LISA-France 1/2/07

Localisation d’une sourceMonochromatique avec

LISA

Jean-Yves Vinet

LISA-France 1/2/07

Contributions existantes:

C. Cutler, Phys. Rev D 57 p.7089 (1998)

N.J. Cornish & L.J. Rubbo, Phys. Rev D 67 022001 (2003)

L’équipe de APC

LISA-France 1/2/07

( , )

binaire

LISA

Soleil

*angle d’inclinaison i*phase

Calculer les paramètres(i,h+,hx)À partir des données de LISA

i

LISA-France 1/2/07

sin cos cos cos sin

sin sin , cos sin , cos

cos sin 0

w

w

Trièdre liéà la direction deLa source

LISA-France 1/2/07

Fonctions directionnelles pour 1 bras

n

2 2( . ) ( . )n n

2( . )( . )n n

xMasses d’épreuve

( ) ( . ) ( . )H t h t w r h t w r

x x

LISA-France 1/2/07

Observables de LISA

3 1

2 1 1 3 21

2

( . ) ( . )

2(1 . )

H t w r H t w r LU

w n

1 3 1 1 23

2

( . ) ( . )

2(1 . )

H t w r H t w r LV

w n

L2

2n

+ permutations circulaires

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Approximation basse fréquence:

21 2 0( . )

2

LU H t w r

31 2 0( . )

2

LV H t w r

0r

: centre de massede LISA

Combinaison TDI « Michelson 1 »:

2 2 2 21 2 1 2 3 3 3 1 3 2 2(1 ) 1 (1 ) 1X D V D D V D U D D U

21 1 3 1 2(1 )X D V DV U DU

1 2 3L L L L

LISA-France 1/2/07

Approximation basse fréquence:

21 3 0 2 0(1 ) ( . ) ( . )X L D H t w r H t w r

21 0 3 2 0 3 2(1 ) ( . )( ) ( . )( )X L D h t w r h t w r

x x x

LISA-France 1/2/07

Source binaire

( ) sin( ) cosh t h t i x

21 cos( ) cos( )

2

ih t h t

+

0 11

0 1

cos[ ( . ) ] ( , )( ) sin( )

sin[ ( . ) ] ( , )

h t w r L FX t L L

h t w r L F

x x

1 3 2 1 3 2( , ) , ( , )F F x xx

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Repère barycentrique

Source fixe ( , , , )i

Vecteurs unitaires fonctions du temps (mouvement orbital)

1 2 3

sin 2 sin(2 2 / 3) 3 3 / 2 sin(2 2 / 3) 3 3 / 21 1 1

cos 2 3 , cos(2 2 / 3) 3 / 2 , cos(2 2 / 3) 3 / 24 4 4

2 3 sin 2 3 sin( 2 / 3) 2 3 sin( 2 / 3)

n n n

21an

t

T

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Fonctions directionnelles dépendant du temps:

1

1 3 cos [cos(4 2 ) 9cos 2 ]( , , )

16 6sin [cos(3 ) 3cos( )]F

x

21

2

6sin 2 3sin( ) sin(3 )1

( , , ) 18 3 sin sin 232

3(1 cos ) sin(4 2 ) 9sin 2

F

21an

t

T

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Fonctions directionnelles dépendant du temps:

Harmoniques 0,1,2,3,4

)4

4

(( , , ) exp( )( , )k

n

F ikz

Calculés explicitement

Calculés explicitement

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L’enveloppe du signal

1/ 22 2 2( ) ( ) ( ) ( )E t L h F h F x x

Permet déjà de trouver la direction de la sourceà une symétrie centrale (par rapport au Soleil) près

cos , sinh h h h x

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Exemples d’enveloppes

( 1, 1, 1) ( 1.2, 1.2, 1.2)

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Intégrale de corrélation:

2

0

( , ') ( , ) ( ', )C p p E p E p d

( , , ), ' ( ', ', ')p p

' 0, , ' , , ' / 2, / 2

Permet de trouver sin

' 0, , ' 0, , ' 0, / 2

En raison des symétries, il suffit de scanner

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Carte decorrélation

Ambigüité n°1:

Ambigüité n°2:

( , ) ou

( , )

ou

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1( ) exp cos( ) .

2S t h F ih F i t R c c x x

1( ) exp cos( )

2dS t h F ih F i R x x

h hx x

Signal:

Signal démodulé:/ 2

2 '

/ 2

( ) ( ') e 'G

G

G

t N fi f tG

d

t N f

fS t S t dt

N

( )exp 2 sin cos( ) exp[ ( ( ) ( '))]

( ')d

d

S ti R i t t

S t

1 ( )( ) tan

( )x xh F t

th F t

CalculablesAvec les données

' 6 moist t

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Le signe de est maintenant relié à celui de la direction hx

Les ambiguités sur la direction de la sourceet sur la direction de son moment angulaire sont réduites à une seule :

Opérateur de symétrie centrale :

: ( , , ) ( , , )R

L’amplitude complexe est invariante sous la transformation R.Pour lever la dégénérescence, il faut exploiter la modulation de phase.

Connu pour un couple donné ( , )

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Le signal en série de Fourier

1( ) exp exp cos( )

2dS t h F ih F i i R x x

Série de FourierConnue: harmoniques0 à 4

exp( ) ( sin )exp( )nn

n

i in J R in

01 1

1( ) e cos( ) sin( )

2i

d n nn n

S U U n V n

convolution

Indice de modul connu!

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Il suffit de 2 coefficients de Fourier pour lever complètement ladégénérescence directionnelle

Par exemple:0 0 0 1 1 1, U x iy U x iy

22

0 4 0

4 0

3 1 coscos 9sin ( 9 ) sin 2

16 2

3 sin ( 9 )cos cos 2

16

x J J

J J

0 3 1 3 1

3 3cos ( 3 )sin cos sin ( 3 )sin

8 8y J J J J

Etc…

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Sous la transformation R:

0 0 1 1, R U U R U U

Données empiriques:2 2

0 1

0 0

1 1( , , ) ( ) , ( , , ) ( ) cos

2 d dS S d S S d

Par ailleurs : 0 0 0 1 1 1

1 1e ( ), e ( )

2 2i iS x iy S x iy

0 1 01 10 0 1

1( )

4S S S S U U U U

données Change de signe sous R

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Avantages de cette stratégie:

1) La corrélation d’enveloppe dépend de 3 paramètres seulement

2) La levée des indéterminations est robuste (+,-) et redondante(plusieurs tests indépendants sont possibles)

Il faudrait tester ce genre d’algorithme en présence de bruit