consonance, dissonance, distances · 2019. 9. 29. · un son a une fr equence, exprim ee en hertz...
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Consonance, dissonance, distances
Nicolas Trotignon, CNRS, LIP, ENS de LyonÉlève à l’École Nationale de Musique de Villeurbanne
Les rendez-vous d’Ésope : Plaisirs des sciences
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Les principaux axes de la musique
On dit souvent que la musique a pour axes principaux :
La mélodie
Le rythme
L’harmonie
Art de manier la consonance et la dissonancequand on joue différentes notes en même temps
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Les principaux axes de la musique
On dit souvent que la musique a pour axes principaux :
La mélodie
Le rythme
L’harmonieArt de manier la consonance et la dissonancequand on joue différentes notes en même temps
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Un exemple de morceau qui repose surtout sur l’harmonie
La Samba de uma nota só, de Antônio Carlos Jobim
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Un exemple de morceau qui repose surtout sur l’harmonie
La Samba de uma nota só, de Antônio Carlos Jobim
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Un système dynamique très simple
Lorsqu’un marcheur marche d’un pas régulier le long d’un cercle,combien de distances différentes définit-il ?
Cette question a un lien profond avec la musique ...
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Un système dynamique très simple
Lorsqu’un marcheur marche d’un pas régulier le long d’un cercle,combien de distances différentes définit-il ?Cette question a un lien profond avec la musique ...
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Questions
Comment évolue le nombre de distances au cours du temps ?
il crôıt indéfiniment ?
il oscille entre deux valeurs ?
il crôıt, décrôıt et se stabilise ?
à quelle(s) valeur(s) ?
Question de “système dynamique” ...
À vous de deviner la réponse...
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Questions
Comment évolue le nombre de distances au cours du temps ?
il crôıt indéfiniment ?
il oscille entre deux valeurs ?
il crôıt, décrôıt et se stabilise ?
à quelle(s) valeur(s) ?
Question de “système dynamique” ...À vous de deviner la réponse...
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Le théorème des trois distances
Si un marcheur marche d’un pas régulier le long d’un cercle
Il définit différentes “stations”
On s’intéresse à la distance entre deux stations consécutivessur le cercle
Théorème (Vera Sós, 1957)
Il y a au maximum trois distances différentes
Théorème des trois distances, three-gap theorem,conjecture de Steinhaus, preuve courte par Liang en 1979
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Le théorème des trois distances
Si un marcheur marche d’un pas régulier le long d’un cercle
Il définit différentes “stations”
On s’intéresse à la distance entre deux stations consécutivessur le cercle
Théorème (Vera Sós, 1957)
Il y a au maximum trois distances différentes
Théorème des trois distances, three-gap theorem,conjecture de Steinhaus, preuve courte par Liang en 1979
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Encore plus fort
S’il y a trois distances exactement :
la grande est la somme des deux petites
il est toujours possible de marcher plus longtemps pouratteindre deux distances
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Exemple
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Exemple
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Exemple
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Exemple
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Exemple
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Exemple
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Exemple
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Exemple
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Les sons
D’après Wikipedia :
“Le son est une vibration mécanique d’un fluide, qui sepropage sous forme d’ondes longitudinales grâce à ladéformation élastique de ce fluide”.
“Un son harmonique : qui contient des fréquences multiplesd’une fondamentale audible”.
Cette fréquence détermine la hauteur du son : du plus graveau plus aigu.
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1er exemple
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,� �
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í� �
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Les intervalles
Un son a une fréquence, exprimée en hertz
Deux sons de fréquence différente forment un intervalle
L’intervalle se mesure par le rapport des fréquences
Intervalle mélodique : quand les deux sons sont jouésl’un après l’autre
Intervalle harmonique : quand les deux sons sont jouésen même temps
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Les intervalles consonants
Octave
í� ������
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Quinte
í� �������
Tierce majeure
í� �������
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Intervalles consonants et fréquences
Grande découverte de l’antiquité (Pythagore):Les intervalles consonants correspondent à des rapports defréquence simples.
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Le principe d’équivalence des octaves
L’octave est l’intervalle réputé le plus consonant.
À tel que point qu’il y a en musicologie un principe d’identitédes octaves.
Deux sons de fréquences f et 2f sont considérés commeéquivalents.
