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Département de Physique, Université Laval, Québec. ©Pierre Amiot, 2011. Le Laplacien et les Harmoniques sphériques 1. Les données du problème Les fonctions appelées harmoniques sphériques apparaissent systématiquement dans la solution d'équations différentielles impliquant l'opérateur de Laplace, ou Laplacien. Cet opérateur est noté !2

ou " et a une forme très simple en coordonnées cartésiennes, où

! ="2

" x2+

"2

" y2+

"2

" z2

Les équations où il apparaît sont nombreuses en Physique, par exemple, celles de Laplace, de Poisson, d'onde, de Schrödinger, de diffusion.... C'est déjà impressionnant et même s'il s'agit du même opérateur différentiel, la Physique décrite varie énormément d'un cas à l'autre. L'équation la plus simple est celle de Laplace !" = 0 et c'est celle que nous utiliserons pour faire une étude de certains caractères systématiques dans la solution des équations impliquant !2

ou " . Les harmoniques sphériques surgissent dès qu'on utilise cet opérateur différentiel, le Laplacien, en coordonnées sphériques, r,! ,"( ) , où r ! 0, 0 " # " 2$ , 0 " % " $ . Dans ce cas

! =1

r

" 2

" r 2r +

1

r2sin#

""#

sin#""#

$

%

&

' +

1

r2sin

2#" 2

"( 2.

2. La séparation des variables L'équation de Laplace est simplement

!"! r ( ) = 0 . Explicitement, nous aurons à résoudre

!"! r ( ) =

1

r

# 2

#r2

r"! r ( )( ) +

1

r2sin$

##$

sin$#"! r ( )

#$%

& '

(

) * +

1

r2sin

2 $# 2"

! r ( )

#+ 2 = 0. (1)

Nous allons résoudre par séparation de variables, ce qui est possible ici, en posant

!! r ( ) = R r( )P "( )Q #( ) =

u r( )

rP "( )Q #( ) (2)

Remplaçant dans (1), cela nous donne

PQd2u

dr2

+Qu

r2sin!

d

d!sin!

dP

d!"

# $

%

& ' +

Pu

r2sin

2!d2Q

d( 2= 0 .

Multipliant de la gauche par r2sin

2!

PQu nous donne

r2sin

2!1

u

d2u

dr2

+1

Pr2sin!

d

d!sin!

dP

d!"

# $

%

& '

(

) *

+

, - +

1

Q

d2Q

d. 2= 0 (3)

3. Séparation de l'équation Le dernier terme contient toute et seulement la dépendance en ! et le premier, toute et seulement la dépendance en r et ! . Les variables r,! ,"( ) étant indépendantes, individuellement

2

elles peuvent varier arbitrairement. Le dernier terme doit donc être égal à une constante, seule façon de ne pas introduire de relation artificielle entre les variables. Nous choisissons d'appeler cette constante ! m2 , ce qui donne

1

Q

d2Q

d!2= "m

2 (4)

La solution de cette équation est très simple (équation harmonique) Q = e

±im! ou toute combinaison linéaire de ces deux fonctions. Comme ! et ! + 2" sont géométriquement le même point, la solution doit satisfaire Q ! + 2"( ) =Q !( ) cela impose que m soit un entier positif, négatif ou nul et donc Q !( ) = eim! = Q

m!( ) , m = -∞,....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....+∞ (5)

Remplaçant (4) dans (3) donne et après division par sin2! , nous avons

r2

u

d2u

dr2

+1

Psin!d

d!sin!

dP

d!"

# $

%

& ' (

m2

sin2!

)

* +

,

- . = 0 (6)

La quantité dans le crochet [ ] contient toute et seulement la dépendance en ! , alors que le premier terme contient seulement et toute la dépendance en r. Le crochet doit donc être égal à une constante que nous choisissons de noter -l(l+1). C'est là une équation qui se lit,

1

Psin!d

d!sin!

dP

d!"

# $

%

& ' (

m2

sin2!

)

* +

,

- . = (l(l +1) (6a)

Multipliant des deux cotés par P donne

1

sin!d

d!sin!

dP !( )

d!"

# $

%

& ' + l l +1( ) (

m2

sin2!

"

# $

%

& ' P !( ) = 0 (7)

Quant au premier terme de (6), il donne, après remplacement de (6a) dans (6) et multiplication de l'équation par u

r2 d

2u

dr2! l(l +1)u = 0 (8)

Cette dernière équation a pour solution u(r ) = Ar

l+1+ Br

!l= u

l(r) " R r( ) = A

lrl+ B

lr! l+1( ) .

