Chap4- Calcul littéral et identités remarquables

Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables

Rappel:Réduire une expression : C’est regrouper les termes semblables.

On additionne « les x² avec les x² », « les x avec les x », les nombres entre eux, « les y avec les y », etc…Lorsqu’on réduit, il faut penser ordonner les termes suivant les puissances décroissantes. 5x x 6x =

7x + 5x =

3x +45+5x² –4+2x² =

30x²

12x

7x² + 3x + 41

Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables

Réduire une expression : Ex4p112 a) Réduire si possible

A= 6x + 2x B= 6 x 2x C= 6 + 2x

D=6x² + 2x² E= 6x + 2x² F= 6x x 2x

G=(3x)² H= -5x² + 7x – 3 + 2x² – 3x – 8

> Calculer A, B,…H pour x=3

I / Développer un produit Développer un produit, c’est le transformer en somme. 1) Distributivité simple : Quels que soient les nombres k, a et b, on a :

k (a + b) = k (a – b) = 3(x + 2 ) = -2(1 – 4x) = 2) Distributivité double :Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a : (a + b)(c + d) =

(x + 3)(5 – 4x)=

ka + kb

ac + ad + bc + bd

5x – 4x² + 15 – 12x= -4x² – 7x + 15

ka – kb

3x+ 6 -2 + 8x

I / Développer un produit Ex4p112 b) Développer et réduire

A= 3(2x+5) B= 2(6 – 3x) C= -4(-2x +5)

D= 3(2x+4) + 5(4x+2) E= 4(2x – 3) – 3(5 – 6x)

F= (5x+6) + (4x - 2) G= (2x – 5) – (5x + 3)

H= (2x+4)(4x+2) I= (-4x+6)(2x – 3)

J= (2x+3) (2x+3) K= (3x – 4) (3x – 4)

Ex5p112 Dans chacun des cas, les expressions A et B sont-elles égales?

a) A= (6x+4)(2x–3) B= (4x–6)(3x+2)

b) A= 5(2x+3)+4x B= 7(2x+1)+8

Exercice: Développer les expressions suivantes:

1) (a+b)²

2) (a–b)²

3) (a+b)(a–b)

II / Identités remarquablesQuels que soient les nombres a et b, on a :

• (a + b)² =Le terme « 2ab » s’appelle le double produit (2 x a x b).

(3x + 2)² = (5 + 2y)² =

• (a – b)² =

(x – 3)² = (-2x – 5)²=

• (a + b)(a – b) =

(x+ 2)(x – 2) = (10 – 3x)(10 + 3x) =

a² + 2ab + b²

(3x)² + 2x3xx2 + 2²9x² + 12x + 4

5² + 2x5x2y + (2y)²25 + 20y + 4y²

a² – 2ab + b²

x² – 6x + 9 (-2x)² – 2x(-2x)x5 +5²

4x² + 20x + 25

a² – b²

x² – 2²= x² – 4

10² – (3x)²= 100 – 9x²

II / Identités remarquablesEx55p122: DévelopperA= (6+x)² B= (6 – x)² C=(6 x x)²

D= (3+x)² E= (3 – x)² F=(3 x x)²

Ex56p122: DévelopperA= (5+3x)² B= (5 – 3x)² C=(5 x 3x)²

D= (4+2x)² E= (4 – 2x)² F=(4 x 2x)²

Ex62p122: DévelopperA= (2x+5)(2x – 5) B= (x – 3)(x+3)

C=(5a+2)(5a – 2) D= (3+5b)(3 – 5b)

Ex66p122: DévelopperA= (5x+7)² B= (4x – 3)(6x+2) C=(2 – 6x)²

D= (9x – 3)(9x+3) E= (1+2x)² F= (4 – 7x)(4+7x)

Ex68p122: Développer et RéduireA= 5x+ 3(5x+3) B= 4x² + (3x+4)²

C= 6x² - (3x +2)² D= 2x - (3x+4)(4x+3)

Ex69p122: Développer et RéduireE= 4x² + (x+5)² F= -8x – (2x – 2)²

G= 5x + 4(5x+4) H= 10x² – (4x+3)(4x – 3)

III - Factoriser une somme: Factoriser une somme, c’est la transformer en produit. Pour cela il faut : - soit trouver un facteur commun ;

- soit trouver une identité remarquable. C’est le procédé « inverse » du développement.

III - Factoriser une somme: Rappel : (a+b)² = (a–b)² = (a+b)(a–b)= Reconnaître des identités . 9x² + 12x + 4 = 49 – 4x² = 16 – 40x + 25x² = x² + x + 1/4=y² – 81 = -81 + 100x² =

Exemples: Factoriser avec un facteur communA = x² + 4x = x x x + 4 x x = x( x + 4)

B = 4(x +5) + 4(2x+3) = 4[ (x +5) + (2x+3) ] = 4(3x + 8)

C = (2x + 1)(x – 2) + 6(2x + 1) = (2x + 1) ( x – 2 + 6 ) = (2x + 1) (x + 4)

D= (x + 4)² – (1 – 5x)(x + 4) = (x + 4) [ (x + 4) – (1 – 5x) ] = (x + 4) ( x + 4 – 1 + 5x ) = (x + 4) ( 6x + 3 )

On repère le facteur commun : xOn le met en facteuret on regroupe les autres termes.

On repère le facteur commun : 4On le met en facteuret on regroupe les autres termes.

