calcul vectoriel - les leçons de mathématiques à l'oral ... · 21.2 Équations d'une...

9Calcul vectoriel21

Leç

on

n°

Niveau BTSPrérequis définition d’un vecteur, base de la géométrie

Références [20]

21.1 Opérations sur les vecteurs21.1.1 Addition de deux vecteurs

Définition 21.1 — Addition de deux vecteurs. On se donne deux vecteurs de l’espace, #»u et #»v . Si# »

OA = #»u et# »

OB = #»v alors #»u + #»v = # »

OC tel que OABC est un parallélogramme.

� Exemple 21.2

O

B

A

C

−→v

−→u−→u +−→v

�

Propriétés 21.3 — Addition de vecteurs. On se donne trois vecteurs #»u , #»v et #»w :

1. ( #»u + #»v ) + #»w = #»u + ( #»v + #»w)2. #»u + #»v = #»v + #»u

3. #»u + #»0 = #»0 + #»u = #»u .

Propriété 21.4 — Relation de Chasles. Soient A, B et C trois points quelconques du plan. On a :

# »

AB + # »

BC = # »

AC.

21.1.2 Multiplication par un réel

Définition 21.5 Soit #»u = # »

AB et k un réel quel-conque.

1. Si k > 0 alors le vecteur# »

CD = k# »

AB amême sens et même direction que

# »

AB etCD = kAB.

2. Si k < 0 alors le vecteur# »

EF = k# »

AB amême direction que

# »

AB mais a un sensopposé au vecteur

# »

AB et EF = |k|AB.

3. Si k = 0 alors k# »

AB = #»0 .

−→uk−→u

k > 0

k < 0−→u

k−→u

10 Leçon n°21 • Calcul vectoriel

Propriétés 21.6 — Multiplication par un réel. Si k1 et k2 sont deux réels quelconques, et #»u et #»v deuxvecteurs quelconques de l’espace :

1. k1(k2#»u ) = (k1k2) #»u = k1k2

#»u ;

2. 1 #»u = #»u ;

3. (k1 + k2) #»u = k1#»u + k2

#»u ;

4. k1( #»u + #»v ) = k1#»u + k1

#»v .

21.2 Équations d’une droite ou d’un plan21.2.1 Colinéarité et coplanéarité

Définition 21.7 — Colinéarité. On dit que deux vecteurs #»u et #»v sont colinéaires si, et seulement si,il existe deux réels α et β non tous deux nuls tels que :

α #»u + β #»v = #»0 .

Définition 21.8 — Coplanéarité. Trois vecteurs #»u , #»v et #»w sont coplanaires si il existe trois réels α,β et γ non tous nuls tels que :

α #»u + β #»v + γ #»w = #»0 .

� Exemple 21.9 Quatre points distincts A, B, C et D appartiennent à un même plan si les vecteurs# »

AB,# »

AC et# »

AD sont coplanaires. �

21.2.2 Équations de droitesDv

Soit D la droite de l’espace passant par A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB). Un point M(x, y, z) del’espace appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs

# »

AM et# »

AB sont colinéaires, onobtient donc :

x− xAxB − xA

= y − yAyB − yA

= z − zAzB − zA

(si aucun des trois réels au dénominateur n’est nul).

Si D est donnée par un point A(xA, yA, zA) et par un vecteur directeur #»v (a, b, c), alors onpeut écrire les trois égalités suivantes :

x− xA = ka

y − yA = kb

z − zA = kc

.

Si aucun des trois réels a, b, c n’est nul, on peut écrire :

x− xAa

= y − yAb

= z − zAc

.

Il s’agit des équations deD lorsque cette droite n’est pas parallèle à l’un des plans de coordonnées.

21.2 Équations d’une droite ou d’un plan 11

Propriété 21.10 Soit D une droite de l’espace définie par un point A(xA, yA, zA) et par un vecteurdirecteur #»v (a, b, c).

— Si a 6= 0, b 6= 0 et c 6= 0 alors D n’est parallèle à aucun plan de coordonnées, ses équationspeuvent s’écrire :

x− xAa

= y − yAb

= z − zAc

.

— Si a = 0, b 6= 0 et c 6= 0 (il en est de même si b = 0 ou c = 0) alors D est parallèle au pland’équation x = 0, ses équations peuvent s’écrire :

{x = xAy−yAb = z−zA

c

.

