UNIVERSITE DE NANTESFACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET TECHNOLOGIESDE LINFORMATION ET DES MATHEMATIQUES

Annee : 2010 N B.U. :

Analyse haute frequence

de lequation de Helmholtz dissipative

The`se de Doctorat de lUniversite de Nantes

Specialite : Mathematiques et Applications

Presentee et soutenue publiquement par

Julien ROYER

le 03 decembre 2010, devant le jury ci-dessous

President du jury : Didier Robert (Universite de Nantes)Rapporteurs : Nicolas Burq (Universite Paris-Sud 11)

Erik Skibsted (Aarhus Universitet)Examinateurs : Frederic Herau (Universite de Nantes)

Rafe Mazzeo (Stanford University)Ping Zhang (Chinese Academy of Sciences)

Directeur de the`se : Xue Ping Wang (Universite de Nantes)

Laboratoire : Laboratoire Jean Leray (UMR 6629 UN-CNRS-ECN)

N E.D. : 503-112

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Resume

Le but de cette the`se est detudier sur Rn la limite haute frequence (h 0) de lequationde Helmholtz (Hh E)uh = Sh, ou` Hh = h2 + V1(x) ihV2(x). La particularite dece travail est que lindice dabsorption V2 nest pas suppose constant, ce qui nous oblige a`travailler avec un operateur de Schrodinger qui nest pas autoadjoint.

On cherche dans une premie`re partie des estimations en O(h1) pour la resolvante(Hh z)1, uniformes pour Re z E > 0 et Im z > 0. Pour traiter le cas ou` V2 est po-sitif, on adapte la methode de Mourre au cas doperateurs dissipatifs abstraits. On lappliqueensuite a` loperateur de Schrodinger sous une hypothe`se damortissement sur les trajectoiresclassiques captees, plus faible que lhypothe`se usuelle de non-capture. Enfin, par une methodeutilisant des mesures semi-classiques, on generalise encore ce resultat au cas ou` V2 admet unepartie negative a` support compact, sous la condition que lamortissement reste suffisammentfort sur les trajectoires captees.

On sinteresse ensuite aux mesures semi-classiques de la solution sortante uh dans le casou` le terme source Sh se concentre sur une sous-variete bornee de lespace Rn. Outrele caracte`re non-autoadjoint de loperateur Hh, les principales difficultes par rapport auxtravaux existants sont dues a` la geometrie de et aux trajectoires captees. On introduitpour ce dernier point des mesures semi-classiques tronquees (en remplacant la resolvante parlintegrale sur des temps finis du propagateur) que lon fait ensuite converger.

Mots-cles

Equation de Helmholtz, operateurs non-autoadjoints, operateurs dissipatifs, analyse semi-classique, methode des commutateurs de Mourre, mesures semi-classiques.

Abstract

The purpose of this thesis is to study the high frequency limit (h 0) of the Helmholtzequation (Hh E)uh = Sh on Rn, where Hh = h2 + V1(x) ihV2(x). The main interestof this work is that the absorption index V2 is not assumed to be constant, and hence theSchrodinger operator we consider is not self-adjoint.

In the first part, we give some estimates of size O(h1) for the resolvent (Hh z)1,uniform in Re z E > 0 and Im z > 0. To deal with the case V2 > 0, we adapt Mour-res method for a family of abstract dissipative operators. Then we apply this result to theSchrodinger operator under an assumption about the damping factor on bounded classi-cal trajectories, weaker than the usual non-trapping condition. Finally, by a method usingsemi-classical measures, we further generalize this result for an absorption index which hasa compactly supported negative part. This is possible if the damping factor remains strongenough on trapped trajectories.

In the second part we study the semiclassical measures for the solution uh when thesource term Sh concentrates on a bounded submanifold of Rn. In addition to the non-selfadjointness of the operator Hh, the main new difficulties come from the geometry of and trapped trajectories. For the latter we introduce some partial semi-classical measures,considering the integral of the propagator over finite times instead of the resolvent. Then wetake the limit for large times.

Keywords

Helmholtz equation, non-selfadjoint operators, dissipative operators, semiclassical analy-sis, Mourres commutators method, semiclassical measure.

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Remerciements

Avant de commencer a` parler mathematiques, il convient de corriger de`s maintenant lapremie`re erreur de ce manuscrit. La page de titre laisse penser que jetait seul pour ecrirecette the`se, mais je nose imaginer la pie`tre allure quelle aurait eue sans lapport des nom-breuses personnes qui mont entoure pendant ces trois annees. Si lobjet de ce manuscrit estde faire un bilan de ce qui est sorti mathematiquement de cette periode, lusage mautorisea` faire un petit detour par laspect plus personnel de ce travail pour les en remercier. Lesquelques lignes qui suivent ne sont pas tre`s originales dans la forme (cela a de toutes faconsdeja` ete fait), jespe`re que le message nen sera pas denature pour autant.

Je voudrais bien sur commencer par remercier mon directeur de the`se, Xue Ping Wang,pour mavoir ouvert la porte du monde semi-classico-dissipatif et pour y avoir guide mespremiers pas. Il a su, par de nombreuses questions et discussions, guider ma reflexion touten me laissant la liberte de mattarder sur mes propres problematiques.

Je remercie Nicolas Burq et Erik Skibsted davoir accepte la lourde tache de rapportercette the`se. Jen suis tre`s honore. Je suis egalement tre`s fier de compter dans mon jury RafeMazzeo, Ping Zhang, Frederic Herau et Didier Robert. Je les remercie tous de setre interessesa` mon travail, detre venus assister a` ma soutenance, et surtout de mavoir suggere des pistespour poursuivre ce travail.

Je noublie pas tous ceux qui ont eu un role moins officiel mais tout aussi important dansmon apprentissage. Toutes ces discussions, quelles aient eu lieu devant un tableau noir, audetour dun couloir ou entre deux exposes dune conference nont degal dans aucune biblio-the`que. Je remercie en particulier Jean-Francois Bony et Thierry Jecko pour linteret quilsont porte a` mon travail et pour les nombreuses remarques quils ont pu me faire. Au seindu laboratoire, je dois beaucoup aux reponses toujours tre`s eclairantes de Luc Hillairet. Jaiegalement beaucoup apprecie la disponibilite de Gilles Carron, Didier Robert et FrancoisNicoleau, ainsi que les conseils toujours rassurants de Laurent Thomann.

Plus generalement je remercie tous ceux qui participent dune facon ou dune autre a` lavie du laboratoire Jean Leray, pour le cadre de travail a` la fois convivial et studieux dontjai beneficie pendant ces annees. Quon aille au secretariat, a` la bibliothe`que, quon retrouvelequipe danalyse en seminaire, quon frappe a` une porte pour discuter enseignement ou pourposer une question (de preference idiote), on est toujours recu avec un mot sympathique. Silest toujours agreable de faire des maths, cest une veritable chance den faire dans de tellesconditions.

Je ne peux pas parler du plaisir de venir chaque matin au laboratoire sans mattardersur les doctorants. Jai partage avec eux bien plus que des bureaux. Les championnats dumonde de taroinche, les 30 jours de la galette, le camping sous la pluie, les hypermetropes,larbre a` Nutella, les courses de Mario Kart, les barbecues devant le labo lorsque le Crousetait en vacances, les soirees jeux, le twister en armure, les seances de piscine et dultimate,la raclette finale ou tout simplement le RU-cafe quotidien ne sont que les manifestations

v

les plus marquantes de lambiance qui re`gne dans ce groupe. Je noublierai pas non plus lesdiscussions mathematiques plus serieuses, et leur soutien pendant les moments plus difficiles.Un grand merci egalement a` Bob pour mavoir conte de si belles histoires pendant nos longsweek-ends de redaction-correction.

Je remercie en fait tous les amis qui mentourent. Ceux avec qui je peux parler de maths.Ceux avec qui je peux ne pas parler de maths. Ceux que je peux voir regulie`rement, maisaussi les (ex-)senonais, les (ex-)dijonnais et les (ex-)lyonnais, qui sont plus eloignes mais quicomptent toujours autant. Ceux qui auraient prefere que je les mentionne nominativement,et ceux qui pensent que cest aussi bien comme cela.

Merci aussi a` ma famille davoir toujours ete la`, et davoir stresse encore plus que moipour la soutenance.

Mes derniers mots seront finalement pour celle sans qui tout cela naurait pas la memesaveur. Elle ma apporte lequilibre necessaire a` laboutissement de ce travail et, dun point devue plus terre a` terre, a eu la patience de me supporter et de me soutenir pendant lecriturede ce manuscrit. Merci Sarah !

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Table des matie`res

1 Introduction 11.1 LEquation de Helmholtz dissipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Etude de la resolvante de loperateur de Schrodinger dissipatif . . . . . . . . . 2

1.2.1 Le Principe dabsorption limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 La Methode de Mourre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Application a` loperateur de Schrodinger dissipatif semi-classique . . . 61.2.4 Estimations de la resolvante par les mesures semi-classiques . . . . . . 9

1.3 Mesure semi-classique pour lequation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Cas dun coefficient dabsorption constant . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Enonce du resultat pour un indice dabsorption variable . . . . . . . . 131.3.3 Le proble`me des temps grands, idee de preuve . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Organisation du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 LOperateur de Schrodinger dissipatif 192.1 Generalites sur les operateurs dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Operateurs dissipatifs maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Semi-groupes de contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Perturbation dissipative relativement bornee dun operateur autoadjoint 222.1.4 Perturbation bornee dun operateur autoadjoint . . . . . . . . . . . . . 232.1.5 Premie`res proprietes concernant le spectre de loperateur de Schrodinger 24

2.2 Dilatations autoadjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Dilatation unitaire dune contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Dilatation autoadjointe dun operateur de Schrodinger dissipatif . . . 262.2.3 Operateurs relativement lisses par rapport a` un operateur dissipatif . 28

2.3 Condition de radiation de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Solutions sortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.3 Estimations uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.4 Principe dabsorption limite - Existence dune solution sortante . . . . 39

2.4 Etude asymptotique des solutions de lequation de Schrodinger . . . . . . . . 402.4.1 Comportement asymptotique des solutions entrantes et sortantes . . . 402.4.2 Solutions de lequation de Schrodinger homoge`ne . . . . . . . . . . . . 42

3 Approche semi-classique du proble`me 493.1 Quelques techniques semi-classiques - Calcul pseudo-differentiel . . . . . . . . 51

3.1.1 Obtenir un developpement asymptotique pour la limite h 0 . . . . . 513.1.2 Quantifications usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.3 Classes de symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.4 Proprietes importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.5 Micro-localisation et mesures semi-classiques . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Dynamique classique associee au proble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Flot hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 Rayon de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

vii

3.2.3 Amortissement classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Quantification du flot et de lamortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.1 Le Theore`me dEgorov, version non-autoadjointe . . . . . . . . . . . . 71

3.3.2 Etats lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.3 Le propagateur de Schrodinger vu comme operateur de Fourier integral 78

4 Estimations uniformes de la resolvante par la methode de Mourre dissipa-tive 83

4.1 Methode des operateurs conjugues de Mourre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1 Operateurs conjugues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.2 Operateur conjugue pour un unique operateur dissipatif . . . . . . . . 84

