dire que ses coordonnées dans R 1 ne dépendent pas du temps.

∀ =t V M, /r r

R1 0c h (1.29)

Notation : lorsqu'un point M est lié à un repère indicé, comme R1 ci-dessus, on prendra

l'habitude d'affecter le point du même indice, soit ici M1. M S M M∈ ⇔ ∈ ⇔1 1 1c h c hR

ii) Point coïncident

Soit un point M mobile à la fois par rapport au repère R 0 et par rapport au repère R 1, avec R 1 mobile par rapport à R 0. A chaque instant, M occupe une position M 0 dans R 0 , avec M 0 lié à R 0 et une position M 1 dans R 1 , avec M 1 lié à R 1

Définition : On appelle M 0 et M 1 les points coïncidents avec M , à l'instant t considéré, dans les repères R 0 et R 1 respectivement.

Remarque fondamentale : lorsque le temps varie, ces points coïncidents, fixes dans leurs repères respectifs, changent néanmoins. Ainsi, soit un voyageur M qui part de Compiègne à 13 h, se trouve à Paris à 14 h, à Melun à 15 h et à Troyes à 16 h. Le point coïncident de M dans le repère R 0 = France à l'instant t =14 est M Paris0 = , et à l'instant t =15 : M Melun0 = .

Le point coïncident varie d'un instant à l'autre, et cependant chacun d'entre eux est fixe par rapport à la France !



Le point coïncident avec M dans un repère donné est donc le lieu (lié à ce repère) où se trouve le point M à l'instant considéré. La succession, au cours du temps, des points coïncidents avec M (donc des lieux occupés par M) dans le repère R 0 (ou dans le repère R 1) constitue la trajectoire C 0 de M par rapport à R 0 (ou C 1 par rapport à R 1).

Exemple :

R 1d i1S

R 0d i0S I 0

1I

Figure 1.12

Ce n'est pas toujours le même point de S 1d i qui est

en contact avec le sol S 0d i.

b) Composition des vitesses

Soit un point M en mouvement par rapport à un train 1S , lui même en mouvement par rapport au rail 0S (figure 1.13).

S 0

S 1

rail

train

Figure 1.13 Vectoriellement, partant de la relation de Chasles pour les vecteurs :

O M O O O M0 0 1 1

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯= + , (1.30)

on obtient, par dérivation de l'équation (1.30) par rapport au temps et par rapport à la base 0B :

d O Mdt

d O Odt

d O Mdt

0 0 1 1

0 0 0

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯F

HGG

I

KJJ =

F

HGG

I

KJJ +

F

HGG

I

KJJ

/ / /B B B

.

(1.31)

Utilisant la formule de changement de base de dérivation (1.26), on écrit le second terme du second membre de l'équation précédente sous la forme :

d O M

dtd O M

dtO M1 1

1 0 1

0 1

⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯ →⎯

F

HGG

I

KJJ =

F

HGG

I

KJJ + ∧

/ /

/

B B

B BrΩd i

. (1.32)

On peut alors s'écrire :



d O M

dtd O M

dtd O O

dtO M0 1 0 1

1 0 1

0 1 0

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯ →⎯

F

HGG

I

KJJ =

F

HGG

I

KJJ +

F

HGG

I

KJJ + ∧

/ / /

/

B B B

B BrΩd i

. (1.33)

soit, en termes de vecteurs vitesse :

r r r rV M V M V O O M/ / / /R R R B B0 1 1 0 1 0 1b g b g c h c h= + + ∧

⎯→⎯Ω . (1.34)

La relation (1.34) peut également s'écrire, en faisant intervenir le point coïncident avec M , à l'instant t considéré, dans le repère R 1 :

r r rV M V M V M/ / /R R R0 1 1 0b g b g b g= + . (1.35)

vitesse absolue vitesse relative vitesse d'entraînement La relation (1.35) est dite de "composition des vitesses" Terminologie et interprétation : - le vecteur

rV M /R 0b g représente la vitesse du point M par rapport au repère "fixe" (par

convention) R 0 . Un usage ancien désigne ce repère fixe comme "absolu" (ce qui n'a aucune signification physique particulière dans ce contexte) et ce vecteur vitesse s'appelle alors la vitesse absolue du point M. Par commodité, nous conserverons cette appellation. - le vecteur

rV M /R 1b g représente la vitesse du point M par rapport au repère "mobile" (par

convention également) R 1. L'usage est d'appeler ce vecteur la vitesse relative du point M. - la compréhension du terme

rV M1 0/Rb g est plus subtile. Comme on l'a vu au § I/4-a), le

point coïncident M1 est le lieu du repère R 1 où se trouve M à l'instant considéré. Ce point M1, ainsi bien identifié à cet instant précis, en tant que point lié au repère R 1 mobile par rapport à R 0 , admet un vecteur vitesse par rapport à ce repère "fixe" :

rV M1 0/Rb g . On

l'appelle vitesse d'entraînement du point M dans le mouvement de R 1 par rapport à R 0 . En d'autres termes, le point M décrit, au cours du temps, une trajectoire C 1 dans le repère R 1. A

l'instant t considéré, il se trouve au point M1 de cette trajectoire. D'une part, le point M possède à cet instant une vitesse par rapport au repère R 1 : c'est la vitesse "relative" rV M /R 1b g, tangente à la trajectoire C 1 au point M1. D'autre part, puisque R 1 est mobile

par rapport à R 0 , le point M1 de C 1, lié à R 1, possède à ce même instant une vitesse par rapport à R 0 : c'est la vitesse "d'entraînement"

rV M1 0/Rb g , totalement indépendante de la

vitesse relative précédente. Par ailleurs, le point mobile M se déplace lui aussi par rapport à R 0 et il possède donc une vitesse par rapport à ce repère : c'est la vitesse "absolue"



rV M /R 0b g. La formule de composition des vitesses nous apprend que ce dernier vecteur est

la somme vectorielle de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.

c) Composition des accélérations La terminologie est identique : - accélération relative :

rΓ M /R 1b g

- accélération d'entraînement : rΓ M1 0/Rb g.

