chamoa_3d - justifications

Chamoa_3D - JustificationsJanvier 2014

Chamoa_3D - Justifications

Collection « Les Outils » 2/41 24 janvier 2014


CHAMOA_3D - Justifications

CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’Art

Calcul des ouvrages de type Pipo/ Picf/ Psida/ Psi dp


Document édité par le Céréma dans la collection « les outils ».

Cette collection regroupe les guides, logiciels, supports

pédagogique, catalogue, données documentaires et annuaires

Collection les outi ls


La CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’Art (Chamoa) a été développée sous le pilotage du

Céréma par :

Jean GUAL

Philippe LEVEQUE

Marie Aurélie CHANUT

Claude SIMON

Florent BACCHUS

Florent BOURHIS

Nicolas VIGNEAUD

Angel-Luis MILLAN

Gaël BONDONET

L'application est désignée sous le sigle "CHAMOA" pour Chaîne Algorithmique Modulaire de calcul des

Ouvrages d'Art. Ce nom et ce sigle ont été déposés à l'Institut National de la Propriété industrielle dans les

classes suivantes :

9 : logiciels (programmes enregistrés)

42 : programmation pour ordinateur.

Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle de cette documentation et/ou du logiciel, faite sans le

consentement du Ministère de l'Écologie, de l’Énergie, du Développement Durable et de l'Aménagement du

Territoire est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40).



SOMMAIRE

SOMMAIRE..............................................................................................................................................3

Chapitre I - Introduction.............................................................................................................................4

Chapitre II - Calculs aux état limites sous sollicitations normales...........................................................6

Chapitre III - Calculs d'ouverture de fissure............................................................................................11

Chapitre IV - Calculs sous sollicitations tangentes.................................................................................13

Chapitre V - Dimensionnement des aciers passifs à la non fragilité .....................................................21

Chapitre VI - Calculs de non rupture fragile des aciers de précontrainte...............................................24

Chapitre VII - Calculs hors état limite : aciers longitudinaux et transversaux.........................................28

Chapitre VIII - Calculs hors état limite : aciers d’effort tranchant et de torsion.......................................31



Chapitre I - Introduction

L'objectif est d'expliciter les calculs mis en œuvre pour les justifications et les dimensionnements des

aciers passifs dans Chamoa_3D. Les justifications et dimensionnements sont conduits sur une

sélection plus ou moins fine des nœuds du maillage.

I.1 - Présentation des différents calculs

Pour chaque section d’étude, les vérifications et dimensionnements suivants sont réalisés :

• Calcul des aciers passifs longitudinaux et transversaux assurant la résistance de la section

sous sollicitations normales.

• Calcul des aciers passifs résistants sous les efforts tranchants et de torsion.

• Calcul des aciers nécessaires à la limitation des ouvertures de fissure.

• Calcul des aciers passifs nécessaires au respect du critère de non fragilité.

• Calcul des aciers passifs nécessaires pour vérifier le critère de non rupture fragile des aciers

de précontrainte.

• Vérification des dispositions constructives relatives aux aciers longitudinaux et transversaux.

• Vérification des dispositions constructives relatives aux aciers de tranchant et de torsion.

Chacune de ces vérifications est détaillée ci-dessous.

Remarque : La justification au poinçonnement n’est pas traitée par Chamoa_3D.

I.2 - Calculs effectués selon la forme de la sectio n

Dans le cas de vérifications sous sollicitations normales, les sections traitées présentent une forme

circulaire ou polygonale , rectangles inclus, alors que sous sollicitations tangentes, la forme se restreint

à circulaire ou rectangulaire.

Pour les sections circulaires, on suppose l'existence d'un seul lit de ferraillage désigné par le terme

extrados. Les sections rectangulaires possèdent, quant à elles, deux nappes d'aciers : extrados et

intrados. Par contre, dans le cas des sections polygonales, il existe potentiellement quatre lits de

ferraillage : extrados, intrados, intrados_membrure_gauche et intrados_membrure_droite.

Les aciers des sections circulaires et rectangulaires doivent tous satisfaire les différentes vérifications.

Par contre, concernant les sections strictement polygonales, tous les aciers ne sont pas soumis à

toutes les vérifications :

• Calcul de résistance : on raisonne sur la section réelle et on ne dimensionne/justifie que les

aciers des nappes extrados et intrados même si les valeurs des contraintes dans les aciers

situés en intrados_membrure_gauche et en intrados_membrure_droite peuvent être calculées.



• Calcul d'ouverture de fissure réalisé pour toutes les nappes. Pour cela, on raisonne sur une

section en Té équivalente au sens où la surface et l'inertie sont conservées.

• Calcul de non fragilité des aciers passifs effectué sur la section en té équivalente et ne

concerne que les aciers positionnés en extrados et en intrados.

• Vérification de non rupture des aciers de précontrainte : seuls les aciers en intrados et en

extrados sont concernés et les calculs sont effectués sur la section réelle globale.

• Vérification des dispositions constructives réglementaires pour tous les aciers : extrados,

intrados, intrados_membrure_gauche, intrados_membrure_droite et on raisonne ici avec la

section en té équivalente.



Chapitre II - Calculs aux état limites sous sollicitations normales

II.1 - Hypothèses de calcul

II.1.1 - Sollicitations

Dans Chamoa_3D, une sollicitation est décomposée en :

• Charges permanentes G concomitantes à la précontrainte,

• Sollicitations isostatiques de précontrainte.

• Sollicitations hyperstatiques de précontrainte Phyper, j ,

• Charges variables instantanées Q ,

On constate donc que la précontrainte isostatique n'est pas incluse dans les efforts mais est gérée par

l'intermédiaire des tensions des câbles de précontrainte.

A noter que si les câbles sont inclinés par rapport à la fibre moyenne d'un angle , il faut raisonner

avec une section d'armatures de précontrainte réduite Apcos au lieu de Ap et modifier le

calcul des efforts repris par les aciers de précontrainte lors des surcharges. En effet, si le béton se

déforme de b alors la déformation associée dans l'armature est bcos2 et c'est cette

déformation qui doit être utilisée pour calculer les contraintes dans l'armature de précontrainte et non

la déformation du béton adjacent.

