bases de mmc

Centre Ingénierie et SantéLCG - UMR CNRS 5146

Bases de MMC

Pierre BADEL

2

Introduction

Aperçu

I – Introduction

II – Cinématique des milieux continus (solides)

III – Description des efforts de cohésion et lois de conservations

IV – Loi de comportement : élasticité linéaire

Pierre BADEL - EMSEI – Introduction

3

Introduction

Exemple introductif : solide rigide

• Description du mouvement

• Description des actions mécaniques

• Principal fondamental dynamique/statique

Pierre BADEL - EMSEI – Introduction Solide rigide

4

Introduction


Repérage d’un solide

• Soient 2 solides S0 et S1 indéformables.

On peut associer un repère R0 et R1 à chacun

( = 1 point + 1 base).

• Relativement à R0 :3 paramètres de positionnement d’1 point : 3 paramètres de positionnement d’1 base / l’autre : par exemple, les angles d’Euler.

Description du mouvement

• Variation de position entre 2 configurations.

S0

S1

1x

1z

1y

O1

0x

0z

0y

O0

uuuur uur uur ur0 1 0 0 0O O = xx + yy + zz

5

Introduction


Description des actions mécaniques sur un solide

• Définition : Action mécanique = toute action pouvant provoquer le mouvement d’un solide

(ou une déformation)

• Classification des actions mécaniquesActions à distanceActions de contact (intérieures à la matière = cohésion, ou extérieures)

• Sur un solide rigide, les actions se résument à :Un effort résultantUn moment résultant

( )i

i

i ii

R = F

M A = AP F

ì üï ïï ïï ïï ïï ïí ýï ïÙï ïï ïï ïï ïî þ

åå

r r

ur uur r1F

A A M A

3F

2F

jF R

6

Introduction


Principe fondamental

• Statique

• Dynamique

{ }FΣ Σ A

R 0=

M 0

ì üï ï=ï ïï ïí ýï ï=ï ïï ïî þ

r rur rUn solide est en équilibre statique

{ }( )

iiΣ Σ

ext Ai iΣ Σ

i

FR

F = = M A AP F

®

®

ì üï ïï ïì üï ï ï ïï ïï ï ï ïï ïí ý í ýï ï ï ïÙï ï ï ïï ïî þ ï ïï ïï ïî þ

åå

ruuuuruuuur uur r

{ }( )

( )

g

ΣgΣ A g

Σ

Γ P dm

D = AP Γ P dm

ì üï ïï ïï ïï ïï ïí ýï ïï ïÙï ïï ïï ïî þ

òò

ur

uruur

{ } { }gext ΣF D=

7

Introduction

Aperçu

I – Introduction




Pierre BADEL - EMSEI – Introduction

8

II – Cinématique des milieux continus solides

1 – Description du mouvement

2 – Mesures de déformation

…

Pierre BADEL - EMSE

9

Hypothèses et limitations

Limitation au cas des solides

Chaque point matériel est identifié par sa position initiale . Il est « étiqueté ». Il s’agit de la description lagrangienne.Pour le cas des fluides, on considère généralement une variable qui désigne une zone de l’espace (où passent les points matériels). Il s’agit de la description eulérienne.

Hypothèse de milieu continu

« Des points voisins restent voisins » Leurs propriétés physiques évoluent comparablement

Référentiel

Nécessaire pour caractériser positions et déplacements. En l’absence de précision, nous serons dans le cas simple (le plus courant) du référentiel du laboratoire, lié à l’observateur.

Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 0 – cadre de travail

X

10

Notion fondamentale : 2 configurations géométriques du système

Configurations du système

Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 1 – Description du mouvement

(C0) (C)

Nn

Configurations initiale et déformée sont différentes!(mais considérées très proches sous l’hypothèse de petites perturbations, HPP)

On peut définir/écrire toute équation/grandeur dans l’une ou l’autre des configurations

Configuration initiale

Variable lagrangienne : X

Configuration actuelle (ou déformée)

Variable eulérienne : x

11

Fonction placement (mapping) : description globale du mouvement du solide

Fonction qui, à chaque point matériel de (C0), associe de (C)

Mouvement du solide

Pierre BADEL - EMSE

(C0)

3X

1X

2X

(C)

1x

2x

3x

( )x = x X, tr r r ( )x = X u X, t+

r r r r

( )i i ix = X u X, t+r( )i ix = x X, t

rDéplacement uFonction placement

II – Cinématique 1 – Description du mouvement

X

x

O

X

x x X

12

Description locale : le tenseur gradient de la transformation (gradient tensor)(Appelé aussi application linéaire tangente, et parfois, à tort, gradient de la déformation)

Localement, il définit la transformation d’un vecteur matériel infinitésimal:

Tenseur gradient


( )dx = X, t . dX

x = X

¶¶

F

F

r r r

rr

(C0) (C)

3X

1X

2X

1x

2x

3x

dXr dx

r

iij

j

F = Xx¶

¶

i ij jx = F X¶ ¶

Tenseur gradient F

13

Exemples Déformation triaxiale

Cisaillement simple

Tenseur gradient


1

1

1

λ1

λ2

λ3

X1

x1

X3x3

X2

x2

X33x

2x

1x

1

11

X1

X2

γ

= ...F1

2

3

x = ...

x = ...

x = ...

