nombres complexes et gØomØtrie plane - wordpress.com · 2015. 6. 7. · nombres complexes et...
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Nombres complexes et géométrie planePrésenté par : Fatimazahra CHAICHAA, Fatima LAAROUSSI et Saadia
OUHAMMOU
Encadré par :Mr Khalid Hattaf
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 1 / 24
Le plan
Introduction
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Conclusion
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 2 / 24
Le plan
Introduction
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Conclusion
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Le plan
Introduction
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Conclusion
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 2 / 24
Le plan
Introduction
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombres complexes
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Conclusion
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 2 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Représentation dArgand
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 3 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère R
La¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :
ϕ(t) = a+ tb t 2 R
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 4 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)
Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :
ϕ(t) = a+ tb t 2 R
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1j
Soit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :
ϕ(t) = a+ tb t 2 R
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0
Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :
ϕ(t) = a+ tb t 2 R
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Limage du nombre complexe z = x + iy est le point de coordonées(x , y) dans le repère RLa¢ xe du point M de coordonées (x , y) dans le repère R est lenombre complexe z = x + iy que lon notora A¤ (M)Soit M1 et M2 deux point du plan respective z1 et z2 . La distance deM1 à M2 est donnée par : M1M2 = jz2 z1jSoit A,B et G trois points da¢ xes respectives a,b et g ; soient α etβ deux réels tel que α+ β 6= 0 , alors G est le barycentre des pointsA et B a¤ectés respectivement des poids α et β si et seulement siα(g a) + β(g b) = 0Soit a 2 C et b 2 C. La droite qui passe par a et de vecteurdirecteur b est donnée par la paramétrisation suivante :
ϕ(t) = a+ tb t 2 R
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit a, b 2 C distincts. La médiatrice du segment [ab] est lensembledes nombres complexes z satisfaisant :
2Re(z(b a)) = jbj 2 jaj 2
Soit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Le cercle decentre a et de rayon r est lensemble des nombres complexes zsatisfaisant léquation :
jz aj = rSoit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Uneparamétrisation du cercle dans C de centre a et de rayon r est :
ϕ(t) = a+ re it t 2] π,π]
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 5 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit a, b 2 C distincts. La médiatrice du segment [ab] est lensembledes nombres complexes z satisfaisant :
2Re(z(b a)) = jbj 2 jaj 2
Soit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Le cercle decentre a et de rayon r est lensemble des nombres complexes zsatisfaisant léquation :
jz aj = r
Soit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Uneparamétrisation du cercle dans C de centre a et de rayon r est :
ϕ(t) = a+ re it t 2] π,π]
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit a, b 2 C distincts. La médiatrice du segment [ab] est lensembledes nombres complexes z satisfaisant :
2Re(z(b a)) = jbj 2 jaj 2
Soit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Le cercle decentre a et de rayon r est lensemble des nombres complexes zsatisfaisant léquation :
jz aj = rSoit r un nombre réel strictement positif et a 2 C . Uneparamétrisation du cercle dans C de centre a et de rayon r est :
ϕ(t) = a+ re it t 2] π,π]
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit A,B et C trois points du plan tel que C est distinct de A et B,
da¢ xes respectives a, b et c . Une mesure de de langle\(!CA,
!CB)
est donnée par :
\(!CA,
!CB) = arg(
b ca c )[2π]
On notera par la suite langle entre deux vecteurs dans un repèreorthonormé (O,
!i ,!j ) par :
\(w , z) = ( \!OW ,!OZ )
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 6 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit A,B et C trois points du plan tel que C est distinct de A et B,
da¢ xes respectives a, b et c . Une mesure de de langle\(!CA,
!CB)
est donnée par :
\(!CA,
!CB) = arg(
b ca c )[2π]
On notera par la suite langle entre deux vecteurs dans un repèreorthonormé (O,
!i ,!j ) par :
\(w , z) = ( \!OW ,!OZ )
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Si det(w , z) 0
\(w , z) = arccos(Re(wz)jw j . jz j )
Si det(w , z) 0
\(w , z) = arccos(Re(wz)jw j . jz j )
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 7 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Si det(w , z) 0
\(w , z) = arccos(Re(wz)jw j . jz j )
Si det(w , z) 0
\(w , z) = arccos(Re(wz)jw j . jz j )
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Remarque :
det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest positif .
det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest négatif .
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 8 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Remarque :
det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest positif .
det(w , z) 0 si seulement si le repère est direct càd le signe de sinest négatif .