II.1.2 - Etats de la structure considérés pour lesjustifications et les dimensionnements

Les dates d'étude considérées sont les suivantes :

• date de mise en tension 1 (section BP),

• date de mise en tension 2 (section BP),

• date de mise en service pour chantier (section BP),

• date de mise en service (section BP),

• date de mise en service au temps infinie (sections BA et BP).

Dans les cas où il existe un échelonnement dans la mise en tension des lits d'armatures de

précontrainte, on raisonne sur une charge permanente totale appliquée à un instant « moyen » du

phasage. En effet, considérer plusieurs dates de chargements permanents dans un même calcul



pose le problème de la superposition d’états permanents en section fissurée avec prise en compte des

effets différés. Pour l'étude sous plusieurs chargements permanents, on effectuera donc des calculs

séparés avec pour chacun, une seule charge permanente cumulée, une force de précontrainte et une

date moyenne d'application.

II.1.3 - Module du béton

Les calculs aux Eurocodes dépendent de deux dates :

• l'âge t du béton lors de l'étude (qui correspond à la date où on applique les surcharges). On

utilise cet instant pour calculer f ck t , f cmt et Ecmt .

• l'âge t 0 du béton lors de l'application des charges permanentes. Cette date permet

notamment de calculer le coefficient de fluage ,ce qui permet de calculer

Ec , eff=Ecmt

1t ,t0.

Pour un calcul en section fissurée avec pondération de la loi de comportement du béton, on utilise le

module pondéré Ebt défini selon Ebt =Ecm t 1Ec ,eff t =1t , t0

1t , t0Ecmt

où le coefficient dépend du rapport entre charges permanentes appliquées à t 0 et surcharges

appliquées à t . Le module du béton serait Ec , eff t s'il n'y avait que des charges permanentes

et Ecmt s'il n'y avait que des charges variables. Le coefficient est fixé égal à 0.25

conformément à la valeur moyenne constatée sur la plupart des ouvrages concernés.

La variable t prend successivement toutes les valeurs précisées dans la liste des dates d'étude ci-

dessus. En particulier :

• pour t=t0 , on effectue un calcul court terme avec Ebt =Ecmt puisque le coefficient

de fluage est nul. On utilise donc le module instantané du béton.

• pour t=∞ , on effectue un calcul long terme avec Ebt =1∞ , t 0

1∞ , t0Ecm∞ .

Remarque : le module Ecmt se calcule à l'aide de f cmt :

• en mode dimensionnement : f cmt =es[128/t 1/2 ] f cm si t28 et f cmt = f cm

sinon.

• en mode vérification de pathologie, f cmt se calcule par la formule

f cmt =es[128/ t 1 /2] f cm.



II.1.4 - Précontrainte

Dans Chamoa_3D, les câbles sont précontraints par post-tension. Une fois injectées, on tient compte

de leur adhérence imparfaite avec le béton en pondérant leur section par un coefficient =0,5 .

II.2 - Méthodes mises en oeuvre

II.2.1 - Calcul BA fissuré

Dans une section BA, l'état final est calculé directement à partir de l'état initial : l'équilibre est obtenu

sous les efforts totaux : charges permanentes plus surcharges. Le béton tendu est négligé et on prend

en compte la participation des aciers passifs à la résistance de la section. Le calcul est effectué avec

la loi instantanée du béton.

En résumé : 0inst

GQ

II.2.2 - Calcul BP

La logique du calcul aux Eurocodes de justification d'une section BP est la suivante : on effectue un

calcul non fissuré et si la fissuration se produit alors on procède à un second calcul fissuré si l’état

limite l’autorise.

Deux méthodes de calcul BP sont proposées :

➔ la méthode de la pondération de la loi : de la même façon cette méthode permet de réaliser le

calcul non fissuré puis en changeant de loi le calcul fissuré . C’est la méthode par défaut.

➔ la méthode de l'addition des états de contraintes pour le calcul non fissuré puis si requis, le

calcul fissuré avec la méthode du retour à l'état zéro.

Le tableau ci après résume les méthodes possibles qui sont ensuite détaillées.

ELS ELU

Calcul

Non Fissuré

Loi du béton : prise en compte du béton tendu mais

non fissuré. Deux solutions:

➔ Pondération de la loi,

➔ Addition des états de contrainte (loi

linéaire).

Cas non prévu.

Calcul

Fissuré (ELS

caractéristiqu

Loi du béton : non prise en compte du béton tendu. Deux solutions :

➔ Pondération de la loi,

➔ Retour à l’état zéro.



e ou ELU)

II.2.3 - Calcul BP - Pondération de la loi

Ce calcul utilise une loi de comportement du béton intermédiaire entre la loi instantanée et la loi

différée : ces deux lois sont pondérées à l'aide d'un coefficient égal au rapport entre charges

permanentes et charges d'exploitation.

Alors un calcul direct de l'état final est conduit à partir de l'état permanent :

• L'état de contrainte déformations existant dans le béton et les aciers passifs à l'état permanent

résulte de la recherche de l'équilibre sous G : les armatures de précontrainte ne participent

pas à la reprise des efforts permanents dans le cas de la précontrainte étudiée: précontrainte

par post-tension.

• A partir de cet état, on recherche les variations de déformations et de contraintes dans le

béton, les aciers passifs et les armatures de précontrainte qui permettent d'équilibrer la

surcharge Q.

En résumé : 0 pond

G pond

GQ

II.2.4 - Calcul BP non fissuré - Superposition des états decontrainte

Dans ce calcul non fissuré, l'état final résulte de la superposition des deux états :

• Equilibre à long terme sous charges permanentes uniquement par calcul linéaire : La

résistance des aciers passifs peut être prise en compte ou non dans le calcul (section

homogénéisée ou nette). Les aciers de précontrainte ne participent pas à la reprise des

efforts, ils sont présents par leur tension initiale.

• Equilibre à court terme sous surcharges uniquement via un calcul linéaire : La résistance des

aciers passifs et de précontrainte est prise en compte.

En résumé : 0diff

G0inst

Q=0GQ

II.2.5 - Calcul BP fissuré - Méthode du retour à l 'état zéro

La méthode du retour à l'état zéro est la méthode de calcul des sections BP requise par le BPEL. Un

équilibre sous charges permanentes à l'aide de la loi différée du béton est conduit. A partir de cet état

permanent, une décompression linéaire et instantanée du béton et des aciers passifs est appliquée

avant de déterminer l'équilibre final sous charges totales de façon instantanée.

