COMPLEMENTS SUR LES DETERMINANTS

1. En utilisant les formules de Cramer, resoudre les systemes suivants, ou m designe unparametre reel.

(a)

(m− 1)x + my + z = m + 1

mx + 2y + 3z = 3(m + 1)x + my + (m− 1)z = m− 1

, (b)

−mx + (m + 1)y + mz = m + 1

(2m− 1)x + (m− 1)y −mz = m2 − 1−2x− 4y + 2mz = m2 − 3m− 4

2. En utilisant la multilinearite du determinant, calculer

(a)

∣∣∣∣∣∣b + c c + a a + b

b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2

b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3

∣∣∣∣∣∣ , (b)

∣∣∣∣∣∣a1 + b1 b1 b1

b2 a2 + b2 b2

b3 b3 a3 + b3

∣∣∣∣∣∣3. En utilisant des determinants extraits, trouver le rang des matrices suivantes

(a)

a 1 2 + a 0a −a 3 2aa 2 + a 1 + 2a −2a

, (b)

a b a 1a 2b 3a 2−b −a 2b b

4. Soit A une matrice carree (n,n) avec n ≥ 2.

On note Cof A la matrice des cofacteurs de A.

I Calcul de det(Cof(A))

(a) Montrer, par l’absurde, que si detA = 0, alors det(Cof(A)) = 0.

(b) Montrer que det(Cof(A)) = (det A)n−1

II Calcul de Cof(Cof(A))

(a) On suppose n ≥ 3. Montrer que rg A ≤ n− 2, si et seulement si Cof(A) = O.

(b) On suppose encore n ≥ 3. Montrer que si rg A = n − 1, et si f est un endomorphisme dematrice A dans la base canonique de Rn, alors les colonnes de tCof(A) appartiennent a Ker f .

En deduire que rg Cof(A) = 1, puis trouver Cof(Cof(A)).

(c) Calculer Cof(Cof(A)) si n = 2

(d) Calculer Cof(Cof(A)) si n ≥ 3 et si A est inversible.

(e) Donner pour tout n ≥ 2, une formule generale pour Cof(Cof(A)).

1

SOLUTIONS DES EXERCICES

1. On note A la matrice du systeme.

(a)

det A = m2(4−m) detA[1] = −m(m+2) det A[2] = −m(m2−4m−3) detA[3] = −2m(1−m)

Si m 6= 0 et m 6= 4, systeme de Cramer. Solution

x =m + 2

m(m− 4)y =

m2 − 4m− 3m(m− 4)

z =2(1−m)m(m− 4)

Si m = 0 solutions

(x,y,z) ∈{(

z − 1,32(−z + 1),z

)| z ∈ R

}Si m = 4 systeme impossible.

(b)det A = 6m(1−m2) detA[1] = 2m2(m + 1)(3− 2m)

det A[2] = (1−m2)m(m + 6) detA[3] = m(m + 1)(−3m2 + 6m− 1)

Si m 6= 0, m 6= 1 et m 6= −1 , systeme de Cramer. Solution

x =m(3− 2m)3(1−m)

y =m + 6

6z =

−3m2 + 6m− 16(1−m)

Si m = 0 solutions (x,y,z) ∈ {(0,1,z) | z ∈ R}

Si m = −1 solutions (x,y,z) ∈ {(z,− z,z) | z ∈ R}

Si m = 1 systeme impossible.

2. (a) 2abc(a− c)(a− b)(c− b) , (b) a1a2a3 + b1a2a3 + a1b2a3 + a1a2b3

3. (a) Quel que soit a, rang 2 ,(b) Si a 6= 0, rang 3, si a = 0 et b 6= 0 rang 2, si a = b = 0 rang 1.

4. Cof(Cof(A)) = (det A)n−2A

2

Corrige

1. (a) Dans cet exercice le calcul des determinants peut etre effectue de la maniere que l’onvoudra et ne sera pas justifie ici.