4. Solution de l'équation en ! : série de puissance Nous sommes intéressés par la solution de (7), dont nous étudierons d'abord un cas "limite". a. Le cas m = 0. L'équation (7) se simplifie et il est utile de faire une transformation de variable, écrivant x = cos! " dx = d(cos!) = #sin!d! La variable x ici n'est pas cartésienne. Elle variera de 1 à -1 lorsque ! varie de 0 à π, le domaine de variation naturel pour la variable ! des coordonnées sphériques. Nous avons alors

d

dx1 ! x 2( )

dP

dx

"

# $

%

& ' + l(l +1)P = 0 (9)

Nous essayons une solution en série du type

P(x) = x!

anxn

n=o

"

# (10)

où ! est à déterminer, mais est choisi de telle sorte que les an< 0

! 0 . Le remplacement dans (9) donne

3

! + n( ) ! + n "1( )anx! + n"2

" ! + n( ) ! + n +1( )l(l +1)[ ]anx!+ n = 0

n=0

#

$ (11)

Nous égalons les termes en même puissance de x, et obtenons, pour les deux plus bas

x!2"# # !1( )a

0= 0

x!1"# # +1( )a

1= 0

.................................

et, de façon générale, xn! 0

" # + n + 2( ) # + n +1( )an+2 $ # + n( ) # + n +1( ) $ l(l +1)[ ]an = 0 (12)

i. Relation de récurrence Les coefficients a

0et a

1 ne peuvent être tous les deux nuls puisqu'alors l’équation (12) nous dit

que tous les coefficients seronnt identiquement nuls. Nous pouvons donc identifier deux familles de solution que nous schématisons ci-dessous

1) a

0! 0" # = 0 ou 1

2) a1! 0"# = 0 ou $1

Nous n'en ferons pas la preuve, mais ces deux familles sont équivalentes. Il suffit d'en choisir une, disons la première avec a

0! 0" a

1= 0 , laissant ! = 0 ou 1. Les solutions ! = 0 seront paires

et celles avec ! =1 seront impaires, ce qui est évident à l'étude de (10). ( Si on avait étudié le cas a1! 0 , alors c'est ! =1 qui aurait généré les solutions paires et ! = 0 les solutions impaires)

Choisissant a0= 1, l'éq. (12) nous donne

an+ 2 =

! + n( ) ! + n +1( ) " l(l +1)

! + n + 2( ) ! + n +1( )an (13)

La série (10), avec la règle (13), est infinie. Pour toute valeur de l et pour ! = 0 ou 1, elle a un rayon de convergence x < 1, comme bon nombre de ces séries de puissance. Si la série est infinie, les points x = 1sont interdits. Le problème est qu'ils correspondent à ! = 0 ou " , des valeurs non seulement acceptables mais nécessaires géométriquement et physiquement. Pour que notre série ait un sens physique, la solution doit être valide en ces points parce qu'ils correspondent à de vrais points de l'espace. La seule façon de les retrouver est d'imposer que la série soit finie, i.e. qu'elle se termine à une certaine valeur de n, disons à n=N, au delà de laquelle les coefficients satisfont an> N

! 0, mais avec aN" 0 . Choisissant n=N dans (13), nous devons imposer

aN+ 2 =

! + N( ) ! + N +1( ) " l(l +1)

! + N + 2( ) ! + N +1( )aN= 0 . (14)

Comme aN! 0 , il faut que le numérateur de la division soit identiquement nul, ce qui impose

! + N( ) ! + N +1( ) " l(l + 1) = 0 (15) où N est un entier ≥ 0 et ! = 0 ou 1. Ceci oblige l à ne prendre que certaines valeurs particulières entières positives: l = 0,1,2,3...... ii. Table des résultats On comprend mieux ici pourquoi on avait choisi d'écrire la constante arbitraire sous la forme l(l+1) dans l'équation 6a, de cette façon, l est un entier, positif ou nul.

4

Le reste est facile et est schématisé dans le tableau suivant qui donne la liste des premières solutions. On y voit qu'en faisant la liste des différentes valeurs possibles pour N et ! , chaque valeur de l n'apparaît qu'une seule fois. Nous utiliserons donc ce label, l, au lieu de N et ! pour identifier les solutions, i.e. les différentes solutions pour le polynôme P de (10) que nous écrirons Plx( )

! N l P

lx( ) Parité

0 0 0 1 + 1 0 1 x - 0 2 2 3x 2 !1( ) / 2 + 1 2 3 5x3 !3x( ) / 2 - 0 4 4 35x

4! 30x

2+ 3( ) / 8 +

etc etc etc etc etc iii. Polynômes de Legendre Vous noterez qu'il ne reste que les N pairs. C'est que nous avons choisi le cas a

0! 0" a

1= 0 ,

auquel cas tous les an pour n impair seront identiquement nuls, selon (15), ne laissant que les n

pairs, or N = n(maximum) et il est donc pair. Ces fonctions, les P

lx( ) , sont les fameux polynômes de Legendre que l'on peut générer aussi à

partir de la formule de Rodriguez

Plx( ) =

1

2ll!

dl

dxlx2!1( )

l

On sait que ces polynômes sont orthogonaux sur l'intervalle x = [-1, 1], i.e. de ! = " à 0 , mais ils ne sont pas normalisés, puisque

Pl(x)P

l'(x)dx =

2

2l +1!ll'"1

+1

#

Note : Pour mieux comprendre pourquoi x = [-1, 1] devient ! = 0 à " , alors que x = cos! , notons que

!1

+1

" ...dx = .......d(cos# ) = ! .......sin# d# = + .......sin# d## =0

# = $

"# = $

# = 0

"# = $

# =0

" , et c'est sous cette dernière forme que l'intégrale nous apparaîtra comme partie d'une intégrale sur tout l'espace (3-D) parce que dxdydz = r2drsin!d!d" où apparaît le Jacobien de la transformation lorsqu’on exprime l’élément de mesure (d’intégration) en coordonnées curvilignes.

