Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY Cours de Mcanique des Milieux Continus Anne scolaire 2008 2009 Michel MAYA maya@cluny.ensam.fr http://www.cluny.ensam.fr/MAYA/index.htm Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 2 Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 3 Sommaire Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus...................................................................................... 5 Domaine d'tude .......................................................................................................................................... 5 Hypothse de continuit .............................................................................................................................. 6 Variables d'tudes........................................................................................................................................ 8 Rfrentiels - Rpres................................................................................................................................ 8 Description Lagrangienne.......................................................................................................................... 9 Description Eulrienne ............................................................................................................................ 10 Drivation temporelle .............................................................................................................................. 11 Dformations d'un milieu continu................................................................................................................. 13 Tenseur Gradient....................................................................................................................................... 13 Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale ................................................................... 14 Etude tridimensionnelle des dformations............................................................................................... 14 Interprtation des rsultats ....................................................................................................................... 16 Base principale......................................................................................................................................... 17 Tenseur des dformations linaris.......................................................................................................... 18 Etude des petites perturbations ................................................................................................................ 21 Reprsentations graphiques...................................................................................................................... 24 Conditions de compatibilit ...................................................................................................................... 26 Vitesse de dformation .............................................................................................................................. 28 Taux de dformation lagrangien.............................................................................................................. 28 Taux de dformation eulrien.................................................................................................................. 29 Interprtation du tenseur taux de dformation......................................................................................... 30 Etat de contrainte dans les milieux continus................................................................................................. 31 Lois de conservation.................................................................................................................................. 31 Drive particulaire dune intgrale de volume....................................................................................... 31 Thorme de lintgrale nulle................................................................................................................... 32 Thorme de la divergence........................................................................................................................ 33 Expression gnrale dune loi de conservation....................................................................................... 33 Contraintes dans un domaine matriel.................................................................................................... 34 Loi fondamentale de la mcanique .......................................................................................................... 34 Vecteur contrainte.................................................................................................................................... 35 Tenseur des contraintes............................................................................................................................ 36 Equilibre dynamique................................................................................................................................ 38 Proprits du tenseur des contraintes....................................................................................................... 41 Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 4 Lois de Comportement des milieux continus................................................................................................. 45 Bilan des Equations ................................................................................................................................... 45 Thorme de lnergie cintique.............................................................................................................. 46 Thermodynamique des milieux continus................................................................................................. 49 Premier Principe de la thermodynamique................................................................................................ 49 Second Principe de la thermodynamique................................................................................................. 50 Equation de la chaleur ............................................................................................................................. 51 Thermo-lasticit linaire.......................................................................................................................... 53 Premire approche de llasticit linaire................................................................................................ 53 Deuxime approche de llasticit linaire.............................................................................................. 55 Convention d'criture............................................................................................................................... 57 Matriau isotrope..................................................................................................................................... 59 Matriau orthotrope ................................................................................................................................. 59 Matriau isotrope transverse.................................................................................................................... 60 Elasticit linaire ............................................................................................................................................ 62 Loi de comportement................................................................................................................................. 62 Equations supplmentaires en lasticit .................................................................................................. 64 Equations de NAVIER............................................................................................................................. 64 Equations de BELTRAMI ....................................................................................................................... 65 Critres de limite lastique........................................................................................................................ 67 Les rsultats dessai ................................................................................................................................. 67 Les diffrents critres............................................................................................................................... 69 Les schmas de rsolution......................................................................................................................... 72 Thorme dunicit.................................................................................................................................. 72 Schmas de rsolution ............................................................................................................................. 73 Exemple dapplication............................................................................................................................. 73 Elasticit bidimensionnelle........................................................................................................................ 77 Dfinition des tats plans......................................................................................................................... 77 Fonction dAiry........................................................................................................................................ 80 Exemple dapplication : flexion simple dune poutre rectangulaire........................................................ 81 Elasticit plane en coordonnes polaires ................................................................................................. 83 Application en coordonnes polaires....................................................................................................... 84 Quelques formules .......................................................................................................................................... 86 Elasticit linaire en coordonnes polaires ................................................................................................... 87 Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 5 Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus Domaine d'tude L'objectif de ce cours est de prsenter (hlas succinctement) la mcanique des milieux continus. Nous allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mcanique tous types de domaines matriels.En particulier nous pourrons nous intresser aussi bien des domaines ayant des comportements decorpssolideoudescomportementsdefluide(liquideougaz).Lagnralitdececoursapparatainsi vidente. Ilestnoterqueladistinction entrecesdiffrentstatsdelamatire n'est pas vidente. Ainsi comment ne pas s'interrogerdevantlephnomnede changementd'tatliquide-vapeur-liquide pouruncycleenglobantdansle diagrammeTemprature-Entropiele point K sommet de la courbe d'bullition. Le dictionnaire ne nous aide pas particulirement dans notre dmarche de distinction. Ainsi Le Petit Larousse donne les dfinitions suivantes : *FluideSeditdescorps(gazetliquides)quin'ayantpasdeformepropre,sontdformables sans effort.*GazToutfluideariforme(quialespropritsphysiquesdel'air(fluidegazeuxquiforme l'atmosphre)). Un des trois tats de la matire, caractris par la compressibilit et l'expansibilit.*LiquideQuicouleouquitendcouler.Seditd'untatdelamatireprsentparlescorps n'ayant pas de forme propre, mais dont le volume est invariable.*SolideQui a une forme propre. Commentaveccesdfinitionstrouverlafrontireentreunsolideplusoumoinsmouetunliquide plus ou moins visqueux? Le sable est-il un solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de solide mais aprs brassage deviennent fluides. Le verre est un solide notre chelle de temps, mais avec les sicles, on constate que c'est un liquide trs forte viscosit. Le yaourt peut tre considr comme un fluide mmoire. Et encore nous ne dirons rien des Alliages Mmoire de Forme (AMF). skJ/K kgT C01002003004005006003740 1 2 3 4 5 6 7 8KCompression isothermeisentropiqueDtentePoint critiqueisobareEchauffementVapeurdiphasiqueMlangeLiquideEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 6 Commeonpeutleconstater,ladterminationn'estpassimpleetpeuttrefonctiondenombreux paramtres(Pression,Temprature,Temps...).Enconsquence,onpeutconsidrerqueladmarchedu mcanicien qui consiste regrouper dans un seul enseignement l'tude mcanique de ces diffrents tats de la matire est lgitime, mais quelle risque de se heurter de nombreuses difficults. L'tude de ces diffrents comportements est appele la Rhologie. Pour mener bien une tude de mcanique, la notion de rfrentiel est essentielle. D'une part, afin de connatrelesvolutionscinmatiquesd'undomainematrielondevraluiassocierunrfrentiel,etd'autre part le Principe Fondamental de la Mcanique s'appuie sur l'existence d'un repre privilgi appel "Repre Galilen". Unrepreestdfiniparladonned'unebasevectorielleassocieuneorigine.Ilestnoterqu'en aucuncasiln'estfaitl'obligationd'unebaseorthonorme.Bienvidement,pourdesquestionsde simplifications,nousessaieronstoujoursd'employerdetellebase,maisnouspourronsaussiconstaterque suite aux dformations imposes notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion d'orthogonalit. Le mcanicien est ainsi tout naturellement guid vers l'utilisation des notations tensorielles. Acesujet,ilestnoterquel'algbreetl'analysetensorielleprofessesenmathmatiquesontdes enseignements directement issus de notions mcaniciennes. Le mot tenseur ne provient-il pas du mot tension ?Ainsionpeutconstatercequelasciencemcanicienneaapportlaconnaissancedesautressciences. Cetteremarquepeutaussibiens'adapterauxmthodesdersolutionsnumriquesfortementissuesdela mthode des lments finis. Hypothse de continuit Nousallonsorienternotretudesurdesdomainesmatrielscontinussubissantdestransformations continues. Dans cette simple phrase on peut constater l'importance de l'hypothse de continuit. De nouveau le Petit Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu :non divis dans son tendue, non interrompu dans sa dure). Continuit du domaine matriel tudi. Pourlephysicien,lacontinuitdudomaineseratraduitemathmatiquementparlefaitqueles fonctions caractristiques du domaine sont des fonctions continues au sens mathmatique du terme. Ainsi, si onconsidredesgrandeursphysiquestellesquelamassevolumique,latemprature,lapression,ondoit pouvoir les reprsenter par des fonctions continues. Dj, avec cette dfinition, on peut constater qu'il existe deslimitesnotretude.Ainsinousnepourronspastudierunmilieudiphasique,demmepourun mlangeeau-huile.Toutefois,ilserapossibledemenerbiendetellestudesenconsidrantndomaines continus. On conoit que ceci ne nous mnera pas vers une simplification. De plus il est noter que la continuit parfaite d'un domaine matriel n'existe pas. Ainsi, sans aller une dfinition atomique de la matire, les moyens d'investigation tels que les microscopes (lectroniques ou non)montrentclairementquelamatireestfaitedejuxtapositiond'lmentsnepossdantpaslesmmes caractristiques.Defaitlacontinuitdudomainematrielnepourraqu'treuneapproximation.Suivantle Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 7 degrderespectoudenon-respectdecettehypothse,notretudeseraplusoumoinsentached'erreur.Il fautnoterquemalgrtout,nouspourronsutilisercecourspourtudierdesmatriauxtelsquelebton,le bois ... Heureusement,ilexisteactuellementunprocessusditd'homognisationquipermetdelimiterles erreurs.Ainsilesmatriauxplastiqueschargsdefibredeverrepourronttretraitsdanslecadredecette tude. Continuit de la transformation. Commenousleverronsensuite,la transformationseraessentiellement caractriseparladonned'un champvectorielappelchampde dplacement.L'hypothsede continuit de la transformation va se traduire par le fait que les fonctions scalaires du champ vectoriel doivent tredesfonctionscontinuesdes variablesd'espacesetdetemps.De nouveaunous nous trouvons devant unelimitationdenotretude.On peut facilement constater qu'il existe destransformationsnoncontinues. Ainsilesproblmesmtallurgiques dedislocation,l'apparitiondu phnomnedecavitationdansles coulementsdedomainefluideet les fissurations font clairement apparatre des discontinuits de transformation. Ces cas particuliers pourront tre traits en considrant la notion de continuit par sous-domaines. XXX312Rupture en mode IIIXXX312Rupture en mode IIXXX312Rupture en mode IDislocation coinEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 8 Variables d'tudes Rfrentiels - Rpres L'tude d'un domaine matriel impose que l'on procde sa description et son reprage tout au long desonvolutionaucoursdutemps.Lanotionderfrentieldoittredveloppepourprciserles volutions.Lerfrentielestlil'observateur.Ilreprsentel'ensembledespointsanimsdumouvementde corps rigide de l'observateur. Pour effectuer les reprages spatiaux des points matriels dans un rfrentiel on utilise une base vectorielle associe un point origine O. On obtient ainsi un repre R. Ce repre, anim du mouvement de corps rigide du rfrentielpermet de matrialiser ce rfrentiel. Pourlesbesoinsdel'tude,onpeuttreameneffectuerdeschangementsderepre.Onralisera ainsilammetransformationdescoordonnesspatialessurlescomposantesdestresmathmatiques (vecteur, tenseur ...) utiliss pour dcrire le domaine. Il est noter que l'on peut associer plusieurs repres un mme rfrentiel. Paralllement,onpeutimaginerunchangementd'observateur,cequivasetraduireparun changementderfrentiel.Onpeutsereprsenterunetelletransformationenassociantchacundes rfrentiels un repre. Les deux repres tant choisis de telle sorte qu'ils soient concidant un instant donn, on examine leur volution au cours du temps. Pourfixerlesides,prenonsl'exemple d'un lopin cylindrique cras par une presse.Onpeutpenserfairedesobservations partirdurfrentielassociauplateau"fixe" delapresse.Lanotiondefixetantpriseici danslesensdenon-dplacementvisvisdu rfrentielterrestre.Poureffectuerces observations,onpeutsoitutiliserunrepre cartsienorthonormRC) , , ; (3 2 1e e e Or r r,soit employerpourdesraisonsdesymtrie cylindriqueunreprecylindro-polaire orthonorm RP ( ; , , ) O e e er zr r r. Maisilesttoutfaitpensableque,parexemplepourtudierlecontactpice-plateaumobile,l'on veuille faire des observations partir du rfrentielassoci au plateau mobile. Avec cet exemple, on conoit fort bien la notion d'objectivit, c'est dire du caractre d'indpendance visvisdel'observateurchoisi.Onparlealorsdephnomneintrinsquevisvisduchangementde rfrentiel. Certaines grandeurs sont objectives (dformations, contraintes, masse volumique ...), d'autre ne le sont pas (vitesse, matrice de changement de base ...). Enfin pour dcrire la configuration d'un domaine matriel, il est possible de choisir parmi deux types de variables. R'Reeeeee=3z12rContact pratiquementsans frottementContact avecfrottement levOEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 9 Description Lagrangienne ConsidronsunrepreorthonormR( ; , , ) OE E Er r r1 2 3associunrfrentielLacinmatique classique d'un milieu continu est construite partir des notions : * de temps, pouvant tre reprsente par une variable relle t dtermine par deux valeurs extrmes.*d'espacephysique,pouvanttrereprsentparunespaceaffinededimension 3. Les points de cet espace sont appels "points matriels". DanslerepreR,uninstantt=0,lepoint 0M adescoordonnesX X X1 2 3, , quidfinissentla positiondupointmatrielM.Onappelleaussicesystmedecoordonneslesystmedecoordonnes matrielles dans la configuration de rfrence 0C . Nous pourrons ainsi crire : X E X E X E X E X OMi ir r r r r= = + + =3 3 2 2 1 1 0 Pourdcrirelemouvementdudomaine,ilconvient donc de se donner la loi d'volution au cours du temps despositionsdel'ensembledesparticulesmatrielles constituantledomaine.Onobtientdoncla configurationactuelle tC .Ainsiilestncessairede dfinirlescoordonnes 3 2 1x x x , , dupoint tM qui l'instant t reprsente la position du point matriel M.x E x E x E x E x OMi i trr r r r= = + + =3 3 2 2 1 1 Ce qui revient dire qu'il faut se donner les fonctions scalaires suivantes : x X ti i J= ( , ) Danscettedescription,lesvariablesindpendantesX X X1 2 3, , ettsontdites"variablesoucoordonnesde Lagrange".Lesfonctionsireprsententladescriptionlagrangiennedumouvementdenotredomainepar rapport au rfrentiel. Connaissant la position chaque instant du point matriel M il est possible de dfinir alors sa vitesse et son acclration vis vis du rfrentiel

