coordonnées cylindriques et sphériques

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Coordonnées cylindriques et sphériques Mécanique : cours 7.1 29.10.13 § 1.7 Dr. Sylvain Bréchet 2 Mécanique | 2013 7.1 Coordonnées cylindriques et sphériques Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Repère cylindrique Repère sphérique Position en coordonnées cylindriques Position en coordonnées sphériques

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Page 1: Coordonnées cylindriques et sphériques

Coordonnées cylindriques et sphériques

Mécanique : cours 7.1 29.10.13 § 1.7

Dr. Sylvain Bréchet

2 Mécanique | 2013 7.1

Coordonnées cylindriques et sphériques

• Coordonnées cylindriques

• Coordonnées sphériques • Repère cylindrique

• Repère sphérique

• Position en coordonnées cylindriques

• Position en coordonnées sphériques

Page 2: Coordonnées cylindriques et sphériques

3 Mécanique | 2013 7.1

Plateau tournant avec feutre

•  Un tel système se prête naturellement à l’usage des coordonnées cylindriques pour exprimer de façon simple la trajectoire du feutre sur le disque.

4 Mécanique | 2013 7.1

•  Un tel système se prête naturellement à l’usage des coordonnées sphériques pour exprimer de façon simple le mouvement de la bille dans la glissière.

Glissière hémisphérique

Page 3: Coordonnées cylindriques et sphériques

5 Mécanique | 2013 7.1

Définition : coordonnées cylindriques

O

x1

x2

x3

P

zx1 = ⇢ cos�

x2 = ⇢ sin�

x3 = z

ρ

Coordonnées cartésiennes du point matériel P : Coordonnées cylindriques du point matériel P : Lien géométrique :

P = (⇢,�, z)

P = (x1, x2, x3)

6 Mécanique | 2013 7.1

Définition : coordonnées sphériques

O

x1

x2

x3P

rV

Coordonnées cartésiennes du point matériel P : Coordonnées sphériques du point matériel P : Lien géométrique : x1 = r sin ✓ cos�

x2 = r sin ✓ sin�

x3 = r cos ✓

P = (x1, x2, x3)

P = (r, ✓,�)

Page 4: Coordonnées cylindriques et sphériques

7 Mécanique | 2013 7.1

•  En ouvrant la sphère, on voit un système de coordonnées sphériques

Modèle 3D des coordonnées sphériques

8 Mécanique | 2013 7.1

Définition : lignes de coordonnées

O

x1

x2

x3

K

�W�z� �W�K�

�z�K�z

ρ

Lignes de coordonnées : lieu géométrique des points dont deux coordonnées sont fixées.

P (r, ✓,�)

P (⇢,�, z)

Page 5: Coordonnées cylindriques et sphériques

9 Mécanique | 2013 7.1

Définition : repère cylindrique

z

Repère cylindrique lié au point matériel P : Repère orthonormé direct : Vecteur position de P :

(P, e⇢, e�, ez)

e⇢ · e⇢ = e� · e� = ez · ez = 1

e⇢ ⇥ e� = ez

e� ⇥ ez = e⇢

ez ⇥ e⇢ = e�

r = ⇢ e⇢ + z ez

P

10 Mécanique | 2013 7.1

Lien entre les vecteurs de base des repères

z

Lien entre les vecteurs de base des repères cylindrique et cartésien : Relations d’orthogonalité :

P

e⇢ · e� = 0

e� · ez = 0

ez · e⇢ = 0

e⇢ = cos� x1 + sin� x2

e� = � sin� x1 + cos� x2

ez = x3

Page 6: Coordonnées cylindriques et sphériques

11 Mécanique | 2013 7.1

Définition : repère sphérique

Repère sphérique lié au point matériel P : Repère orthonormé direct : Vecteur position de P :

(P, er, e✓, e�)

r = r er

er · er = e✓ · e✓ = e� · e� = 1

er ⇥ e✓ = e�

e✓ ⇥ e� = er

e� ⇥ er = e✓

P

12 Mécanique | 2013 7.1

Lien entre les vecteurs de base des repères

Lien entre les vecteurs de base des repères sphérique et cartésien : Relations d’orthogonalité :

P

er · e✓ = 0

e✓ · e� = 0

e� · er = 0

er = sin ✓ cos� x1 + sin ✓ sin� x2 + cos ✓ x3

e✓ = cos ✓ cos� x1 + cos ✓ sin� x2 � sin ✓ x3

e� = � sin� x1 + cos� x2