cinématique du solide i) le solide indéformable 1) notion de solide indéformable
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Cinématique du solideI) Le solide indéformable
1) Notion de solide indéformable
Le solide indéformable :
Un solide indéformable ou idéal est un système tel que les distances mutuelles de tous ses éléments restent constantes au cours du temps.
M
m = (M).d
V
Répartition continue volumique de la masse
M
m = (M).dS
Répartition continue surfacique de la masse
Répartition continue linéique de la masse
M
m = (M).d
M1, m1
M3, m3
M2, m2
Répartition discrète des masses
Cinématique du solideI) Le solide indéformable
1) Notion de solide indéformable
2) Degrés de liberté d’un solide
Cinématique du solideI) Le solide indéformable
1) Notion de solide indéformable
2) Degrés de liberté d’un solide
3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique
a) Le centre d’inertie
Le centre d’inertie ou centre de masse ou barycentre G d’un solide (S) de masse m est l’unique point défini par la relation :
Définition :
• Pour un solide à répartition de masse continue, de densité volumique de masse (M) :
solide solide
.dm (M) .d GM GM 0 = =òòò òòò
Avec une origine O arbitraire :
solide
1 .dm
mOG OM= òòò
Cinématique du solideI) Le solide indéformable
1) Notion de solide indéformable
2) Degrés de liberté d’un solide
3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique
a) Le centre d’inertie
b) Le référentiel barycentrique
Le référentiel barycentrique :
On appelle référentiel barycentrique ou référentiel de Kœnig R* relatif au référentiel R, le référentiel de centre G animé d’un mouvement de translation par rapport à R.
Le référentiel barycentrique
O
x
y
z(R) G
x’y’
z’R* à la date t1 G
x’y’
z’R* à la date t2
Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide
1) Rappels sur les dérivations
O
x
y
z(R)
O’
x’y’
z’
(R’)
'RR dtdA
dtdA
U
UU
' x
dtd
dtd
RRΩ
Dérivations avec changement de référentiel
Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide
1) Rappels sur les dérivations
2) Relation de Varignon
O’
x’y’
z’
(RS)
Solide (S)
La relation de Varignon
O
x
y
z(R) M
P
V(M/R) = V(P/R) + MP x
Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide
1) Rappels sur les dérivations
2) Relation de Varignon
3) Décomposition du mouvement
Décomposition du mouvement
Dans un référentiel barycentrique R*, le solide (S) possède un mouvement de rotation pure autour de G
Décomposition du mouvement
La loi de la composition des vitesses :
v(M) = ve(M) + v*(M) = v(G) + v*(M),
montre que l’étude du mouvement du solide (S) peut se décomposer en deux mouvements élémentaires :
Décomposition du mouvement
• L’étude du mouvement de G dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ;
• L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G
Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide
1) Résultante cinétique d’un solide
Définition :
solidesolide Rdm).RM(dm
dtd
/vOM
P
)RG(.m /vP
La résultante cinétique d’un solide dans un référentiel R d’origine O fixe par la relation :
La résultante cinétique P d’un solide (S) dans un référentiel R est égale à la quantité de mouvement d’un point matériel fictif situé au centre d’inertie G du solide et affecté de la masse totale du solide (S) dans R : P = m.v(G/R).
Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide
1) Résultante cinétique d’un solide
2) Moment cinétique d’un solide
a) Moment cinétique par rapport à un point
Rappel :
Un moment vectoriel d’une grandeur vectorielle A s’appliquant en M et calculé en O dans R :
MO(A/R) = OM x A.
