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MP – Cours de physique

Jean Le Hir, 9 octobre 2008 sur 18

THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL

Chapitre 1

Induction électromagnétique

1.1. Approche historique et expérimentale

Différentes manifestations de l’induction électroma gnétique.

Expériences historiques de Faraday

Michael Faraday est indubitablement l’un des pères fondateur de l’électromagnétisme. L’une des expériences les plus importantes qu’il réalisa en 1831 introduit la compréhension des phénomènes d’induction électromagnétique.

Connaissant la capacité des courants électriques à produire des champs magnétiques, Faraday se posa la question réciproque : un champ magnétique peut-il être à l’origine de la production de courants ?

Ainsi disposa-t-il deux bobines sur un même manchon, en position coaxiale, de telle sorte que le champ magnétique créé par la première s’exerce au cœur de la seconde.

La réponse ne se fit pas attendre : lorsque le courant est établi dans le circuit 1 le champ magnétique permanent ainsi créé ne produit pas de courant dans le circuit 2. Faraday s’en assure en utilisant un détecteur de courant de très grande sensibilité.

Par contre, au moment de la fermeture du circuit 1, dans la phase transitoire où le champ magnétique est en train de s’établir, il apparaît une impulsion de courant dans le circuit 2 : le phénomène électrique est dû non pas au champ magnétique, mais à la variation du champ magnétique.

Faraday montre qu’une inversion du sens du courant inducteur (et donc aussi du sens du champ d’induction magnétique) provoque une inversion du sens de l’impulsion de courant dans le circuit 2.

( )

galvanomètreampèremètre

très sensible( ) Circuit 1inducteur

( )Circuit 2induit

impulsionde courant

0B

( )B t

( )1i t

10i

20 0i =

( )2i t

THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL Chapitre 1 Induction électromagnétique

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Approche d’un aimant dans l’axe d’une bobine

Faraday fit la même expérience en utilisant un aimant permanent en guise d’inducteur et observa les mêmes conclusions :

— Un aimant immobile n’induit aucun courant dans le circuit électrique

— L’approche d’un aimant crée un champ variable qui induit un courant dans le circuit électrique.

Le changement du sens de la vitesse provoque un changement du signe du courant et le changement de la polarité de l’aimant (i.e. le changement de sens du champ magnétique inducteur) provoque également, toutes choses égales par ailleurs, un changement du signe du courant induit.

Loi de Lenz-Faraday

Dès 1934, bien avant la publication par Maxwell des équations locales de l’électromagnétisme, Heinrich Lenz donne une formulation des travaux expérimentaux de Faraday. Il remarque que les effets de l’induction dans un circuit sont liés à la variation du flux du champ magnétique à travers ce circuit : la variation du flux du champ magnétique à travers un circuit fermé fait apparaître une force électromotrice de boucle opposée au taux de variation temporelle du flux.

Bd

edt

φ= −

Loi de Lenz-Faraday

Les causes de la variation du flux peuvent être de différentes natures. Nous nous limiterons à l’étude de deux cas particuliers simples.

Circuit fixe indéformable et champ magnétique variable : induction de Neumann

Un circuit fixe et indéformable est le siège de phénomènes d’induction dès lors que le champ magnétique varie au cours du temps dans l’espace où se trouve ce circuit. Si le champ magnétique a pour seule cause le courant qui circule dans le circuit lui-même, on parle de phénomène d’auto-induction. Dans le cas plus général où le champ magnétique variable est créé part d’autres courants ou aimants situés dans le voisinage du circuit, on parle de phénomènes d’induction de Neumann.

Nous limiterons notre étude au cas où les champs ne varient pas trop rapidement de telle sorte que l’on reste dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires.

Circuit mobile et champ magnétique constant : induction de Lorentz

Une autre cause possible de variation du flux magnétique est le déplacement ou la déformation des circuits dans un champ magnétique indépendant du temps. Nous nous limiterons au cas particulier où les vitesses de déplacement des éléments de circuit sont très petites par rapport à la vitesse de la lumière. Dans ce cas particulier, les champs magnétiques induits sont très petits par rapport aux champs inducteurs et l’on peut donc négliger l’auto-induction. Ces conditions particulières définissent les phénomènes d’induction de Lorentz non relativiste.

0B

0i =S

N0v = ’

observationd un courant

( )B t

( )2i t

S

N

v

( )B t

( )2i t

S

N

v


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Principe de modération de Lenz

En 1934, Lenz fait remarquer le sens absolu du signe « moins » dans la formule de l’induction. Ce signe n’est pas lié à la convention algébrique choisie pour exprimer les forces électromotrices, il est indépendant de la convention d’orientation du circuit. En clair, ce signe a une signification physique fondamentale : il traduit le fait que les effets de l’induction sont modérateurs, ils s’opposent à la cause qui les a produits.

Principe de modération de Lenz

Les effets de l’induction s’opposent à la cause qui leur a donné naissance.

Attention ! Il ne faut pas en conclure que le champ magnétique induit est opposé au champ magnétique inducteur. Ce n’est pas le champ qui est la cause de l’induction, mais la variation du champ : le champ induit a un sens opposé au champ inducteur quand celui-ci est croissant, il a au contraire le même sens que le champ inducteur quand celui-ci diminue.

1.2. Expression locale des phénomènes d’induction

Potentiel électromagnétique

Potentiel vecteur

Dans le cadre de la loi de Lenz-Faraday, nous continuons, comme en magnétostatique à parler de flux du champ magnétique « à travers un circuit ». Nous pouvons le faire du fait que les champ magnétiques, même en régime variable, restent des champs à flux conservatif.

