2 structures mmc

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  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    1/89

    1MK03 : Calcul des structures

    Utiliser le bon outil pour dimensionner une structure

    MK03 : Calcul des structuresMK03 : Calcul des structures

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    2/89

    2MK03 : Calcul des structures

    1 - Approche nergtique du comportement des structuresnergie de dformation dans les modles poutre.Thorme de Castigliano.Thorme de Mnabra (Rsolution de problmes hyperstatiques)

    Thorme de Muller Breslau (charge fictive)

    2 - Introduction la Mcanique des Milieux Continus (MMC)Contrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Dformation (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de MohrDensit dnergie de dformation.

    quation dquilibreCritre de dimensionnement des structures.

    Objectifs du coursObjectifs du cours

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    3/89

    3MK03 : Calcul des structures

    BibliographieBibliographie

    Bac +2 Bac +5

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    4/89 4MK03 : Calcul des structures

    ModalitModalit du coursdu cours

    Cours : 15,5 h

    TD : 4,5 h

    valuation : Exam crit 2 h

    Critres dvaluations :

    Modlisation des problmes 35 % Choix de la mthode de rsolution 15 % Rsolution 15 %Analyse critique des rsultats 35 %

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    5/89 5MK03 : Calcul des structures

    Chapitre 1 : ApprocheChapitre 1 : Approche nergnergtique dans les modtique dans les modles poutreles poutre

    But : Dcouvrir lapproche nergtique dans le calcul des poutres

    Contexte : Structure pouvant se dcomposer en lment poutre afin de

    raliser un dimensionnement simple et rapide papier crayon .

    Avantages :

    Calcul de flche sur des structures complexesSimplification des calculs

    viter les erreurs de signe

    Dterminations de inconnues hyperstatiques

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    6/89 6MK03 : Calcul des structures

    1 Rappel des hypothses de la thorie des poutresQuest quune poutre ?Torseurs : Vitesses / Dplacements / de Cohsionquation dquilibre

    2 Les sol lici tations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsion

    Flexion

    3 nergie de dformationExemple dune poutre en traction compression

    Dfinition de lnergie de dformationsThorme de CastiglianoThorme de Mnabra (problmes hyperstatiques)Thorme de Muller-Breslau (de la charge fictive)

    Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    7/89 7MK03 : Calcul des structures

    QuQuest ce quest ce quune poutre ?une poutre ?

    Langage commun :Poutre : Quelque chose dallong.

    Langage mathmatique :

    Poutre : Objet dont les dimensions respectent : largeur = o(longueur)hauteur = o(longueur)

    Langage Mcanicien :

    Toute structure dont la modlisation en modlepoutre permettra de rpondre au cahier des charges.

    Arbre de transmission Chssis mcano-soud Dent dengrenage

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    8/89 8MK03 : Calcul des structures

    HypothHypothses gses gomomtriquestriques

    Fibre neutre :Courbe comprenant lensembledes centres de gravit dessections droites

    Section droite (s) :

    Surface perpendiculaire la fibre neutre

    Centre de gravit G(s) :

    Associ chaque section droite

    Orientation de la fibre neutreParamtre par labscisse curviligne s

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    9/899MK03 : Calcul des structures

    DDfinitions du repfinitions du repre localre local

    )(sxr Premier vecteur unitaire : tangent la fibre neutre

    perpendiculaire la section droite

    )(sy

    r

    )(szr

    Second et troisime vecteurs unitaires : inclus la section droite

    tridre orthonorm direct respectant les ventuellesgomtries particuliresde la section droite

    Attention : Le repAttention : Le repre R(s) =(G,x,y,z) est local.re R(s) =(G,x,y,z) est local.

    CCestest----dire qudire qu il dil dpend de s !!!pend de s !!!

    )(sx

    r

    )(syr

    )(szr)(sG

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    10/8910MK03 : Calcul des structures

    HypothHypothses complses complmentairesmentaires

    1 Petites dformationsOn effectue les calculs sur la structure non dforme. Ilfaut donc que les dformations soient petites au regarddes dimensions de la poutre. De plus, on considre queles dformations ne modifient pas la position des efforts.

    3 Hypothse de Saint-Venant :Les rsultats obtenus ne sont valables qu' unedistance suffisamment grande des points d'application

    des chargements et des conditions aux limites.

    2 Section discontinueLes changements brusque de section ne sont pas pris en

    compte. Les rsultats dans ces zones sont fortementdiscutables. On introduit alors des facteurs correctifs deconcentration de contraintes (entre autres ).

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    11/8911MK03 : Calcul des structures

    Torseur cinTorseur cinmatiquematique

    On suppose que localement chaquesection droite S se comporte comme unsolide se dplaant par rapport unrepre de rfrence O.

    On peut alors dfinir un torseurcinmatique analogue celui utilis enmcanique des solides.

    { })(0/

    0/0/ )(

    )(

    sGG sV

    sV

    =

    rr

    0)(0/ sr

    )(0/ sVG r

    Vecteur rotation de S par rapport 0

    Vecteur vitesse du point G appartenant S par rapport 0

    )(0/ sr

    )(0/ sVG r

    )(sxr

    )(syr

    )(szr

    )(sG

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    12/89

    12MK03 : Calcul des structures

    Torseur des petits dTorseur des petits dplacementsplacements

    On intgre par rapport au temps le torseurcinmatique entre la position initiale et laposition dforme.

    On peut alors dfinir le torseur desdplacements.