— Si a = 0, b = 0 et c 6= 0 (il en est de même si a = 0 et c = 0 ou b = 0 et c = 0) alors D estparallèle à l’axe Oz, ses équations peuvent s’écrire :

x = xA

y = yA

z = zA + tc (t ∈ R).

� Exemple 21.11 Donner les équations de la droite D passant par A(−3, 1, 4) et B(2, 3, 1). �

Dv

Le vecteur# »

AB a pour coordonnées# »

AB(5, 2,−3).Les équations de D peuvent s’écrire :

x+ 35 = y − 1

2 = z − 4−3

ou {x+3

5 = y−12

y−12 = z−4

−3⇔{

2x+ 6 = 5y − 52z − 8 = −3y + 3

⇔{

2x− 5y + 11 = 03y + 2z − 11 = 0

21.2.3 Équations de plansOn admet que :

Théorème 21.12 Tout plan de l’espace rapport à un repère (O, #»ı , #» ,#»

k ) admet une équation carté-sienne du type :

ax+ by + cz + d = 0.

Méthode 21.13 — Méthode d’obtention de l’équation cartésienne d’un plan. Soit un plan P définipar un point A et deux vecteurs non colinéaires #»u et #»v de ce plan.

Tout point M du plan P est tel que# »

AM = λ #»u + µ #»v .Cette égalité permet en utilisant les coordonnées (x, y, z) de M , celles de A et les composantes

de #»u et #»v d’obtenir trois équations.

� Exemple 21.14 On cherche l’équation du plan P défini par A(1, 0, 1) et les vecteurs #»u (2,−1, 1) et#»v (1, 1, 2). �


Dv

L’équation# »

AM = λ #»u + µ #»v donne :

x− 1 = 2λ+ µ (1)y = −λ+ µ (2)z − 1 = λ+ 2µ (3)

.

En additionnant (2) et (3), on obtient :

3µ = y + z − 1⇔ µ = 13(y + z − 1).

En soustrayant (2) et (1), on obtient :

3λ = x− y − 1⇔ λ = 13(x− y − 1).

En replaçant λ et µ par ces valeurs dans (2), on obtient :

y = 13(x− y − 1) + 1

3(y + z − 1)⇔ 3y = −x+ y + 1 + y + z − 1.

Ainsi : x+ y − z = 0. Cette équation est une équation cartésienne de P .

21.3 Barycentres d’un ensemble de points de l’espace21.3.1 Barycentres de n points

Définition 21.15 — Barycentres de n points. Si a1, a2, . . ., an sont n réels tels que a1+a2+· · ·+an 6=0 alors le point G tel que :

a1# »

GA1 + a2# »

GA2 + · · ·+ an# »

GAn = #»0 (21.1)

est appelé barycentre des points pondérés (A1, a1), (A2, a2), . . ., (An, an).Si a1 = a2 = · · · = an, on dit alors que G est l’isobarycentre des points A1, A2, . . ., An.

Propriété 21.16 Si M est un point quelconque et G est le barycentre des points pondérés (A1, ai)alors :

# »

MG = 1∑ni=1 ai

(a1# »

MA1 + a2# »

MA2 + · · · an# »

MAn)

L’égalité précédente est appelée forme réduite du barycentre.

Dv

• Démonstration — Soit M un point quelconque de l’espace. L’égalité (21.1) peut s’écrire :

a1( # »

A1M + # »

MG) + a2( # »

A2M + # »

MG) + · · ·+ an( # »

AnM + # »

MG) = #»0 ,

21.3 Barycentres d’un ensemble de points de l’espace 13

ce qui donne en changeant l’ordre des termes :

(a1 + a2 + · · ·+ an) # »

MG+ a1# »

A1M + a2# »

A2M + · · ·+ an# »

AnM = #»0 ,

d’où l’égalité. •

� Exemple 21.17 Soit ABC un triangle, placer le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, 1) et(C, 1). �

Dv

En utilisant le résultat précédent, on obtient :

# »

MG = 14(2 # »

MA+ # »

MB + # »

MC).

Cette égalité étant vraie pour tout point M , elle est vraie en particulier pour M = A.D’où :

# »

AG = 14( # »

AB + # »

AC).

A

B

C

G

21.3.2 Utilisation du barycentre partielThéorème 21.18 Si G est le barycentre de n points pondérés, on peut remplacer p de ces points parleur barycentre affecté de la somme des coefficients de ces points.