En régime variable, comme en régime permanent, les champs ( )M,B t

dérivent d’un potentiel vecteur

( )M,A t

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )M, , M, tel que M, rot M, M,t A t B t A t A t∀ ∃ = = ∇ ∧

Étant donnée une courbe fermée orientée C , le flux de ( )M,B t

à travers toute surface S s’appuyant sur

le contour C et orientée de façon conforme à l’orientation de C , est égal à la circulation du potentiel

vecteur le long du contour C et l’on peut donc bien parler du flux de B

à travers le circuit C .

( ) ( ) ( )M, M,B

St B t n dS A t d+φ = ⋅ = ⋅∫∫ ∫C

ℓ

Potentiel scalaire

La force électromotrice de boucle est égale à la circulation du champ électrique ( )M,E t

sur un parcours

fermé :

( ) ( )M,e t E t d= ⋅∫C

ℓ

En régime variable, le champ électrique ( )M,E t

n’est donc pas à circulation conservative : il ne dérive

donc pas d’un potentiel scalaire.

La loi de Lenz-Faraday s’écrit à chaque instant :

( )( )

( ) ( ) ( )M,M, M,B

S

d t A td de t B t n dS A t d d

dt dt dt t+

φ ∂= − = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

∂∫∫ ∫ ∫C C

ℓ ℓ


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On notera la permutation possible des opérateurs d’intégration et de dérivation, cependant, sous le signe somme, l’opérateur de dérivation est un opérateur de dérivation partielle.

La loi de Lenz-Faraday se traduit donc par une propriété reliant le champ électrique et le potentiel vecteur :

( ) ( ) ( )M,M,

A te t E t d d

t

∂= ⋅ = − ⋅

∂∫ ∫C C

ℓ ℓ soit ( ) ( )M,M, 0

A tE t d

t

∂+ ⋅ =

∂ ∫C

ℓ

Le vecteur A

Et

∂+∂

, fonction a priori de l’espace et du temps, est un vecteur à circulation conservative.

Cette fonction vectorielle dérive donc, à chaque instant, d’un potentiel scalaire lui-même fonction de l’espace et du temps.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )M,M, , M, tel que M, grad M,

A tt V t E t V t

t

∂∀ ∃ + = −

∂

L’ensemble ( ) ( ) M, , M,A t V t

constitue le potentiel électromagnétique en M à l’instant t. Les champs

électrique et magnétique s’en déduisent par les relations :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

M,M, grad M,

M, rot M,

A tE t V t

t

B t A t

∂= − − ∂

=

Condition de jauge

Le potentiel électromagnétique n’est pas défini de façon unique. Si ,A V

est un potentiel satisfaisant,

on ne change pas la valeur de B

en ajoutant à A

le gradient d’une fonction scalaire quelconque

( )M,f t : Si rotB A=

et gradA A f′ = +

, alors rotB A′=

.

Le champ électrique E

sera lui-même invariant si l’on change l’expression du potentiel scalaire en V ′ tel

que grad grad grad gradA A A f

E V V Vt t t t

′∂ ∂ ∂ ∂′ ′= − − = − − = − − − −∂ ∂ ∂ ∂

, soit : f

V Vt

∂′ = +∂

Le changement de potentiel gradA A f

fV V

t

′ = + ∂′ = + ∂

laisse les champs E

et B

invariants.

Nous aurons donc le loisir de préciser ultérieurement la « condition de jauge » à laquelle satisfera le potentiel électromagnétique de telle sorte qu’il soit défini de façon unique.

Champ électromoteur

Dans le cas le plus général, nous pouvons écrire le champ électrique sous la forme emgradE V E= − +

,

où emA

Et

∂= −∂

représente la partie du champ électrique qui n’est pas conservative ou « champ

électromoteur ».

Attention toutefois, le champ emE

n’est pas défini de façon absolue : il est lié au choix particulier de la

condition de jauge des potentiels.


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Expression locale de la loi de Lenz-Faraday

Le champ électrique ( )M,E t

n’étant plus à circulation conservative, son rotationnel n’est plus

identiquement nul. Nous avons alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M, M, M,rot M, rot grad M, rot rot M,

A t A t B tE t V t A t

t t t t

∂ ∂ ∂∂= − − = − = − = − ∂ ∂ ∂ ∂

Cette équation différentielle linéaire aux dérivées partielles du premier ordre est nommée « équation de Maxwell-Faraday ». Elle rend compte des phénomènes d’induction dans un référentiel galiléen et se trouve être l’une des équations générales de l’électromagnétisme.

( ) ( )M,rot M,

B tE t

t

∂= −

∂

Équation de Maxwell-Faraday

Remarque : si l’on change la convention du signe des charges électrique, les champs E

et B

se trouvent tous deux transformés en leur opposé et l’équation de Maxwell-Faraday est inchangée y compris pour ce

qui est du signe « moins ». Si l’on change la convention du trièdre direct, le champ B

est changé en son

opposé et le champ E

est inchangé. Cependant, le rotationnel change de signe et l’équation de Maxwell-Faraday est encore inchangée.

Il apparaît donc que le signe « moins » de l’équation de Maxwell-Faraday n’est pas conventionnel, il a un sens physique fondamental : celui de la loi de modération de Lenz.