= ...F1

2

3

x = ...

x = ...

x = ...

14

Transformation d’une surface, d’un volume

Preuve:

Tenseur gradient


F

3dXr

N

1dXr

2dXr 1dx

r

n

2dxr

3dxr

( )dV dv = det F dV = JdV

N dS n ds = J F .N dST-

®

®r r r

( ) ( )1 2 3 1 2 3dv = dx dx .dx = F.dX F.dX . F.dX =...Ù Ùr r r r r r

T T3 3dv = dx . n ds = J dV = J dX . N dS = ...

r r r r

Milieu incompressible J=1

15

Décomposition polaire du tenseur gradient

Théorème de décomposition polaire: Le théorème de décomposition polaire stipule que le tenseur gradient peut se décomposer, multiplicativement, de manière unique:

est le tenseur de rotation. Il est orthogonal:

sont les tenseurs des dilatations droit et gauche. Ils sont symétriques et définis positifs.

Tenseur gradient


= . = .F R U V R

R 1 T- =R R

et U V

R

R

V

U

F

16

Pierre BADEL - EMSEII – Cinématique 2 – Mesures de déformation

II – Cinématique des milieux continus solides

1 – Description du mouvement

2 – Mesures de déformation

…

17

Description des déformations

Caractérisation des changements de formes/angles évolution des produits scalaires

Sens physique : le calcul de donne l’allongement λ dans cette direction.

Changement de forme


= .TC F F Lagrangien

Eulerien

dUr

dVur

dur

dvr

Tenseur de Cauchy Green droit C

du.dv = ...r r

-1 -1dU.dV = .du . .dv = ...F Fr ur r r

F

= . TB F FTenseur de Cauchy Green gauche B

2 = C U

2 = B V

2u r

18

Mesure de déformation : le tenseur de Green Lagrange

On caractérise les variations par rapport à la configuration initiale:

Autres mesures de déformation (en théorie des grandes déformation)

The right and left stretch tensor:

Logarithmic strain tensor:

…

« Tenseur des déformations »


and U V

( ) ( )1 1 = = .2 2

T- -E C I F F I

( )ln U

Lagrangien

Eulerien

du.dv - dU.dV = 2 dU . . dVEr r r ur r ur

Tenseur des déformations de Green Lagrange E

Tenseur d’Euler-Almansi A ( )11 = 2

--A I B

19

Introduction de l’Hypothèse de Petites Perturbations (HPP)

En introduisant le champ de déplacement…

Il vient

« Tenseur des déformations »


d + = dx dX ux = X + u = = I+ udX dX dX

Þ ÑFur ur urur ur ur urur ur ur

( )T SX X X 1 = u + u = u

2Ñ Ñ Ñε

ur ur ur est le tenseur des déformations linéariséε

( )T AX X X 1 = u - u = u

2Ñ Ñ Ñω

ur ur ur est le tenseur des rotationsω

= ...C

= ...E

XHPP 1 uÑ ur

=

20

Déformation triaxiale

Cisaillement simple

Exemples

Pierre BADEL - EMSE

X1

x1

X3x3

X2

x2

X33x

2x

1x

X1

X2

γ

= ...C

II – Cinématique 2 – Mesures de déformation

= ...E

= ...C

= ...E

= ...U

ln = ...U

21

Course content

Pierre BADEL - EMSE

Aperçu

I – Introduction




22

III – Contraintes et lois de conservation

1 – Tenseur des contraintes

2 – Conservation de la quantité de mouvement

Pierre BADEL - EMSE

23

Pierre BADEL - EMSE

Effort interne : contrainte sur une surface

Introduction : le vecteur contrainte• Si répartition supposée homogène, point de vue « global »

• Si répartition non homogène, point de vue « local », le vecteur contrainte dépend, en fait, de l’orientation de dS et du point M

III– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes

(2)

(1)

F

F

Section SFT Sσ n t

Vecteur contrainte

contrainte normale

contrainte tangentielle

dFT M, n σ n tdS

T M, n et T M, n' ne sont pas indépendants

Notion d’état de contrainte en un point

F

(1)

n

t

F

n

t

dF

M,dSM,dS

n'

SF = T(M,n)dS

24

Tenseur des contraintes de Cauchy

Définition de la contrainte (Cauchy)Pierre BADEL - EMSEIII– Contraintes 1 – Tenseur des contraintes

dS0

ds

Nr

nrdF

r dfr

df = .n ds σr r

i ij jdf = σ n ds

dfT = ds

rrest le vecteur contrainte

Le tenseur des contraintes de Cauchy σ représente la contrainte « vraie ».Il est eulérien (configuration déformée).