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Les intervalles dissonants
Le ton
� ���� ��
Le triton
~����� �� �~�
Le demi-ton
������� �� �
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Rapports de fréquences associés aux intervalles consonants
Octave: 2 (do - do)Quinte: 3/2 (do - sol)Quarte: 4/3 (sol - do)Tierce majeure : 5/4 (do - mi)Tierce mineure : 6/5 (mi - sol)Sixte mineure : 8/5 (mi - do)Sixte majeure : 5/3 (sol - mi)
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La dissonance, ce n’est pas mal !
Zyriab, de Paco de Lucia
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Le problème de la construction de gammes
On veut un nombre fini de sons, ni trop ni trop peuOn veut un maximum de consonanceDonc au moins :
Toujours pouvoir monter d’une octave (multiplier par 2)Et atteindre la même noteEt diviser par 2 SVP !
Toujours pouvoir monter d’une quinte (multiplier par 1.5)Et atteindre
une autre noteEt diviser par 1.5 !
C’est IMPOSSIBLE.
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Le problème de la construction de gammes
On veut un nombre fini de sons, ni trop ni trop peuOn veut un maximum de consonanceDonc au moins :
Toujours pouvoir monter d’une octave (multiplier par 2)Et atteindre la même noteEt diviser par 2 SVP !
Toujours pouvoir monter d’une quinte (multiplier par 1.5)Et atteindre une autre note
Et diviser par 1.5 !
C’est IMPOSSIBLE.
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Le problème de la construction de gammes
On veut un nombre fini de sons, ni trop ni trop peuOn veut un maximum de consonanceDonc au moins :
Toujours pouvoir monter d’une octave (multiplier par 2)Et atteindre la même noteEt diviser par 2 SVP !
Toujours pouvoir monter d’une quinte (multiplier par 1.5)Et atteindre une autre noteEt diviser par 1.5 !
C’est IMPOSSIBLE.
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Le passage au logarithme
On représente les fréquences des notes sur un cercle decirconférence 1 (disons 1 décimètre)
Un tour complet du cercle correspond à unemultiplication par 2(car en musique, multiplier une fréquence par deux redonne lamême note)
Les mathématiciens savent calculer que multiplier par 1.5correspond à avancer de 0.58496. . .Formule : log2 1.5 = 0.58496 . . .
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Visuellement
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Avec les noms de notes
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
Différents problèmes :
Il y a deux sortes de demi-ton (en solfège :demi-ton diatonique et demi-ton chromatique)L’intervalle de la# à fa n’est pas une quinte pure :c’est la quinte du loup.Solution moderne : tout reprendre à zéro, avec un pas delongueur 1/12 : c’est le tempérament égal
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Avec les noms de notes
fa
do
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mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
Différents problèmes :
Il y a deux sortes de demi-ton (en solfège :demi-ton diatonique et demi-ton chromatique)L’intervalle de la# à fa n’est pas une quinte pure :c’est la quinte du loup.Solution moderne : tout reprendre à zéro, avec un pas delongueur 1/12 : c’est le tempérament égal
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Le problème du tempérament
Tempérament pythagoricien et tempérament égal :
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
fa
do
sol
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mi
si
fa#
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Une grande question
Spontanément, un musicien fait-il des intervalles purs ou desintervalles tempérés ?
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musique
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les “retours à deux distances” en musiquefa
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Les nombres magiques de la musique : 5, 7, 12
Le théorème des trois distance explique pourquoi dans toutesles civilisations, les gammes ont 5, 7 ou 12 notes.
Il y avait déjà des explications avant ce théorème (fractionscontinues), mais plus compliquées.
Premier à avoir remarqué le lien: Norman Carey, musicologueaméricain, en 1998.
Indépendamment : Guillaume Hanrot, professeur eninformatique à l’ENS de Lyon.
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Pour en savoir plus
La thèse de Norman Carey, Distribution Modulo 1 and musicalscales. PhD thesis, Rochester University, 1998.
Mon mémoire de formation musicale, Sur le théorème destrois distances et la construction des gammes, ENM deVilleurbanne, 2015.Destiné à un lecteur connaissant bien le solfège et peu lesmathématiqueshttps://arxiv.org/abs/1505.05380
Mon blog sur la chanson,Le jardin aux chansons qui bifurquenthttps://jardinauxchansons.blog/
https://arxiv.org/abs/1505.05380https://jardinauxchansons.blog/
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Le triton : à quoi sert la dissonance ?