vecteur vitesse : ( )dtOM dt M Vt= ,r Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sontvtX tiiJ= ( , ) . Danscettedernireformule,lesymbole treprsenteladrivationpartielleparrapportautemps, c'est dire la drivation en considrant les variables de positionXJ indpendantes du temps. OMMXx1023EEE tEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 10 vecteur acclration : ( )22,dtOM dt Mt= r Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sont iiJtX t =22( , ) vecteur dplacement : Souventonprfreemployerle vecteur dplacement au lieu du vecteur position : r rru X t OM OM x XJ t( , ) = = 0 On peut alors remarquer l'galit : rr rV MtutX td udtX tJ J( , ) ( , ) ( , ) = = Description Eulrienne Leshypothsesdecontinuit(milieuettransformation)imposentquelesfonctionsisoientdes bijectionsdelaconfigurationderfrenceC0surlaconfigurationactuelleCt.Cettebijectivitimpose l'existenced'unerelationinverseentrelesvariablesdepositionderfrenceetlesvariablesdeposition actuelle. On a donc : X x tI I j= ( , ) Onconstatedoncqu'ilestpossibledechangerdevariablesspatiales.Ladescriptionditeeulrienne consisteconsidrerlesvariables 3 2 1x x x , , ettcommeindpendantesetlesutilisersousformede "variables ou coordonnes d'Euler".Dans la description eulrienne, on ne se proccupe pas de savoir ce qu'il advient de chaque particule. En fait on tudie ce qui se passe, chaque instant, en chaque point de l'espace.On peut exprimer la vitesse et l'acclration en fonction des variables d'Euler : vecteur vitesse : ( )dtOM dt M Vt= ,ravec ( ) t t xtt Xtvk JiJii), , ( ) , ( == vecteur acclration : ( )22,dtOM dt Mt= r avec ( ) t t xtt Xtk JiJii), , ( ) , (2222== Pratiquement,on peut dire qu'en description lagrangienne, on suit le domaine dans son mouvement, alorsqu'endescriptioneulrienne,onobservel'volutiondusystmeenunpointgomtriquefixepour l'observateur. uMM t0Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 11 Drivation temporelle Souventnousauronsconsidrerlesvariationsd'unegrandeurphysique,quenousnoteronsA,au cours du temps. Cette grandeur peut tre une fonction scalaire, vectorielle ou tensorielle. Nous avons donc : ) , ( t xia A= pour une dtermination vis vis des variables eulriennes ) , ( t XiA A= pour une dtermination vis vis des variables lagrangiennes. On peut au niveau de cette grandeur, s'intresser deux types de variation.

Ainsi, si nous considrons un point gomtrique de l'espace, la grandeurA tant dfinie en ce point, nouspourronsexprimerlesvariationsenutilisantladrivepartielleparrapportautemps.Onappelle parfois cette drive "drive locale". En variables eulriennes nous pouvons crire : ) , (t tt xi a A=Cependant, les grandeurs utilises sont souvent attaches un domaine matriel (temprature, masse volumique, vitesse ...). Il convient de considrer aussi la variation de ce domaine matriel au cours du temps. Pour ce faire on utilise la drive totale par rapport au temps, appele "drive particulaire" (du fait que c'est une particule que l'on suit dans son mouvement).Enreprsentationlagrangienne,puisque les grandeurs physiques sont repres vis vis de l'lment de matire, il y a identification entre la drive particulaire et la drive locale : oAA A A= = = ) , ( ) , ( t Xtt XdtddtdI I Par contre, pour la reprsentation eulrienne, le calcul de la drive particulaire ncessite de prendre en compte la variation du domaine dlimit par des variablesxi qui sont fonctions du temps : t xt xtt xdtddtdiii i+ = = =a a a AA ) , ( ) , (o Dans cette formule on remarque la prsence de ti qui est la ime composante du vecteur vitesse. D'autre part le terme ix apeut aussi tre interprt comme la composante de l'oprateur gradient appliqu la grandeur AOn peut donc crire, sous une forme gnrale : ) , ( . ) , ( ) , ( t x V t x t xti i iroaagrad A + = Exemple d'application : calcul de l'acclration en reprsentation Eulrienne. La formule prcdente donne la relation suivante : V VtVdtV dr rr rr. grad + = =Soit sous forme dveloppe, dans un repre cartsien orthonorm : ii i iiidVdtVtVx t= = + Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 12 Imaginonsparexemplequel'onsoitdansunvhiculeautomobileunvendredisoirdedparten vacancel'entredutunnelsousFourviredeLyon.Connaissantdepuislonguedateleproblmedu bouchon,nousavonsprislaprcautiondenepaspartirtroptt.Toutefoisl'approchedutunnel,nous constatonsunralentissement.Notrevitessediminueetborddenotrevhiculenousenregistronsune dclration (acclration ngative). Par contre dception pour le badaud qui s'amuse regarder circuler les voituresassissurleborddelaroutedepuisunepaired'heure.Eneffet,commelebouchonestentrainde sauter, la vitesse des vhicules passant en un point prcis de la route est en constante augmentation. Suite ce phnomne d'acclration (positive), il n'y aura bientt plus rien voir. La premire acclration (la ngative) est celle d'une particule que l'on suit dans son mouvement. En variabledeLagrange,c'estladriveparticulaire.Pourlasecondeacclration(positive),onobservele mouvement en un point fixe de l'espace et on considre que les variations de vitesse dues au temps : c'est la drive locale en variables d'Euler. Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 13 Dformations d'un milieu continu Tenseur Gradient Il convient de bien diffrencier la notion de dplacement de la notion de dformation. Ainsi que nous avons dj pu le constater en faisant l'tude mcanique des solides dits indformables, il existe des champs vectoriels de dplacement qui ne crent aucune dformation. Autant il est facile de dfinir le champ vectoriel des dplacements, autant la notion de dformation est dlicate bien cerner. Ainsi que nous allons le voir nous ne pourrons pas parler d'une dformation, mais de scalairedformation,devecteurdformationetdetenseurd'ordre2desdformations.Ilconvientdoncde bien faire attention toutes ces entits. Pour matrialiser la dformation, on tudie la transformation d'un vecteur "matriel", c'est dire d'un vecteurayantorigineet extrmit confondus avec des points matriels. Toutefois on conoit bien que l'tat dedformationn'tantgnralementpashomognedanslamatire,ilfailleutiliserdespointsmatriels infiniment voisins afin de bien caractriser la dformation au voisinage d'un lment matriel. Nous sommes ainsi amens considrer la transformation suivante : x d X drr D'autre part, nous avons les relations suivantes : ) , ( t X xJ i i =) , ( t x Xj I I =Parabusdelangage,etpourresterdanslatradition, nous crirons : ) , ( t X x xJ i i= ) , ( t x X Xj I I= Sous forme diffrentielle nous obtenons : jjIIdxxXX d= et JJiidXXxx d= Ces relations nous permettent de mettre en vidence les composantes d'un tenseur dfinies par : J iJ idX F x d = avec JiiJXxF=On peut donc crire : X d x drvF =Ce qui implique : x d X drr1 =F Le tenseurFqui apparat est appel "tenseur gradient" ou encore "application linaire tangente". Il permet de caractriser les diffrentes transformations.dXdxEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 14 Lescomposantesdecetenseurpeuventtrecalculespartirduchampdedplacementen diffrenciant la relation suivante : X x OM OM t X ut Jrr r = = 0) , ( On a donc : JiiJjiiJXuXxF+ = = Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale Lesquationsdelatransformation sont les suivantes : ===3 3 32 2 21 1 1X xX xX x On peut donc dfinir le tenseur gradient : |||.|