5

b. Les fonctions associées, le cas m≠0. Les fonctions associées de Legendre, écrites P

l

m(x) , sont définies pour m entier, par

Pl

m(x) = !1( )

m

1! x2( )

m / 2 dm

dxmPl(x)

Comme Pl(x) est un polynôme d'ordre l, il est évident que m compte le nombre de fois que l'on

dérive Pl(x) , il ne peut donc prendre que les valeurs inférieures ou égales à l au maximum

m = 0, 1, 2, ....l et P

l

m> l(x) ! 0 . Cependant on pousse la généralisation jusqu'à définir ces polynômes pour des

valeurs négatives de m , mais qui satisfont évidemment |m| ≤ l. On définit

Pl

! m(x) = !1( )

m l + m( )!

l ! m( )!Pl

m(x)

Ces fonctions obéissent à une relation d'orthogonalité sur l, mais ne sont pas normalisées

Pl'

m(x)P

l

m(x)dx =

!1

+1

"2

2l +1

l +m( )!

l !m( )!#ll' .

Plus intéressant est le fait qu'on vérifie que ces fonctions associées satisfont notre équation complète pour m quelconque, (7), là où les polynômes (simples) de Legendre ne satisfaisaient que l'équation réduite (9), celle où m = 0. c. Retour à la solution générale complète Avec toutes ces données, il est maintenant possible d'écrire la solution de notre équation d'origine

!"! r ( ) = 0 .

Une solution de cette équation s'identifie par les deux indices, l et m, et s'écrit

!

lm

! r ( ) = R

l(r)P

l

m(cos")e

im# 5. Solution particulière en ! et ! Également, toute combinaison linéaire est aussi solution, i.e. toute fonction

!! r ( ) = C

lm

m= "l

+l

#l=0

$

# !lm

! r ( )

satisfait l'équation (1). C'est une vérité mathématique fort utile en Physique. Nous utilisons cette propriété pour exprimer la solution particulière de l'équation qui peut ajuster ses coefficients Cm pour décrire une situation physique donnée particulière. a. Harmoniques sphériques À partir de maintenant nous allons nous concentrer sur la dépendance angulaire de ces solutions, i.e. leur dépendance en ! et " . À cet effet on note que

d3 ! r = dxdydz = r

2drsin!d!d" = r

2drd#

où dΩ est l'élément d'angle solide généré dans l'espace par des variations successives de ! et " , à savoir d! et d" , comme sur la figure ci-contre Pour simplifier et systématiser la notation, nous définirons les fonctions Y

lm(!," ) , appelées

harmoniques sphériques, qui condensent en un seul symbole l'ensemble de la dépendance angulaire de l'équation de Laplace

6

Ylm(!," ) =

2l +1

4#

l $m( )!

l +m( )!Pl

m(cos!)e

im"

d!

d"

Le facteur numérique sous le radical a pour seul rôle de normaliser ces fonctions, au sens où intégrant sur l'ensemble de l'angle solide (on dit parfois sur 4π) , ces fonctions sont normalisées. Connaissant les P

l

m(cos! ) et les e

im" , on vérifie facilement qu'elles sont aussi orthogonales, de telle sorte qu'au total, elles sont orthonormales p/r aux deux indices d! sin"d"

" =0

#

$! =0

2#

$ Ylm

%(",! )Y

l' m' (",!) = & ll'&mm'

où l'intégrale se fait sur tout l'angle solide et peut se noter de différentes façons

..........d!0

4 "

# ou d$ ..........d cos%&1

+1

#0

2"

# ou d$0

2"

# .......sin%d%0

"

# totalement

équivalentes. b. Ensemble complet : solution particulière Les harmoniques forment un ensemble complet (pas démontré ici) sur le domaine de l'ensemble de l'angle solide (on dit aussi sur la surface de la sphère de rayon unité). Ainsi, toute fonction continue des variables ! et " peut être exprimée comme une combinaison linéaire des Y

lm(!," )

f (!," ) = clmYlm(!,")m=# l

+l

$l= 0

%

$

Cette propriété est condensée dans une relation de fermeture

Ylm(!,")

m=# l

+l

$l= 0

%

$ Ylm

&! ' ," '( ) = ' cos! # cos!'( )' " #"'( ) .