Dv

Considérons n points pondérés (A1, a1), (A2, a2), . . ., (An, an) tels que∑ni=1 ai 6= 0. Soit G le

barycentre de ces points.Considérons également le barycentre G1 des p premiers points pondérés (p < n). Ce bary-

centre n’existe que si a1 + a2 + · · ·+ ap 6= 0.D’après le théorème précédent, on a :

( p∑

i=1ai

)# »

MG1 = a1# »

MA1 + a2# »

MA2 + · · ·+ ap# »

MAp pour tout point M.

Cette égalité est vraie en particulier pour M = G, d’où :(

n∑

i=1ai

)# »

GGi = a1# »

GA1 + a2# »

GA2 + · · ·+ ap# »

GAp. (21.2)


L’égalité qui définit le point G s’écrit :

a1# »

GA1 + a2# »

GA2 + · · ·+ ap# »

GAp + ap+1# »

GAp+1 + · · ·+ an# »

GAn = #»0 .

En utilisant le résultat de l’égalité (21.2) précédente, on obtient :

(a1 + a2 + · · ·+ ap)# »

GG1 + ap+1# »

GAp+1 + · · ·+ an# »

GAn = #»0 .

G est donc le barycentre de (G1, a1 + · · ·+ ap), (Ap+1, ap+1), . . ., (An, an).

� Exemple 21.19 Montrer que l’isobarycentre des trois sommets d’un triangle est le point de concoursde ses médianes (donc son centre de gravité).

Retrouver le résultat « dans un triangle le centre de gravité se situe aux 23 de chacune des médianes

à partir des sommets ». �

Dv

Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre de (A, 1), (B, 1) et (C, 1).Soit A′ le barycentre de (B, 1), (C, 1) (A′ est le milieu de [BC]), d’après le théorème précé-

dent, G est le barycentre de (A, 1), (A′, 2), G se situe donc sur la médiane (AA′). De la mêmemanière, si on note C ′ le milieu de [AB], on obtiendra le fait queG se situe sur la médiane (CC ′).

G est l’intersection de deux médianes, il s’agit bien du centre de gravité du triangle. De plusG est le barycentre de (A, 1), (A′, 2), on a donc pour tout point M du plan :

# »

MG = 13( # »

MA+ 2# »

MA′),

et pour M = A, on obtient :# »

AG = 23

# »

AA′.

G se situe donc aux 23 de [AA′] en partant du sommet A. Un raisonnement analogue permettrait

de montrer que G se situe aux 23 de chacune des deux autres médianes.

21.3.3 Coordonnées du barycentreThéorème 21.20 — Coordonnées du barycentre. Soit A1, A2, . . ., An n points dans l’espace. Onnote, pour tout 1 ≤ i ≤ n, (xi, yi, zi) les coordonnées de Ai. Le barycentre G du système pondéré(A1, a1), (A2, a2), . . ., (An, an) a pour coordonnées :

xG = a1x1 + · · ·+ anxn∑ni=1 ai

=∑ni=1 aixi∑ni=1 ai

, yG =∑ni=1 aiyi∑ni=1 ai

, zG =∑ni=1 aizi∑ni=1 ai

.

Dv

• Démonstration — On reprend les notations du théorème. En remplaçant M par O dansl’égalité :

# »

MG = 1∑ni=1 ai

(a1# »

MA1 + a2# »

MA2 + · · ·+ an# »

MAn),

21.4 Produit scalaire 15

on obtient# »

OG = 1∑ni=1 ai

(a1# »

OA1 + a2# »

OA2 + · · ·+ an# »

OAn),

d’où le résultat. •

� Exemple 21.21 Dans le repère orthonormal (O, #»ı , #» ,#»

k ) de l’espace, on donne :

A(1, 1, 1), B(2, 1, 0) et C(−3, 1, 0).

On cherche les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC. �

Dv

Le centre de gravité est le barycentre de (A, 1), (B, 1) et (C, 1). Donc :

xG = 1 + 2− 33 , yG = 1 + 1 + 1

3 , zG = 1 + 0 + 03 ,

d’où G(0, 1, 1

3

).

21.4 Produit scalaire21.4.1 Définition

Définition 21.22 — Produit scalaire. On appelle produit scalaire des vecteurs #»u et #»v et on note #»u · #»vle nombre réel défini par :

#»u · #»v = 12[‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2 .

]

R 21.23 Si #»u = #»0 ou #»v = #»0 alors #»u · #»v = 0.

Théorème 21.24 Si (O, #»ı , #» ) est un repère orthonormée (c’est-à-dire ( #»ı , #» ) est une base orthonor-male) et si #»u = (x, y) et #»v = (x′, y′) alors :

#»u · #»v = xx′ + yy′.

