commentaires sur l’enseignement de la quantique en...

Vol. 107 - Novembre 2013 José-Philippe PÉREZ…

Commentaires sur l’enseignement de la quantiqueen CPGE

par José-Philippe PÉREZIRAP - 31400 Toulouse

[email protected] CARLES

CEMES - 31055 Toulouseet Olivier PUJOL

LOA - 59650 Villeneuve-d’Ascq

RÉSUMÉ

Dans cet article, les auteurs commentent les cinq rubriques des nouveauxprogrammes de quantique en CPGE (Classes préparatoires aux grandes écoles), lesquelssont caractérisés par l’accent mis sur la physique, en dehors de tout formalisme ; ilssoulignent l’intérêt d’une analyse dimensionnelle pour obtenir des ordres de grandeurdécisifs et précisent les points significatifs du programme, sans omettre quelques aspectshistoriques et épistémologiques, selon eux indispensables.

INTRODUCTION

Après avoir tenté de répondre à la question « Peut-on enseigner la physique quan-tique en CPGE ? » [1], se pose naturellement la question de comment l’enseigner, dèslors qu’elle figure explicitement dans les programmes d’enseignement de ces classes.Même si ces progammes sont suffisamment précis, la réponse à cette question reste déli-cate, comme chaque fois qu’un enseignement est introduit à un niveau de base nécessai-rement peu technique, mais dans ce cas-ci avec, en outre, des problèmes d’interprétationdélicats liés à l’épistémologie non intuitive de la quantique. Ces problèmes n’ont-ils pasfait dire au physicien Richard FEYNMAN, en 1965, que « personne ne comprend vraimentla phy sique quantique » [2], au mathématicien René THOM que « la mécanique quantiqueétait le scandale intellectuel du XXe siècle » [3], et à l’épistémologue argentin MarioBUNGE, certainement moins provocateur et plus juste, que « la quantique illustre parfai-tement la thèse selon laquelle la science ne peut pas éviter d’être imbibée de philoso-phie » [4]. Dans ce contexte, nous recommandons la lecture du texte de réflexion sur laquantique écrit par Jean-Marc LÉVY-LEBLOND en 1999 [5].

Dans les anciens programmes de physique en CPGE, la référence à la quantiqueétait à peine mentionnée (cf. étude du mouvement d’une particule dans un champ central),et par conséquent ne pouvait être envisagée que sous la forme d’une ouverture marginale

U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1001

Commentaires sur l’enseignement de la quantique en CPGE Le Bup n° 958

[6]. Il en est tout autrement avec les nouveaux programmes. Dans notre récent ouvrageQuantique, fondements et applications [7], que nous destinons à des étudiants de licence,de master et à des agrégatifs, nous avons privilégié un développement progressif, péda-gogiquement compatible avec ces nouveaux programmes de CPGE ; précisément, dansla première partie du livre, nous adoptons volontairement une démarche historique etépistémologique, en reléguant dans une seconde partie, technique, tout ce qui relève d’unformalisme mathématique avancé. En effet, dans cette phase préliminaire mettant en avantl’interprétation des fondements et l’illustration par des applications concrètes, l’utilisa-tion d’un tel formalisme nous a semblé superflue, confortant notre devise pédagogique« un maximum de physique avec un minimum de formalisme ».

Dans le texte qui suit, nous apportons, sur les cinq rubriques du programme, desprécisions inspirées par notre travail de réflexion [7] ; en conclusion, nous rappelons lesprincipales postures philosophiques qui ont accompagné le développement scientifique ettechnique de la quantique.