Cependant, contrairement au cas de la composition des vitesses, il ne suffit pas d'ajouter ces accélérations, puisque la deuxième ligne représente un terme complémentaire qui couple les effets du mouvement du repère R 1 par rapport au repère R 0 à ceux du mouvement relatif de M par rapport à R 1. Cette accélération, appelée accélération complémentaire, sera notée : rΓ c M / /R R1 0b g .

Avec ces notations, la formule de composition des accélérations s'écrit :

r r r rΓ Γ Γ ΓM M M Mc/ / / / /R R R R R0 1 1 0 1 0b g b g b g b g= + + . (1.36)

Vectoriellement, reprenons l'égalité vectorielle (1.34)

r r r rV M V M V O O M/ / / /R R R B B0 1 1 0 1 0 1b g b g c h c h= + + ∧

⎯→⎯Ω

et dérivons-la par rapport à t et par rapport à la base B0. On obtient l'accélération "absolue"

du point M :

rr r r

rr

Γ

ΩΩ

Md V M

d td V M

d td V O

d t

d

d tO M

d O Md t

// / /

//

/ / /

/ /

RR R R

B BB B

B B B

B B

00 1 1 0

1 01 1 0

1

0 0 0

00

b g b g b g b g

d i d i

=FHG

IKJ =

FHG

IKJ +

FHG

IKJ

+FHGG

IKJJ ∧ + ∧

F

HGG

I

KJJ

⎯ →⎯⎯ →⎯ (1.37)

On peut écrire autrement le premier et le quatrième termes du second membre de l'équation (1.37) en utilisant la formule de changement de base de dérivation :

d V Md t

d V Md t

V Mr r

r r/ // /

/ /

R RB B R

B B

1 11 0 1

0 1

b g b g d i b gFHG

IKJ =

FHG

IKJ + ∧Ω

= + ∧r r rΓ ΩM V M/ / /R B B R1 1 0 1b g d i b g



et d O M

d td O M

d tO M1 1

1 0 1

0 1

⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯ →⎯

F

HGG

I

KJJ =

F

HGG

I

KJJ + ∧

/ /

/

B B

B BrΩd i

= + ∧⎯ →⎯r r

V M O M/ /R B B1 1 0 1b g d iΩ

rΓ M /R 0b g peut alors être réécrit de la manière suivante :

r r

rr

r r

r r

Γ Γ

ΓΩ

Ω Ω

Ω

M M

Od

d tO M O M

V M

/ /

//

/ /

/ /

/

R R

RB B

B B B B

B B R

B

0 1

1 01 0

1 1 0 1 0 1

1 0 1

0

2

b g b g

c h c h c h c h

c h b g

=

+ +FHG

IKJ

∧ + ∧ ∧LNM

OQP

+ ∧

⎯→⎯ ⎯→⎯ (1.38)

Le premier terme du second membre de l'équation (1.38) est l'accélération relative. Elle ne fait intervenir que le mouvement de M par rapport au repère R 1. La deuxième ligne regroupe les termes qui ne font intervenir que le mouvement de R 1 par rapport à R0. Ils correspondent donc à l'accélération d'entraînement.

Le dernier terme donne une expression de l'accélération complémentaire :

r r rΓ Ωc M V M/ / / /R R B B R1 0 1 0 12b g c h b g= ∧ . (1.39)

Dans cette expression, le mouvement de R 1 par rapport à R0 apparaît par le vecteur rotation rΩ B B1 0/d i, tandis que le mouvement relatif de M par rapport à R 1 intervient par la vitesse

relative rV M /R 1b g. Ce terme complémentaire porte parfois le nom d'accélération de

Coriolis.

d) Composition des rotations Soient trois bases 0B , 1B et 2B , en mouvement les unes par rapport aux autres. On cherche une relation entre les vecteurs rotation associés au mouvement de 2B par rapport à

0B c'est-à-dire ( )02 /BBΩr

, au mouvement de 1B par rapport à 0B c'est-à-dire

( )01 /BBΩr

et au mouvement de 2B par rapport à 1B c'est-à-dire ( )12 /BBΩr

.

Calculons la dérivée d'une fonction vectorielle F

r quelconque par rapport au temps et par

rapport à la base 0B , en appliquant la formule de changement de base de dérivation (1.26) à



et en faisant tout d'abord intervenir sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base 2B

( ) F//

tdFd

/tdFd

02

20

rrrr

∧Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛BB

BB , (1.40)

puis sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base 1B

( ) F//

tdFd

/tdFd

01

10

rrrr

∧Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛BB

BB . (1.41)

L'application de la formule de changement de base de dérivation (1.26) au vecteur Fr

, en faisant intervenir les bases 1B et 2B donne

( ) F//

tdFd

/tdFd

12

21

rrrr

∧Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛BB

BB . (1.42)

Le report de la relation (1.42) dans la relation (1.41) s'écrit

( ) ( )[ ] F///

tdFd

/tdFd

0112

20

rrrrr

∧Ω+Ω+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛BBBB

BB . (1.43)

L'identification des équations (1.43) et (1.40), vraies pour tout vecteur Fr

, donne finalement la formule de composition des rotations :

r r rΩ Ω ΩB B B B B B2 0 2 1 1 0/ / /d i d i d i= + . (1.44)

Ce résultat est tout à fait généralisable à n bases. Remarque :

L'équation (1.44) implique aussi : r r rΩ Ω ΩB B B B B B2 2 2 1 1 2/ / /d i d i d i= + .