Dv

• Démonstration — On a : #»u + #»v = (x+ x′, y + y′) et donc :

‖ #»u + #»v ‖2 = (x+ x′)2 + (y + y′)2.

D’où :

#»u · #»v = 12[(x+ x′)2 + (y + y′)2 − (x2 + y2)− (x′2 + y′2)

]= xx′ + yy′.

•

� Exemple 21.25 Soit #»u = (3,−1) et #»v = (2, 6) alors#»u · #»v = 3× 2 + (−1)× 6 = 6− 6 = 0.

On dira que #»u et #»v sont orthogonaux. �


21.4.2 Propriétés

Propriétés 21.26 Pour tous vecteurs #»u , #»v et #»w :

1. #»u · #»v = #»v · #»u

2. #»0 · #»u = #»u · #»0 = 03. Pour tout réel k, k #»u · #»v = #»u · (k #»v ) = k × ( #»u · #»v )4. #»u · ( #»v + #»w) = #»u · #»v = #»u · #»v + #»u · #»w

5. #»u · #»u est noté #»u 2 est appelé carré scalaire de #»u .

6. #»u 2 = ‖ #»u‖2 (carré de la longueur du vecteur #»u )

7. ( #»u+ #»v )2 = #»u 2 +2 #»u · #»v + #»v 2 (cela signifie que ( #»u+ #»v )·( #»u+ #»v ) = #»u · #»u+2 #»u · #»v + #»v · #»v )

8. ( #»u − #»v )2 = #»u 2 − 2 #»u · #»v + #»v 2

9. ( #»u + #»v ) · ( #»u − #»v ) = #»u 2 − #»v 2

Dv

• Démonstration des propriétés 21.26-1, 21.26-3 et 21.26-4 — 1. D’après la définition duproduit scalaire :

#»u · #»v =[‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2

]=[‖ #»v + #»u‖2 − ‖ #»v ‖2 − ‖ #»u‖2

]= #»v · #»u .

3. On se donne un repère orthonormé (O, #»ı , #» ) et trois vecteurs #»u = (x1, y1), #»v = (x2, y2),#»w = (x3, y3). On utilise la formule du théorème 21.24 :

#»u · ( #»v + #»w) = x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) = x1x2 + x1x3 + y1y2 + y1y3

= x1x2 + y1y2 + x1x3 + y1y3 = #»u · #»v + #»u · #»w.

4. De même,

(k #»u ) · #»v = kx1x2 + ky1y2 = kx2x1 + ky2y1 = #»u · (k #»v )= kx1x2 + ky1y2 = k(x1x2 + y1y2) = k × ( #»u · #»v ).

•

Propriété 21.27 Dire que deux vecteurs #»u et #»v sont orthogonaux équivaut à dire que #»u · #»v = 0.

R 21.28 Si on note #»u = # »

AB et# »

BC :#»u ⊥ #»v ⇔ ‖ #»u + #»v ‖2 = #»u 2 + #»v 2 ⇔ AC2 = AB2 +BC2.

21.4.3 Autres expressions du produit scalaire

Théorème 21.29 Si #»u 6= #»0 et #»v 6= #»0

#»u · #»v = ‖ #»u‖ ‖ #»v ‖ cos( #»u , #»v ).


Propriété 21.30 Soient #»u et #»v deux vecteurs non nuls colinéaires :

1. S’ils ont même sens alors #»u · #»v = ‖ #»u‖ × ‖ #»v ‖2. S’ils ont sens contraire alors #»u · #»v = −‖ #»u‖ × ‖ #»v ‖.

� Exemple 21.31 Si #»u = 32

#»v alors #»u · #»v = 3× 2 = 6. �

A Bu

v

A Bu = p(v)

v

90˚

FIGURE 21.1 – Projection orthogonale de v sur une droite portant u

Propriété 21.32 Etant donné deux vecteurs non nuls #»u et #»v . Si on note p( #»v ), la projection orthogo-nale de #»v sur une droite portant #»u alors on a :

#»u · #»v = #»u · p( #»v ).

