Chapitre 1 : Les matériaux électrotechniques

Loi de Lenz-Faraday :

𝜀 = −𝑑𝜙

𝑑𝑡

Loi de Laplace :

𝑑𝐹𝑀 = 𝐽𝑀 ⋅ 𝑑𝑉 ∧ 𝐵𝑀

Vecteurs :

�� = 𝜀0�� Déplacement électrique

�� =��

𝜇0 Excitateur magnétique

Juxtaposition de 2 milieux conducteurs idéaux : Conservation des composantes normales de 𝑗 : 𝑗 𝑚𝑛1

= 𝑗 𝑚𝑛2

Composantes tangentielles sont dans le Rapport des conductivités :

𝑗 𝑚𝑡1

𝛾1=

𝑗 𝑚𝑡2

𝛾2

Le courant est entièrement localisé dans l’un des 2 milieux si :

1. La conductivité de ce milieu ≫ l’autre 2. La composante normale de 𝑗 = 0 dans ce milieu

Juxtaposition de 2 milieux magnétiques idéaux :

Conservation des composantes normales du vecteur conducteur 𝐵𝑛1 = 𝐵𝑛2

Composantes tangentielles sont dans le Rapport des perméabilités :

𝐵𝑡1

𝜇1=

𝐵𝑡2

𝜇2

L’induction sera entièrement localisée dans l’un des 2 milieux si :

1. 𝜇 de ce milieu ≫ 𝜇 de l’autre

2. Composante normale de �� = 0 dans ce milieu

Vecteur Aimantation �� : Comportement magnétique de la nature à l’échelle macroscopique Son origine : moment magnétique orbital et spin de l’électron

�� cherche à s’aligner avec �� mais en réalité ils ne s’alignent pas complètement

𝐵

𝜇0= �� + ��

Dans le vide : �� = 0 ⇒ �� = 𝜇0��

Matériau idéal : �� = 𝜒𝑚�� ⇒ �� = 𝜇�� avec 𝜇 = 𝜇0(1 + 𝜒𝑚) Matériau réel :

��

𝜇= �� + ��

𝜒𝑚 diminue avec la température : l’agitation thermique empêche l’orientation des dipôles selon le champ

Si �� augmente, �� s’aligne positivement avec �� jusqu’à un �� 𝑚𝑎𝑥 (phénomène de saturation)

Variation de la perméabilité totale : 𝑀𝑡𝑜𝑡 =𝐵

𝐻

Matériau doux : Simplification

𝐵(𝐻) ≡ Courbe de 1ère aimantation Courbe de 1ère aimantation ≡ droite : Zone linéaire

�� , �� , �� : presque coliné aires : �� = 𝜇��

𝜇𝑟 perméabilité relative :

𝜇𝑟 = 1 + 𝜒𝑚 → 0 (domaine de saturation) 𝜇𝑟 = 𝜇/𝜇0

Pertes : Pertes par courants de Foucault : 𝑃𝐹 = 𝐾𝐹 × 𝛾 × 𝑒2 × ��2 × 𝑓2 Pertes par cycle hystérésis : 𝑃𝐻 = 𝐾𝐻 × ��2 × 𝑓 𝑎 ≈ 1.6

𝑃𝐹𝑒= 𝑃𝐹 + 𝑃𝐻 : pertes ferromagnétiques totales

Matériau à base de ferrites : 𝐵𝑠𝑎𝑡 ≪ 𝐵𝑠𝑎𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜𝑚𝑎𝑔

Chapitre 2: Etude d’u circuit magnétique

Force magnéto-motrice : 𝜉 = 𝑛. 𝐼 [𝐴𝑡].