4.1.3 Lemmes preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.4 Estimations uniformes de la resolvante dans les espaces a` poids . . . . 89

4.1.5 Principe dabsorption limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Quelques extensions de la methode de Mourre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.1 Une autre estimation de la resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.2 Estimation dans les espaces de Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.3 Conjugaison dordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.4 Estimations des puissances de la resolvante et regularite de la limite . 108

4.3 Application a` loperateur de Schrodinger dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.1 Cas dun fort amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2 Estimation de la resolvante de loperateur de Schrodinger dissipatif . . 112

4.3.3 Estimation dans les espaces de Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.4 Regularite de la limite de la resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3.5 Necessite de la condition sur les trajectoires captees . . . . . . . . . . 119

5 Localisation a priori et application au cas dun indice dabsorption de signevariable 123

5.1 Localisation a priori de la solution pour lequation de Helmholtz . . . . . . . 123

5.1.1 Localisation pre`s de la surface denergie E . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1.2 Estimation dans la zone entrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2 Equation de Helmholtz avec indice dabsorption de signe variable . . . . . . . 137

5.2.1 Presentation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2.2 Absence de valeurs propres a` distance dordre h de laxe reel . . . . . 139

5.2.3 Construction dune fonction de fuite bornee . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2.4 Estimations de la resolvante pre`s de laxe reel dans le cas non-dissipatif 146

5.2.5 Principe dabsorption limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 Mesure semi-classique pour la solution de lequation de Helmholtz avecindice dabsorption variable 153

6.1 Enonce du resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.2 Calculs pre`s de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.2.1 Etude du terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.2.2 Trajectoires classiques autour de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.2.3 Methode B.K.W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.2.4 Etude des points critiques de la fonction de phase . . . . . . . . . . . 172

6.2.5 Controle des temps petits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.3 Mesure semi-classique partielle pour les temps finis . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.3.1 Calculs pour des temps intermediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.3.2 Convergence vers une mesure semi-classique tronquee . . . . . . . . . 185

6.4 Convergence vers une mesure semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4.1 Controle des temps grands et convergence des mesures tronquees . . . 189

6.4.2 Caracterisation de la mesure semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . 194

viii

A Quelques rappels 201A.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.2 Retour sur lequation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.3 Retour sur les etats lagrangiens et les operateurs integraux de Fourier . . . . 204

Index 211

Bibliographie 213

ix

x

Chapitre 1

Introduction

1.1 LEquation de Helmholtz dissipative

On sinteresse dans cette the`se a` lequation de Helmholtz( h2 + V1(x) ihV2(x) E)uh = Sh (1.1)sur Rn (n N). = ni=1 2xi est le laplacien usuel sur Rn tandis que V1 et V2 sont desfonctions bornees de Rn dans R qui tendent vers 0 a` linfini (on precisera ulterieurementles hypothe`ses de regularite et de decroissance sur le potentiel). Cette equation modelisepar exemple la propagation du champ electromagnetique dun laser haute frequence dans unmilieu inhomoge`ne. Dans ce contexte V1(x)E correspond a` lindice de refraction du milieuet V2 est lindice dabsorption de lenergie du laser. V2 sera donc dans un premier temps unefonction a` valeurs positives. On autorisera ensuite lindice dabsorption a` avoir une (( petite ))partie negative, en un sens que lon precisera. Enfin, S est le terme source, connu, et h estproportionnel a` la longueur donde du laser dans le vide.

Puisquon sinteresse au cas dun laser haute frequence, h est (( petit )). On sattend alorsa` ce que la solution u soit tre`s oscillante, ce qui rend difficile une approche numerique. Parcontre, dans la mesure ou` la longueur donde est bien plus petite que lechelle de variations desautres grandeurs, il est raisonnable de considerer la limite tre`s haute frequence, cest-a`-direde considerer la limite h 0 du proble`me. Ainsi, puisque h nest plus considere comme uneconstante du proble`me mais comme un parame`tre, on est amene a` sinteresser a` une famillede solutions (uh)h]0,h0] pour un certain h0 > 0. Le but est alors detudier lasymptotiquepour h 0 de la solution uh, en vue dobtenir des informations qualitatives pour decrire lasolution du proble`me de depart (cest-a`-dire uh pour h petit mais fixe).

Pour etudier cette equation, on introduit sur L2(Rn) loperateur de Schrodinger

Hh = h2 + V1(x) ihV2(x). (1.2)La constante E qui apparat dans (1.1) sera quant a` elle consideree comme parame`tre spectral.Pour tout h > 0, loperateur Hh est bien defini sur C

0 (R2n), et se prolonge en un operateur

de domaine H2(Rn), lespace de Sobolev des fonctions dont les derivees jusqua` lordre 2 sontdans L2(Rn). Puisque le potentiel V (x) = V1(x) ihV2(x) nest pas reel, cet operateur nestpas symetrique et, a fortiori, pas autoadjoint.

Lorsque lindice dabsorption V2 est constant, V2(x) = > 0, il peut comme E etreconsidere comme parame`tre spectral. Notant

Hh1 = h2 + V1(x),lequation se reduit alors a` :

(Hh1 (E + ih))uh = Sh.

1

On est alors ramene a` letude dun operateur autoadjoint, et on dispose pour cela de nom-breux outils (en particulier le calcul fonctionnel) et dune theorie tre`s evoluee.

Le but de cette the`se est de considerer le cas dun indice dabsorption variable. La partieimaginaire du potentiel ne peut plus etre consideree comme faisant partie du parame`trespectral et doit donc etre integree a` loperateur, ce qui nous oblige a` travailler avec unoperateur non-autoadjoint. Ceci dit, la partie non-autoadjointe quon ajoute est tout de memeparticulie`re. Dune part elle est (( petite )) par rapport a` la partie autoadjointe, a` la fois enterme doperateur a` h fixe (loperateur de multiplication par V2 est borne sur L

2(Rn) et doncen particulier relativement borne de borne 0 par rapport a` H1) et a` la limite h 0 (la partieimaginaire, de taille O(h), nintervient pas dans le symbole principal de Hh). On utiliseradautre part de facon cruciale lhypothe`se sur le signe de V2.

1.2 Etude de la resolvante de loperateur de Schrodingerdissipatif

1.2.1 Le Principe dabsorption limite

Avant de se lancer dans letude de la solution uh a` lequation (1.1), il faut bien entendusassurer que le proble`me est bien pose. On peut deja` remarquer que dans le contexte quinous interesse, E > 0 est dans le spectre de Hh, donc (Hh E) nest pas inversible en tantquoperateur de H2(Rn) dans L2(Rn).

Etant donne un operateur de Schrodinger H1 = + V1 autoadjoint, lidee pour definirla solution u a` partir du terme source S est alors dajouter un petit coefficient dabsorptioni. La resolvante (H1 (E i))1 est bien definie comme operateur borne sur L2(Rn),et on peut se demander si la limite 0 existe en un certain sens. Lorsque cest le cas, onparle de principe dabsorption limite. Par le calcul fonctionnel on sait que(H1 (E i))1 = 1

et donc la limite pour 0 ne peut pas exister dans lespace L(L2(Rn)) des operateursbornes sur L2(Rn). On cherche alors un sous-espace X de L2(Rn) aussi gros que possible telque pour tous f, g dans X lapplication z 7 (Hh1 z)1f, g, bien definie et holomorphepour z non reel, admet une limite lorsque z tend vers E.

Dans [Agm75], S. Agmon montre que pour > 12 et si E > 0 nest pas valeur propre de H1,la resolvante (H1(Ei))1 admet une limite (H1(Ei0))1 dans lespace des operateursbornes de lespace a` poids L2,(Rn) = L2

((1 + |x|)2 dx), ou` x = (1 + |x|2) 12 , dans lespace

de Sobolev a` poidsH2,(Rn), et que pour f L2,(Rn), les fonctions u = (H1(Ei0))1fsont solutions de lequation : (H1 E)u = f . Ce resultat est dabord montre pour le casdu laplacien libre H0 = puis, par un argument perturbatif, pour des potentiels V1 decourte portee (cest-a`-dire decroissant au moins comme x1 avec > 0). Le resultat estegalement demontre dans le cas dun potentiel V1 a` longue portee (decroissant comme x)dans [IS72] (voir aussi [Sai79]), tandis que le cas ou` le potentiel admet une partie imaginairede courte portee est aborde dans [Sai74]. Cest ensuite au travail dE. Mourre ([Mou81]) quesont dus de spectaculaires progre`s concernant letude de la resolvante pre`s de laxe reel. Ony reviendra dans le paragraphe suivant.

Les motivations sont nombreuses pour etudier le principe dabsorption limite. Une ap-plication importante est letude de la nature du spectre contenu dans R+ (voir paragraphesuivant). Dautre part, dapre`s la formule de Stone ([RS79a], voir egalement [Mel95] pour lesexpressions explicites dans le cas du laplacien libre) toute linformation concernant lopera-teur H1 est contenue dans les limites de la resolvante pre`s de laxe reel. Le principe dab-

2

sorption limite est egalement utilise pour obtenir une representation spectrale de loperateurde Schrodinger, qui generalise la transformation de Fourier utilisee pour le laplacien libre([Ike75, Agm75, Sai79]). Ces resultats sont a` leur tour utilises pour etudier les solutions delequation

(H1 E)u = 0. (1.3)On renvoie pour cela a` [GY99], qui fait egalement le lien avec la theorie de la diffusion. Pouretudier (1.3), on peut deja` remarquer que si le principe dabsorption limite est verifie au pointE, alors pour une fonction f (disons dans lespace a` poids L2,(Rn) pour > 12 ), les deuxfonctions u = (H1(Ei0))1f sont deux solutions distinctes de lequation (H1E)u = f ,donc la difference fournit une solution de lequation homoge`ne (1.3).

Cette remarque soule`ve un point important pour letude dune equation telle que (1.1).Lorsquil est valable, le principe dabsorption limite fournit deja`, du moins dans le cas auto-adjoint, deux solutions, selon le signe du coefficient dabsorption quon ajoute. Cela signifieque meme si on se place dans les bons espaces, le proble`me est mal pose. Il faut donc trouverun crite`re pour distinguer parmi toutes les solutions celle qui est physiquement raisonnable.

Sommerfeld a montre que lequation de Helmholtz admet une unique solution si on ajouteune condition de rayonnement a` linfini du type

ru iEu = o

|x|+

(|x|n12

),

ou` ru designe la derivee radiale de u (dautres formulations sont possibles). On dira que lasolution de ce proble`me est la solution sortante a` lequation de Helmholtz (le flux denergiede londe a` travers une sphe`re va bien de linterieur de la boule vers linfini, voir [DL87],cette solution est en particulier la seule a` etre physiquement valable 1). Cette solution estcelle que lon obtient par le principe dabsorption limite par le demi-plan superieur, cest a`dire celle obtenue en ajoutant un coefficient dabsorption positif. On peut egalement donnerune condition analogue pour definir une solution entrante, qui est la solution obtenue par leprincipe dabsorption limite par le demi-plan inferieur.

