Consonance, dissonance, distances
Nicolas Trotignon, CNRS, LIP, ENS de LyonEleve a l’Ecole Nationale de Musique de Villeurbanne
Les rendez-vous d’Esope : Plaisirs des sciences
Les principaux axes de la musique
On dit souvent que la musique a pour axes principaux :
La melodie
Le rythme
L’harmonie
Art de manier la consonance et la dissonancequand on joue differentes notes en meme temps
Les principaux axes de la musique
On dit souvent que la musique a pour axes principaux :
La melodie
Le rythme
L’harmonieArt de manier la consonance et la dissonancequand on joue differentes notes en meme temps
Un exemple de morceau qui repose surtout sur l’harmonie
La Samba de uma nota so, de Antonio Carlos Jobim
Un exemple de morceau qui repose surtout sur l’harmonie
La Samba de uma nota so, de Antonio Carlos Jobim
Un systeme dynamique tres simple
Lorsqu’un marcheur marche d’un pas regulier le long d’un cercle,combien de distances differentes definit-il ?
Cette question a un lien profond avec la musique ...
Un systeme dynamique tres simple
Lorsqu’un marcheur marche d’un pas regulier le long d’un cercle,combien de distances differentes definit-il ?Cette question a un lien profond avec la musique ...
Questions
Comment evolue le nombre de distances au cours du temps ?
il croıt indefiniment ?
il oscille entre deux valeurs ?
il croıt, decroıt et se stabilise ?
a quelle(s) valeur(s) ?
Question de “systeme dynamique” ...
A vous de deviner la reponse...
Questions
Comment evolue le nombre de distances au cours du temps ?
il croıt indefiniment ?
il oscille entre deux valeurs ?
il croıt, decroıt et se stabilise ?
a quelle(s) valeur(s) ?
Question de “systeme dynamique” ...A vous de deviner la reponse...
Le theoreme des trois distances
Si un marcheur marche d’un pas regulier le long d’un cercle
Il definit differentes “stations”
On s’interesse a la distance entre deux stations consecutivessur le cercle
Theoreme (Vera Sos, 1957)
Il y a au maximum trois distances differentes
Theoreme des trois distances, three-gap theorem,conjecture de Steinhaus, preuve courte par Liang en 1979
Le theoreme des trois distances
Si un marcheur marche d’un pas regulier le long d’un cercle
Il definit differentes “stations”
On s’interesse a la distance entre deux stations consecutivessur le cercle
Theoreme (Vera Sos, 1957)
Il y a au maximum trois distances differentes
Theoreme des trois distances, three-gap theorem,conjecture de Steinhaus, preuve courte par Liang en 1979
Encore plus fort
S’il y a trois distances exactement :
la grande est la somme des deux petites
il est toujours possible de marcher plus longtemps pouratteindre deux distances
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Les sons
D’apres Wikipedia :
“Le son est une vibration mecanique d’un fluide, qui sepropage sous forme d’ondes longitudinales grace a ladeformation elastique de ce fluide”.
“Un son harmonique : qui contient des frequences multiplesd’une fondamentale audible”.
Cette frequence determine la hauteur du son : du plus graveau plus aigu.
1er exemple
,� �
,� �
í� �
í� �
Les intervalles
Un son a une frequence, exprimee en hertz
Deux sons de frequence differente forment un intervalle
L’intervalle se mesure par le rapport des frequences
Intervalle melodique : quand les deux sons sont jouesl’un apres l’autre
Intervalle harmonique : quand les deux sons sont jouesen meme temps
Les intervalles consonants
Octave
í� ������
�
Quinte
í� �������
Tierce majeure
í� �������
Intervalles consonants et frequences
Grande decouverte de l’antiquite (Pythagore):Les intervalles consonants correspondent a des rapports defrequence simples.
Le principe d’equivalence des octaves
L’octave est l’intervalle repute le plus consonant.
A tel que point qu’il y a en musicologie un principe d’identitedes octaves.
Deux sons de frequences f et 2f sont consideres commeequivalents.
Les intervalles dissonants
Le ton
� ���� ��
Le triton
~����� �� �~�
Le demi-ton
������� �� �
Rapports de frequences associes aux intervalles consonants
Octave: 2 (do - do)Quinte: 3/2 (do - sol)Quarte: 4/3 (sol - do)Tierce majeure : 5/4 (do - mi)Tierce mineure : 6/5 (mi - sol)Sixte mineure : 8/5 (mi - do)Sixte majeure : 5/3 (sol - mi)
La dissonance, ce n’est pas mal !
