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Ondelettes et algorithmesSchéma Navier-Stokes par ondelettes

Résultats numériques

Simulation numerique directe de la turbulencepar une methode d’ondelettes

Schéma par ondelettes à divergence nulle pour les fluidesincompressibles

Erwan Deriaz [email protected]

Laboratoire de Mécanique, Modélisation & Procédés Propres - Marseille

joint work with Valérie Perrier

Séminaire Lamuse-FST-UJM – St-Étienne – 23.10.2008

Erwan Deriaz [email protected] Ondelettes et Turbulence



Décomposition en ondelettes pour Navier-Stokes

• Résolution numérique des équations de Navier-Stokesincompressibles en dimension 2 et 3 en adaptif :

∂u∂t + (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f t ≥ 0, x ∈ Rn n = 2 ou 3div u = ∇ · u =

∑ni=1

∂ui∂xi

= 0u(x ,0) = u0(x)

• Discrétisation adaptative en ondelettes :

u(x , tn) ≈ uN(x , tn) =∑

α∈An

cnα Ψα(x)

avec Card(An) = N et Ψα ∈ Hdiv,0 = {u ∈ L2/div(u) = 0} .




Ondelettes pour le calcul scientifique

Théorie des ondelettesP.G. Lemarié-Rieusset, “Analyses multi-résolutions nonorthogonales, commutation entre projecteurs et dérivationet ondelettes vecteurs à divergence nulle”, 1992.P.G. Lemarié-Rieusset, “Un théorème d’inexistance pourles ondelettes vecteurs à divergence nulle”, 1994.S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes,Edition de l’École polytechique, Novembre 2000.Y. Meyer [89], I. Daubechies [92], P.G. Lemarié [96]A. Cohen [92], P. Federbush [93], M. Cannone [95]




Ondelettes pour le calcul scientifique

Résolutions numeriques par ondelettesW. Dahmen, A. Kunoth et K. Urban, “A wavelet-Galerkinmethod for the Stokes problem”, 1996.K. Urban, “Wavelet Bases in H(div) and H(curl)”, 2000.V. Perrier [91], K. Urban [94], Méthodes GalerkinN. Kevlahan [97], Méthodes de collocationK. Schneider [95], J. Liandrat [97], M. Farge [01],Ondelettes / vaguelettes

Méthodes adaptativesA. Cohen, W. Dahmen, R. DeVore [01]




Plan de l’exposé

1 Ondelettes et algorithmesOndelettes à divergence nulle et gradientDécomposition de HelmholtzIntégration du noyau de la chaleur

2 Schéma Navier-Stokes par ondelettesPseudo-codeStabilité numériqueAdaptativité

3 Résultats numériquesExpérience des trois tourbillonsPseudo-adaptativitéOndelettes à div nulle generalisées




Ondelettes à divergence nulle et gradientDécomposition de HelmholtzIntégration du noyau de la chaleur

Plan








Analyse Multirésolution biorthogonale

Définition : Une ondelette ψ se définit comme une fonction debase pour la construction d’une base de Riesz. C’est-à-diretelle que

L2(R) = vect{ψ(2j .− k)}j ,k∈Z

L2

et

∃a,A > 0 tels quea‖(dj ,k)j ,k‖ℓ2 ≤ ‖∑

j ,k

dj ,kψj ,k‖L2 ≤ A‖(dj ,k)j ,k‖ℓ2

Notation : ψj ,k(x) = 2j/2ψ(2jx − k)





Lemme fondamental sur la dérivation d’AMR

Proposition (Malgouyres) : [Lem92] Soit (ϕ1, ψ1) une AMR. Siϕ1 ∈ C1+ǫ pour un ǫ > 0, alors il existe une AMR (ϕ0, ψ0) telleque :

ϕ′1(x) = ϕ0(x) − ϕ0(x − 1) , ψ′

1(x) = 4ψ0(x)

−2 −1 0 1 2 3 4 5−0.5

−0.3

−0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1.3

−0.9

−0.5

−0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

ϕ0 ψ0 ϕ1 ψ1





Ondelettes à divergence nulle 2D

Fonction d’échelle et ondelettes à divergence nulle isotropes2D (divu = 0) [Lem92] :