Or r rΩB B2 2 0/d i = ,

d'où

r rΩ ΩB B B B2 1 1 2/ /d i d i= − . (1.45)

S 1

2S

ez o

→

Figure 1.14

Exemple : solides en rotation autour du même axe O ez, r

0d i

( )0z202 e/

rrω=Ω BB ,

et r r rΩ ΩB B B B1 0 1 0 10

/ /d i d i= = −ω e z ,

donc r r r rΩ Ω ΩB B B B B B2 1 2 0 0 1 2 1 0

/ / /d i d i d i d i= + = −ω ω e z .



Cas particuliers importants : base locale des coordonnées cylindriques et des coordonnées sphériques mobiles par rapport à une base fixe

i) Coordonnées cylindriques On a vu au chapitre 1 § I/1-e) le passage des vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes B =

r r re e ex y z, ,d i aux vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées cylindriques

B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i. Ces deux bases sont déduites l'une de l'autre par rotation d'angle ϕ autour

de rez. Comme on l'a vu au § I/2-c, le vecteur rotation associé au mouvement de B c par

rapport à B est donné par

r rΩB Bc ze/ &c h = ϕ . (1.46)

ii) Coordonnées sphériques

On a vu au chapitre 1 § I/1-f) le passage des vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes B =

r r re e ex y z, ,d i aux vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées sphériques

B s re e e=r r r, ,θ ϕd i , par l'intermédiaire de la base orthonormée locale des coordonnées

cylindriques B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i .

- On passe de B à B c par rotation d'angle ϕ autour de rez. - On passe de B c à B s par rotation d'angle θ autour de reϕ

Comme on l'a vu au § § I/2-c, on obtient donc le vecteur rotation associé au mouvement de B s par rapport à B c :

r rΩB Bs c e/ &d i = θ ϕ . (1.47)

Or, par application de la composition des rotations (1.44), on a :

r r rΩ Ω ΩB B B B B Bs s c c/ / /d i d i d i= + ,

d'où

r r rΩB Bs ze e/ & &c h = +ϕ θ ϕ . (1.48)

e) Vitesse de glissement

I2

(S )1

(S )2

I

I1

Figure 1.15

Il faut distinguer trois points I point géométrique de contact I I1 1≡ ∈R point de R 1 au contact I I2 2≡ ∈R point de R 2 au contact



Définition : La vitesse de glissement de S 2d i par rapport à S 1d i est :

( ) ( )

( ) ( ) ./IV/IV,/IVS/SV

12

1212g

RRRR

∀−==

rr

rr(1.49-a)(1.49-b)

Lorsque le contact est sans glissement,

r r r rV S S V I V Ig 2 1 2 10/ / /d i d i d i= ⇒ =R R . (1.50)

Exemple : roue indéformable sur une chaussée. Dans les cas d'utilisation usuels, le contact se fait avec roulement sans glissement. Pour des situations particulières, fort freinage ou verglas, le contact peut se faire avec glissement ; il y a alors dérapage au contact.

! même lorsque le contact se fait sans glissement, la vitesse du point géométrique de contact I par rapport à la chaussée S1b g est non nulle (figure 1.15) : le point de contact va naturellement à la même vitesse que la roue. C'est le morceau I2 de la roue situé au lieu de contact qui voit, à cet instant et à cet instant seulement, sa vitesse passer par la valeur zéro.

II CHAMP DE VITESSE D'UN SOLIDE INDEFORMABLE 1 Relation entre les vitesses de deux points liés au même solide Soient 1P et 1Q deux points appartenant au même solide ( )1S , lié au repère ( )111 ,O BR = et en mouvement par rapport au repère ( )000 ,O BR = .

La vitesse du point 1P par rapport au repère 0R s'écrit

( )0

101

/tdPOd

/PVB

R ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

r , (1.51-a)

soit, en faisant usage de la relation de Chasles,

( )0

11

0

1001

/tdPQd

/tdQOd

/PVBB

R⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

r . (1.51-b)

En reportant l'expression de la vitesse ( )01 /QV Rr

dans la relation (1.51-b), et en faisant

usage de la formule de changement de base de dérivation (1.26), il vient

( ) ( ) ( ) 1101

1

110101 PQ/

/tdPQd

/QV/PV ∧Ω+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= BB

BRR

rrr . (1.51-c)



Le vecteur 11PQ étant lié au solide ( )1S , sa dérivée par rapport au temps et par rapport à 1B

est nulle, ce qui conduit à la relation cherchée

r rV P V Q Q P1 0 1 0 1 0 1 1/ / /R R Bd i d i d i= + ∧

→ ⎯ →⎯Ω B , (1.52)

dite formule de distribution des vitesses. ! Cette relation n'est vraie que pour deux points appartenant au même solide rigide S 1d i.

2. Equiprojectivité des vitesses D'après la formule de distribution des vitesses,

r r

1 244444 344444

V P P Q V Q P Q Q P P Q1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0

/ / /R R Bd i d i d i⋅ = ⋅ + ∧LNMM

OQPP⋅

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ → ⎯ →⎯ ⎯ →⎯Ω B

d'où r rV P P Q V Q P Q1 0 1 1 1 0 1 1/ /R Rd i d i⋅ = ⋅

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ . (1.53)

Q

P

V→

P1 0/Rd i

Q1V→

0/Rd i

Figure 1.16

Graphiquement, cette propriété d'équiprojectivité se traduit par le dessin de la figure 1.16 sur laquelle on voit que les vecteurs projetés orthogonalement sur la droite PQb g sont égaux.