En résumé : 0diff

G decompression inst

0inst

GQ



II.3 - Justification sous sollicitations normales

II.3.1 - Toutes les sections

Pour ces justifications de section sous effort normal, Chamoa3D utilise l’algorithme général d’équilibre

qui permet de déterminer l'équilibre de la section moyennant la définition de la géométrie, les lois de

comportement des matériaux qui la composent et les efforts sollicitants.

La vérification des contraintes limites réglementaires s'effectue lors du calcul d'équilibre puisque ces

limites sont intégrées aux lois de comportement des matériaux.

II.3.2 - Sections circulaires

Le calcul de justification des sections circulaires est spécifique car la répartition des aciers passifs sur

le lit de ferraillage influe sur le résultat.

Les N groupes d'aciers sont répartis uniformément sur le lit de ferraillage. Dans ce cas, il existe

une infinité de configurations à investiguer : l'ensemble des sections obtenues par rotation d'un angle

compris entre 0 et2N

. L'algorithme mis en place consiste donc à raisonner sur un

ensemble de Nconfig configurations et si l'ensemble des sections images d'une section référence

par la rotation d'angle 2N

iconfig

Nconfig

, iconfig=1..Nconfig est justifié alors la section est justifiée.

Pour l'implémentation de cet algorithme, une rotation du repère des sollicitations est effectuée plutôt

qu'une rotation de la géométrie dans un soucis de simplicité.

II.3.3 - Détails de l'implémentation d'une justificatio n BPfissuré avec la méthode de la pondération de la loi dubéton

• Une section est composée de plusieurs zones géométriques. Un matériau est associé à

chaque zone et définit ses lois de comportement. Plusieurs zones géométriques peuvent avoir

le même matériau si elles ont même loi de comportement. Notamment, pour les câbles de

précontrainte, il est nécessaire de créer une zone pour chaque acier mais tous ces aciers

suivent la même loi de comportement. On leur affecte donc le même matériau.



• Tensions des câbles de précontrainte associées à la sollicitation : pour cela, les numéros de

zones d'acier à tendre ainsi que les valeurs de tension définie par la sollicitation sont

indiquées.

• Equilibre permanent - calcul d'équilibre BA : les aciers de précontrainte sont tendus à leur

valeur de mise en tension.

• Injection des câbles : si les câbles doivent être injectés : le câble est désormais lié à la matrice

de béton et ses variations de déformations sont égales à celles du béton adjacent. Pour

chaque zone de précontrainte, les coefficients modificatifs de loi sont mis en place , en

particulier, la déformation du béton adjacent sous sollicitations permanentes.

• Equilibre total : lors du calcul de l'équilibre de la section sous charges totales et de la

participation de chaque zone de précontrainte, les coefficients modificatifs de zone sont

utilisés et le calcul des contraintes est effectué avec la loi modifiée.



Chapitre III - Calculs d'ouverture de fissure

Le calcul d'ouverture de fissure est effectué pour les sections de BA - nécessairement fissurées - et

pour les sections BP si la fissuration à l'ELS fréquent est acceptée, ce qui n’est pas le cas dans

Chamoa_3D. Il n'est réalisé que pour les sollicitations fréquentes.

La justification consiste à calculer l'ouverture de fissure sous les sollicitations et à vérifier que la valeur

déterminée est inférieure à la valeur maximale réglementaire.

Quant au dimensionnement des aciers passifs vis à vis de l'ouverture de fissure, il consiste en une

itération du calcul de justification en augmentant les sections d'aciers jusqu'à vérification du critère. La

section d'aciers passifs fournie est minimale car une procédure d'optimisation par dichotomie est mise

en place.

III.1 - Section rectangulaire

La méthode implémentée pour les sections rectangulaire est celle proposée dans l'Eurocode EN1992-

1-1 §7.3.4. L'ouverture de fissure se calcule de la façon suivante :

wmax=sr , maxsmcm où sr ,max est l'espacement maximal des fissures, sm déformation

moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée et cm

déformation moyenne du béton entre les fissures.

Avec :

• sr , max=min{k3c+k1k2k4ϕρ p, eff

1.3(hx)

au lieu de celle proposée par l’Eurocode :

• sr , max={k3c+k1k2 k4ϕρ p ,eff

si sadh<5(c+ϕ2)

1.3(hx) si sadh>5(c+ϕ2)

car de toute façon la valeur est bornée par le deuxième terme.

où

➢ sadh est l'espacement des aciers passifs

➢ désigne le diamètre des aciers passifs (même diamètre pour tous les aciers d'une

même section)

➢ c est l'enrobage des armatures passives longitudinales

➢ k1 vaut 0.8 (barres HA) ou 1.6 (armatures lisses)



➢ k2 vaut 0.5 (flexion) ou 1 (traction pure).

➢ k3 vaut 3.4 (modifiable par l'AN)

➢ k4 vaut 0.425 (modifiable par l'AN)

➢ hx est la hauteur de la zone tendue

➢ p, eff=As1

2 A' p

Ac , eff

avec

• Ac , eff=b heff=b min2.5hd ,hx

3,h2

• As : surface des armatures de béton armé dans la zone de béton tendue.

• A' p : aire de la section des armatures de précontraintes incluses dans Ac , eff

• 1 : rapport de la capacité d'adhérence des armatures de précontrainte à la

capacité d'adhérence des armatures de béton armé corrigé du rapport de leur

diamètre : 1= s

p

, rapport des deux capacités d'adhérence (tableau

6.2 dans 6.8.2), s= diamètre de la plus grosse armature passive, p

diamètre équivalent de l'armature de précontrainte

• hd est la distance entre le centre de gravité des armatures passives et la fibre la

plus tendue.

• smcm=max skt

f ct , eff

p , eff1e p, eff

Es

,0.6 s

Es

où

➢ s contrainte dans les armatures de béton armé tendues en section fissurée

➢ e=E s

Ecm

, rapport des modules d'acier et de béton

➢ k t : facteur dépendant de la durée de la charge 0.6 : chargement de courte durée et

0.4 :chargement de longue durée.