A D

CB

O

H

E

F

FIGURE 21.2 – Figure de l’exemple

� Exemple 21.33 —# »

AD · # »

AB = 0 car# »

AD et# »

AB sont orthogonaux.—

# »

AD · # »

CB = −3× 3 = −9 car# »

AD et# »

CB sont colinéaires et de sens contraires.—

# »

AD · # »

AO = # »

AD · # »

AH = 3× 1, 5 = 4, 5 car le projeté orthogonale de# »

AO sur (AD) est# »

AHet que

# »

AD et# »

AH sont colinéaires et de même sens.— Les produits scalaires

# »

AD · # »

AC,# »

AD · # »

BD et# »

AD · # »

EF sont tous égaux entre eux. En effet, sion projette orthogonalement

# »

AC,# »

BD et# »

EF sur (AD), on obtient à chaque fois# »

AD. Donctous ces produits scalaires sont égaux à

# »

AD · # »

AD = 3× 3 = 9.�


21.4.4 ApplicationsVecteur normal à une droite

Définition 21.34 On dit qu’un vecteur #»n est normal à une droite D si #»n 6= #»0 et si #»n est orthogonalà la direction de D.

D

n

FIGURE 21.3 – Le vecteur n est normale à la droite D

Théorème 21.35 Soit D une droite passant par A et de vecteur normal #»n

M ∈ D ⇔ #»n · # »

AM = #»0 .

Théorème 21.36 Soit D une droite d’équation ux + vy + w = 0 dans un repère orthonormal(O, #»ı , #» ). Le vecteur #»n(u, v) est normal à D.

Relations dans un triangleThéorème 21.37 — Formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABC,

BC2 = AB2 +AC2 − 2AB ×AC × cos BAC.

Dv

• Démonstration du théorème 21.37 — Si on note a = BC, b = AC et c = AB, on a :

a2 = BC2 = # »

BC2 = ( # »

BA+ # »

AC)2 = BA2+AC2+2( # »

BA· # »

AC) = c2+b2+2b cos( # »

BA,# »

AC)

Or cos( # »

BA,# »

AC) = cos[π + ( # »

AB,# »

AC)] = − cos( # »

AB,# »

AC) = − cos A. •

Théorème 21.38 — Formule des 3 sinus. Soit ABC un triangle (on note a = BC, b = AC, c = BA),S l’aire de ce triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle :

a

sin A= b

sin B= c

sin C= abc

2S = 2R.

Dv


• Démonstration du théorème 21.38 — On note H le pied de la hauteur issue de A dans letriangle ABC.— Dans le cas où B est obtus, AH = AB sin(π − B) = AB sin B = c sin B.— Dans le cas où B est aigu, AH = AB sin B = c sin B.Donc, dans tous les cas, AH = c sin B et S = 1

2BC ·AH = 12ac sin B. D’où

S = 12ac sin B = 1

2ab sin C = 12bc sin A.

•

Relations et équations trigonométriquesSoient #»u et #»v deux vecteurs unitaires dans une base orthonormée directe ( #»ı , #» ) tels que ( #»ı , #»u ) =

b et ( #»ı , #»v ) = a. On a

#»u = cos b · #»ı + sin b · #» = cos a · #»ı + sin a · #» .

Donc #»u · #»v = cos a cos b+ sin a sin b. De plus, ( #»u , #»v ) = ( #»ı , #»v )− ( #»ı , #»u ) = a− b. Donc :

#»u · #»v · cos( #»u , #»v ) = cos(a− b).

D’où :cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b.

En remplaçant a par π2 − a, on obtient :

sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a.

À partir de ces formules, on déduit les suivantes :

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin bsin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a

sin 2a = 2 sin a cos acos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a.

On a aussi

cosX = cosα⇔{X = α+ 2kπX = −α+ 2kπ

, k ∈ Z

sinX = sinα⇔{X = α+ 2kπX = π − α+ 2kπ

, k ∈ Z.

Recherche de lieux géométriques1. On cherche tout d’abord l’ensemble des points M tels que MA2 +MB2 = k.


Propriété 21.39 Soit I le milieu du segment [AB] (avec A 6= B). Pour tout point M , on a :

MA2 +MB2 = 2IM2 + AB2

2 (Théorème de la médiane).

Etant donné un réel k, on en déduit que l’ensemble des points M tels que MA2 +MB2 = kest un cercle, ou un point ou l’ensemble vide.

� Exemple 21.40 Soit A et B deux points tels que AB = 2. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels que MA2 +MB2 = 20. On utilise le théorème de la médiane :

MA2 +MB2 = 20⇔ 2IM2 + AB2

2 = 20⇔ 2IM2 + 42 = 20⇔ IM2 = 9⇔ IM = 3

(car IM > 0). L’ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon 3. �

A BI

E:{M, MA2+MB2=20}

FIGURE 21.4 – Construction de l’ensemble E de l’exemple 21.40

2. On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que# »

MA · # »

MB = k. Pour cela, ondécompose

# »

MA et# »

MB en passant par I le milieu de [AB].