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Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit Ω un point du plan da¢ xe ω et λ un réel di¤érent de 0 et 1.Lhomothétie de rapport λ et de centre Ω peut être représentée dansle plan complexe par lapplication qui à tout z 2 C associe z 0 2 C telque :
z 0 ω = λ(z ω)
Soit Ω 2 P et θ un réel. La rotation de centre Ω et dangle θ peutêtre representée dans le plan complexe par lapplication qui à toutz 2 C associe z 0 2 C tel que :
z 0 ω = e iθ(z ω)
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 9 / 24
Chapitre 1 : Représentation graphique des nombrescomplexes
Soit Ω un point du plan da¢ xe ω et λ un réel di¤érent de 0 et 1.Lhomothétie de rapport λ et de centre Ω peut être représentée dansle plan complexe par lapplication qui à tout z 2 C associe z 0 2 C telque :
z 0 ω = λ(z ω)
Soit Ω 2 P et θ un réel. La rotation de centre Ω et dangle θ peutêtre representée dans le plan complexe par lapplication qui à toutz 2 C associe z 0 2 C tel que :
z 0 ω = e iθ(z ω)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Von Aubel :
On construit quatre carrés de centre respectifs P,Q,R et S quisappuient extérieurement sur les cotés [AB ], [BC ], [CD ] et [DA] duquadrilatérale ABCD.
Le but du problème est de démontrer que les diagonales PQRS duquadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 10 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Von Aubel :
On construit quatre carrés de centre respectifs P,Q,R et S quisappuient extérieurement sur les cotés [AB ], [BC ], [CD ] et [DA] duquadrilatérale ABCD.
Le but du problème est de démontrer que les diagonales PQRS duquadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Von Aubel :
On construit quatre carrés de centre respectifs P,Q,R et S quisappuient extérieurement sur les cotés [AB ], [BC ], [CD ] et [DA] duquadrilatérale ABCD.
Le but du problème est de démontrer que les diagonales PQRS duquadrilatérale sont perpendiculaires et de même longueur.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On note a, b, c , d , p, q, r et s et les a¢ xes respectives des pointsA,B,C ,D,P,Q,R et S dans un repère orthonormé (O,!e1 ,!e2 ) desens direct
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 11 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Démontrer que le dans le carré construit sur [AB ] on a :
p =a ib1 i
Puisque ABCD est de sens direct et que P est le centre du carréconstruit extérieurement sur [AB ] ,on peut a¢ rmer que A est limagede B par la rotation de centre P et dangle π
2 :
a p = i(b p)a ib = p ip
p =a ib1 i
Etablir des relations analogues pour q, r et s en raisonnant dans lestrois autres carrés.
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 12 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Démontrer que le dans le carré construit sur [AB ] on a :
p =a ib1 i
Puisque ABCD est de sens direct et que P est le centre du carréconstruit extérieurement sur [AB ] ,on peut a¢ rmer que A est limagede B par la rotation de centre P et dangle π
2 :
a p = i(b p)a ib = p ip
p =a ib1 i
Etablir des relations analogues pour q, r et s en raisonnant dans lestrois autres carrés.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Démontrer que le dans le carré construit sur [AB ] on a :
p =a ib1 i
Puisque ABCD est de sens direct et que P est le centre du carréconstruit extérieurement sur [AB ] ,on peut a¢ rmer que A est limagede B par la rotation de centre P et dangle π
2 :
a p = i(b p)a ib = p ip
p =a ib1 i
Etablir des relations analogues pour q, r et s en raisonnant dans lestrois autres carrés.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On obtient de même que :
q =b ic1 i , r =
c id1 i , r =
d ia1 i
Calculer :s qr p
On a :s qr p =
d b+ i(c a)c a+ i(d b) = i
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 13 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On obtient de même que :
q =b ic1 i , r =
c id1 i , r =
d ia1 i
Calculer :s qr p
On a :s qr p =
d b+ i(c a)c a+ i(d b) = i
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On obtient de même que :
q =b ic1 i , r =
c id1 i , r =
d ia1 i
Calculer :s qr p
On a :s qr p =
d b+ i(c a)c a+ i(d b) = i
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Conclure
On en déduit, dune part, que les droites (PR) et (QS) sont
perpendiculaires. De plus, comme sqrp
= 1 . On a : PR = QS .Donc les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et demême longueur.