III.2 - Section circulaire

On utilise dans le cas des sections circulaires un critère simplifié qui permet de calculer la valeur de

l'ouverture de fissure liée à la sollicitation selon :



wmax=maxaciers passifs

1000

• wmax : ouverture de fissure en mm

• max : valeur absolue maximale de contrainte dans les aciers passifs sous la sollicitation

concernée en Mpa.



Chapitre IV - Calculs sous sollicitations tangentes

IV.1 - Section rectangulaire

Les vérifications dépendent de l'état limite ELS ou ELU.

IV.1.1 - Vérification à l'ELS

A l'ELS, les justifications ne concernent que le béton et sont calquées sur le règlement français :

• Critère à vérifier : torsion≤ torsion,limite

• Calcul de la contrainte de torsion qui s'exercent dans le béton :

torsion=6M t

h2

où

➢ M t désigne le moment de torsion

➢ h la hauteur de la section

• Calcul de la contrainte limite :

torsion ,limite=10.8min n ,0.6 f ck

f ck f ctk

avec

➢ n=N

Sbrute contrainte normale

➢ f ctk résistance moyenne en traction

IV.1.2 - Vérification à l'ELU sous effort tranchant

IV.1.2.1 - Notations

V Rd, c : effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures d'effort tranchant.

V Rd, s : effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant travaillant

à la limite d'élasticité.

V Rd, max : effort tranchant maximal repris par l'élément avant écrasement des bielles de

compression.



V Ed : effort tranchant agissant de calcul qui résulte de l'application des charges extérieures et de la

précontrainte.

IV.1.2.2 - Principe de la vérification

Si V Ed≤V Rd ,c , alors aucune armature d'effort tranchant n'est requise par le calcul mais mise en

place d'un ferraillage minimal §9.2.2 requis par les dispositions constructives.

Sinon, les armatures d'effort tranchant doivent permettre de vérifier : V Ed≤minV Rd, s,V Rd, max

avec V Ed≤V Rd, s résistance des aciers passifs et V Ed≤V Rd, max non écrasement du béton par

les bielles de compression.

IV.1.2.3 - Calcul de l'effort tranchant résistant e n l'absence

d'armatures V Rd , c

V Rd, c=(νmin+k1σcp)bw d

au lieu de :

V Rd , c=max[CRd , ck1001 f ck1/3k1cp]bw d ,mink1 cpbw d

car cette dernière formule fait intervenir les aciers de flexion longitudinale qui ne sont pas fixés lors du

calcul du cisaillement. La formule utilisée est plus défavorable que la formule complète puisqu’elle

sous estime le moment résistant.

où

• V Rd, c en [N]

• f ck résistance caractéristique du béton [Mpa]

• d distance entre la fibre de béton la plus comprimée et le lit d'armature tendu [mm] si aciers

tendus, sinon on prend d=h

• k=min1 200d ,2 avec d en mm

• 1=min Asl

bw d,0.02 avec Asl aire des armatures longitudinales tendues [mm²] et bw la

plus petite largeur de la section droite tendue [mm]

• cp=NEd

Ac

≤0.2 f cd avec N Ed effort normal [N] agissant sur la section droite dû aux

charges extérieures et à la précontrainte et Ac section brute du béton en [mm²]

• les grandeurs CRd, c , k1 et min sont des données réglementaires :



➢ CRd , c=0,18c

➢ k1=0.15

➢ min=0.34c

f ck1/2

pour les dalles (dalle BA ou BP, traverse et semelle) avec

redistribution totale. Ce n’est pas le cas de Chamoa_3D sous G ou P.

➢ min=0.053c

k3/2 f ck1/2

pour les poutres (barrettes) ou pour les dalles en l’absence

de redistribution. C’est le cas pour Chamoa_3D.

➢ min=0.35c

f ck1/2

pour les voiles (piedroits).

• bw se déduit de la valeur b de la largeur de la section droite selon la règle :

Si la gaine de précontrainte est injectée et de diamètre tel que b8

: bw=b0.5∑ où

∑ est déterminé à l'endroit le plus défavorable.

Si la gaine de précontrainte est injectée et de diamètre tel que ≤b8

: bw=b

si la gaine est non injectée : bw=b1.2∑ .

IV.1.2.4 - Calcul de l'angle de bielle de compressi onHypothèse d'un modèle de treillis défini par :

: angle entre la bielle de compression et la fibre moyenne de l'élément pour des armatures d'effort

tranchant perpendiculaires à la fibre moyenne de l'élément.

bw : même expression que ci-dessus.

Domaine de valeur de l'angle tranchant : 0,4≤tan(θtranchant)≤1

Pour le Calcul de tranchant à partir de N et V selon l’Eurocode, on recherche l’angle le plus grand

possible tel que :

1≤cot(θtranchant)≤2.5

V Ed≤V Rd , max=αcwbw zv1 f cd

cot(θtranchant)+ tan(θtranchant)



IV.1.2.5 - Calcul de l'effort tranchant repris par les armatur es

travaillant à la limite d'élasticité V Rd, s

V Rd , s=Asw

slong

z f ywdcotantranchant

où

• Asw est l'aire du cours d'armature d'effort tranchant : Asw=2

4b

strans

• slong espacement des cadres et des étriers

• f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant f ywd=f ywk

s

➢ z : bras de levier z=0.9d

IV.1.2.6 - Calcul de l'effort tranchant repris par l'élément a vant

écrasement des bielles de compression V Rd , max

V Rd , max=cwbw z1

f cd

cotantranchanttantranchant

où

• 1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant :

1=0.61 f ck

250 avec f ck en Mpa.

• cw : coefficient tenant compte de l'état de la contrainte dans la membrure comprimée :

➢ cw=1 si structure non précontrainte

➢ cw=1 cp

f cd si 0cp≤0.25 f cd

➢ cw=1.25 si 0.25 f cd cp≤0.5 f cd

➢ cw=2,51cp

f cd si 0.5 f cd cp≤ f cd

avec cp=NEd

Sbrute

.

