sommes et identités remarquables

Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2021-2022 – Cours et compléments

Sommes et identités remarquables

I Généralités sur les sommes

I.1 Définition. Exemples.

Notation 1 Soient a et b deux entiers naturels et (un)n∈N une suite de complexes.

On note :b∑

k=a

uk =

ßua + ua+1 + ua+2 + · · ·+ ub−1 + ub si a ⩽ b0 sinon.

Remarque 1

Dans l’expressionb∑

k=a

uk, la variable k est liée par le symbole∑

. Cela signifie qu’on peut la renommer, cela ne change

pas l’expression. On peut ainsi tout aussi bien écrireb∑

k=a

uk queb∑

i=a

ui oub∑

j=a

uj .

Exemples 1

1.5∑

k=2

k2 =

2.4∑

p=3

kp =

Rappelons tout de suite le résultat suivant du programme de première (on le redémontrera plus bas) :

Exemple 2 Soit n ∈ N. On an∑

k=1

k =

La somme étant commutative, l’ordre de sommation ne change pas la valeur de la somme. Par exemple, quelle que soitla suite (un)n∈N, on a : u4 + u1 + u5 + u7 = u7 + u1 + u5 + u4, ce qu’il est plus agréable de noter

∑k∈{1,4,5,7}

uk.

Plus généralement :

Notation 2 Soit (ui)i∈I une famille de nombres complexes indexée par un ensemble fini I, c’est-à-dire la donnée,

pour tout indice i ∈ I, d’un nombre complexe ui (c’est la même chose qu’une application de I dans C). On note∑i∈I

ui

la somme de tous les ui pour i ∈ I. Précisément, en notant I = {i1, . . . , in}, on a∑i∈I

ui =

n∑k=1

uik .

La somme étant commutative, l’ordre des ik dans la description de I n’a aucune importance.

Remarque 2

Dans toute la suite on se limitera à des sommes des la formeb∑

k=a

uk pour les exemples pratiques, et on n’hésitera pas

à les écrire sous la forme ua + ua+1 + · · ·+ ub si c’est plus agréable.

1


I.2 Parenthèse sur les produits

On définit de même les produits :

Notation 3

1. Soient a et b deux entiers naturels et (un)n∈N une suite de complexes.

On note :b∏

k=a

uk =

ßua × ua+1 × ua+2 × · · · × ub−1 × ub si a ⩽ b1 sinon.

2. Soit (ui)i∈I une famille de nombres complexes indexée par un ensemble fini I, on note∏i∈I

ui le produit de tous

les ui pour i ∈ I, qui a un sens non ambigu puisque le produit est commutatif.

Un exemple tiré du programme de première :

Exemple 3 La quantitén∏

k=1

k s’appelle .................................................................................................. On la note ...........

En particulier on a : 0! = ........ et, pour tout complexe z : z0 = ........ donc entre autres ..................

Remarque 3

Dans la suite on se limite aux propriétés sur les sommes.

Toutes ont un analogue sur les produits à déterminer à titre d’exercice.

I.3 Propriétés

Théorème 1 : Propriétés de la somme

1. Identite de comptage : pour a ⩽ b on a

b∑k=a

1 = b− a+ 1.

2. Relation de Chasles : pour a ⩽ b ⩽ c et (un)n∈N une suite complexe, on a :b∑

k=a

uk +

c∑k=b+1

uk =

b−1∑k=a

uk +

c∑k=b

uk =

c∑k=a

uk.

3. Linearite : pour a, b ∈ N, (un)n∈N, (vn)n∈N deux suites complexes et λ, µ deux complexes, on a :b∑

k=a

(λuk + µvk

)= λ

b∑k=a

uk + µb∑

k=a

vk.

Remarque 4

Ce résultat se transpose bien sûr aux sommes de la forme∑i∈I

ui, vous pouvez essayer d’énoncer la variante correspon-

dante à titre d’exercice optionnel.

Exemples 4

1. Calculonsn∑

k=1

(n− k).

2


2. Calculons2n∑

k=n+1

k.