∮ �� . 𝑑𝑙 = 𝑛. 𝐼 → 𝐻. 𝑙 = 𝑛. 𝐼 = ξ (Utilisé es saturation)

𝜉 = ℜ.φ (régime linéaire)

Flux : 𝜑 = ∬ �� . 𝑑𝑆 = 𝐵. 𝑆 [𝑊𝑏]

𝜑 = 𝐵. 𝑆 = 𝜇. 𝐻. 𝑆 (dans le cas linéaire où 𝐵 = 𝜇.𝐻) On aura donc :

𝑛. 𝐼 =𝑙

𝜇. 𝑆𝜑

Réluctance :

ℜ =𝑙

𝜇. 𝑆 [

𝐴𝑡

𝑊𝑏] = [𝐻−1]

Perméance :

℘ =1

ℜ [𝐻]

Perméabilité :

Régime linéaire : 𝜇 =𝐵

𝐻= 𝑐𝑡𝑒 [

𝐻

𝑚]

Régime saturé : 𝜇 ≠ 𝑐𝑡𝑒

Dans l’entrefer, la perméabilité est égale à 𝜇0 = 𝑐𝑡𝑒.

Coefficient de Hopkinson :

𝜈 =𝜑1

𝜑𝑢

(1 < 𝜈 ≤ 2)

Inductance propre :

𝑛1. 𝜑1 = 𝐿1. 𝑖1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑛1. 𝑖1 = ℜ𝑎𝑝𝑝. 𝜑1

𝐿1 =𝑛1

2

ℜ𝑎𝑝𝑝

[𝐻]

Inductance de fuite :

𝐿𝑓 = (1 −1

𝜈)𝐿1

𝑛1𝜑𝑓 = 𝐿𝑓𝑖1 → 𝐿𝑓 = 𝑛1

𝜑𝑓

𝑖1

Entrefer :

Effet démagnétisant. Eloigner les zones de saturation.

Quand on passe de la zone linéaire à la zone saturée :

𝜇 ↘ ⇒ 𝑓𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 ↗ ⇒ 𝐿 ↘ ⇒ 𝜈 ↗ Remarque : plus 𝜇 augmente, plus le champ magnétique passe dans le matériau.

Chapitre 3 : Couplage Magnétique

Transformateur parfait :

𝑒1 = −𝑑𝜙1

𝑑𝑡 ⇒ 𝜙1 = 𝑛1𝜑 ; 𝑒2 = −

𝑑𝜙2

𝑑𝑡 ⇒ 𝜙2 = 𝑛2𝜑

𝑣1 = −𝑒1 ; 𝑣2 = 𝑒2 ⇒ 𝑒1

𝑒2

=𝑛2

𝑛1

= −𝑣2

𝑣1

= 𝑚

𝑛1𝑖1 + 𝑛2𝑖2 = ℜ𝑎𝑝𝑝.𝜑 ≈ 0 ⇒ 𝑖2𝑖1

= −1

𝑚

Puis 𝑃1 = 𝑖1𝑣1 ; 𝑃2 = 𝑖2𝑣2

⇒ 𝑃1 = 𝑃2 Conservation de la puissance

Régime sinusoïdal :

��𝐾 = ��𝐾𝑒𝑓𝑓√2 = −𝑑��𝐾

𝑑𝑡= −𝑗𝜔��𝐾 = −𝑗𝜔𝑛𝑘�� = −𝑗𝜔𝑛𝑘𝑆��

Inductances Propre et Mutuelle

𝜙1 = 𝐿1𝑖1 + 𝑀𝑖2 ⇒ 𝐿1 =𝜙1

𝑖1|𝑖2=0

𝑀 =𝜙2

𝑖1|𝑖2=0

𝜙2 = 𝐿2𝑖2 + 𝑀𝑖1 ⇒ 𝐿2 =𝜙2

𝑖2|𝑖1=0

𝑀 =𝜙1

𝑖2|𝑖1=0

Coefficient de dispersion :

𝜎 = 1 −𝑀2

𝐿1𝐿2

Chapitre 4 : Transformateur Monophasé

Grandeur Nominale/Réduite Puissance apparente Nominale : 𝑆𝑛 = 𝑉1𝑛𝐼1𝑛 = 𝑉2𝑛𝐼2𝑛 [KVA] Tension nominale : Primaire : 𝑉1𝑛[𝑉]

Secondaire : 𝑉2𝑛[𝑉]

𝑚 =𝑉2𝑛

𝑉1𝑛

Courant nominale : Primaire : 𝐼1𝑛[𝐴]

Secondaire : 𝐼2𝑛[𝐴]

𝑚 =𝐼1𝑛

𝐼2𝑛

Fréquence nominale : 𝑓𝑛[𝐻𝑧] Impédance nominale : Primaire : 𝑍1𝑛 = 𝑉1𝑛/𝐼1𝑛

Secondaire : 𝑍2𝑛 =𝑉2𝑛

𝐼2𝑛

𝑍2𝑛 = 𝑚2𝑍1𝑛

Valeur réduite d’une impédance : Primaire : 𝑧1 =𝑍1

𝑍1𝑛 [𝑝𝑢] ou [%]

Secondaire : 𝑧2 =𝑍1

𝑍2𝑛

N.B. : Une impédance réduite a même valeur au primaire et au secondaire.