Ainsi donc, toute solution de l'équation de Laplace,

!"! r ( ) = 0 , sera de la forme

!

lm

! r ( ) où

!

lm

! r ( ) = R

lr( )Y

lm",#( )

En fait, il est clair pour l'équation de Laplace qui est homogène que toute combinaison linéaire de cette forme est également solution

!! r ( ) = C

lm

m= "l

+l

#l=0

$

# !lm

! r ( ) = C

lmR

lr( )

m=" l

+l

#l= 0

$

# Ylm%,&( )

7

Cette forme de solution est précisément celle dont nous avons besoin pour décrire une situation physique donnée. Pour ce faire, on ajuste la valeur des coefficients C

lm pour que la solution

corresponde à la situation étudiée. c. Quelques propriétés des harmoniques sphériques De la définition même des Y

lm!,"( ) , on tire certaines propriétés immédiates(!)

Yl!m ",#( ) = !1( )

m

Ylm

$",#( ) donne Y

l!m ",#( ) si on connaît Ylm!,"( ) ,

1! r !! r '

= 4"1

2l +1

r<l

r>l+1 Y

lm(#,$ )

m= !l

+ l

%l= 0

&

% Ylm

'# ' ,$'( ) ,

Plcos!( ) =

4"

2l +1Ylm(#,$ )

m= %l

+ l

& Ylm

'#' ,$'( ) , où ! est l'angle entre deux vecteurs dont les

angles directeurs sont respectivement !,"( ) et ! ' ," '( ) . Explicitement, les premiers harmoniques sphériques sont

Y00!,"( ) =

1

4#

Y10!,"( ) =

3

4#cos!

Y11!,"( ) = #

3

8$sin! e

i"

Y20!,"( ) =

5

4#3cos

2 ! $12

%

& '

(

) *

Y21!,"( ) = $

15

8#sin! cos! ei"

Y22!,"( ) =

1

4

15

2#sin

2! e2i"

Y30!,"( ) =

7

4#5cos

3! $ 3cos!2

%

& '

(

) *

Y31!,"( ) = $

1

4

21

4#sin! 5cos2! $1( )ei"

Y32!,"( ) =

1

4

105

2#sin

2! cos! e2i"

Y33!,"( ) = $ 1

4

35

4#sin

3! e3i"

Un résultat qui est souvent très utile et que nous ne démontrons pas ici (on peut consulter Jackson par exemple) est

1! r !! r '

= 4"1

2l +1

r<l

r>l+1 Y

lm(#,$ )

m= !l

+ l

%l= 0

&

% Ylm

'# ' ,$'( )

où r< est le plus petit de r ou r’ et r

> le plus grand des deux.

8

Les harmoniques sphériques sont complexes, de toute évidence. Les quantités immédiatement mesurables sont évidemment réelles. Aussi est-il instructif d'étudier certaines quantités réelles construites à partir des harmoniques sphériques Notons que

Ylm

!,"( ) + Ylm* !,"( ) = 2# Y

lm!,"( )( )

Ylm

!,"( ) $ Ylm*!,"( ) = 2i% Y

lm!,"( )( )

Partie réelle et partie imaginaire sont évidemment des quantités réelles. On note aussi que tous les Yl 0

sont réels et indépendants de ! . Un propriété importante de ces fonctions est qu'elles sont de parité définie et donnée par !1( )

l . Ceci se vérifie en passant d'un point !,"( ) à son conjugué à travers l'origine, i.e. x, y, z( )! "x,"y,"z( ) , donc !,"( ) ! " # $,% +"( ) .

Essayons avec Y11!,"( ) = #

3

8$sin! e

i"

Y11 !,"( ) = #3

8$sin! ei"

(x , y, z)%(# x,# y,# z)& % & & & & & & #3

8$sin($ #! )ei(" +$ ) = #

3

8$sin!ei"ei$ = +

3

8$sin!ei" = #Y11

La fonction a changé de signe, sa parité est négative, et ainsi de suite. Nous tracerons des graphiques polaires de combinaisons du genre de celles ci-dessus. La longueur du rayon vecteur donne la valeur de la quantité/fonction étudiée évaluée aux angles indiqués. Ces graphiques sont des esquisses et ne sont pas à l'échelle. Le premier est pour le dipôle, l = 1

+-

Trois orientations correspondant aux trois orientations spatiales. La composante m = 0 correspond à l’orientation Oz. Les composantes m = +1 et -1 sont des combinaisons linéaires (complexes) des orientations Ox et Oy. Notre deuxième exemple est pour Y

20!,"( ) , qui est réel et indépendant de ! . Son graphique

polaire apparaît ci-dessous, normalisé à r = 3cos2! "1 . C’est un quadripôle

9

z

y

x Le prochain exemple est pour les autres composantes du dipôle Y

11!,"( ) # Y

1#1 !,"( ) = 2$ Y11!,"( )( ) % sin! cos" , expression qui sera tracée selon ses

projections sur deux plans

z

x x

y

10

Si on examine la valeur absolue de ! Y

22",#( )( ) $ sin2" cos2# , on peut projeter le résultat sur

les deux plans suivants

etc,etc,etc..... 6. Quelques exemples d'utilisation a. Multipôles (électriques) Une utilisation fréquente d'un résultat ci-dessus donne lieu à une définition systématique des multipôles, en particulier en électrostatique. Soit une distribution de charge, décrite par une densité volumique de charge