3. Torseur distributeur des vitesses ou torseur cinématique

a) Rappel de la formule de changement de point

A1

A'1

F

A

A'

F

B

B'

F

P

Une mesure de l'efficacité de serrage d'un écrou (figure 1.17) est donnée par le moment de la force F

r

appliquée au point A , notée ( )F,Ar

, par rapport au

point P (centre de l'écrou) : FPA)F,A(P

rr∧=M (1.54)



Figure 1.17En un autre point Q , la relation (1.54) s'écrit

( ) FAPFPQFAPPQFAQ)F,A(Qrrrrr

∧+∧=∧+=∧=M ,

d'où QPF)F,A(FPQ)F,A()F,A( PPQ ∧+=∧+=

rrrrrMMM . (1.55)

La relation (1.55) fait intervenir le vecteur F

r, correspondant ici à la résultante des forces

appliquées à la clé.

b) Définition d'un torseur Un torseur T est un "être mathématique" constitué d'une résultante ( )TR et d'un moment

( )TM P en un point P .

Notation :

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

TMTRT

P avec

( )( ) QP)(

PQ)()(

P

PQ

∧+=

∧+=

TRTM

TRTMTM (1.56-a)(1.56-b)

c) Torseur distributeur des vitesses

Par analogie entre la formule de distribution des vitesses (1.52)

r rV P V Q Q P1 0 1 0 1 0 1 1/ / /R R Bd i d i d i= + ∧

→ ⎯ →⎯Ω B , (1.52)

et la formule de changement de point (1.56-b), le champ des vitesses du solide S 1d i peut

s'interpréter comme étant le champ des moments d'un torseur appelé torseur distributeur des vitesses et noté V R R1 0/d i , dont la définition est donnée ci-dessous.

Définition : On appelle torseur distributeur des vitesses, ou parfois torseur cinématique, du repère R 1 dans son mouvement par rapport à R 0 à l'instant t le

torseur noté V V R R= 1 0/d i d'éléments de réduction en un point P1 :

V V R R V B

M V= =

=

=

RS|T|

→

1 01 0

1 01

1

/ /

/d i b g d i

b g d iP P V P

r

r rR B

R

Ω (1.57)

! P P S P1 1 1≡ ∈ ≡ ∈d i d iR

Ce torseur est représentatif des degrés de liberté d'un solide par rapport à un autre (voir chapitre 2).



A un instant donné, le champ des vitesses des points liés à un solide s'identifie au champ des vitesses d'un mouvement hélicoïdal, parfois appelé vissage.

( / )RV

B

P

P

PP

∆

H

A

'

"'"

W Ω

P

( / )B 1 0

1

1

1

11

0

Figure 1.18

En utilisant les résultats de ce qui est appelé "la réduction canonique des torseurs" (à admettre dans le cadre de ce cours), la répartition la plus générale des vitesses des points d'un solide à un instant donné est représentée sur la figure 1.18. On voit ainsi que le champ des vitesses peut se décomposer en la somme d'un champ

constant r

W parallèle à Ω→B1 0/Bd i et d'un

champ perpendiculaire à Ω→B1 0/Bd i :

r rV P W HP1 0 1 0 1/ /R Bd i d i= + ∧

→ ⎯ →⎯Ω B (1.58)

où ∆b g : axe instantané de vissage (ou de rotation et de glissement),

Ω→B1 0/Bd i : vecteur rotation instantanée,

rW : vecteur vitesse de translation instantanée. 4. Mouvement de translation d'un solide

Définition : Le mouvement de S 1d i, donc de R 1 par rapport à R 0, est tel que pour tout

couple de points P Q S,b g d i∈ 1 , donc tout couple P Q1 1,b g , le vecteur P Q1 1

⎯ →⎯ demeure

constant, c'est-à-dire que le vecteur lié P Q1 1,b g se déplace en restant équipollent à lui-même (pour un observateur placé dans R 0).

On a alors : O Q O P P Q0 1 0 1 1 1

⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯= + ,

ce qui donne d O Qdt

d O Pdt

d P Qdt

0 1 0 1 1 1

0

0 0 0

⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯F

HGG

I

KJJ =

F

HGG

I

KJJ +

F

HGG

I

KJJ

/ / /B B Br

1 244 344

,

d'où ∀ ∈ =P Q S V Q V P, , / /b g d i d i d i1 1 0 1 0

r rR R (1.59)



A chaque instant, le mouvement élémentaire instantané est une translation rectiligne, mais cette translation élémentaire change à chaque instant aussi bien par sa vitesse que par sa direction.

Définitions : - i) Si ∀ t ,

rV P1 0/Rd i garde la même direction, alors la translation est rectiligne.

- ii) Si ∀ t , rV P1 0/Rd i est une constante, alors la translation est uniforme.

- iii) Si ∀ t , on a à la fois i) et ii), alors la translation est rectiligne uniforme. En pratique, des droites sont tracées sur un solide en translation, ces droites restent toujours parallèles à elles-mêmes. Il en est ainsi de la translation circulaire (figure 1.19).

ez→

Figure 1.19

Bien que chaque point soit animé d'un mouvement circulaire, il n'y a pas d'axe de rotation pour le mouvement de S 1d i par rapport à R 0.

Un exemple de tel mouvement est celui des nacelles d'une grande roue (figure 1.19) : il y a une rotation de la roue autour de rez, mais chaque nacelle (dont on néglige le balancement) est animée d'un mouvement de translation à génératrices circulaires.

! Il ne faut pas confondre un tel mouvement avec la rotation d'un solide autour d'une droite.

III MOUVEMENT PLAN : CINEMATIQUE GRAPHIQUE 1 Exemples Mouvement d'une échelle simple dans le plan vertical de la figure

x0

y0

O0

Π 0b gΠ 1d i

Figure 1.20

Le plan Π 1d i de symétrie de l'échelle (figure 1.20)

se déplace sur le plan Π0b g. Remarque : ce mouvement plan sera étudié en III/5-a) sous une forme légèrement différente.