Le determinant du systeme vaut

det A =

∣∣∣∣∣∣m− 1 m 1

m 2 3m + 1 m m− 1

∣∣∣∣∣∣ = 4m2 −m3 = −m2(m− 4).

Si m est different de 0 et de 4, le systeme est de Cramer. On calcule dans ce cas les troisdeterminants suivants :

det A[1] On remplace dans detA la premiere colonne par le second membre :

det A[1] =

∣∣∣∣∣∣m + 1 m 1

3 2 3m− 1 m m− 1

∣∣∣∣∣∣ = −m2 − 2m = −m(m + 2) .

det A[2] On remplace dans detA la deuxieme colonne par le second membre :

det A[2] =

∣∣∣∣∣∣m− 1 m + 1 1

m 3 3m + 1 m− 1 m− 1

∣∣∣∣∣∣ = −m3 + 4m2 + 3m = −m(m2 − 4m− 3) .

det A[3] On remplace dans detA la troisieme colonne par le second membre :

det A[3] =

∣∣∣∣∣∣m− 1 m m + 1

m 2 3m + 1 m m− 1

∣∣∣∣∣∣ = 2m2 − 2m = −2m(1−m) .

Alors

x =det A[1]det A

=m + 2

m(m− 4), y =

det A[2]det A

=m2 − 4m− 3

m(m− 4), z =

det A[3]det A

=2(1−m)m(m− 4)

.

Il reste a etudier les cas particuliers.

Si m = 0 , le systeme devient −x + z = 12y + 3z = 3x− z = −1

Qui se reduit a {−x + z = 12y + 3z = 3

Le systeme est de rang 2, et l’on peut obtenir x et y en fonction de z

x = z − 1 et y =3− 3z

2.

L’ensemble des solutions est donc{(

z − 1,3− 3z

2,z

)| z ∈ R

}.

3

Si m = 4 , le systeme devient 3x + 4y + z = 5

4x + 2y + 3z = 35x + 4y + 3z = 3

On fait alors un pivot sur le tableau

3 4 14 2 35 4 3

∣∣∣∣∣∣533

.

3 4 14 2 35 4 3

∣∣∣∣∣∣533

=⇒3 4 1−5 −10 0−4 −8 0

∣∣∣∣∣∣5−12−12

=⇒3 4 10 0 04 −8 0

∣∣∣∣∣∣53−12

.

Et comme la deuxieme ligne n’est pas nulle, le systeme n’a pas de solution.

(b) On detaillera ici les calculs de determinant que l’on peut facilement factoriser par combinai-son de lignes.

Le determinant du systeme vaut

det A =

∣∣∣∣∣∣−m m + 1 m

2m− 1 m− 1 −m−2 −4 2m

∣∣∣∣∣∣ .

On ajoute la premiere ligne a la seconde, et on soustrait de la troisieme la premiere lignemultipliee par 2, puis on developpe par rapport a la troisieme colonne

det A =

∣∣∣∣∣∣−m m + 1 m

m− 1 2m 02m− 2 −2m− 6 0

∣∣∣∣∣∣ = m

∣∣∣∣ m− 1 2m2m− 2 −2m− 6

∣∣∣∣ .

On peut mettre en facteur (m− 1) dans la premiere colonne et 2 dans la deuxieme

det A = 2m(m− 1)∣∣∣∣1 m2 −m− 3

∣∣∣∣ = 2m(m− 1)(−3m− 3) .

Si m est different de 0 1 et −1 le systeme est de Cramer. On calcule dans ce cas les troisdeterminants suivants.