!(! r ' ) dans un volume noté ! . On se place dans une situation où un

observateur est à une certaine distance de cette source, à ! r . Néanmoins, nous nous plaçons donc

dans une situation où r >> r'. Le potentiel électrique vu par l'observateur en ! r est

V(! r ) et est

calculé par l'expression générale

V(! r ) =

!(! r ' )! r "! r '#

$ d3! r '

où on fait la somme des contributions de tous les points ! r ' du volume ! . On voit que la

contribution du voisinage de chaque point est proportionnelle à sa charge, donc ~ !(! r ' )d

3 ! r ' de ce

voisinage et inversement proportionnel à la distance entre ce point et l'observateur en ! r , donc

~1! r !! r '

. L'intégrale est juste la somme de toutes ces contributions dans la limite d'une

distribution continue de charges dans la source contenue dans le volume ! . Utilisant la relation

11

1! r !! r '

= 4"1

2l +1

r<l

r>l+1 Y

lm(#,$ )

m= !l

+ l

%l= 0

&

% Ylm

'# ' ,$'( ) que l'on remplace ci-dessus, nous

identifions r avec r> et r' avec r

< sur la base de la géométrie du système, donc

V(! r ) =

!(! r ' )! r "! r '#

$ d3! r ' = 4%

1

2l +1

1

rl+1 Ylm(&,')

m="l

+l

(l=0

)

( !(! r ' )

#$ r'

lYlm

* & ' ,' '( )r' 2 sin&' dr' d& ' d''

= un nombre +qlm

" # $ $ $ $ $ $ $ % $ $ $ $ $ $ $

V(! r ) = 4!

1

2l +1

qlm

rl+1 Ylm(",#)

m= $l

+l

%l=0

&

%

!

chargesde

distribution

•

! r '

•observateur

r

! r "! r '

! r

#(! r ' )

Les coefficients qlm sont des nombres appelés moments multipolaires de la distribution de charge dont ils reflètent la géométrie. Ils se calculent par une intégrale portant sur le volume ! qui contient les charges

qlm = !(! r ' )

"# r'

lYlm

$ % ' ,& '( )d3! r ' = !(

! r ' )

"# r'

lYlm

$ % ' ,&'( )r' 2 sin%' dr' d%' d& '

On appelle monopole le terme correspondant à l = 0, pour lequel on ne peut avoir que m = 0. On dit que le monopole n'a qu'une composante. Il est ≈ à la charge totale de la distribution, Q, puisque

q00 = !(! r ' )

1

4"#$ r'

2sin%' dr' d% ' d& ' '

1

4"!(! r ' )

#$ d

3 ! r ' =

Q

4"

Ce monopole ne reflète pas de géométrie, il ne compte que la charge nette de la distribution de charge. Les multipôles d'ordre plus élevé reflètent la géométrie de la distribution. Le suivant est le dipôle avec l = 1. Il a trois composantes, notées m = -1, 0, +1. Considérons le cas l = 1 et m = 0, soit le moment q

10 . Il fait intervenir, dans l'intégrale qui le définit, le facteur

r' Y10! ' ," '( ) = r'

3

4#cos!' =

3

4#z' une fonction impaire selon l'axe z' de la distribution

et

q10=

3

4!"(! r ' )

#$ z' dx' dy' dz'

On voit que si la distribution de charge est décentrée avec l'équivalent d'un excédent de charge + dans un sens de l'axe Oz' et/ou un excédent de charge - dans l'autre sens, comme sur la figure ci-contre, alors q

10 aura une valeur non nulle qui reflétera cette géométrie.

12

Le calcul de q11

est presqu'aussi simple. On y retrouve le facteur (j'ai laissé tomber le ' des variables pour alléger; les quantités ci-dessous restent à être intégrées sur le volume ! )

rY11!,"( ) = #

3

8$rsin! e

i"

= !3

8"rsin# cos$ + ir sin# sin$( )

= !3

8"x + iy( )

= un terme impair selon x' et un terme (i fois) impair en y'. Ainsi q

11 mesure un débalancement de la distribution des charges + vs - selon l'axe x de la

distribution et i fois un débalancement selon l'axe y. Ce i fois peut sembler surprenant, on attend du potentiel qu'il soit réel. Il n'y a pas de problème, si q

11 est non nul, alors q

1!1 le sera aussi et la

somme de ces deux contributions sera réelle. On accepte donc le léger inconvénient que les moments soient complexes. Notez que l'on peut définir des moments cartésiens strictement réels par

qx ~ q11 + q1!1

qy ~ i(q11 ! q1!1)

qz ~ q10

Le dipôle est impair. En effet, changer x, y, z( )! "x,"y,"z( ) change les signes des moments q1m .

La parité d'un multipôle est !1( )l .