\|=3210 00 00 0FOn a alors pour la variation d'un volume infinitsimal unitaire : 0 3 2 1 01 dv dv dv = =Cette expression est le cas particulier d'une formule plus gnrale : 0dv J dv= avec F det) , , () , , (3 2 13 2 1= =X X X Dx x x DJ Etude tridimensionnelle des dformations D'aprsl'tudeprcdente,onseraittentdecroirequeletenseurFestsuffisantpourreprsenter l'tat de dformation d'un domaine matriel. En effet il permet de bien faire apparatre les diffrences entre lesdeuxvecteursdXretdxr.Ilsemblemmequeladiffrenceentrecesdeuxvecteurssoitassocier directement au champ de dplacement. En effet nous avons : X d U X d X d X d x dr r r r rrGrad F = = On pourrait alors conclure que le tenseur gradient du champ de dplacement est le tenseur qui suffit caractriserlesdformationsd'undomainematriel.Cetteconclusionesterrone,carilexistedescasde dplacementd'undomainematrielquirespectentlanotiondesolidesindformablesalorsqueletenseur gradientduchampdedplacementestnonnul.Onpeutparexempleimaginerlephnomnederotation autour d'un axe. Il faut donc dfinir proprement un tat de dformation. Pour caractriser les dformations d'un domaine matriel, il faut en fait considrer les variations entre deuxconfigurationsdeladistanceexistanteinitialemententre deux points matriels arbitraires. Hlas cette notion de distance n'est pas simple mettre en uvre et on prfre considrer les variations de deux vecteurs "matriels".Mathmatiquement,celarevientexaminerlesvariationsduproduitscalairedecesdeux XXXxxx231321Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 15 vecteurs.Unproduitscalaireinvariantquelsquesoientlesdeuxvecteursconsidrsestquivalentune dformation nulle du milieu (pas de variation de longueur, pas de variation d'angle). On aura alors dfini les changements de formes. Imaginonsdeuxvecteurs"matriels"X d ret' X d r.Aprstransformation,nousobtenonslesvecteurs x dr et' x dr.Nous avons les relations : X d x drrF = ' ' X d x drrF =Ce qui nous donne : ' . ' . X d X d x d x dr rr rF F =Enutilisantlesnotationsindicielles,nous obtenons : ) ' )( ( ' ' .K iK J iJ i idX F dX F dx dx x d x d = =r r ) ' ( ) ( ' .K J iK iJdX dX F F x d x d =r r ' ' .K J JKdX dX C x d x d =r r La dformation locale est alors dfinie par le tenseurCC F F F FJK iJ iKtJi iK= = On a ainsi : ' ' . X d X d x d x dr rr rC = avecF F C =T DanscetterelationCestuntenseursymtriqued'ordredeux(reprsentableparunematrice3*3) appel tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit. C'estuntenseurlagrangiencarsesdeuxrfrencessontfaitesvisvisdelaconfigurationde rfrence 0C . Ce tenseur peut tre dfini partir du tenseur gradient du champ de dplacement : ) ( ) ( U UT Tr rGrad I Grad I F F C + + = =U U U UT Tr r r rGrad Grad Grad Grad I C + + + = ) ( ) ( La variation de notre produit scalaire devient alors : ' ) ( ' ' . X d X d X d X d x d x dr r r rr rI C = Soit encore : [ ] ' ) ( ) ( ' ' . X d U U U U X d X d X d x d x dT Tr r r r r r r rr rGrad Grad Grad Grad + + = ' 2 ' ' . X d X d X d X d x d x dr r r rr rE = Nous obtenons ainsi un nouveau tenseur : ( ) [ ] U U U UT Tr r r rGrad Grad Grad Grad I C E + + = = ) ( ) (2121 Ce tenseur est le tenseur des dformations de Green-Lagrange. dXdX'dx'dxuEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 16 C'est aussi un tenseur symtrique. On peut remarquer qu'il est identiquement nul dans un mouvement de corps solide( ) I C= . Ses composantes sont : ( )||.|

\|+ + = =JKIKIJJIIJ kJ kI IJXuXuXuXuF F E2121 On dira que la dformation du systme est homogne si le tenseur des dformationsE ne dpend pas des coordonnes spatiales de rfrenceXI. Remarque De la mme faon que l'on dfinit le produit scalaire' . dx dx partir du produit scalaire' X d X dr r, on peut,demaniretoutfaitsymtrique,dfinirleproduitscalaire' X d X dr rpartirduproduitscalaire ' . dx dx .On aura alors les relations suivantes : ' ' .1x d x d X d X dr rr r= B avec TF F B = : Tenseur de Cauchy-Green gauche. ' 2 ' . ' . x d x d X d X d x d x dr rr rr rA = ( )121 = B I A Tenseur des dformations d'Euler-Almansi. Le tenseur des dformations d'Euler-Almansi et le tenseur de Cauchy Green gauche sont des tenseurs eulriens, symtriques. D'autre part, il est possible de dmontrer la relation suivante : 1 1) ( = F E F AT Soit en composantes : KLLj KiijE F F A1 1 = Interprtation des rsultats Variation de longueur : Prenons un vecteur "matriel" de longueur initialedXorient selon une direction unitaire rN au voisinage d'un point 0M . Nous pouvons crire : N dX dXr=La transformation nous donne alors : n dx dxr=Il est noter que le vecteur obtenu non seulement n'a pas la mme longueur que le vecteur initial, mais qu'en plus il ne garde pas la mme orientation. On peut alors dfinir l'allongement (ou la dilatation linaire)au point 0Mdans la direction rN ( )dXdX dxN M=r;0 C'estenfaitlavariationrelativedelongueurdenotresegmentinitial.Apartirdestenseurs prcdents, nous pouvons crire : ( ) 1 ;0 == N NdXdX dxN Mr r rC Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 17 En effet nous avons la relation : ( ) ( ) ( ) dX N N dX dX C x d x d dxJ I IJ212121r rr rC = = =Ainsi, dans le cas particulier de la direction rE1, on obtient : ( ) 1 2 1 1 1 ;11 11 1 1 1 0 + = = = E C E E E Mr r rC De mme, on peut dfinir le glissement (ou la distorsion angulaire) au point 0Mdans les directions initialement perpendiculairesNr etMr: ( ) ) , ( , ; = m n M N Mr rr r20 Cetteentitcorrespondla variationd'unanglechoisiinitialement droit.Pourlacalculer,onutiliseles propritsduproduitscalaireentredeux vecteurs,quidanslagomtrie euclidiennefaitapparatrelecosinusde l'angleformentre ces deux vecteurs. On a ainsi : sin'') ' , cos( = =dx dxx d x dx d x dr rr r D'o : ( )( )( )||.|

\|+ +=||.|

\|=) ( 1 ) ( 12sin sin , ;0M NM NArcM M N NM NArc M N M r rr rr r r rr rr r EC CC Par exemple, pour les deux directions orthogonales rE1et rE2, on aura : ( )||.|

\|+ +=||.|

\|=22 111222 11122 12 1 2 12sin sin ,E EEArcC CCArc E Er r Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume : = dv dVdV Base principale Comme le tenseur de Cauchy-Green droitC est un tenseur symtrique, sa reprsentation matricielle estsymtriquedanstoutrepre.Onaenfaitaffaireuneapplicationbilinairesymtrique.Ilexistealors une base de vecteurs( )III II IE E Er r r, ,dans laquelle la reprsentation matricielle de l'application est une matrice diagonale. On dit que l'on a la base propre ou base principale. Lesvecteursdecettebasesontappelslesvecteurspropresdel'application.Enmcanique,nous parlerons plus facilement de directions principales.dXdX'dxdx' (N,M)Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 18 Donc dans cette base, nous avons : |||.|

\|=IIIIIICCC0 00 00 0CUnvolumelmentaireconstruitselonces directions et de cots III II IdX dX dX , ,est transform en un volumeparalllpipdique(pasdeglissement)decots III II Idx dx dx , , .Onpeutalorscalculerlavariationrelative de volume : dVdV dv= On a d'autre part les relations : III II IdX dX dX dV= et III II Idx dx dx dv= Avec par exemple : I I IdX C dx= On obtient donc : dV C C C dX C dX C dX C dvIII II I III III II II I I= =dv dV = det( ) C On fait ainsi apparatre le jacobien de la transformation : dVdvJ= Ce qui nous donne pour la variation relative de volume : 1 =J Tenseur des dformations linaris Commenousvenonsdelevoir,lacaractrisationdel'tatdedformationd'undomainematriel passepar la dtermination de tenseurs plus ou moins compliqus. Quel que soit le choix fait au niveau des tenseurs,onconstateunenon-linaritprovenantessentiellementdestermesdutype F F Grad Grad = T TU Ur r) ( .Cettenon-linaritdel'tatdedformationparrapportauchampde dplacement complique srieusement les calculs. Cependant,dansdenombreuxcas,onpourralinariserl'tatdedformationenfaisantl'hypothse des transformations infinitsimales.Cette hypothse, encore dnomme hypothse des petites perturbations, se dcompose en deux ides : *Ledplacementdechacundespointsdudomainematrielestpetit.Onpourraainsi confondre l'tat actuel avec l'tat de rfrence.* Le tenseur gradient de dformation ne contient que des termes ngligeables devant l'unit. Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 19 Avec ces hypothses, les diffrents tenseurs dformations deviennent : [ ] [ ] U U U UT T Tr r r rGrad Grad I Grad I Grad I F F C + + = + + = = ) ( ) ( Cauchy-Green droit [ ] U UTr rGrad Grad I C E + = = ) (21) (21Green-Lagrange [ ] [ ] C Grad Grad I Grad I Grad I F F B = + + = + + = = U U U UT T Tr r r r) ( ) ( Cauchy-Green gauche [ ] E Grad Grad B I A = + = = TU U ) (21) (211r rEuler-Almansi On remarque donc qu'il y a une identification entre les descriptions lagrangienne et eulrienne.Ainsiquenousl'avonsdjconstat,cesontlestenseursdedformationdeGreen-Lagrangeet d'Euler-Almansi qui, plus que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green, reprsente l'tat de dformation enunpoint.Eneffetdansundplacementdecorpssolideindformable,lestenseursdedformationde Green-Lagrange et d'Euler-Almansi sont nuls, alors que lestenseurs de dformation de Cauchy-Green sont confondus avec le tenseur identit. On convient de dire que, dans le cas de petites perturbations, l'tat de dformation est reprsent par le tenseur des dformations linarisdfini par : [ ] A E Grad Grad = = + =TU U ) (21r rCe qui nous donne pour les coordonnes cartsiennes : ||.|

