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Chimie - 6 ème année - Ecole Européenne

Ecole Européenne de Francfort Page 49

Chapitre n° 3 : LE GAZ PARFAIT I) Modèle du gaz parfait

1) :

L'état gazeuxDans l'état gazeux, les atomes sont généralement associés en molécules déformables, très faiblement liées entre elles et séparées par de grands espaces vides. Le volume qu'elles occupent est beaucoup plus petit que celui qui leur est offert.

:

Exemple : Dans 1 cm3 d'air à la pression de 1 atmosphère, il y a environ 3,3.1019 molécules. C'est-à-dire que chaque molécule a, à sa disposition, en moyenne, un volume

V = moléc10.3,3

cm119

3

= 3.10−20 cm3.

Chaque molécule ayant des dimensions de l'ordre 3,6.10−8 cm, occupe un volume d'environ v = (3,6.10−8)3 = 5.10−23 cm3. Le volume dont dispose chaque molécule est donc 600 fois plus grand que le volume d'une molécule. La distance moyenne d

Soit : d =

entre les molécules (supposées régulièrement espacées) est égale à l'arête du cube de volume V.

3 V = 3 2010.3 − = 3.10−7 cm = 3 nm. Dans le volume libre disponible, les molécules d'un gaz sont en perpétuelle agitation en tous sens. Elles subissent des collisions entre elles et avec les parois du récipient qui les contient; elles peuvent être déformées et vibrer. On peut simplifier l'étude d'un gaz réel en définissant le modèle du gaz parfait.

2) Le modèle du gaz parfaitLe gaz parfait est un gaz idéal, un modèle, dans lequel les molécules sont supposées rigides et totalement indépendantes les unes des autres. Les seules interactions qu'elles peuvent subir lors de leur agitation sont les chocs élastiques entre elles ou avec les parois du récipient contenant le gaz. Nous supposerons désormais que les gaz étudiés sont des gaz parfaits. Le gaz parfait est un modèle de gaz très simple. Il permet de comprendre les comportements des gaz réels.

:

II) Notion de température et de pression

1) :

Agitation thermique et température absolueOn peut imaginer que les molécules d'un gaz (parfait) sont animées de mouvements incessants en tous sens avec des vitesses quelconques. Les trajectoires sont des lignes brisées : segments de droites interrompus par des collisions élastiques des molécules entre elles ou avec les parois.

:

Pour décrire un tel système, on définit une mesure de vitesse moyenne v des molécules et par suite une énergie cinétique moyenne EC = 2

1 .m.v2 (m étant la masse d'une molécule) puis on introduit une nouvelle grandeur notée T (à l'échelle macroscopique), appelée température absolue, proportionnelle à EC.

Le gaz parfait

Page 50 Christian BOUVIER

Le mouvement désordonné des molécules est donc décrit par une vitesse moyenne v (grandeur moléculaire) à laquelle on fait correspondre une température T (grandeur macroscopique). On appelle agitation thermique le mouvement désordonné des molécules. Dans un gaz la distance moyenne que parcourt une molécule entre deux chocs est appelée libre parcours moyen l (ne pas confondre avec la distance moyenne d entre molécules). Le libre parcours moyen dépend de la dimension des molécules et de la densité du gaz. Exemple : Pour l'oxygène sous la pression atmosphérique : l = 5.10−6 cm = 50 nm. A la

température ordinaire, la vitesse moyenne des molécules d'oxygène est v = 450 m.s−1, on trouve qu'une molécule a : n = v/l = 1010 chocs par seconde !!!

Remarque : Ce nombre considérable explique la rapidité avec laquelle un équilibre statistique peut s'établir au sein d'un gaz.

La température absolue, notée T, s'exprime en kelvin (symbole K). Si le mouvement est nul, l'énergie cinétique moyenne est nulle et la température absolue également T = 0 K. Le zéro absolu est une température limite que l'on ne peut pas atteindre. Inversement, une température T très élevée correspond à une agitation thermique intense. Dans la pratique, on utilise généralement une autre échelle de température que l'échelle absolue : l'échelle Celsius. Elle est définie par la grandeur θ telle que : T (K) = 273,15 + θ (°C) L'unité de cette échelle est le degré Celsius (ou °C). Remarque : Il est important de noter que seule l'échelle absolue a un sens physique

(l'agitation thermique). L'échelle Celsius est purement arbitraire (il existe d'ailleurs d'autres échelles : Fahrenheit, Réaumur,...) : elle attribue la valeur θ = 0 °C à la température de la glace fondante, et la valeur θ = 100 °C à celle de l'eau bouillante. Ceci, sous la pression normale (la pression normale est définie par la suite).

