CHAPITRE 4

Calcul littéral et Identités Remarquables

Objectifs:

-Factoriser et développer des expressions en utilisant les identités remarquables.

-Tester la validité d’une factorisation ou d’un développement.

I. Les outils

1) La simple et la double distributivité

Quelques soient les nombres relatifs a, b, c, d et k on a :

k x ( a + b ) = k x a + k x b

( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

Exemples : 143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )

= 143 x 100 + 143 x 2

k x ( a + b ) = k x a + k x b

= 14 300 + 286

= 14 586

102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 ) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9

= 20 000 + 900 + 400 + 18

= 21 318

A = 3(- 6x + 4)

= -18x

k x ( a + b ) = k x a + k x b

+ 12

B = (2x + 3)(3x - 4) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

= 6x² - 8x + 9x – 12

= 6x² + x - 12

2) Règle de suppression des parenthèses

Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses :

- précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses.

- précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé.

Exemple : A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )

= 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )

= 8 – 3 + x – 4 + 3x

= 4x + 1

3) Les trois identités remarquables

Quelques soient les nombres relatifs a et b on a :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Voir les démonstrations de ces identités dans le cahier d’exercices.

Exemples : 103² = ( 100 + 3 )² (a + b)² = a² + 2ab + b²

= 100² + 2 x 100 x 3 + 3²

= 10 000 + 600 + 9

= 10 609

(a + b)(a – b) = a² - b²

96² = ( 100 - 4 )² (a - b)² = a² - 2ab + b²

= 100² - 2 x 100 x 4 + 4²

= 10 000 - 800 + 16

= 9 216

105 x 95 = ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 ) (a + b)(a - b) = a² - b²

= 100² - 5²

= 10 000 - 25

= 9 975

II. Développer une expression littérale

Développer une expression littérale, c’est la transformer en une somme de termes.

1) Développer une identité remarquable

Exemples :

Développer en utilisant les identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²A = (x + 3)²

a est représenté par x : donc a² vaut x²= x²

b est représenté par 3 : donc 2ab vaut 2 x x x 3 = 6x

+ 6x

et b² vaut 3²= 9

+ 9

B = (4 - 3x)² (a - b)² = a² - 2ab + b²

a est représenté par 4  : donc a² vaut 4²=16= 16

b est représenté par 3x  :

donc 2ab vaut 2 x 4 x 3 x = 24 x

- 24x

et b² vaut (3x )²= 9x²

+ 9x²

C = (2x + 3)(2x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b²

a est représenté par 2x  : donc a² vaut (2x )²= 4x²

= 4x²

b est représenté par 3  : donc b² vaut 3²= 9

- 9

2) Application à des développements plus complexes

Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes.

A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )

= (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )(a - b)² = a² - 2ab + b² ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d

= 4x² - 12x + 9 + 3x – x ² + 15 - 5x

= 3x² - 14x + 24

B = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²

= ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²

(a + b)(a - b) = a² - b²

= x² - 9 -

(a - b)² = a² - 2ab + b²

( 16 - 24x + 9x² )

= x² - 9 - 16 + 24x - 9x² Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -

= -8x²+ 24x - 25

III.Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale, c’est la transformer en un produit de facteurs.

1) Le facteur commun est apparentRemarque : pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun, puis utiliser la formule de simple distributivité.

k a + k b = k ( a + b )

Exemples : Factoriser et réduire les expressions suivantes.

A = 4x - 4y + 8= 4x - 4y + 4x2= 4( x - y + 2 )

B = x² + 3x - 5x²

= x x x + x x 3 - x x 5x

= x ( x + 3 - 5x )

= x (- 4x + 3)

C = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x)

= (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x)

= (1 - 6x)[ (1 - 6x) - (2 + 5x)]

= (1 - 6x)[ 1 - 6x - 2 - 5x]

Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -

= (1 - 6x)( - 11x - 1 )

2) Le facteur commun n’est pas apparent

Remarque : pour factoriser, il faut utiliser une identité remarquable. a² + 2ab + b² = (a +

b)²a² - 2ab + b² = (a - b)²

Exemples : Factoriser et réduire les expressions suivantes.

4x² + 12x + 9 =

a² + 2ab + b²= (a + b)²

(2x + 3 )²

avec a = 2x et b = 3

2x 3

a² - b² = (a + b)(a - b)

x² - 2x + 1 =

a² - 2ab + b²= (a - b)²

(2x - 3 )²avec a = x et b = 1

x 1

25x² - 49 = ( + )( - )

a² - b²= (a + b) (a - b) avec a = 5x et b = 7

5x 7 5x 7

A = (2x + 3)² - 64 a² - b²= (a + b) (a - b)

=[ – ][ + ] avec a = (2x + 3) et b = 8

(2x + 3) (2x + 3) 8 8

= [2x + 3 – 8][2x + 3 + 8]

= (2x – 5)(2x + 11)