En résumé, la quantité maximale d'aciers qui peut être mise en place de façon utile est égale à :



( Asw

s )max=αcwbw ν1

f cd

f ywd

11+(cotanθ tranchant)

2 obtenue en égalant V Rd , s et V Rd , max .

IV.1.3 - Vérification à l'ELU sous effort de torsio n

Cette vérification est spécifique aux bords libres et est à faire en plus de la vérification à l'effort

tranchant dans cette zone.

Dans le cadre de la vérification de la torsion, les sections pleines sont modélisées par des sections

fermées à parois minces. L'épaisseur eparoi de cette paroi se calcule pour les sections pleines selon

eparoi=maxAu

,2distancelit , armatures , parement

où

• A désigne l'aire totale( A=bh ) de la section délimitée par le contour externe.

• u le périmètre extérieur de la section ( u=2bh ).

IV.1.3.1 - Notations

• T Ed le moment de torsion agissant de calcul

• T Rd, c désigne le moment de fissuration en torsion

• T Rd, max est le moment de torsion résistant

IV.1.3.2 - Principe de la vérification

SiT Ed

T Rd ,c

V Ed

V Rd ,c

≤1 , alors les sections pleines rectangulaires ne requièrent qu'un ferraillage minimal

(Critère EN1992.1.1§6.3.2(5)).

Sinon, la résistance dans chacun des matériaux doit être satisfaite :

• dans le béton, afin de ne pas dépasser la résistance limite des bielles de compression, on doit

vérifier T Ed

T Rd ,max

V Ed

V Rd ,max

≤1

• les aciers passifs doivent pouvoir reprendre la contrainte de cisaillement en torsion.

IV.1.3.3 - Calcul du moment de fissuration en torsion T Rd, c

T Rd , c=2Ak eparoi f ctd

où



• Ak aire intérieure au contour moyen : Ak=beparoiheparoi . Le feuillet moyen est

défini par sa distance au contour externe égale à eparoi

2.

• f ctd limite de calcul de la contrainte de traction du béton

IV.1.3.4 - Calcul de l'angle des bielles de compres sion

On calcule l'angle tranchanttorsion des bielles de compression dans le béton de la même façon que

lors de la vérification de l'effort tranchant dans la dalle mais ici on cumule les effets de la torsion à

ceux de l'effort tranchant. La contrainte supplémentaire due aux effets de torsion se calcule selon

torsion=T Ed

2Ak eparoi

et tranchanttorsion=12

arctan2tranchant2 torsion

x

Les valeurs limites de cet angle sont les mêmes :

0.4≤tantranchanttorsion≤1

IV.1.3.5 - Calcul du moment de torsion résistant T Rd , max

T Rd, max=2 cw f cd Ak eparoi sintranchanttorsion costranchanttorsion

où

• et cw ont été définis dans le calcul sous effort tranchant.

IV.1.3.6 - Calcul de la résistance des aciers passifs On applique ici le calcul de la contrainte de cisaillement en torsion pure décrit dans EN1992.2 §6.3.2

(102) et le critère d'équilibre de cette contrainte par les aciers passifs EN1992.1.1 §6.3.2.

D'après la règle de cumul des efforts :

V EdV Ed ,i ≥Asw

slong

z f ywd cotantranchanttorsion

où

• V Ed , i est la sollicitation tangente dans la paroi du fait de la torsion et se calcule selon

V Ed , i=T Ed

2Ak

zi où zi=heparoi est la longueur de la paroi



IV.1.4 - Armatures longitudinales de torsion

Il s’agit de la mise en place d'armatures longitudinales supplémentaires et spécifiques à la torsion. En

effet, ces aciers ne sont pas pris en compte pour les calculs de résistance sous sollicitations normales

ou pour l'ouverture de fissure.

Leur section Al est calculée selon :

Al f yd

uk

=T Ed

2A k

cotan[AcmoyenAp p]

uk

avec

• T Ed , uk , Ak désignant respectivement le moment de torsion, le périmètre du

contour moyen et l'aire de ce contour.

• l'angle des bielles de compression sous la somme des efforts tranchants et de torsion

• Acmoyen=P= Ap p : force de précontrainte isostatique

• Ap p : accroissement de contrainte de la précontrainte restant disponible jusqu'au

plafond. Terme annulé dans notre composant.

IV.2 - Section circulaire

Dans Chamoa_3D, les pieux sont supposés non précontraints et ne sont pas soumis aux efforts de

torsion.

Les vérifications vis à vis de l'effort tranchant sont similaires à celles relatives aux sections

rectangulaires. Les différences concernent les aires de cisaillement et sont présentées dans la suite.

IV.2.1 - Vérification à l'ELS

Aucune vérification n’est requise.

IV.2.2 - Vérification à l'ELU

Mêmes notations et principe de vérification.

IV.2.2.1 - Calcul de l'effort tranchant résistant en l'absence

d'armatures V Rd, c :

V Rd , c=max[CRd ,ck 1001 f ck1/3k1 cp]

d1.4

,mink1cpd1.4

où



• V Rd, c en [N],

• f ck résistance caractéristique du béton [Mpa],

• d plus grande distance entre un point du lit d'acier et le contour externe de béton [mm],

• k=min1 200d ,2 avec d en mm,

•1=min Asl

d1.4

,0.02 avec Asl=0 car ceci va dans le sens de la sécurité,

• diamètre de la section circulaire [mm],

• cp=NEd

Ac

≤0.2 f cd avec N Ed effort normal [N] agissant sur la section droite dû aux

charges extérieures et à la précontrainte et Ac section brute du béton en [mm²],

• les grandeurs CRd, c , k1 et min sont des données réglementaires :

➢ CRd , c=0,18c

➢ k1=0.15

➢ min=0.053c

k3/2 f ck1/2

IV.2.2.2 - Calcul de l'angle des bielles de compres sion

La contrainte de cisaillement se calcule selontranchant=

Vd1.4

d'après le règlement français. La

détermination de tranchant est inchangée : tranchant=12

arctan2 tranchant

x avec σx=

NSbrute

.

