Université A. Mira, Béjaïa, Faculté de Technologie, 1 / 3

Module d’MMC Complément de la série N°2 www.a-seghir.weebly.com

Exercice 1

L’état des contraintes, en un point d’un solide élastique, est donné par le tenseur suivant :

[

] ( )

1) Déterminer les contraintes et les directions principales de

2) Commenter et faire une représentation dans le plan de Mohr

3) Normaliser les vecteurs principaux et écrire la matrice de rotation permettant de diagonaliser

4) La matrice est une somme de trois rotations. Si la première est une rotation de par rapport à l’axe

(notée ) suivie d’une seconde de même angle ( ) par rapport à l’axe (notée ), déterminer la troisième

rotation.

5) Que peut-on dire des contraintes et directions principales du tenseur [

] ( )

Exercice 2

Une plaque quadrilatérale sous forme de losange d’angle au coin est soumise à un cisaillement uniforme tel que montré sur la figure ci-contre.

1) Déterminer le tenseur des contraintes rapporté au repère ( )

2) Calculer les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur un plan de coupe inclinée de par rapport à l’axe .

3) Déterminer les contraintes principales et le cisaillement maximal que subit la plaque.

4) Faire une représentation dans le plan de Mohr

Exercice 3

L’état des contraintes en un point d’un milieu continu est donné dans la base ( ) par :

[

] ( )

est une constante réelle positive.

1) Calculer les contraintes principales du tenseur . Déduire la contrainte tangentielle maximale qui s’exerce au point M.

2) Vérifier les trois invariants I, I, et I du tenseur .

3) Montrer qu’une rotation de 41 par rapport à l’axe X suivie d’une autre rotation de

41 par rapport à

l’axe X permet d’obtenir les directions principales du tenseur .

4) Déterminer les tenseurs sphérique (s) et déviateur (d) associés au tenseur .

5) Vérifier que (s) et (d) possèdent les mêmes directions principales que . Que peut-on déduire pour leurs contraintes principales.

Université A. Mira, Béjaïa, Faculté de Technologie, 2 / 3

Module d’MMC Complément de la série N°2 www.a-seghir.weebly.com

Exercice 4

L’état des contraintes en un point d’un solide homogène et isotrope, rapporté au repère , est donné par le tenseur suivant :

[ ] [

] ( )

1) Calculer les contraintes et les directions principales : , et

2) Décrire et donner les angles ainsi que la matrice de rotation d’axe entre les deux repères ( ) et ( )

3) Décomposer le tenseur en un tenseur sphérique ( ) et un tenseur déviateur ( ).

4) Vérifier que ( ) possède les mêmes directions principales que .

5) Déduire les contraintes principales du tenseur déviateur ( ) ; Commenter par rapport à celles de .

6) Déterminer le vecteur contrainte agissant sur une facette de normale

√ [ ] et donner ses deux

composantes normale et tangentielle .

7) Calculer les vecteurs contraintes sphérique ( ) et déviateur ( ) agissant sur la même facette et donner

leurs composantes respectives normales ( ( )et

( )) et tangentielles ( ( ) et

( )).

8) Commenter les valeurs de (6), (7) et (8).

Exercice 5

L’état des contraintes en un point d’un milieu continu est donné par le tenseur suivant :

[

]

Calculer les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur un plan de normale

√ [ ].

Que peut-on conclure pour la normale et la contrainte .

Déterminer les contraintes principales et les directions principales normalisées.

Exercice 6

L’état des contraintes en un point d’un solide est donné par :

[

] ( )

1) Calculer les contraintes principales ( ) du tenseur .

2) Commenter le résultat et faire une représentation sur le plan de Mohr

3) Déterminer le vecteur normal au plan qui coupe les axes du repère aux points : ( ), ( ) et ( )

4) Calculer les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur le plan .

5) Représenter ( ) sur le plan de Mohr et déduire l’angle entre et la première direction principale qui correspond à

6) Déterminer les directions principales du tenseur

7) Vérifier l’angle avec un second calcul.

Université A. Mira, Béjaïa, Faculté de Technologie, 3 / 3

Module d’MMC Complément de la série N°2 www.a-seghir.weebly.com

Exercice 7

Le champ des contraintes dans un solide élastique isotrope sous l’action de forces de volume nulles est défini par le tenseur suivant dans un repère orthonormé ( ).

[

( )

( )

( )

] ( )

, et sont des constantes réelles

1) Ecrire les équations d’équilibre statique et trouver les valeurs des constantes a, b et c.

2) Ecrire le tenseur des contraintes M au point M(1,1,0) (en remplaçant a, b et c par leurs valeurs)

3) Calculer les composantes normale n et tangentielle du vecteur contrainte agissant au point M sur le plan

incliné de 45° par rapport aux plans (e, e) et (e, e).

4) Trouver au point M les contraintes et les directions principales de M

5) Montrer que les directions principales de M correspondent à une rotation dans le plan (e, e), calculer la valeur en degrés, de l’angle de rotation.

6) Décomposer M en un tenseur sphérique)(s

M et un tenseur déviateur)(d

M , commenter le résultat.

7) On considère maintenant l’état des contraintes P au point P(2,1,0),

a) Ecrire P, et montrer qu’il s’agit d’une superposition de deux états de contraintes simples.

b) Donner (sans faire de calculs) les contraintes et les directions principales de P.

Exercice 8

La répartition des contraintes dans un corps solide déformable en équilibre statique sans effet des forces de volume

est donnée par le tenseur suivant rapporté au repère ( ) :

[

] ( )

( ) et l’état des contraintes est indépendant de la coordonnée verticale

La contrainte agissant au point ( ) sur un plan vertical de normale inclinée de 45° par rapport à , est une contrainte de cisaillement pure . Déterminer ( ) et donner la valeur de .