� Exemple 21.41 Soit A et B deux points tels que AB = 4. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels que

# »

MA · # »

MB = 12.

# »

MA · # »

MB = 12⇔ ( # »

MI + # »

IA) · ( # »

MI + # »

IB) = 12.

Or,# »

IB = − # »

IA. On a donc :

( # »

MI + # »

IA) · ( # »

MI − # »

IA) = 12⇔MI2 − IA2 = 12⇔MI2 − 22 = 12.

On en déduit que M ∈ E ⇔ MI2 = 16 ⇔ MI = 4. E est donc le cercle de centre I et derayon 4 �

21.5 Produit vectoriel, produit mixte 21

A BI

E:{M,# »MA· # »

MB=12}

FIGURE 21.5 – Construction de E de l’exemple 21.41

3. On cherche à déterminer l’ensemble des pointsM tels que# »

AM · #»u = k. Pour cela, on chercheun point particulier H appartenant à l’ensemble. On a alors

# »

AH · #»u = k. Ainsi,# »

AM · #»u = k ⇔ # »

AM · #»u = # »

AH · #»u ⇔ ( # »

AM − # »

AH) · #»u ⇔ # »

HM · #»u = 0⇔ # »

HM ⊥ #»u .

L’ensemble est alors la droite passant par H de vecteur normal #»u .

� Exemple 21.42 Soit A et B deux points tels que AB = 3. On cherche à déterminer l’en-semble E des points M tels que

# »

AM · # »

AB = −6. Soit H le point de la droite (AB) tel que# »

AH et# »

AB soient de sens contraires et tel que AH × AB = 6 ⇔ AH = 63 = 2. Ainsi, on a

bien# »

AH · # »

AB = −6. Dès lors :# »

AM · # »

AB = −6⇔ # »

AM · # »

AB = # »

AH· # »

AB ⇔ ( # »

AM− # »

AH)· # »

AB = 0⇔ # »

HM · # »

AB = 0⇔ # »

HM ⊥ # »

AB.

L’ensemble E est alors la droite perpendiculaire à (AB) passant par H . �

21.5 Produit vectoriel, produit mixte21.5.1 Définition du produit vectoriel

On rappelle tout d’abord que A( #»u , #»v ) vaut :

A( #»u , #»v ) = ‖ #»u‖ ‖ #»v ‖ |sin(θ)|

où θ est l’angle ( #»u , #»v ).


A

B

H

E:{M, AM ·AB=−6}

FIGURE 21.6 – Construction de E de l’exemple 21.42

Définition 21.43 Soient #»u , #»v ∈ V . Si #»u est colinéaire à #»v , on pose #»u ∧ #»v = #»0 . Sinon, #»u ∧ #»v estl’unique vecteur tel que :

1. #»u ∧ #»v ⊥ #»u ,

2. #»u ∧ #»v ⊥ #»v ,

3. ( #»u , #»v , #»u ∧ #»v ) est un trièdre direct,

4. ‖ #»u ∧ #»v ‖ = A( #»u , #»v ).

#»u

#»v

FIGURE 21.7 – Parallélogramme porté par les vecteurs u et v

Propriétés 21.44 Si #»u , #»v ∈ V alors :

1. #»u ∧ #»u = #»0 (alternance)

2. #»u ∧ #»v = − #»v ∧ #»u (antisymétrie)

3. ∀λ ∈ R, (λ #»u ) ∧ #»v = #»u ∧ (λ #»v ) = λ #»u ∧ #»v

4. #»u ∧ #»v = #»0 si et seulement si #»u est colinéaire à #»v .


21.5.2 Définition d’un produit mixte

On note 〈 #»u , #»v 〉 le produit scalaire.

Définition 21.45 — Produit mixte. Soient #»u , #»v , #»w ∈ V . On appelle produit mixte de #»u , #»v , #»w, le réel

[ #»u , #»v , #»w] := 〈 #»u ∧ #»v , #»w〉 .

#»u

#»v

#»w

FIGURE 21.8 – Parallélépipède P construit sur les vecteurs u, v, w

On rappelle que P est un parallélépipède construit sur les vecteurs #»u , #»v et #»w si :

P = {x #»u + y #»v + z #»w, x, y, z ∈ [0 , 1]} .