Roulement d'un cylindre sur un plan

Π 0b gΠ 1d i

(∆)

Figure 1.21

Une section droite Π 1d i du cylindre se

déplace sur le plan Π0b g, fixe par rapport au

plan de roulement et perpendiculaire à ce dernier (figure 1.21). L'axe ∆b g du cylindre

reste parallèle à lui même.

Notations : S 0d i solide fixe, caractérisé par le repère R 0,

S id i solide mobile par rapport à S 0d i, P0 point lié à S 0d i et Pi .point lié à S id i. 2. Définition

Définition : On appelle mouvement plan d'un solide S1 par rapport à un repère R 0,

un mouvement tel qu'il existe une direction (fixe) de plan π 0d i telle que tout plan Π 1d i

lié à S 1d i parallèle à cette direction π 0d i , coïncide tout au long du mouvement avec un

plan fixe Π0b g, lui aussi parallèle à π 0d i .

Un tel mouvement sera donc parfaitement défini dès lors que l'on aura précisé le mouvement d'un de ces plans Π 1d i , lié à S 1d i, par rapport au plan fixe Π0b g, lié à R 0, avec lequel il

coïncide en permanence. En effet, un point M 1 de S 1d i en dehors de Π 1d i décrit une

trajectoire identique à celle de sa projection orthogonale H 1 sur Π 1d i : on appelle donc fréquemment un tel mouvement, "mouvement plan sur plan". On choisira des axes O x y1 1 1 et

O x y0 0 0 liés à ces plans respectivement. Tous les points de S 1d i considérés dorénavant sont

choisis dans ce plan Π 1d i . Leurs vecteurs vitesses sont également situés dans ce plan.



3. Centre instantané de rotation du mouvement de R 1 par rapport à R 0

a) Cas où le torseur distributeur des vitesses est un glisseur :

( ) 0/ 01

rr≠Ω BB et ( ) ( ) 0/PV/ 0101 =⋅Ω RBB

rr

I

I '

BΩ B 1 0→

/d i

P1

P''1

P'1

P'''1V→

0/Rd iP1

P"1V

→

0/Rd i

P"'1V→

0/Rd i

∆b g

Figure 1.22

- P1 est la projection orthogonale de

P'1 sur le plan Π 1d i . On a bien : r rV P V P1 0 1 0/ ' /R Rd i d i=

- On est ici dans un cas de dégénérescence où

r rΩB B1 0 0/d i ≠ . Le

vissage instantané est une rotation pure autour de l'axe ∆b g, perpendiculaire à Π0b g. Dans ce plan Π0b g, on a une rotation pure autour de I ∈ ∆b g, que l'on appelle alors

centre instantané de rotation.

i) Définition du c.i.r. Le point I 1 de Π 1d i qui se trouve en I à cet instant a sa vitesse nulle. On est donc conduit à

poser la définition suivante :

Définition : On appelle centre instantané de rotation de R 1 par rapport à R 0 (c.i.r.)

le point géométrique I tel que la vitesse du point I I S1 1= ∈d i se trouvant en I à

l'instant considéré soit nulle, c'est-à-dire tel que :

r rV I 1 0 0/Rd i = . (1.60)

Pour un mouvement plan quelconque, il en est ainsi à tout instant t, mais le point géométrique I varie au cours du temps, aussi bien dans le plan fixe Π0b g que dans le plan mobile Π 1d i . Il est essentiel de remarquer que la vitesse de ce point géométrique

I , par rapport à R 0, n'est pas nulle. C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1d i , qui se

trouve en I à l'instant t, qui est nulle.

!

r r rV I V I/ /R R0 1 0d i d i= ≠

C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1d i , qui se trouve en I à

l'instant t, qui est nulle.

!



ii) Construction du c.i.r. à partir de deux vecteurs vitesse équiprojectifs

Cas où

rV P1 0/Rd i et

rV Q 1 0/Rd i ne sont pas parallèles :

On vient de voir qu'à un instant t, le champ des vitesses

rV P1 0/Rd i apparaît comme le

champ des moments d'un glisseur de support ∆b g passant par I et perpendiculaire à Π 1d i et à

Π0b g.

Q

P

V→

P1 0/Rd i

Q1V→

0/Rd i

I

Figure 1.23

La formule de distribution des vitesses (1.52) donne :

rV P I P1 0 1 0 1 1/ /R Bd i d i= ∧

→ ⎯ →⎯Ω B , (1.61)

et rV Q I Q1 0 1 0 1 1/ /R Bd i d i= ∧

→ ⎯ →⎯Ω B . (1.62)

L'équation (1.61) implique que I 1 appartient à la

perpendiculaire à rV P1 0/Rd i passant par P1 et

l'équation (1.62) implique que I 1 appartient à la

perpendiculaire à rV Q 1 0/Rd i passant par Q 1. I est

donc le point d'intersection des normales aux vecteurs vitesse en P1 et en Q 1.

Réciproquement, la donnée, à l'instant t, de la vitesse d'un point P1 de S 1d i et de la position du centre instantané de rotation I permet de construire la vitesse de tout autre point Q 1, par

équiprojectivité des vitesses voir (figure 1.23).