Lexistence et lunicite dune solution sortante/entrante sont demontrees dans le cas delequation de Helmholtz avec un potentiel reel et de longue portee dans [IS72] ou [Sai79].Dans le cas dun operateur de Schrodinger dissipatif H = + V1(x) iV2(x) avec V2 > 0,la symetrie entre les solutions entrantes et les solutions sortantes est rompue. En effet, silest facile de voir que tout z C tel que Im z > 0 est dans lensemble resolvant de H, cetoperateur peut avoir des valeurs propres dans le demi-plan {Im z 6 0}. On se propose demontrer que pour un potentiel longue portee, le principe dabsorption limite est valable pourle demi-plan superieur et definit lunique solution sortante a` lequation de Helmholtz. Plusprecisement on va demontrer le resultat suivant :

Theore`me 1.1. On suppose que V1 et V2 sont differentiables et que V2 > 0. On suppose enoutre quil existe > 0 et c > 0 tels que pour x Rn et j {1, 2} on a

|Vj(x)| 6 c x et |Vj(x)| 6 c x1 .Soient E > 0, ] 12 ,min (1, 12 + 4)] et f L2,(Rn). Alors on a

(H (E + i))1f 0

u

dans L2,(Rn), ou` u H2loc(Rn)L2,(Rn) est lunique solution de lequation (HE)u = ftelle que

ru+n 12 |x| u i

Eu L2,1(Rn \ V0),

1.

(( The sources must be sources, not sinks of energy. The energy which is radiated from thesources must scatter to infinity ; no energy may be radiated from infinity into the prescribedsingularities of the field. )) A. Sommerfeld, [Som72].

3

V0 etant un voisinage de 0 dans Rn.On rappelle que dapre`s les resultats de [Sai74], ce resultat ne peut etre valable dans toute

sa generalite sans lhypothe`se de positivite sur V2, meme dans le cas dune partie imaginairede courte portee. A la suite de cette etude, on adaptera egalement au cas dissipatif (avecune partie imaginaire de courte portee) une partie des resultats de [GY99] pour etudier lessolutions de lequation

(H E)u = 0.

1.2.2 La Methode de Mourre

Si H1 et A sont deux operateurs autoadjoints bornes sur un espace de Hilbert H tels que[H1, iA] > c0 > 0, alors H1 ne peut pas avoir de valeur propre reelle, puisque pour H telque H1 = avec reel on a

0 = [H1, iA], > c0 2 ,

et donc = 0. Plus interessant, on peut montrer que sous une telle hypothe`se de commutateurpositif, le spectre de H1 est en fait absolument continu ([Put67], voir aussi [CFKS87]). Ainsi,lidee dutiliser des commutateurs positifs pour montrer des proprietes spectrales avait deja`germe dans plusieurs travaux (voir par exemple [Lav69, Lav71, Lav73], [Mou77]), mais cest lacontribution dE. Mourre dans [Mou81] qui est reconnue comme etant le point de depart pource quon appelle desormais methode des commutateurs, ou methode de Mourre. La nouveauteest dautoriser des operateurs non-bornes et de localiser la condition en energie (pour H1).Notant 1J la fonction caracteristique de lintervalle J , et donc 1J(H1) la projection spectralede H1 sur J , Mourre montre que si on peut trouver un operateur autoadjoint A tel que

1J(H1)[H1, iA]1J(H1) > c01J(H1) (1.4)

(et dautres conditions qui justifient les manipulations effectuees avec [H1, iA] mais quonnexplicite pas pour le moment), alors loperateur

A1 (H1 z)1 A1 (1.5)

est uniformement borne pour Re z dans un compact de J et Im z 6= 0, et admet des li-mites pour Im z 0 dans lespace L(H) des operateurs bornes sur H. Pour cela, il etudieloperateur

Fz() = A1(H1 z i(H1)[H1, iA](H1)

)1 A1 , (1.6)ou` C0 (R, [0, 1]) est a` support dans J . Lidee est destimer dune part Fz() (par rapporta` et uniformement en z) et dautre part F z() par rapport a` et Fz(). Une estimationde type Gronwall permet alors de montrer que la limite 0 existe et quelle est borneeuniformement par rapport a` z. En sinteressant ensuite a` la derivee de Fz() par rapport a` z,on obtient le principe dabsorption limite sur J ainsi que la continuite de loperateur limite.On pourra consulter lintroduction du chapitre 7 de [ABG91] pour une presentation des ideesde cette methode.

La raison du succe`s de cette idee est quelle sapplique a` de nombreux cas difficiles. Lebut de Mourre dans [Mou81] est en particulier letude des proprietes spectrales pour le pro-ble`me a` 3 corps. La methode a ensuite ete etendue pour etre applicable au proble`me a` Ncorps dans [PSS81]. On voit en particulier dans cet article que le poids A1 peut etre rem-place par A pour > 12 . La theorie a connu de nombreux developpements. Citons parexemple [Mou83] (qui met en evidence les consequences de lexistence doperateurs conjuguessur les proprietes de propagation), [JMP84] (qui montre que si on a des proprietes supplemen-taires sur les commutateurs multiples de H1 avec A, alors la limite de la resolvante sur laxereel est regulie`re, ce qui permet par exemple de montrer la decroissance de lenergie localeA eitH1(H1) A), ou encore [Jen85] (qui poursuit le travail precedent), [JP85] (qui

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demontre les estimations de la resolvante dans les espaces de Besov abstraits, introduits parS. Agmon et L. Hormander dans [AH76] pour loperateur de Schrodinger du proble`me a` deuxcorps, et qui fournissent un cadre optimal pour letude de la resolvante dans ce cas).

Notre but dans ce travail est dadapter la methode de Mourre pour un operateur H quinest plus autoadjoint mais seulement dissipatif (cest-a`-dire tel que Im H, 6 0 pour tout dans le domaine de H). On ne cherchera a` generaliser et a` utiliser que les premiers resultatsde la theorie, mais il convient tout de meme de preciser quelle a ete utilisee et amelioree dansde tre`s nombreux travaux, dont il serait vain de vouloir en faire la liste. Mentionnons toutde meme [GGM04] ou` une theorie pour un operateur conjugue qui nest pas necessairementautoadjoint est developpee, des travaux sur le proble`me a` N corps [Ski92, Wan89, GIS96],letude de la resolvante de loperateur de Schrodinger pre`s de 0 [FS04] ou encore les ope-rateurs de Pauli-Fierz [DJ01, Gol09]. Notons egalement quune theorie de Mourre pour desoperateurs non-autoadjoints a egalement ete recemment developpee dans [BG] pour etudierdes perturbations du syste`me de Dirac.

Une partie importante de ce travail consiste donc a` generaliser la methode que lon vientde presenter a` un cadre dissipatif. Cela pose evidemment proble`me de`s lecriture de la condi-tion (1.4), puisquon na pas de projecteurs spectraux pour H. Plus generalement, labsencede calcul fonctionnel pour H rend impossible une adaptation directe de la methode a` uncadre dissipatif general. On se restreint donc a` des operateurs dissipatifs dont la partie non-autoadjointe V est petite, au sens ou` elle est relativement bornee (de borne strictementinferieure a` 1) par rapport a` la partie autoadjointe H1. Ainsi, on peut esperer que la loca-lisation en energie pour H1 soit pertinente pour letude de H. Dans ces conditions, le butest alors de montrer les estimations (1.5) sur loperateur H (pour Im z > 0) a` partir de lacondition (1.4) sur la partie autoadjointe H1.

La demonstration de Mourre repose sur largument suivant : si T = TR iTI avec TRautoadjoint, TI autoadjoint positif et TR-bornee (de borne inferieure a` 1), Im z > 0, B telque BB 6 TI et Q borne, alors on a :B(T z)1Q 6 Q(T z)1Q 12(cest, en termes plus generaux, la proposition II.5 de [Mou81]). Mourre lapplique avec TR =H1, B =

(H1) et TI = (H1)[H1, iA](H1), ce qui est possible dapre`s lhypothe`se (1.4).

Il est facile de voir que si on ajoute une partie non-autoadjointe iV avec V > 0, il suffitde prendre TI = V + (H1)[H1, iA](H1), et largument fonctionne de la meme facon (parcontre, le proble`me nest plus symetrique et on ne peut plus traiter le cas Im z < 0). Enoutre, on peut egalement appliquer ce meme argument avec B =

V . Cest important, car

puisquon travaille a` la fois avec H (qui nous interesse) et H1 (pour lequel on peut utiliserle calcul fonctionnel), on aura un certain nombre de termes residuels faisant intervenir V , etcette remarque nous permettra de montrer quils ne sont pas trop derangeants.

Une fois les choses ecrites sous cet angle, et vue la nouvelle expression de TI , on se rendcompte que largument tient encore sous lhypothe`se

1J(H1)[H1, iA]1J(H1) + V > c01J(H1), (1.7)

pour une certaine constante > 0. Cette hypothe`se est plus faible que (1.4) du fait que Vest un operateur positif. Pour les besoins de notre application a` loperateur de Schrodinger,on voudrait en fait montrer les estimations de la resolvante et le principe dabsorption limitesous la condition

1J(H1)([H1, iA] + V

)1J(H1) > c01J(H1). (1.8)

Cette hypothe`se reste plus faible que (1.4). Elle est egalement plus faible que lhypothe`se (1.7),puisquil suffit de composer cette dernie`re a` gauche et a` droite par 1J(H1) (ce qui preservelinegalite) pour obtenir la nouvelle version. Loperateur 1J(H1)V 1J(H1) qui apparat danscette nouvelle hypothe`se nest toutefois pas comparables a` V , donc il nest plus aussi clair

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que largument quon vient de presenter est applicable avec cette dernie`re hypothe`se. On sensortira en ajoutant cet operateur au terme en , cest-a`-dire en etudiant la resolvante de

H i(H1)([H, iA] + V )(H1).Outre le fait quelle est valable dans de nombreuses situations, la methode de Mourre a cet

avantage quelle sapplique facilement dans un cadre semi-classique. En effet, les estimationsde la resolvante reposent essentiellement sur linegalite (1.4), donc pour peu que lon puisseverifier cette inegalite uniformement par rapport au parame`tre h, on obtiendra les estimationsde la resolvante uniformement par rapport a` ce meme h (il faut tout de meme egalementverifier les autres estimations intervenant dans les autres hypothe`ses). Cela peut senoncerde la facon suivante (on renvoie aux theore`mes 4.14 et 4.18 pour des enonces plus precis) :

Theore`me 1.2. Soit H un espace de Hilbert. On conside`re une famille (Hh)h]0,1] dope-rateurs dissipatifs de la forme Hh = H

h1 iVh ou`, pour tout h ]0, 1], Hh1 est un operateur

autoadjoint sur H et Vh est un operateur autoadjoint positif et uniformement Hh1 -borne deborne relative strictement inferieure a` 1. Soient (Ah)h]0,1] une famille doperateurs autoad-joints sur H, (h)h]0,1] une famille delements de ]0, 1] et un ouvert J R+ tels que

h ]0, 1], 1J(Hh1 )([Hh1 , iAh] + Vh

)1J(H

h1 ) > h1J(Hh1 ), (1.9)

pour un certain > 0 (et dautres conditions sur les commutateurs de Hh1 et Vh avec Ah).Alors pour > 12 et un compact I J il existe une constante c > 0 telle que pour touth ]0, 1] on a :

supRe zIIm z>0

Ah (Hh z)1 Ah 6 ch.