1. RELATIONS FONDAMENTALES

1.1. Contribution de Planck

La contribution de PLANCK, qui date de 1901 [8], peut être résumée ainsi : en cher-chant à interpréter la courbe de rayonnement qui donne l’exitance (puissance rayonnéepar unité de surface émettrice) d’un corps noir en fonction de la fréquence d’émission,PLANCK est conduit à formuler une hypothèse à laquelle il n’adhéra que difficilement : laproportionnalité entre les échanges élémentaires d’énergie entre matière et rayonnementet la fréquence de ce dernier, soit :

avec Le choix de la lettre h pour désigner cette constante n’est pas sans signification puisquec’est l’initiale du verbe allemand « helfen » qui signifie « aider », conformément à l’aidequ’y voyait PLANCK pour l’interprétation recherchée. Cette constante, à laquelle PLANCKn’accordait à tort que peu d’avenir, porte désormais son nom, seule constante d’essencequantique parmi les six constantes fondamentales de base : la constante de Newton G, laconstante d’Einstein c, la charge élémentaire e, la masse de l’électron , la masse duproton et h (notations internationales).

Depuis, on introduit, préférentiellement à la fréquence, la pulsation du rayonnement(fréquence angulaire pour les Anglo-saxons), et par conséquent la constante :

avec Cependant h et ne présentent aucune différence fondamentale ; seule l’explicitation ounon du facteur dans l’écriture de la phase d’une onde nous fait privilégier h ou :

. On retrouve ce même choix dans l’utilisation de la transformée de Fourier :

hf oD = ,h 6 626 10 J s34-# $.

memp

2~ ro= '

h 'f o ~D = = ,h2

1 05 10 J s34-# $' .r=

'

2r '

t t2ro ~=

U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E1002


on travaille soit avec les fréquences ( explicité) soit avec les pulsations. Comme lesuggère Hermann WEYL [9], peu importe : on aurait pu faire comme si PLANCK avait posé

et non .

1.2. Ordres de grandeur

L’analyse dimensionnelle donne rapidement accès à des ordres de grandeur décisifsà partir des six constantes précédentes. Par exemple, avec le modèle de Niels BOHR del’atome d’hydrogène, on trouve aisément, en mettant en avant les paramètres pertinentsque sont , le coefficient caractéristique de l’interaction et omni-présent, une longueur ou une énergie caractéristiques :

et

soit le rayon de l’atome de Bohr et le double du rydberg.Dans ce contexte, on retrouve aussi les grandeurs de PLANCK par une analyse dimen-

sionnelle combinant , c et G, selon la construction du cube de la physique [10] :

et

respectivement, durée, longueur et énergie de Planck.

1.3. Contribution d’Einstein : quantification du rayonnement

Avec son interprétation originale de l’effet photoélectrique par la quantification durayonnement incident d’énergie (« Lichtquants »), Albert EINSTEIN valorisa laconstante h [11]. Cependant, le saut qualitatif fut d’importance, puisque, dans ce cas,selon lui, c’est l’énergie du rayonnement qui est quantifiée.

Il en résulta une controverse avec la communauté des physiciens conduite parPLANCK, notamment sur l’opportunité de quantifier le rayonnement [12], controverse quidurera jusque dans les années 1970 lorsque la preuve expérimentale de la quantificationdu rayonnement fut établie avec l’utilisation de sources à émission séparée de photons etde photodétecteurs à haut rendement quantique.

L’effet Compton [13] ou diffusion d’un photon par un électron libre peut aussi êtreinterprété à l’aide de la quantification du rayonnement. En 1924, le physicien américainArthur COMPTON prédit complètement les résultats expérimentaux obtenus en considérant

2r

hf ~D = hf oD =

me q e 4e2 2

0rf= _ i '

,m q

52 9 nme e2

2' . ,m q

27 2 eVe e2

4

'.