I.4 Changement d’indice sommatoire

Théorème 2 : Changement de variables

Soient I et J deux ensembles finis, et f : I → J une bijection, c’est-a-dire une application telle que

∀j ∈ J, ∃!i ∈ I, f(i) = j. Soit (uj)j∈J une famille de complexes indexee par J . Alors on a∑i∈I

uf(i) =∑j∈J

uj

Démonstration. C’est immédiat par commutativité de la somme.

Si on souhaite détailler plus (mais on ne souhaite pas) : en notant I = {i1, . . . , in}, l’hypothèse de bijectivité indique

qu’on a J = {f(i1), . . . , f(in)} et donc∑i∈I

uf(i) = uf(i1) + . . .+ uf(in) =∑j∈J

uj .

Remarque 5

Il est totalement inutile de connaître l’énoncé de ce théorème. C’est la pratique du changement d’indice dans des cassimples qu’il faut savoir maîtriser. Illustrons-la sur les exemples suivants.

Exemples 5

1. Retrouvons la valeur de2n∑

k=n+1

k « en posant i = k − n ».

3


2. Retrouvons la valeur den∑

k=1

(n− k) « en posant i = n− k ».

3. Calculonsn∑

k=0

cos2Åkπ

2n

ã.

I.5 Sommes télescopiques.

Définition 1 : Somme télescopique

On appelle somme telescopique une somme de la forme

n∑k=0

(ak+1 − ak

), ou n ∈ N et (an)n∈N est une suite.

Remarque 6

Variantes : des sommes de la formen∑

k=1

(ak+1 − ak

),

n∑k=1

(ak − ak−1

),

n∑k=1

(ak − ak+1

)(etc !) sont aussi d’autres formes

de sommes télescopiques.

Théorème 3 : Somme télescopique

Pour toute suite complexe (an)n∈N et tout entier n, on a

n∑k=0

(ak+1 − ak

)= an+1 − a0.

Démonstration.

4


Remarque 7

On a évidemment une variante de ce théorème pour les autre types de sommes télescopiques et on doit être capable del’adapter au cas par cas.

On a évidemment une variante de ce théorème pour les produits télescopiques et on doit être capable de l’utiliser.

Exemples 6 Soit n ∈ N.

1. Calculonsn∑

k=1

ln(k + 1

k

).

2. Calculonsn∑

k=0

2k.

Évidemment, c’est un cas particulier de l’identité géométrique, on n’a pas vraiment besoin de télescopage ici.

Application 1

1. Pour n ∈ N, calculern∑

k=2

1

k(k − 1).

2. En déduire qu’on a ∀n ∈ N,n∑

k=1

1

k2⩽ 2.

3. En déduire que la suiteÅ n∑

k=1

1

k2

ãn∈N

converge.

5


6


II Identités arithmétique et géométrique

II.1 Identité arithmétique et applicationsC’est le résultat vu en première déjà mentionné plus haut.

Théorème 4 : Identité arithmétique

Soit n ∈ N. On a

n∑k=1

k =

Démonstration.

Définition 2 : Suite arithmétique

Soit r ∈ C. On appelle suite arithmetique de raison r une suite (un)n∈N telle que ∀n ∈ N, un+1 = un + r.

Théorème 5 : Expression du terme général d’une suite arithmétique

Soient r ∈ C et (un)n∈N une suite arithmetique de raison r. Alors on a ∀n ∈ N, un = u0 + nr.

Démonstration. Si on tient à être soigneux, on rédigera ceci par récurrence. Cette récurrence ne pose pas de pro-blème, il suffit de la rédiger. Bien sûr, ça ne dispense personne de la détailler sur une copie (en tout cas pour une despremières questions d’un exercice), mais si c’était un cours au tableau, je ne la rédigerais pas.

Ici cela ne me coûte rien (cela coûte un peu d’encre au lycée).

Initialisation : Pour n = 0 on a u0 + nr = u0 + 0r = u0.

Hérédité : Soit n ∈ N et supposons un = u0 + nr.