Φdiv(x1, x2) =

∣∣∣∣ϕ1(x1)ϕ

′1(x2)

−ϕ′1(x1)ϕ1(x2)

Ψdiv (1,0)(x1, x2) =

∣∣∣∣ψ1(x1)ϕ

′1(x2)

−ψ′1(x1)ϕ1(x2)

Ψdiv (0,1)(x1, x2) =

∣∣∣∣−ϕ1(x1)ψ

′1(x2)

ϕ′1(x1)ψ1(x2)

Ψdiv (1,1)(x1, x2) =

∣∣∣∣ψ1(x1)ψ

′1(x2)

−ψ′1(x1)ψ1(x2)





Exemple d’ondelettes 2D à divergence nulle

Φdiv−2 −1 0 1 2 3

−2

−1

0

1

2

3

−1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2−1.0

−0.6

−0.2

0.2

0.6

1.0

1.4

1.8

2.2

Ψ1 div

Ψ2 div−1.0 −0.6 −0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2

−1.0

−0.6

−0.2

0.2

0.6

1.0

1.4

1.8

2.2

−1.5

−1.1

−0.7

−0.3

0.1

0.5

0.9

1.3

1.7

2.1

2.5

−1.5

−1.1

−0.7

−0.3

0.1

0.5

0.9

1.3

1.7

2.1

2.5

Ψ3 div





Exemple d’ondelettes 3D à divergence nulle

Isosurfaces du module de vorticité des 14 ondelettes àdivergence nulle isotropes 3D





Ondelettes anisotropes

Ondelettes à divergence nulle :

Ψdivj,k (x1, x2) =

∣∣∣∣2j2ψ1(2j1x1 − k1)ψ0(2j2x2 − k2)

−2j1ψ0(2j1x1 − k1)ψ1(2j2x2 − k2)

Ondelettes gradient :

Ψrotj,k(x1, x2) =

∣∣∣∣2j1ψ0(2j1x1 − k1)ψ1(2j2x2 − k2)

2j2ψ1(2j1x1 − k1)ψ0(2j2x2 − k2)

avec j = (j1, j2) ∈ Z2 l’échelle et k = (k1, k2) ∈ Z2 leparamètre de position.Ondelette localisée en (2−j1k1,2−j2k2) .





Plan








Principe de la décomposition de Helmholtz

Décomposition du champ de vecteurs u ∈ (L2(Rn))n en

u = udiv + urot avec udiv = rot ψ , urot = ∇p

les fonctions rot ψ et ∇p sont orthogonales dans (L2(Rn))n et ily a unicité.

(L2(Rn))n = Hdiv 0(Rn) ⊕⊥ Hrot0(R

n)

Importance de cette décomposition dans N-S pour projeter leterme u.∇u sur Hdiv 0(R

n).





Projecteur de Leray (en Fourier)

u = udiv + ∇p∆p = divu = ∂1u1 + . . .+ ∂nun

En Fourier,

p = −i

|ξ|2

n∑

ℓ=1

ξℓuℓ

udiv = u−

ξ1∑n

ℓ=1 ξℓuℓξ2∑n

ℓ=1 ξℓuℓ...

ξn∑n

ℓ=1 ξℓuℓ

=

1 −ξ2

1|ξ|2

− ξ2ξ1|ξ|2

. . . − ξnξ1|ξ|2

− ξ1ξ2|ξ|2

1 −ξ2

2|ξ|2

. . . − ξnξ2|ξ|2

.... . . . . .

...

− ξ1ξn|ξ|2

− ξ2ξn|ξ|2

. . . 1 − ξ2n

|ξ|2

[u]





Décomposition de Helmholtz par ondelettes

On veut écrire :v = vdiv + vrot

avec

vdiv =∑

j,k

ddivj,k Ψdiv

j,k et vrot =∑

j,k

d rotj,k Ψrot

j,k

Problème : les projecteurs sur les bases d’ondelettes àdivergence nulle et sur les bases d’ondelettes gradient sont desprojecteurs biorthogonaux.→ Méthode itérative pour trouver vdiv et vrot.