25

Pierre BADEL - EMSE

Composantes de contrainte

Ecriture matriciel du tenseur• Isolons un prisme de matière autour de M et étudions l’équilibre

• PFS mène à …

M

( ) ( )11 12

21 22

σT M, n . n M . n

σé ùê ú= =ê úë û

σr r r r

La matrice des contraintes en M définit complètement l’état de contrainte en M,quelle que soit la direction n.(écriture dans la base ) ie

1e

2e

n

θθ

σ22

σ11

τ21

τ12

στ

dL

M

Notion de tenseur ≠ matrice… matrice = projection du tenseur dans une base


26

Pierre BADEL - EMSE

Composantes de contrainte

Ecriture matriciel du tenseur• Isolons un cube de matière autour de M et étudions l’équilibre des moments

• PFS (moment) mène à …

M

12 21

1e

2e

σ22 + dσ22

σ11+ dσ11

τ21 + dτ21

τ12 + dτ12

dL1

MdL2

( ) 11 12

12 22

σM

σé ùê ú=ê úë û

σ

-σ11

-τ21

-σ22-τ12


27

Pierre BADEL - EMSE

Contraintes et directions principales

Directions principales• Matrice symétrique donc diagonalisable. Valeurs propres réelles, appelées contraintes principales : σI, σII

Directions propres orthogonales = directions principales, forment une base o.r.n. :

• Il n’y pas de cisaillement dans les directions principales, seulement des contraintes normales.

• Exemple :


( ){ } { }1 2 I II

11 12 I

12 22 IIe ,e e ,e

0M

0é ù é ùê ú ê úê ú ê úë û ë û

σuur uur ur uur

σ σ= =σ σ

( )( )

I I I

II II II

T n=e = σ e

T n=e = σ e

r r ur ur

r r ur ur

,1 2e e

00

1e

2e

τ

τ

τ

τ

,I IIe e

00

1e

2e

τ τ

τ τ

Ie

IIe

28

Pierre BADEL - EMSE

Généralisation en 3D

En 3D

Quelques exemples d’états de contrainte• Fluide au repos• Traction/compression uniaxiale• …

, ,1 2 3

11 12 13

12 22 23

13 23 33 e e e

σ M

σ= σ

σ

1T e 2T e

3T e

T M, n σ M n

. , ,I II III

I

II

III e e e

0 0σ M 0

sym

σ= σ

σ


29

III – Contraintes et lois de conservation

1 – Tenseur des contraintes

2 – Conservation de la quantité de mouvement

Pierre BADEL - EMSEIII– Contraintes 2 – Lois de conservation

30

Pierre BADEL - EMSE

PFD sur une élément de volume…

Conservation de la quantité de mouvement• Bilan des actions extérieures sur le cube dL1 × dL2 × dL3,

on suppose deux types d’actions :Actions à distance par u. de masse (ex gravité) : Actions de « contact » par u. de surface :

• On écrit masse . accélération = Σ actions ext. Bilan sur la direction 1 seulement :

Puis sur les autres directions…

III– Contraintes 2 – Lois de conservation

12σ

1212 2

2

σσ dLx

1313 3

3

σσ dLx

13σ

1e

3e

2e

1111 1

1

σσ dLx

11σ

br

σ

111 11 1 11 2 3

1

1212 2 12 1 3

2

1313 3 13 1 2

3

1

σρ dv a σ dL σ dL dL

x

σ σ dL σ dL dLx

σ σ dL σ dL dL

x ρ dv b

æ ö¶ ÷ç ÷= + -ç ÷ç ÷ç ¶è øæ ö¶ ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷ç ¶è øæ ö¶ ÷ç ÷+ + -ç ÷ç ÷ç ¶è ø

+

( )

iji i

j

σρ a +ρ b

x

ρ a div +ρ b

¶= ¶= σ

r uur r

31

Pierre BADEL - EMSE

Exemple : cube unitaire pesant

• En statique, le principe fondamental devient… ( )div ρb 0+ =σr r

x

y

g

1

1

III– Contraintes 2 – Lois de conservation

32

Course content

Pierre BADEL - EMSE

Aperçu

I – Introduction




33

IV – Elasticité linéaire

1 – Cas 1D

2 – Elasticité : loi de Hooke

Pierre BADEL - EMSEIV– Elasticité linéaire

34

Pierre BADEL - EMSE

Modèle de comportement élastique linéaire (loi de Hooke)