1.3. Induction de Neumann quasi stationnaire

Note historique : le physicien allemand Franz Neumann publie en 1845 un article établissant les lois mathématiques de l’induction due à des champs magnétiques fonctions du temps.

Auto-induction

Inductance propre

Un circuit électrique parcouru par un courant variable ( )i t produit en tout point de l’espace et à tout

instant un champ magnétique ( )M,B t

proportionnel à ( )i t . Le flux de ce champ magnétique à travers le

circuit lui-même, que l’on appelle « flux propre » est donc aussi proportionnel à ( )i t .

( ) ( )Bt L i tφ =

Le coefficient de proportionnalité définit l’inductance propre L du circuit, ou coefficient d’auto-induction.

L’étude des phénomènes d’auto-induction est déjà faite dans le cadre de l’enseignement général d’électricité quasi stationnaire.

Équation caractéristique des composants inductifs

Rappelons que le flux propre est fréquemment localisé dans certaines parties du circuit, notamment dans les bobines d’induction. On peut ainsi décomposer le coefficient d’auto-induction, qui n’est en toute rigueur défini que pour un circuit fermé, en une somme de contributions associées à des parties de circuit.


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C’est le cas en particulier pour les bobines : nous définirons le flux magnétique à travers une bobine comme la somme de des flux à travers chacune de ses spires, ce qui peut avoir un sens dans l’approximation des spires jointives.

La loi de Lenz-Faraday s’écrit alors ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

en convention générateur

en convention récepteur

di tu t e t L

dtdi t

u t e t Ldt

= = −

= = +

Convention récepteur Convention générateur

Couplage par induction mutuelle

Étant donnés deux circuits fermés 1C et 2C parcourus par des courants ( )1i t et ( )2i t , le flux du champ

magnétique à travers chaque circuit se décompose en un flux propre proportionnel au courant dans ce circuit et un flux mutuel, proportionnel au courant dans l’autre circuit, définissant ainsi les coefficients d’induction propre 1L et 2L ainsi que le coefficient d’induction mutuelle M.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

1 1 2

1 2 2

B

B

t L i t M i t

t M i t L i t

φ = + φ = +

Rappelons que le coefficient d’induction mutuelle M est algébrique et que 1 2M L L< .

La loi d’induction de Lenz-Faraday se traduit alors par un ensemble de deux équations différentielles couplées :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 21 1

1 22 2

di t di tu t L M

dt dtdi t di t

u t M Ldt dt

= +

= +

Un exemple de circuits couplés est traité dans le chapitre d’électricité relatif aux régimes transitoires ARQS.

Exemples de phénomènes d’induction de Neumann

Aimant se déplaçant sur l’axe d’une spire

On considère une spire conductrice circulaire C indéformable et fixe, de centre O et de rayon a, de résistance électrique R.

Un petit aimant permanent, que l’on assimile à

un dipôle de moment magnétique m

, se déplace sur l’axe Oz de la spire, animé d’un

mouvement rectiligne uniforme de vitesse 0v

.

Dans la phase d’approche de la spire, l’aimant se présente le pôle Nord en avant, comme indiqué sur le schéma ci-contre.

ρ

P O

( )i t

z

z

C

0vSud Nord


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Il apparaît un courant ( )i t de telle sorte que la spire présente une face Nord en direction de l’aimant et

que celui-ci soit de ce fait contrarié dans son mouvement : la loi de Lenz l’impose. Sur le schéma, la face nord de la spire tourne le dos à l’aimant : le courant ( )i t doit donc être négatif.

Toujours selon la loi de Lenz, l’aimant doit être soumis à une force qui s’oppose à son déplacement, c’est-à-dire à une force répulsive dans la phase d’approche et attractive dans la phase où l’aimant, ayant traversé la spire en son centre, s’éloigne de celle-ci. La spire est bien sûr soumise à une force opposée.

Le potentiel vecteur ( )M,A t

est donc orthoméridien :

( )( )( )

03 222

M,4

mA t e

z tϕ

µ ρ=π ρ +

Dans un phénomène de Neumann, le champ électromoteur peut être défini par la relation :

( ) ( )( )( )

( )( )( )00 0

em 0 3 2 5 22 22 2

M, 31M,

4 4

A t m v z tE t m e v e

t z z t z tϕ ϕ

∂ ρµ µ∂= − = − ρ = +∂ π ∂ πρ + ρ +

La circulation du champ électromoteur a donc pour expression :

( ) ( ) ( )( )( )

200

em 5 222

3M,

2

m v z te t E t d

z t

ρµ= ⋅ = +ρ +

∫C

ℓ

Il reste à écrire que cette force électromotrice induit un courant ( )i t selon la loi d’Ohm, avec ( ) 0z t v t= :

( )( )

2 20 0

5 22 2 20

3

2

m v ti t

R v t

µ ρ= +ρ +

Remarque : le courant ( )i t est bien négatif

pour 0t < , dans la phase d’approche, et positif pour 0t > , lorsque l’aimant s’éloigne de la spire après l’avoir traversée en son centre. Dans la première phase du mouvement, l’aimant est repoussé par la spire et dans la seconde phase il est attiré : dans tous les cas le mouvement est freiné et cela est conforme à la loi de modération de Lenz.