Projecteur sur Hdiv 0(Rn) en ondelettes

Pdivu =

1 −ω2

1|ω|2

−ξ2ω

21

|ω|2ξ1. . . −

ξnω21

|ω|2ξ1

−ξ1ω

22

|ω|2ξ21 −

ξ22

|ω|2. . . −

ξnω22

|ω|2ξ2...

. . . . . ....

− ξ1ω2n

|ω|2ξn− ξ2ω

2n

|ω|2ξn . . . 1 − ω2n

|ω|2

[u]

avec ωi = 2ji et |ω|2 =∑n

i=1 22ji .





Construction des suites vpdiv et vp

rot

H

H

H

HN

v (=v )

divn

div 0

div1

curl curl

2

0

0

0

(=v )

v

v

v

v

v

0

curl 0

1

v1

v 0N

n

Hn = vect{Ψnj,k} , HN = vect{ΨN

j,k}.





Construction des suites vpdiv et vp

rot

Sommes directes :

(L2(Rn))n = Hdiv,0 ⊕ Hn , (L2(Rn))n = HN ⊕ Hrot,0

En ondelettes :

v = Pdiv v + Qn v , v = PN v + Qrot v

Suite : vp = Pdiv vp︸︷︷︸

vpdiv

+ Qrot Qn vp︸︷︷︸

vprot

+ PN Qn vp︸︷︷︸

vp+1

Finalement :

vdiv =

+∞∑

p=0

vpdiv

vrot =

+∞∑

p=0

vprot





Convergence avec les ondelettes de Shannon

Théorème de convergence : Soit u ∈(L2(Rn)

)n, et soit la

suite (up)p≥0 définie par :

u0 = u et up+1 = PN bQn up, p ≥ 0 (1)

où Qn est le projecteur sur l’espace complémentaire associéaux ondelettes gradient, et PN b est le projecteur PN pénalisépar b > 0 :

PN bu = u − b Qcurl u (2)

On suppose dans les constructions précédentes que ψ1 estl’ondelette de Shannon.Alors, pour b = 32

41 , la suite (up) satisfait, en norme L2 :

‖up‖ ≤

(9

41

)p

‖u‖ (3)





Convergence 2D avec des ondelettes quelconques

Théorème de convergence : Soit D = [−2π,2π]2 \ [−π, π]2, etΘ = {θ ∈ Q2 tq ∃m, ℓ ∈ Z2, θ = (2m1(2ℓ1 + 1),2m2(2ℓ2 + 1))}.Alors, si ∃ρ < 1 tel que ∀ζ ∈ D, la fonction ρ(ζ) definie par :

ρ(ζ) =∑

θ∈Θ

∣∣∣∣∣∣∑

j,k∈Z2, 2jk=θ

ω1ω2

|ω|2

((ζ2 − 2πθ2)ω1

ω2(ζ1 − 2πθ1)−

(ζ1 − 2πθ1)ω2

ω1(ζ2 − 2πθ2)

)

ζ2 − 2πθ2

ζ2ψ∗

1(ζ1

2j1)ψ∗

1(ζ2

2j2) ψ1(

ζ1 − 2πθ1

2j1)ψ1(

ζ2 − 2πθ2

2j2)

∣∣∣∣

avec ω = 2j, vérifie ρ(ζ) ≤ ρ, alors l’algorithme dedécomposition de Helmholtz par ondelettes converge.





Plan








Préconditionnement par ondelettes

Soit l’équation differentielle :

Au = v

avec A calculable explicitement mais non son inverse (exA = ∆)

On construit un opérateur par ondelettes A†ω ∼ A−1

Algorithme itératif pénalisé avec reprojection :

u(0) = vu(n) = u(n−1) + A†

ω(v − Au(n−1)), n ≥ 1(4)





Condition de convergence

Soit u la solution, les itérés de Richardson convergent si

‖u − u(n)‖ ≤ ρ‖u − u(n−1)‖ avec ρ < 1

i.e. come u − u(n) = (Id − AA†ω)(u − u(n−1)),

critère de convergence :

‖Id − AA†ω‖ = ρ avec ρ < 1





Symbole d’un opérateur [Lars Hörmander]

On note : Dα = (−i∂x1)α1 . . . (−i∂xd )

αd

Soit

A =

m∑

|α|=0

aαDα

un opérateur différentiel d’ordre m sur C∞(Rd ).

