chapitre 2 torseur de cohesion

Torseur de cohsion. Cours RDM / A.U : 2012-2013

Cours rsistance des matriaux 11

Chapitre II :

Objectif Dterminer le torseur de cohsion le long dune poutre. Dterminer la nature des sollicitations dans une poutre. Traage des diagrammes de sollicitations.

Pr-requis Modlisation des actions mcaniques. Principe fondamental de la statique.

Elments de contenu Efforts intrieurs Composantes du torseur de cohsion. Notion de contrainte

Torseur de cohsion.



}{ /CohII I G

R

GM

}{ }{/ _ intCohII I Efforts rieursG GG

RM

= =

I. Introduction : Les efforts intrieurs ou de cohsion sont les efforts qui agissent lintrieur des poutres et qui assurent lquilibre ou la cohsion de la structure sous laction des charges extrieures exerces. La connaissance des ces efforts de cohsion nous renseignera sur ltat de sollicitation de la poutre tudie, et permettra dvaluer sa rsistance aux efforts qui lui sont appliqus.

II. Dtermination du torseur de cohsion : Pour mettre en vidence les efforts transmis par la matire au niveau dune section droite dune poutre, nous effectuons une coupure imaginaire par un plan perpendiculaire la fibre moyenne. Ce plan dfinit une section S de barycentre G qui divise la poutre en deux tronons fictifs (AG et GB). Chaque tronon est en quilibre et lapplication du Principe Fondamental de la statique, lun ou lautre, permet didentifier et de calculer les efforts intrieurs exercs entre les deux tronons au niveau de la coupure.

Les actions mcaniques entre les deux tronons sont les efforts intrieurs la poutre que lon peut modliser par un torseur appel torseur de cohsion et dont les lments de rduction au point G centre de surface sont :

Une rsultante Un moment rsultant

Figure 2.1 : Illustration dune coupe fictive sur une poutre.

Tronon I : AG Tronon II : GB



Deux conventions dcriture sont possibles :

Convention 1 : Le torseur de cohsion modlise les actions mcaniques de la partie (2) sur la partie (1) .

Convention 2 : Le torseur de cohsion modlise les actions mcaniques de la partie (1) sur la partie (2) .

II.1. Etude de lquilibre de la poutre : Lquilibre du tronon I ou de la partie gauche se traduit par :

}{ }{ { }1 0Coh extG G + = Avec : }{ }{ }{1 1 3 11ext F FG G G = +

Ce qui permet de dduire que : { } { }coh actionsmcaniquesgaucheG G = Comme Lquilibre de la poutre se traduit par :

{ } { } { }0actionsmcaniquesdroite actionsmcaniquesgaucheG G + = On peut dduire que :

{ } { }coh actionsmcaniquesdroiteG G =

Finalement, le torseur de cohsion au centre de surface G dune surface droite de poutre se dfini en effectuant la somme des torseurs, au mme point G , des actions mcaniques agissant soit gauche de la section droite, somme prcde du signe : - , soit droite de la section droite, somme prcde du signe + . Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohsion dans le cas o le torseur des actions mcaniques droite est plus simple dterminer. Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cohsion au niveau de la coupure.

II.2. Composantes du torseur de cohsion : Les composantes du torseur de cohsion se notent conventionnellement comme ci-dessous :

}{t

Coh y fyGG G

z fz G

N MR

T MM

T M

= =

Avec :

N : Effort normal Ty : Effort tranchant suivant laxe (G,y)

Tz : Effort tranchant suivant laxe (G,z)

Mt : Moment de torsion

Mfy : Moment flchissant suivant laxe (G,y).

Mfz : Moment flchissant suivant laxe (G,z)



III. Notion de contrainte : III.1. Vecteur contrainte :

Le torseur de cohsion permet de modliser les efforts intrieurs au point G centre de la section droite mais ce torseur ne reprsente quune vision globale de toutes les actions mcaniques qui sappliquent localement en chaque point de la section droite.

