coordonnées sphériques

7/23/2019 Coordonnes sphriques

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Coordonnes sphriques

On appellecoordonnes sphriquesdiverssystmes decoordonnesde l'espacequi gnralisent lescoordonnespolairesdu plan. Un point de l'espace y est repr par ladistance unpleetdeux angles. Ce systme est d'emploicourant pour le reprage gographique : l'altitude, lalatitude, et lalongitudesont une variante de ces coordon-nes. Plusieurssystmes de coordonnes sphriquessontgalement employs enastromtrie.

Il existediffrentes conventionsconcernant la dfinitiondes angles. Cet article utilise la convention P(,,), uti-

lise enmathmatiques, o dsigne lalongitudeet estcompris entre 0 et 2, et dsigne lacolatitudeet estcompris entre 0 et .

x

y

z

P

Dans cette convention de coordonnes sphriques, la position dupoint P est dfiniepar la distance et par les angles (colatitude)

et (longitude).

1 Histoire

Article dtaill :histoire des fonctions trigonomtriques.

2 Dfinition et proprits lmen-

taires

2.1 Conventions

rayon-colatitude-longitude

tant donn un repre cartsien (O, x,y,z), les coordon-nes sphriques (,,) d'un pointPsont dfinies par :

est la distance du pointPau centreOet donc>0.

est l'angle orient form par les demi-plans ayantpour frontire l'axe vertical et contenant respective-ment la demi-droite [O,x) et le pointP. SiHest leprojet orthogonal dePdans le plan (O, x, y), alorspeut tre dfini comme l'angle form par les vec-teursxetOH.

est l'angle non orient form par les vecteurs zetOP, appel angle znital oucolatitude.

Par convention, et pour assurer l'unicit de, l'angleestcompris entre 0 et 2 radians (0et 360) et l'angleest

comprisentre0et radians (0 et180)[1]. Cette conven-tion vaut pour le reprage maisetpeuvent parcourirun intervalle plus important pour une courbe paramtre

(,).

La relation de passage aux coordonnes cartsiennesscrit :

x = sin cos y = sin sin z = cos

On utilise cette notation dans la suite de l'article.

rayon-colatitude-longitude

En physique, les notations et sont gnralementinterverties[1], conformment au standardISO 31-11surles signes et symboles mathmatiques utiliser ensciences physiques et en technologie [2]. La distance auple est souvent noter[1].

rayon-longitude-latitude

En mathmatiques, on emploie galement le systme desgographes. On nomme les coordonnes (,,), o :

1
https://fr.wikipedia.org/wiki/ISO_31https://fr.wikipedia.org/wiki/Physiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9sienneshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Radianhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Colatitudehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_fonctions_trigonom%C3%A9triqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Colatitudehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Longitudehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_sph%C3%A9riques#Conventionshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Astrom%C3%A9triehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8mes_de_coordonn%C3%A9es_c%C3%A9lesteshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Longitudehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Latitudehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Altitudehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Anglehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_(math%C3%A9matiques)https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaireshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaireshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_(notion)https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_coordonn%C3%A9eshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_coordonn%C3%A9es


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2 3 UTILISATION

x

y

z

P

Un point repr en coordonnes sphriques(rayon/longitude/latitude).

dsigne la distance du point au centre du repre(centre de la Terre);

dsigne la longitude, mesure depuis l'axe desxgnralement entre 180et 180(- ) ;

dsigne la latitude, l'angle depuis le plan quato-rial, entre 90 et 90 (-/2 /2).

L'change entre les coordonnes cartsiennes et les coor-donnes sphriques se fait alors par les formules :

x = cos cosy = cos sinz = sin

Il est ais de passer d'un systme un autre car latitudeet colatitude sont lies par :

= 90o

Il est d'usage courant que la latitude soit galement dsi-gne par, comme la colatitude.

2.2 Lien avec les coordonnes polaires

Article dtaill :coordonnes polaires.