Introduction à la loi de Hooke : module d’YoungCe modèle décrit une relation linéaire entre contrainte et déformation, observée expérimentalement sur certains matériaux :

Introduction à la loi de Hooke : coefficient de PoissonDéformation longitudinale εx Déformation transversale εt

Relation linéaire :

Un matériau élastique linéaire isotrope est caractérisé par :• Module d’Young E• Coefficient de Poisson ν

IV– Elasticité linéaire 1 – Cas 1D

xx

σε = E

E est le module d’Young, Unité : Pa

ν est le coefficient de Poisson, Sans unité

xt x

σε = - ε - E

ν ν=

35

Pierre BADEL - EMSE

Loi de Hooke 3D

Ecriture de la loi de HookeOn se place dans les axes principaux… Equations linéaires superpositions de 3 cas 1D.

Il vient :

IV– Elasticité linéaire 2 – 3D

1

2

3

σ 0 0σ 0 σ 0

0 0 σ

2e

1e

3e

σ1

σ2

σ3

( ) ( )( )( )

11 2 3 1 1 2 3 1

2 2

3 3

σ ν ν 1+ν ν 1+ν νε = - σ - σ = σ - σ +σ +σ = σ - trE E E E E E E

1+ν νε = σ - trE E

1+ν νε = σ - trE E

σ

σ

σ

( )1+ν ν = - trE E

ε σ σ I

ij ij kk ij1+ν νε = σ - σ δ

E E

Loi de Hooke avec E,υEcriture matricielle

Ecriture indicielle

36

Pierre BADEL - EMSE

Loi de Hooke 3D : remarques

Remarques• Loi de comportement 3D des solides élastiques isotropes

• Démontrée dans les axes principaux mais rien n’empêche de changer de base Valable dans n’importe quelle base

• 2 paramètres E, υ suffisent : comme en 1D, un essai de traction simple suffisant.

• Correspond à un grand nombre de problèmes courants : un grande majorité des solides sont élastiques à faible contrainte.

• Si contrainte > limite élastique … loi de Hooke fausse.

• Il existe des solides anisotropes (ex : bois) : E, υ dépendent de la direction.Ce que l’on va voir sous une autre approche, plus générale…


37

Pierre BADEL - EMSE

Elasticité anisotrope

Elasticité anisotrope, cas général

soit 9x9 = 81 coefficients !!

Mais des simplifications… au maximum 21 coeff. indépendants. C’est le cas du plus grand degré d’anisotropie possible.

Elasticité, cas isotrope et coefficients de LaméOn montre qu’il y a 2 coeff. indépendants et que cela mène à :


( )ij ijkl klσ C ε ou = := σ C ε

( ) ( )

( )( )

Eμ=2 1+υ

= 2μ λtr avec Eυλ=

1+υ 1-2υ

ìïïïïïï+ íïïïïïïî

σ ε ε I

-1 < υ < 0.5λ et μ sont les coefficients de Lamé du matériau

Forme inverse de la loi de Hooke

ij ij kk ijσ = 2μ ε λ ε δ+

38

Pierre BADEL - EMSE

Notation vectorielle

Problématique… représenter le tenseur d’élasticité

On profite des symétries de pour introduire une nouvelle notation :


C

et σ ε

11 11

22 22

33 33

12 12

23 23

31 31

σ λ+2μ λ λ εσ λ λ+2μ λ εσ λ λ λ+2μ ε

= : devient σ 2μ εσ 2μ εσ 2μ ε

ì ü é ùì üï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ï=í ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïî þ ë ûî þï ï ï ï

σ C ε

( )( )

( )

11 11

22 22

33 33

12 12

23 23

31 31

1 E -υ E -υ Eε συε σ-υ E 1 E -E

ε σ-υ E -υ E 1 Eε σ1+υ Eε σ1+υ Eε σ1+υ E

é ùì ü ì üê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïê ú=í ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ê úï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úî þ î þï ï ï ïê úë û

Notation de Voigt (ou notation vectorielle)

39

Bibliographie

Interesting references [Sidoroff F, Cours sur les « grandes déformations », rapport Gréco 51/1982, http://sitasido.ec-

lyon.fr et http://perso.ec-lyon.fr/francois.sidoroff] [Basar Y, Weichert D, Nonlinear continuum mechanics of solids, Springer] …

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