Le flux du champ magnétique est égal à la circulation du potentiel vecteur :

( ) ( )( )( )2

03

22 2

22B

mt A t

z t

ϕµ ρφ = × πρ =

ρ +

Nous retrouvons l’expression de ( )i t par application de la loi de Faraday :

( ) ( ) ( )

( )( )( )( )

2 200 0

3 2 5 222 2 2

31 1

2 2B

d te t v z tm mdz di t

R R dt R dt dz Rz z t

φ µ ρ µ ρ= = − = − =ρ + ρ +

t

( )i t


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Le champ créé en un point de son axe par une spire de rayon ρ parcourue par un courant i est axial et sa

valeur algébrique a pour expression 30 sin2z

iB

µ= αρ

, où α est l’angle sous lequel est vu le rayon de la

spire. Le champ créé par la spire, induit par le déplacement de l’aimant, a donc pour expression en P :

( ) ( )( )( )2

03 222

,2z

i tB z t

z t

µ ρ=ρ +

L’aimant subit une force ( )gradF m B= ⋅

, proportionnelle dans le cas présent, au gradient de ce champ :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

22 4 2 40 00 0

5 2 3 2 52 22 22 2

M, 3 91

4 4z

z

B t v z t v z tm mdF t m

z R dz Rzz t z t

∂ µ ρ µ ρ= = = −∂ ρ +ρ + ρ +

Remarque : cette force est toujours négative, l’aimant est toujours contrarié dans son mouvement : cela est conforme à la loi de modération de Lenz.

Chauffage inductif : courants de Foucault

Considérons un cylindre métallique de rayon R et de hauteur h, de conductivité électrique γ, entouré par un solénoïde coaxial constitué de N spires jointives

parcouru par un courant sinusoïdal ( ) 2 cosi t I t= ω .

Nous négligerons les effets de bord en considérant que le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde, de valeur :

( ) ( )0 z

NB t i t e

h= µ

L’étude des symétries nous conduit à affirmer que le champ électrique est ortho radial et que sa composante

ortho radiale ne dépend que de ρ : ( ),E E t eϕ ϕ= ρ

Le champ magnétique axial induit donc un champ électrique ortho radial conforme à la loi de Lenz-Faraday :

( ) ( )22 , zdB tE t

dtϕπρ ρ = −πρ

Nous en déduisons l’expression du champ électrique dans le cylindre :

( ) ( )0 0 2 sin

2 2

di tN NE t e I t e

h dt hϕ ϕρ ρ= µ = − µ ω ω

Ce champ électrique va induire des courants dans la volume du cylindre assimilé à un conducteur ohmique. Ces « courants de Foucault » seront responsables d’une puissance dissipée par effet Joule.

La puissance volumique dissipée ayant pour valeur en chaque endroit et à chaque instant 2j E Eτ = ⋅ = γP

, nous obtenons la puissance volumique moyenne dissipée en chaque endroit par

intégration dans le temps : 2

2 2 2 2 20 2

1

4

NE I

hτ = γ = γ ρ µ ωP

( )i t ( )B t

( )B t

( )E t

R

h

z


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Nous obtenons enfin l’expression de la puissance totale moyenne dissipée par les courants de Foucault en intégrant cette expression sur tout le volume du cylindre :

2 22 2 2 3 4 2 2 20 02

cylindre 0 02

2 8

R RN Nd h d h I d R I

hh

ρ= ρ=

τ τρ= ρ=

π π= τ = π ρ ρ = γ µ ω ρ ρ = γ µ ω∫∫∫ ∫ ∫P P P

Les courants de Foucault peuvent être utilisés efficacement pour du chauffage : sur ce principe on réalise des plaques à induction et des fours à induction. La dissipation d’énergie par les courants de Foucault est aussi le principe actif du freinage inductif utilisé par les poids lourds.

Cependant dans certaines circonstances les courants de Foucault apparaîtront comme tout à fait indésirables. C’est le cas, par exemple, pour les transformateurs à noyau ferromagnétique dont les « pertes dans le fer » diminuent le rendement. Le phénomène est inévitable, mais on essaie d’en atténuer les effets indésirables en utilisant des noyaux de fer « feuilleté ». Les feuillets étant placés orthogonalement aux courants de Foucault, la conductivité s’en trouve très réduite.

1.4. Phénomènes d’induction de Lorentz

Note historique : Lorentz et ses contemporains avaient remarqué que l’électromagnétisme étudié dans le cadre de la physique newtonienne mène à des paradoxes. Lorentz détermina vers 1900 les relations de transformation des champs qui seraient compatibles avec l’invariance galiléenne de la force électromagnétique agissant sur une particule chargée en mouvement. Ces « transformations de Lorentz » trouveront un sens physique dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte présentée par Einstein en 1905.

Circuit en mouvement non relativiste dans un champ magnétique permanent

Loi de transformation des champs

Nous nous plaçons strictement dans le cadre de la mécanique newtonienne non relativiste. Le temps est identique dans tous les référentiels galiléens et la loi d’addition des vitesses s’applique. Soit deux

référentiels galiléens R et ′R de vitesse relative /v ′RR

, la vitesse v

d’un point matériel M dans R

s’exprime dans ′R par la relation : / / /v v v′ ′= +R R RR

.

En mécanique newtonienne, les forces sont invariantes et ce doit donc être le cas de la force de Lorentz qui s’applique sur une particule chargée en mouvement dans un référentiel galiléen en présence d’un champ électrique et d’un champ d’induction magnétique.