La transformée de Fourier donne:

(Af )(x) =

∫

ξ∈Rd

1(2π)d eiξ·x

m∑

|α|=0

aαξα

f (ξ)dξ

Symbole de A: σ(ξ) =∑m

|α|=0 aαξα





Ondelettes de Shannon

Fonction d’échelle:

ϕ(ξ) = χ[−π,π](ξ), ϕ(x) =sinπxπx

Ondelette:

ψ(ξ) = −e−iξ/2 χ[−2π,−π]∪[π,2π](ξ), ψ(x) =sin 2π(x − 1/2)

π(x − 1/2)−

sinπ(x − 1/2)

π(x − 1/2)

−10 −5 0 5 10 15−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0





Décomposition de Shannon

Soit u : Rd → Rm

Décomposition de Shannon : u =∑

j∈Zd u javec

suppu j ⊂d∏

i=1

[−2ji+1π,−2jiπ] ∪ [2jiπ,2ji+1π]

pour chaque j ∈ Zd , et pour ℓ = 1..m,

uj,ℓ =∑

k∈Zd

dℓ j,kψ1(2j1x1 − k1) . . . ψi(2

ji xi − ki) . . . ψn(2jnxn − kn)





Théorèmes de convergence avec Shannon

Théorème (Ondelettes anisotropes) : Soit la matrice symboleM(ξ). S’il existe ρ < 1 tel que ∀j ∈ Zd , on construit M†

ωj

vérifiant : ∀ξ ∈∏d

i=1 ±[2ji ,2ji+1], ‖Id − M(ξ)M†ωj‖ ≤ ρ alors les

itérés de Richardson convergent.

Théorème (Ondelettes isotropes) : De même, si ∃ρ < 1 telque ∀j ∈ Z et ∀ε ∈ {0,1}d \ {(0, . . . ,0)}, on construit M†

ωj ,ε

vérifiant : ∀ξ ∈∏d

i=1 ±[εi2j , (εi + 1)2j ], ‖Id − M(ξ)M−1ωj ,ε

‖ ≤ ρ,alors, on a aussi convergence.





Dérivation d’une base d’ondelettes

Proposition [Lem92] : Soit (ϕ1, ψ1) définissant une AMR. Siϕ1 ∈ C1, alors, il existe une AMR (ϕ0, ψ0) telle que :

ϕ′1(x) = ϕ0(x) − ϕ0(x − 1) , ψ′

1(x) = 4ψ0(x)

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−1.3

−0.9

−0.5

−0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

−2 −1 0 1 2 3 4 5−0.5

−0.3

−0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

ϕ1 ψ1 ϕ0 ψ0





Dérivation–intégration par ondelettes

Dérivation–intégration : Soit

v(x) =∑

k,j∈Zdj k (v)ψ1(2jx − k)

u(x) =∑

k,j∈Zdj k (u)ψ0(2j x − k)

alors

dj k (u) = 4 · 2jdj k (v) ⇐⇒ u(x) = v ′(x)





Opérations sur les coéfficients d’ondelettes

Soient u, v ∈(L2(Rd )

)n. Si on multiplie les coefficients

d’ondelettes de v par des constantes (mj ,ℓ1,ℓ2), ou si on dérive

ou intégre v, ces opérations se traduisent pour les tansforméesde Fourier par:

d j k (u) = Md j k (v) ⇐⇒ u(x) = Mv(x) ⇐⇒ u(ξ) = M v(ξ)

d j k (u) = 4 · 2jℓd j k (v) ⇐⇒ u(x) = ∂v∂xℓ

(x) ⇐⇒ u(ξ) = iξℓv(ξ)





Opérateurs constructibles

Théorème (Opérateurs constructibles) : Les matricessymboles (ξ ∈ Rd 7→ Cn×n(ξ)) d’opérateurs constructibles pardes opérations sur les coefficients d’ondelettes sont généréesen tant que R-algèbre par les éléments {(δℓ1,ℓ2)}1≤ℓ1,ℓ2≤n,{iξℓId}1≤ℓ≤d et {iξ−1

ℓ Id}1≤ℓ≤d .