Pour reprsenter ces actions mcaniques, on considre un point M de la surface S. Autour de ce point M, on considre un lment de surface dS de normale n

Les efforts intrieurs exercs sur dS sont une densit surfacique defforts ou densit de force par unit de surface.

Cette densit surfacique deffort est caractrise par le vecteur contrainte ( ),C M n . Les actions mcaniques sexerant sur la surface sont donc ( ),dF C M n= dS. Lunit du vecteur contrainte est le rapport dune force par unit de surface soit N/m2 ou Pa.

Figure 2.2 : Les composantes du torseur de cohsion.

Figure 2.3 : Zoom local sur un point M de la coupure.



III.2. Contrainte normale et contrainte tangentielle : On dfinit les contraintes normales et tangentielle respectivement la projection de

( ),C M n sur la normalen , et la projection de ( ),C M n sur le plan de llment de surface dS : ( ),C M n n t = + : Contrainte normale. : Contrainte tangentielle n : Vecteur normale llment de surface dS t

: Vecteur tangent llment de surface dS

IV. Identification de la nature des sollicitations : IV.1. Sollicitations simples :

Si une seule composante N, T, MT ou Mf existe, alors que toutes les autres sont nulles, on dit que lon a une sollicitation simple.

Torseur de cohsion Sollicitation Exemple

}{0

0 00 0

Coh G

G

N

=

TRACTION (pour la compression,

les vecteurs forces sont en sens inverse)

}{0 0

00 0

Coh yG

G

T

= ou

}{0 00 0

0Coh G

z GT

=

CISAILLEMENT

}{00 00 0

t

Coh G

G

M

=

TORSION

}{0 000 0

Coh fyG

G

M

= ou

}{0 00 00

Coh G

fz GM

=

FLEXION PURE



IV.2. Sollicitations composes : Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit que lon a une sollicitation compose.

Torseur de cohsion Sollicitation Exemple

}{0 00

0Coh fyG

z G

MT

=

ou

}{0 0

00

Coh yG

fz G

TM

=

FLEXION PLANE SIMPLE

}{0

00

Coh fyG

z G

NM

T

=

ou

}{00

0Coh yG

fz G

NT

M

=

FLEXION +

TRACTION

}{00

0

t

Coh fyG

z G

MM

T

=

ou

}{0

00

t

Coh yG

fz G

MT

M

=

FLEXION +

TORSION

}{0

0 00

Coh G

fz G

N

M

=

FLAMBAGE

V. Application :



V.1. Enonc : 1. Identifier les liaisons prsentes sur la poutre

2. Mettre en place le repre gnral,

3. Dterminer les efforts transmis par les liaisons,

4. Dterminer le nombre de tronons ncessaires ltude de la poutre en RdM,

5. Mettre en place les coupures, et les repres associs chaque coupure,

6. Dterminer le torseur de cohsion dans chaque tronon ,

7. Tracer les diagrammes de sollicitations.

V. 2. Corrig : 1. Liaisons ponctuelles. 2.

3. Dterminer les efforts transmis par les liaisons : 4. Laction P est centre sur la poutre donc les ractions en A et B sont gales P/2, soit

50 N et diriges suivant y.

5. Deux tronons sont ncessaires ltude de la poutre en RdM : AC et CB.



Tronon AC :

Mthode algbrique :

Ty1=-raction gauche

Ty1=-YA=-50

Mfz1=50 x

Mthode vectorielle :

{ }1

1

11

0 00

0coh A

GAG

AY

G A A x Y

= =

Tronon CB : Mthode algbrique :

Ty2=raction droite

Ty1=YB=50

Mfz1=50 (5-x)

Mthode vectorielle :

{ }2

2

2

0 00

0 50(5 )coh B

GG

BY

G B B x

= =

6. Diagrammes de sollicitations : x(m) Ty (N) Mfz (N.m) 0 -50 0 2,5 -50 125 5 50 0

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