La valeur de l'angle est comprise entre les deux mêmes bornes :

tranchant=maxarctan0.4 , min12

arctan2tranchant

x ,arctan1

IV.2.2.3 - Calcul de l'effort tranchant repris par les armatur es

travaillant à la limite d'élasticité V Rd, s

V Rd , s=Asw

slong

z f ywdcotantranchant



où

• Asw l'aire du cours d'armature d'effort tranchant est modifiée selon :

Asw=acier

2

4contour

,

• slong espacement des cerces,

• f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant f ywd=f ywk

s

,

• z : bras de levier z=0.9d .

IV.2.2.4 - Calcul de l'effort tranchant repris par l'élément a vant

écrasement des bielles de compression V Rd, max :

V Rd , max=cw

1.4z1

f cd

cotantranchanttantranchant

où

• 1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant :

1=0.61 f ck

250 ( f ck en Mpa),

• cw=1 : puisque structure non précontrainte.



Chapitre V - Dimensionnement des aciers passifs à la non fragilité

Le calcul de non fragilité des aciers passifs vise à prévoir un ferraillage minimal dans les zones

susceptibles d'être tendues sous combinaisons caractéristiques. Dans le cadre de Chamoa, la

vérification de la non fragilité des aciers passifs est réalisée selon la méthode décrite dans l'EC 1992-

1-1 §7.3.2. Nous nous limitons cependant aux valeurs d'effort normal appliqué à la section Ned

telles que la contrainte moyenne s'exerçant dans la section soit supérieure à la contrainte de

fissuration ( f ctmbh≤Ned et f ctm0 ).

Rappel : pour les sections polygonales, ce calcul est effectué sur la géométrie en té équivalente et ne

concerne que les aciers positionnés en extrados et en intrados. Dans le cas où l'étude concerne les

aciers en extrados, ils sont alors tendus, on effectue un calcul pour les aciers en extrados situés dans

les membrures puis un calcul pour ceux appartenant à la nervure. Puis on prend le maximum des

deux quantités déterminées au ml.

Que nous nous trouvions dans une section circulaire, une section rectangulaire, une âme de section

polygonale ou une membrure de section polygonale, la valeur minimale de non fragilité est donnée par

la formule : As , min non fragilité=kc k f ctm

Act

f yk

.

• Le coefficient k de réduction des efforts dus aux déformations gênées vaut k=1 ,

• f ctm désigne la valeur moyenne de la limite en traction du béton,

• f yk est la limite d'élasticité des aciers passifs,

• En revanche, le coefficient kc et la section Act sont calculés spécifiquement et leurs

valeurs sont définies dans la suite.

Remarque : dans le composant de dimensionnement vis à vis de la non-fragilité, les calculs d'aciers

passifs minimaux sont directs et ne reposent pas sur le module de justification.

V.1 - Section rectangulaire ou âme des sections avecmembrures

V.1.1 - Valeur du coefficient kc

Calcul initial de la contrainte moyenne c=Ned

bhlimitée à f ctm .



Détermination de kc :

• si c≥0 , kc=0.41c

1.5h/ h f ctm

avec h=h si h1m et h=1 sinon

• si f ctm≤c0 , kc=min0.41c

2/3 f ctm

,1

V.1.1.1 - Valeur de l'aire de la section tendue Act

L'aire de la section tendue se calcule selon Act=bhcr où hcr désigne la hauteur tendue avant

fissuration : hcr=minh2

f ctm

f ctmc

,h

V.2 - Membrures

Quelle que soit la forme de la membrure, on se ramène dans tous les cas à une section rectangulaire

équivalente de largeur l membrure et de hauteur hmembrure . Rappel : la section équivalente est

déterminée en conservant l'aire et l'inertie par rapport à l'axe horizontal.

V.2.1.1 - Valeur du coefficient kc

Dans ce cas, kc est égal à kc=max0.9F cr

Act f ctm

,0.5 où F cr est la force de traction dans

l'élément rectangulaire. Elle se calcule ainsi : aire tendue fois contrainte moyenne de traction , soit

F cr=Act

∣minbeton extrados,0∣∣minbeton intrados,0∣2

. Si le calcul sous sollicitations normales

est réalisé avec l'hypothèse d'une section fissurée (cas BA), on néglige souvent la tension dans le

béton et la valeur fournie pour beton extrados et/ou beton intrados est nulle. Pour prendre cependant

en compte des valeurs de traction : si betonextrados=0 , alors on minimise betonextrados= f ctm et

de même pour betonintrados : si betonintrados=0 , alors on minimise betonintrados= f ctm


L'aire tendue de l'élément rectangulaire équivalent est déterminé par : Act=l membrurehcr

La formule suivante de calcul de la hauteur tendue permet de couvrir tous les cas (extrados comprimé

et intrados comprimé, extrados comprimé et intrados tendu, extrados tendu et intrados comprimé,

extrados tendu et intrados tendu) :



hcr=∣minbeton extrados, betonintrados, betonextradosbetonintrados,0∣

∣beton extrados∣∣betonintrados∣hmembure

V.3 - Section circulaire

La section est caractérisée par son diamètre pieu .

V.3.1.1 - Valeur du coefficient kc

Calcul initial de la contrainte moyenne c=Ned

2/4limitée à f ctm .

Détermination de kc :

• si c≥0 , kc=0.41 c

1.5pieu/ pieu f ctm

avec pieu=pieu si pieu1m et

pieu=1 sinon

• si f ctm≤c0 , kc=min0.41c

2/3 f ctm

,1


L'aire de béton tendue se déduit par différence de deux aires : celle du secteur circulaire défini par

l'angle au centre égal à arccospieu

2hcr

pieu

2 moins celle de la zone constituée de deux triangles

rectangles :

Act= pieu

2 2

arccospieu

2hcr

pieu

2 pieu

2hcrpieu

2 2

pieu

2hcr

2

.

Dans ce cas, la hauteur tendue avant fissuration vaut hcr=minpieu

2

f ctm

f ctmc

,pieu .



Chapitre VI - Calculs de non rupture fragile des aciers de précontrainte

Dans Chamoa_3D, les pieux ne sont pas précontraints. La vérification de non rupture fragile des

aciers de précontrainte ne concerne donc que les sections polygonales et au sein de celles-ci,

uniquement les aciers en intrados et en extrados.