Algorithme itératif pour le noyau de la chaleur

on cherche à résoudre (Id − α∆)u = v (pour Navier-Stokesα = νδt).Décomposition de Shannon :

(Id−α∆)∑

j∈Zd

u j =∑

j∈Zd

v j alors (Id−α∆)u j = v j pour chaquej ∈ Zd

On approche M(ξ) = 11+α|ξ|2

Id par Mω = 11+αω2 Id , avec

ξ ∈∏d

i=1 ±[2jiπ,2ji+1π] et ω ∈ R à fixer ultérieurement.






On a

1 − M(ξ)−1Mω = 1 −1 + α|ξ|2

1 + αω2

La valeur optimale pour ω est atteinte pour ω2 = a2+b2

2 si|ξ|2 ∈ [a2,b2].

Alors |λ(ξ)| ≤ α(b2−a2)2+α(b2+a2)

Cas ondelettes de Shannon anisotropes : b = 2a et|λ(ξ)| ≤ 3α

2(a−2+5α

Si α→ ∞, le taux de convergence tend vers 35 (0.6).






On décompose :

v =∑

j,k∈Zd ,max(j)<J

dj,k ψj,k =∑

j∈Zd ,max(j)<J

vj avec vj =∑

k∈Zd

dj,k ψj,k

(5)puis on pose :

u0 =∑

j∈Zd ,max(j)<J

uj,0, où uj,0 =1

1 + αω2j

vj (6)

puis on itère :

uℓ+1 = uℓ +∑

j∈Zd ,max(j)<J

11 + αω2

j

(vj − (Id − α∆)uk j) (7)






Théorème : Soit v ∈ L2(Rd), et soit la suite (uk )k≥0 définie par(6) et (7). Dans le cas des ondelettes de Shannon, la suite (uk )satisfait, en norme L2 :

‖uk − u‖ ≤

(3α

2δx2 + 5α

)k

‖u0 − u‖

où u est la solution de l’équation et δx = 2−J la plus petiteéchelle calculée. En particulier, cela implique :

‖uk − u‖ ≤

(35

)k

‖u0 − u‖

ce qui prouve la convergence. Cependant, si νδtδx2 ≪ 1 (α = νδt),

alors il est plus intéressant de considérer :

‖uk − u‖ ≤

(3νδt2δx2

)k

‖u0 − u‖




Pseudo-codeStabilité numériqueAdaptativité

Plan








Décomposition en ondelettes de la solution de NS

Équations de Navier-Stokes incompressible :

(N-S)

∂tu + u · ∇u − ν∆u + ∇p = f,divu = 0,u(0, x) = u0(x)

x ∈ Rd , t ∈ [0,T ]

Décomposition de u en base d’ondelettes dans Hdiv ,0:

u(t , x) =∑

j∈Z

∑

k∈Zd

dj ,k(t)Ψdivj ,k (x)

Puis on résoud numériquement :

∂tu + P [u · ∇u] − ν∆u = P(f)

où P désigne le projecteur de Leray.





Euler semi-implicite

Semi-implicite dans le sens où :

le Noyau de la Chaleur est intégré implicitement,

le terme non-linéaire est traité explicitement en temps.

Discrétisation spatiale en ondelettes :

u(nδt , x) =∑

λ

cn,λ Ψdivλ (x)

À chaque pas de temps nδ, on résoud :

(Id − νδt∆) un+1 = un − δtP [(un · ∇)un] (8)





Adams-Bashford d’ordre 2 en temps

étape intermédiaire un+1/2

(Id − ν

δt2

∆

)un+1/2 = un −

δt2

P [(un · ∇)un]

puis(

Id − νδt2

∆

)un+1 = un + δt

(ν2

∆un − P[(un+1/2 · ∇)un+1/2

])





Plan








Stabilité L2 pour Euler explicite [R. Temam]

TheoremUne erreur εt valant ε0 au temps t = 0 se propage dans leschéma Euler explicite avec :

‖εt‖L2 ≤ e(A2

02

δtδx2 +A1)t‖ε0‖L2

où A0 = supx∈Rd , t∈[0,T ]

‖u(t , x)‖, A1 = supx∈Rd , t∈[0,T ]

‖∇u(t , x)‖

δt le pas de temps et δx le pas d’espace.Alors le schéma Euler est stable sous la condition CFL δt

δx2 ≤ Cpour une constante C > 0.