Théorème 21.46 [ #»u , #»v , #»w] = ±vol( #»u , #»v , #»w). De plus, le signe est positif si le trièdre ( #»u , #»v , #»w) estdirect et il est négatif dans le cas contraire.

Dv

• Démonstration du théorème 21.46 —

1. Si les trois vecteurs sont coplanaires, alors le volume est nul. Quant au produit mixte, ilest également nul d’après les propriétés 1 et 2 du produit vectoriel (ajouté au fait qu’unproduit scalaire entre deux vecteurs orthogonaux est nul).

2. Si les trois vecteurs forment un trièdre direct, alors on sait que le volume du parallélépi-pède est égal à l’aire de la base fois la hauteur correspondante. On obtient donc :

vol( #»u , #»v , #»w) = A( #»u , #»v )× h

d’où

vol( #»u , #»v , #»w) = A( #»u , #»v )× cos(( #»u ∧ #»v , #»w)) ‖ #»w‖ (21.3)= 〈 #»u ∧ #»v , #»w〉 = [ #»u , #»v , #»w].

3. Si les vecteurs forment un trièdre alors, dans la ligne (21.3), le cosinus (négatif) est pré-cédé d’un signe moins.

•


Corollaire 21.47 Le produit mixte est inchangé par permutation circulaire de ses arguments, c’est-à-dire :

[ #»u , #»v , #»w] = [ #»w, #»u , #»v ] = [ #»v , #»w, #»u ].

Le produit mixte change de signe quand on transpose deux de ses arguments, par exemple :

[ #»u , #»v , #»w] = −[ #»v , #»u , #»w].

Dv

• Démonstration du corollaire 21.47 — Les volumes étant égaux, il s’agit simplement d’ap-pliquer la règle des trois doigts. •

FIGURE 21.9 – La règle des trois doigts

21.5.3 Propriétés de linéaritéPropriétés 21.48 — Distributivité du produit vectoriel par rapport à l’addition. Pour tout #»u , #»v , #»w ∈ V ,

1. #»u ∧ ( #»v + #»w) = #»u ∧ #»v + #»u ∧ #»w,

2. ( #»u + #»w) ∧ #»u = #»v ∧ #»u + #»w ∧ #»u .

Dv

• Démonstration des propriétés 21.48 —

1. On va montrer que #»r = #»u ∧ ( #»v + #»w)− #»u ∧ #»v − #»u ∧ #»w = #»0 .

Premier cas On suppose que #»u , #»v , #»w ∈ V sont non-coplanaires. Pour montrer que #»r =#»0 , il suffit de montrer que

⟨#»r ,

#»t⟩

= 0 pour tout vecteur #»t . Mais grâce à la linéarité

du produit scalaire par rapport à la seconde variable, il suffit de vérifier cette dernièrepropriété pour trois vecteurs d’une base, il suffit donc de vérifier que

〈 #»r , #»u 〉 = 〈 #»r , #»v 〉 = 〈 #»r , #»w〉 = 0.


Or, par définition, le produit vectoriel de n’importe quel vecteur avec #»u est orthogonalà #»u . Les trois termes du second membre sont donc nuls. Donc : 〈 #»r , #»u 〉 = 0. Oncalcule 〈 #»r , #»v 〉 :

〈 #»r , #»v 〉 = 〈 #»u ∧ ( #»v + #»w), #»v 〉 − 〈 #»u ∧ #»v , #»v 〉︸︷︷︸=0

−〈 #»u ∧ #»w, #»v 〉

= [ #»u , #»v + #»w, #»v ]− [ #»u , #»w, #»v ].

Or vol( #»u , #»v + #»w, #»v ) = vol( #»u , #»w, #»v ). En effet, ces deux parallélépipèdes ont lamême hauteur et A( #»v + #»w, #»v ) = A( #»w, #»v ) car ces deux parallélogrammes ont lamême hauteur et une base commune.De plus, ( #»u , #»v + #»w, #»v ) et ( #»u , #»w, #»v ) ont la même orientation. Donc det( #»u , #»v +#»w, #»v ) = det( #»u , #»w, #»v ) et donc 〈 #»r , #»r 〉 = 0.On peut faire le même raisonnement pour montrer que 〈 #»r , #»w〉 = 0.

Second cas Si #»u , #»v , #»w sont coplanaires alors on peut exprimer un vecteur en fonctiondes deux autres.

2. Il suffit d’utiliser l’anti-symétrie du produit vectoriel pour se ramener au cas précédent.

•

Corollaire 21.49 — Additivité du produit mixte par rapport à la deuxième variable.