Dans le plan vertical (O, z, OP), le systme de coordon-nes (, ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y),(,sin(),) est aussi un systmede coordonnes polaires.

Soit r =OP

= (Oz,

OP)

P'le projet dePsur le planxOyOP =r sin()

= (Ox,

OP)

Les coordonnes cartsiennes du pointPsont :

z = cos x = OP cos = sin cosy = OP sin = sin sin

3 Utilisation

Un certain nombre de problmes possdent des sym-tries ; l'utilisation de coordonnes sphriques avec cer-taines symtries peut simplifier grandement l'expression

du problme et sa rsolution.Par ailleurs, de nombreuses donnes peuvent se reprsen-ter par des points sur une sphre. Il est donc importantd'avoir un systme de coordonnes permettant :

de relever la position d'un point (mesure) ;

de dcrire la position d'un point (rsultat d'un calculpar exemple) ;

d'effectuer une analyse statistique sur une populationde points.

De telles donnes sont appelesdonnes sphriques. Ilpeut sagir de position sur un objet sphrodal, commedesemplacements sur leglobeterrestre. Mais un point surunesphre peut aussi reprsenter une direction le rayonde la sphre n'a alors pas d'importance, et l'on peut seramener une sphre de rayon unit.

3.1 Reprage gographique

Articles dtaills :coordonnes gographiquesetgode.

Les coordonnes gographiques, utilises pour se rep-rer sur la surface de laTerre, sont une variante des coor-donnes sphriques. Elles utilisent les coordonnesh(al-titude),l(latitude) et (longitude), qui sont relies auxcoordonnes sphriques par :

h= g(l, )

l= 90o

= si 180o

= 360osinon

o(l,) est la distance au centre de la Terre du point dugodesitu dans la direction (l,). Lorsque l'ellipsodede rvolutionest utilis la place du gode, hest alors la
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipso%C3%AFde_de_r%C3%A9volutionhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipso%C3%AFde_de_r%C3%A9volutionhttps://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9o%C3%AFdehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Terrehttps://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9o%C3%AFdehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_g%C3%A9ographiqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaireshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9


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3.3 Calculs 3

Coordonnes gographiques(latitude) et(longitude).

hauteur godsique ou hauteur ellipsodale, encore nom-me hauteur au-dessus de l'ellipsode ; elle diffre del'altitude d'environ +/100 m au plus. La hauteur ellip-sodale est une grandeur purement gomtrique, l'altitudeest une grandeur physique. La grandeurhest la distancemesure le long de la normale l'ellipsode entre ce der-nier et le point considr.

3.2 Coordonnes clestes

Coordonnes quatoriales : dclinaison et ascension droite.

Article dtaill :coordonnes clestes.

Les coordonnes clestes, utilises pour reprer lesastressur leciel, utilisent cette mme variante avecfix (pro-jection sur lavote cleste). Par exemple, lesystme de

coordonnes quatoriales, utilis pour reprer les objetshors dusystme solaire, utilisent ladclinaison(corres-pond l) et l'ascension droite(correspond , exprime

en heures, avec 1 h = 15).

3.3 Calculs

Les coordonnes sphriques sont d'emploi courant dans

trois cas :

mouvement distance fixe d'un point donn, commedans le cas d'un pendule;

mouvement force centrale, notamment dans lepotentiel de Coulomb ;

problmes prsentant une symtrie sphrique.

3.3.1 Exemple du pendule

Article dtaill :pendule.

3.3.2 Exemple de l'attraction coulombienne

Articles dtaills : quation de Schrdinger etharmonique sphrique.

3.4 Donnes sphriques

Les donnes sphriques sont donc des relevs de direc-tions d'une droite dans l'espace. Si cette droite est orien-te, on parle devecteur unitaire(puisque l'on supposeune sphre de rayon unit), ou simplement vecteur ; si ellen'est pas oriente, on parle d'axe. Un vecteur est un rayonde la sphre unit et peut tre reprsent par un point P dela sphre. Un axe est un diamtre de la sphre et peut trereprsent par un des deux points diamtralement oppo-ss, P ou Q.