    { })(0/

    0/0/ )(

    )(

    sGG sU

    s

    U

    =

    r

    r

    Vecteur dorientation de la section

    Vecteur de dplacement du point G

    )(0/ sr

    )(0/ sUG r

    0

    )(sxr

    )(syr

    )(szr

    )(sG

    )(0/ sr

    )(0/ sUG

    r

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    13/89

    13MK03 : Calcul des structures

    Torseur des petits dTorseur des petits dplacementsplacements

    Attention les dAttention les dplacements peuvent se mettre sous la forme dplacements peuvent se mettre sous la forme dunun

    torseur uniquement avec ltorseur uniquement avec l hypothhypothse des petits dse des petits dplacementsplacements

    )(sUr

    Position initiale

    Position dforme

    )(sxr

    )(syr

    )(sz

    r

    x

    y

    z

    zyx zyxrrrr

    ++=

    T d h i

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    14/89

    14MK03 : Calcul des structures

    Torseur de cohTorseur de cohsionsion

    Soit une poutre P en quilibre sous l'action defforts extrieurs {Aext->p}.

    On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section droite S labscisse s0.

    On peut isoler 2 demies poutres :

    P- suivant les abscisses infrieures s0. ( gauche)P+ suivant les abscisses infrieures s0. ( droite)

    { }PextA

    { }+PextAP-

    P+

    On dfinit alors le torseur de cohsion comme :

    { } { } { }+ == PextPextc AAT

    T d hT d h ii

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    15/89

    15MK03 : Calcul des structures

    Torseur de cohTorseur de cohsionsion

    En exprimant le torseur au point G dans le repre(G,x,y,z) on dfinit les diffrents types de sollicitations : { }

    )(sGfz

    fy

    t

    z

    yc

    M

    M

    M

    T

    T

    N

    T

    xNr

    xMtr

    zMfzr

    yMfyr

    yTyr

    zTzr

    G

    +PextAr

    G

    PextM +

    r

    Effort normal

    Effort tranchant

    xNr

    zMyM fzfyrr

    +zTyT zyrr

    +

    Moment de torsion

    Moment de flexion

    xMtr

    ti dti d ilibilib

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    16/89

    16MK03 : Calcul des structures

    quation dquation dquilibrequilibre

    ds

    On isole un tronon de poutre de largeur ds en dynamique.

    Bilan des actions mcaniques :

    - Torseur de cohsion en s

    Torseur de cohsion en s+ds Glisseur des actions extrieures rparties (ds trop petite pour exercer un moment)

    { } )(sTc

    { } )( dssTc +

    { } )(0

    )( sdsfsA rr

    = r

    r

    xr

    ti dquation d ilib d lquilibre de la r lt tsultante

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    17/89

    17MK03 : Calcul des structures

    quation dquation dquilibre de la rquilibre de la rsultantesultante

    Thorme de la rsultante dynamique :

    En supposant que le rfrentiel est Galilen

    On applique le Principe Fondamental de la Dynamique au tronon :

    { } { } { } { } )()()()( sDsAsTdssT rcc =++

    dssSdssfsRdssR RgSGr /)()()()( =++ rrrr

    RgSGr Sfds

    Rd/=+

    rrr

    quation dquation dquilibre du momentquil ibre du moment

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    18/89

    18MK03 : Calcul des structures

    quation dquation dquilibre du momentquil ibre du moment

    Thorme du moment dynamique exprim au point G(s)

    dsdMsGsMdssRdssGsGdssM RgSMM

    =++++

    /)()()()()()( r

    rrr

    =+

    dGMRxdsMd

    RgSM

    SM

    / rrr

    r

    Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    19/89

    19MK03 : Calcul des structures

    1 Rappel des hypothses de la thorie des poutresQuest quune poutre ?Torseurs : Vitesses / Dplacements / de Cohsionquation dquilibre

    2 Les sol lici tations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsion

    Flexion

    3 nergie de dformationExemple dune poutre en traction compression

    Dfinition de lnergie de dformationsThorme de CastiglianoThorme de Mnabra (problmes hyperstatiques)Thorme de Muller-Breslau (de la charge fictive)

    Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1

    Exemple de structures sollicitExemple de structures sollicites en traction/compressiones en traction/compression

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    20/89

    20MK03 : Calcul des structures

    Exemple de structures sollicitExemple de structures sollicites en traction/compressiones en traction/compression

    Les bielles

    Les liens souples (courroie, cble)

    Pylnes en bton

    ModModle dle dune poutre en traction / compressionune poutre en traction / compression

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    21/89

    21MK03 : Calcul des structures

    ModModle dle d une poutre en traction / compressionune poutre en traction / compression

    { }iG

    RA

    =0

    11 r

    r

    { }fG

    RA

    =0

    22 r

    r

    Dans une poutre sollicite en traction / compression :

    la fibre neutre est ncessairement rectiligne

    les sollicitations sont ncessairement colinaires

    la section peut ventuellement varier

    Dfinit ion :

    Une poutre est soumise une sollicitation de traction / compressionsi et seulement si le torseur de cohsion scrit :

    { })(

    0xG

    c

    xNT

    r

    r

    { }G

    r

    r

    xfA

    =0r

    r

    xr

    )(xS

    xs=

    Traction ou compression ?Traction ou compression ?

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    22/89

    22MK03 : Calcul des structures

    Traction ou compression ?Traction ou compression ?

    Si N > 0 on parle de la sollicitation de traction

    2Rr

    1Rr

    xNr

    Si N < 0 on parle de la sollicitation de compression

    2Rr

    1Rr

    xNr

    Expression des contraintes de traction compressionExpression des contraintes de traction compression

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    23/89

    23MK03 : Calcul des structures

    Expression des contraintes de traction compressionExpression des contraintes de traction compression

    On sintresse ici la rpartition des contraintes sur une section droite (actions

    surfaciques lmentaires agissant sur une petite surface dS)

    Hypothse :les contraintes sont uniformessur la section droite

    xr

    ),( xMr

    xxN r)(

    )()()(),()()(

    sSxdSxdSxMxNsSMsSM

    rrrr

    ===

    x

    xS

    xNx

    rr

    )(

    )()( = Les contraintes sont colinaires x

    r

    )(xGM

    Expression des dExpression des dformations de traction compressionformations de traction compression