De plus, pour tout J la limiteAh (Hh (+ i0))1 Ah = lim

0+Ah (Hh (+ i))1 Ah

existe dans lespace des operateurs bornes sur H et definit une fonction continue sur J .On obtient ensuite dautres estimations pour la resolvante, en particulier lestimation

uniforme dans les espaces de Besov, ainsi que lestimation pour les puissances de la resolvanteet la regularite de la limite. Ces derniers resultats sobtiennent a` partir du precedent commedans le cas autoadjoint. Lestimation uniforme dans les espaces de Besov est donnee dans[Wan07] pour le cas autoadjoint. Par contre, il semble que les demonstrations pour les autresestimations, en particulier celle des puissances de la resolvante naient pas ete reecrites inextenso pour une famille doperateurs, on en propose donc une version dissipative sappuyantsur [JMP84] et [Jen85].

1.2.3 Application a` loperateur de Schrodinger dissipatif semi-classique

Le but est ensuite dappliquer ce resultat abstrait au cas de loperateur de Schrodingerdissipatif Hh (comme introduit en (1.2), avec V2 > 0) pour obtenir des estimations de laresolvante uniformes par rapport au parame`tre h.

Pour loperateur Hh1 = h2 + V1(x) avec V1 de longue portee, D. Robert et H. Tamuramontrent dans [RT87] que pour > 12 et sous une condition de non-capture sur les trajectoiresclassiques denergie E > 0, il existe h0 > 0, un voisinage J de E dans R et c > 0 tels quepour h ]0, h0] on a :

supRe zJIm z 6=0

x (Hh1 z)1 x 6 ch . (1.10)Les trajectoires classiques associees a` loperateur Hh1 sont les solutions

t(w) =(x(t, w), (t, w)

) R2n,6

pour w R2n et t R, du syste`metx(t, w) = 2(t, w),

t(t, w) = V1(x(t, w)),0(w) = w.

(1.11)

Cest le syste`me hamiltonien associe au symbole p : (x, ) 7 2 + V1(x). On reconnat lesequations usuelles de la mecanique classique pour une particule soumise a` la force associeeau potentiel V1. On dit alors que lenergie E > 0 est non captive si pour tout w p1({E})on a :

|x(t, w)| t +.

Pour faire le lien entre les proprietes quantiques (letude de Hh) et les proprietes clas-siques (correspondant au flot t) on utilisera abondamment le calcul pseudo-differentiel. Onpresentera au chapitre 3 les techniques de lanalyse semi-classique mais en quelque mots,un operateur pseudo-differentiel est un operateur Opwh (a) sur L

2(Rn) associe a` un symbolea : R2n C via la definition :

Opwh (a)u(x) =1

(2pih)n

Rn

Rneih xy,a

(x+ y

2,

)u(y) dy d.

Ces operateurs generalisent la notion doperateur differentiel et pourront etre utilises, dansune certaine mesure, comme un (( calcul fonctionnel simultane a` O(h) pre`s pour les operateursde multiplication par xj et les operateurs de derivation ihxj pour j J1, nK )). Cela per-met par exemple de localiser a` la fois en espace et en frequence (toujours a` O(h) pre`s, ce quiest conforme au principe de Heisenberg). On renvoie au chapitre 3 pour un expose plus precis.

La demonstration de [RT87] utilise la methode de Mourre a` linfini. En effet, lorsque lepotentiel est nul, ou lorsquil est suffisamment petit (ce qui sera le cas loin de lorigine), onpeut prendre pour operateur conjugue a` Hh1 le generateur des dilatations

Ah = ih2

(x + x).

C. Gerard et A. Martinez proposent dans [GM88] une autre demonstration, le but etant detrouver Ah qui soit veritablement un operateur conjugue a`H

h1 , de sorte que lestimation (1.10)

soit directement donnee par le resultat de Mourre. Ah est obtenu comme operateur pseudo-differentiel, et est en fait une perturbation du generateur des dilatations. Plus precisement,Ah est de la forme

Fh = Ah + Opwh (r) = Op

wh (x + r) = Opwh (b),

avec r C0 (R2n). Pour obtenir linegalite (1.9) (avec Vh = 0) apre`s quantification et multi-plication par h pour h = c0h (avec c0 > 0), il faut trouver un symbole b tel que

{p, b} > c0 sur p1(J),

ou` {p, b} designe le crochet de Poisson

{p, b} = p xbxp b = 2 xbV1(x) b.

Puisque le crochet de Poisson de b avec p correspond a` la derivee de b le long du flot t

engendre par p, cela signifie que b doit crotre le long des trajectoires classiques (voir le pa-ragraphe 3.2.1 pour les proprietes du flot t).

Dans le cas dissipatif, on a vu que le commutateur qui intervient dans la condition deMourre ne fait intervenir que la partie autoadjointe. Ainsi, dans le cas dune energie non

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captive, le meme operateur conjugue que celui utilise dans le cadre autoadjoint va permettredappliquer la methode abstraite et dobtenir les estimations de la resolvante sur le demi-plansuperieur. Mais on a egalement vu quon pouvait exploiter la partie dissipative de loperateurH pour affaiblir la condition de Mourre. Il est donc naturel de se demander si on ne peut paspar suite affaiblir la condition de non-capture dans le contexte de loperateur de Schrodinger.En terme de symboles, la condition (1.9) peut secrire :

{p, b}+ V2 > c0 sur p1(J).Cela signifie que b na plus besoin detre croissante le long des trajectoires classiques partoutmais, grossie`rement, uniquement la` ou` V2 est nul. Pour illustrer ce que cela change, imaginonsune trajectoire classique periodique. Il est impossible de construire une fonction b strictementcroissante le long de cette trajectoire. Mais si cette trajectoire rencontre la zone damortisse-ment ou` V2 > 0, alors rien nempeche de construire une fonction b qui est croissante la` ou` V2est petit et decroissante ou` V2 > pour un certain > 0. Et comme peut-etre choisi aussigrand que lon veut, on pourra toujours compenser le fait que {p, b} est negatif par le termeV2 dans cette zone.

Cela sugge`re quon va effectivement pouvoir appliquer la methode de Mourre dissipativeavec une hypothe`se plus faible que la condition de non-capture. Plus precisement, on aurasimplement besoin de supposer que toute trajectoire captee denergie E pour le syste`me (1.11)rencontre louvert O ou` V2 est non nul. On remarque que cette hypothe`se est bien une genera-lisation de lhypothe`se habituelle, puisque dans le cas ou` V2 = 0, elle interdit les trajectoiresbornees denergie E, ce qui implique que E est une energie non-captive. Une hypothe`se de cetype apparat deja` dans [Leb96] (pour lequation des ondes amorties) et [AK07] (qui montreune estimation dispersive pour loperateur de Schrodinger sur un domaine exterieur).

En presence de trajectoires captees, on construit une fonction qui crotle long du flot hors de la zone damortissement (ici la fle`che represente lavaleur de f au point et dans la direction consideres : plus elle est fonceeplus la valeur de f est importante).

Figure 1.1 Fonction de fuite generalisee sur une trajectoire periodique.

Dans le cas autoadjoint, X.P. Wang montre dans [Wan87] ou [Wan89] que la conditionde non-capture utilisee pour demontrer lestimation (1.10) est en fait une condition neces-saire (notons les travaux recents de S. Nonnenmacher et M. Zworski [NZ09a, NZ09b] quiobtiennent une estimation de la resolvante un peu plus faible dans le cas ou` lensemble destrajectoires captees est (( petit )) et que la dynamique sur cet ensemble est chaotique). Dansle cas dissipatif, on va montrer que notre hypothe`se generalisee sur les trajectoires captees estegalement une condition necessaire, la difficulte etant a` nouveau labsence de calcul fonction-nel pour Hh. Comme precedemment, on va utiliser une localisation en energie pour la partieautoadjointe Hh1 . On va egalement utiliser une version dissipative du theore`me dEgorov. Letheore`me dEgorov est un resultat qui fait le lien entre propagation quantique (conjugaison

par le propagateur eithH

h1 ) et propagation quantique (translation le long du flot t). Plus

precisement, pour un symbole a et

Uh1 (t) = e ithHh1 ,

on a :Uh1 (t)

Opwh (a)Uh1 (t) = Op

wh (a t) + O

h0(h).

Dapre`s le theore`me de Hille-Yosida loperateur dissipatif Hh engendre un semi-groupe decontractions quon notera

Uh(t) = e ithHh , t > 0.

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Un resultat analogue au theore`me dEgorov peut etre montre pour Uh(t), faisant apparatrele facteur damortissement du a` la partie imaginaire du potentiel :

Uh(t)Opwh (a)Uh(t) = Op

wh

((a t)e2

t0V2s ds

)+ Oh0

(h).

Pour exploiter les proprietes des operateurs autoadjoints afin detudier loperateur dissi-patif Hh, on ne se contente pas de rapprocher Hh de sa partie autoadjointe H

h1 . On sappuiera

egalement sur une dilatation autoadjointe Kh de Hh. Kh est un operateur autoadjoint surun espace de Hilbert K contenant lespace de depart H (ici L2(Rn)) et tel que si on note PHla projection orthogonale de K sur H on a

(Hh z)1 = PH(Kh z)1H pour Im z > 0

ete

ithHh = PHe

ithKh

H

pour t > 0.

La theorie des dilatations autoadjointes dans un cadre abstrait est decrite dans [NF67]. Onpourra trouver la construction dune dilatation autoadjointe explicite pour loperateur deSchrodinger dissipatif dans [Pav77]. Ces resultats seront egalement rappeles dans ce manus-crit (chapitre 2).

Au final, le resultat quon obtient sur la resolvante de loperateur de Schrodinger dissipatifest le suivant :

Theore`me 1.3. On suppose que V1 une fonction lisse telle quil existe > 0 et des constantesc pour Nn tels que

x Rn, |V1(x)| 6 c x|| .

On suppose egalement que V2 est une fonction continue et positive sur Rn telle que (x )jV2est borne pour j J0, 2K.

Soient E > 0 et > 12 . On suppose que pour tout w p1({E}) tel que la trajectoireclassique t 7 |x(t, w)| est bornee on peut trouver t R tel que V2(x(t, w)) > 0. Alors il existeun voisinage I de E dans R+ et c, h0 > 0 tels que

supRe zIIm z>0

x (Hh z)1 x 6 ch

(1.12)

pour tout h ]0, h0]. Si de plus V2 est une fonction lisse dont toutes les derivees sont bornees,la condition sur les trajectoires captees est en fait necessaire.

On verra que les estimations de la resolvante peuvent en fait plus generalement etremontrees pour un operateur de Schrodinger de la forme h2 + V1(x) i(h)V2(x) ou`(h) :]0, 1] ]0, 1] est quelconque. Dans ce cas lestimation en h1 doit etre remplacee parune estimation en min(h, (h))1. Outre le cas (h) = h auquel on sinteresse ici, le cas(h) = h2 peut par exemple etre utile pour letude des valeurs propres de grandes partiesreelles pour loperateur de Schrodinger iV2(x), voir par exemple [AK07] a` ce sujet.