Remarque : Bien que les échelles soient différentes : 1 °C = 1 K ce qui n'est pas le cas pour les échelles Fahrenheit ou Réaumur.

2) Pression dans un gaz et interprétation microscopique

On considère une force

: →F agissant perpendiculairement et uniformément (force répartie) sur

une surface plane S. On appelle pression p la quantité :

P =

→

S

F

Dans le système international (SI), la pression s'exprime en pascal (symbole Pa),

1 pascal = 2m1newton1 , mais pour les gaz, on utilise généralement le bar ou le millibar (1 mb,

appelé également hectopascal) : 1 bar = 105 Pa et 1 millibar = 102 Pa = 1 hPa

P(Pa) = ( )( )

F NS m2

Dans un gaz, l'agitation thermique fait que les molécules ont de très nombreux chocs sur les parois du récipient qui le contient : la pression est l'effet statistique à l'échelle macroscopique des innombrables chocs des molécules sur les parois. Les instruments utilisés pour mesurer la pression des gaz s'appellent des manomètres. Le principe est très simple : il s'agit d'équilibrer l'action du gaz par une force extérieure. Pour mesurer la pression atmosphérique on utilise un manomètre à vide ou baromètre.



En 1643, le physicien Torricelli (1608 - 1647) a montré l'existence de la pression atmosphérique en utilisant un baromètre à mercure. Il procédait comme l'indique la figure : (1) - Le tube AB est rempli de mercure et bouché avec le doigt. (2) - Le tube AB est retourné au-dessus d'une cuve contenant du mercure. (3) - L'extrémité A du tube étant sous le niveau du mercure de la cuve et le doigt enlevé, le

mercure reste soulevé sur une hauteur de 76 centimètres environ. A l'extrémité B, au-dessus du mercure, on a le vide.

Le baromètre à mercure est précis mais difficilement transportable (presque 1 m de hauteur, lourd, fragile et son support doit être stable). On utilise fréquemment un baromètre à capsule anéroïde

(vidé d'air). L'organe sensible permettant la mesure est la capsule de Vidie.

Exemple : A cause de l'atmosphère, une surface de 1 m2, au niveau de la mer, subit une force voisine de celle provoquée par une masse de 10 tonnes. Cela représente une force de 100 000 N (newtons) par mètre carré c'est-à-dire une pression p0 de 100 000 Pa (pascals) ou 1 000 hPa (hectopascals) ou 1 000 mb (millibars).

Exemple : Lorsque le baromètre à mercure indique une hauteur de 76 cm de mercure, on a : P0 = ρHg.g.h = 13600x9,8x0,76 = 101300 Pa = 1013 hPa

Exemple : La pression atmosphérique varie avec l'altitude : entre 0 et 600 m, elle diminue de 1 hPa chaque fois que l'on s'élève de 8,5 m.

Interprétation moléculaire : Analysons le mécanisme du choc à l'échelle des molécules. Supposons pour simplifier que toutes les molécules (masse m) ont la même vitesse, la vitesse moyenne v. Raisonnons avec une molécule : sur la paroi, le choc est élastique, la molécule arrivant avec la vitesse

→v rebondit et repart dans la direction symétrique par rapport à la normale; sa

vitesse est alors →'v .

Avant le choc sa quantité de mouvement est : →p = m.

→v

Après le choc, sa quantité de mouvement est : →'p = m.

→'v

La variation de la quantité de mouvement est : ∆→p =

→'p −

→p ≠

→0

Le gaz parfait


La quantité de mouvement n'est donc pas conservée lors du choc. Nous savons que cela signifie que le système (ici la molécule) n'est pas isolé : une force

→f intervient.

Effectivement, le contact de la molécule avec la paroi lors du choc supprime cet isolement et tout se passe comme si une force

→f modifiait cette quantité de mouvement.

Le raisonnement fait pour une molécule peut être repris pour l'ensemble des molécules : les nombreux chocs, de toutes les molécules, contribuent à une force

→F somme des forces

→f .

Si le gaz est enfermé dans un récipient muni d'un piston mobile de surface S, on constate qu'il faut exercer une force

→'F pour compenser l'action

→F des molécules du gaz.