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    24/89

    24MK03 : Calcul des structures

    Expression des dExpression des dformations de traction compressionformations de traction compression

    On sintresse ici Lallongement relatif dun tronon de poutre de longueur ds.

    xr

    )(xur

    )()()(

    )( x

    dx

    ud

    dx

    xudxxux

    rrrr

    =+

    =Lallongement relatif :

    dx

    xr

    )( dxxu +r

    )(xG )( dxxG + )(xG )( dxxG +

    Loi de comportementLoi de comportement

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    25/89

    25MK03 : Calcul des structures

    Loi de comportementLoi de comportement

    On rajoute des hypothses ici sur le matriau utilis (ELHI) : lastique Linaire Homogne Isotrope E est le module dYoung ou module

    dlasticit homogne une pression

    x

    xS

    xNx

    rr

    )(

    )()( =

    )()( xdx

    udx

    rr

    = )()(

    )(x

    dx

    ud

    xES

    xN r

    =

    Loi de comportement

    )()( xEx rr=Loi de Hooke

    Dformation

    Contrainte

    AAppppll iiccaatt iioonnss

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    26/89

    Ascenseur cble Tour de Babel

    MK03 : Calcul des struc tures 26

    Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicite en cisaillement pure en cisaillement pur

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    27/89

    27MK03 : Calcul des structures

    Exemple de structure sollicitp e en cisaillement purp

    Cisaillage de barre

    Les rivets

    Les clavettes

    ModModle du cisaillement purle du cisaillement pur

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    28/89

    28MK03 : Calcul des structures

    pp

    { }1

    110

    G

    RA

    = r

    r

    { }2

    22

    0G

    RA

    = r

    r

    Cette poutre soumise est ncessairement soumise 2 glisseurs perpendiculaires la fibre neutre

    Le cisaillement pur nexiste pas car ilny a pas quilibre de la structure.

    G1G2

    On modlise le cisaillement purcomme la limite G2 G1

    Dfinition :

    Une poutre est soumise une sollicitation de cisaillementsi et seulement si le torseur de cohsion scrit :

    { })(

    0sG

    c

    zTzyTyT

    + r

    rr

    Expression des contraintes de CisaillementExpression des contraintes de Cisaillement

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    29/89

    29MK03 : Calcul des structures

    pp

    On sintresse ici la rpartition des contraintes sur une section droite (actions

    surfaciques lmentaires agissant sur une petite surface dS)

    Hypothse :les contraintes sont uniformessur la section droite

    G x

    r

    M

    )(MrT

    r

    SdSdSMTSMSM

    rrrr

    === )(

    S

    Tr

    rr== Les contraintes sont colinaires et ne dpendent que de ST

    r

    Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicite en torsione en torsion

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    30/89

    30MK03 : Calcul des structures

    pp

    Les arbres de transmission

    Les ressorts

    ModModle dle dune poutre en torsionune poutre en torsion

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    31/89

    31MK03 : Calcul des structures

    { }

    =

    1

    10

    MA r

    r

    { }

    =2

    2 0M

    A r

    r

    Nous ntudierons que les poutres rectilignes cylindriques dervolution (ventuellement creuses) soumises 2 torseurs couples.

    Dfinition :

    Une poutre est soumise une sollicitation de torsionsi et seulement si le torseur de cohsion scrit :

    { })(

    0

    xGt

    cxM

    T

    r

    r

    xr

    En appliquant le TMS : xMxMMtrrrr

    .. 12 ==Le moment de torsion est constantsur toute la longueur de la poutre.

    Expression des contraintes de torsionExpression des contraintes de torsion

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    32/89

    32MK03 : Calcul des structures

    On sintresse ici la rpartition des contraintes sur une section droite (actionssurfaciques lmentaires agissant sur une petite surface dS)

    xr

    )(Mr

    = SMt dSMGMxM )(

    rr

    xMtr

    G

    Il manque une hypothse pour trouver lexpression des contraintes

    On intgre les moments des contraintesafin de calculer le moment de torsion

    Angle de rotation dAngle de rotation dune poutre circulaire en torsionune poutre circulaire en torsion

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    33/89

    33MK03 : Calcul des structures

    Si on trace une ligne sur la poutre, aprs dformation cette ligne senroule

    autour delle. Langle final mesur est appel angle de torsion t.

    L

    La rotation semble uniforme tout au long de la poutre.On peut donc dfinir un angle unitaire u de rotation (deg.m-1 ou rad.m-1) L

    tu

    =

    t

    DDformation dformation dune poutre circulaire en torsionune poutre circulaire en torsion

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    34/89

    34MK03 : Calcul des structures

    On considre la dformation dun petit lment de matire. (dx,dr,r d)

    d

    dxr u

    On exprime alors langle de

    distorsion de llment

    uu rdx

    dxrr

    ==)(

    dxdx

    dr

    r

    Loi de comportementLoi de comportement

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    35/89

    35MK03 : Calcul des structures

    Expression de la contrainte decisaillement grce la loi de Hooke :

    ururr urrr

    == )()(

    Module de Coulomb :

    ( )

    +==

    12

    EG

    Coefficient de Poisson :

    Expression du moment de torsion en fonction de langle de torsion

    00 IL

    IM tut

    ==

    =SM

    dSrI 20

    On dfinit linertie de surface Loi de comportement

    ===SM

    u

    SM

    ur

    SM

    t dSrxdSururdSMGMxM2)(

    rrrrr

    Calcul de la contrainte maxCalcul de la contrainte max

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    36/89

    36MK03 : Calcul des structures

    urr urr

    =)(0IM ut =

    0IMtu =

    Contrainte de cisaillement

    uI

    rMr t

    rr

    0

    )( =

    La contrainte de cisaillement varie demanire linaire par rapport au rayon

    Loi de comportement de la poutre

    On trouve alors la contrainte max en r = R

    0max

    I

    RMt=r

    zr

    yr

    Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicite en flexion simplee en flexion simple