( )( ) ( )

/ / / /

/ / / / / / / / /

Dans :

Dans :

f q E v B

f q E v B q E v B v B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= + ∧′ = + ∧ = + ∧ + ∧

R R R R

R R R R R RR R R R

R

R

( )/ / / / / / / / / /f f E v B E v B v B′ ′ ′ ′ ′= ⇒ + ∧ = + ∧ + ∧R R R R R R RR R R R

L’invariance de la force de Lorentz par changement de référentiel galiléen devant être vérifiée quelle que soit la vitesse de la particule, nous en déduisons l’expression des transformations non relativistes des champs :

/ / / /

/ /

E E v B

B B

′ ′ ′

′

= + ∧

=

R R RR R

R R

Transformation non relativiste des champs


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La première remarque est que le champ magnétique doit être un invariant galiléen : / /B B B′= =R R

.

Ceci est tout à fait contradictoire avec la définition même des charges électriques et des courants, sources du champ électromagnétique. En effet, des charges immobiles dans un référentiel galiléen R sont

responsables dans R d’un seul champ électrique /ER

et le champ magnétique /B

R

est nul.

Ces mêmes charges sont en mouvement de vitesse /v ′RR

dans un référentiel ′R en mouvement par

rapport à R et sont donc décrites comme des courants responsables dans ′R d’un champ magnétique

/B ′R

qui n’est pas nul.

La transformation non relativiste des champs apparaît alors comme une expression simplifiée linéarisée au premier ordre en v c, où c est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide.

L’expression du champ électromoteur /v B′ ∧RR

, qu’il convient d’ajouter au champ électrique dans ′R

pour exprimer le champ électrique dans R , convient si et seulement si le module de la vitesse /v ′RR

est

très petit devant c.

De la même façon, la différence entre /B ′R

et /B

R

fait intervenir au premier ordre non nul des termes en

2 2v c que l’on néglige dans l’approximation non relativiste.

Transformation des sources des champs

En physique newtonienne, la densité de charge ρ est invariante par changement de référentiel galiléen. Par contre, les vitesses de déplacement des charges n’étant plus les mêmes, la densité de courant se trouve modifiée conformément à la loi de composition galiléenne des vitesses.

/ /

/ / /j j v

′

′ ′

ρ = ρ

= − ρ

R R

R R RR

Remarque : dans le cadre de l’ARQS, les sources du champ électromagnétique pourront être considérées

comme identiques dans tous les référentiels galiléens : / / ′ρ = ρR R et / /j j ′=R R

.

Deuxième interprétation de la loi de Faraday

Un élément de courant animé d’une vitesse v

et soumis à un champ d’induction magnétique B

dans un référentiel galiléen verra donc, du fait de son mouvement, un champ électrique supplémentaire à

circulation non conservative emE v B= ∧

.

emE v B= ∧

Champ électromoteur de Lorentz

Si nous considérons un élément de courant i dℓ animé d’une vitesse v

, la surface élémentaire balayée

par cet élément de courant dans l’intervalle de temps [ ],t t dt+ est définie par le vecteur dS v dt d= ∧

ℓ .

Le flux magnétique élémentaire « balayé » par cet élément de courant dans l’intervalle de temps [ ],t t dt+

est proportionnel au produit mixte des trois vecteurs B

, v

et dℓ et donc aussi proportionnel à la

circulation élémentaire du champ électromoteur sur le segment de circuit dℓ :

( ) ( ) ( )2em, , , ,

Bd B dS B v d dt B v d dt v B d dt v B d dt E d dtφ = ⋅ = ⋅ ∧ = = − = − ∧ ⋅ = − ⋅

ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ


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Ce flux balayé, intégré sur un circuit fermé, définit la variation élémentaire du flux du champ magnétique à travers le circuit due au déplacement du circuit dans l’intervalle de temps dt.

2emB B

d d E d dt e dtφ = φ = − ⋅ = −∫ ∫C C

ℓ

La circulation de ce champ électromoteur sur un parcours fermé conduit, de la même façon que pour l’induction de Neumann, à la manifestation d’une force électromotrice de boucle e.

emB

de E d

dt

φ= ⋅ = −∫C

ℓ avec emE v B= ∧

Nous retrouvons la formulation de la loi de Lenz-Faraday, avec toutefois une interprétation très différente de celle que nous pouvions faire dans le cas de l’induction de Neumann : la variation du flux magnétique était alors due à une variation du champ magnétique inducteur, alors que dans le cas de l’induction de Lorentz, la variation du flux magnétique est due au déplacement du circuit.

Exemples de phénomènes d’induction de Lorentz

Note : ces exemples ne constituent pas des questions de cours. Il s’agit d’exercices choisis un peu arbitrairement. Ces exercices impliquent pour les aspects mécaniques une connaissance des lois de rotation du solide autour d’un axe fixe et ces lois sont étudiées dans le cadre du cours de mécanique du solide.

Le rail de Laplace

• Impulsion de démarrage

Deux tiges cylindriques en cuivre, identiques, sont disposées dans l’entrefer d’un aimant permanent horizontalement et parallèles entre elles Nous noterons ℓ la distance entre les deux barres. Le champ d’induction magnétique, de direction verticale, est orthogonal au plan du rail. Une barre cylindrique également en cuivre peut rouler librement sur le rail en établissant un contact électrique que l’on supposera parfait en chacun des points de contact M et N.

Le circuit électrique est complété à l’extérieur par une source de tension continue en série avec une résistance et un interrupteur.

Initialement, l’interrupteur est ouvert et la barre MN est immobile, située dans l’entrefer de l’électroaimant. À l’instant 0t = , on ferme l’interrupteur. Il apparaît alors un courant de M vers N d’intensité initiale 0e R et une force de Laplace qui met le barreau MN en mouvement. Nous

assimilerons ce mouvement au mouvement de glissement d’un point matériel de masse m.