'

,cG 0 54 10 s

/

P 5

1 243-#' .x =d n

, ,Gc 1 95 10 1 22 10J GeV

/

P

5 1 29 19# #' . .f =d n

,ccG 1 62 10 m

/

P P 3

1 235-#, ' .x= =d n

hf o=



cette diffusion comme une collision relativiste élastique entre un électron libre et unquantum d’énergie et de quantité de mouvement . Il fut conduit à intro-duire la longueur appelée depuis la longueur d’onde Compton. Notonsqu’une analyse dimensionnelle du problème physique considéré, à partir des paramètrespertinents , c et h, permet de faire apparaître naturellement cette longueur ; la pulsa-tion correspondante est la pulsation Compton pour l’électron :

Remarques :1) La relation entre et , ou la période correspondante , permet d’en-

visager un moyen de dématérialiser l’étalon de masse [14].2) Le mot « photon » a été introduit en 1926 par le physico-chimiste américain Gilbert

LEWIS.

1.4. Contribution de Louis de BroglieL’hypothèse selon laquelle on peut associer à tout objet physique, de quantité de

mouvement p et d’énergie , une onde monochromatique plane, de vecteur d’ondeet de pulsation , a été proposée par Louis DE BROGLIE en 1924, alors

qu’il n’était soumis à aucune contrainte expérimentale, cela à partir d’une analogie entrela mécanique et l’optique que l’Irlandais William HAMILTON avait, semble-t-il, perçueavant lui [15]. Cette fonction d’onde monochromatique plane a pour expression, en nota-tion complexe :

La pulsation Compton apparaît naturellement lorsqu’on précise l’expression del’énergie de l’objet physique libre. En effet, l’énergie de cet objet, d’expression, étant le facteur relativiste, est la somme de son énergie cinétiqueet de son énergie de masse [16]. Il en résulte pour la pulsation :

avec

Le plus souvent, le terme de phase de Compton est omis dans l’écriture dela fonction d’onde, ce qui ne change rien dans la confrontation expérimentale puisque lesdétecteurs ne sont sensibles qu’au carré du module de cette fonction.

1.5. Longueur d’onde de de Broglie

Il résulte de ce qui précède l’expression de la longueur d’onde de de Broglie :

p h co=ho

h m cC em = _ ime

C~

,chm c

2 2 0 78 10 rad sC CC

e2

21 1-# $.~ ro rm

= = =

T 2C Cr ~=C~me

f

'~ f=k p '=

,Ψ Ψ expr p rt i t- -m $'f=_ _i i: C

mc2cf

kfv c1-/2 2 1 2-

c=_ imc2

mcC

2

'~ =mc k

Ck

2

' ' ' '~ f f

~f

= = + = +

exp i t- C~_ i

DBm



Dans l’approximation non relativiste, on obtient évidemment . Enrevanche, avec des objets ultrarelativistes pour lesquels , on trouve. Cette dernière expression, qui devient exacte pour , restitue la longueur d’onde

du rayonnement électromagnétique puisque .Retenons que la valeur de ne coïncide avec celle de la longueur d’onde élec-

tromagnétique que dans le seul cas des photons, de masse nulle. La confusion entreet , qui est une erreur grave, est souvent constatée, pas uniquement parmi les étudiantsdébutants (cf. épreuve du baccalauréat 2013 à Pondichéry).

Notons que, comme p, la longueur d’onde de de Broglie dépend du référentielconsidéré, ce qui est le cas aussi pour une onde électromagnétique [16], mais pas méca-nique [17].

1.6. Expérience de Davisson et Germer

L’hypothèse broglienne fut expérimentalement confirmée, de façon irréfutable, en1927, par les physiciens américains Clinton DAVISSON et Lester GERMER, en étudiant ladiffraction des électrons de quelques dizaines d’électronvolts d’énergie par un mono-cristal de nickel [18]. Comme en diffraction des rayons X, l’intensité diffractée est maxi-male selon certaines directions que l’on obtient en remplaçant la longueur d’onde optiquepar la longueur d’onde broglienne .

