cinématique du solide f. socheleau. 1 -définition du solide indéformable. soit r un repère de...
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Cinématique du solide
F. Socheleau
1 - Définition du solide indéformable.
Soit R un repère de référence d’origine O .
Soit (S) un solide
Soit S un repère lié au solide (S)
Soient A et B deux points quelconque du solide indéformable (S)
)(),( SBA teCAB t
OR
S
S
AB
2 - Champ des vitesses d’un solide.
OR
S
S
AB
2.1 - Torseur distributeur des vitesses.
AB(S/R)Ωdt
ABd
dt
ABd
SR
teCAB 0 dt
ABd
S
avec dans le repère S
0
Rdt
OAdRSAV )/,(
Rdt
OBdRSBV )/,(
Or par définition : car A est fixe / S et O est fixe / R
car B est fixe / S et O est fixe / R
RR
dt
OBAOd
dt
ABd
)/,()/,( RSBVRSAVdt
ABd
R
RRdt
OBd
dt
AOd
RRdt
OBd
dt
OAd
AB(S/R)Ω
2 - Champ des vitesses d’un solide.
OR
S
S
AB
2.1 - Torseur distributeur des vitesses.
)/,()/,( RSBVRSAVdt
ABd
R
AB(S/R)Ω
AB(S/R)Ω (B,S/R)V (A,S/R)V
(S/R)ΩAB (B,S/R)V (A,S/R)V
On reconnait ici la formule d’un champ de moment d’un torseur entre les points A et B.
Moment en A Moment en B Résultante
2 - Champ des vitesses d’un solide.
OR
S
S
AB
2.1 - Torseur distributeur des vitesses.
On définit donc un torseur distributeur des vitesses :
S/R)(A,V
(S/R)V(S/R) A
(S/R)Ω
)/,( RSAV est le moment du torseur distributeur des vitesses du solide S dans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR VITESSE DU POINT A appartenant au solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R.
est la résultante du torseur distributeur des vitesses du solide S dans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR ROTATION du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R.
2 - Champ des vitesses d’un solide.
2.2 - Théorème de l’équiprojectivité des vecteurs vitesses.
)/,( RSBV)/,( RSAV
(S/R)ΩAB (B,S/R)V (A,S/R)V
AB
AB(S/R)ΩAB AB(B,S/R)V AB(A,S/R)V ...
AB(B,S/R)V AB(A,S/R)V ..
(A,S/R)V(B,S/R)V
Soit en multipliant scalairement par
Interprétation : La projection orthogonale de sur (AB), est égale à la projection orthogonale de sur (AB), (même sens et même longueur).
A B
3 - Champ des accélérations d’un solide.
Question : Existe-t-il un torseur des accélérations
????(A,S/R)Γ
(S/R)ΩA(S/R) A
Rdt
(S/R)Ωd (S/R)Ω
Rdt
(A,S/R)Vd(A,S/R)
(S/R)AB(B,S/R)(A,S/R)
Avec
Relation d’un champ de moment de torseur
S/R)(A,V
(S/R)V(S/R) A dt
d
3 - Champ des accélérations d’un solide.
(S/R)ΩAB (B,S/R)V (A,S/R)V
Question : Existe-t-il un torseur des accélérations
????(A,S/R)Γ
(S/R)ΩA(S/R) A
On sait :
RRRRdt
(S/R)ΩdAB(S/R)Ω
dt
ABd
dt
(B,S/R)Vd
dt
(A,S/R)Vd
RSdt
(S/R)ΩdAB(S/R)Ω AB(S/R)Ω
dt
ABd(B,S/R)Γ(A,S/R)Γ
R
dt
(S/R)Ωd AB(S/R)Ω AB(S/R)Ω(B,S/R)Γ(A,S/R)Γ
(S/R)AB(B,S/R)(A,S/R)
3 - Champ des accélérations d’un solide.
R
dt
(S/R)Ωd AB(S/R)Ω AB(S/R)Ω(B,S/R)Γ(A,S/R)Γ
Cette formule est a appliquer que si le point A n’est pas fixe (n’appartient pas) par rapport au solide S.
Si le point A est fixe (appartient) par rapport au solide S, il faut mieux utiliser la définition :
Rdt
(A,S/R)Vd (A,S/R)Γ car A est fixe / S
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
),,;( 11111 ZYXORLe repère lié au solide (S1).
Le repère lié au solide (S2).
Le repère lié au solide (S3).
),,;( 22222 ZYXOR
),,;( 33333 ZYXOR
Liaisons
1R
1O
2R
2O
3R
3O
M
Soit le point M appartenant au solide (S3) donc au repère R3.
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
5.1 - Composition des vecteurs vitesses.
111
2211
RRRdt
MOd
dt
OOd
dt
MOd
Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.