Les moments d'ordre supérieur sondent les distorsions de plus en plus fines de la distribution de charge. Seul le qlm non nul, d'ordre le plus bas est indépendant du système Ox'y'z'. Tous les autres dépendent (leur valeur) du positionnement et de l'orientation du référentiel. Il vaut la peine de dire un mot d'un multipôle d'ordre plus élevé. Étudions le cas

q20= !

! r ( )

"# r

2Y20$,%( )d"

et plus particulièrement le facteur

r2Y20! ,"( ) =

5

4#

1

23cos

2! $1( )r2 =

5

4#

1

23z

2$ x

2$ y

2$ z

2( ) =5

4#

1

22z

2$ x

2$ y

2( )

On note que cette expression est paire. Elle mesure le degré de déformation paire axiale de la distribution. Si la distribution est étirée (ballon de rugby) selon son axe Oz (charges de même signe), alors q

20 sera positif, si la distribution est écrasée selon la même direction, alors q

20 est

négatif. Si la distribution est de symétrie sphérique, le moment est nul. En fait, pour une distribution strictement sphérique, en volume et en signe, tous les moments sont nuls sauf q

00 qui

mesure la charge nette. Par exemple, la terre qui est légèrement écrasée au pôles a un moment q20

négatif dans la distribution de sa matière (axe des pôles = axe z) .

O

++

+

+

--

-

-

z'

y'

x'

!

13

b. Un problème simple en électrostatique Le problème envisagé est simple si on utilise les coordonnées sphériques, mais presqu'impossible en coordonnées cartésiennes. Soit une surface sphérique de rayon r = a portant une densité de charges telle que le potentiel (électrostatique) sur la surface est une fonction qu'on sait être V(a,!," ) = V0 sin! cos" La question est : quelle est l'expression pour le potentiel partout à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère? On note que la condition limite qui identifie ce problème est clairement de symétrie sphérique. Nous utiliserons donc un système de coordonnées sphériques pour profiter de cette symétrie et rendre la solution plus facile. C'est d'ailleurs le type d'argument utilisé pour choisir un système de coordonnées. Il s'avérera très utile de récrire l'expression pour le potentiel sur la surface. Puisque

cos! =ei!+ e

" i!

2

et en examinant les expressions explicites pour les harmoniques sphériques, il est assez simple de voir qu'ici

V a,!,"( ) =V0

2

2#

3Y1$1(!," ) $ Y11(!," )[ ]

i. À l'extérieur, r>a. Il n'y a pas de charges dans cette région de l'espace et le potentiel (électrostatique) obéit à l'équation !

2V r," ,#( ) = 0

Nous savons écrire directement la solution générale pour cette équation différentielle V r,!,"( ) = A

lrl+ B

lr#(l +1)( )Ylm !,"( )

La région extérieure s'étend de r=a+ jusqu'à r! " . Dans ce cas, le terme en Al n'a pas

physiquement de sens puisqu'il permet au potentiel de grandir jusqu'à l'∞ lorsque r! " . Ceci va complètement à l'encontre du sens physique qui prévoit que le potentiel tende vers une valeur constante finie (zéro) lorsqu'on s'éloigne infiniment de toute source de champ( un potentiel constant donne un champ nul). Nous devons donc poser dès maintenant que tous les A

l! 0 , ce qui

laisse la solution V r,!,"( ) = B

lr#( l+1)

Ylm!,"( )

Lorsqu'on laisse décroître r! a aussi près qu'on veut, la solution doit tendre vers la valeur

connue, V a,!,"( ) =V0

2

2#

3Y1$1(!," ) $ Y11(!,")[ ] . Clairement, ceci est impossible, aucune paire

unique de valeurs pour l et m dans la solution V r! a,",#( ) n'étant capable de reproduire ce résultat. La solution est ici très simple, mais nous allons cependant utiliser la méthode au long. La solution est d'écrire une solution particulière qui profite du fait que toute combinaison linéaire de solutions générale est aussi solution. Nous écrirons donc notre solution particulière comme

V r,!,"( ) = Blr#( l+1)

Ylm! ,"( )

m= #l

m= +l

$l= 0

%

$

14

Évidemment, cette solution ne sera vraiment particulière que lorsque nous aurons réussi à exprimer les coefficients B

l en fonction des quantités physiques dans notre problème. C'est ce que

nous faisons maintenant. Cette solution doit maintenant être capable de satisfaire la condition limite lorsque r! a . Nous devons donc avoir, à r! a

V0

2

2!

3Y1"1(#,$) " Y11(#,$)[ ] = B

la"(l +1)

Ylm

#,$( )m= "l

m= +l

%l=0

&

%

Pour déterminer les coefficients Bl , nous utilisons toujours l'orthogonalité des fonctions. Ici, nous

multiplions à gauche et à droite par YLM(! ,") , où L et M sont quelconque, mais fixés et nous

intégrons sur l'angle solide complet. Le calcul est trivialisé par les relations d'orthogonalité

V0

2

2!3

YLM

*(",#)Y

1$1 (",# )d%&' L1 ' M$1

! " # # # # $ # # # #

$ YLM

*(",#)Y

11(",#)d%&

'L1 ' M1

! " # # # $ # # #

(

) *

+ *

,

- *

. *

= Bla

$( l+1)YLM

*(" ,#)Y

lm(",# )d%&

'Ll' Mm

! " # # # $ # # # m= $l

m= +l

/l= 0

0

/

donc V0

2

2!