1.7. Dualité onde-corpuscule : à consommer avec modération

Curieusement, à la lecture des programmes, il semble que l’expression « dualitéonde-corpuscule » soit revenue à la mode, alors que pour certains auteurs et non desmoindres, comme le physicien allemand Werner HEISENBERG [19], elle présente l’incon-vénient de réduire le comportement des objets physiques considérés à celui des limitesclassiques corpusculaire et ondulatoire. En effet, si des électrons peuvent avoir uncomportement uniquement corpusculaire ou uniquement ondulatoire, selon les circons-tances expérimentales, il n’existe en aucun cas de dualité d’essence, les deux aspectscorpusculaire et ondulatoire étant contradictoires. Ajoutons que, dans certaines expé-riences, le comportement est simultanément corpusculaire et ondulatoire. D’autres auteurs,qui avaient pointé cet oxymoron, ont même proposé des néologismes : FEYNMAN suggéramalicieusement « partonde » ou « ondicule » [20], BUNGE et LÉVY-LEBLOND [21]« quanton ». Sensibles à l’argument, nous avons adopté l’expression « objet physique »pour désigner une entité complexe élémentaire dont la nature est plus riche et pluscomplexe que les limites auxquelles on pourrait être tenté de la réduire.

p ph

m c

hcmvh2

-/DB 2 2 4 1 2

'm rf c= = = =_ i

h mvDB .m _ ihcDB .m fmc2&f

m 0=

hf o=cm o=

DBm

DBm

m

DBm



2. INTERPRÉTATION PROBABILISTE

2.1. Contribution de Max Born

La signification physique de la fonction d’onde a été donnée par Max BORN en 1926[22] : c’est une onde de probabilité dont le carré du module donne la densitévolumique de probabilité de détecter l’objet physique considéré en un point déterminé del’espace, à un instant t. Cette interprétation fut expérimentalement confortée par les faits,notamment ceux s’appuyant sur des phénomènes d’interférence analogues à ceux observésen optique.

2.2. Interférence avec des objets physiques massifs

L’expérience des trous d’Young, bien connue en optique lumineuse [23], a étéréalisée, avec des électrons, pour la première fois en 1956 par l’Allemand GottfriedMÖLLENSTEDT [24]. Le dispositif interférentiel est celui représenté sur la figure 1, danslequel , la distance des sources et au plan de détection est

. On trouve, avec des électrons accélérés sous une tension de 30 kV et donc, une interfrange égale à :

en conformité avec les résultats expérimentaux. Cette expérience a été améliorée par JeanFAGET et Charles FERT (père d’Albert) en 1957 [25].

Figure 1 : Expérience de MÖLLENSTEDT.

2.3. Simulation

La simulation numérique présente un intérêt considérable en quantique, car ellepermet notamment d’illustrer l’interprétation de BORN, précisément de reconstruire lafigure d’interférence, par exemple celle obtenue par FAGET et FERT, ou celle plus récented’Anton ZEILINGER [26]. Dans l’expérience de type bifente d’Young réalisée par les

,Ψ r t 2_ i

S S a 10 m1 2 n= = S1 S2

d 23 cm=

,7 12 pmDB .m

,ad 016i mDB .m n=



premiers, la largeur d’une fente était , la distance entre les fentes ,celle entre le plan de la bifente et l’écran et la longueur d’onde de de Brogliedes électrons .

On sait que l’intensité dans le plan d’observation s’écrit, en optique [23] :

Suivant l’interprétation de BORN, cette expression représente aussi la probabilité norma-lisée d’impact d’un électron sur l’écran. En envoyant des électrons un par un,et en introduisant dans l’ordinateur une commande permettant de rendre aléatoire le tracéde l’expression précédente, on reconstruit peu à peu la figure d’interférence bien connue(cf. figure 2). Sur chacune des figures 2a, 2b, 2c, 2d, le tracé du haut donne la variationde en fonction de x (en micromètres), celui du centre représente les frangesbrillantes et les franges sombres sur l’écran, et le troisième en bas montre les points d’im-pact d’électrons. Sur la figure 2a obtenue avec 20 électrons, les points d’impact sontrépartis de façon aléatoire ; les autres figures 2b, 2c et 2d, obtenues respectivement avec100, 500 et 2 000 électrons, permettent de visualiser la reconstruction progressive de lafigure d’interférence.