En remarquant que m + 1 est en facteur dans le second membre du systeme, on pourra doncmettre m + 1 en facteur dans chacun des determinants avant d’en faire le calcul. Pour les deuxpremiers on effectue les memes combinaisons de lignes que pour det A.

det A[1] On remplace dans detA la premiere colonne par le second membre :

det A[1] =

∣∣∣∣∣∣m + 1 m + 1 mm2 − 1 m− 1 −m

(m + 1)(m− 4) −4 2m

∣∣∣∣∣∣ = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣1 m + 1 m

m− 1 m− 1 −mm− 4 −4 2m

∣∣∣∣∣∣ ,

puis

det A[1] = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣1 m + 1 mm 2m 0

m− 6 −2m− 6 0

∣∣∣∣∣∣ = m(m + 1)∣∣∣∣ m 2mm− 6 −2m− 6

∣∣∣∣ .

4

On met m en facteur dans la premiere ligne et 2 dans la deuxieme colonne

det A[1] = 2m2(m + 1)∣∣∣∣ 1 1m− 6 −m− 3

∣∣∣∣ = 2m2(m + 1)(3− 2m) .

det A[2] On remplace dans detA la deuxieme colonne par le second membre :

det A[2] =

∣∣∣∣∣∣−m m + 1 m

2m− 1 m2 − 1 −m−2 (m + 1)(m− 4) 2m

∣∣∣∣∣∣ = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣−m 1 m

2m− 1 m− 1 −m−2 m− 4 2m

∣∣∣∣∣∣ ,

puis

det A[2] = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣−m 1 m

m− 1 m 02m− 2 m− 6 0

∣∣∣∣∣∣ = m(m + 1)∣∣∣∣ m− 1 m2m− 2 m− 6

∣∣∣∣ .

On met m− 1 en facteur dans la premiere colonne

det A[2] = m(m + 1)(m− 1)∣∣∣∣1 m2 m− 6

∣∣∣∣ = m(m + 1)(1−m)(m + 6) .

det A[3] On remplace dans detA la troisieme colonne par le second membre :

det A[3] =

∣∣∣∣∣∣−m m + 1 m + 1

2m− 1 m− 1 m2 − 1−2 −4 (m + 1)(m− 4)

∣∣∣∣∣∣ = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣−m m + 1 1

2m− 1 m− 1 m− 1−2 −4 m− 4

∣∣∣∣∣∣ .

On soustrait la troisieme colonne de la deuxieme

det A[3] = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣−m m 1

2m− 1 0 m− 1−2 −m m− 4

∣∣∣∣∣∣ .

On ajoute la premiere ligne a la troisieme

det A[3] = (m + 1)

∣∣∣∣∣∣−m m 1

2m− 1 0 m− 1−m− 2 0 m− 3

∣∣∣∣∣∣ .

On developpe par rapport a la deuxieme colonne

det A[3] = −(m + 1)∣∣∣∣2m− 1 m− 1−m− 2 m− 3

∣∣∣∣ = −m(m + 1)(3m2 − 6m + 1) .

Alors

x =det A[1]det A

=m(3− 2m)3(1−m)

, y =det A[2]det A

=m + 6

6, z =

det A[3]det A

=−3m2 + 6m− 1

6(1−m).

Il reste a etudier les cas particuliers.

Si m = 0 , le systeme devient y = 1

−x− y = −1−2x− 4y = −4

5

On trouve de maniere evidente x = 0, y = 1. L’ensemble des solutions est donc {(0,1,z) | z ∈ R}.

Si m = −1 , le systeme devient x− z = 0

−3x− 2y + z = 0−2x− 4y − 2z = 0

Le second membre est nul. On fait alors un pivot sur la matrice du systeme 1 0 −1−3 −2 1−2 −4 −2

=⇒

1 0 −1−2 −2 0−4 −4 0

=⇒

1 0 −1−2 −2 00 0 0

.

On en tire x = z et y = −z. L’ensemble des solutions est donc {(z,− z,z) | z ∈ R}.

Si m = 1 , le systeme devient −x + 2y + z = 2

x− z = 0−2x− 4y + 2z = −6

On fait alors un pivot sur le tableau

−1 2 11 0 −1−2 −4 2

∣∣∣∣∣∣20−6

.