Même principe, attentionau signe « - » devant la parenthèse ! et (x + 4)² = (x + 4)(x + 4)

Ex5p117 : Factoriser A= (2x+5)(9x+6) – (2x+5)(5x-3)

Ex6p117 : Factoriser B= (6x+2)(4x+3) + (5x+7)(4x+3)

Ex7p117 : FactoriserC= (3x+6)(3x+5) – (3x+6)(-7x+4)

Ex8p117 : Factoriser D= (4 -7x)(-3x -8) – (4 -7x)(-6x -2)

Ex1p117 : Factoriser A=

Ex2p117 : Factoriser C=

Ex3p117 : FactoriserE=

Ex4p117 : Factoriser F=

Exercice : Factoriser A= 2x+10 B= 3x – 12

C= 6x² – 30 D= 28x + 4x²

E= 15x² + 25 F= 20x² – 30x

G= 7x² + 7 H= 9x – 3

Ex50p121 : Factoriser F= (4x+5)(2x –3) – (4x+5)(5x+2)

G= (3x+2)² – (3x+2)(5x –4)

H= (4x+5)² – (4x+5)

Exemples: Factoriser avec les identités remarquables « a² + 2ab + b² »

D = 4x² – 12x + 9 = (2x)² – 2 x 2x x 3 + 3² = (2x – 3)²

On reconnaît l’identité remarquable :a² – 2ab + b² = (a – b)²

Avec a= 2x et b=3

Ex9p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a²+2ab+b²A= 4x² +12x +9 B= 9x² + 6x +4

Ex10p118 : Factoriser si possibleC= 9 + 24x + 16x² D= x² +6x +9

Ex11p118 : Factoriser si possibleE= 9x² - 30x +25 F= 36x² - 12x +1

Exemples: Factoriser avec l’identité remarquable « a² – b² »E = 25x² - 16 = (5x)² - 4² = (5x + 4)(5x – 4)

F = (3x + 2)² – 25 = (3x + 2)² – 5² = (3x+2 + 5)(3x+2 – 5) = (3x+ 7)(3x – 3)

G = (x + 6)² – (2x + 1)² = ((x+6) + (2x+1))((x+6) – (2x+1)) = ( x+6 + 2x+1)( x+6 –2x–1) = ( 3x+7 )( -x+5 )

C’est une différence de deux carrés a²–b²cela se factorise en (a + b)(a – b) ;

(3x + 2) a 5 b

a²–b² = (a + b)(a – b) ; (x + 6) a

(2x + 1) battentionau signe « - » devant la parenthèse !

Ex13p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a² - b²A= 81x² - 16 B= 25 – 4x²

Ex14p118 : Factoriser C= (4x+5)² - 49 D= 25 – (3x-4)²

Ex15p118 : FactoriserE= (8x+6)² - (6x+2)² F= (5x - 3)² - (2x - 4)²

Ex 54p122 – Factoriser si possible:A=9x² - 36 B= 17x² +3x

C= 9 – 6x + x² D= 25x² + 30x + 9

E= (4x-5)(8x+7) + (4x-5)(3x-5) F=(3x-5)(6x+7) - (3x-2)(6x+7)

G= (3x-9)² - (3x-9)(8x+4) H= (7x-9)² - (2x-3)²

I= (9x-2)² +(9x-2) J=(4x+3)² - 64

Ex82p123: Au BrevetSoit D= (2x+3)² + (2x+3)(7x -2)a) Développer, puis réduire D.b) Factoriser D.c) Calculer D pour x=-4d)Développer l’expression trouvée en b). Comparer avec l’expression de la question a).

Ex100p125: Au Breveta) Soit E= 4x² + 8x – 5

Calculer E pour x=0,5b) Soit F= (2x+2)² - 9

(1) Développer et réduire F.(2) Factoriser F.

c) Sans faire de calcul, trouver combien vaut F pour x=0,5

Ex18p119: Soit F= -x² + 12x – 20On veut calculer F pour toutes les valeurs entières de x de 1 à 20.On va afficher dans la colonne A les valeurs de x

et dans la colonne B les valeurs correspondantes de F.

a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2?

b) Quelle formule entrer dans la cellule B1 pour effectuer le calcul souhaité?

c)Pour quelle valeur de x, F semble-t-il atteindre son maximum?

A B1234

Ex80p123: Au BrevetPour chaque expression suivantes:

(1) Développer, puis réduire(2) Factoriser(3) Contrôler que l’expression développée est bien égale à

l’expression factorisée.A= (2x - 1)² + (2x -1)(4x +5) B= (x - 1)(4x +5) – (x - 1)²C= (8x+2)² - 9

Ex98p125: Démontrer que PAS est un triangle rectangle.P

A S

4x +4

5x + 5

3x +3

Ex92p124: Voici 2 programmes de calcul.

a) Appliquer le programme A au nombre 3: A(3)=

b) Appliquer le programme B au nombre 3: B(3)=

c) Appliquer les programmes A et B au nombre de votre choix: Quelle conjecture peut-on faire? La démontrer.d) A(x) = B(x) =

Programme A:• Choisir un nombre• Lui ajouter 2• Calculer le carré du

résultat• Retrancher 4 au

nombre obtenu.

Programme B:• Choisir un

nombre• Calculer son

carré• Ajouter au

résultat le quadruple du nombre choisi.

Ex110p126: a) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABDb) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABCc) En déduire l’aire du triangle ACD.d) Calculer directement l’aire ACD.

A

BD

2x + 4

2x - 4

C 8

Ex97p125: a) Ecrire une formule développée et réduite

pour calculer le volume du pavé.b) Ecrire une formule développée et réduite

pour calculer l’aire totale du pavé.c) Utiliser ces formules quand x=3.

3

x + 5

x + 5