Essai à vide directe (Fonctionnement à vide) :1er alimenté, 2e en couvert

On mesure 𝑉10, 𝑉20, 𝑃10, 𝐼10 :

𝑃10 = 𝑉10𝐼10 cos𝜑10 (Pertes actives)

→ 𝑃2 + 𝑄2 = (𝑉𝐼)2

𝑚 =𝑀

𝐿1=

𝑉20

𝑉10|𝑉10=𝑉1𝜇

𝑆10 = 𝑉10𝐼10 (Puissance apparente à vide)

cos𝜑10 =𝑃10

𝑆10 (facteur de Puissance)

(𝑉2 = 𝑉20 = 𝑚𝑉10) (𝐼1𝜇 = 𝐼10 courant magnétique)

𝑄10 = 𝑉10𝐼10 sin𝜑10 (Puissance active absorbée)

𝑅𝑃𝐹𝑒 =𝑉10

2

𝑃10 𝐿1𝜔 =

𝑉102

𝑄10

𝑉10

𝑃10, 𝑄10 𝐼10

𝐼1𝜇

𝑹𝑷𝑭𝒆 𝒋𝑳𝟏𝝎 𝑉20 = −𝑚𝑉1 𝑉2 = 𝑉20

𝒋𝑵𝟐𝝎 𝑹 𝐼20 = 0

𝑟𝑃𝐹𝑒 =𝑅𝑃𝐹𝑒

𝑍1𝑛 𝑙𝜔 =

𝐿1𝜔

𝑍1𝑛 𝑟𝑃𝐹𝑒 =

𝑆𝑛𝑉102

𝑄10𝑉1𝑛=

𝑆𝑛

𝑄0|𝑉1=𝑉1𝑛

N.B : Déphasage 𝑉10; 𝐼10 ≠𝜋

2 (𝑅𝑃𝐹𝑒) ; ��10 sinusoïdale ⇒ 𝐼10 non sinusoïdale (hystérésis, saturation) ; courant

enclenchement (Réf. 82)

Essai en court-circuit directe : 1er alimenté, 2nd en court-circuit

On mesure 𝑉1𝑐𝑐 , 𝐼1𝑐𝑐 , 𝑃1𝑐𝑐 , 𝐼2𝑐𝑐 :

𝑃1𝑐𝑐 = 𝑉1𝑐𝑐𝐼1𝑐𝑐 cos𝜑𝑐𝑐 (Pertes actives, Pertes Joules)

𝑅 =𝑃1𝑐𝑐

𝐼2𝑐𝑐2 𝑁2𝜔 =

𝑄1𝑐𝑐

𝐼2𝑐𝑐2

𝑟 =𝑅

𝑍2𝑛 𝑛𝜔 =

𝑁2𝜔

𝑍2𝑛

𝑟 =𝑃1𝑐𝑐𝐼2𝑛

2

𝑆𝑛𝐼2𝑐𝑐2 𝑛𝜔 =

𝑄1𝑐𝑐𝐼2𝑛2

𝑆𝑛𝐼2𝑐𝑐=

𝑄1𝑐𝑐

𝑆𝑛|𝐼2𝑐𝑐=𝐼2𝑛

(𝐼1𝑐𝑐 = 𝑚𝐼2𝑐𝑐)

𝑄1𝑐𝑐 = 𝑉1𝑐𝑐𝐼1𝑐𝑐 sin𝜑1𝑐𝑐 = 𝑃1𝑐𝑐 tan𝜑1𝑐𝑐

= √(𝑉1𝑐𝑐𝐼1𝑐𝑐)2 − 𝑃1𝑐𝑐

2

𝑆1𝑐𝑐 = 𝑉1𝑐𝑐𝐼1𝑐𝑐 (Puissance apparente)

cos𝜑1𝑐𝑐 =𝑃1𝑐𝑐

𝑆1𝑐𝑐 (Facteur de puissance)