1.2.4 Estimations de la resolvante par les mesures semi-classiques

Si la methode de Mourre a donne de nombreux resultats concernant les estimations de re-solvante, dautres techniques ont egalement ete developpees. On peut mentionner par exempleles travaux de A. Vasy et M. Zworski [VZ00] et de N. Burq [Bur02]. Lidee de Burq (voirauparavant [Leb96]) est de montrer des estimations de la resolvante par labsurde, en consi-derant une famille de solutions niant le resultat voulu et une mesure semi-classique associee,puis en obtenant une contradiction sur cette mesure. La methode est dabord utilisee dans

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[Bur02] pour un potentiel (reel) a` support compact pour montrer labsence de resonancesdans une certaine zone du demi-plan inferieur. La methode est ensuite reprise dans [Jec04]pour montrer les estimations de la resolvante pour le cas dun potentiel longue portee. Lenouvel ingredient est lutilisation dune (( fonction de fuite a` linfini )). On pourra egalementvoir [CJK08] pour le cas dun potentiel coulombien, [CJ06] pour le cas dun potentiel peuregulier et [Jec05, FR08, DFJ09] pour le cas matriciel.

On va utiliser ici cette methode pour montrer une estimation uniforme de la resolvantedans le cas ou` lindice dabsorption V2 nest plus necessairement partout positif. Le premierproble`me dans cette situation est que la resolvante nest plus forcement bien definie, memesur le demi-plan superieur, puisque loperateur peut avoir des valeurs propres de partiesimaginaires positives (on se restreint a` des situations ou` le spectre essentiel reste R+). Maiscomme on vient de le voir, meme en supposant que la resolvante est bien definie, il est essentielpour pouvoir appliquer la methode de Mourre que le potentiel Vh definisse un operateurpositif. Pourtant, en raison de la localisation en energie qui apparat dans la condition deMourre, on ne sinteresse pour appliquer la methode au cas de loperateur de Schrodingerquaux trajectoires classiques denergies proches de lenergie E consideree. On peut donc parexemple etre surpris davoir a` faire, meme a` la limite h 0, cette hypothe`se de positivitesur V2 y compris dans les zones classiquement interdites, cest-a`-dire ou` V1(x) > E.

Il faut remarquer que la methode de Mourre nest pas a` proprement parler une me-thode semi-classique. En effet, cest une methode adaptee a` letude dun unique operateur,quon applique a` une famille doperateurs (Hh)h]0,h0] en controlant toutes les estimationsuniformement par rapport au parame`tre h. La methode des mesures semi-classiques estau contraire une technique purement semi-classique. En effet, etant donnee une famille defonctions (uh)h]0,1], on travaille avec une mesure sur R2n telle que pour une sous-suitehk

k0 on a :

q C0 (R2n),Opwhkuhk , uhk

k

R2n

q d. (1.13)

Cest ensuite sur cet objet que lon travaille. Il est donc raisonnable desperer utiliser defacon plus fine les proprietes de la dynamique classique associee a` loperateur de Schrodingersemi-classique. On ne levoquera pas dans ce travail, mais cette methode est egalement bienadaptee a` letude de loperateur de Schrodinger sur des domaines a` bord. Cest dailleurs lecas dans [Bur02] (voir aussi [GL93, Bur97, Mil00]). Cest utilise pour un cadre dissipatif dansles travaux de L. Aloui et M. Khenissi ([AK07], voir egalement le travail recent [AK10] pourle cas dune dissipation par le bord).

On se propose detudier par cette methode les estimations de la resolvante et le principedabsorption limite quand lindice dabsorption V2 C(Rn) est de courte portee avecune partie negative a` support compact et verifiant une condition damortissement sur lestrajectoires captees denergie E : si w p1({E}) est tel que {|x(t, w)| , t R} est bornealors il existe T > 0 tel que T

0

V2(x(t, w)) dt > 0. (1.14)

Ainsi, on ne demande rien au potentiel sur la zone classiquement interdite, mais surtout onautorise V2 a` etre negatif meme sur les trajectoires captees, a` condition que sur chacune deces trajectoires lamortissement soit (( plus positif que negatif )). Cela suffit a` assurer quelenergie portee par les trajectoires captees sera bien dissipee par lamortissement du a` V2.On obtient finalement le resultat suivant :

Theore`me 1.4. On suppose que V2 C(R2n) est positif en dehors dun compact et quilexiste > 0 et des constantes c pour Nn tels que

x Rn, |V2(x)| 6 c x1|| .

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Soient > 12 et E > 0 verifiant lhypothe`se (1.14). Alors il existe un voisinage I de Edans R+ et h0 > 0 tels que pour h ]0, h0] loperateur Hh na pas de valeur propre dans

CI,+ = {z C,Re z I, Im z > 0}

et il existe une constante c > 0 telle que pour tout h ]0, h0] :

supzCI,+

x (Hh z)1 x 6 ch.

Avec ces estimation de la resolvante on pourra alors verifier pour tout h ]0, h0] le principedabsorption limite par le demi-plan superieur et donc lexistence dune solution sortante a`lequation de Helmholtz.

Si le theore`me 1.4 ameliore le theore`me 1.3, il convient tout de meme de remarquer quedans le cas ou` V2 > 0, les hypothe`ses sont plus fortes ici. On va en outre utiliser le theore`me1.3 pour montrer le theore`me 1.4.

Comme on la dit en debut de paragraphe, lidee pour montrer un tel resultat est deconsiderer une suite de solutions niant le resultat, une mesure semi-classique associee et demontrer que cette mesure est a` la fois nulle et non nulle. Pour montrer quelle est nulle,on commence par verifier que la suite de solutions sortantes a` lequation de Helmholtz seconcentre dans lespace des phases et a` la limite h 0 sur p1({E}) et hors de la zoneentrante Z =

{(x, ) | |x| 1, x 6 12 |x| ||

}. Ce dernier resultat est demontre dans

[RT89] dans le cas autoadjoint, on le prouve ici dans le cas dissipatif. On utilise ensuite lesproprietes de propagation de la mesure le long du flot hamiltonien classique pour en deduireque la mesure est nulle sur tout lespace des phases R2n. Letude de la localisation a prioride la solution sur p1({E}) et hors de Z sera par ailleurs une premie`re etape importantepour letude plus fine de lasymptotique de la famille de solution (uh)h]0,h0] a` lequation deHelmholtz (1.1).

1.3 Mesure semi-classique pour lequation de Helmholtz

Une fois que lon dispose du principe dabsorption limite pour loperateur de Schrodingerdissipatif comme au paragraphe 1.2.3 ou faiblement dissipatif comme au paragraphe 1.2.4,on peut considerer la solution uh de lequation (1.1) et sinteresser a` lasymptotique h 0.Plus precisement on voudrait savoir ou` la quantite |uh(x)|2 se concentre lorsque h tend vers0. On sinteressera egalement a` la localisation en frequences.

1.3.1 Cas dun coefficient dabsorption constant

Le premier travail dans cette direction semble etre larticle de J.-D. Benamou, F. Castella,T. Katsaounis et B. Perthame [BCKP02]. Le terme source quils conside`rent est de la formeSh(x) = hS (x/h), ou` S appartient a` lespace de Schwartz S(R3) (le cadre de travail est R3).Cela signifie que la source se concentre sur lorigine quand h 0, modelisant ainsi une sourceponctuelle pour h petit.

Lasymptotique de uh (dans lespace des phases) est etudiee via la transformation deWigner, definie de la facon suivante :

Wh(x, ) =1

hnW

(x,

h

)=

1

(2pih)n

Rne

ih y,uh

(x+

y

2

)uh

(x y

2

)dy.

On peut verifier que pour un symbole a C0 (R2n) on a

Wh, aR2n = Opwh (a)uh, uhRn , (1.15)

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de sorte que la mesure de Wigner permet, comme les operateurs pseudo-differentiels, detudierla localisation de uh en espace et en frequences. Une propriete remarquable de la transformeede Wigner et que si uh(t) est solution de lequation de Schrodinger{

ih tuh(t) =(h22 + V1(x)

)uh(t)

uh(0) = u0,

alors la famille de transformees de Wigner associee est solution de

Wh(t)

t+ xWh(t)V1(x) Wh(t) = 0, (1.16)

qui nest autre que lequation de Liouville classique correspondant au syste`me hamiltonien(1.11). Ainsi, si Wh(t) converge vers une fonction f (en un sens convenable) quand h tendvers 0, on sattend a` ce que f soit encore solution de (1.16). Cest lune des facons de voirque la mecanique quantique (( tend )) vers la mecanique classique lorsque (la constante dePlanck) h tend vers 0 (voir [LP93, Wan07]).

Le but de [BCKP02] est detudier la limite de la transformee de Wigner pour la solutionde lequation (1.1) dans le cas ou` V2 = h > 0 est une constante, avec h

h0 > 0. On

obtient effectivement une mesure f solution de lequation de Liouville (stationnaire) :

f + xf(x, ) 12V1 f(x, ) = 1

(4pi)(x)

S()2(|x| = 1),ou` S designe la transformee de Fourier de S. Les deux difficultes principales sont dues auterme source et au suivi de la condition de radiation lorsque h 0 si = 0. Ce dernierpoint est dailleurs complete dans [Cas05]. Cette etude utilise en particulier une estimationuniforme pour la resolvante, et necessite donc une hypothe`se de non-capture sur lindice derefraction. Lestimation utilisee nest pas tout a` fait celle que lon vient de decrire, mais uneestimation de la norme de Morrey-Campanato (voir [PV99])

u2MC = supR>0

B(R)

|u(x)|2 dx,

analogue a` la norme des espaces de Besov, mais homoge`ne en espace.

Ce resultat a ensuite connu un certain nombre de generalisations. Le but de larticle[CPR02] est de montrer un resultat analogue dans le cas ou` le terme source se concentre non

plus sur lorigine mais sur une sous-variete de Rn. Etant donnee une sous-variete de Rn, leterme source prend alors la forme

Sh = hq

A(z)eih(z)S

(x yh

)d(z).

On observe un phenome`ne doscillation qui sajoute au phenome`ne de concentration. Lesauteurs proposent une etude formelle dans un cadre assez general et une demonstration ri-goureuse dans le cas ou` est un sous-espace affine et lindice de refraction est constant.Lune des difficultes est que dans cette situation la source nest pas assez decroissante dansles directions de et lestimation de Morrey-Campanato nest plus utilisable. La contrainteconcernant lindice de refraction est surmontee dans [WZ06], ou` on utilise la methode deMourre pour obtenir les estimations a priori necessaires sur la solution (voir aussi [Wan07]a` ce propos). Mentionnons egalement les resultats dE. Fouassier, qui etudie dans [Fou06] lecas de deux sources ponctuelles et dans [Fou07] le cas ou` lindice de refraction presente unediscontinuite le long dun hyperplan en combinant la methode de [BCKP02], une adapta-tion des estimations de Morrey-Campanato ([Fou05]), et les travaux de L. Miller concernant

12

la propagation des mesures semi-classiques au bord dun domaine ([Mil00], voir aussi [GL93]).