Nous avons donc →F +

→'F =

→0 le gaz exerce sur le piston la pression :

P =

→

S

F =

→

S'F

La pression paraît constante en tous les points de la paroi du récipient (pour une température donnée) car l'observation est faite à l'échelle macroscopique sur un très grand nombre d'événements que sont les chocs élastiques en tous les points de la paroi. La pression sera d'autant plus grande que le nombre de chocs sera plus important pour une durée donnée (fréquence des chocs) et que la quantité de mouvement des molécules sera plus élevée (masse et vitesse moyenne des molécules). La pression d'un gaz parfait est due aux innombrables chocs des molécules sur les parois. Elle dépend du volume du récipient, du nombre de molécules et de la température.

III) Loi des gaz parfaits1)

: Loi de Boyle-MariotteA mesure qu'un ballon sonde rempli d'hélium monte dans l'atmosphère, son volume augmente parce que la pression extérieure diminue graduellement.

:

Inversement, quand on diminue le volume enfermé dans une pompe en enfonçant le piston, on augmente la pression du gaz enfermé. Au XVIIe siècle, le chimiste irlandais Robert Boyle a étudié le comportement des gaz. En 1776, Edme Mariotte, un physicien français énonce en même temps que lui, la loi. La loi de Boyle-Mariotte dit que le volume d'une masse donnée (quantité de matière n) de gaz maintenu à température constante est inversement proportionnel à sa pression :

V = k1. P1 ou P.V = k1 à T et n constants

Ainsi pour une masse de gaz donnée dans des conditions de pressions (P1 et P2) et de volumes (V1 et V2) différents, mais à température constante, on aura :

P1.V1 = k1 = P2.V2


Ecole Européenne de Francfort 3

2) Loi de Gay-Lussac-CharlesL'expérience montre que pour une masse donnée de gaz à pression constante, le volume augmente si la température augmente et le volume diminue si la température diminue. En fait le rapport quantitatif entre les variations de volume et de température est remarquablement constant : en extrapolant la droite obtenue pour une pression donnée jusqu'au volume zéro, celle-ci coupe l'axe des températures à − 273,15 °C. (zéro absolu !!).

:

En 1848, le physicien écossais, lord William Thomson Kelvin, comprit la signification de cette température (le zéro absolu). Jacques Charles et Joseph Gay-Lussac, deux scientifiques français furent les premiers à étudier cette relation. La loi de Charles dit que pour une masse donnée de gaz maintenu à pression constante, le volume V du gaz est directement proportionnel à sa température absolue T :

TV = k2 à P et n constants

Pour une masse de gaz donnée dans des conditions de températures (T1 et T2) et de volumes (V1 et V2) différents, mais à pression constante, on aura :

1

1

TV = k2 =

2

2

TV

Une conséquence de la Loi de Gay-Lussac-Charles est que pour une masse donnée de gaz maintenu à volume constant, la pression P du gaz est directement proportionnelle à sa température absolue T :

TP = k3 à V et n constants

Les deux expressions TV = k2 et

TP = k3 correspondent à la même loi

Le gaz parfait


3) Loi d'AvogadroLe travail du scientifique italien Amedeo Avogadro compléta les recherches de Boyle, de Charles et de Gay-Lussac. En 1811, il propose l'hypothèse suivante :

:

A la même température et à la même pression, des volumes égaux de gaz différents contiennent le même nombre de molécules. Le volume d'un gaz donné est proportionnel à la quantité de matière qu'il contient :

V = k4.n à P et T constants Ou n est la quantité de matière (nombre de moles) et k4 est la constante de proportionnalité.

4) Equation des gaz parfaits

La loi de Boyle : P.V = k1 (à T = cte et n = cte) :

La loi de Charles : V = k2.T (à P = cte et n = cte) ou P = k3.T (à V = cte et n = cte) La loi d'Avogadro : V = k4.n (à P = cte, et T = cte) Nous pouvons combiner ces trois lois : P.V = k3.T.k4.n = k3.k4.n.T, on pose k3.k4 = R La loi des gaz parfaits s'écrit : P.V = n.R.T P est la pression du gaz (exprimée en Pa), V est le volume de gaz (exprimé en m3), n est la quantité de matière de gaz (exprimée en mol), T est la température absolue

Dans le système international (S.I.) la constante des gaz parfaits prend la valeur :

du gaz (exprimée en K) et R est la constante des gaz parfaits.