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 14 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Conclure
On en déduit, dune part, que les droites (PR) et (QS) sont
perpendiculaires. De plus, comme sqrp
= 1 . On a : PR = QS .Donc les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et demême longueur.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Formule de Heron ( Laire dun triangle )
Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 15 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Formule de Heron ( Laire dun triangle )
Soit I le centre du cercle inscrit au triangle ABC
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Les longueurs des côtés sont a = y + z , b = z + x et c = x + y Onappelle s le demi-périmètre x + y + z . Les angles en I vérientα+ β+ γ = π
Démontrer que :r + ix = ue iα
On a AIH est un triangle rectangle en H donc : r = u cos α etx = u sin α doù :
r + ix = u(cos α+ i sin α) = ue iα
Calculer (r + ix)(r + iy)(r + iz)
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 16 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Les longueurs des côtés sont a = y + z , b = z + x et c = x + y Onappelle s le demi-périmètre x + y + z . Les angles en I vérientα+ β+ γ = π
Démontrer que :r + ix = ue iα
On a AIH est un triangle rectangle en H donc : r = u cos α etx = u sin α doù :
r + ix = u(cos α+ i sin α) = ue iα
Calculer (r + ix)(r + iy)(r + iz)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Les longueurs des côtés sont a = y + z , b = z + x et c = x + y Onappelle s le demi-périmètre x + y + z . Les angles en I vérientα+ β+ γ = π
Démontrer que :r + ix = ue iα
On a AIH est un triangle rectangle en H donc : r = u cos α etx = u sin α doù :
r + ix = u(cos α+ i sin α) = ue iα
Calculer (r + ix)(r + iy)(r + iz)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Les longueurs des côtés sont a = y + z , b = z + x et c = x + y Onappelle s le demi-périmètre x + y + z . Les angles en I vérientα+ β+ γ = π
Démontrer que :r + ix = ue iα
On a AIH est un triangle rectangle en H donc : r = u cos α etx = u sin α doù :
r + ix = u(cos α+ i sin α) = ue iα
Calculer (r + ix)(r + iy)(r + iz)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r + ix = ue iα , on montre aussi que r + iy = ve iβ etr + iz = we iγ donc :
(r + ix)(r + iy)(r + iz) = ue iαve iβwe iγ = uvwe i (α+β+γ)
En prenant les parties imaginaires, démontrer que :xyz = r2(x + y + z)
En prenant les parties imaginaires, on a 0 = r2z + r2y + r2x xyzdoù le résultat.
En déduire que :
r =
r(s a)(s b)(s c)
s
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 17 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r + ix = ue iα , on montre aussi que r + iy = ve iβ etr + iz = we iγ donc :
(r + ix)(r + iy)(r + iz) = ue iαve iβwe iγ = uvwe i (α+β+γ)
En prenant les parties imaginaires, démontrer que :xyz = r2(x + y + z)
En prenant les parties imaginaires, on a 0 = r2z + r2y + r2x xyzdoù le résultat.
En déduire que :
r =
r(s a)(s b)(s c)
s
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r + ix = ue iα , on montre aussi que r + iy = ve iβ etr + iz = we iγ donc :
(r + ix)(r + iy)(r + iz) = ue iαve iβwe iγ = uvwe i (α+β+γ)
En prenant les parties imaginaires, démontrer que :xyz = r2(x + y + z)
En prenant les parties imaginaires, on a 0 = r2z + r2y + r2x xyzdoù le résultat.
En déduire que :
r =
r(s a)(s b)(s c)
s
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r + ix = ue iα , on montre aussi que r + iy = ve iβ etr + iz = we iγ donc :
(r + ix)(r + iy)(r + iz) = ue iαve iβwe iγ = uvwe i (α+β+γ)
En prenant les parties imaginaires, démontrer que :xyz = r2(x + y + z)
En prenant les parties imaginaires, on a 0 = r2z + r2y + r2x xyzdoù le résultat.
En déduire que :
r =
r(s a)(s b)(s c)
s
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r2s = xyz .Or s = x + (y + z) = x + a doù x = s a ainsixyz = (s a) s b)(s c) et donc :
r2 =(s a)(s b)(s c)
s
Démontrer que laire du triangle ABC vaut :
A =ra2+rb2+rc2=qs(s a)(s b)(s c)
Laire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trianglesBIC ,CIA et AIB donc :
A =ra2+rb2+rc2=r2(a+ b+ c) = rs
= s
r(s a)(s b)(s c)
s=qs(s a)(s b)(s c)
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 18 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r2s = xyz .Or s = x + (y + z) = x + a doù x = s a ainsixyz = (s a) s b)(s c) et donc :
r2 =(s a)(s b)(s c)
s
Démontrer que laire du triangle ABC vaut :
A =ra2+rb2+rc2=qs(s a)(s b)(s c)
Laire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trianglesBIC ,CIA et AIB donc :
A =ra2+rb2+rc2=r2(a+ b+ c) = rs
= s
r(s a)(s b)(s c)
s=qs(s a)(s b)(s c)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
On a r2s = xyz .Or s = x + (y + z) = x + a doù x = s a ainsixyz = (s a) s b)(s c) et donc :
r2 =(s a)(s b)(s c)
s
Démontrer que laire du triangle ABC vaut :
A =ra2+rb2+rc2=qs(s a)(s b)(s c)
Laire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trianglesBIC ,CIA et AIB donc :
A =ra2+rb2+rc2=r2(a+ b+ c) = rs
= s
r(s a)(s b)(s c)
s=qs(s a)(s b)(s c)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Napoléon :
Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral
On note j = e2iπ3 .Soient U,V et W trois points du plan da¢ xes
respectives u, v et w
Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u v = j2(w v)