A propos de larticle [Cas05] concernant la condition de radiation, il faut noter quunemethode differente est utilisee. En effet, lauteur ne regarde pas la transformee de Wignerde la solution, mais ecrit plutot cette solution comme lintegrale sur les temps positifs dupropagateur :

uh =i

h

0

eithH

h1 ehtSh dt.

Le but est alors de prendre la limite h 0 dans cette integrale, en (( coupant )) lintegraleafin de traiter separement les temps proche de 0 (t 6 T0h), les temps tre`s grands (t > h),les temps grands (T1 6 t 6 h) et les temps intermediaires (T0h 6 t 6 T1). En outre, leresultat est demontre sous une hypothe`se geometrique plus faible que lhypothe`se du Viriel

2(E V1(x)) x V1(x) > c0 > 0 (1.17)utilisee dans les autres travaux. Grossie`rement, on a besoin que lensemble des trajectoiresissues de lorigine et qui repassent par lorigine soit (( petit )). Il est facile de voir que lhypo-the`se (1.17) implique quaucune des trajectoires classiques denergie E issue de lorigine nepeut repasser par lorigine, ce qui est donc bien plus fort.

Le point de vue que nous allons utiliser dans notre etude est celui de J.-F. Bony, pre-sente dans [Bon09]. Tout dabord, la mesure semi-classique est etudiee via le calcul pseudo-differentiel (cette approche est presentee dans [Ger91a] ou encore [Ger91b]). Dans ce cas onne definit plus la mesure semi-classique comme la limite des transformees de Wigner maiscomme en (1.13). Le fait que ces deux approches soient equivalentes est raisonnable etantdonnee legalite (1.15) (on pourra tout de meme consulter [GL93] pour plus de detail). Ledefaut du point de vue semi-classique est que lon va demander beaucoup de regularite surle potentiel (en fait on ne considerera que des potentiels de classe C). Par contre on peuttravailler localement autour de chaque point de lespace des phases et, hors de la source, onobtient une description locale de la mesure en termes detats lagrangiens.

Comme dans [Cas05], la resolvante est ecrite comme lintegrale sur les temps positifs dupropagateur, et on peut se contenter dune hypothe`se geometrique plus faible que lhypothe`sedu Viriel. Letude se fait localement autour de chaque point de lespace des phases, et lacondition de radiation sur la mesure limite est obtenue par lestimation de la solution sortantedans la zone entrante demontree dans [RT89].

Comme la mesure semi-classique est construite de facon directe, et nest plus seulementobtenue comme limite dune suite bornee dans un certain espace, les estimations abstraitesde la resolvante ne sont plus utilisees de facon aussi fine que dans les travaux precedents.Neanmoins, lhypothe`se de non-capture reste necessaire.

Ce petit tour dhorizon montre que la mesure semi-classique pour lequation de Helmholtzhaute frequence est bien connue sous les hypothe`ses suivantes : regularite et decroissance du potentiel plus ou moins importante. indice dabsorption constant (pour avoir un operateur autoadjoint) et hypothe`se de

non-capture sur les trajectoires classiques. hypothe`se geometrique de type Viriel, ou condition de non-retour de presque toutes les

trajectoires issues de lorigine. terme source qui se concentre sur un (plusieurs) point(s) ou un sous-espace affine de

lespace.

1.3.2 Enonce du resultat pour un indice dabsorption variable

Comme on la annonce, on se propose dans cette the`se de demontrer un resultat analoguea` ceux qui prece`dent dans le cas ou` lindice dabsorption est variable. Les proble`mes dus aufait que loperateur que lon doit etudier nest plus autoadjoint interviennent principalement

13

pour montrer le principe dabsorption limite et les estimations a priori de la solution. Ona vu que ces resultats etaient valables pour loperateur de Schrodinger dissipatif avec unehypothe`se plus faible que lhypothe`se usuelle de non-capture, a` savoir que lamortissement estsuffisamment fort sur les trajectoires captees, au sens de (1.14). De`s lors, on se demande si leresultat sur la mesure semi-classique est lui aussi encore valable avec cette nouvelle hypothe`se.Puisque lhypothe`se de non-capture sert a` empecher que trop denergie ne saccumule surun compact, il semble raisonnable de vouloir sautoriser a` la remplacer par une hypothe`seconcernant labsorption sur les trajectoires captees. Dautre part, on conside`rera un termesource qui se concentre sur une sous-variete bornee de dimension d J0, n 1K dans Rn.Cela englobe en particulier le cas dun terme source qui se concentre sur plusieurs points. Cenest pas aussi general que ce qui etait vise dans [CPR02], dans la mesure ou` on se restreint

au cas borne, mais on na pas besoin que la sous-variete soit plate. Etant donnee une sous-variete de Rn, une amplitude A C0 () et S S(Rn), on definit le terme source par

Sh(x) = h1nd

2

A(z)S

(x zh

)d(z), (1.18)

ou` est la mesure de Lebesgue sur (ou` une somme de masse de Dirac en chaque pointsi dim = 0). On observera que ce terme source est localise sur le fibre normal N de .Comme par ailleurs uh se concentre sur les points denergie E, la mesure semi-classique quelon cherche sera portee par les trajectoires classiques issues de

NE ={

(z, ) N ||2 = E V1(z)} .Plus explicitement, on va montrer le resultat suivant (les hypothe`ses et lenonce seront donnesde facon plus precise dans le texte) :

Theore`me 1.5. On suppose que V1 est un potentiel a` longue portee et V2 un potentiel a`courte portee et positif hors dun compact. Soit E > 0 verifiant lhypothe`se damortissement(1.14). On suppose que V1(z) < E pour tout z et que lensemble des w NE tels quela trajectoire issue de w repasse par NE est de mesure nulle dans NE. Soit Sh definie en(1.18) et uh la solution sortante pour lequation (1.1).

(i) Il existe une mesure de Radon positive sur R2n telle que :

q C0 (R2n), Opwh (q)uh, uh h0

R2n

q d.

(ii) La mesure est caracterisee par les trois proprietes suivantes :

a. Le support de est inclus dans p1({E}).b. Pour tout ]0, 1[ il existe R > 0 tel que est nulle dans la zone entrante

{|x| > R et x 6 |x| ||} .

c. La mesure verifie lequation de Liouville

2 xV1(x) + 2V2 = C |A(z)|2 ||1S()2NE,

ou` C > 0 et NE est une certaine mesure sur NE.

(iii) Ces trois proprietes impliquent que est donnee par :R2n

q d = C

+0

NE

|A(z)|2 ||1 S()2q(t(z, ))e2 t0 V2(x(s,z,)) ds dNE(z, ) dt.On retrouve bien lequation de Liouville usuelle avec le coefficient dabsorption constant

remplace par notre indice variable V2, et on observe effectivement que la mesure est portee parles trajectoires classiques issues de NE. En outre, pour toute fonction q a` support compact,

14

La mesure est portee par les (demi-) trajectoiresclassiques issues de la source NE. Lamortissementle long du flot engendre par lindice de refraction V1est bien decrit par lintegrale de lindice dabsorptionV2 entre la source et le point considere. Ainsi la li-mite classique obtenue est coherente avec linterpreta-tion physique de lequation. Sur le dessin, on a repre-sente les demi-trajectoires issues de NE, les fle`chesrepresantant un point de lespace des phases. Plus onseloigne de la source, plus la (( densite )) de diminue(dans le cas ou` V2 > 0).

Figure 1.2 le long des trajectoires issues de NE

lintegrale en temps dans la dernie`re egalite est bien convergente car les trajectoires issues deNE partent a` linfini (et quittent donc le support de q en temps fini) ou bien sont captees

et on verra que dans ce cas le facteur damortissement e2 t0V2(x(s,z,)) ds devient suffisament

petit pour les temps grands.Il faut egalement dire un mot sur NE, sans quoi ces affirmations nont pas grand sens.

Contrairement a` ce que sugge`re la definition quon a donnee, on ne munit pas NE de lastructure riemannienne heritee du produit scalaire de R2n. Cette question ne se pose paslorsque est un point, mais il est plus naturel de voir la composante comme une directionde N que reellement comme un vecteur de Rn. Autrement dit, on ne veut pas tenir comptepour la composante de la courbure de et des variations de V1 sur , informations quelon peut retrouver a` partir de z. Ce point sera explique plus en detail au paragraphe 6.2.2.En attendant detre plus precis, on peut tout de meme deja` dire que la mesure NE quelon definit sur NE est issue dune structure riemannienne et donc absolument continue parrapport a` la mesure de Lebesgue sur NE.

1.3.3 Le proble`me des temps grands, idee de preuve

Outre le caracte`re non-autoadjoint de loperateur de Schrodinger considere, quon a deja`discute et sur lequel on reviendra, il a plusieurs proble`mes nouveaux a` surmonter. On vientdavoir un bref apercu des proble`mes que peut poser la geometrie de la source, on evoquemaintenant le proble`me du aux trajectoires captees. Ces deux proble`mes sont relativementindependants, puisque pour notre vision temporelle du proble`me, la geometrie de intervien-dra surtout pour les temps proches de 0, tandis que les trajectoires captees posent proble`me,comme on peut sy attendre, pour letude des temps grands. On esquisse dans ce paragraphelargument permettant de gerer ces temps grands malgre lexistence de trajectoires captees.

Dans le cas non-captif, la strategie est grossie`rement la suivante. On commence par verifierque uh se concentre sur p

1({E}) et hors de la zone entrante. On conside`re ensuite un pointw p1({E}) et un symbole q a` support (( proche )) de w. On ecrit alors (formellement) :

Opwh (q)uh =i

h

0

Opwh (q)UEh (t)Op

wh (f)Sh dt+ reste, (1.19)

ou` f C0 (R2n) est a` support pre`s de NE et vaut 1 au voisinage de NE, et UEh (t) =Uh(t)e

ith E . Par le theore`me dEgorov, si supp(q t) supp f = , alors

Opwh (q)UEh (t)Op

wh (f) = O(h

). (1.20)

15

Ainsi, si on note tk pour 1 6 k 6 K les temps pour lesquels tk(w) NE, seuls les tempsproches des tk donnent une contribution significative pour Op

wh (q)uh et donc pour la mesure

semi-classique. La contribution du voisinage de chaque tk, cest-a`-dire

i

h

tk+tk

Opwh (q)UEh (t)Op

wh (f)Sh dt

(on aura en fait besoin dune troncature lisse en temps), est un etat lagrangien qui, lorsquonprend le produit scalaire Opwh (q)uh, uh puis la limite h 0, donne lintegrale de q contreune certaine mesure k definie au voisinage de w. La somme de ces mesures sera au voisi-nage de w la mesure semi-classique cherchee. Puisque lenergie E est supposee non-captive(et que lensemble des energies non-captives est ouvert), pour T assez grand le support desupp(q T ) est dans la zone entrante, donc lestimation de uh dans la zone entrante montreque la contribution des temps plus grands que T dans lintegrale (1.19) est nulle (a` la limiteh 0).