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    37/89

    37MK03 : Calcul des structures

    Aile davion

    plongeoir

    Chssis de vhicule

    ModModle dle dune poutre en flexion pureune poutre en flexion pure

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    38/89

    38MK03 : Calcul des structures

    On se limitera au poutre rectiligne soumise 2torseurs couple perpendiculaires la fibre neutre

    { }

    =1

    1

    0

    MA r

    r

    { }

    =2

    2

    0

    MA r

    r

    Dfinition :

    Une poutre est soumise une sollicitation de flexion puresi et seulement si le torseur de cohsion scrit :

    { })(

    0

    xGfzfy

    czMyM

    T

    +

    rr

    r

    En pratique on ne trouve trs rarement de la flexion pure

    { }

    = extext

    MA r

    r

    0

    ModModle dle dune poutre en flexion simpleune poutre en flexion simple

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    39/89

    39MK03 : Calcul des structures

    On se limitera au poutre rectiligne de section ventuellement variable.

    { }

    =1

    11

    M

    TA r

    r

    { }

    =2

    2M

    TA r

    r

    Dfinition :

    Une poutre est soumise une sollicitation de flexion puresi et seulement si le torseur de cohsion scrit :

    { })(xGfzfy

    zy

    c zMyMzTyTT

    ++ rr

    rr

    En pratique on ne trouve trs souvent de la flexion simple

    { }

    =

    ext

    extext

    MTA r

    r

    HypothHypothse de Bernoull ise de Bernoulli

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    40/89

    40MK03 : Calcul des structures

    Les sections droites restent planes et perpendiculaires la fibre neutre aprs la dformation.

    ConsConsquences de lquences de l hypothhypothse de Bernoull ise de Bernoulli

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    41/89

    41MK03 : Calcul des structures

    xr

    yr

    zr

    dx

    )(xUz)( dxxUz + )(sy

    dx

    )(xUy)( dxxUy + )(xz

    dx

    yr

    xr

    zr

    xr

    )()tan()( xdx

    dux

    y

    zz =

    )()tan()( x

    dx

    dux zyy =

    DDformations des poutres en flexionformations des poutres en flexion

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    42/89

    42MK03 : Calcul des structures

    dx

    yr

    x

    r

    xr

    yr

    zr

    zr

    xr

    xx

    dx

    dzx

    dx

    dyzyx

    yz rr

    += )()(),,(

    dx

    moyyy dxx + )(

    ))()(( xdxxz yy +

    moy

    yy x )(

    dx

    Avant dformation

    2

    )()( xdxx zzmoyz

    +=

    2

    )()( xdxx yymoyy

    +=

    ))()(( xdxxy zz +

    moy

    zz x )(moy

    zz dxx + )(

    Loi de HookeLoi de Hooke

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    43/89

    43MK03 : Calcul des structures

    Application de la loi de Hooke :

    xxdx

    udEzx

    dx

    udEyzyxEzyx z

    y rrr

    +== )()(),,(),,(

    2

    2

    2

    2

    xxdx

    udzxdx

    udyzyx zy rr

    = )()(),,( 2

    2

    2

    2

    Rpartition linaire desdformations dans la section :

    )()tan()( xdx

    dux

    y

    zz =

    )()tan()( xdx

    du

    x z

    yy =

    Bernoulli : Relation de dformation

    xxdx

    dzx

    dx

    dyzyx

    yz rr

    += )()(),,(

    Rpartition linaire descontraintes dans la section :

    Contraintes de flexion et moment flContraintes de flexion et moment flchissantchissant

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    44/89

    44MK03 : Calcul des structures

    xr

    yr

    zr G

    M

    dSxxdx

    udEzGMxM

    xSM

    zfy

    rr

    )()(

    )(

    2

    2

    =

    ydSzxdx

    udEdSxx

    dx

    udEzzz

    xSM

    z

    xSM

    z rrr

    ==

    )(

    22

    2

    )(2

    2

    )()(

    dSxxdx

    udEyGMxM

    xSM

    y

    fz

    rr)()(

    )(2

    2

    =

    zdSyx

    dx

    udEdSxx

    dx

    udEyyy

    xSM

    y

    xSM

    y rrr

    ==

    )(2

    2

    2

    )( 2

    2

    )()(

    zdx

    udEIy

    dx

    udEIM

    y

    zz

    yf

    rrr

    2

    2

    2

    2

    +=dSyxI

    xSM

    z

    =)(

    2)(

    dSzxIxSM

    y

    =)(

    2)(

    Hypothse de symtrie de la section

    Calcul de la contrainte maxCalcul de la contrainte max

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    45/89

    45MK03 : Calcul des structures

    z

    fzy

    EI

    M

    dx

    ud=

    2

    2

    y

    fyz

    EIM

    dxud =2

    2

    Expression de la contrainte normale

    xxdx

    udzx

    dx

    udyEzyx z

    y rr

    += )()(),,(

    2

    2

    2

    2

    Loi de comportement de la poutre

    xxI

    Mzx

    I

    Myzyx

    y

    fy

    z

    fz rr

    += )()(),,(

    xr

    yr

    zr

    xr

    yr

    zr

    Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    46/89

    46MK03 : Calcul des structures

    1 Rappel des hypothses de la thorie des poutresQuest quune poutre ?Torseurs : Vitesses / Dplacements / de Cohsionquation dquilibre

    2 Les sollici tations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsion

    Flexion

    3 nergie de dformationExemple dune poutre en traction compression

    Dfinition de lnergie de dformationsThorme de CastiglianoThorme de Mnabra (problmes hyperstatiques)Thorme de Muller-Breslau (de la charge fictive)

    AnalogieAnalogie nergnergtiquetique

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    47/89

    47MK03 : Calcul des structures

    RrU

    r

    On tire rgulirement lextrmit dune poutre avec un effort .