Figure 2 : Reconstruction, électron par électron, de la figure d’interférence donnée par une bifented’Young dans l’expérience de FAGET et FERT. Le nombre d’électrons envoyés est (a) 20 (b) 100 (c) 500et (d) 2 000.

,0 5 mff n= a 2 mn=

,d 0 35 m=

,5 46 pmDBm =

sincos

II

x d

x d

dax

21 1 2

max f DB

f DB

DB

2

rf m

rf mrm

= +__ di

i n7 <A F* 4

, maxp pt t

, maxp pt t


a b

c d


Si on trace l’histogramme du nombre N de points d’impact sur l’écran, précisémentde , on constate qu’il reproduit d’autant mieux la courbe que lenombre d’électrons envoyés est grand (cf. figure 3).

Figure 3 : Histogramme du nombre de points d’impact normalisé, , dans la figure d’interférencede FAGET et FERT, avec des électrons tombant sur une bifente. Le nombre d’électrons envoyés est (a) 20(b) 100 (c) 500 et (d) 2 000.

3. INÉGALITÉS SPATIALES D’HEISENBERG

Les inégalités d’Heisenberg, relatives à la position et à la quantité de mouvementd’un objet physique, ont été introduites par Werner HEISENBERG en 1927 [27]. Elles expri-ment l’impossibilité en quantique de connaître simultanément ces deux grandeurs conju-guées, et plus généralement tout couple de grandeurs physiques dites incompatibles rela-tives à l’objet physique considéré, un électron par exemple.

3.1. Diffraction d’une onde par un diaphragme

Considérons la diffraction d’une onde acoustique ou optique [17, 23]. Une telleonde, plane, quasi monochromatique de vecteur d’onde , se propageant selon Oz, etdont le plan d’onde est limité selon la direction transversale Ox par un diaphragme delargeur D, subit un éparpillement de sa direction de propagation que l’on peut mettre sous

, maxp pt tN Nmax

N Nmax

k0


a b

c d


la forme (cf. figure 4) :

En outre, comme la diffraction n’implique aucune variation de la norme du vecteurd’onde, on a la relation suivante entre les vecteurs d’onde incident et diffracté, qui fontentre eux l’angle :

si est suffisamment faible, ce qui correspond à l’approximation à grande distance. Ilen résulte, en remplaçant et par leurs expressions respectives :

L’inégalité précédente montre que la diffraction de l’onde est directement reliéeau rapport . Dans l’approximation classique , la diffraction est négligeablepuisqu’alors : la direction de propagation se confond alors avec la direction initialeOz ; on retrouve ainsi l’approximation géométrique de l’acoustique et de l’optique.

Figure 4 : Diffraction d’une onde par un diaphragme.

3.2. Énoncés des inégalités spatiales d’Heisenberg

Les inégalités spatiales d’Heisenberg sont la généralisation de l’inégalité précédenteaux objets physiques. Dans le comportement ondulatoire de ces derniers, on trouve, enmultipliant l’inégalité précédente par :

en introduisant l’extension en quantité de mouvement . Cette inégalitémontre l’impossibilité de mesurer simultanément les deux grandeurs x et , d’où l’ef-fondrement du concept classique de trajectoire : si l’extension en position est réduite,celle en quantité de mouvement s’accroît, et inversement ; les grandeurs conjuguées x et

sont incompatibles.On établit, de la même manière, des inégalités analogues pour les autres coordon-

nées cartésiennes y et z.

x k x D21

2avecx H .D D D

i

sink k k k k keti d x0 0 0.i iD= = =

i

kxDxD

D kD k2 2

121 2soit puisque0

0

H Hi i rm m r=

0!i_ iD%m_ iDm

0.i

'/x k 1 2x HD D

x k x p2 2soitx x' ' 'H HD D D D

p kx x'D D=

px

px



Notons que rien ne s’oppose, en revanche, à une détermination simultanée de la positionselon Ox et de la composante de la quantité de mouvement selon Oy ou Oz. Les mesuresde et de y ou z sont, elles, compatibles.