ℓ

B

M

N R

0e

0t =

B

iℓℓℓℓ

i BF ∧∧∧∧==== ℓℓℓℓ

xe

ye

ze


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Remarque : en réalité, la barre roule sur le rail sans glisser. On démontrera en mécanique du solide que le mouvement de translation qui en résulte est identique, pourvu que l’on substitue à la masse m le

coefficient d’inertie plus important 2

3

2

Jm m m

r′ = + = .

Dès que la barre MN est en mouvement, elle est le siège d’un champ électromoteur de Lorentz et ceci tant qu’elle continue à se trouver dans l’entrefer de l’aimant. Nous allons considérer (c’est une approximation)

que le champ d’induction magnétique est uniforme de valeur 0 zB e

dans l’entrefer de l’aimant sur une

distance d à partir de sa position initiale, puis soudainement strictement nul.

Ne tenant pas compte de l’inductance propre du circuit, l’équation électrique s’écrit : ( ) ( )0e e t Ri t+ =

où ( )e t est la f.é.m. d’induction, égale à la circulation de M vers N du champ électromoteur

( ) ( )em 0 0x x z x yE v B v t B e e v t B e= ∧ = ∧ = −

, soit ( ) ( )em 0MN xe t E B v t= ⋅ = −

ℓ

Dans le cadre de la modélisation simplifiée adoptée ici, si l’on ne tient pas compte des frottements, la

force de Laplace ( ) ( )0 0y z xF i t e B e i t B e= ∧ =

ℓ ℓ est la seule force agissante selon Ox et l’équation

mécanique s’écrit tout simplement F m a=

, soit : ( ) ( )0

xdv ti t B m

dt=ℓ

Nous avons ainsi établit une systèmes de deux équations différentielles exprimant le couplage électromécanique par induction :

( ) ( )

( ) ( )0 0

0

équation électrique

équation mécanique

x

x

e B v t R i t

dv ti t B m

dt

− =

=

ℓ

ℓ

Le découplage se fait sans problème substitution et conduit à une équation différentielle linéaire du

premier ordre. L’équation en i s’écrit : ( ) ( )

2 20 0

di t Bi t

dt mR+ =ℓ

Posons 2 20

mR

Bτ =

ℓ. La solution, compte tenu de la condition initiale ( ) 00

ei

R= , s’écrit : ( ) 0

te

i t eR

−τ= .

τ t00

d

mouvement accéléré par la force de Laplace

En dehors de l’entrefer,le mouvement est uniforme

forme asymptotique t − τ

( )x t

0

0

e

B

τℓ


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Nous en déduisons ( ) 0

0

1t

xe

v t eB

−τ

= − ℓ

et, par intégration ( ) 0

0

te

x t t e KB

−τ

= + τ + ℓ

, la constante K

étant déterminée de telle sorte que ( )0 0x = , soit finalement : ( ) 0

0

1t

ex t t e

B

−τ

= − τ −

ℓ

Dès que la distance d est atteinte et que l’on sort de l’entrefer de l’aimant, la vitesse ne varie plus et la barre continue son mouvement rectiligne uniforme avec la vitesse acquise.

• Freinage inductif

Reprenons le dispositif du rail de Laplace en fermant le circuit simplement sur une résistance R. Cette

fois, la barre est animée initialement d’une vitesse 0 0 xv v e=

en avant de l’entrefer. La barre pénètre donc

dans l’entrefer à l’instant 0t = animée de cette vitesse initiale.

Nous observons alors que le mouvement se ralentit dès que la barre pénètre dans l’entrefer de l’aimant.

Seule l’équation électrique est modifiée par rapport au problème précédent :

( ) ( )

( ) ( )0

0

équation électrique

équation mécanique

x

x

B v t R i t

dv ti t B m

dt

− =

=

ℓ

ℓ

Ce qui nous conduit à une équation à une équation différentielle du premier ordre : ( ) ( )

0x xdv t v t

dt+ =

τ

de même constante de temps 2 20

mR

Bτ =

ℓ.

Cette fois, avec les nouvelles conditions initiales, la loi de vitesse s’écrit ( ) 0

t

xv t v e−

τ= et s’intègre en

( ) ( ) 00 1t

x t x v e−

τ = + τ −

Si la largeur de l’aimant est supérieure à 0v τ , la barre va s’arrêter dans l’entrefer. Si, au contraire,

l’impulsion initiale permet à la barre de déboucher de l’entrefer de l’aimant, alors elle poursuivra son chemin d’un mouvement uniforme avec pour vitesse la vitesse résiduelle à la sortie de l’entrefer.

ℓ

0v

M

NR

xe

ye

ze


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L’intensité ( )i t obéit donc à la loi ( ) ( )0 0 0t

xB B v

i t v t eR R

−τ= − = −ℓ ℓ

Calculons l’énergie électrique élecW dissipée par effet Joule dans la résistance R dans l’intervalle [ ]0, t :

( )2 22 2 2 2 2 2

2 2 20 0 0 0élec 0

0 0

1 1 11

2 2 2

t tt tB v B vW Ri dt e dt e mv mv t

R R

− −τ τ

= = = τ − = −

∫ ∫ℓ ℓ

L’énergie cinétique initiale est progressivement dissipée par effet Joule dans la résistance.