Si on autorise les trajectoires captees, ce raisonnement pose au moins trois proble`mes : Le proble`me le plus immediat est quune trajectoire captee peut passer une infinite de

fois par la source NE. Ainsi, il peut exister w R2n tel que tk(w) NE pour uneinfinite de tk > 0. Ce qui donne une infinite de mesures partielles a` sommer. Ce serapar exemple le cas si une trajectoire periodique rencontre NE.

Les temps verifiant (1.20) et que lon souhaite donc negliger posent egalement proble`me.En effet, dans le cas non captif, on a juste a` integrer cette estimation sur [0, T ] (privedun voisinage des temps tk) pour un certain T > 0, la contribution des temps plusgrands que T etant par ailleurs controles par lestimation dans la zone entrante. Avecdes trajectoires captees ce nest plus possible, et on devrait donc integrer lestimation(1.20) sur R+ (toujours prive dun voisinage des tk), ce qui pose des proble`mes deconvergence pour h > 0 fixe. Cest dautant plus problematique que lestimation (1.20)donnee par le theore`me dEgorov nest pas uniforme par rapport a` t. Elle lest pour destemps finis, on sait ([BR02]) quon peut aller jusqua` des temps dordre ln |h|, mais celane donne rien pour des temps arbitrairement grands.

Enfin se pose le proble`me plus subtil de la taille du voisinage de w pour lequel lar-gument decrit est valable. En effet, on a considere les temps tk quil faut aux pointsde la source NE pour atteindre w. Il faut en fait considerer les temps quil faut auxpoints de la source pour atteindre supp q. En temps fini, ces temps sont en fait prochesdes tk si on a choisi q a` support assez proche de w. Cela nest plus valable en tempsquelconque. Lexemple le plus evident est celui dun point fixe w pour le flot hamiltonienclassique mais tel quil existe w0 NE verifiant t(w0) w pour t +. Dans cecas lensemble des temps tk associes a` w est vide, et pourtant on sattend a` ce que lamesure semi-classique ne soit nulle dans aucun voisinage de w.

On a vu lorsquon a parle du theore`me dEgorov dissipatif quun facteur damortissemente2

t0V2s ds apparaissait. Or, par compacite de lensemble des trajectoires captees denergie

E, on va montrer qua` partir de lhypothe`se (1.14) on obtient en fait que sur les trajectoires

captees la quantite t

0V2 s ds crot comme t. Ainsi on peut esperer que les contributions

pour les temps tk grands deviennent de plus en plus petites et forment au final une serie som-mable. Le proble`me est quen faisant ce raisonnement on utilise encore le theore`me dEgoroven temps grands.

Lidee pour gerer les temps grands va finalement etre de commencer par ne pas senpreoccuper. Autrement dit, on fixe T > 0 et on conside`re :

uTh =i

h

T0

UEh (t)Sh dt

(la` encore on aura besoin dune troncature lisse en temps). On peut sinteresser a` la mesure

16

semi-classique T pour la famille (uTh )h]0,1]. Cela peut se faire exactement comme dans le

cas non captif, puisquen temps fini on ne fait pas de difference entre trajectoires captees etnon-captees. Bien sur, lidee est ensuite de faire tendre T vers +. Localement, T va etrela somme des contributions correspondant aux tk plus petits que T . Ces contributions etantpetites pour tk grand, on sattend a` ce que cette somme admette une limite. Cette limitesave`re etre, comme on lesperait, une mesure de Radon positive. A ce stade on a donc

Opwh (q)uTh , u

Th

h0

R2n

q dT T+

R2n

q d,

ou` est une mesure sur R2n. Linteret de ce procede est quon evite les proble`mes duniformiteen h et T en prenant la limite h 0 a` T fixe puis la limite T + dune quantite quine depend plus de h. Pour verifier que la mesure T admet effectivement une limite, etpour savoir quel sens on peut donner a` la mesure obtenue, on va montrer que pour Tgrand la quantite

Opwh (q)u

Th , u

Th

est une bonne approximation de Opwh (q)uh, uh en un

sens suffisamment fort. On pourra alors conclure que

Opwh (q)uh, uh h0

R2n

q d,

ce qui donnera bien le resultat attendu.

1.4 Organisation du manuscrit

Outre ce chapitre dintroduction, ce manuscrit contient cinq chapitres :

Chapitre 2. Avant dattaquer lanalyse haute frequence promise dans le titre, on commencepar une rapide etude dun unique operateur de Schrodinger dissipatif H = +V1(x)V2(x).On commence par des proprietes tre`s basiques pour les operateurs dissipatifs maximaux, puisplus precisement pour les operateurs dissipatifs obtenus comme perturbation dun operateurautoadjoint. On rappellera ensuite ce quest une dilatation autoadjointe dans le cas general,ainsi quun exemple pour le cas de loperateur de Schrodinger dissipatif, puis on expliqueracomme se servir de cette theorie pour generaliser un resultat concernant les operateurs relati-vement lisses au sens de Kato. On sinteressera enfin a` lexistence et a` lunicite dune solutionsortante pour lequation (1.1) (pour h > 0 fixe) dans le cas ou` V2 est de longue portee, enmontrant des estimations uniformes de la resolvante et le principe dabsorption limite, puisaux solutions de lequation (H E)u = 0 dans le cas ou` V2 est de courte portee.

Chapitre 3. On consacre ensuite un chapitre a` lapproche semi-classique (ou hautes fre-quences) de lequation de Helmholtz. On rappellera dans une premie`re partie les outils usuelsdanalyse semi-classique qui seront utilises tout au long de ce travail. On sinteressera ensuitea` la dynamique classique associee a` lequation. Cela concernera a` la fois le flot lie a` lindice derefraction V1 et lamortissement du a` lindice dabsorption V2. On donnera en particulier plusde precisions sur lhypothe`se (1.14). Enfin on sinteressera de plus pre`s au lien entre lopera-teur de Schrodinger et ces proprietes classiques, et en particulier au theore`me dEgorov. Lesresultats presentes dans cette dernie`re partie sont bien connus dans le cas autoadjoint, le butici est de voir comment intervient V2.

Chapitre 4. Dans ce chapitre on presente les resultats concernant la methode de Mourreet les estimations de la resolvante pour loperateur de Schrodinger dissipatif. On commencepar developper la theorie abstraite, avec en particulier lestimation uniforme de la resolvantedans les espaces a` poids et le principe dabsorption limite. On montre ensuite comment cesresultats peuvent etre appliques au cas de loperateur de Schrodinger pour une energie quinest pas forcement non-captive. On termine en montrant que la condition obtenue sur les

17

trajectoires classiques captees est en fait une condition necessaire. Les principaux resultatsde ce chapitre sont publies dans [Roy10a].

Chapitre 5. Ce chapitre est dune certaine manie`re un chapitre de transition entre le pre-cedent et le suivant, puisquon commence a` etudier la localisation de la solution a` lequationde Helmholtz dans un cadre encore assez general, et quon en deduit ensuite les estimationsde la resolvante et le principe dabsorption limite dans le cas dun indice dabsorption nonpositif, cest-a`-dire dun operateur de Schrodinger non-dissipatif.

Chapitre 6. Ce dernier chapitre est consacre a` letude de la mesure semi-classique pourla solution sortante de lequation de Helmholtz avec indice dabsorption variable. On y re-trouve la demonstration presentee dans [Roy10b], avec en particulier une etude detaillee desproble`mes dus a` la geometrie de la source et aux trajectoires captees. Certains points dedemonstrations classiques ayant ete omis dans larticle seront donnes avec plus de details ici.Par rapport au resultat presente dans [Roy10b], loperateur de Schrodinger etudie nest plusnecessairement purement dissipatif.

Enfin on rappelle en annexe divers resultats et demonstrations utilises le texte, avec enparticulier la resolution de lequation de Hamilton-Jacobi, et un apercu de la theorie des etatslagrangiens. On trouvera finalement un index des notations introduites tout au long de cemanuscrit. On precise de`s maintenant que la notation C0 (Rn) deja` utilisee designe lensembledes fonctions lisses a` support compact, Cb (Rn) est lensemble des fonctions lisses dont toutesles derivees sont bornees, tandis que S(Rn) designe la classe de Schwartz, constituee desfonctions lisses dont toutes les derivees sont a` decroissance rapide.

18

Chapitre 2

LOperateur de Schrodingerdissipatif

On commence par un chapitre dintroduction sur loperateur de Schrodinger dissipatif. Lapremie`re partie de ce chapitre est consacree a` un rapide panorama des proprietes generalesconcernant les operateurs dissipatifs. La plupart de ces proprietes sont elementaires. Le butest essentiellement de faire le tri entre ce qui reste valable quand on passe dun operateursymetrique a` un operateur dissipatif et ce qui ne lest plus. Dans une deuxie`me partie onpresente les dilatations autoadjointes, en rappelant les quelques resultats dont on se serviraainsi que letude du cas de loperateur de Schrodinger. On verra egalement comment utiliserces dilatations autoadjointes pour adapter au cas doperateurs dissipatifs une partie de latheorie des operateurs lisses au sens de Kato. Dans la troisie`me section de ce chapitre oncommencera a` proprement parler letude de loperateur de Schrodinger dissipatif, dans unpremier temps pour le cadre quantique (cest-a`-dire sans petit parame`tre h). On y aborderaprincipalement le principe dabsorption limite par le demi-plan superieur, la conditions deradiation de Sommerfeld ainsi que letude des solutions de lequation homoge`ne.

2.1 Generalites sur les operateurs dissipatifs

2.1.1 Operateurs dissipatifs maximaux

On conside`re un espace de Hilbert H, muni du produit scalaire , H (lineaire a` gauche,antilineaire a` droite) et de la norme H associee (en general, on omettra lindice H sil nya pas dambigute).

SiH etH sont deux espaces vectoriels normes, on notera L(H,H) lespace des operateursbornes de H dans H muni de la norme doperateur L(H,H). On notera egalement L(H) =L(H,H).Definition 2.1. Soit H un operateur de domaine dense D(H) sur H. On dit que H est unoperateur dissipatif si :

D(H), Im H, 6 0.On note :

C+ = {z C | Im z > 0} .Proposition 2.2. Soit H est un operateur dissipatif de domaine D(H) sur H. Alors lope-rateur (H z) est injectif pour tout z C+ et si D(H) on a :

(H z) > Im z .En particulier si z nest pas dans le spectre Sp(H) de H on a :(H z)1 6 1

Im z. (2.1)

19

Demonstration. Comme les parties imaginaires de H, et z ont meme signe on a :

(H z) > Im (H z), > Im z 2 .

Definition. Soit H un operateur dissipatif de domaine D(H) sur H. On dit que H estdissipatif maximal sil nadmet pas dextension dissipative non triviale. Autrement dit, si Kest un operateur dissipatif de domaine D(K) sur H tel que D(H) D(K) et K = H pour D(H), alors on a D(H) = D(K).

Proposition 2.3. Soit H un operateur dissipatif ferme sur H. Les assertions suivantes sontequivalentes :

(i) z C+, z / Sp(H).(ii) z C+, z / Sp(H).