    Le dplacement u peut tre considr comme quasi-statique.

    Rr

    2max

    00 2

    1maxmaxu

    L

    ESudu

    L

    ESRduW

    uu

    ext ===

    2

    2

    1R

    ES

    LWext=

    ES

    LRu =max

    On calcule le travail des efforts extrieurs

    AnalogieAnalogie nergnergtiquetique

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    48/89

    48MK03 : Calcul des structures

    R

    rU)(xVxr

    )(xNr

    ===LLL

    x dx

    ES

    xN

    dt

    ddx

    dt

    xdN

    ES

    xNdx

    dt

    xdxNP

    0

    2

    00

    int

    )(

    2

    1)()()()(

    On calcule la puissance des inters efforts

    dtPW

    t

    t

    =1

    0

    intint =L

    dxES

    xNW

    0

    2

    int

    )(

    2

    1

    On calcule le travail des inters efforts 0)0,( ==txN x

    ThThororme de lme de l nergie cinnergie cintiquetique

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    49/89

    49MK03 : Calcul des structures

    extc WWE += int

    En statique, la variation de lnergie cintique est nulle

    extWW = int

    2

    0

    2

    2

    1)(

    2

    1R

    ES

    Ldx

    ES

    xNE

    L

    d ==

    On dfinit alors lnergie potentielle lastique ounergie de dformation dune poutre en traction

    On applique le thorme de lnergie cintique

    nergie de dnergie de dformationformation

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    50/89

    50MK03 : Calcul des structures

    Soit une poutre dont le torseur de cohsion est { }

    =

    fz

    fy

    t

    z

    yc

    M

    M

    M

    T

    T

    N

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    On dfinit son nergie de dformation

    ++++=

    L

    z

    fz

    y

    fytd ds

    EI

    M

    EI

    M

    GI

    M

    GS

    T

    ES

    NE

    0

    22

    0

    222

    2

    1

    ThThororme de Castiglianome de Castigliano

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    51/89

    51MK03 : Calcul des structures

    Alberto Castigliano1847-1884

    i

    Ar

    jAr

    kAr

    kk AdArr

    +

    iAr

    jA

    r

    kAdrkd

    r

    iA

    r

    jA

    r

    dE dEd2

    kk AdArr

    +

    dd dEE +

    kr

    dd dEE +

    kkd AddErr

    =

    noncnonc du thdu thororme de Castiglianome de Castigliano

    S it t t t t i ELHI h P

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    52/89

    52MK03 : Calcul des structures

    i

    Mr

    kA

    rk

    r

    ir

    Soit une structure poutre, en matriau ELHI, charge par : Des efforts rpartis Des forces aux points Des couples ponctuels aux points

    kAr

    iMr

    Chaque point dapplication des forces se dplace de

    Chaque repre au point dapplication des couples tourne de

    kP

    iP

    kP kr

    kP

    iP

    ),,,( iiii zyxP rrr

    Cette structure emmagasine de lnergie potentielle de

    dformation qui scrit :

    ir

    ++++=

    L

    z

    fz

    y

    fytd ds

    EI

    M

    EI

    M

    GI

    M

    GS

    T

    ES

    NE

    0

    22

    0

    222

    2

    1

    k

    dkk

    A

    Eu

    =

    rr

    .k

    kk

    A

    Au r

    rr

    =

    i

    dii

    M

    Eu

    =

    rr.

    i

    ii

    M

    Mu r

    rr

    =

    Alors, ces dplacements sexpriment en fonction de lnergie de dformation

    Application directe du thApplication directe du thororme de Castiglianome de Castiglianor

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    53/89

    53MK03 : Calcul des structures

    0xr

    0

    yr

    0z

    r

    A

    Ar

    E = 200 GPa

    G = 77 GPa

    Nombre de spires : N

    Diamtre denroulement :

    Angle denroulement :

    Surface circulaire de rayon : r

    Charg par deux glisseurs :

    Calculer sa raideur en utilisantlnergie de dformation

    Un ressort spiral en acier

    O

    ParamParamtragetrager

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    54/89

    54MK03 : Calcul des structures

    0xr

    0

    yr

    0z

    r

    A

    Ar

    ru

    r

    ur

    On paramtre le systme par langle cylindrique

    O

    G

    R

    Langle denroulement est faible rad1,0=

    )tan(

    Les coordonnes du point G sont

    0

    zRuROGr

    rr+=

    2

    1 += Rs

    Labscisse curviligne scrit

    R

    R

    s

    Torseur de cohTorseur de cohsionsion

    Ar r r

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    55/89

    55MK03 : Calcul des structures

    0xr

    0

    yr

    0z

    r

    A

    Ar

    ru

    r

    ur

    O

    G

    0xr

    0y

    rur

    ur

    rusz rr=)(

    0zr

    )(sx

    r

    ur

    )(syr

    0zr

    0zRuROG rrr

    +=

    { }

    G

    G

    A

    csM

    As

    =)(

    )( r

    r

    0zAA rr

    =

    Calcul de lCalcul de l nergie de dnergie de dformationformation

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    56/89

    56MK03 : Calcul des structures

    { }))(),(),(,(

    0)sin(

    )cos(

    0)cos(

    )sin(

    )()(

    szsysxGG

    G

    A

    c AR

    AR

    A

    A

    sMAs

    rrr

    r

    r

    =

    =

    +++=

    L

    fytd ds

    IEM

    GIM

    GST

    ESNE

    0

    2

    0

    222

    21

    =

    +

    +++=

    N

    d dRIE

    RA

    GI

    RA

    GS

    A

    ES

    AE

    2

    0

    2222

    0

    2222222

    1)(sin)(cos)(cos)(sin

    2

    1

    ++

    +

    +=

    6,2

    )(sin2)(cos

    2

    )(cos

    26,2

    )(sin1 222222

    0

    232

    R

    r

    R

    r

    GI

    RNAEd

    21 += RsChangement de variable :