Galvanomètre à cadre mobile

• Fonctionnement statique : ampère-mètre

Considérons tout d’abord le principe du galvanomètre à cadre mobile. Un bobinage rectangulaire de N spires, de hauteur h et de largeur ℓ , est réalisé autour d’un noyau cylindrique en fer doux. L’ensemble est porté par un axe ∆ et les contacts électriques sont assurés sur cet axe par des balais.

La rotation autour de l’axe ∆ est contrariée par un ressort spiral linéaire de constante de torsion C.

Le cadre mobile est inséré dans l’entrefer d’un aimant permanent dont la forme géométrique est déterminée de telle sorte que le champ d’induction magnétique soit radial dans l’entrefer. Nous admettrons cette propriété, conséquence des lois du magnétisme dans les matériaux ferromagnétiques.

0

0

Du côté du pôle Nord

Du côté du pôle Sud

r

r

B B e

B B e

= −

= +

La nature radiale du champ B

fait que les forces de Laplace ont un moment par rapport à l’axe ∆ de

valeur indépendante de l’angle de rotation θ du cadre depuis sa position d’équilibre. Le moment des forces de Laplace a pour expression 0 0Ni hB i+ = φℓ alors que le moment de rappel dû au ressort spiral est

égal à C− θ . Le moment résultant 0i C∆ = φ − θM est nul à l’équilibre. Nous en déduisons que la mesure

de l’angle de rotation du cadre nous donne la valeur de l’intensité électrique i dans le cadre :

0 0

C Ci

N hB= θ = θ

φ ℓ

• Fonctionnement dynamique : amortissement par les courants de Foucault

Lorsque le cylindre central est en rotation, il est nécessairement en

chaque point M le siège d’un champ électromoteur emE v B= ∧

.

Nous pouvons considérer, en bonne approximation, que le champ

d’induction magnétique B

est uniforme et constant dans le cylindre ferromagnétique, les lignes de champ étant colinéaires à l’axe Ox joignant le pôle Nord au pôle Sud de l’aimant permanent.

NORD SUD NORD

SUD

B

B

θ

F

F

Ni

Ni

NORD

SUD

BFj

v

Courants de Foucault

θ

O xF


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Avec d

v r edt θθ=

, nous en déduisons : em cos z

dE Br e

dt

θ= − θ

.

γ étant la conductivité du fer, le champ électromoteur produit un courant de Foucault de densité

F em cos zd

j E Br edt

θ= γ = −γ θ

.

Ces courants de Foucault sont à l’origine d’une force volumique de Laplace FdF j d B= τ ∧

dont le

moment selon l’axe ∆ est : ( )22 2 cosd

d B r ddt∆θ= −γ θ τM , avec d r dr d dzτ = θ .

Intégrons ce moment volumique sur tout le volume du noyau de fer doux et nous aurons une estimation de moment résistant dû aux courants de Foucault. Notons h la hauteur du cylindre et R son rayon :

( )

( )2

2 22 2 2 3 2 4

0 0 0

4

cos cos4

4

h Rd d dB r d B dz d r dr B R h

dt dt dt

h R

π

∆τ

θ θ π θ= − γ θ τ = − γ × × θ θ× = − γ

π

∫∫∫ ∫ ∫ ∫M

Ces courants sont proportionnels à la vitesse angulaire et ils induisent un amortissement quasi linéaire du système. Ces systèmes sont conçus de telle sorte que l’oscillateur linéaire du second ordre que constitue ce dispositif magnéto-mécanique fonctionne dans un cas d’amortissement proche du régime critique.

Nous noterons J∆ le moment d’inertie de l’ensemble cadre + noyau par rapport à l’axe ∆ et C la

constante de torsion du ressort spiral. En circuit ouvert, l’équation magnéto-mécanique du système libre

s’écrit alors 2

2 424

d dC B R h J

dt dt∆

π θ θ= − θ − γ =M . Nous écrivons cette équation sous la forme canonique :

22

0 022 0

d dm

dtdt

θ θ+ ω + ω θ = avec 0C

J∆ω = et

2 4

8

B R hm

J C∆

π γ=

On arrive à ajuster ces systèmes de telle sorte que leur constante de temps 0

1 J

C∆τ = =

ω caractéristique

du retour à l’équilibre en régime critique soit de l’ordre de grandeur d’une fraction de seconde et que le coefficient d’amortissement m soit proche de la valeur unité caractérisant le régime critique.

• Fonctionnement balistique : coulomb-mètre

Considérons un galvanomètre à cadre mobile concu pour avoir des oscillations libres correspondant au régime critique ( )1m= . Le cadre mobile étant parcouru par un courant ( )i t , il faut ajouter dans le bilan

des actions mécaniques le moment 0i φ des forces de Laplace correspondantes. L’équation mécanique du

système s’écrit alors :

( )2

2 00 02

2d d

i tdt Jdt ∆

φθ θ+ ω + ω θ =

Une telle impulsion est caractérisée par son intégrale

( )0

t

q i t dt∆

′ ′= ∫ qui correspond à la charge totale

transportée par le courant. t0

chargetotale q

( )i t

t∆


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Nous nous plaçons dans l’hypothèse où le courant ( )i t est une impulsion de durée t∆ très petite par

rapport à la constante de temps J C∆τ = du système mécanique.

Dans ce cas, dans l’intervalle de temps t∆ , le système mécanique ne bouge pas et l’intégration de l’équation différentielle sur cet intervalle de temps nous permet d’établir la vitesse angulaire initiale 0Ω

du mouvement : l’impulsion de courant se traduit par une impulsion angulaire.