\|+ =||.|

\|+ =IJJIIJJIIJxuxuXuXu2121 Cenouveautenseurestenfaitlapartiesymtriquedutenseur gradient. Pour traiter de nombreuses applications, il peut tre fait l'usage de la partie antisymtriquedu tenseur gradient. Les relations sont les suivantes : [ ][ ] =+ = =+ =TTTUUU UU U) () (21) (21rrr rr rGradGradGrad GradGrad Grad Lemploidutenseurdesdformations enlieuetplacedutenseurdeGreenLagrangeEoudu tenseurdEulerAlmansiAestunesimplificationimportantecaronobtientunelinarisationdes dformations vis vis du champ de dplacement. En effet si lon considre deux champs de dplacement 1Ur et 2Ur, on peut crire : [ ]2 1 2 1U U U Ur r r rGrad Grad Grad + = +On en dduit alors la relation : [ ] [ ] [ ]2 1 2 1U U U Ur r r r + = + Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 20 Interprtation gomtrique Avec ce qui prcde nous pouvons crire : X d X d X d x dX d U X d X d X d x dr r rrr r r r rr + = = = grad F Supposons queX d r reprsente, dans la configuration initiale, deux points 0Met 0' M . Le vecteurx dr reprsenteraalors,danslaconfigurationactuellelesdeuxpoints tM et tM' ,transformsdesdeuxpoints initiaux dans le champ de dplacement.On a alors les relations suivantes : ( ) ( )t t t tt tt tM M M M M M M MM M M U M M M UM M x d M M X d0 0 0 00 0 0 00 0 = = == =' ' ' '' ' '' 'rr Ce qui nous permet dcrire : ( ) ( ) X d X d M U M Ur r + + =0 0'Deplus,onpeutmontrerquuntenseur antisymtriquedusecondordre,ilestpossibledassocierun vecteurdetelsortequelonpuisseremplacerleproduit tensoriel par un produit vectoriel : X d X drrr = Ainsi,auvoisinagedupoint 0M ,lechampde dplacement se prsente sous la forme suivante : ( ) ( ) X d X d M U M Ur rr + + =0 0' Onpeutreconnatrelescomposantesdunchampde dplacement de solide indformable avec une translation( )0M Uet une rotationX d rr . Le reste reprsente donc la dformation du solide. Cest pourquoi le tenseurest appel tenseur de dformation. Remarques Il existe malheureusement des cas d'tudes qui ne respectent pas l'hypothse de petites perturbations. On trouve en particulier le non-respect de cette hypothse simplificatrice dans des oprations de mise en forme imposant la fois de grands dplacements et de grandes dformations. Mais on peut aussi trouver des applications qui ne respectent pas que l'une des conditions. Ainsi, en robotique, on est souvent confront desproblmesdegrandsdplacements,maisdanschacundeslments,onpeutconsidrerqueles dformations sont trs faibles.Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 21 Ceshypothsessontd'unerelle importancepour la simplification des calculs. Prenonsparexemplelecasd'unepoutre consoleencastreenunesectionextrmit, librel'autreextrmitetsupportantune charge uniformment rpartie.Djladfinitionrigoureusedela chargeposeunproblme.Cettecharge conserve-t-elle une direction constante qu'elle quesoitladformedelapoutre(casde l'attractiongravitationnelle),oubiencette chargeest-ellesuiveuse,c'est--dire, conserve-t-elleunedirectionfixevisvisde l'lmentdepoutresurlequelests'applique (cas d'une pression) ? Larponsecettequestiontanttrouve,sion veutdterminerladformedenotrepoutreenutilisant lathorieclassiquedespoutres,ilconvientdebien raliser que, si cette dforme est grande, on a vite affaire unepoutrecourbe.Enconsquencelaformule classiqueM fz GzE Id ydx=22devratredlaisseauprofitde laformulesuivantequifaitapparatrelerayonde courbure de notre poutre initialement droite : 32221M|.|

\|+= =dxy ddxy dI ERI EGzGzfz Bienentendulesproblmesd'intgrationsontaccrus.Depluslecalculdumomentdeflexionpose tout de suite plus de difficults. En effet suivant que lon prenne en compte ou non la rotation des sections, on constate quil y a une diffrence dans lvaluation du bras de levier. Etude des petites perturbations Apartirdeshypothsessimplificatrices,onpeuts'intresserl'tudedesallongementsetdes glissements au voisinage d'un point matriel.Dufaitdesrelationsexistantesentrelesdiffrentstenseurs,etenayantremarququedenombreux termes sont ngligeables devant l'unit, nous pouvons crire : ( )11 11 11 1 1 11 2 1 1 1 + = = = E C E E Er r rC Pour l'allongement dans la direction rE1 ( )1222 11122 122 1 2 12sin , ||.|

\|+ +=E EEArc E Er rPour le glissement dans les directions rE1 et rE2 Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 22 On peut donc donner une nouvelle dtermination du tenseur des dformations linaris : ( )iEEE E E EE EEE EE E E EErrr r r rr rrr rr r r rr|||||||.|

\|=) (2) , (2) , (2) , () (2) , (2) , (2) , () (33 2 3 13 222 13 1 2 11 Dunefaonplusgnrale,sionconsidredeuxvecteursunitairesorthogonaux ( ) 0 1 = = = b a b arrrr. ; , on peut crire : ( )aaa a a = =r r r dilatation linaire dans la directionar ( )abb a b a 2 2 , = =rrrrdistorsion angulaire de langle droit form entre les directionsar etbr On peut aussi remarquer que, du fait de la symtrie du tenseur de dformation, on a : ( ) a b b a b aabrr rrrr 2 2 2 , = = = En ce qui concerne la variation relative de volume, on obtient : U divXutr JdVdV dvIIr= = == 1 Lamatricereprsentantl'tatdedformationlinaristantunematricerellesymtrique,onpeut dfinirsesdirectionsprincipales(vecteurspropres)etlesvaleursdesdformationsprincipales(valeurs propres).DufaitdelafortedpendanceentreletenseurdesdformationsdeCauchy-Greendroitetle tenseurdesdformationslinaris,ilyaidentificationtotaleentrelesvecteurspropresdesmatrices associes ces deux tenseurs.Pour le tenseur , les relations sont les suivantes : I I IE Er r = . Avec comme reprsentation dans la base principale : ( )I IIIIIIEr|||.|

\|=0 00 00 0 Comme le tenseur des dformations linaris est symtrique, si les trois dformations principales sont diffrentes, il existe trois directions principales orthogonales deux deux. Sideuxdformationsprincipalessontdistinctes,ilyaalorsunedirectionprincipaleassociela troisime dformation principale. Toute direction orthogonale cette direction principale est principale. Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 23 Silestroisdirectionsprincipalessontidentiques,toutedirectionestprincipale.Onditalorsquele tenseur est sphrique. Ladterminationdesvaleursdesdirectionsprincipalesdedformationconduitaussila dtermination de trois invariants scalaires du tenseur. En effet, comme pour tout tenseurdu second ordreT, lecalculdesvaleursproprespasseparl'annulationdupolynmecaractristiquePT( ) .Cepolynmeest obtenu par le dterminant de ) - ( I T . On a donc : III II IT T T + + = 2 3T- = ) - ( det ) ( P I T Les termes T T TI II III, ,reprsentant les invariants fondamentaux du tenseurT : ( ) ( )= ==TT TTdet212 2IIIIIITtr tr Ttr T Etat dviatorique : Pouruntenseurdusecondordrequelconque,ilesttoujourspossibledeledcomposersousforme dunesommededeuxtenseursdetelsortequelunsoitsphriqueetquelautreaitunetracenulle.Les formules sont les suivantes : S T DI I T SD S T == =+ =3 / 3 / ) (iiT tr Dans le cas du tenseur de dformation, le tenseur sphrique associ change le volume sans changer la formealorsqueletenseurdviateurchangelaformevolumeconstant(latraceestnulledoncpasde variation relative de volume).Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 24 Reprsentations graphiques Lanotiondetenseurtantrelativementdlicateapprhender,onrecherchesouventdessolutions plusparlantespourreprsenteruntattensoriel.Ilexiste,pourdestenseursdesecondordredunespace vectorieldedimensiontrois,desreprsentationsgraphiques,soittridemensionnelle,soitplane,qui permettent de tirer quelques enseignements.Imaginons que lon connaisse un tenseur symtrique, coefficients rels, T par ses composantes dans la base principale : ( )i IIIIIIE TTT|||.|

\|=0 00 00 0TConsidrons un vecteur unitaire quelconque : i i E n n=r On peut alors calculer le vecteur obtenu dans la directionnr : n n Ar rT = ) (Dans la base principale, les composantes de ce vecteur sont : ( )i i E A n Arr=avec ===3 32 21 1n T An T An T AIIIIII Dautre part, comme le vecteurnr est unitaire nous avons : 2232222212322211III II ITATATAn n n + + = = + + NousconstatonsainsiquelescomposantesduvecteurArpeuventtrsbienreprsenterles coordonnes dun point A dans lespace des vecteurs propres. Avec lquation prcdente, on peut dire que le lieu dcrit dans lespace des vecteurs propres est un ellipsode, appel ellipsode de Lam. IErIIErIIErIErIIIEr( ) n A rEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 25 Cettepremirereprsentationgraphiquetridimensionnellepermetdeconstaterquelesvaleurs propres reprsentent les valeurs extrmales de ltat tensoriel.Ainsi dans le cas du tenseur de dformation, la plus grande dilatation linaire et la plus petite en un point donn, sont donnes par deux des dformations principales I , IIet III .Parcontrecettereprsentationdeltattensoriel prsente linconvnient dtre tridimensionnelle et donc peu aisedessiner.Ilestpossibledobtenirunerepsentation planeenconsidrantleplanformparlesdeuxvecteursnr et( ) n A r.Ceplanprsentegnralementuneintersection avec le plan orthogonal au vecteurnr. On dsigne parNla projectionduvecteur( ) n A rsurlevecteurnr,parTrle vecteurobtenuparprojectionduvecteurnrsursonplan othognal. On a, avec des notations videntes : ( ) ( )( ) = == =t T n n A n Tn N n n A n Nrr r rrr r r vr. avecNr vecteur normal etTr vecteur tangent.Supponsquelevecteurnrappartienneauplanprincipalformparlesvecteurs( )II IE Er r, ,etquil prsente un angle avec la direction principale IEr. On peut donc crire : II IE E nr rr sin cos + = et ( ) t a n a E A E A n At n II Irrr rr+ = + =2 1 Avec les formules de changement de base, il est facile de dmontrer que lon a : = =++= + =) sin( sin cos ) () cos( sin cos 2222 22 2II II II tII I II III I nT TT T aT T T TT T a On constate donc que dans le plan vectoriel( ) t nrr, , lorsque langle varie,lextrmit du vecteur( ) n A r parcourt un cercle dont le centre a|.|