(iii) H est un operateur dissipatif maximal.

Demonstration. Lequivalence entre les deux premie`res assertions se montre exactement dela meme facon que pour les operateurs symetriques (voir le theore`me X.1 de [RS79b]). Onverifie alors (ii) = (iii) = (i).

Si (ii) est verifiee, alors en particulier i nest pas dans le spectre de H. Soient alors K uneextension dissipative de H et D(K). Si = (H i)1(K i) D(H) D(K), alorson a :

(K i) = (H i) = (K i).Comme K i est injectif, cela implique que = D(H), et donc D(K) = D(H).

On suppose au contraire que i est dans le spectre de H. Cela implique que limage deH i nest pas dense dans H et donc quil existe D(H) \ {0} tel que H = i. Si etait dans D(H) on aurait

Im H, = Im ,H = 2 > 0,ce qui est absurde. On obtient alors une extension non triviale K de H sur D(K) = D(H)Cen posant K = i (et K = H sur D(H)). Il reste a` verifier que K est bien un operateurdissipatif. Mais pour = + ou` D(H) et C on a

K, = H, + , K+ K, + ||2 K,= H, + 2 Re ,i i ||2 2 ,

et donc :Im K, = Im H, ||2 2 6 0.

Remarque 2.4. Pour un operateur dissipatif maximal H, la resolvante (H z)1 est doncbien definie pour tout z C+ avec

(H z)1 = (Im z)1. Le fait que cette estimationde la resolvante soit encore valable dans ce cas merite detre signale car pour un operateurnon-autoadjoint H la norme de (H z)1 nest pas controlee par linverse de la distance dez au spectre de H.

Definition 2.5. Si H est un operateur dissipatif, alors on conside`re

T = (H + i)(H i)1 = 1 + 2i(H i)1

sa transformation de Cayley, bien definie sur D(T ) = Im(H i).Proposition 2.6. T est une contraction de Im(H i) dans Im(H+ i) dont 1 nest pas valeurpropre.

20

Demonstration. Soit D(H). On a :

(H i)2 = H2 2 Im H,+ 2 > H2 + 2 Im H,+ 2

> (H + i)2 .

Pour = (H i) Im(H i) cela donne

2 > T2 ,

ce qui prouve que T est une contraction sur Im(H i). Le fait que 1 nest pas valeur propreresulte directement du fait que T 1 = 2i(H i)1.

On remarque quon a alors sur Im(T 1) = D(H) :

H = i(T + 1)(T 1)1.

Corollaire 2.7 ([NF67]). Tout operateur dissipatif admet une extension maximale.

Demonstration. Soit H un operateur dissipatif et T sa transformation de Cayley. T est unecontraction de H, donc on peut trouver une contraction T qui prolonge T a` H tout entier.Montrons que 1 nest pas valeur propre pour T . Supposons pour cela que H verifieT = . Alors on aT 2 = T 2 2 ReT ,+ 2 = T 2 2 6 0,ce qui prouve que T = , et donc pour tout D(H) :

, (H i) =T , (H i)

= , T (H i) = , (H + i)

On a donc , = 0, puis = 0 car D(H) est dense dans H. On a donc montre que Tnadmet pas de vecteur invariant. Loperateur (T 1) est donc injectif, ce qui permet deconsiderer K = i(T + 1)(T 1)1 sur D(K) = Im(T 1). K est alors une extension de H.On peut verifier que K est un operateur dissipatif. En effet pour D(K) et H tel que = (T 1) on a :

Im K, = Re

(T + 1), (T 1)

=T2 2 6 0.

En outre K est maximal. En effet, si B est une extension dissipative de K, alors considerantla transformation de Cayley TB de B, et sachant que la transformation de Cayley de K nestautre que T , on voit que TB est une extension de T . Mais T est defini sur tout H, doncTB = T , puis B = K.

2.1.2 Semi-groupes de contractions

Les resultats presentes dans ce paragraphe sont issus de [EN00]. On pourra egalementconsulter [EN06] ou [Paz83] pour des exposes plus complets.

Definition 2.8. On appelle semi-groupe de contractions (fortement continu) une famille decontractions (T (t))t>0 sur H telle que

T (0) = IdHs, t > 0, T (s+ t) = T (s) T (t) H, t 7 T (t) est continue de R+ dans H.

21

On definit alors un operateur A de domaine D(A) par

A = limt0+

T (t) t

,

le domaine D(A) etant lensemble des H pour lesquels la limite existe. Loperateur A estappele generateur du semi-groupe (T (t))t>0 et on notera T (t) = etA.

Proposition 2.9. Soit (T (t))t>0 un semi-groupe de contractions sur H, A son generateuret H = iA.

(i) A est ferme et D(A) est dense dans H.(ii) Pour tout t > 0, le sous-espace D(A) est stable par T (t).

(iii) Pour tout D(A), lapplication t 7 T (t) est derivable et on a :d

dtT (t) = T (t)A = AT (t).

En particulier A commute avec T (t) pour tout t > 0.(iv) Tout z C+ est dans lensemble resolvant de H et on a :

(H z)1 = i +

0

eitzT (t) dt = i

+0

eit(Hz) dt.

(v) Loperateur H est dissipatif maximal.

Mise a` part la dernie`re assertion, tous ces resultats peuvent etre enonces dans un espace deBanach. Le fait que H est dissipatif resulte de la decroissance de lapplication t 7 T (t)2et du fait que pour D(A) = D(H) on a :

d

dtT (t)2

t=0

= 2 Re iHT (t), T (t)|t=0 = 2 Im H, .

Pour 0 D(A), lapplication t 7 etA0 est solution du proble`me de Cauchy{t(t) = A(t), t > 0,(0) = 0.

Ainsi, etant donne un operateur A, il est important de savoir sil existe un semi-groupe dontA serait le generateur. Dans le cas dun operateur autoadjoint, il suffit de considerer la familleetA donnee par le calcul fonctionnel. Cela donne meme un groupe unitaire a` un parame`tre.Dans le cas dissipatif maximal, on a le resultat suivant :

Theore`me 2.10. Soit H un operateur ferme dissipatif maximal. Alors loperateur A = iHengendre un semi-groupe de contractions, quon note (eitH)t>0.

Citons deux facons de montrer ce resultat. On peut utiliser lestimation (2.1) pour appli-quer le theore`me de Hille-Yosida (voir par exemple le theore`me II.3.5 de [EN06]) a` loperateuriH. On peut egalement utiliser le calcul fonctionnel pour une contraction developpe dans[NF67] pour definir eitH via la transformee de Cayley (voir le theore`me 8.1 de [NF67]).

2.1.3 Perturbation dissipative relativement bornee dun operateurautoadjoint

Dans cette partie, on suppose que loperateur dissipatif H est de la forme H1 iV ou` H1est un operateur autoadjoint et V est un operateur autoadjoint positif et H1-borne de bornerelative strictement inferieure a` 1. Cela signifie quil existe a [0, 1[ et b > 0 tels que :

D(H1), V 6 a H1+ b . (2.2)Dans ce cas on a : D(H) = D(H1).

22

Proposition 2.11. Loperateur dissipatif H verifie les proprietes suivantes :

(i) H est un operateur ferme.

(ii) H est un operateur dissipatif maximal.

(iii) D(H) = D(H1) = D(H) et H = H1 + iV .Demonstration. (i) La premie`re assertion resulte facilement du fait que H1 est ferme et delhypothe`se (2.2) (voir le theore`me IV.1.1 de [Kat80]).

(ii) On note :

c =2b+ 1

1 a .

On a alors, pour tout H :V (H1 + ic)1 6 aH1(H1 + ic)1+ b(H1 + ic)16 a + b

c 6 1 + a

2 .

Ainsi loperateur (H1ic)1V de domaine D(V ) se prolonge en un operateur borne de normeinferieure a` (1 + a)/2, si bien que loperateur

A = Id(H1 ic)1V

est inversible dinverse bornee. Or on a (H ic) = (H1 ic)A, donc (H ic) est inversibledinverse bornee. Dapre`s la proposition 2.3, cela prouve que H est un operateur dissipatifmaximal.

(iii) Pour montrer la troisie`me assertion, on commence par observer que pour tous , D(H1) on a bien

(H1 iV ), = , (H1 + iV ) ,ce qui prouve deja` que D(H) D(H) et H = H1 + iV sur D(H1). Il reste a` montrer queD(H) D(H). Soit donc D(H). Pour tout D(H1) on a :

(H1 ic), =(H ic)A1, = A1, (H + ic) = , (A1)(H + ic)

et donc D(H1 ) = D(H1) = D(H).Remarque 2.12. Soient T1 et T2 deux operateurs sur H tels que (T1 + T2) est inversible etpour tout D(T1) on a D(T2) et T2 6 a T1 + b avec a [0, 1[ et > 0.Alors pour tout operateur borne Q sur H on a :

T1(T1 + T2)1Q 6 Q+ b(T1 + T2)1Q1 a .

2.1.4 Perturbation bornee dun operateur autoadjoint

On va dans ce travail considerer des operateurs qui non seulement ne sont pas autoadjointsmais qui ne seront pas non plus dissipatifs, la faute a` une partie antisymetrique qui nest pasnecessairement positive. Si H1 est un operateur autoadjoint et V est borne (minore suffirait),alors loperateur H = H1 iV de domaine D(H1) nest (eventuellement) ni autoadjoint nidissipatif. Par contre loperateur H i V est dissipatif. On peut donc lui appliquer lesresultats precedents. On obtient que pour Im z > V loperateur (H z) = ((H i V )(z i V )) est inversible et

(H z)1 6 1Im z V . (2.3)

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Dautre part on a encore D(H) = D(H) = D(H1) et H = H + iV sur D(H). En outreloperateur iH = i(H i V ) + V engendre un semi-groupe fortement continu quonnote t 7 eitH , mais les operateurs eitH ne sont plus des contractions. On a tout de memeeitHL(H) 6 etV ,et les proprietes de la proposition 2.9 sont toujours valables.

2.1.5 Premie`res proprietes concernant le spectre de loperateur deSchrodinger

On se place maintenant sur H = L2(Rn). Considerons un potentiel V : Rn C borne,ainsi que loperateur de Schrodinger

H = H0 + V

ou` on a note H0 = le laplacien libre. V definit sur L2(Rn) un operateur borne, donc Hest comme H0 un operateur de domaine H

2(Rn).

Supposons queV (x)

|x|+0.

V definit alors sur L2(Rn) un operateur relativement compact par rapport a` H0, et on obtientpar le theore`me de Weyl [RS79c, cor. 2 p. 113] que le spectre essentiel de H et le meme quecelui de H0, cest-a`-dire R+. Cela signifie quen dehors de R+ le spectre de H est constitue devaleurs propres isolees et de multiplicites finies. Ces valeurs propres peuvent eventuellementsaccumuler a` linfini ou sur un point du spectre essentiel R+. En outre, si on note

V = V1 iV2on voit que toute valeur propre z C de H est telle que

supV2 6 Im z 6 inf V2.

Supposons maintenant que la partie imaginaire de V est negative. H est alors un operateurdissipatif. Comme loperateur V est relativement bo