Preuve de la stabilité L2

Supposons une erreur εn pour un dans le schéma d’Euler :

(Id − νδt∆) (un+1+εn+1) = un+εn−δtP [((un + εn) · ∇)(un + εn)]

aussi εn+1 vérifie en norme L2 :

‖εn+1‖ ≤ ‖εn + P [(un · ∇)εn] δt + A1εnδt‖≤ ‖εn + P [(un · ∇)εn] δt‖ + ‖A1εnδt‖

(9)

avec un et εn à divergence nulle, on a :

εn ⊥ (un · ∇)εn =⇒ εn ⊥ P [(un · ∇)εn]

‖εn + P [(un · ∇)εn] δt‖2L2 = ‖εn‖

2L2 + ‖P [(un · ∇)εn] ‖

2L2δt2

Avec ‖εn‖H1 ≤‖εn‖L2

δx , ‖εn + P [(un · ∇)εn] δt‖2L2 ≤

q

‖εn‖2L2 + A2

0δt2

δx2 ‖εn‖2L2





Preuve de la stabilité L2

D’où ‖εn+1‖L2 ≤

(1 +

(A2

0

2δtδx2 + A1

)δt

)‖εn‖L2

Stabilité pour ‖εn+1‖ ≤ (1 + Cδt) ‖εn‖Car alors étant donné t = nδt ,

‖εt‖ ≤ (1 + Cδt)t/δt ‖ε0‖ ≤ eCt‖ε0‖

Ainsi

‖εt‖ ≤ e

„

A20

2δt

δx2 +A1

«

t‖ε0‖





Stabilité L2 pour le schéma centré d’ordre 2

Theorem

Supposons que l’équation (NS) a une solution u(t , x) ∈ C2.Une petite erreur εn, avec ‖εn‖L2 = O(δx2) sur un - une solutiondiscrète proche de u(nδt , ·) - dans le schéma numériqued’ordre 2, devient au pas n + 1, εn+1 avec :

‖εn+1‖L2 ≤

(1 + λA4

0δt4

8δx4 + A1δt + o()δt)‖εn‖L2 (10)

avec λ une constante proche de 1, et o()une fonction tendantvers 0 sous la condition δt ≤ Cδx.Aussi ce schéma est stable sous la condition CFL :

δt ≤ Cδx4/3 (11)





Preuve

En ne gardant que les termes dominants,

εn+1 = εn−δtP [(un · ∇)εn]+δt2

2P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]]−δtP [(εn · ∇)un]+o()

Or

P [(un · ∇)εn] ⊥ εn

P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]] ⊥ P [(un · ∇)εn]

〈εn,P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]]〉 = −‖P [(un · ∇)εn] ‖2L2

D’où :

‖εn+1 +δtP [(εn · ∇)un] ‖2L2 ≤ ‖εn‖

2L2 +λ

δt4

4‖un‖

4L∞

‖εn‖2L2

δx4 +o()δt





Plan








Schéma adaptatif

∂u∂t + (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f, t ∈ [0,T ], x ∈ Rd , d = 2 or 3div u = ∇ · u =

∑ni=1

∂ui∂xi

= 0u(x ,0) = u0(x)

Λn= ensemble des coefficients d’ondelettes actifs.

uN(nδt , x) =∑

λ∈Λn

cn,λ Ψdivλ (x)

avec #(Λn) = N (l’ensemble Λn a N éléments) etΨdivλ ∈ Hdiv,0 = {u ∈ L2, div(u) = 0}.