3.3. Inégalités spatiales d’Heisenberg et incertitudes

On cite souvent les inégalités d’Heisenberg en utilisant l’expression « principe d’in-certitude », ce que nous avons volontairement évité pour deux raisons. La première estque ces inégalités ne constituent un principe que dans le contexte historique dans lequelelles ont été énoncées par HEISENBERG. Or elles apparaissent aujourd’hui sous forme dethéorèmes, car elles résultent de l’existence d’un ensemble de valeurs possibles. Laseconde raison est que le terme « incertitude » fait penser à une imprécision expérimen-tale éventuellement surmontable, et non à une limitation fondamentale, indépendante detout processus de mesure. Dans son texte, HEISENBERG utilise certes le mot allemand« Ungenauigkeit » que l’on traduit par « incertitude », mais il fait remarquer que le terme« Unbestimmtheit » qui signifie lui « indétermination » (ou le néologisme « indétermini-tude ») est plus approprié. L’expression « principe d’indétermination », finalement choisiepar HEISENBERG, déclencha une réaction antidéterministe, même parmi les scientifiquesde renom tels que BOHR, BORN et le physicien britannique Arthur EDDINGTON. En réalité,comme l’a souligné Paul LANGEVIN dans un texte de 1933 [28], les inégalités d’Heisen-berg expriment, non pas une crise de la physique, mais une crise de la vision mécanistede la physique. Cette dernière, héritée du XIXe siècle, réduit les objets physiques de taillemicroscopique à des points matériels, alors que la réalité de ces objets est certainementplus riche et plus complexe, comme le montre l’émergence d’un aspect ondulatoire. Dansce contexte, l’expression « dualité onde-corpuscule » apparaît comme un résidu fâcheux,conscient ou non, de cette prise de position mécaniste. Il vaudrait mieux admettre d’em-blée que la réalité est différente et présente, selon le mode de détection, divers aspects,dont au moins deux, l’un corpusculaire et l’autre ondulatoire. L’expression générique« d’objet phy sique », pour désigner un électron, un proton ou autre, ne réduit ces derniersà des corpuscules localisés dans l’espace que dans une vision mécaniste réductrice.

Remarque : En 1930, HEISENBERG justifia ces inégalités spatiales par une expériencede pensée, connue désormais sous le nom de « microscope d’Heisenberg », où il analy-sait les conditions dans lesquelles un instrument permettrait de mesurer la position d’unélectron. Il obtint le résultat précédent, même s’il introduisit, inutilement, une collisionde type Compton entre un photon , médiateur de la mesure, et l’électron, objet àobserver [29].

4. ÉNERGIE MINIMALE D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE QUANTIQUE

En quantique, encore plus qu’en physique classique, l’oscillateur harmonique joue

y p z p2 2ety z

' 'H HD D D D

px

c



un rôle essentiel. En effet, d’une part, il apparaît comme le prolongement quantique naturelde l’oscillateur harmonique classique, avec, contrairement à ce dernier, une énergie mini-male non nulle, en relation avec l’inégalité spatiale d’Heisenberg, comme nous allons levoir. D’autre part, dans le cadre de la théorie quantique des champs, il est la forme cano-nique des différents champs quantiques qui représentent les différents objets physiques(électron, proton, photon…), ces derniers ne se réduisant qu’à des excitations de ceschamps.

Pour établir le lien entre l’énergie minimale d’un oscillateur harmonique unidimen-sionnel et le confinement spatial, rappelons l’expression de son énergie :

où K est la constante de l’interaction quadratique caractéristique. Autour des valeursmoyennes nulles de p et x, l’énergie se réduit à une énergie minimale qui vaut :

Pour une valeur fixée de , on a , l’égalité étant réalisée pour l’étatfondamental. Le minimum de la somme des deux termes (énergie cinétique et énergiepotentielle), dont le produit est constant, est obtenu lorsque ces derniers sont égaux. Parconséquent :

On en déduit, en introduisant la pulsation de l’oscillateur :

d’où

énergie minimale appelée énergie de confinement ou énergie de point zéro.