    Calcul de la raideurCalcul de la raideur

    RNA 32

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    57/89

    57MK03 : Calcul des structures

    GI

    RNAEd

    0

    =

    Thorme de Castigliano

    AGd

    ND

    GI

    NAR

    A

    EdA 4

    3

    0

    3 82==

    =

    Calcul de la raideurdu ressort

    ND

    GdAk

    A

    3

    4

    8==

    3max

    2

    r

    AR

    =r

    ARMt=

    Vrification de lacontrainte max

    ThThororme deme de MMnabrnabraa (structures hyperstatiques)(structures hyperstatiques)

    Soit une structure poutre en matriau ELHI :

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    58/89

    58MK03 : Calcul des structures

    Pour connatre les efforts aux conditions aux limites, on y applique le

    thorme de Castigliano :

    Soit une structure poutre, en matriau ELHI :

    Cette structure est charge par des efforts extrieurs etelle emmagasine de lnergie potentielle dedformation qui scrit :

    ++++=

    L

    z

    fz

    y

    fytd ds

    EI

    M

    EI

    M

    GI

    M

    GS

    T

    ES

    NE

    0

    22

    0

    222

    2

    1

    iAr kM

    r

    0. =

    =

    k

    dkk

    A

    Eurr

    0. =

    =

    i

    dii

    M

    Eurr

    ThThororme deme de MullerMuller--BreslauBreslau (de la charge virtuelle)(de la charge virtuelle)

    Soit une structure poutre, en matriau ELHI :pMr

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    59/89

    59MK03 : Calcul des structures

    Pour connatre les dplacements en un point P o il ny a pas deffort, on place un

    effort virtuel en ce point ou et on y applique le thorme de Castigliano :

    Soit une structure poutre, en matriau ELHI :

    Cette structure est charge par des efforts extrieurs etelle emmagasine de lnergie potentielle dedformation qui scrit :

    ++++=

    L

    z

    fz

    y

    fytd ds

    EI

    M

    EI

    M

    GI

    M

    GS

    T

    ES

    NE

    0

    22

    0

    222

    2

    1

    pA

    r

    )0(. =

    = p

    p

    dPP A

    A

    Eurr

    )0(. =

    = p

    p

    dpp M

    M

    Eurr

    p

    pM

    r

    pA

    r

    Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    60/89

    60MK03 : Calcul des structures

    But :

    Savoir interprter correctement des mesures ou des simulations en termedeffort ou de dformation.

    Appliquer des critres de rsistance des matriaux afin de garantir la tenue etla rigidit des structures complexes.

    Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    61/89

    61MK03 : Calcul des structures

    Grandeurs de la mcanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de Mohrquation dquilibre

    Dformation (scalaire, vecteur, tenseur).

    Loi de comportementlasticitLoi de Hooke gnraliseDensit dnergie de dformation.

    Critres de dimensionnement des structures.Critre de TrescaCritre de Von Misses

    Vecteur contrainteVecteur contrainte

    On se place dans une structure quelconque lintrieur de la matire au point M.

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    62/89

    62MK03 : Calcul des structures

    21n

    dS

    M

    1

    2

    On choisit une surface dS quipartage lespace en deuxparties 1 et 2.

    On dfinit la normale la

    surface de 1 vers 2 21nr

    12Adr

    La contrainte scrit alors

    dS

    AdnM 1221 ),(

    =

    rrr

    PropriPropritt du vecteur contraintedu vecteur contrainte

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    63/89

    63MK03 : Calcul des structures

    21nr

    ds

    M

    1

    2

    12Adr

    dSAdnM 1221 ),( =

    rrr

    La contrainte ne dpend pas du choix de 1 et 2.

    La contrainte dpend du point M.

    Le vecteur contrainte EST UN VECTEUR.

    La contrainte dpend de lorientation de ds.

    Le vecteur contrainte est une fonction vectorielle de lespace 6 paramtres.

    Contraintes normale et tangentielleContraintes normale et tangentielle

    )( nMrr

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    64/89

    64MK03 : Calcul des structures

    21nr

    dS

    M

    2121 )).,((),( = nnnMnMnrrrrrr

    2121 )).,((),(),( = nnnMnMnMrrrrrrrr

    On dcompose la contrainte

    en deux composantes

    ),(),(),( nMnMnM nrrrrrr

    +=

    ),( nMn

    ),( nMrr

    ),( nMrr

    Contrainte normale Contrainte de cisaillement

    TTtratradre de Cauchydre de Cauchy

    3xr

    r On cherche dterminer une expression de :

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    65/89

    65MK03 : Calcul des structures

    1xr

    n

    r

    2xr

    dS

    2Adr

    Le vecteur normal se dcomposeen 3 composantes

    332211 xnxnxnn rrrr

    ++=

    Chaque effort sexprime enfonction des coordonnes

    des contraintes :

    3131212111111 xdSxdSxdSAd

    rrrr

    =

    3Adr

    1Adr

    Adr

    3232222212122 xdSxdSxdSAd rrrr

    =

    3233222313133

    xdSxdSxdSAd rrrr

    =

    p

    dS

    AdnM

    r

    rr=),(

    Tenseur des contraintesTenseur des contraintes

    On isole le ttradre : 0321rrrrr

    =+++ AdAdAdAd

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    66/89

    66MK03 : Calcul des structures

    On isole le ttradre : 321

    dS

    dS

    dS

    dS

    dS

    dSxnM 313

    212

    1111).,( ++=

    rrr

    dS

    dS

    dS

    dS

    dS

    dSxnM 3232221212).,( ++=rrr

    dS

    dS

    dS

    dS

    dS

    dSxnM 333

    232

    1313).,( ++=

    rrr

    nnM

    M

    rrr.),(

    33

    23

    13

    32

    22

    12

    31

    21

    11

    =

    TRS

    Ltat de contrainte au point M se caractrise par un tenseur (matrice)

    SymSymtrie du tenseur des contraintestrie du tenseur des contraintes

    2xr

    O i l l tt d

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    67/89

    67MK03 : Calcul des structures

    1xr

    2dx

    1dx

    21

    21

    12

    12

    03211232121 = dxdxdxdxdxdx

    On isole le ttradre

    TMS en projection sur 3xr

    1221 =

    On montre de mme

    1331 = 2332 =

    Le tenseur des contraintes est symtrique

    M

    Cercle deCercle de MohrMohr

    Pour simplifier, on se place en deux dimensions (contraintes planes).