−1 2 11 0 −1−2 −4 2

∣∣∣∣∣∣20−6

=⇒0 2 01 0 −10 −4 0

∣∣∣∣∣∣20−6

=⇒0 2 01 0 −10 0 0

∣∣∣∣∣∣20−2

.

Et comme la troisieme ligne n’est pas nulle, le systeme n’a pas de solution.

2. (a) Notons

A =

aa2

a3

, B =

bb2

b3

, C =

cc2

c3

.

Le determinant cherche peut s’ecrire

D = det(B + C,C + A,A + B) .

La multilinearite permet d’ecrire D comme somme de 8 determinants

D = det(B,C,A) + det(B,C,B) + det(B,A,A) + det(B,A,B)+det(C,C,A) + det(C,C,B) + det(C,A,A) + det(C,A,B) .

Mais tous les determinants comportant deux colonnes identiques sont nuls, et par ailleurs

det(C,A,B) = −det(A,C,B) = det(B,C,A) .

On trouve donc

D = 2det(B,C,A) = 2

∣∣∣∣∣∣b c ab2 c2 a2

b3 c3 a3

∣∣∣∣∣∣ .

6

On peut mettre a en facteur dans la troisieme colonne, b dans la premiere et c dans la deuxieme.Le determinant restant est alors un determinant de Vandermonde

D = 2abc

∣∣∣∣∣∣1 1 1b c ab2 c2 a2

∣∣∣∣∣∣ = 2abc(a− b)(a− c)(c− b) .

(b) Notons

B =

b1

b2

b3

,

et E1, E2, E3 les vecteurs colonnes de la base canoniques. Le determinant cherche peut s’ecrire

D = det(a1E1 + B,a2E2 + B,a3E3 + B) .

La multilinearite permet d’ecrire D comme somme de 8 determinants

D = det(a1E1,a2E2,a3E3) + det(a1E1,a2E2,B) + det(a1E1,B,a3E3) + det(a1E1,B,B)+det(B,a2E2,a3E3) + det(B,a2E2,B) + det(B,B,a3E3) + det(B,B,B) .

Mais tous les determinants comportant deux colonnes identiques sont nuls. Il reste

D = det(a1E1,a2E2,a3E3) + det(a1E1,a2E2,B) + det(a1E1,B,a3E3) + det(B,a2E2,a3E3) .

On a alors

D =

∣∣∣∣∣∣a1 0 00 a2 00 0 a3

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣a1 0 b1

0 a2 b2

0 0 b3

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣a1 b1 00 b2 00 b3 a3

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣b1 0 0b2 a2 0b3 0 a3

∣∣∣∣∣∣= a1a2a3 + a1a2b3 + a1b2a3 + b1a2a3 .

3. (a) On calcule facilement les quatre determinants d’ordre 3 extraits de la matrice

A =

a 1 2 + a 0a −a 3 2aa 2 + a 1 + 2a −2a

,

et on constate qu’ils sont tous nuls.

On ajoute la troisieme ligne a la deuxieme

D1(a) =

∣∣∣∣∣∣1 2 + a 0−a 3 2a

2 + a 1 + 2a −2a

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 + a 02 4 + 2a 0

2 + a 1 + 2a −2a

∣∣∣∣∣∣ .

La deuxieme ligne est alors un multiple de la premiere, donc D1 = 0.

On soustrait la premiere ligne des deux autres

D2(a) =

∣∣∣∣∣∣a 2 + a 0a 3 2aa 1 + 2a −2a

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣a 2 + a 00 1− a 2a0 −1 + a −2a

∣∣∣∣∣∣ .

La troisieme ligne est alors l’opposee de la deuxieme, donc D2 = 0.