3"L1"M #1

#"L1"M1

$V0

2

2!

3"L1

"M #1

#"M 1

=BLM

aL+1

puisque les fonctions ! tuent les deux sommes à droite, les limitant au seul terme où l=L et m=M. Le côté gauche est déjà évalué ci-dessus et cette évaluation ne requiert que la propriété d'orthogonalisation des harmoniques sphériques. Il est clair que si L !1 , la gauche =0 identiquement, donc tous les B

LM à droite sont nuls sauf si L = 1. Nous ne conservons que ces

termes, ce qui donne

V0

2

2!

3"M #1

#"M1

=B1M

a2

Maintenant, il est aussi clair que la gauche n'est différente de zéro que si M =+1 ou -1. Étudions les deux cas

M = 1:V0

2

2!

30 "1 =

B11

a2# B

11= "

V0

2a2 2!

3

M = !1:V0

2

2"

31!0 =

B1!1

a2# B

1!1= +

V0

2a2 2"

3

Seulement deux coefficients sont non nuls et leur valeur est donnée ci-dessus. Remplaçant dans notre expression pour la solution particulière donne

V r,!,"( ) =V0

2

2#

3

a2

r2Y1$1 !,"( ) $ Y

11!,"( )[ ]

Discussion : C'est la solution, sans douleur! On notera que le potentiel décroît comme r !2 . Ceci est beaucoup plus rapide que la décroissance en r !1 du potentiel dû à une charge. Ce comportement est typique d'un champ dipolaire. Ici, on vérifie facilement que la charge totale sur la sphère est nulle; on dit qu'il n'y a pas de monopôle, i.e pas de charge nette, donc pas de terme décroissant en r !1. Le champ électrique est dû ici uniquement au fait qu'il y a une distribution de charges sur la surface, ici une distribution dipolaire. Ceci est évident du fait que seuls des termes en l = 1 apparaissent dans l'expression pour le potentiel. ii. À l'intérieur 0 ! r < a Il n'y a pas de charge non plus dans cette région et le potentiel obéira à l'équation !

2V r," ,#( ) = 0

Encore ici, la solution générale est de la forme V r,!,"( ) = A

lrl+ B

lr#(l +1)( )Ylm !,"( )

15

Parce que le point r=0 fait partie du domaine où la solution doit s'appliquer, on voit que le terme en B

l est impossible parce qu'il diverge en ce point, ce qui donnerait un champ électrique infini

entre le centre de la sphère et sa surface à r=a. C'est clairement et physiquement inacceptable et nous devons choisir tous les B

l = 0. Il ne reste alors que

V r,!,"( ) = AlrlYlm!,"( )

Le reste des opérations pour déterminer les coefficients Al de la solution particulière

V r,!,"( ) =l ,m

# AlrlYlm

!,"( )

suit le même cheminement que pour trouver les coefficients Bl dans le cas r > a.

Rép.: La dépendance angulaire est la même qu'à l'extérieur et les coefficients sont égaux à

A11= !

V0

2a

2"

3

A1!1

=V0

2a

2"

3

c. Et la mécanique quantique dans tout cela. En mécanique quantique, l'opérateur de Laplace joue un rôle important puisqu'il apparaît dans l'opérateur de Hamilton, l'observable de l'énergie, H, du système qui est le moteur de l'équation de Schrödinger

i!!

!t"" r ,t( ) = H"

" r ,t( ) .

Si les interactions sont décrites par un potentiel scalaire, alors

H =

! P 2

2m+ V! r ,t( ) représentation

! r

! " ! ! ! ! ! #"

2

2m$ + V

! r ,t( ), où

! P = #i"%

En particulier, si

V = V(! r )!

"H

"t= 0!#

! r ,t( ) = e

$ iEt/ "% (! r ) auquel cas il est suffisant de

résoudre

H! r ,!( )" (

! r ) = E" (

! r ) : équation aux valeurs propres de H.

Cette équation est une équation différentielle impliquant l'opérateur de Laplace ! = "2 .

Si nous nous limitons aux potentiels centraux, où V(! r ) = V r( ), indépendant de ! et " , la

séparation des variables favorise l'utilisation des coordonnées sphériques r,! ,"( ) . En effet, dans ce cas, la dépendance en ! et " provient uniquement de l'opérateur de Laplace, ∆, et on peut donc écrire immédiatement, à partir de ce que nous avons appris dans l'équation de Laplace

! (! r ) = R(r)Y

lm",#( )

où il ne reste plus à résoudre que la partie en r de l'équation différentielle. La partie angulaire obéit aux mêmes équations que l'équation de Laplace. Rappelons donc les équations (4) et (6a) écrites ici en utilisant directement les Y

lm!,"( ) plutôt que les fonctions Q et P dont le produit

(normalisé) donne Ylm!,"( ) . Nous avons alors

! 2Ylm

!"2

= #m2

Ylm$ #i!