Cas où rV P1 0/Rd i et

rV Q 1 0/Rd i sont parallèles mais

r rV P V Q1 0 1 0/ /R Rd i d i≠ :

On utilise alors la figure 1.22 en prenant P1

'" pour point Q 1 :

V→

P1 0/Rd i

Q 1V→

0/Rd i

I

P

Q

Figure 1.24

I est donc le centre de l'homothétie qui fait se correspondre les deux vecteurs vitesse. Le mouvement élémentaire instantané est encore une rotation instantanée d'axe ∆b g passant par I . Cette situation

n'est pas différente du cas général traité plus haut ; c'est seulement un choix particulier des points P1 et Q 1 qui a conduit à deux

vecteurs vitesse parallèles.



b) Cas où le torseur distributeur des vitesses est un couple : ( ) 0/ 01

rr=Ω BB et ( ) 0/PV 01

rr≠R

Si

r rV P V Q1 0 1 0/ /R Rd i d i= alors le champ des vitesses est constant. Il n'y a pas de centre

instantané de rotation à cet instant. Le mouvement élémentaire instantané est une translation. Si cette circonstance se produit à tout instant, le mouvement plan est un mouvement de translation à génératrices planes. On peut aussi considérer que le c.i.r. I est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à celle des vecteurs vitesse, comme le montre la figure 1.24 sur laquelle on ferait tendre la longueur de

rV Q 1 0/Rd i vers celle de

rV P1 0/Rd i.

c) But de la cinématique graphique

- Dans la pratique, les mouvements plans concernent des mécanismes constitués d'un certain nombre de solides liés entre eux, tous ces solides se déplaçant parallèlement à un même plan. La cinématique graphique consiste à construire géométriquement les vitesses de certains points des constituants d'un système, connaissant la vitesse de l'un d'entre eux, en utilisant : - le c.i.r. de chaque constituant par rapport au repère fixe. - l'équiprojectivité des vitesses de deux points appartenant au même constituant. - les propriétés géométriques des liaisons entre les constituants. - une liaison pivot de centre A entre un solide et un solide implique :

r rV A V A1 0 2 0/ /R Rd i d i= , c'est-à-dire

r rV A 1 2 0/Rd i = .

I A12 ≡ avec I 12 , c.i.r. de dans son mouvement par rapport à .

- une liaison glissière entre un solide et un solide implique :

rV A 1 2/Rd i dans la direction de la glissière, ∀ A 1 du solide .

I 12 est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à rV A 1 2/Rd i.

- Dans un certain nombre de cas, le c.i.r. est souvent donné par la condition de roulement sans glissement, qui consiste à écrire que :

r r rV I V I1 0 0 0 0/ /R Rd i d i= = . (1.63)



d) Eléments de cinématique graphique Comme on l'a déjà vu au § I/4-a), il va s'avérer utile d'affecter un indice particulier à tout solide mobile, afin d'identifier les points qui lui sont liés et le suivent donc dans son mouvement. S 0d i représentera le solide fixe, caractérisé par le repère R 0 0 0 0 0≡ O x y z,b g et

S id i un solide mobile par rapport à S 0d i. Tout point lié à S 0d i, donc fixe, sera noté P0 . Tout

point lié à S id i, donc entraîné avec lui dans le mouvement, sera noté Pi .

0

12

3

0

O

A

B x0

Figure 1.25

Exemple : système bielle-manivelle La manivelle est animée d'un mouvement circulaire autour du point fixe O. La bielle permet de transformer ce mouvement circulaire en mouvement de translation du piston .

On note I i j le c.i.r. du solide S id i par rapport au repère R j , lié au solide S jd i. Ces points

sont donnés par les propriétés géométriques des liaisons : La liaison pivot en O entre le bâti et la manivelle impose

r rV O V O1 0 0 0/ /R Rd i d i= .

Or r rV O 0 0 0/Rd i = , donc

r rV O 1 0 0/Rd i = , ce qui est la définition du c.i.r. du mouvement de

par rapport à . On a donc : I O10 ≡ .

De même, la liaison pivot en A entre la manivelle et la bielle impose r rV A V A2 0 1 0/ /R Rd i d i= avec I A12 ≡ , et la liaison pivot en B entre la bielle et le

piston impose r rV B V B3 0 2 0/ /R Rd i d i= avec I B23 ≡ .

La liaison glissière entre le piston et le bâti impose que la direction de

rV B 3 0/Rd i

soit parallèle à l'axe O x0. Il n'y a donc pas de c.i.r. du mouvement de par rapport à . D'après ce que l'on a vu au § III/3-b), on peut dire que I 30 est rejeté à l'infini dans la direction

perpendiculaire à O x0. I 2 0 va être donné par la construction de la figure 1.26 :



0

12

3O

A

B x0

A2V→

0/Rd i

I 2 0

B 2V→

0/Rd i

Figure 1.26

rV B 3 0/Rd i étant parallèle à l'axe

O x0, rV B 2 0/Rd i aussi. De même,

rV A 1 0/Rd i étant perpendiculaire à

OA , il en va de même de rV A 2 0/Rd i . On connaît donc les

directions des vitesses de deux points, A 2 et B 2, appartenant au

même solide, et par utilisation de la construction présentée sur la figure 1.23, on en déduit I 2 0.

La donnée de la vitesse

r rV A V A1 0 2 0/ /R Rd i d i= permet, par propriété

d'équiprojectivité, d'en déduire r rV B V B2 0 3 0/ /R Rd i d i= : A 2 et B 2 appartiennent au même

solide , et l'on connaît de plus la direction de rV B 3 0/Rd i . Par équiprojectivité, on obtient

la norme de rV B 3 0/Rd i et par suite le vecteur vitesse (voir figure 1.27).

Si l'on souhaite construire la vitesse d'un autre point C 2 de la bielle , on a besoin de I 2 0 pour

connaître la direction de rV C 2 0/Rd i. Par équiprojectivité,

on obtient ensuite sa norme (voir figure 1.27).