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    68/89

    68MK03 : Calcul des structures

    p , p ( p )

    Le vecteur normal est paramtr par langle

    1xr

    2xr

    )(n

    r

    =

    )sin()cos(.

    )sin()cos(),(

    2221

    1211

    M

    n nMr

    )(sin)2sin()(cos),( 222122

    11 ++=nMnr

    =

    )cos()sin(.

    )sin()cos(),(

    2221

    1211

    M

    nMr

    On calcule la contrainte normale

    On calcule la contrainte tangentielle

    )2cos()2sin(

    2

    ),( 122211

    +

    =nM

    r

    Cercle deCercle de MohrMohr

    )(sin)2sin()(cos),( 222122

    11 ++=nMnr

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    69/89

    69MK03 : Calcul des structures

    221211n

    )2sin()2cos(22

    ),( 1222112211

    +

    =

    +nMn

    r

    )2cos()2sin(

    2

    ),( 122211

    +

    =nM

    r

    ( ) ( )212

    2

    221122

    2211

    2),(

    2),(

    +

    =+

    + nMnM

    n

    rr

    On reconnat que le point dcrit un cercle de centre

    de rayon

    ( ) ;n

    +

    0;22211

    ( )2122

    2211

    2

    +

    =R

    Cercle deCercle de MohrMohr

    ( )22

    2211

    +

    R

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    70/89

    70MK03 : Calcul des structures

    )(

    11

    )(n 22

    12

    12

    22211 +

    ( )122211

    2

    +

    =R

    R

    2

    n

    Tri cercle deTri cercle de MohrMohr

    Si on se replace en 3 dimensions, le tenseur est symtrique, il existe alors une baseth d l ll l t t di l

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    71/89

    71MK03 : Calcul des structures

    orthonorme dans laquelle le tenseur est diagonal.

    On peut alors effectuer 3 cercles de Mohr en faisant tourner autour des 3 vecteurs propres.

    p

    11p

    22p

    33

    nr

    max

    Si on orientede manire quelconqueon se trouve entre les 3cercles.

    nr

    n

    On peut trouver lacontrainte de cisaillementmaximale

    quation dquation dquilibrequilibre

    3xr

    2dx On isole le cube en dynamique :vfr

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    72/89

    72MK03 : Calcul des structures

    1xr

    2xr

    M

    1dx

    3dx

    Efforts volumiques : dVfvr

    Efforts surfaciques sur les 6 facettes :

    [ ]i

    iiiiiii dx

    dVxxxxxxA xdSext 332211 )()()()(rrrr ++=

    [ ]i

    iiiiiiiiiii dx

    dVxdxxxdxxxdxxA dxxdSext 332211 )()()()(rrrr

    +++++=+

    TRD en projection sur kxr

    kRgMkvi i

    ikiiiki xdVxfdV

    dx

    dVxdxx

    rrrr

    ..))()((/

    3

    1

    =++

    =

    kRgdVMkv

    i i

    ki xxfx

    rrrr

    .. /3

    1

    =

    =+

    [ ] RgMvfdiv / rr

    =+

    [ ]3,1i

    [ ]3,1k

    quation dquilibre

    Notion de dNotion de dformationformation

    Au cours du chargement dune structure les particules subissent deux transformations :

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    73/89

    73MK03 : Calcul des structures

    g p

    Un mouvement densemble

    Des dformations des petits cubes lmentaires

    ),,( zyxur

    ),,( zyxr

    M

    M

    dx

    dy

    xr

    yr

    ),,( zyxur

    ),,( zyxr

    DDformations vues en 2Dformations vues en 2D

    yr ),(),( yxudyyxu

    rr+ y

    r uxxx

    =

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    74/89

    74MK03 : Calcul des structures

    Mdx

    dy

    xr

    ),(),( yxuydxxu rr

    +

    M dx

    dy

    xr

    M

    dx

    dy

    xr

    yr

    x

    y

    uyyy

    =

    Mdx

    dy

    x

    r

    yr

    x

    u

    y

    u yxxy

    +

    == 2

    Tenseur des dTenseur des dformationsformations

    xzxyxx

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    75/89

    75MK03 : Calcul des structures

    [ ]

    +=

    = )()(21 ugradugrad T

    zzyzxz

    yzyyxy

    xzxyxx

    rr

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    z

    u

    y

    u

    z

    u

    x

    u

    z

    u

    y

    u

    z

    u

    y

    u

    x

    u

    y

    u

    x

    u

    z

    u

    x

    u

    y

    u

    x

    u

    ugradugrad

    zzyzx

    zyyyx

    zxyxx

    T

    2

    1

    2

    1

    21

    21

    2

    1

    2

    1

    )()(21 rr

    Le tenseur des dformations est symtrique

    Vecteur dVecteur dformationformation

    ),( nMnrr

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    76/89

    76MK03 : Calcul des structures

    21nr

    dS

    M),( nM

    rr

    ),( nMtrr

    [ ] nnM M rrr =),(

    tnMnnMnM tnrrrrrrrr

    ),(),(),( +=

    De mme quavec le tenseur des contrainteson peut calculer les dformations en toutpoint avec le tenseur des dformations

    On peut dcomposer la dformation en deuxcomposantes une normale et une tangentielle

    Util isation des rosettesUtilisation des rosettes

    On place une rosette 45 la surface dun matriau.