Définition :
solide
dm).RM( x )RS( /vOML/L OO
On définit le moment cinétique d’un solide (S) dans un référentiel R par rapport à un point arbitraire O, mobile ou fixe par la relation :
LO’ = LO + O’O x P
Propriété :
Cinématique du solide
b) Moment cinétique par rapport à un axe
III) Éléments cinétiques d’un solide
1) Résultante cinétique d’un solide
2) Moment cinétique d’un solide
a) Moment cinétique par rapport à un point
Définition :
L(S/R) = L = LO.u
On définit le moment cinétique d’un solide dans un référentiel R par rapport à un axe passant par un point O de direction définie par le vecteur unitaire u par la relation :
u
Moment cinétique par rapport à un axe
O
LO
L
L(S/R) = L = LO.u
Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide
1) Résultante cinétique d’un solide
2) Moment cinétique d’un solide
3) Énergie cinétique d’un solide
Définitions :
2c
solide
1E (S R) v (M R).dm
2/ /= òòò
Energie cinétique de (S) dans R :
Energie cinétique barycentrique de (S) :
2c c
solide
1E (S R ) E v* (M).dm
2*/ * = = òòò
Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig
Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig
1) Premier théorème de Kœnig
Premier théorème de Kœnig
Le moment cinétique LO en O d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égal à la somme :
• Du moment cinétique barycentrique L* du solide ;
• Du moment cinétique en O d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R, OG x m.v(G).
LO = L* + OG x m.v(G) = L* + OG x P
Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig
1) Premier théorème de Kœnig
2) Second théorème de Kœnig
Second théorème de Kœnig
L’énergie cinétique Ec d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égale à la somme :
• De l’énergie cinétique barycentrique du système (S), Ec* ;
• De l’énergie cinétique d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R.
Ec = Ec* + m.v2(G)21
Décomposition du mouvement
Comme la loi de composition des vitesses qui a été utilisée dans les deux démonstrations, les deux théorèmes de Kœnig montrent que l’étude du mouvement du solide (S) dans R peut se décomposer en deux mouvements élémentaires plus simples :
Décomposition du mouvement
• L’étude du mouvement de G affecté de toute la masse du solide dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ;
• L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G
Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
Solide en rotation autour d’un axe fixe
(S)
x
y
z
ur
u
uz
M
rH
Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
Dans le cas du mouvement d’un solide (S) en rotation autour d’un axe a priori mobile de direction fixe, son moment cinétique par rapport à , L, son énergie cinétique Ec et vérifient les relations :
L = J. Ec = J.2
21
Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
2) Moments d’inertie élémentaires
La boule homogène de masse m, de rayon R :
• Moment d’inertie par rapport à un axe G passant par G :
2G mR
52
J Δ
La barre homogène de masse m, de longueur :
• Moment d’inertie par rapport à la médiatrice :
2G m
121
J Δ
Le disque homogène ou cylindre homogène de masse m, de rayon R :
• Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G :
2G mR
21
J Δ
Le cerceau homogène de masse m, de rayon R :
• Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G :
JG = mR2
Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides
1) Définitions
I2
I1
I
S1
S22
1
()
Contact entre deux solides
I2 de (S2) possède la trajectoire (2) sur (S2) ;
I1 de (S1) possède la trajectoire (1) sur (S1) ;
I de () possède une trajectoire () dans l’espace car () change à chaque instant.
Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides
1) Définitions
2) Vitesse de glissement
I2
I1
IS1
S2
()
Décomposition du mouvement :Vitesse de glissement
N
pivotement
Troulement
glissement
vg(I)
G
I2 A
GI2
GI2
GI2
Non – glissement
Glissement
AC périmètre
AB = périmètre B
G
I2
G
I2 A
G
I2C
Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides
1) Définitions
2) Vitesse de glissement
3) Exemples
a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe
Disque roulant sur un plan horizontal fixe
O
y x
z
G
AI
vG
Photographie de la distribution des vitesses
O
y x
z
I
v(M) = IM. : sur un arc de cercle de centre I, v = Cste
Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides
1) Définitions
2) Vitesse de glissement
3) Exemples
a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe
b) Second exemple : Cylindre roulant sur un cylindre fixe
Cylindre roulant sans glissement sur un autre cylindre
uz
O
G
I
(C1)
(C2)
ur
u
x