5. QUANTIFICATION DE L’ÉNERGIE D’UN OBJET PHYSIQUE CONFINÉ

5.1. Modes propres de vibration le long d’une cordeOn sait qu’en excitant une corde vibrante fixée en ses deux extrémités, on provoque

une sélection des modes propres de vibration et la superposition de deux ondes progres-sives le long de la corde qui se propagent dans des sens opposés. Les ondes stationnairesqui en résultent sont en réalité des vibrations de pulsation :

n étant un nombre entier, L la longueur de la corde, la vitesse de propaga-tion de l’onde mécanique le long de la corde, exprimée en fonction de sa tension T et de

mp

Kx2 2

12

2f= +

m

pK x x p

2 21

2avecm

2

2 'HfD

D D D= +_ _i i

p x2'HD D_ ixD

mp

K xp

xxm m

K4

avecmin

2

2

2

2

22'f

DD

D

DD= = = =

_ _ __ _i i ii i

K m/

0

1 2~ =_ i

K x Km2 2min

2

0

0' 'f ~

~D= = =_ i�x

mK m4 2

/2

2 1 2

0

' '~D = =_ di n

L n nLv

2soit avecn

n 1 1

m~ ~ ~ r= = =

v T /

l1 2t=_ i



sa masse linéique , et la longueur d’onde des deux ondes, associées au mode n, quipeuvent se propager le long de la corde dans les deux sens [17, 23].

5.2. Obtention des niveaux d’énergie d’un objet physique libre confiné

Par analogie avec ce qui précède, les longueurs d’onde des ondes de proba-bilité d’un objet physique libre, tel un électron, confiné dans un domaine unidimen-sionnel, de largeur L, sont telles que :

Il en résulte pour l’énergie, puisque et :

5.3. Ordres de grandeur

5.3.1. Physique nucléaire

Les nucléons (protons et neutrons) sont confinés dans des édifices matériels, lesnoyaux, de dimensions extrêmement faibles, de l’ordre du femtomètre . Àpartir des valeurs de et e, on trouve, en mégaélectronvolts :

d’où pour

Cette valeur montre que la physique nucléaire relève du domaine des hautes énergies.Calculons la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique observé dans la transi-tion du premier niveau excité, d’énergie , vers le niveau fondamental d’énergie

:d’où

Pour , (rayonnement ).

5.3.2. Physique atomique

L’énergie des électrons d’un atome peut être estimée en considérant un électron con -finé dans un édifice de taille . On trouve, en électronvolts :

d’où pour

Le calcul de la longueur d’onde du rayonnement électromagnétique observé dans la tran-

L n2,DB nm

=

p kn n2 2 2'= k 2 ,n DB nr m=

mp

mk

mnmL

nmLh

2 2 24

2 8,n

n n

DB n

2 2 2

2

2 22

2

2 22

2

2' ' 'fmr r= = = = =

L 10 m15-+_ imp

m Lh

e L8 101 200MeV

fmp1 2

2

6 2. .f _ _i i

42 1f f=

1f

c hc hc3-2 1

2 1 1

m o f f f= = =" ( ) L3

1240 2 10nmeV

fm2 1

1

6 2-#. .mf" _ _i i

L 1 fm= 2 fm2 1 .m " c

nmlt

,DB nm

200MeV1 .f L 1 fm=

,L 01 nm=

,L 01 nm=38 eV1 .f,

m Lh

e L81 0 38

eVnme

1 2

2

2.f =_ _i i



sition du premier niveau excité vers le niveau fondamental, donne, dans ce cas :d’où

Pour , (rayonnement ultraviolet).