Par définition d’une suite arithmétique, on a donc un+1 = un + r = u0 + nr + r = u0 + (n+ 1)r.

La propriété est donc bien héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier n ∈ N.

À l’avenir si une telle récurrence se présente j’écrirai "par récurrence immédiate".

Corollaire 1 : Somme des termes d’une suite arithmétique

Soient r ∈ C et (un)n∈N une suite arithmetique de raison r.

Alors on a ∀n ∈ N,n∑

k=0

uk = (n+ 1)u0 +n(n+ 1)

2r =

(n+ 1)(u0 + un)

2.

7


Démonstration.

Remarque 8

On obtient de même, pour i ⩽ j :j∑

k=i

uk =(j − i+ 1)(ui + uj)

2.

II.2 Identité géométrique et applicationsC’est un résultat vu en première. C’est une formule essentielle.

Théorème 6 : Identité géométrique

Soient q ∈ C et n ∈ N. On a (1− q)

n∑k=0

qk = 1− qn+1.

Et donc :

n∑k=0

qk =

Démonstration.

8


Remarque 9

On obtient de même, pour i ⩽ j :j∑

k=i

qk =.

Il semble que savoir réciter instantanément cette formule soit indispensable pour certains colleurs...

Démonstration.

Définition 3 : Suite géométrique

Soit q ∈ C. On appelle suite geometrique de raison q une suite (un)n∈N telle que ∀n ∈ N, un+1 = q un.

Théorème 7 : Expression du terme général d’une suite géométrique

Soient q ∈ C et (un)n∈N une suite geometrique de raison q. Alors on a ∀n ∈ N, un = u0 qn.

Démonstration.

Théorème 8 : Somme des termes d’une suite géométrique

Soient q ∈ C et (un)n∈N une suite geometrique de raison q.

Alors on a ∀n ∈ N,n∑

k=0

uk =

Démonstration.

II.3 Suites arithmético-géométriques

Définition 4 : Suite arithmético-géométrique

Soient α ∈ C et β ∈ C. On appelle suite arithmetico-geometrique d’iteratrice x 7→ αx+ β une suite (un)n∈Ntelle que ∀n ∈ N, un+1 = αun + β.

Remarque 10

Le cas α = 1 correspond aux suites arithmétiques et le cas β = 0 aux suites géométriques.

Théorème 9 : Expression du terme général d’une suite arithmético-géométrique

Soient α ∈ C\{1}, β ∈ C et (un)n∈N une suite arithmetico-geometrique d’iteratrice x 7→ αx + β. Alors on a

∀n ∈ N, un =

Démonstration. Une première méthode consiste à juste utiliser l’identité géométrique :

9


Voyons une seconde méthode qui s’adapte à tous les problèmes de nature affine :

II.4 Identité géométrique généraliséeC’est un résultat du programme de maths expertes.

On connaît :

• a2 − b2 =

• a3 − b3 =

Théorème 10 : Identité géométrique généralisée

Soient a, b ∈ C et n ∈ N. On a an − bn = (a− b)

n−1∑k=0

akbn−1−k.

Si c’est plus clair sans le symbole∑

, ça donne : an − bn =(a− b

)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1

).

Démonstration.

10


III Coefficients binomiaux et binôme de Newton

III.1 Coefficients binomiaux

Définition 5 : Définition 5 : Coefficient binomial

Soient n ∈ N et k ∈ Z. On appelle coefficient binomial k parmi n le nombre de facons de choisir k elements

parmi n. On le note(nk

).

Exemples 7

Les deux premiers points de la proposition suivante sont dans le programme de spécialité de terminale.

Proposition 1 : Propriétés des binomiaux

1. Formule de symetrie : ∀n ∈ N ∀k ∈ Z,(nk

)=(

nn−k

).

2. Formule de Pascal : ∀n ∈ N ∀k ∈ Z,(n+1k+1

)=(

nk+1

)+(nk

).

3. Formule du pion : ∀n ∈ N ∀k ∈ Z, k(nk

)= n

(n−1k−1

).