Zyriab, de Paco de Lucia
Le probleme de la construction de gammes
On veut un nombre fini de sons, ni trop ni trop peuOn veut un maximum de consonanceDonc au moins :
Toujours pouvoir monter d’une octave (multiplier par 2)Et atteindre la meme noteEt diviser par 2 SVP !
Toujours pouvoir monter d’une quinte (multiplier par 1.5)Et atteindre
une autre noteEt diviser par 1.5 !
C’est IMPOSSIBLE.
Le probleme de la construction de gammes
On veut un nombre fini de sons, ni trop ni trop peuOn veut un maximum de consonanceDonc au moins :
Toujours pouvoir monter d’une octave (multiplier par 2)Et atteindre la meme noteEt diviser par 2 SVP !
Toujours pouvoir monter d’une quinte (multiplier par 1.5)Et atteindre une autre note
Et diviser par 1.5 !
C’est IMPOSSIBLE.
Le probleme de la construction de gammes
On veut un nombre fini de sons, ni trop ni trop peuOn veut un maximum de consonanceDonc au moins :
Toujours pouvoir monter d’une octave (multiplier par 2)Et atteindre la meme noteEt diviser par 2 SVP !
Toujours pouvoir monter d’une quinte (multiplier par 1.5)Et atteindre une autre noteEt diviser par 1.5 !
C’est IMPOSSIBLE.
Le passage au logarithme
On represente les frequences des notes sur un cercle decirconference 1 (disons 1 decimetre)
Un tour complet du cercle correspond a unemultiplication par 2(car en musique, multiplier une frequence par deux redonne lameme note)
Les mathematiciens savent calculer que multiplier par 1.5correspond a avancer de 0.58496. . .Formule : log2 1.5 = 0.58496 . . .
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Visuellement
Avec les noms de notes
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
Differents problemes :
Il y a deux sortes de demi-ton (en solfege :demi-ton diatonique et demi-ton chromatique)L’intervalle de la# a fa n’est pas une quinte pure :c’est la quinte du loup.Solution moderne : tout reprendre a zero, avec un pas delongueur 1/12 : c’est le temperament egal
Avec les noms de notes
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
Differents problemes :
Il y a deux sortes de demi-ton (en solfege :demi-ton diatonique et demi-ton chromatique)L’intervalle de la# a fa n’est pas une quinte pure :c’est la quinte du loup.Solution moderne : tout reprendre a zero, avec un pas delongueur 1/12 : c’est le temperament egal
Le probleme du temperament
Temperament pythagoricien et temperament egal :
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
Une grande question
Spontanement, un musicien fait-il des intervalles purs ou desintervalles temperes ?
ne
ZZ42� ZZclairZZ
AuZZ
lu
ZZla
ZZde
�3
rot
���
a
ZZmonZZ
Pier
ZZmi
ZZ
Les “retours a deux distances” en musique
Les “retours a deux distances” en musique
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
fa
do
sol
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
fa
do
sol
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
fa
do
sol
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
Les “retours a deux distances” en musique
fa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
Les “retours a deux distances” en musiquefa
do
fa
do
sol
fa
do
sol
re
la
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa
do
sol
re
la
mi
si
fa#
do#
sol#
re#
la#
Les nombres magiques de la musique : 5, 7, 12
Le theoreme des trois distance explique pourquoi dans toutesles civilisations, les gammes ont 5, 7 ou 12 notes.
Il y avait deja des explications avant ce theoreme (fractionscontinues), mais plus compliquees.
Premier a avoir remarque le lien: Norman Carey, musicologueamericain, en 1998.
Independamment : Guillaume Hanrot, professeur eninformatique a l’ENS de Lyon.
Pour en savoir plus
La these de Norman Carey, Distribution Modulo 1 and musicalscales. PhD thesis, Rochester University, 1998.
Mon memoire de formation musicale, Sur le theoreme destrois distances et la construction des gammes, ENM deVilleurbanne, 2015.Destine a un lecteur connaissant bien le solfege et peu lesmathematiqueshttps://arxiv.org/abs/1505.05380
Mon blog sur la chanson,Le jardin aux chansons qui bifurquenthttps://jardinauxchansons.blog/
Le triton : a quoi sert la dissonance ?
![PSI* - Coll ege Stanislas - ribiere.regit.orgribiere.regit.org/TD_electrocinetique.pdf · sont comprises dans l’intervalle [20 Hz, 20 kHz]. Or un bruit electronique haute fr equence](https://cdn.vdocuments.fr/doc/165x107/5a7bdd987f8b9a72118c44aa/psi-coll-ege-stanislas-comprises-dans-lintervalle-20-hz-20-khz-or-un.jpg)