Dans le règlement français BAEL ou BPEL, la rupture fragile des aciers passifs ou de précontrainte est

empêchée uniquement avec le ferraillage minimal réglementaire. En revanche, dans l'Eurocode, une

vérification spécifique doit être effectuée afin d'éviter une rupture fragile causée par la ruine des

armatures de précontrainte (EN 1992-1-1 §5.10.1 (5) et (6), EN 1992-2 §5.10.1 (106), §6.1 (109) et

(110) + annexe nationale).

Cette vérification est réalisée pour l'état limite ELS fréquent et vise à mettre en place une quantité

minimale d'aciers passifs en zones tendues sous ces sollicitations pour éviter la rupture fragile des

aciers de précontrainte. Les armatures concernées sont uniquement celles dites résistantes (voir le

paragraphe relatif à leur caractérisation).

Dans CHAMOA_3D, la méthode A du règlement concernant la vérification de la rupture fragile est

préférée mais la méthode B est également implémentée.

VI.1 - Algorithme de la méthode A

• Les lois utilisées pour tous les matériaux à l'ELS freq pour lequel se fait la vérification sont les

lois linéaires sans bornes : ni contrainte limite, ni déformation limite.

• Vérification qu'il existe des câbles de précontrainte résistants par rapport à la sollicitation ELS-

fréquente étudiée. S'il n'en existe pas : il ne se produira pas de rupture fragile des aciers de

précontrainte.

• Détermination du nombres de câbles résistants à enlever pour atteindre la fissuration sur

la fibre du béton coté armatures résistantes. Pour cela, on enlève les câbles un par un et on

détermine à nouveau l'équilibre de la section. Dans ce calcul, on néglige le travail des aciers

passifs dans cette zone. D'une part, c’est plus défavorable ce qui est du côté de la sécurité,

d'autre part, cela rend ce calcul de détermination du nombre de câbles à détendre

indépendant de la section d'aciers passifs dimensionnée.

• Dans Chamoa_3D, les sollicitations n'englobent pas les efforts isostatiques de précontrainte. Il

n'y a donc pas de mises à jour des sollicitations s'exerçant sur la section réduite des

câbles.

• Vérification de la résistance à l'ELU de la section réduite dans laquelle on a enlevé les câbles

rompus : calcul ELU accidentel.



• Si le critère n'est pas vérifié, on en déduit que les quantités d'aciers passifs ne sont pas

suffisantes.

VI.2 - Algorithme de la méthode B

• Calcul du moment fléchissant de fissuration : M rep=f ctmI y

'où ' : distance entre le

centre de gravité et la fibre la plus tendue. Les effets de la précontrainte sont donc ignorés.

• Ferraillage minimal de BA à mettre en place dans les zones où le béton est tendu sous les

sollicitations issues des combinaisons caractéristiques : As,min=M rep

zs f yk

où zs est le bras

de levier des armatures de béton armé tendues :cote du lit des aciers passifs tendus dans le

repère du centre de gravité.

VI.3 - Remarques

Quelle que soit la méthode employée :

• La section la plus défavorable est située autour de ¼ de la travée.

• La valeur de la précontrainte considérée est la précontrainte moyenne Pm et non la

précontrainte caractéristique Pk=0.9Pm ou Pk=1.1Pm .

• Les chargements conduisant à la rupture des câbles s'appliquent à long terme,

l’endommagement est supposé progressif, d'où la valeur du coefficient cc : cc=0.85 .

VI.4 - Caractérisation des câbles de précontrainterésistants

Dans une section comportant un ou plusieurs lits d'aciers de précontrainte, les câbles de précontrainte

intéressants pour le calcul de non rupture fragile sont les câbles résistants vis à vis de la sollicitation.

En effet, si on supprime un câble de précontrainte non résistant : l'effet est plutôt bénéfique pour les

fibres tendues qui le seront moins et par conséquent, en ôtant les câbles non résistants, la fissuration

du béton ne se produira pas.

Quel critère pour la détermination des câbles résistants ?

On considère une sollicitation de flexion à l'ELS fréquent (N, My) qui ne prend pas en compte l'effet

isostatique de la précontrainte et on étudie les différents cas : que ce soit en flexion compression,

flexion pure ou traction flexion, les armatures précontrainte résistantes sont celles développant un

moment de flexion M y , prec=N prec zprec de signe opposé au moment de flexion appliqué à la section

M y .



Cas limite :

• M y=0 . Dans ce cas, les câbles de précontrainte ne sont plus résistants et le phénomène

de rupture fragile ne se produit pas.

• Lit d'armatures de précontrainte à la côte du centre de gravité : ils ne développent plus de

moment de flexion et dans ce cas, la fibre extrême la plus tendue est celle située à la côte de

signe opposé au moment de flexion. Remarque : dans ce cas, M y≠0 sinon on se reporte

au premier cas limite.

VI.5 - Remarque

Le calcul de dimensionnement est réalisé à partir d'une section initiale comportant les quantités

d'aciers passifs As, ini , intrados et As, ini , extrados . Les valeurs minimales d'aciers passifs qui permettent

d'assurer la non rupture fragile des armatures de précontrainte sont calculées pour chaque sollicitation

à partir des valeurs initiales citées ci-dessus. Puis, on détermine les quantités As,min ,nonrupt frag , intrados

et As,min ,nonrupt frag ,extrados en prenant le max des valeurs d'aciers passifs déterminées en intrados et

en extrados et des valeurs initiales.

La question posée est donc la suivante : les calculs de non rupture fragile des armatures de

précontraintes réalisés pour la section comportant les aciers passifs As, ini , intrados et As, ini , extrados

restent-ils valables avec As,min ,nonrupt frag , intrados et As,min ,nonrupt frag ,extrados ?



La réponse est heureusement oui et nous la détaillons dans la suite.

En effet, considérons une sollicitation S telle que la rupture fragile concerne les aciers passifs en

intrados. A partir des données initiales, on détermine As,nonrupt frag ,S,intrados1 . On vérifie ensuite que la

section finale comportant As,min ,nonrupt frag , intrados et As,min ,nonrupt frag ,extrados n'est pas soumise à la

rupture fragile.