!

!"Ylm

=m!Ylm

!! 21

sin"d

d"sin"

d

d"#

$ %

&

' ( !

m2

sin2"

)

* +

,

- . Ylm = l(l +1)!

2Ylm

16

Clairement, Y

lm!,"( ) est fonction propre simultanément de deux opérateurs différentiels

!i!"

"# et

!! 21

sin"d

d"sin"

d

d"#

$ %

&

' ( !

m2

sin2"

)

* +

,

- .

avec les valeurs propres respectives m! et l(l +1)!

2 , comme nous l’avons vu dans le développement initial de la solution de l’équation de Laplace. Si on prend la peine de faire les vérifications algébriques, on trouve que

!i!"

"#= L

z

!! 21

sin"d

d"sin"

d

d"#

$ %

&

' ( !

m2

sin2"

)

* +

,

- . =

" L 2

où l’opérateur

!L =!r !!p = "i"

!r ! # est l’opérateur moment cinétique orbital. Les indices m et l

ont donc une signification physique immédiate en mécanique quantique! Remarquable!!! Il est trivial de vérifier que ces deux opérateurs, dans leur forme différentielle, commutent, ils peuvent donc faire partie d'un même ECOC (voir Cohen-Tannoudji) avec des vecteurs propres communs qui sont clairement ici les kets l,m dont la réalisation sur l'espace physique décrit par les coordonnées sphériques donne les fonctions Y

lm!,"( ) , i.e.

!" lm = Ylm!,"( )

qui dit que la réalisation de lm sur le support de coordonnées !,"( ) est simplement l'harmonique sphérique Y

lm!,"( ) .

En mécanique quantique, ces deux opérateurs sont identifiés aux opérateurs reliés au moment cinétique orbital.

!

L est l'opérateur moment cinétique orbital et Lz sa composante z.

Nous avons pris l'habitude d'écrire tout cela

Lz,! L 2[ ] = 0

Lz

l,m = m" l,m! L 2

l,m = l(l +1)"2

l,m

et nous savons que l ne peut prendre que des valeurs entières ! 0 , alors qu m prend toutes les (2l+1) valeurs entières entre +l et -l. On notera un certain nombre de faits. 1. Ces deux opérateurs commutent et peuvent faire partie d'un même ECOC, cela est vérifiable à partir des expressions différentielles qui sont explicites ci-dessus. 2. La quantité m! est interprétée comme la projection z du moment angulaire, un vecteur dont la grandeur est

l(l +1)! . C'est là une particularité des systèmes quantiques. On attendait quelque

chose comme

! L 2

l,m = l2"2

n,l,m , mais ce n'est pas le cas. En fait, le moment angulaire se manifeste, dans ses effets physiques, comme ayant la valeur l! . 3. Si V = V(r) , i.e si le potentiel est central, alors le système étudié est sphériquement symétrique et on vérifie facilement que

L

z,H[ ] = 0,

!

L 2,H[ ] = 0 et nos deux opérateurs peuvent faire partie du même ECOC que H

lui-même. Ce sera le cas pour l'atome d'hydrogène (sans spin), par exemple, où H, L

z et !

L 2

17

constituent un ECOC. La présence de H fait apparaître un autre nombre quantique, généralement noté n , de telle sorte que les états purs pour ce système peuvent s'écrire n,l,m , les trois nombres quantiques donnant naissance à la nomenclature bien connue pour l'atome d'hydrogène. 4. Si on ajoute le spin de l'électron comme degré de liberté, il faut ajouter deux nombres quantiques à cette nomenclature, s et m

s, mais s n'a qu'une valeur possible, 1/2 et m

s ne peut

prendre alors que les valeurs ±1/2. Le spin, ! s , étant physiquement de même nature que le moment

angulaire, !

L on peut les additionner pour obtenir le moment cinétique total, !

J . On écrit parfois

!

J =

!

L +! s =

!

L +1/ 2!

et donc J peut prendre les deux valeurs l +1/ 2 et l !1/ 2 . Il vaut mieux attendre un peu avant de continuer cette discussion, le spin n'étant même pas au programme du présent cours ni la technique qui permet d'additionner des moments cinétiques en mécanique quantique. Ce dernier problème est techniquement assez difficile à résoudre. Contrairement au moment cinétique orbital, le spin n'a aucune analogie classique. Il n'apparaît de façon naturelle qu'en mécanique quantique relativiste. On doit l'importer à la main en mécanique quantique non relativiste qui, cependant a la place pour le recevoir, ce qui n'est pas le cas de la mécanique classique. Nous avons donc vu que les opérateurs moment cinétique de la mécanique quantique apparaissent naturellement de l'opérateur (différentiel) de Laplace. Ce n'est certainement pas le cas en mécanique classique. Laplace serait certainement très surpris de voir ce qui arrive à son opérateur. ©Pierre Amiot, 2011