[ #»u , #»v +#»

v′, #»w] = [ #»u , #»v , #»w] + [ #»u ,#»

v′, #»w].

Proposition 21.50 Le produit mixte est linéaire en chacune de ses variables, c’est-à-dire :

∀λ, µ ∈ R, ∀ #»u ,#»

u′, #»v , #»w, [λ #»u + µ#»

u′, #»v , #»w] = λ[ #»u , #»v , #»w] + µ[ #»u , #»v , #»w]

et de même par rapport aux deuxième et troisième variables.

Théorème 21.51 — Expression analytique du produit vectoriel. Dans un repère orthonormal (O, #»ı , #» ,#»

k ),si les coordonnées de #»u et #»v sont respectivement (x, y, z) et (x′, y′, z′) alors les coordonnées de#»u ∧ #»v sont :

#»u ∧ #»v =

yz′ − zyzx′ − xz′xy′ − yx′

.

� Exemple 21.52 Soit les vecteurs #»u (1, 2, 0) et #»v (−1, 3, 1). On va calculer les coordonnées de #»u∧ #»v .Pour calculer l’abscisse x #»u∧ #»v du vecteur #»u ∧ #»v , il faut donc calculer :

yz′ − zy′ = 2× 1− 0× 3 = 2.

De même,

y #»u∧ #»v = 0× (−1)− 1× 1 = −1 et z #»u∧ #»v = 1× 3− 2× (−1) = 5.

Donc les coordonnées de #»u ∧ #»v sont (2,−1, 5). �


21.5.4 Applications� Exemple 21.53 — Calcul du sinus d’un angle. Soit #»u = # »

AB et #»v = # »

AC deux vecteurs non nuls del’espace. Alors :

sin BAC = ‖#»u ∧ #»v ‖‖ #»u‖ ‖ #»v ‖

va nous permettre de calculer l’angle BAC. De plus, si on appelle H le pied de la hauteur issue de B,dans le triangle ABH :

sin BAC = BH

BA

donc‖ #»u ∧ #»v ‖ = AB ××AC × BH

BA= AC ×BH.

Comme l’aire du triangle ABC est AC×BH2 , on a alors :

A(ABC) = ‖#»u ∧ #»v ‖

2 .

Application Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct, on définit les pointsA(2,−2, 3)et B(4,−6, 1) et C(0,−1, 5). L’unité est le cm. On veut calculer l’aire du triangle ABC encm2.On calcule les coordonnées des vecteurs :

# »

AB = (2,−4,−4)# »

AC = (−2, 1, 2)

donc# »

AB ∧ # »

AC = (−4, 4,−6) et :∥∥∥ # »

AB ∧ # »

AC∥∥∥ =

√(−4)2 + 42 +−62 =

√68.

L’aire du triangle ABC est donc :∥∥∥ # »

AB ∧ # »

AC∥∥∥

2 =√

682 = 2

√17

2 =√

17 ≈ 4, 12cm2.

�

� Exemple 21.54 — Moment d’une force. Le moment d’une force#»

F s’exerçant au point A par rapportau pivot P est le vecteur :

M #»F /P = # »

PA ∧ #»

F .

Ce vecteur désigne l’aptitude de la force#»

F à faire tourner un système mécanique autour du point P ,qui est le pivot. �

� Exemple 21.55 — Equation du plan P . En utilisant le produit mixte, donner une équation du plan Pdéfini par le point A(1, 1, 2) et les vecteurs #»u (0, 1, 2) et #»v (−1, 1,−1).

Soit M(x, y, z) un point du plan P , on a :

# »

AM(x− 1, y − 1, z − 2).


Alors[ # »

AM, #»u , #»v ] = # »

AM · #»u ∧ #»v = 0.

On calcule donc #»u ∧ #»v = (−3,−2, 1) et :

# »

AM · ( #»u ∧ #»v ) = (x− 1)× (−3) + (y − 1)× (−2) + (z − 2)× 1

qui est nul. Donc une équation du plan P est :

−3x+ 3− 2y + 2 + z − 2 = 0⇔ −3x− 2y + z + 3 = 0.

�

� Exemple 21.56 — Moment d’une force par rapport à un axe. Soit#»

F une force exercée le long d’unedroite D et soit (O, #»v ) un axe orienté. Le produit mixte [ #»v ,

# »

OA,#»

F ], où A est un point quelconque deD est appelé moment de la force

#»

F par rapport à l’axe (O, #»v ). �

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