On remarque que As,min ,nonrupt frag ,extrados≥As, ini , extrados (et aussi

As,min ,nonrupt frag ,extrados≥{As,nonrupt frag ,extrados}S ). Le calcul fournit alors pour la section comportant

As,min ,nonrupt frag ,extrados et As,nonrupt frag ,S,intrados1 , une valeur minimale d'acier passif

As,nonrupt frag ,S,intrados2 telle que As,nonrupt frag ,S,intrados

2 As ,nonrupt frag ,S, intrados1 . Ainsi dans la section

finale constituée de As,min ,nonrupt frag ,extrados et As,min ,nonrupt frag ,extradosAs,nonrupt frag ,S,intrados2 la non

rupture fragile des armatures de précontrainte est vérifiée.

Cette remarque assure la convergence de l'algorithme.



Chapitre VII - Calculs hors état limite : aciers longitudinaux et transversaux

Les vérifications à effectuer dépendent de la localisation des aciers c'est à dire de l'élément d'ouvrage

dans lequel ils se trouvent. Dans le tableau suivant, sont répertoriés tous les critères à satisfaire pour

les aciers en fonction donc de l'élément où ils prennent place et de leur orientation longitudinale ou

transversale.

Quatre types de critères sont à vérifier :

• l'espacement transversal des aciers d'un même lit doit être supérieur à la valeur minimale

réglementaire.

• il doit être également inférieur à la valeur maximale réglementaire.

• les lits de ferraillage doivent posséder une section minimale d'acier, valeur pouvant résulter de

plusieurs critères : critère ferraillage de peau, critère ferraillage minimal de poutre et/ou critère

plancher.

• cette section d'acier est d'autre part majorée par une valeur maximale réglementaire.

Notation :

As : section totale d'aciers passifs

As, E : section d'aciers passifs du lit situé en extrados

As, I : section d'aciers passifs du lit situé en intrados

Ac : section brute de béton

max : diamètre du groupe d'aciers

d g : diamètre du plus gros granulat entrant dans la composition du béton

Remarque : Les deux composants de justification et de dimensionnement sont indépendants.

Les vérifications sont synthétisées dans le tableau suivant :



s_min s_max As,min As,max

Pie

u

long maxmax,dg0.005,0.02,0.1 0.2 minimale plancher :

As≥k Acmin Ac ,1

k Ac=0.005 si Ac0.5

k Ac=0.0025 sinon

minimale poutre :

As≥0.26f ctm

f yk

×0.9Ac

As≤0.02Ac

Bar

rette

long maxmax,dg0.005,0.02,0.1 0.2 minimale plancher :

As≥k Acmin Ac ,1

minimale poutre :

As≥0.26f ctm

f yk

0.9Ac

As≤0.02Ac

Pou

tre

dalle

long maxmax,dg0.005,0.02 min 3h,0.4 minimale peau :

As, E et As, I≥k peaulargeur

k peau=0.0005si classe XS|XD

k peau=0.0003sinon

minimale plancher :

As, tendu≥0.0013×0.9Ac

minimale poutre :

As, tendu≥0.26f ctm

f yk

0.9Ac

As, EAs , I≤0.04Ac

tran

s maxmax,dg0.005,0.02 min3.5h,0.45 minimale peau :

As, E et As, I≥k peaulargeur

∅

Pie

droi

t

long maxmax,dg0.005,0.02 min3h,0.4 minimale plancher :

As, tendu≥0.002Ac

minimale poutre :


f yk

0.9Ac


tran

s maxmax,dg0.005,0.02 0.4 minimale plancher : ∅



As, tendu≥0.001Ac

Sem

elle

long maxmax,dg0.005,0.02 ∅ minimale poutre :


f yk

0.9Ac


tran

s maxmax,dg0.005,0.02 ∅ minimale plancher :

As, E≥kAs,min , plancher,E ,semelleAc

kAs ,min , plancher , E , semelle=0.001

As, I≥kAs ,min , plancher , I , semelleAc

kAs,min, plancher, I ,semelle=0.0005

∅

Tableau 1: Vérifications hors états limites aciers sollicitations normales



Chapitre VIII - Calculs hors état limite : aciersd’effort tranchant et de torsion

Les dispositions constructives relatives aux aciers de tranchant et de torsion dépendent également de

l'élément d'ouvrage dans lequel est situé l'acier.

Pour cette vérification, trois critères sont à vérifier :

• espacement minimal longitudinal entre cours et espacement minimal transversal entre aciers

d'un même cours,

• espacement maximal longitudinal entre cours et espacement maximal transversal entre aciers

d'un même cours,

• taux de ferraillage minimal de la section.

Remarque : Les deux composants de justification HEL ST et de dimensionnement HEL ST sont

indépendants.

La synthèse des vérifications figure ci-dessous.

s_min s_max W ,min

Pieu slong,min=maxST ,d g0.005,0.02,0.1 slong,max=max0.35,15long ∅

Barrett

e

slong,min=maxST ,d g0.005,0.02,0.1 slong,max=max0.35,15long ∅

Poutre

dalle

slong ,min=maxST ,dg0.005,0.02

strans ,min=maxST ,dg0.005,0.02

si verification de la torsion

slong ,max=min0.75d ,uk

8

strans,max=1.5d

sinon

slong,max=0.75d

strans,max=1.5d

où d : minimum des

distances entre lits d'aciers et

fibre

beton opposée

et uk : contour moyen

W ,min=0.08 f ck

f yk



Piedroit slong ,min=maxST ,dg0.005,0.02


si As, EAs , I≥0.02Ac

slong ,max=min20long ,evoile ,0.4

W ,min=0.08 f ck

f yk

Semell

e

slong ,min=maxST ,dg0.005,0.02


∅ ∅




Direction technique infrastructures de transport et matériaux

110 rue de Paris - BP 214 - 77487 Provins Cedex - Tél : +33 (0)1 60 52 31 31

Centre d’études et d’expertise sur les risques, l’environnement, la mobilité et l’aménagement www.cerema.fr

Siège social : Cité des Mobilités - 25, avenue François Mitterrand - CS 92 803 - F-69674 Bron Cedex - Tél : +33 (0)4 72 14 30 30

Connaissance et prévention des risques - Développem ent des infrastructures - énergie et climat - Gesti on du patrimoine d’infrastructures

Impacts sur la santé - Mobilités et transports - Te rritoires durables et ressources naturelles - Ville et bâtiments durables

chamoa_3d - justifications

Documents