𝑖2𝑐𝑐∗ =

𝐼2𝑐𝑐

𝐼2𝑛=

𝑣1𝑐𝑐∗

𝑈𝑐𝑐 avec 𝑣1𝑐𝑐

∗ =𝑉1𝑐𝑐

𝑉1𝑛 ; 𝑢𝑐𝑐 = √𝑟2 + (𝑛𝜔)2

1er cas : Défaut de court-circuit : 𝑉1 = 𝑉1𝑛 puis court-circuit :

𝑖2𝑐𝑐∗ =

𝑣1𝑐𝑐∗

𝑈𝑐𝑐~5%(𝐼1𝑐𝑐 = 𝐼1𝑛)~20%

Courant dangereux : (𝐼2𝑛 × 20) ⇒ Effet Joule × (20)2

𝑉1𝑐𝑐

𝑃10, 𝑄10 𝐼1𝑐𝑐

𝑉2𝑐𝑐 = −𝑚𝑉1𝑐𝑐 𝑉2 = 0

𝐼𝑐𝑐 𝒋𝑳𝟐𝝎

𝑹

2e cas : Court-circuit contrôlé : Régler 𝑉1𝑐𝑐 pour 𝑖𝑐𝑐 =𝑚𝑎𝑥 𝑖2𝑛 ⇒ 1 =𝑣1𝑐𝑐

∗

𝑈𝑐𝑐⇒ 𝑉1𝑐𝑐 = 𝑈𝑐𝑐 × 𝑉1𝑛

𝑉1𝑐𝑐 : Tension de court-circuit de transformateur

Fonctionnement en charge : Δ𝑉2 = 𝑉10 − 𝑉2 = [𝑅 cos𝜑2 + 𝑁2𝜔 sin𝜑2]𝐼2

Δ𝑣2 =Δ𝑉2

𝑉2𝑛= [𝑟 cos𝜑2 + 𝑛𝜔 sin𝜑2]𝑖2

∗ 𝑖2∗ =

𝐼2

𝐼2𝑛

��20 = ��2 + (𝑅 + 𝑗𝜔𝑁2)𝐼2

Projection (avec 𝜃 ≪) : 𝑉20 = 𝑉2 + [𝑅 cos𝜑2 + 𝑁2𝜔 sin𝜑2]𝐼2

Essai à vide inverse : 1er en court-circuit, 2nd alimenté (𝑉20′ )

−𝑚 = −𝐿2

𝑀 𝑚′ =

𝑀

𝐿2=

𝑉10′

𝑉20′ |

𝑉20′ =𝑉2𝑛

𝑚 =𝑀

𝐿1=

𝑉20

𝑉10|𝑉10=𝑉1𝑚

(𝑚 ≠1

𝑚′)

𝜎 = 1 −𝑀2

𝐿1𝐿2= 1 − 𝑚𝑚′

Ordres de grandeur (𝑟 ≪ 𝑛𝜔) ≪≪ (𝑙𝜔 ≪ 𝑟𝑃𝐹𝑒)

𝑟: 0.05% → (1% − 3%)

𝑟 = 𝑓(𝑆𝑛) ↘ 𝑟 =𝑅𝐼2𝑛

2

𝑆𝑛=

𝑅𝐼2𝑛2

𝑉2𝑛𝐼2𝑛=

𝑃𝐽𝑛

𝑆𝑛

𝑛𝜔: 4% → 13% ; 𝑛𝜔 = 𝑓(𝑆𝑛) ↗ 𝑙𝜔: 𝑞𝑞 1000% → 𝑞𝑞 10000% ; 𝑙𝜔 = 𝑓(𝑆𝑛) ↗ 𝑟𝑃𝐹𝑒 ∶ 𝑞𝑞 1000% → 𝑞𝑞 100000%

𝑖1𝜇∗ =

𝐼1𝜇

𝐼1𝑛 𝑓(𝑆𝑛) ↘

𝑉′20 𝐿2

𝜎𝐿1

𝑉′10