Démonstration. Proposons des démonstrations purement combinatoires de ces trois propriétés.

11


La formule de Pascal permet de calculer de proche en proche tous les binomiaux, de façon plus efficace qu’en utilisantla seule définition : c’est le triangle de Pascal.

Théorème 11 : Formule des factorielles

On a : ∀n ∈ N, ∀k ∈ {0, . . . , n},Çn

k

å=

n!

k!(n− k)!.

Démonstration.On pourrait donner une démonstration combinatoire mais c’est l’occasion de faire une récurrence non triviale.

12


Remarque 11

C’est une méthode très inefficace pour calculer des binomiaux ! Exemple :

Mais on peut en déduire une méthode efficace. Trouvons-la ensemble.

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Cette formule est la bonne formule pour le calcul des binomiaux, et elle reste valable pour k > n.

Pour k ∈ {0, 1, 2}, on retrouve les formules vues en terminale et qui restent à savoir :

III.2 Binôme de NewtonC’est aussi un résultat du programme de maths expertes. On connaît :

• (a+ b)2 =

• (a+ b)3 =

Théorème 12 : Binôme de Newton

Soient a, b ∈ C et n ∈ N. On a (a+ b)n =

n∑k=0

Çn

k

åan−kbk.

Démonstration.On pourrait donner une démonstration combinatoire mais c’est l’occasion de faire une récurrence recyclable.

14


Remarque 12

On peut également écrire cette formule : (a+ b)n =

n∑k=0

Çn

k

åakbn−k. Il n’y a pas de différence puisque la somme est

commutative (ou, si on préfère, en changeant d’indice sommatoire et avec la formule de symétrie). C’est la même.

Enfin, comme on a toujours (−b)k = (−1)kbk, on a évidemment (a− b)n =

n∑k=0

Çn

k

å(−1)kan−kbk. C’est encore la

même.

Application 2

1. Calculonsn∑

k=0

Çn

k

å(programme de l’option maths expertes).

2. Calculonsn∑

k=0

(−1)kÇn

k

å.

3. Calculonsn∑

k pair

Çn

k

ået

n∑k impair

Çn

k

åpour n ⩾ 1.

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III.3 Application au calcul desn∑

k=1

kp

n∑k=1

kpn∑

k=1

kp

Le binôme de Newton permet de calculer, de proche en proche, lesn∑

k=1

kp (il y a beaucoup d’autres méthodes mais ça

nous fait une application de la formule du binôme).

Théorème 13

Soit n ∈ N. On a

n∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

Démonstration. Je vous aide.

Proposition 2

Soit n ∈ N. On a

n∑k=1

k3 =n2(n+ 1)2

4.

On a doncn∑

k=1

k3 =

Å n∑k=1

k

ã2. C’est rigolo. Non ? Bon.

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Démonstration. Vous faites tous seuls.

On pourrait obtenir, de même, les valeurs des autres sommes de la formen∑

k=1

kp de proche en proche.

IV Sommes doublesDans cette dernière section on va s’intéresser aux sommes à doubles indices. On donnera à chaque fois les énoncés desthéorème dans le cas le plus général, mais l’important est de savoir traiter les cas particuliers indiqués.

IV.1 Fubini séparéOn commence par le cas le plus simple, qui est celui où l’on somme sur un rectangle une expression de la forme f(i)g(j).

Exemple 8 Calculons∑

1⩽i,j⩽n

ij. C’est une notation (naturelle) pour∑

(i,j)∈{1,...,n}2

ij.

Voyons déjà où est le rectangle, qui sur cet exemple est un carré :

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Effectuons le calcul :

Théorème 14 : Fubini séparé

On donne l’enonce general du theoreme, mais surtout le cas pratique qui nous interesse :

1. Soient I, J des ensembles finis, f : I → C, g : J → C. On a :∑

(i,j)∈I×J

f(i)g(j) =

(∑i∈I

f(i)

)Ñ∑j∈J

g(j)

é.