( )

( )

( ) ( ) ( )2

2 00 02

0 0 0 0

0

2

00

t t t td t d tdt dt t dt i t dt

dt Jdt

d qtdt

∆ ∆ ∆ ∆

∆

′ ′θ θ φ′ ′ ′ ′ ′ ′+ ω + ω θ =′′

θ ∆ =Ω

∫ ∫ ∫ ∫

soit 00 q

J∆

φΩ =

L’équation différentielle critique s’intègre alors avec pour conditions initiales ( )0 0θ = et ( ) 00d

dt

θ = Ω ,

ce qui conduit à l’équation horaire : ( ) 00

tt t e−ωθ = Ω

L’angle θ de rotation du cadre passe par un maximum maxθ pour t = τ et cette valeur maximale est

proportionnelle à la charge q qui est passée dans le cadre :

0 0max q

e e J C∆

Ω τ φθ = =

La mesure de maxθ équivaut à une mesure de q. Nous pouvons de cette façon, par exemple, mesurer la

charge d’un condensateur en provoquant sa décharge très rapide à travers une résistance et le galvanomètre.

Roue de Barlow

Dès 1828, le physicien anglais Peter Barlow, imagina ce dispositif qui peut être considéré comme le premier moteur électrique à courant continu. Une roue en cuivre tourne librement autour d’un axe horizontal. Un contact permanent est établi tangentiellement à la roue grâce à du mercure liquide et un champ magnétique important est établi transversalement dans l’entrefer assez étroit d’un aimant

permanent. Nous allons considérer que ce champ magnétique est uniforme, de valeur 0B

, dans toute la

partie de la roue où circulent des courants entre l’axe Oz et le point de contact avec le mercure.

( )tθ0

max e

Ω τθ =

tτ00


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Considérons un tube de courant élémentaire d’intensité di et exprimons la force de Laplace agissant sur

un élément de courant di dℓ : 2

0d f di d B= ∧

ℓ . Le moment en O de cette force a pour expression :

( )2 2 20OM r rd d f re d f r di e d B= ∧ = ∧ = ∧ ∧M

ℓ

Avec rd dr e r d eθ= + θ ℓ , cela s’écrit plus simplement : ( )2

0 0d d di e e B B d diρ ρ= ρ ρ ∧ ∧ = − ρ ρM

Le champ 0B

étant homogène, l’intégration porte séparément sur i et sur ρ. Pour chaque tube de courant

di, le moment élémentaire résultant s’écrit : 20

0 02a

ad B d di B di= − ρ ρ =∫M

et enfin : 2

02

aB i=M

Remarque : le moment résultant est le même que si le courant allait en ligne droite du point P au point O (ce qui n’est certainement pas le cas…).

ev r= Ω ∧

étant la vitesse d’entraînement du conducteur, le champ électromoteur a pour expression

( ) ( )em e 0 0 0E v B r B B r= ∧ = Ω ∧ ∧ = Ω ⋅

et la f.é.m. élémentaire s’écrit :

( )em 0 0de E d B r d B d= ⋅ = Ω ⋅ ⋅ = Ω ⋅ ρ ⋅ ρ

ℓ ℓ

Par intégration de P à O, nous obtenons : 20

0 02a

ae B d B= Ω ⋅ ρ⋅ ρ = − Ω ⋅∫

De nombreuses expériences sont possibles avec la roue de Barlow, le circuit électrique pouvant être fermé et complété de différentes manières.

Voici l’une d’entre elles, particulièrement simple, où le circuit électrique est simplement complété par une résistance, un générateur de tension continue de f.é.m. 0e et un interrupteur.

Initialement le circuit est ouvert et la roue est immobile. Le moment d’inertie de la roue par rapport à son axe est noté OJ .

À l’instant 0t = , on ferme l’interrupteur et l’on observe alors que la roue se met en mouvement. Pour comprendre ce phénomène, écrivons les équations électrique et mécanique du système.

Goulotte contenantdu mercure

0Aimant créant un champ orthogonal à la roue

B

Roue en cuivre

Composants électriquescomplémentaires 0B

di

O

P

0B

iR

0e0t =


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Du point de vue mécanique, en projetant sur l’axe Oz orienté par le champ B

:

( ) ( )2

0 O2z

zda

t B i t Jdt

Ω= =M

Du point de vue électrique, on ne peut plus simple : ( ) ( ) ( )2

0 0 02 za

e e t R i t e t B+ = = − Ω

Le couplage électromécanique se traduit par une équation différentielle du premier ordre :

4 2 20 0

0O O4 2

zz

a B a Bde

dt J R J R

Ω + Ω =

Une solution particulière de cette équation correspond au régime permanent de rotation uniforme de la

roue vers lequel on tend : ( ) 02

0

2z

e

a BΩ ∞ =

En posant O4 2

0

4J R

a Bτ = , compte tenu de la condition initiale ( )0 0zΩ = , cette équation s’intègre sans

difficulté et nous donne la loi de ralentissement :

( ) 02

0

21

t

ze

t ea B

−τ

Ω = −

Remarque : dans cette expérience, la roue doit avoir une très grande inertie et le champ magnétique doit être très important afin que les frottements inévitables ne soient pas prépondérants.

thÉorie ÉlectromagnÉtique de maxwelljean.lehir.pagesperso-orange.fr/mp/elements de...

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