5.3.3. Confinement d’un électron dans une nanostructure

Pour un électron confiné dans une nanostructure, par exemple une molécule linéairede longueur , l’énergie de confinement est cent fois plus faible que la précé-dente :

et cependant très grande devant l’énergie d’agitation thermique, à température ambiante. Aussi les effets quantiques de confinement sont-ils visibles dans ce do -

maine de température. A contrario, pour L plus grand, l’énergie est beaucoup plus faible :

5.3.4. Vibrations atomiques en physique moléculaire ou du solide

Pour un ion ou un atome lié à un édifice moléculaire ou cristallin, l’énergie de confi-nement est également faible : en prenant pour l’amplitude de déplacement pos -sible d’un atome de masse , on trouve :

d’où pour

La longueur d’onde du rayonnement électromagnétique observé, dans la transition dupremier niveau excité vers le niveau fondamental, se situe dans l’infrarouge lointain :

d’où soit

5.4. Lien qualitatif entre confinement spatial et quantification

En supposant une extension de la position x de l’objet physique, l’inégalitéd’Heisenberg entraîne une extension minimale de la quantité demouvement p :

On en déduit que le repos est impossible en quantique, puisqu’une localisationparfaite impliquerait une indétermination de sa quantité de mouvement

, ce qui est contradictoire avec le repos. Cette valeur minimale est à l’ori-

hc32 11

m f=" ( ) , L3

1240 11 10nmeV

nm2 1

1

3 2#.mf

=" _ _i i

,L 01 nm= 11 nm2 1 .m "

L 1 nm=

L380 1meV pour nm1 .f =

k T 26 meVB ._ i

, L3 8 26 10meV meV pour nm1 %f = =

L 10 pm=

m m100 p=

,

mL eh

L8

0 38eV

pm1 2

2

2. .f _ _i i 20 meV1 .f L 10 pm=

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gine d’une énergie cinétique minimale de l’objet, qui est l’énergie de confinement quan-tique :

.Cette énergie minimale est d’autant plus élevée que le système est microscopique, c’est-à-dire que l’objet est de masse faible et l’espace accessible réduit.

CONCLUSION

Il n’est pas sans intérêt de clore ces commentaires pédagogiques en rappelant lesdeux principales postures philosophiques qui accompagnent, explicitement ou non, lediscours scientifique sur la quantique. Globalement, les scientifiques se sont ralliés àdeux attitudes philosophiques principales : le réalisme, avec ses diverses variantes, selonlequel il existe une réalité en soi plus ou moins accessible, et le positivisme ou philoso-phie de l’expérience qui interdit toute spéculation intellectuelle, par exemple en ayantrejeté dans le passé, comme des chimères, toute théorie atomique et donc l’ensemble destravaux de BOLTZMANN !

Actuellement, la posture adoptée par la plupart des physiciens du domaine quan-tique est le réalisme non local ou pantopique : la pensée peut atteindre la réalité, maisen rejetant l’hypothèse de localité spatiale. Ce dernier s’oppose au réalisme local ou strict,selon lequel la pensée peut atteindre la réalité en soi, même dans ses composantes inob-servables ; cette dernière position philosophique fut notamment celle d’EINSTEIN. Uneanalyse expérimentale, proposée et menée notamment par le physicien français AlainASPECT [30], permit d’établir que le réalisme strict devait être abandonné au profit d’unréalisme pantopique.

BIBLIOGRAPHIE

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[30] ASPECT A. “Proposed experiment to test nonseparability of quantum mechanics”.Physical Review D, 1976, vol. 14, n° 8, p. 1944-1951.


José-Philippe PÉREZProfesseur émériteInstitut de recherche en astrophysique et planétologie (IRAP)Toulouse (Haute-Garonne)

Robert CARLESProfesseurCentre d’élaboration de matériaux et d’études structurales (CEMES)Toulouse (Haute-Garonne)

Olivier PUJOLMaître de conférencesLaboratoire d’optique atmosphérique (LOA)Villeneuve-d’Ascq (Nord)

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