\| +02;II IT Tpour coordonnes. Le rayon du cercle est 2II IT T. Le point extrmitdcritlecercleensensinverseetdudoubledelangledeposition .Lecercleainsiobtenuest appelcercledeMohrdansleplanprincipal( )II IE Er r, .Onconoitaismentquilsoitainsipossiblede construiretroiscercles.Lafigureobtenuemontreainsile tricercle de Mohr de ltat tensoriel.ApartirdelareprsentationdeLam,onpeut dduirequepourunedirectionunitairequelconque, lextrmit du vecteur( ) n A r doit se trouver lintrieur du tricercle.Lesvaleurspropresformantlediamtredeplus granddescerclesdeMohrsontlesvaleursextrmalesdu vecteurnormal.Leurdiffrenceconstituelaplusgrande valeur du vecteur tangent.Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 26 Conditions de compatibilit Ainsiquenouslavonsconstat,lesdiffrentstenseursdformationssontissusdeladonnedun champvectoriel,lechampdedplacement.Lesrelationspermettentsansambiguitdecalculer,dansun repre quelconque, les composantes de chacun de ces tenseurs ds lors que lon connat les composantes du vecteur dplacement. Parcontreladmarcheinversenestpasimmdiate.Onconoiteneffetquilsoitdlicatde remonter un champ de dplacement partir de la connaissance dun tenseur dformation. Nous allons raisonner sur la forme linaris des dformations, donc partir du tenseur de dformation . Ce tenseur, symtrique est dtermin par 6 composantes. Il est clair que des relations doivent exister entre ces six composantes si le tenseur reprsente un tat de dformation obtenu parti dun champ vectoriel ayant trois composantes. Cesrelationssappellelesconditionsdecompatibilitetellesnesontenfaitquelesconditions dintgrabilit au sens de Cauchy pour un systme dquations diffrentielles. Dans un systme de coordonnes cartsiennes nous avons les relations suivantes : ||.|

\|=||.|

\|+=ijjiijijjiijxuxuxuxu2121 Nous pouvons crire : ikjjikkijkjjki ikkij kijk iji jki jkk jikijk ijk jikijx x xxuxux xuxux xx xux xux xux xuxx xux xux=||.|

\|||.|

\|+||.|

\|+=||.|

\| + =||.|

\| =21212122 2 222 Nousvenonsainsidemontrerquenoussommescapablesdecalculerlescomposantesduvecteur gradient de ij . Toutefois nous obtiendrons effectivement unvecteur gradient si le rotationnel est nul, cest dire si nous pouvons vrifier les relations suivantes : l kijk lijlijk kijlx x x x x x x x = =||.|

\|||.|

\| 2 20Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 27 Ce sont en fait les conditions dintgrabilit de Cauchy de la diffrentielle mmijijdxxd= . Exprimes en fonction des composantes du tenseur de dformations ces conditions nous donnent un systme de six quations : 02222= + i kljj kili lkjj likx x x x x x x x Soit sous forme dveloppe : 0 0 20 0 20 0 22311233123 2 13321 331223112213321233122312 1 32223 223222332232223122311231 3 21122 11222122222112=||.|

\|+ = +=||.|

\|+ = +=||.|

\|+ = +x x x x x x x xx xx x x x x x x xx xx x x x x x x xx x On peut aussi dmontrer que ces conditions de compatibilit prennent la forme intrinsque suivante : ( ) ( ) ( ) [ ] 0 = |.|

\||.|

\|+ tr grad div divTgrad grad grad Donc,sicesquationssontvrifies,ilestpossiblededterminerlechampdedplacement.La mthodeconsistecalculerlescomposantesdutenseurantisymtriquelaidedesdiffrentiellestotales exactes : Puis de dterminer les composantes du champ de dplacement laide des trois autres diffrentielles totales exactes : ( )j ij ij idx du + =Le champ de dplacement ainsi obtenu est dfini un champ de dplacement de solide indformable prs. Enapplication,nousproposonsaulecteurdedfinirlechampdedplacementquicreltatde dformation suivant : ( )ie x bx b x x ax x a x br|||.|

\|=11 2 12 1 10 000kikjjikkkijijdxx xdxxd||.|

\|==Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 28 Vitesse de dformation Dans l'tude prcdente, on s'est intress aux transformations du systme entre une configuration de rfrence 0Cet une configuration actuelle tC .Sans se soucier du chemin de dformation suivi lors du mouvement entre ces deux configurations, on a tudilatransformationsousunaspectpurement gomtrique,d'untatinitialversuntatfinal.On conoittrsbienquecettetudepuisseconvenirdans toute transformation pour laquelle l'tat de dformation soitunefonctiond'tat(ausensthermodynamiquedu terme).Peuimportealorslecheminsuivipourpasser d'un tat l'autre.Hlas, de plus en plus frquemment, suite une modlisation plus fine, suite une meilleure connaissance, suite des dveloppements de moyens de calcul, ildevientdeplusenplusncessaired'tudilesvolutionsdusystmesuivantunchemindedformation. Nous sommes alors amens faire l'tude de faon incrmentale, c'est dire tudier la transformation entre deuxtatsinfinimentvoisins,puis,parunprocessusdetypeintgration,endduirelecheminrelde dformation. Pour caractriser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse rV Mt ( , ) que l'on peut considrer comme : * fonction du temps et des coordonnes de rfrenceXI (description Lagrangienne) * fonction du temps et des coordonnes actuellesxi (description Eulrienne) Taux de dformation lagrangien Entrelesinstantstett+dt,unvecteur"matriel"infinitsimaldxtrsetransformeendxt dtr+.Dela mmemanireque,pourlesdformations,nousnoussommesintressslavariationduproduitscalaire, nous allons cette fois considrer sa vitesse de variation. La vitesse de variation du produit scalaire de deux vecteurs matriels est alors : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ' . 2 ' . ' . ' . ' . X d X d X d X ddtdX d X ddtdX d X ddtdx d x ddtdr r r r r r r rr rE C F F + = = =( ) ' . 2 ' . X ddtdX d x d x ddtdr rr r E= Le tenseur( ) ( ) ( ) t X t Xtt Xdtd, , ,r&r rEE E= = est appel taux de dformation Lagrangien Il est obtenu en drivant par rapport au temps le tenseur des dformations de Green-Lagrange. C'est donc la vitesse d'volution de la dformation lorsque celle-ci est mesure partir d'un tat de rfrence initial. dXdx(t)dx(t+dt)Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 29 Taux de dformation eulrien Etudions prsent la mme variation de produit scalaire mais en variables eulriennes. On a donc : ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )dtX d dX d X ddtX d dX d X ddtdx d x ddtd '. ' . ' . ' .rr rrr rr r FF FFF F + = = En utilisant la relation : ( )x d X ddt X d ddtx d d r&r&rr1) (= = = F F FF On obtient : ( )( ) ( )' . ' .'. ' . ' .1 1x d x d x d x ddtX d dx d x ddtX d dx d x ddtd r&r r r&rr rrr r + = + = F F F FF F ( ) ( ) ( ) ' . ' .1 1x d x d x d x ddtd T r& &r r r + = F F F F( ) ( ) ' 2 . ' . x d x d x d x ddtd r r r rD = Cette dernire relation nous permet de faire apparatre le tenseur taux de dformation eulrienD. Il peut tre dtermin partir du tenseur gradient des vitesses. Nous avons en effet la relation : &F FVXXxVxLiK KjiKKjijij= = =1 Ainsi le produit 1 F F& dfini un tenseurL qui n'est autre que le tenseur gradient des vitesses : VrGrad L= LetenseurDreprsentelapartiesymtriquedutenseurgradientdesvitesses.Onpeutaussifaire apparatre le tenseurW qui reprsente la partie antisymtrique.Les relations sont les suivantes : ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( )( )T TT TT Tt x Vt x VV V t xV V t x] , [ ) (,21) (21,21) (21,rrrrr rrr rrL W D GradL W D GradL L Grad Grad WL L Grad Grad D= == + = = =+ = + = On montre que le tenseurW est un tenseur qui reprsente la vitesse de rotation de la matire. Remarques 1-L'galit des produits scalaires en dfinition lagrangienne et eulrienne nous conduit la relation suivante : ( ) ( ) ' ) 2 ( . ' 2 . ' . X d X d x d x d x d x ddtdr&rr r r rE D = =On peut alors en dduire la relation : C F D F E& &21= =T Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 30 Ainsilesdrivesparrapportautempsdestenseurslagrangiensdcrivantladformationsont directementreliesautenseurdestauxdedformation.Iln'en va pas de mme pour les tenseurs eulriens. Par exemple pour le tenseur de Cauchy-Green gauche, on a : [ ]T T T T T T TL B B L L F F F F L F F F F F F B + = + = + = = & & 2-Sil'onconsidrelatransformationinfinimentpetiteentrelesconfigurations tC et dt tC+,enprenantlaconfiguration tCcommeconfigurationderfrence(onparlealorsdedescription lagrangienne ractualise), le dplacement est alors : dt t x V t x u d ) , ( ) , (rrr r=Le tenseur de dformation est alors dans une forme linarise : ( ) [ ] ( ) [ ]dt V d V d u d u d dTT) ( ) (21) ( ) (21r rr rGrad Grad Grad Grad + = + =dt d D=Ainsi,letenseurDapparatcommeletenseur"tangent"auxdformations,partirdela configuration actuelle. Cette description est souvent utilise en calcul numrique, car on ractualise souvent la configuration de rfrence chaque pas de calcul. 3-Danslecadredestransformationsinfinitsimales,) ( u drGrad peuttreconsidr comme un infiniment petit. On a donc : E D&& Les tenseurs des taux de dformations lagrangien et eulrien peuvent tre confondus. Interprtation du tenseur taux de dformation CetteinterprtationesttoutfaitsimilairecelledestenseursdeCauchy-GreendroitCet des dformations de Green-LagrangeE. Taux de dilatation linaire Enconsidrantparexemplelesdeuxvecteursdxretdxr' confondus,delongueurdletdansla direction( )1 1' E dl x d x d Err rr= = , on obtient : ( )( )( ) ( )21122 ' 2 . ' . dl D x d x ddtdl dx d x ddtd= = =r r r rDAinsi,D11estletauxdedilatationlinaire(ouencoretauxd'allongementouvitessed'extension) dans la direction rE1. Taux de glissement Nous devons cette fois prendre les deux vecteursdxretdxr'dans deux directions orthogonales. En les supposants norms( )2 1' , E x d E x drrrr= = , nous avons : ( ) ( )122 ' 2 . ' . D x d x d x d x ddtd= =r r r rDEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 31 Etat de contrainte dans les milieux continus Lois de conservation Lamcaniquedesmilieuxcontinusreposesurdesloisoudesprincipesdelaphysique.Toutle mondepensebienentenduimmdiatementauprincipefondamentaldelamcanique,maisilnefauten aucunngligerlesautresloisconstates.Lvolutiondundomainematrielserasouventloccasion dchange avec le milieu extrieur et ces changes sont rglements. Ainsi on conoit que les variations entre les domaines soit assujetties aux principes de la thermodynamique. Le premier principe permet de traduire la conservationdelnergieetilseprsente sous la forme dune galit. A loppos, le second principe de la thermodynamique ne sert qu constater limpossibilit que lon a raliser certaines transformations. Il est alors donn par une ingalit. Acestroislois,ilfautimprativementajouterlaloideconservationdelamasse.Souvent,en mcanique,onoubliedetraduirelefaitqueledomainetudinetransformepassamassedansson mouvement.Celaprovientdufaitquelenseignementtraditionneldelamcaniquedusolidesefaiten variablesdeLagrangeetquelonsuitlaparticule(ouledomaine)danssonmouvement.Parcontre,en variables dEuler, il faut bien traduire le fait quil ny a pas de transformation de la masse du milieu tudi mme si localement il peut y avoir une modification de la masse volumique. Ainsiquenousallonsleconstater,cesloispeuventsexprimersoitsousformeglobale,cestdire critespourundomainematriel,soitsousformelocale,cestdireenquationdiffrentiellevalableen chaque point du domaine. Avantdedonnerdesexpressionsduneloideconservation,ilconvientdecomplterlebagage mathmatique en prcisant la notion de drive particulaire dune intgrale de volume et les noncs de deux thormes importants, le thorme de la divergence et le thorme de lintgrale nulle. Drive particulaire dune intgrale de volume Soit un domaineD que lon suit dans son mouvement et considrons la variation entre deux instants infiniment proche de lintgrale dun champ tensoriel volumique sur le domaine : DdvdtdaCette variationest due deux contributions, dune part la variation propre du champ tensoriel entre les deux instants t a et dautre part la variation du domaine entre les deux instants.Pour calculer lexpression totale, dsignons par tDle domaine linstant t et par dt tD + le domaine linstantt+dt.Linstantlessparantstantinfinimentpetit,onpeutsupposerquilspossdentunelarge intersection commune que lon dsignera par 0D .Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 32 Ainsi le domaine linstant t se dcompose en deux sous domaines, lintersection commune 0Det la perte de domaine D , alors que le domaine linstant t+dt se dcompose en 0Det le gain de domaine +D .On peut crire : + ++ + + = + =+ = =+D D Ddt tD D Dtdv dt t dv dt t dv dt tdv t dv t dv tdt tt) ( ) ( ) () ( ) ( ) (00a a a Ja a a J On peut alors calculer la variation : [ ] + + + + + = + + + = ++D D Dt dt tD D D Dt dt tdv t dv dt t dv t dt tdv t dv t dv dt t dv dt t) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (00 0a a a a J Ja a a a J J Maispourlesdomaines +D et D ,laccroissementetladiminutiondevolumesontdusau dplacement de la surface gnratrice. On peut donc crire : Pour +D ( ) ds n dt v ds n x d dvr r r r= =Pour D ( ) ds n dt v ds n x d dvr r r r = = Lintervalle de temps tant infiniment court, on a alors : + + + ++ += =+ +((

