2. repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

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2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

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Page 1: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

2. Repérage et coordonnées

- types de coordonnées- trajectoires- vecteur tangent

Page 2: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Systèmes de coordonnées

• Cartésiennes (1D, 2D, 3D)

• Cylindriques (3D)

• Polaires (2D)

• Sphériques (3D)

Position de M définie par des coordonnées :

Quelconque, glissière rectiligne

Symétrie de révolution (axe), glissière circulaire

Symétrie autour d’1 point fixe

Page 3: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées cartésiennes

• M N dans le plan

z selon Oz

• N x selon Ox

y selon Oy

M(ex, ey, ez) appelé repère local

O

M

y

z

xN

x(t) y(t) z(t) = coord. cartésiennes

Page 4: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées cartésiennes (2)

Dans le déplacement de M, ex, ey et ez :– Gardent la même longueur (norme =1)– Gardent même direction et sens

Pour l’observateur « attaché à » O(i, j, k)

dex/dt=0 dey/dt=0 dez/dt=0

Page 5: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées cylindriques

M N dans le plan

z selon Oz

N repéré par :

θ(t) = (i, ON)

r(t) = ON

r(t) (t) z(t) = coord. cylindriques

O

M

Nθ(t)

z(t)

Page 6: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées cylindriques (2)

Lien avec les coord. cartésiennes :• z(t) identique• ON fait θ(t) avec Ox

=> x(t) = r(t)cos θ(t)• ON fait π/2 - θ(t) avec Oy

=> y(t) = r(t)sin θ(t)

ou :

r(t) = x² + y² θ(t) = tan-1(y/x)

Page 7: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coord. Cylindriques (3)

Vecteur position :

x(t) y(t)

OM = r(t)cos θ(t) i + r(t)sin θ(t) j + z(t) k

ou OM = r(t) {cos θ(t) i + sin θ(t) j } + z(t) k

(1)

Page 8: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Repère local associé• er // ON, norme = 1

er = ON / r(t) (2)

• eθ fait +π/2 dans le plan horizontal passant par M

• ez = er ^ eθ

ez = k

O

M

Nθ(t)

z(t)

Page 9: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Expression de la base locale

Vecteur position :

OM = ON + NM

= r(t) er + z(t) k

comparé avec (1) :

er = cos θ(t) i + sin θ(t) j (3)

notation « juste » er(θ) ou er(θ(t)) !

Page 10: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Expression de la base locale (2)

eθ = er (θ+π/2)

= cos (θ+π/2) i + sin (θ+π/2) j

eθ = - sinθ(t) i + cos θ(t) j (4)

θ

er

Page 11: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Application du produit vectoriel

er^eθ = k ?

0

cos

sin

0

sin

cos

²sin²cos

0

0

1

0

0

Page 12: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Évolution de la base locale

Dans le déplacement de M, er, eθ et ez :– Gardent la même longueur (norme =1)– er , eθ changent de direction (θ variable)

Pour l’observateur attaché à O(i, j, k)

der/dt 0 deθ/dt 0 dez/dt =0

Page 13: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Évolution de la base locale (2)

(3) : er = cos θ(t) i + sin θ(t) j

der/dt = - sinθ(t)× θ i + cos θ(t)× θ j

(4) : eθ = - sin θ(t) i + cos θ(t) j

deθ/dt = - cosθ(t)× θ i - sin θ(t)× θ j

der/dt = θ eθ ; deθ/dt = - θ er

Page 14: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Application ..• En coord. cylindriques, repère de

dérivation repère d’écriture !• Règle de dérivation habituelle FAUSSE !!

V1 = 10t er + 4t² ez avec θ(t) = 3t

dV1/dt = 10er + 8t ez ?

dV1/dt = (10t er)' + (4t²ez)'

= 10 er + 10t (der/dt) + 8t ez

= 10er + 30t eθ + 8t ez

Page 15: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées polaires

• Restriction dans un plan horizontal (z= cste ou z=0) des coordonnées cylindriques

– r(t) appelé rayon polaire – θ(t) angle polaire

Page 16: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées sphériques

M repéré par : • 2 angles θ(t) , φ(t)• sa distance r(t) = OM

O

M

r

N

Repère local

er , eθ , eφ

Page 17: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Coordonnées sphériques (2)

• Utilisé en ELM (ondes …)• Coordonnées géographiques :

– Latitude = π/2 – θ– Longitude = φ

φ

Méridien de Greenwich

Page 18: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

trajectoire

– Ensemble des points (positions) occupées par M lors du mouvement

– Liée à l’observateur (notion relative)

• Équation de la trajectoire : f(x,y,z) ou g(r,θ) …

Exemple : y(x) = x² , x² + y² = 4

r(θ) = p / (1+ e cos θ)

Page 19: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Trajectoire (2)

• Trajectoire paramétrique (lois horaires)

Ensemble des lois x(t), y(t), z(t)

ou r(t) θ(t) z(t) ….

+ domaine de variation de t

x(t) = 1 + t (m)

y(t) = t²

z(t) = 4/3 t3/2 0 t 2 (s)

Page 20: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

t=2s

t=0

Page 21: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Abscisse curviligne

• Mesure de la longueur sur une trajectoire de t0 à t1

• notation OM ( OM) ou s(t)• M1M2 = OM2 – OM1

= s(t2) – s(t1)

méthode de calcul ?

Page 22: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Abscisse curviligne (2)

s(t1)

s(t2)

Page 23: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Vecteur tangent à la trajectoire

• T colinéaire à v(M), || T || = 1

• T = v(M) / v v = || v(M) ||

z

y

x

Mv

)( 222 zyxv

Page 24: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Vecteur tangent (2)

v(M)

T

Page 25: 2. Repérage et coordonnées - types de coordonnées - trajectoires - vecteur tangent

Vecteur tangent (3)

# Exemple

x(t) = t

y(t) = 1 + t² 0 t 4……

Tx = 1/ 1+4t² Ty = 2t/ 1+4t²