Exemple de donnes[3] :

vectorielles :

astrophysique : directions d'arrive derayonnements cosmiques,

gologie structurale: normales la surface endiffrents points d'un pli conique ou cylin-drique,

palomagntisme : rmanence magntiquedans des roches,

mtorologie: direction desvents un empla-cement donn,

ocanographie physique: mesure des direc-tions descourants marins ;

axiales :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Courant_marinhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Oc%C3%A9anographie_physiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Venthttps://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9t%C3%A9orologiehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Pal%C3%A9omagn%C3%A9tismehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Pli_(g%C3%A9ologie)https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9ologie_structuralehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Rayonnements_cosmiqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Astrophysiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Axe_(math%C3%A9matiques)https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_unitairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Harmonique_sph%C3%A9riquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dingerhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_(physique)https://fr.wikipedia.org/wiki/Potentiel_de_Coulombhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ascension_droitehttps://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9clinaison_(astronomie)https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_solairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_coordonn%C3%A9es_%C3%A9quatorialeshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_coordonn%C3%A9es_%C3%A9quatorialeshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Vo%C3%BBte_c%C3%A9lestehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Cielhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Astrehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_c%C3%A9lestes


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4 4 PROPRITS

cristallographie : orientation d'un cristallite(voirTexture (cristallographie)), direction desaxes optiques d'un cristal de quartz dans un ga-let dequartzite,

astronomie:normaleau plan de l'orbited'une

comte, physiologieanimale : orientation des champs

dendritiques sur lartined'un il de chat.

4 Proprits

4.1 Proprits diffrentielles

Cette section ne cite pas suffisamment ses sources.Pour l'amliorer, ajoutez des rfrences vrifiables[Comment faire?] ou le modle {{Rfrence nces-saire}}sur les passages ncessitant une source.

4.1.1 Diffrentielles

Le volume infinitsimal scrit d3V =2 sin ddd

Les surfaces infinitsimales :

L'lment de surface pour constant scrit d2S=2 sin d d

L'lment de surfacepour constant scrit d2S= sin d d

L'lment de surface pour constant scrit d2S = d d

Les vecteurs de labase comobile[Quoi?] (u,u,

u)ontpour diffrentielles :

du= du +sin du du =du +cos du du = sin du cos du

On en dduit les drives par rapport au temps :

u= u + sin u u = cos u u u= sin u cos u

4.1.2 Cinmatique

Les quantits cinmatiques, position, vitesse etacclrationsen dduisent :

OM=u

OM= u+

u+ sin u

OM= ( 2 2 sin2 )u+ (+ 2 2 sin cos )u+ (

4.1.3 Oprateurs diffrentiels

Article dtaill :nabla.

L'oprateurnabla, servant au calcul dugradient, de ladivergenceet durotationnelscrit

u =

,1

,

1

sin

Lelaplaciensen dduit :

= 1

2

2

+

1

2 sin

sin

+

1

2 sin2 2

2

4.1.4 Tenseurs usuels

Articles dtaills : tenseur mtrique et symbole deChristoffel.

Letenseur mtriquescrit

gij =

1 0 00 2 0

0 0 2 sin2

et l'intervalle

ds2 =c2dt2 d2 2d2 2 sin2 d2.