= D D D Dt dt tD D Dt dt tds n v t ds n v t dvttdvdtddtds dt n v t ds dt n v t dv dtttr r r rr r r r) ( ) () () ( ) () (00a aaaJ Ja aaJ J Danscesexpressions, +D (resp. D )reprsentelasurfacecommuneauxdomaines 0D et +D(resp. D ). On peut donc en dduire la relation fondamentale suivante : +=D D Dds n v t dvttdvdtd r r) () (aaaThorme de lintgrale nulle Lnonc de ce thorme est le suivant : Considrons un champ vectoriel volumiqueadfini et continu sur un domaineD. Si quelque soit le sous domaine' Dinclus dansD, lintgrale du champ tensoriel sur le domaine' Dest nulle, alors le champ tensoriel est identiquement nul. 0 a a = =' 0'D dvD Pour la dmonstration de ce thorme, il suffit dimaginer que le champ tensoriel nest pas nul en un pointdonndudomaineD.Dufaitdelacontinuit,ilestalorspossiblededfinirundomaine' Dinfinimentpetitenveloppantlepointettelquelintgraleduchamptensorielnesoitpasnul,cequiva lencontre de lhypothse de dpart.Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 33 Thorme de la divergence Nousnouscontenteronsdedonner,sansdmonstration,unnoncdecethormeappelaussi thorme de Green Ostrogradski : LefluxdunchamptensorielAautraversdelasurfaceD enveloppantledomaineDestgal lintgrale de la divergence du champ tensoriel sur le domaine : dv div ds nD D =A A r Remarques :Dans le cas oA reprsente un champ vectoriel constant, on obtient0rr=Dds nDans le cas oA reprsente un champ scalairef , on obtient dv f grad ds n fD D =) (r Expression gnrale dune loi de conservation Onpeutdirequedunemaniregnrale,uneloideconservationexprimeunbilandunegrandeur tensorielleA. On peut alors associer cette grandeur : La densit volumique dans le domaine considr :aLa densit volumique produite par unit de temps dans le domaine considr : vaLa densit surfacique associe au flux deA entrant travers de la frontire du domaine : saLa loi de conservation a alors comme expression gnrale : + = =DsDvDds dv dvdtddtda a aA Equation qui traduit le fait que la variation de la grandeurA au cours de lintervalle de temps dt est gale la somme de la quantit produite (algbriquement) lintrieur du domaine et de la quantit entrant (algbriquement) travers la frontireD du domaine. Exemple : Equation de continuit Le principe de conservation de la masse postule quil ny a ni apparition ni disparition de matire. En consquence la variation de la masse au cour du temps est nulle : 0 =dtM d La masse peut se calculer partir de la masse volumique : 0 = = D Ddvdtddv M Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 34 Avec la notion de drive particulaire dune intgrale de volume, on obtient : 0 = += D D Dds n v dvtdvdtd r r. On peut encore utiliser le thorme de la divergence : 0 = += += D D D D Ddv v div dvtds n v dvtdvdtd) ( .r r rCe qui nous donne une forme locale de lquation de continuit avec le thorme de lintgrale nulle :0 = +) ( v divtr De plus nous avons les relations : grad vt dtdgrad v v div v div . . ) ( ) (r r r r+= + =On obtient ainsi une autre forme locale de lquation de continuit : 0 = + ) (v divdtd r Contraintes dans un domaine matriel Loi fondamentale de la mcanique Ilexisteplusieursformulationsdelaloifondamentaledelamcanique.Suivantl'noncchoisi,ce quiestaxiomatiquedansuncasdevientthormedansunautrecas.Toutescesformulations(principede moindre action, principe des puissances virtuelles, principe fondamental de la mcanique) sont quivalentes. Toutefois suivant l'application traite, certaines formes peuvent tre plus intressantes que d'autres. Pournotrepart,nousnouscontenteronsdel'noncclassiqueduprincipefondamentaldela mcanique: Ilexisteaumoinsunrepre gR ,ditgalilen,etunechronologie,diteabsolue,telsque,chaque instant et pour toute partieD d'un systme , la drive par rapport au temps du torseur cintique galilen est gal au torseur des actions extrieures s'exerant surD. Pourpouvoirexploiterleprincipefondamentaldelamcanique,nousdevonsdoncdfinirune reprsentation des efforts appliqus toute partieD d'un systme . On peut classer ces efforts suivant deux types : * les efforts exercs surD par les systmes extrieurs au systme . On parle alors d'efforts extrieurs. * les efforts exercs surD par les parties deextrieures la partieD. On a ainsi les efforts intrieurs. Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 35 Gnralement, les efforts extrieurs sont dus des actions distance telles que la pesanteur, les forces lectromagntiques,lesforcesd'inertie.Ceux-cisontsouventconnusetleurmodlisationneposepasde problme. On les supposera reprsentables par une densit massique de force( ) t M f ,r. Pour pouvoir progresser, il faut dfinir les efforts intrieurs. Vecteur contrainte La modlisation des efforts intrieurs passe par une axiomatique. Il existe en effet plusieurs modles employs suivant les domaines d'tudes. Pour notre part, nous nous contenterons de l'exploitation du postulat deCauchy,cequivanousconduirelareprsentationlaplusfrquentedel'tatdecontrainteenunpoint matriel. Postulat de Cauchy *LeseffortsexercssurunepartieDd'unmilieucontinu par le complmentaire deD dans le systmepeuvent tre reprsents par une rpartition surfacique de forces. *Cettedensitsurfaciquenedpenddudomaineconsidr que par la normale extrieure au domaine pour le point d'tude. On a donc une reprsentation par un vecteur du type( ) n M Trr,appel vecteur contrainte enMdans la directionnr. Onpeutconsidrerquechaquelmentdematireesteneffet soumisdesforcesdeliaisonprovenantsoitd'unefrontiresicelle-ciest contigu, soit du reste du systme. Avecl'hypothsededensitsurfaciquedeforces,nouspouvonsdirequesurchaquesurface lmentairedS autourdupointM etdenormalenr,leslmentsdusystme situsdanslargionde M et n'appartenant pas la partieD exercent sur les lments du systmeappartenant la partie D une force lmentaireF d r dtermine par :( )dS n M T F drr r, = Gnralement,onappellefacetteleplantangenten M au domaine tudi. La normalenr dfini l'orientation de cette facette. On peut alors dfinir la contrainte normalen comme tantlaprojectionsurladirectiondelanormalenrduvecteur contrainte( ) n M Trr, . Demmeonalevecteurcontraintetangentielle nr (encoreappelcissionoucontraintedecisaillement)qui reprsente le vecteur contrainte projet dans le plan de la facette.nT(M,n) dSM MT(M,n) dSnnnn rEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 36 On a : ( )( ) ( ) n n M T n n M T nn n M Tn nnr rrr rrr rr rr = ==, ,. , Unecontraintenormalepositivetraduitlocalementuntatdetractiondelamatire.Siaucontraire elle est ngative, nous avons localement un tat de compression.