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 19 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Napoléon :
Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral
On note j = e2iπ3 .Soient U,V et W trois points du plan da¢ xes
respectives u, v et w
Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u v = j2(w v)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Napoléon :
Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral
On note j = e2iπ3 .Soient U,V et W trois points du plan da¢ xes
respectives u, v et w
Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u v = j2(w v)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Théorème de Napoléon :
Partie A : Caractérisation du triangle équilatéral
On note j = e2iπ3 .Soient U,V et W trois points du plan da¢ xes
respectives u, v et w
Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u v = j2(w v)
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
=) Si UVW est équilatéral de sens direct, alors U est limage de
W par la rotation de centre V et dangle π3 :
u v = e iπ3 (w v)
u v = j2(w v)
(= Supposons:
u v = j2(w v) = e i π3 (w v)
Alors U est limage de W par la rotation de centre V et dangle π3
donc UVW est équilatéral de sens direct.Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u + jv + j2w = 0
CRMEF Casablanca (institute) 05/2015 20 / 24
Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
=) Si UVW est équilatéral de sens direct, alors U est limage de
W par la rotation de centre V et dangle π3 :
u v = e iπ3 (w v)
u v = j2(w v)
(= Supposons:
u v = j2(w v) = e i π3 (w v)
Alors U est limage de W par la rotation de centre V et dangle π3
donc UVW est équilatéral de sens direct.
Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u + jv + j2w = 0
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
=) Si UVW est équilatéral de sens direct, alors U est limage de
W par la rotation de centre V et dangle π3 :
u v = e iπ3 (w v)
u v = j2(w v)
(= Supposons:
u v = j2(w v) = e i π3 (w v)
Alors U est limage de W par la rotation de centre V et dangle π3
donc UVW est équilatéral de sens direct.Démontrer léquivalence suivante :
UVW est équilatéral de sens direct () u + jv + j2w = 0
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Supposons UVW équilatéral de sens direct .Daprès ce qui précède,on a :
u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0
Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0
PartieB : Démonstration du théorème de Napoléon
ABC est un triangle quelconque de sens direct .On construit lespoints P,Q et R tels que BPC ,CQA et ARB soient des triangleséquilatéraux de sens direct.
On note U,V et W les centres de gravité de BPC ,CQA et ARBrespectivement.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Supposons UVW équilatéral de sens direct .Daprès ce qui précède,on a :
u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0
Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0
PartieB : Démonstration du théorème de Napoléon
ABC est un triangle quelconque de sens direct .On construit lespoints P,Q et R tels que BPC ,CQA et ARB soient des triangleséquilatéraux de sens direct.
On note U,V et W les centres de gravité de BPC ,CQA et ARBrespectivement.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Supposons UVW équilatéral de sens direct .Daprès ce qui précède,on a :
u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0
Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0
PartieB : Démonstration du théorème de Napoléon
ABC est un triangle quelconque de sens direct .On construit lespoints P,Q et R tels que BPC ,CQA et ARB soient des triangleséquilatéraux de sens direct.
On note U,V et W les centres de gravité de BPC ,CQA et ARBrespectivement.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Supposons UVW équilatéral de sens direct .Daprès ce qui précède,on a :
u v = j2(w v)u + (1 j2)v + j2v = 0
Or 1+ j + j2 = 0 donc u + jv + j2w = 0
PartieB : Démonstration du théorème de Napoléon
ABC est un triangle quelconque de sens direct .On construit lespoints P,Q et R tels que BPC ,CQA et ARB soient des triangleséquilatéraux de sens direct.
On note U,V et W les centres de gravité de BPC ,CQA et ARBrespectivement.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Démontrer que UVW est équilatéral de même centre de gravité queABC
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
Par hypothèse, on a :
a w = j(b w) (E1)
b u = j(c u) (E2)
c v = j(a v) (E3)
En additionnant, membre à membre, les trois égalités, il vent :
a+ b+ c (u + v + w) = j(a+ b+ c (u + v + w))
Doùa+ b+ c = u + v + w!UA+
!VB +
!WC =
!0
Ce qui prouve que UVW a le même centre de gravité que ABC
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
De (E1) on déduit :
w =a jb1 j
De même avec (E2) et (E3) :
u =b jc1 j
v =c ja1 j
On calcule maintenant :
u + jv + j2w =a jb+ jb j2c + j2c a
1 j = 0
Donc UVW est équilatéral de sens direct.
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Chapitre 2 : Applications des nombres complexes
De (E1) on déduit :
w =a jb1 j
De même avec (E2) et (E3) :
u =b jc1 j
v =c ja1 j
On calcule maintenant :
u + jv + j2w =a jb+ jb j2c + j2c a
1 j = 0
Donc UVW est équilatéral de sens direct.
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