Les lments non nuls dusymbole de Christoffelsont

=

= sin2

= =

1

= cos sin

= =

1

= = cot

4.2 Relation avec les autres systmes de co-

ordonnes usuels

Les coordonnes cartsiennes (x, y,z), cylindriques (r, ,z) et sphriques, lorsqu'elles sont dfinies par rapport au
https://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Christoffelhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte#L%2527intervalle_d%2527espace-temps_entre_deux_%C3%A9v%C3%A9nementshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_m%C3%A9triquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Christoffelhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Symbole_de_Christoffelhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_m%C3%A9triquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Laplacienhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnelhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Divergence_(analyse_vectorielle)https://fr.wikipedia.org/wiki/Gradienthttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://fr.wikipedia.org/wiki/Acc%C3%A9l%C3%A9rationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Vitessehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_positionhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Pr%C3%A9ciser_un_faithttps://fr.wikipedia.org/wiki/Base_comobilehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessairehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Ins%C3%A9rer_une_r%C3%A9f%C3%A9rence_(%C3%89diteur_visuel)https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:V%C3%A9rifiabilit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citez_vos_sourceshttps://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9tinehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Physiologiehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Com%C3%A8tehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Orbitehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Normale_%C3%A0_une_surfacehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Astronomiehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Quartzitehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Texture_(cristallographie)https://fr.wikipedia.org/wiki/Cristallitehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Cristallographie


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5

mme repre cartsien (O,x,y, z) suivent les lois de trans-formations donnes ci-dessous.

Dans le tableau ci-dessus arctan(y,x) est le prolongementclassique sur les diffrents quadrants de arctan(y/x) pour

xetypositifs.

Coordonnes sphriques

Coordonnes cartsiennes

Coordonnes cylindriques

5 Gnralisation

Dans l'espace euclidiende dimensionn, pour un point decoordonnes cartsiennes (x1, , xn), on dfinit les co-ordonnes hypersphriques(r,1, ,n) par[4]

r = xx1 = r cos 1x2 = r sin 1cos2 xn1 = r sin 1 sin n2cosn1xn = r sin 1 sin n2sinn1

avec1, . . . , n2 [0, ] et n1 [0, 2].

Les coordonnes sphriques constituent le cas particuliern= 3 et les polaires n= 2 ; on pourra consulterla section

correspondante de l'article 3-sphrepour le casn= 4.

6 Notes et rfrences

[1] (en) Eric W. Weisstein, Spherical Coordinates ,MathWorld.

[2] (en)ISOStandards Handbook : Quantities and Units, 3e

d., Genve, 1993, 345 p. (ISBN 978-9-26710185-9).

[3] (en) N. I. Fisher, T. Lewis et B. J. J. Lembleton, StatisticalAnalysis of Spherical Data,Cambridge University Press,

1987 (ISBN 978-0-521-24273-8,lire en ligne), p. 1.[4] (en) Luis Manuel Braga de Costa Campos, Generalized

Calculus with Applications to Matter and Forces Math-ematics and Physics for Science and Technology,CRCPress, 2014 (lire en ligne), p. 686-687.

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6 7 SOURCES, CONTRIBUTEURS ET LICENCES DU TEXTE ET DE LIMAGE

7 Sources, contributeurs et licences du texte et de limage

7.1 Texte

Coordonnes sphriquesSource :https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_sph%C3%A9riques?oldid=120134193Contribu-teurs :Cdang,Robbot, Phe-bot, Lachaume, Kyle the hacker, Leag,Xfigpower, Stphane33, Litlok, Gemini1980, Claudeh5,Valvino, Kropot-kine 113, clusette, Dfeldmann, VonTasha, Analphabot, Salebot, Pamputt, Zorrobot, Isaac Sanolnacov, TXiKiBoT, Vivelefrat, Herve1729,SieBot, Ambigraphe, Bouquetin, JLM, F.verry, Dhatier, Kelam, DumZiBoT, SniperMask, Skippy le Grand Gourou, Mothieu, ZetudBot,MasterKiller, Iksemme, SpBot, Peti610bot, Bbrice, Luckas-bot, Dany.lockman, Anne Bauval, Xqbot, RibotBOT, Jean de Parthenay, Rip-chip Bot, Thielum, ZroBot, EdoBot, 0x010C, MerlIwBot, Lydie Noria, Supratera, Addbot, Kai23, KrysSpace et Anonyme : 60

7.2 Images

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