Remarques 1-Lescomposantesduvecteurcontraintesonthomognesunepression,c'estdire qu'ils ont la dimension d'une force par unit de surface. 2-Levecteurcontrainteainsidfiniestdtermindanslaconfigurationactuelle.Nous avons ainsi une reprsentation eulrienne de ce vecteur. 3-Une autre axiomatique pourrait tre de considrer une densit de couples en plus de la densitsurfacique( ) n M Trr, etdeladensitvolumique( ) t M f ,r.Cettemodlisationestsouhaitableen prsence de champ magntique lev (acclrateur de particules). Tenseur des contraintes Le vecteur contrainte ne suffit pas lui seul pour caractriser l'tat de contrainte en un point matriel. Sadpendancevisvisdeladirectiondenormalelafacettemontreclairementqu'ilestncessaire d'envisager une autre reprsentation pour l'tat de contrainte. Considrons par exemple une poutre droite circulaire sollicite en traction simple. Si on peut ngliger les actions gravitationnelles, on obtient une modlisation des efforts extrieurs trs simple. L'tude de la rpartition des contraintes en un point donnM passeparladfinitiondeplansdecoupe.Pour unplandesectiondroite,larpartitiondecontrainte (supposehomogne)quipermetdemaintenirl'quilibre du tronon tudi est facilement calculable.( )x xESFE M Tr r r= ,Demme,enfaisantunecoupeparunplan mridien,onpeutfacilementconstaterquelarpartition desvecteurscontraintespourunefacettedenormale Er est nulle.( ) 0r r r=E M T ,Ainsi, en un mme point on peut avoir deux vecteurs contraintes totalement diffrents. Cequicaractrisel'tatdecontrainte,c'estlarelationexistanteentrelevecteurcontrainteetla direction de normale la facette. Pour obtenir cette relation, il suffit de considrer l'quilibre d'un domaine matriel de forme ttradrique ayant trois faces de normales( )3 2 1E E Er r r , , . Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 37

Surchacunedecesfaces,nouspouvonsdfinir levecteurcontrainteparsesprojectionsdansletridre de base : ( )( )( )+ + =+ + =+ + =3 33 2 32 1 31 33 23 2 22 1 21 23 13 2 12 1 11 1E E E E M TE E E E M TE E E E M Tr r r r rr r r r rr r r r r ,,, On utilise alors la notation suivante : ij premier indice i indice de normale deuxime indice jindice de projection Avec ces notations, iireprsente la contrainte normale pour une facette de normale iEr alors que ij(avec les indices diffrents) reprsente une composante tangentielle du vecteur contrainte pour la facette de normale iEr. D'autrepartnoussommesamensdfinirlaquatrimefacedenotrequadrilatreparles composantes( )3 2 1n n n , ,de la normalenr la facette. Si on dsigne par iSl'aire de la face de normale iEr , et parSl'aire de la surface de normalenr, on a la relation : S n Si i= L'quilibredenotredomainevafaireinterveniraussibiendesforcesdesurface(associesaux vecteurscontraintes)quedesforcesdevolumes(associesauxeffortsextrieurs).Toutefois,cesdernires faisantintervenirdeslmentsdiffrentielsd'ordresuprieur,onpeutlesngligerdevantlesforcesde surfaces si les dimensions de notre ttradre sont infinitsimales. L'quation d'quilibre est donc : + + + =3 2 13 2 10S S S SdS E M T dS E M T dS E M T dS n M T ) , ( ) , ( ) , ( ) , (r r r r r rrr r 3 3 2 2 1 10 dS E M T dS E M T dS E M T dS n M T ) , ( ) , ( ) , ( ) , (r r r r r rrr r + + + ( )dS E M T n E M T n E M T n n M T ) , ( ) , ( ) , ( ) , (3 3 2 2 1 10r r r r r rrr r + + + Or, d'aprs la dfinition du vecteur contrainte, on conoit relativement bien la relation suivante : ) , ( ) , ( n M T n M Trrrr = On obtient donc : ) , ( ) , ( ) , ( ) , (3 3 2 2 1 1E M T n E M T n E M T n n M Tr r r r r rrr+ + = Ainsi,ladonnedesvecteurscontraintesdanslestroisdirectionsdebase( )3 2 1E E Er r r, , suffitpour dterminer le vecteur contrainte dans une direction de facette quelconque. nnnnT(M,n)TTT123123MEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 38 Enutilisantlescomposantes( )3 2 1T T T , , duvecteurcontrainte) , ( n M Trrdanslabase( )3 2 1E E Er r r, , , la relation prcdente se met sous la forme suivante : + + =+ + =+ + =33 3 32 2 31 1 323 3 22 2 21 1 213 3 12 2 11 1 1 n n n Tn n n Tn n n T Soit en notation indicielle : j ij in T =Onaainsi dtermin les composantesijd'un tenseur d'ordre deuxdans la base( )3 2 1E E Er r r, , . Ce tenseur nous permet de calculer le vecteur contrainte enMdans la directionnr grce la relation : n n M Tr rr = ) , ( CetenseurestappeltenseurdescontraintesouencoretenseurdeCauchy.Ilestfonction uniquement du point d'tude. La donne du champ tensoriel dans le domaine d'tude permet de connatre l'tat de contrainte en tout pointsdenotredomaine.Bienentendu,cetterpartitiondecontrainten'estpasindpendantedes sollicitationsexercessurnotredomaine.Lesquationsd'quilibrevontnouspermettredemettreen vidence cette dpendance. Equilibre dynamique Pourcrirelesquationsd'quilibre,ilconvientd'isolerundomainematrieletdeluiappliquerle principe fondamental de la dynamique. D'un cot de l'galit nous trouvons le torseur rsultant des efforts extrieurs. Celui-ci est la somme de deux torseurs : )` DDdm t M f OMdm t M f) , () , (rr Torseur des actions extrieures (densit massique) )` DDdS n P T OMdS n P T) , () , (rrrrTorseur des actions intrieures (densit surfacique) Ledomained'intgrationdudeuximetorseurestD ,c'estlasurfacecontourdlimitantnotre domaine matrielD. C'est donc une surface ferme.De l'autre cot de l'galit nous avons la drive par rapport au temps du torseur cintique galilen de notre domaine )` DDdm R t M V OMdtddm R t M Vdtd) / , () / , (ggrr Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 39 Le calcul de cette drive est compliqu par le fait que le domaine d'intgration est fonction du temps en variable d'Euler. Toutefois en variables de Lagrange nous obtenons le torseur dynamique : )` DDdm R t M OMdm R t M) / , () / , (ggrr Le Principe Fondamental de la Mcanique nous donne alors deux galits vectorielles : + = + = D D DD D DdS n P T OM dm t M f OM dm R t M OMdS n P T dm t M f dm R t M) , ( ) , ( ) / , () , ( ) , ( ) / , (rr rrrr rrgg Prsent sous cette forme, le Principe Fondamental de la Mcanique apparat bien comme une loi de bilan. Ainsi, dans cette galit nous trouvons avec deux torseurs ayantD comme domaine d'intgration et le torseur des efforts intrieurs avec D comme domaine d'intgration. En utilisant le thorme de la divergence, il est possible de redfinirD comme domaine d'intgration du torseur des efforts intrieurs.dv div dS n dS n P TD D D = =r rr) , ( L'quation de rsultante devient alors : dm t M f dv div dm R t MD D D + =) , ( ) / , (rr g On peut en dduire la relation suivante : ) , ( ) / , ( t M f div R t Mrr + =g Avecmasse volumique du domaine matriel au point considr. Cettequationfondamentaleestlatraductionlocaleduprincipefondamentaldelamcanique.Elle montre bien les liens entre l'tat de contrainte en un point et les sollicitations extrieures. Ilestpossibled'avoirunedmonstrationplus"physique"decettequationenisolantun paralllpipde rectangle construit avec des arrtes communes avec les axes de base. Ce domaine infinitsimal a pour longueur d'arte 3 2 1dx dx dx , , .Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 40 Nousnoustrouvonsenprsencedesforces suivantes : *force de volume applique au centre de gravit de notre domaine : 3 2 1dx dx dx fr *forced'inertie(enmouvementrelatif)applique au centre de gravit du domaine : 3 2 1 gdx dx dx R t M ) / , ( r *forces de surface dues aux vecteurs contraintes. Pour une facette de normale iEr et de surface k jdx dx , la force associe est du type l k j ilE dx dxr Toutefois,pourcettedernirereprsentation,ilconvientdebienfaireattentionauxpoints d'application de ces forces, la valeur des contraintes iltant fonction des coordonnes de ces points. La situation peut tre rsume sous forme d'un tableau : Points M1 M2 M3 M4 M5 M6 Coordonne ++223 32 21//dx xdx xx +++223 32 21 1//dx xdx xdx x ++223 321 1//dx xxdx x +++223 32 21 1//dx xdx xdx x ++32 21 122xdx xdx x// +++3 32 21 122dx xdx xdx x// NormalerE1+ rE1rE2+ rE2rE3+ rE3 Aire dx dx2 3dx dx2 3dxdx3 1dxdx3 1dxdx1 2dxdx1 2 Premire composante du vecteur contrainte 11 1 2 31122113322( , , ) x x xxdxxdx 1111111122113322+++xdxxdxxdx 21 1 2 32111213322( , , ) x x xxdxxdx2121222133211122+++xdxxdxxdx 31 1 2 33111312222( , , ) x x xxdxxdx 3131333111312222+++xdxxdxxdx A l'criture des quations d'quilibres, nous pouvons constater de nombreuses simplifications. Ainsi il nous reste les trois quations scalaires suivantes : ( )( )( )= + + + = + + + = + + + 0003332231133 33322221122 23312211111 1x x xfx x xfx x xf MM64M5EEE 123 333231232221131211Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 41 Nous obtenons donc sous forme indicielle l'quation locale d'quilibre : ) , ( ) / , ( t M f div R t Mrr + =g L'avantagedelaprsentationprcdenteestqu'ellepermetuneutilisationrapidedel'quationdu moment dynamique. On peut tout d'abord remarquer que les forces de volume et les forces d'inertie induisent desmomentsd'ordre4,ngligeablesvisvisdesmomentsassocisauxforcesdesurfacequieuxsont d'ordre 3. Danslecalculdumomentdesforcesdesurface,seuleslescomposantestangentielles(cissions) donnent ces moments d'ordre 3. Une simple quation conduit alors la relation suivante : ji ij = Cettequation,appele"quationderciprocitdescissions",entranelasymtriedutenseurdes contraintes.Ainsi,commeletenseurdesdformations ,letenseurdescontraintes neseradtermin quepar6termes.Ilsuffiradesedonnertroiscontraintesnormalessurladiagonaleettroiscontraintes tangentielles hors diagonale. Proprits du tenseur des contraintes Changement de base Larelationn n M Tr rr = ) , ( montrequelevecteurcontraintedpendlinairementdeladirectionde normalelafacette.Letenseurdescontraintesestdoncuneapplicationlinairequifaitpasserdenr ) , ( n M Trr. Sionchoisitunebaseorthonorme) , , (3 2 1E E Er r r,cetteapplicationlinaireestreprsenteparune matricedontleslmentssont ij .Dansunenouvellebaseorthonorme) ' , ' , ' (3 2 1E E Er r rlesnouvelles composantes du tenseur des contraintes'ijseront dduites des anciennes l'aide de la formule suivante : kl jl ik ijQ Q = 'Dans cette formule, les termes ijQreprsentent la matrice de passage : j ij iE Q Er r= ' avecik jk ji kj ijQ Q Q Q = = Contraintes principales Letenseurdescontraintestantsymtriquecoefficientsrels,ilestdiagonalisableetsesvaleurs propres sont relles.Ilexistedonctroiscontraintesprincipales(valeurspropres)associestroisdirectionsprincipales (vecteurs propres). Nous avons ainsi des relations du type : I I I IE E E M Tr r r r = = ) , ( Danslabasedesvecteurspropres) , , (III II IE E Er r r,lamatricereprsentantl'tatdescontraintesest diagonaleEcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 42 |||.|