O

AB

x0

A2V→

0/Rd i

I 2 0

B 2V→

0/Rd i

C

C2V→

0/Rd i

Figure 1.27

4. Base et roulante Rappel : Pour un mouvement plan quelconque, le point géométrique I varie au cours du temps, aussi bien dans le plan fixe Π0b g que dans le plan mobile Π 1d i . Sa vitesse par rapport

à R 0 n'est pas nulle. C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1d i , qui se trouve en I à l'instant t,

qui est nulle.



Définitions : On appelle base la trajectoire C 0 du centre instantané de rotation dans le repère fixe R 0. On appelle roulante la trajectoire C 1 du centre instantané de rotation dans le repère mobile R 1.

C 0 : si O 0 est l'origine du repère R 0, on cherche alors O I0

⎯ →⎯ sur B 0 .

C 1 : Si O 1 est l'origine du repère R 1, on cherche alors O I1

⎯ →⎯ sur B1.

Par composition des vitesses (voir équation (1.35)) :

r r rV I V I V I/ / /R R R0 1 1 0d i d i d i= + .

Or, par définition du c.i.r., r rV I 1 0 0/Rd i = ,

donc r rV I V I/ /R R0 1d i d i= . (1.64)

Les deux courbes C 0 et C 1 sont donc tangentes en I à chaque instant t.

I

I1

I0

C0

C1

IV→

0/Rd i

Figure 1.28

La vitesse de glissement de C 1 par rapport à C 0

(voir équation (1.49)) est donnée par rV I 1 0/Rd i

qui, par définition du c.i.r., est nulle. Les deux courbes C 0 et C 1roulent donc sans

glisser l'une sur l'autre à chaque instant t (voir figure 1.28).

Tout mouvement plan peut donc être généré par le roulement sans glissement d'une courbe

sur une autre. 5. Exemples de mouvements plans Comme on l'a déjà vu sur l'exemple du § III/3-d), il va s'avérer utile d'affecter un indice particulier à tout solide mobile, afin d'identifier les points qui lui sont liés et le suivent donc dans son mouvement. S 0d i représentera le solide fixe, caractérisé par le repère

R 0 0 0 0 0≡ O x y z,b g et S id i un solide mobile par rapport à S 0d i. Tout point lié à S 0d i, donc

fixe, sera noté P0 . Tout point lié à S id i , donc entraîné avec lui dans le mouvement, sera noté Pi .



a) Mouvement d'une barre d'extrémités guidées sur des glissières perpendiculaires

Q1

P1

C1

I

x0

y0

O0S 0d i

S 1d i2

3

Q 1

P1

x0

y0

O1 S 0d i

S 1d i

V→

P1 0/Rd i

Q1V→

0/Rd i

Figure 1.29 Figure 1.30 Une barre S 1d i, de longueur 2a et de milieu C 1, a ses extrémités P1 et Q 1 guidées sur des

glissières perpendiculaires par des coulisseaux et articulés à la barre (figure 1.29). Les vitesses

rV P1 0/Rd i et

rV Q 1 0/Rd i n'étant jamais parallèles, le mouvement

élémentaire tangent n'est donc jamais une translation. rV P1 0/Rd i étant parallèle à O x0 0 et

rV Q 1 0/Rd i à O y0 0 , par construction (voir § III/3-a-ii)), on obtient le point I, centre

instantané de rotation. Celui-ci se trouve donc, à l'instant de figure, au quatrième sommet du rectangle. Si l'on se donne la vitesse

rV P1 0/Rd i, on peut construire

rV Q 1 0/Rd i par rotation (de

centre I) et homothétie (de centre I). On peut également utiliser directement l'équiprojectivité des vitesses, comme le montre la figure 1.30. Base et roulante

Le centre instantané de rotation I bouge, lorsque t varie, aussi bien par rapport à S 0d i que par

rapport à S1d i. C'est un point géométrique, sans indice, qui n'appartient à aucun des deux

solides S 0d i ou S 1d i. On a : O I a0 2= et C I a1 = .



O

Q1

P1

C1

I

x 0

y0

0

C 0

C 1

Figure 1.31

Ainsi, par rapport à S 0d i, I décrit le cercle C 0 de centre

O0 et de rayon 2a . D'après la définition donnée en III/4, C 0

est la base du mouvement. De même, par rapport à S 1d i, I décrit le cercle C 1 de centre C 1 et de rayon a. C 1 est la

roulante du mouvement. Le cercle C 0 est fixe tandis que

le cercle C 1 lié à S 1d i, roule sans glisser sur C 0 . Le point

I 1 de C 1, donc lié à S 1d i, qui

se trouve au contact I des deux cercles à l'instant t a sa vitesse nulle.

Remarque : cinématiquement, le mouvement de Π 1d i par rapport à Π0b g est le même que celui de C 1 sur C 0 . Le roulement sans glissement peut être réalisé technologiquement par

des dentures, ce qui, dans le cas présent, ramène le mouvement au roulement d'une roue dentée sur une autre (engrenage). Cependant, dans le cas général, cette réalisation technologique n'est pas possible car base et roulantes ne sont pas circulaires.

b) Roulement sans glissement d'un cercle sur une droite fixe Le cercle S1d i de centre C 1 et de rayon a roule sans glisser sur la droite fixe, support de l'axe

O x0 0 (voir figure 1.32). Cette condition s'exprime (voir équation (1.50)) en écrivant que la vitesse du point I S I∈ ≡1 1d i qui se trouve au contact I à l'instant considéré a sa vitesse nulle :

r rV I 1 0 0/Rd i = . (1.65)

I est donc le centre instantané de rotation de S1d i par rapport à R 0. Si l'on se donne rV C 1 0/Rd i , sur la parallèle à O x0 0, c'est-à-dire sur la droite y a0 = , on peut construire par

rotation et homothétie de centre I les vitesses des autres points liés à S 1d i, comme le montre

la figure 1.33. Par exemple, r rV B V C1 0 1 02/ /R Rd i d i= . (1.66)



Remarque : En I, il y a lieu de considérer que trois points sont confondus à l'instant t : - le point fixe I 0,

- le point I 1 lié à S 1d i et dont la vitesse s'annule à cet instant précis,

- le point géométrique I de contact, centre instantané de rotation, dont la vitesse n'est nulle, ni par rapport à R 0, ni par rapport à R 1.