MOOO MO 2211
MO)/R(RΩdt
MOd)/R,R(OV)/R(M,RV
R
2122
12213
2
)/R(RΩMO)/R(M,RV)/R,R(OV)/R(M,RV 1222312213
)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313
)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313
Liaisons
1R
1O
2R
2O
3R
3O
M
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
5.1 - Composition des vecteurs vitesses.
)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313
Vitesse absolue Vitesse d’entrainementVitesse relative
La vitesse relative se calcule par dérivation vectorielle ou par cinématique du solide
2
223
Rdt
MOd)/R(M,RV
)/( 23323323 RRMO)/R,R(OV)/R(M,RV
car M est fixe / R3 et O2 est fixe / R2
La vitesse d’entrainement se calcule uniquement par cinématique du solide
1
112
Rdt
MOd)/R(M,RV
)/( 12212212 RRMO)/R,R(OV)/R(M,RV
M est fixe / R3 et O1 est fixe / R1
)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313
Interprétation :
1R
1O
2R
2O
3R
3O
M 1R
1O
2R
2O
3R
3O
M
1R
1O
2R
2O
3R
3O
M
Mouvement 2/1 Mouvement 3/2
3R
3O
M
Liaison encastrement
Liaison encastrement
Position à l’instant : t0
Position à l’instant : t1
Liaison encastrement Liaison
encastrement
Mouvement 2/1 Mouvement 3/2
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
5.1 - Composition des vecteurs vitesses.
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
5.2 - Composition des vecteurs rotations.
)/R(P,RV)/R(P,RV)/R(P,RV 122313
)/(
)/()/(
1212
23231313
RRPM)/R(M,RV
RRPM)/R(M,RVRRPM)/R(M,RV
)/()/()/( 122313 RRPMRRPMRRPM
)/()/()/( 122313 RRRRPMRRPM
)/()/()/( 122313 RRRRRR
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
5.3 - Composition des torseurs distributeur des vitesses.
)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313
)/()/()/( 122313 RRRRRR
)/R(M,RV
)/R(RΩ)/RV(R M
13
1313Or
Résultante
Moment
MMM )/RV(R)/RV(R)/RV(R 122313
Généralisation :
MMnnMnnMn )/RV(R)/RV(R)/RV(R)/RV(R 122111 ....
5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.
5.3 - Composition des torseurs distributeur des vitesses.
MMM )/RV(R)/RV(R)/RV(R 122313 Conséquence :
MM
MMMM
)/RV(R)/RV(R
)/RV(R)/RV(R)/RV(R)/RV(R
2113
12232313
MMM )/RV(R)/RV(R)/RV(R 211323
MM )/RV(R)/RV(R 2112
MMM )/RV(R)/RV(R 21120
)/R(M,RV)/R(M,RV 2112
)/()/( 2112 RRRR
6 - Composition des vecteurs accélérations.
)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313
Vitesse absolue Vitesse d’entrainementVitesse relative
Rappel (§5.1)
)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313
Liaisons
1R
1O
2R
2O
3R
3O
M
6 - Composition des vecteurs accélérations.
)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313 Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.
)/R(M,RΓdt
)/R(M,RVd
R
1313
1
car M est fixe / R3
)/R(M,RV)/R(RΩ dt
)/R(M,RVd
dt
)/R(M,RVd
RR
23122323
21
)/R(M,RV)/R(RΩ )/R(M,R dt
)/R(M,RVd
R
23122323
1
(formule de dérivation vectorielle)
car M est fixe / R3
6 - Composition des vecteurs accélérations.
)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313 Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.
)/R,R(OΓdt
)/R,R(OVd
R
122122
1
car O2 est fixe / R2
111
12212
2122
RRRdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩ
dt
MOd
dt
)/R(RΩMOd
12
12212212
2
RRdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ
dt
MOd
12
1221221212
2
RRdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/R(RΩ
dt
MOd
(formule de dérivation vectorielle)
6 - Composition des vecteurs accélérations.
)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313 Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.
12
1221221212
2
RRdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/R(RΩ
dt
MOd
)/RR(MV 23, car M est fixe / R3 et O2 est fixe / R2
1
122122121223,
Rdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/R(RΩ)/RR(MV
1
122122122312 ,
Rdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/RR(MV)/R(RΩ
6 - Composition des vecteurs accélérations.
)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313 Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.
)/R(M,RΓ 13)/R(M,RV)/R(RΩ )/R(M,R 231223
)/R,R(OΓ 122
1
122122122312 ,
Rdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/RR(MV)/R(RΩ
)/R(M,RΓ 13 )/R(M,R 23 )/R(M,RV)/R(RΩ 2312.2
1
12212212122 ,
Rdt
)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/RR(O
)/R(M,RΓ)/R(M,RV)/R(RΩ.)/R(M,RΓ )/R(M,RΓ 1223122313 2
6 - Composition des vecteurs accélérations.