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    77/89

    77MK03 : Calcul des structures

    On mesure 3 valeurs de dformation :

    yr

    xr

    1

    2

    3

    [ ] nnnM Mnrrrr

    .),( =

    [ ] xxM xx == 1.rr

    [ ] yyM yy ==

    3.rr

    [ ] xyyyxx

    M yxyx

    ++

    ==++2

    2/)).(( 2rrrr

    On trouve alors les valeurs du tenseur 2D [ ]

    =

    yyxy

    xyxx

    Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    78/89

    78MK03 : Calcul des structures

    Grandeurs de la mcanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de Mohrquation dquilibreDformation (scalaire, vecteur, tenseur).

    Loi de comportementlasticit

    Loi de Hooke gnraliseDensit dnergie de dformation.

    Critres de dimensionnement des structures.Critre de TrescaCritre de Von Misses

    Notion dNotion dlasticitlasticit

    &

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    79/89

    79MK03 : Calcul des structures

    lastique non linaire

    Visco lastique

    inlastique

    Inlastique avec

    endommagement

    Relaxation

    t

    Fluage

    t

    Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrLoi de Hooke (formalisme tenseur de degrs 4)s 4)

    On se place dans le cas dun matriau lastique, linaire, homogne, isotrope.

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    80/89

    80MK03 : Calcul des structures

    +

    +

    +

    =

    yz

    xz

    xy

    zz

    yy

    xx

    yz

    xz

    xy

    zz

    yy

    xx

    2

    2

    2

    0

    0

    2

    2

    2

    +

    +

    +

    =

    yz

    xz

    xy

    zz

    yy

    xx

    yz

    xz

    xy

    zz

    yy

    xx

    EEE

    EEEEEE

    2

    12

    12

    1

    0

    0

    1

    11

    Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrLoi de Hooke (formalisme tenseur de degrs 2)s 2)

    Le matriau est caractris par deux paramtres que lon obtient par des essais mcaniques.

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    81/89

    81MK03 : Calcul des structures

    [ ] [ ] [ ] [ ] 2)( += IdTr

    La loi de Hooke peut alors scrire :

    E Module dYoung Coefficient de poisson

    [ ] [ ] [ ] [ ]E

    IdTrE

    ++=

    1)(

    On peut inverser la relation en faisant apparatre les coefficients de Lam :

    +

    +=

    23E

    )1(2

    +=

    E

    On passe des coefficients de Lam aux paramtres de Hooke par les relations suivantes :

    )21)(1(

    +=

    E

    )(2

    +=

    Exemple une poutre en tractionExemple une poutre en traction

    Fr

    Fr

    xr

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    82/89

    82MK03 : Calcul des structures

    [ ]

    =

    000

    000

    00xx

    [ ] [ ] [ ] [ ]E

    IdTrE

    ++= 1)( [ ]

    =

    E

    E

    E

    xx

    xx

    xx

    00

    00

    00

    On retrouve les 2 rsultats bien connus :

    xxxx E =

    ==

    xx

    zz

    xx

    yy

    S

    Fxx=

    DensitDensit ddnergie de dnergie de dformation (pour la culture)formation (pour la culture)

    Soit une structure en matriau ELHI sous contraintes, on peut calculer lnergie dedformation lastique accumule dans un lment infiniment petit de matire de volume dV.

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    83/89

    83MK03 : Calcul des structures

    q p

    Cette nergie sexprime en fonction des tenseurs descontraintes et des dformations :

    [ ][ ])(2

    1Tr

    dV

    dEd =

    [ ][ ]=V

    d dVTrE )(2

    1

    De mme, on exprime lnergie totale de dformation lastique par :

    Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    84/89

    84MK03 : Calcul des structures

    Grandeurs de la mcanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de Mohrquation dquilibreDformation (scalaire, vecteur, tenseur).

    Loi de comportementlasticit

    Loi de Hooke gnraliseDensit dnergie de dformation.

    Critres de dimensionnement des structures.Critre de TrescaCritre de Von Misses

    Essai de tractionEssai de traction

    Rupture ductile

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    85/89

    85MK03 : Calcul des structures

    %2,0eR

    %2,0

    mR

    %A

    Rupture fragile

    E

    Cercle deCercle de MohrMohr

    Rupture des matriauxductiles selon la plus grand

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    86/89

    86MK03 : Calcul des structures

    Rm

    Rupture des matriaux fragilesselon la plus grand contrainte

    normale :

    contrainte tangentielle :

    n

    max

    2maxmR=

    La rupture des mtaux en

    traction est due auxcontraintes de cisaillement

    CritCritre dere de TrescaTresca

    Il ny a pas de plastification tant que la contrainte de

    cisaillement max ne dpasse pas la demie limite lastique :

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    87/89

    87MK03 : Calcul des structures

    p

    11p

    22p

    33

    max

    n

    2eR

    e

    P

    jj

    P

    ii R

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    88/89

    88MK03 : Calcul des structures

    e

    PPPPPP

    VM R

  • 7/23/2019 2 Structures MMC

    89/89

    89MK03 : Calcul des structures

    5,1

    6,1

    Zn

    reste0,150,10,18

    0,28

    2,1

    2,90,1

    1,2

    2,20,200,15

    AlautreTiCrMgMnCuFeSi

    Composition chimique nominale % (selon norme EN 573-1) :

    tat mtallurgique pour des tles de 1 30 mm : T7351

    T73 Trempe + sur-revenu dsensibi lisant la corrosion sous contrainteTxx51 : dtentionnement par traction sans aucun dressage complmentaire aprs la traction.

    Proprits mcaniques

    2800728370470

    (kg.m-3)E (GPa)A%Re0,2 (MPa)Rm (MPa)