2. En particulier : pour f, g : N → C, on a :∑

1⩽i⩽n1⩽j⩽m

f(i)g(j) =

(n∑

i=1

f(i)

)Ñm∑j=1

g(j)

é.

Démonstration. Même chose que sur l’exemple :∑(i,j)∈I×J

f(i)g(j) =∑i∈I

Ñ∑j∈J

f(i)g(j)

épar définition

=∑i∈I

Ñf(i)

Ñ∑j∈J

g(j)

éépar linéarité

=

(∑i∈I

f(i)

)Ñ∑j∈J

g(j)

épar linéarité

IV.2 Fubini rectangulaireMalheureusement, même quand on somme sur un rectangle, on peut sommer une expression qui est seulement de laforme h(i, j) mais ne peut pas s’écrire f(i)g(j).


1⩽i,j⩽n

min(i, j). On peut là encore dessiner ce qu’on somme :

Pour le calcul, il faut regarder, à i fixé, ce qui se passe quand j balaie ses valeurs possibles (ou l’inverse) :

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Théorème 15 : Fubini rectangulaire

Encore une fois on donne aussi l’enonce general du theoreme, mais c’est le cas pratique qui nous interesse :

1. Soient I, J finis, f : I → C, g : J → C. On a :∑

(i,j)∈I×J

h(i, j) =∑i∈I

Ñ∑j∈J

h(i, j)

é=∑j∈J

(∑i∈I

h(i, j)

).

2. En particulier∑

1⩽i⩽n1⩽j⩽m

h(i, j) =

n∑i=1

Ñm∑j=1

h(i, j)

é=

m∑j=1

(n∑

i=1

h(i, j)

).

Démonstration. On n’utilise ici rien d’autre que la commutativité de la somme.

Ceci permet en particulier (si on est dans le cadre d’application du théorème) de "permuter deux symboles∑

", cequi peut parfois simplifier les calculs.

Exemple 10 Une méthode possible pour calculer :n∑

i=0

nin∑

k=0

Çn

k

åÇk

i

å: on permute les deux sommes.

Ici, on peut aussi directement calculern∑

k=0

Çn

k

åÇk

i

åpour finir le calcul, mais c’est plus pénible :

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IV.3 Fubini généralEnfin, on peut très bien sommer sur autre chose qu’un rectangle. Prenons un cas concret qui est celui des triangles :considérons une somme de la forme

∑1⩽i⩽j⩽n

h(i, j). Représentons une telle somme pour visualiser le triangle.


0⩽i⩽j⩽n

ij.

On peut aussi écrire :

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Théorème 16 : Fubini général

1. Si K =∐i∈I

Ji, ce qui signifie qu’un element est dans K si et seulement si il appartient a un et un seul

des Ji, ou I et les Ji sont des ensembles finis, alors∑

(i,j)∈K

h(i, j) =∑i∈I

Ñ∑j∈Ji

h(i, j)

é.

2. Cas particulier des triangles :∑

1⩽i⩽j⩽n

h(i, j) =

n∑i=1

n∑j=i

h(i, j) =

n∑j=1

j∑i=1

h(i, j).

Démonstration. On n’utilise ici rien d’autre que la commutativité de la somme et la relation de Chasles.

Là encore l’intérêt est de pouvoir "permuter deux symboles∑

". Les deux sens de l’égalité peuvent être utiles suivantles cas. Voyons une application pour chacun des deux sens.

Application 3 Soit n ∈ N. On souhaite calculern∑

k=1

kxk. On peut se ramener à un calcul de somme double (on verra

deux autres méthodes en TD) en remarquant que tout entier k peut s’écrire k =

k∑i=1

1 (identité de comptage). Terminez.

Application 4 Formule d’inversion de Pascal.

On suppose avoir deux suites (an)n et (bn)n telles que ∀n ∈ N, bn =n∑

k=0

(nk

)ak.

Alors on a : ∀n ∈ N, an =n∑

k=0

(−1)n+k(nk

)bk. C’est la formule d’inversion de Pascal.

On peut prendre des exemples avant de commencer.

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sommes et identités remarquables

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