R = 8,32 Pa.m3.mol−1.K−1

IV) Applications1)

: Conditions normales, conditions standards et conditions ambiantesEn thermodynamique, on rencontre deux pressions de référence :

:

- la pression standard- la pression

P = 1 bar = 105 Pa ≈ 750 mm Hg, recommandée par l'IUPAC. normale

Il n'y a pas de température standard. Il convient donc de préciser la température considérée : : P 1 atm = 1,01325 105 Pa ≈ 760 mm Hg.

- les conditions normales

- les conditions

de température et de pression (CNTP) spécifient une température T = 0 °C = 273,15 K et une pression de P = 1 atm = 1013,25 hPa = 1,01325 bar.

ambiantes

de température et de pression (CATP) spécifient une température de T = 25 °C = 298,15 K et une pression de P = 1 000 hPa = 1 bar.

2) Volume molaire des gazDans les conditions normales (CNTP) : V0 = 2,24.10−2 m3.mol−1 = 22,4 L.mol−1

:

Dans les conditions ambiantes (CATP) : VS = 2,48.10−2 m3.mol−1 = 24,8 L.mol−1



A RETENIR

I) Modèle du gaz parfait1)

: L'état gazeuxDans l'état gazeux, les atomes sont généralement associés en molécules déformables, très faiblement liées entre elles et séparées par de grands espaces vides. Le volume qu'elles occupent est beaucoup plus petit que celui qui leur est offert.

:

2) Le modèle du gaz parfait

Le gaz parfait est un gaz idéal, un modèle, dans lequel les molécules sont supposées rigides et totalement indépendantes les unes des autres. Les seules interactions qu'elles peuvent subir lors de leur agitation sont les chocs élastiques entre elles ou avec les parois du récipient contenant le gaz.

:

II) Notion de température et de pression

1) :

Agitation thermique et température absolueOn appelle agitation thermique le mouvement désordonné des molécules.

:

La température absolue, notée T, s'exprime en kelvin (symbole K). La température Celsius est définie par la grandeur θ telle que : T (K) = 273,15 + θ (°C) L'unité de cette échelle est le degré Celsius (ou °C).

2) Pression dans un gaz et interprétation microscopique

P(Pa) =

: ( )( )

F NS m2

La pression d'un gaz parfait est due aux innombrables chocs des molécules sur les parois. Elle dépend du volume du récipient, du nombre de molécules et de la température.

III) Loi des gaz parfaits1)

: Loi de Boyle-MariotteLe volume d'une masse donnée (quantité de matière n) de gaz maintenu à température constante est inversement proportionnel à sa pression :

:

V = k1. P1 ou P.V = k1 à T et n constants

2) Loi de Gay-Lussac-Charles

Pour une masse donnée de gaz maintenu à pression constante, le volume V du gaz est directement proportionnel à sa température absolue T :

:

TV = k2 à P et n constants

Pour une masse donnée de gaz maintenu à volume constant, la pression P du gaz est directement proportionnelle à sa température absolue T :

TP = k3 à V et n constants

Le gaz parfait


3) Loi d'AvogadroA la même température et à la même pression, des volumes égaux de gaz différents contiennent le même nombre de molécules.

:

Le volume d'un gaz donné est proportionnel à la quantité de matière qu'il contient : V = k4.n à P et T constants

4) Equation des gaz parfaits

La loi des gaz parfaits s'écrit : P.V = n.R.T

:

P est la pression du gaz (exprimée en Pa), V est le volume de gaz (exprimé en m3), n est la quantité de matière de gaz (exprimée en mol), T est la température absolue

Dans le système international (S.I.) la constante des gaz parfaits prend la valeur :

du gaz (exprimée en K) et R est la constante des gaz parfaits.

R = 8,32 Pa.m3.mol−1.K−1

IV) Applications1)

: Conditions normales, conditions standards et conditions ambiantesDeux pressions de référence :

:

- la pression standard- la pression

P = 1 bar = 105 Pa ≈ 750 mm Hg, recommandée par l'IUPAC. normale

Il convient de préciser la température considérée : : P 1 atm = 1,01325 105 Pa ≈ 760 mm Hg.

- les conditions normales

- les conditions

de température et de pression (CNTP) spécifient une température T = 0 °C = 273,15 K et une pression de P = 1 atm = 1013,25 hPa = 1,01325 bar.

ambiantes

de température et de pression (CATP) spécifient une température de T = 25 °C = 298,15 K et une pression de P = 1 000 hPa = 1 bar.