Seuillage

Soient les décompositions :

un =∑

λ

cn,λ Ψdivλ

etP [(un · ∇)un − f] =

∑

λ

dn,λ Ψdivλ

Et soient σ0 n > 0 et σ1 n > 0 deux seuils.

Il y a deux critères qui peuvent faire qu’un élément λ est dansΛn. L’élément cn,λ est activé si

|cn,λ| ≥ σ0 n

ou |dn,λ| ≥ σ1 n




Expérience des trois tourbillonsPseudo-adaptativitéOndelettes à div nulle generalisées

Plan








Test numérique sur “les trois tourbillons”

t=0 t=10 t=20 t=40

Champs de vorticité et coefficients d’ondelettes sur une grille5122 en pseudo-spectral.





Code par ondelettes plein

t=0 t=10 t=20 t=40

- ondelettes splines de degrè 1 et 2- schéma semi-implicite d’ordre 2 pour l’évolution en temps- grille 2562, δt = 0.02 et ν = 5.10−5

- 7 iterations pour Helmholtz, 3 pour le Noyau de la Chaleur,- code utilisant uniquement des transformées en ondelettes





Plan








Code pseudo-adaptif (ondelettes anisotropes)

nb de coeff actifs t=20 t=40

time

ratio

of c

oeffi

cien

ts

X

X

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

d(u)>s0 | d(u.Du)>s1

d(u)>s0

d(u.Du)>s1

d(u)>s0 & d(u.Du)>s1

erreur relative historique

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

time

L2 r

elat

ive

erro

r

bleu : code pseudo-spectralvert : code ondelettes





Effets de l’anisotropie

nb de coeff actifs t=20 t=40

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

seuil élevé





Comparaison isotrope/anisotrope

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ratio of retained wavelet coefficients

Rat

io o

f dis

card

ed e

nstro

phy

isotropic waveletsanisotropic wavelets

Comparaison entre les cas isotrope (ligne pleine) et anisotrope(ligne pointillée) pour la compression de champs turbulents 3D(vorticité) en échelle semi-logarithmique.





Plan








Ondelettes à div nulle généralisées

Pour m ∈ N, on prend :

Ψdiv (1,1)j,k =

∣∣∣∣2j2ψ1(2j1x1 − k1)ψ0(2j2x2 − k2)

−2j1ψ0(2j1x1 − k1)ψ1(2j2x2 − k2)avec |j1 − j2| ≤ m,

Ψdiv (1,0)j,k =∣∣∣∣−2j2−2ψ1(2j1x1 − k1)(ϕ0(2j2x2 − k2) − ϕ0(2j2x2 − k2 − 1))

2j1ψ0(2j1x1 − k1)ϕ1(2j2x2 − k2)avec j2 = j1 − m,

Ψdiv (0,1)j,k =∣∣∣∣2j2ϕ1(2j1x1 − k1)ψ0(2j2x2 − k2)

−2j1−2(ϕ0(2j1x1 − k1) − ϕ0(2j1x1 − k1 − 1))ψ1(2j2x2 − k2)avec j1 = j2 − m.

où ψ′1 = 4ψ0 et ϕ′

1 = ϕ0( . ) − ϕ0( . − 1).





Test numerique des “3 tourbillons”

t=0 t=10 t=20 t=40

ratio

of c

oeffi

cien

ts

time

X

X

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

d(u)>s0 | d(u.Du)>s1d(u)>s0d(u.Du)>s1d(u)>s0 & d(u.Du)>s1

maximum de 3500 degrés de libertéÉvolution du nb de coefficients





Conclusion - Perspectives

Intérêt de cette méthode numérique :

Calculs en complexité linéaire (O(n) opérations pour n lenombre de degrés de liberté)

Discétisation temps/fréquence =⇒ adaptativité

Solveur Navier-Stokes original par ondelettes à divergencenulle

Perspectives

Implémenter un vrai code adaptatif avec une structured’abre pour les coefficients d’ondelettes =⇒ stratégieadaptative en espace et en temps,

Rendre cette méthode partiellement lagrangienne (enconvectant les petits tourbillons avec les grandes échelles)


simulation numerique directe de la turbulence par une ... · résultats numériques ondelettes à...

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