)/R(M,RV)/R(RΩ.)/R(M,RΓ)/R(M,RΓ )/R(M,RΓ 2312122313 2
Accélération absolue
Accélération d’entrainement
Accélération relative
Accélération de Coriolis
• L’accélération relative se calcule par dérivation vectorielle
2
2323
Rdt
)/R(M,RVd)/R(M,R car M est fixe / R3
• L’accélération d’entrainement se calcule par le champs des accélérations d’un solide :
1
1212
Rdt
)/R(M,RVd)/R(M,R M est fixe / R3
1R
1221221212212
dt
)/R(Rd MO )/R(RMO)/R(R )/R,R(O)/R(M,R
• L’accélération de Coriolis : V.2
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
Soit (S1) un solide.
I
1S
2S 12n
Soit (S2) un solide en contact avec (S1).
Soit I le point de contact entre (S1) et (S2).
Remarque : I point de contact n’appartient ni a (S1) et ni a (S2).
I n’est pas fixe / à (S1).
I n’est pas fixe / à (S2).
Les surfaces extérieures de (S1) et de (S2) sont régulières, c'est à dire qu'il existe un plan tangent commun () à (S1) et
(S2) en I.
12nSoit , le vecteur unitaire normal au plan tangent commun () en I, orienté de (S1) vers (S2) . 112 n
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
Problème : détermination du torseur distributeur des vitesses du solide (S2) dans
son mouvement par rapport au solide (S1) au point I .
)/S(I,SV
)/S(SΩ)/SV(S I
12
1212
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
7.1 - Vecteur pivotement, vecteur roulement.
)/S(SΩ)/S(SΩ)/S(SΩ RP 121212
Vecteur roulementVecteur pivotement
Vecteur de rotation
Il est porté selon la normale au plan
tangent () orienté de (S1) vers (S2).
12121212 n.)/S(SΩ.n )/S(SΩP
Il est dans le plan tangent ().
)/S(SΩ)/S(SΩ)/S(SΩ PR 121212
12121212 n)/S(SΩn)/S(SΩR
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
I
1S
2S 12n
7.1 - Vecteur pivotement, vecteur roulement.
)/S(SΩ)/S(SΩ)/S(SΩ RP 121212
)/S(SΩ 12)/S(SΩP 12
)/S(SΩR 12
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
I
1S
2S 12n
7.2 - Vecteur glissement.
)/SS(IV)/S(SGI 1212 ,
)/SS(IV 12,
)(
I
1S
2S 12n
)/SS(IV 12,
Cas du glissement Cas de la rupture de contact
Composante normale au contact RUPTURE
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
7.2 - Vecteur glissement.
Conséquence :
Comme I point de contact n’appartient ni a (S1) et ni a (S2),
)/S(I,SV 12
OI
pour calculer, il ne faudra jamais dériver un quelconque
vecteur position , mais utiliser :
)/SS(MV 12,• Si un vecteur vitesse en un point M du mouvement S2/S1 est connu
)/S(SΩIM)/S(M,SV)/S(I,SV 121212
• Par loi composition en faisant intervenir un solide ou repère R
/R)(I,SV/R)(I,SV)/S(I,SV 1212
/R)(SΩIP/R)(P,SV 11
/R)(SΩIM/R)(M,SV 22 Le choix de R doit être judicieux pour minimiser les calculs.
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
7.4 - Axe instantané de rotation (A.I.R.).
01212 )/S(I,SV)/S(SGI
I
I
)/S(SΩ )/SV(S
0
1212
)/S(SΩ
)/S(SΩ u
12
12
* Si
est un glisseur
Posons
L’axe instantané de rotation est l’axe central du torseur
),()( 12 uI
M)/S(SΩ 12
I
)/SS(MV 12,
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
7.5 - Axoïdes du mouvement.
PAR DÉFINITION : Les axoïdes du mouvement de (S2)/(S1) sont les deux surfaces engendrées par l'axe instantané de rotation (AIR : 12) au cours
du temps, d'une part sur le solide (S2), d'autre par sur le solide (S1). Ces axoïdes sont dites "surfaces réglées" car elles sont générées par le déplacement relatif d'une droite : l'AIR.
La surface obtenue sur le solide (S1) est appelée axoïde base
(ou base du mouvement de (S2)/(S1)).
La surface obtenue sur le solide (S2) est appelée axoïde roulante
(ou roulante du mouvement de (S2)/(S1)).
La roulante roule sur la base au niveau de l'axe instantané de rotation (12) car l'A.I.R. est l'ensemble des points de vitesse nulle.
7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.
7.5 - Axoïdes du mouvement.
Exemple : Roulante = cylindre
Base = cylindre
1S
2S
I
0, 12 )/SS(IV Assuré par l’obstacle des dents
I