\|=IIIIII0 00 00 0 Ainsi, dans cette base, les contraintes tangentielles sont nulles. Gnralement, on dcompose le tenseur des contraintes en une somme d'un tenseur sphrique Set d'untenseurdviatorique D .Letenseurdviatorique D estuntenseurayantunetracenulle.La dcomposition est alors unique. On a les relations : ( )( ) ( )I30||.|

\|===+ = trtr trtrSSDD S Latracedutenseurdescontraintesestuninvariant.Apartirdecettenotion,onpeutdfinirla pression hydrostatique : ( )( ) ( )III II Itrp + + = + + = =3131333 22 11 Letenseurdviateur D estsymtriqueetiladmetlesmmesdirectionsprincipalesqueletenseur descontraintes.Onditquelapressionpreprsentelapartiesphriquedutenseurdescontraintesetquele tenseur Dreprsente la partie "cisaillement". Invariants Commepourletenseurdesdformations,l'annulationdupolynmecaractristiquemontrequ'il existe des invariants scalaires. Ceux ci sont dfinis par : ( ) ( )( ) ( )( )=|.|

\||.|

\| == = det32 22121Itr tr Itr tr IS soit sous forme indicielle : ( )( )= =+ + = =+ + = =III II I ijI III III II II I ij ij jj iiIII II I iiIII det32121 Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 43 Les invariants du tenseur dviateur sont : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )= = + + = + + = |.|

\||.|

\| == =III II I 32 2 2I III III II II I2 221S S S61S S S S S S210DI III III II II I D DDItr tr Jtr J det Cercle de Mohr Ltat de contrainte est donc reprsent par un tenseur. Ainsi que nous lavons dj vu il est possible dobtenir une reprsentation graphique plane par cercle de Mohr. Dans le plan de cette reprsentation, on trace le lieu de lextrmit du vecteur contrainte, en fonction delorientationdelanormalelafacettechoisieaupointconsidr.Silanormaleappartientunplan principal, ce lieu est lun des trois cercles de Mohr associs aux plans principaux. Si la normale appartient deux plans principaux, cest dire si la normale est confondue avec une direction, alors le vecteur contrainte est situ sur laxe de la normale, lextrmit du vecteur tant alors confondu avec le point commun aux deux cerclesdeMohr.Enfinsilanormaleestquelconquedanslespacedesvecteurspropres,lextrmitdu vecteur contrainte se trouve lintrieur du tricercle. Lavantage de cette reprsentation graphique rside dans la facilit de visualisation des composantes normalesettangentiellesdunvecteurcontrainte.Onvrifieaismentquelaplusgrandecontrainte principaleestenfaitlavaleurmaximaledela contraintenormaleenunpointalorslavaleur minimaleestdonneparlapluspetitecontrainte principale.Pourcequiestdelacontrainte tangentielle, la plus grande valeur est donne par la demidiffrenceentrelaplusgrandecontrainte principaleetlapluspetitecontrainteprincipale. Elleestobtenuepourladirectiondenormalequi correspondlabissectriceduplanprincipal associlacontrainteprincipalemaximaleetla contrainte principale minimale. Si on se donne la convention dordonner les contraintes principales selon une dcroissance, on a : III II I ( ) ( ) ( )2minIII IMAX n III n I MAX n = = =Application Considronsunepoutredroitedesectioncirculairesolliciteenflexionpurecombineavecdela torsion.Ondsignepar xErlaxedelapoutre(lignedescentresdegravit)etpar zErlaxedumomentde flexion.Ilestalorspossiblededmontrerque,danslecadredeshypothsesdelathoriedespoutres,les tenseurs contraintes associs ces deux sollicitations sont dans la base cylindro polaire : Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 44 Pour la flexion : ( )E E Er xr r r, , 0 0 00 0 00 0((((

= avec yIMfGzz= Pour la torsion : ( )E E Er xr r r, , 0 00 0 00 0((((

= avec rIMtG= Ltat de contrainte rsultant est donc : ( ) E E Er xr r r, , 0 00 0 00((((

= A partir de ce tenseur, il est simple de reprsenter le tricercle de Mohr. En effet, on constate aisment quelevecteur rErreprsenteunedirectionprincipale,lacontrainteprincipaleassocietantnulle.Leplan ( )E Exr r,est donc un plan principal de contraintes auquel il est possible dassocier un cercle de Mohr. Pour la construction de ce cercle, il suffit de reprsenter quelques points appartenant ce cercle, cest dire de dfinir lextrmit de vecteur contrainte pour quelques directions de normales appartenant au plan principal. On peut alors choisir de reprsenter les vecteurs contraintes associs aux directions xEr et Er. On a : ( )( )xx xE E M TE E E M Tr rr r r =+ =;; LaconstructionducercledeMohrestalorspossibleetellemontrequelesvaleursdescontraintes principales sont : + ==+ + =2 22 2421204212 IIIIII Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 45 Lois de Comportement des milieux continus Bilan des Equations Nousvenonsdedcrireunproblmedemcaniquesousdeuxanglesdiffrents.Duncot,une description cinmatique nous a permis dintroduire les quantits tensorielles de dformation, de lautre cot, par une description dynamique, nous avons obtenu les quantits tensorielles de contrainte.Toutefois,lexpriencemontrequilestimpossiblededissocierlesdeuxapprochesetquilyaune dpendancetroiteentrecesdeuxdescriptions.Ilexisteunedualitentrelesnotionsdedplacement dformationetlesnotionsdeforcecontrainte.Atelpointquilestsouventimpossiblededistinguerla cause de leffet. Prenonsparexemplelecasdunepoutreconsole encastreuneextrmitetlibresonautreextrmit. Plusieurscasdesollicitationpeuventapparatrent.Onpeut envisagerqusonextrmitlibreonimposeuneforceF dintensitconnue(pilotageenforce).Onobtientalorsune dformation gnrale de la poutre qui se traduit aussi par une flche mesurable lextrmit libre. A linverse, on peut, par unsystmemcaniqueimposerlaflcheflextrmitlibre (pilotageendplacement).Cettedformationnepourratre obtenu que si le systme mcanique exerce une certaine force surlapoutre.Cesdeuxexemplesmontrentbienquecequiestlacause(resp.leffet)dansuncaspeut devenir leffet (resp. la cause) dans lautre cas. Il est mme possible de compliquer un peu ltude prcdente en imaginant quil existe un appui lastique lextrmit libre de la poutre. On tablit ainsi une relation entre la force et le dplacement, relation donne par la fonction de rponse de lappui lastique. Dansunetudedemcaniqueilestncessairededfinirtouteslesvariables.Ilconvientdoncden faire le dnombrement et de rechercher toutes les quations notre disposition pour mener bien cette tude. Lesvariablespeuventseclasserdanslesdeuxcatgoriescinmatiqueetdynamique.Pourlaspect cinmatique on peut, dans lhypothse des petites perturbations dire que les variables dtude sont le champ vectorieldedplacementetlechamptensorieldedformation.Ducotdelaspectdynamique,lesseules variables dtudes sont les composantes du champ tensoriel de contrainte. Le dnombrement des inconnues dune tude de mcanique est alors le suivant : Masse1 scalaire1 fonction scalaire Champ de dplacement 1 vecteur3 fonctions scalaires Champ de dformation 1 tenseur symtrique6 fonctions scalaires Champ de contrainte1 tenseur symtrique6 fonctions scalaires Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 46 Pourcequiconcernelesquations,nousavonsnotredispositiondunepartlesrelations dplacementdformationissuedeltudecinmatique,dautrepartlesquationsdquilibreissuesde ltude dynamique. Le dnombrement des quations disponibles est alors le suivant : Equation de continuit1 relation Relations dplacement dformation6 relations Equations dquilibre (quation de rsultante)3 relations Ilestnoterquedanscednombrementdquations,ilnestpasfaittatdelquationdumoment dynamique, cette dernire tant directement utilise pour obtenir un tenseur des contraintes symtrique. Lebilaninconnuesquationsmontrebrutalementquil existe un dficit de 6 relations pour traiter un problme de mcanique. Ce dficit sera combl par les relations issues de lexprience, relations que lon appellera Lois de comportement. Pour tre correctes, les nouvelles quations doivent respecter certaines conditions et en particuliers ne pasallerlencontredesprincipesfondamentauxdelaphysique(mcaniqueetthermodynamique).Il convientdoncdansunpremiertempsdeformulerclairementcesprincipesenfonctiondenosinconnues dtude.Cesprincipesfaisantapparatreessentiellementdesquantitsnergtiques,ilnousfautles expressions des grandeurs utilises. Thorme de lnergie cintique Ce thorme est une consquence directe du principe fondamental de la mcanique. Lquation locale nous donne : ( ) f divdtV drrr + = = On peut alors faire le produit scalaire avec le vecteur vitesse : ( )( ) V f V divVdtdV f V div VdtV dr r rrr r r rr. .. . . + =||.|

\|+ =22 Dautre part nous avons la relation suivante : ( ) ( ) ( ) V grad V div V divr r r + = . Danscetteexpression,lederniertermereprsenteleproduitdoublementcontractentreletenseur contrainteetletenseurgradientduchampdesvitesses.Sousformedveloppe,onpeut,dansunebase cartsienne, crire : ( ) ( )ijij j ijij ijixVVxVx += Ecole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY 01/09/2008Mcanique des Milieux ContinusPage 47 Considrons de manire spare le dernier terme. On a : jijiijijxVxV= jiijijijxVxV= D = =||.|

\|+= ij ijijjiijijijDxVxVxV21 Donc,grcelasymtriedutenseurdecontrainte,cetermeapparatcommeleproduit doublement contract entre le tenseur contrainte et le tenseur taux de dformation. On a donc : ( ) V f V divVdtdr r rr. + =||.|

\|D22 Soit pour un domaine matriel : ( ) + =||.|

\|D D D Ddv dv V f dv V div dvVdtdD r r rr.22 Danscetteexpression,lepremiermembrereprsenteladriveparrapportautempsdelnergie cintique du domaine que lon suit dans son mouvement. En effet, en utilisant la drive particulaire dune int