1C

x 0

y0

I

A 1

y1

1x

a

a

x(t)

θ(t)

O 0 S 0d i

S 1d i

ex 0→

→1

e x

1C

x 0

y0

I

a

O 0 S 0d i

S 1d i

B1

V→

0/R iC1d

B1dV→

0/R i

figure 1.32 figure 1.33

Comme C I1

⎯ →⎯ reste constant par rapport à R 0, on a dans le cas présent :

r rV I V C/ /R R0 1 0d i d i= , (1.67)

et on a vu par ailleurs que r rV I V I/ /R R0 1d i d i= .

Expression analytique de la condition de roulement sans glissement

Si l'on ne tient compte que du contact (avec ou sans glissement) du cercle sur la droite, la position de S 1d i par rapport à S 0d i peut être définie par deux paramètres : l'abscisse x tb g de son centre C 1 sur la droite y a0 = et la rotation (algébrique) θ tb g du cercle sur lui-même.

Cette dernière est définie en considérant un axe C x1 1 lié à S 1d i, de vecteur unitaire rex1 et en

posant : θ π=r re ex x0 1

2,d i b g (1.68)

On notera sur la figure 1.32 que lorsque x tb g &x > 0b g alors θ tb g &θ < 0d i algébriquement,

ce qui est une difficulté de la configuration. Le vecteur rotation instantanée de S 1d i par rapport à R 0 étant &θ rez0

, on a, d'après

l'équation (1.52) :

r r rV I V C e C Iz1 0 1 0 1 10

/ / &R Rd i d i= + ∧⎯ →⎯

θ .



Or C I a ey1 1 0

⎯ →⎯⎯=

r , donc r rV I x a ex1 0 0

/ & &Rd i d i= + θ .

La condition cinématique de roulement sans glissement s'écrit donc : & &x a+ =θ 0. (1.69)

! La faute à ne pas faire est de calculer les coordonnées de I dans R 0, c'est-à-dire x,0b g et

d'écrire que leurs dérivées sont nulles, ce qui donnerait &x = 0. 6. Application : les engrenages Afin de limiter la quantité d'outils de taillage des roues dentées et de faciliter les réassortiments, on répartit régulièrement les surfaces conjuguées sur une surface appelée surface primitive. Leur écartement, donnant la largeur de la dent, dépend des efforts à transmettre et d'une condition de continuité d'engrènement.

Figure 1.34

a) Définition La surface active d'une dent est la surface latérale d'un prisme dont la section droite (donc perpendiculaire à l'axe de la roue) est appelée profil de denture. La dent menante et la dent menée sont dites conjuguées par leurs surfaces de contact. Le profil de l'une est le profil conjugué de l'autre.



b) Développante de cercle Le profil le plus utilisé en construction mécanique est le profil en développante de cercle. Le cercle de la développante est appelé cercle de base de la roue dentée.

I

O A M

0 1

Figure 1.35

Deux définitions possibles : trajectoire d'un point M appartenant à la

droite qui roule sans glisser sur un cercle fixe . lieu de l'extrémité M d'un fil enroulé sur

un cylindre que l'on déroule, le fil restant toujours tendu.

-1

-0.5

0

0.5

1.5

2

2.5

3.5

-1 0 1 2O

θ

A

MI

0

1R = OA

x

y

Figure 1.36

arc IA = distance IM

Equations cartésiennes

x Ry R= += −

RSTcos sinsin cos

θ θ θθ θ θ

b gb g



c) Ligne d'engrènement, angle de pression, cercles de base

T1

T2

O1 O2

Kα

α

1roue (S )

2roue (S )

D 21D

R'2

1R'

R1

R 2

1C '

1C

2C '

2C

I 12

y0

x0

cercle primitif

cercle primitif

cercle de base

cercle de base

ligne d'engrènement

Figure 1.37 Les cercles primitifs C1 et C2, respectivement base et roulante du mouvement de S 2d i par

rapport à S 1d i, sont tangents en I 12 , centre instantané de rotation du mouvement de S 2d i par rapport à S 1d i. Les cercles C 1

' et C 2' , de rayons R'1 et R'2 sont les cercles de base.

La développante du cercle C 1' constitue le profil de dents D 1 de la roue S 1d i.

La développante du cercle C 2' constitue le profil de dents D 2 de la roue S 2d i.

La droite T T1 2d i, passant par I 12 et tangente à C 1' et à C 2

' est appelée droite de poussée ou

droite d'engrènement. Cette droite roule sans glisser sur les cercles mobiles C 1' et C 2

' . Le point de contact entre D1 et D 2 est le point K. Pendant les rotations de C1 et de C2, la droite

T T1 2d i est immobile et le point de contact K se déplace sur cette droite. Si l'on néglige le

frottement de D1 sur D 2 , T T1 2d i étant normale aux profils, la poussée d'une dent sur l'autre

a lieu suivant T T1 2d i et par suite la poussée a un support constant.

α est appelé angle de pression. En général, il est normalisé α = °20 . Les angles de 14°30'

et 22° sont aussi utilisés. Quand l'angle de pression diminue, la tête de la dent devient pointue et se fragilise.

cours de mecanique 2ème année

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