2) Volume molaire des gazDans les conditions normales (CNTP) : V0 = 2,24.10−2 m3.mol−1 = 22,4 L.mol−1

:

Dans les conditions ambiantes (CATP) : VS = 2,48.10−2 m3.mol−1 = 24,8 L.mol−1



POUR S'ENTRAÎNER

I) Cocotte-minute. Une cocotte-minute de capacité V = 8,0 L, contient un litre d'eau. On visse le couvercle. L'air intérieur est à la pression atmosphérique P0 = 1,02.105 Pa; l'ensemble est à la température θ = 20 °C. On chauffe le tout jusqu'à la température θ' = 112 °C. Une masse m = 6,0 g d'eau s'est vaporisée. a) Quelle quantité de matière d'air est enfermée dans la cocotte ? b) Quelle quantité de matière d'eau s'est vaporisée ? c) Quel est le volume V' occupé par l'air et la vapeur d'eau à la température θ' = 112 °C ? d) Quelle est la pression P' qui règne à l'intérieur de la cocotte-minute à cette température ? On donne : masse molaire moléculaire de l'eau : MH2O = 18 g.mol−1. constante des gaz parfaits : R = 8,32 S.I.

II) Pompe de bicyclette.

A l'aide d'une pompe, un cycliste gonfle son pneumatique de volume constant V1 = 3200 cm3. L'air admis dans le corps de pompe est à la pression atmosphérique P0 = 1013 mbar et à la température T0 = 293 K. Le corps de pompe à un volume V = 80 cm3 : c'est donc le volume d'air admis dans la pompe, à la pression atmosphérique, quand le cycliste tire sur le piston. C'est cet air qui est poussé dans le pneumatique quand le cycliste enfonce le piston. a) Quelle est la quantité de matière d'air entrant dans le pneumatique à chaque coup de

pompe ? b) Le cycliste donne 60 coups de pompe. En admettant qu'à la fin de l'opération l'air dans le

pneumatique est toujours à la température T0 = 293 K, quelle est alors la pression de l'air dans le pneumatique ?

c) La pression maximale admissible dans le pneumatique est Pmax = 1,7 bar. A quelle température devrait être l'air atmosphérique pour atteindre cette pression ?

On donne : Constante des gaz parfaits : R = 8,32 S.I.

III) Cycle de transformations. On réalise l'expérience suivante. Dans un cylindre muni d'un piston, on enferme 0,1 mole d'air sous la pression P0 = 1,0 bar et la température normale T0 = 273 K (point A). a) Quel est le volume V0 de cette quantité d'air dans le cylindre ? On donne la constante des

gaz parfaits R = 8,32 J.K−1.mol−1. b) Grâce à un dispositif de chauffage, on élève la

température de ce gaz en maintenant son volume constant et égal à V0 jusqu'à ce que la pression atteigne la valeur P1 = 2 bars (point B). Calculer la température T1 correspondante.

c) L'état du gaz étant pression P1, et température T1, on augmente alors le volume de V0 à V2 = 2.V0 en maintenant la pression constante P1 (point C). Calculer la nouvelle température T2.

d) En refroidissant le gaz à volume constant V2 (point D), puis en réduisant son volume à pression constant P0, on revient à l'état initial (point A). L'air a alors décrit le cycle ABCD. Calculer la température T3 correspondant au point D.

Le gaz parfait


IV) Loi des gaz parfait, formule du soufre gazeux.

La formule moléculaire du soufre gazeux change avec la température. On veut étudier cette formule moléculaire à 445 °C puis à 1000 °C. a) Sachant que la masse volumique de l'air est µ0

air = 1,293 kg.m−3 dans les conditions normales de températures et de pression (T0 = 273,15 K et P0 = 101325 Pa), calculer sa valeur à la pression normale P0 et à 445 °C (µ445

air) puis à 1000 °C (µ1000air).

b) La densité du soufre gazeux par rapport à l'air, sous la pression normale est d445soufre = 6,6 à

445 °C et d1000soufre = 2,2 à 1000 °C. Calculer dans ces deux cas les masses volumiques du

soufre : µ445soufre et µ1000

soufre puis les masses molaires moléculaires correspondantes du soufre M445

soufre et M1000soufre.

c) En déduire les formules moléculaires de la vapeur de soufre à 445 °C puis à 1000 °C, sachant que la masse atomique du soufre est MS = 32 g.mol−1.

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