7

On soustrait la premiere ligne des deux autres

D3(a) =

a 1 0a −a 2aa 2 + a −2a

=

a 1 00 −1− a 2a0 1 + a −2a

,

La troisieme ligne est alors l’opposee de la deuxieme, donc D3 = 0.

On soustrait la premiere ligne des deux autres

D4(a) =

a 1 2 + aa −a 3a 2 + a 1 + 2a

=

a 1 2 + a0 −1− a 1− a0 1 + a −1 + a

,

La troisieme ligne est alors l’opposee de la deuxieme, donc D4 = 0.

Le systeme n’est pas de rang 3. (D’ailleurs on a une relation simple entre les lignes de A :L3 + L2 − 2L1 = O).

Mais le determinant∣∣∣∣ 1 0−a 2a

∣∣∣∣ = 2a, obtenu en enlevant la ligne 3 et les colonnes 1 et 3 n’est pas

nul si a est different de 0. Le rang de la matrice vaut donc 2 dans ce cas.

Si a = 0, le determinant∣∣∣∣1 20 3

∣∣∣∣ = 3 obtenu en enlevant la ligne 3 et les colonnes 1 et 4 n’est pas

nul. La encore le rang de la matrice vaut 2. Donc, quelle que soit la valeur de a, la matrice estde rang 2.

(b) On calcule les quatre determinants extraits de la matrice

A =

a b a 1a 2b 3a 2−b −a 2b b

.

D1 =

∣∣∣∣∣∣b a 12b 3a 2−a 2b b

∣∣∣∣∣∣ = a2 + ab2 = a(a + b2) .

D2 =

∣∣∣∣∣∣a a 1a 3a 2−b 2b b

∣∣∣∣∣∣ = 2a2b− ab = ab(2a− 1) .

D3 =

∣∣∣∣∣∣a b 1a 2b 2−b −a b

∣∣∣∣∣∣ = a2 + ab2 = a(a + b2) .

D4 =

∣∣∣∣∣∣a b aa 2b 3a−b −a 2b

∣∣∣∣∣∣ = 2a3 + ab2 = a(2a2 + b2) .

Si a 6= 0, le determinant D4 n’est pas nul, et le systeme est de rang 3.

Si a = 0, les quatre determinants sont nuls. La matrice est de rang inferieur ou egal a 2.

Si b 6= 0, la matrice devient

8

A =

0 b 0 10 2b 0 2−b 0 2b b

.

Mais le determinant∣∣∣∣ 0 22b b

∣∣∣∣ = −4b obtenu en enlevant la premiere ligne et les deux

premieres colonnes n’est pas nul. Donc le rang vaut 2.

Si b = 0, a matrice devient

A =

0 0 0 10 0 0 20 0 0 0

,

elle est de rang 1.

4. I Calcul de det(Cof(A))

(a) Supposons que det(Cof(A)) 6= 0. Alors Cof(A) est inversible, et

(Cof(A))−1 Cof(A) = I .

Donc,tCof(A) t(Cof(A))−1 = I ,

et en multipliant cette relation a gauche par A,

A tCof(A) t(Cof(A))−1 = A .

MaisA tCof(A) = (det A)I = O .

On en deduit donc que A = O, et dans ce cas Cof(A) = O n’est pas inversible. On a donc unecontradiction. Il en resulte que Cof(A) n’est pas inversible, et donc que det(Cof(A)) = 0.

(b) D’apres (a), la formule est vraie si A n’est pas inversible. Si A est inversible, on a

A tCof(A) = (det A)I ,

doncdet A det( tCof(A)) = det((detA)I) = (det A)n .

Alors, puisque detA n’est pas nul,

det( tCof(A)) = det(Cof(A)) = (det A)n−1 .

II Calcul de Cof(Cof(A))

(a) Dire que rg A ≤ n − 2 signifie que tous les determinants extraits de A d’ordre n − 1 sontnuls, c’est-a-dire que tous les cofacteurs de A sont nuls ou encore que Cof(A) = O.

(b) Si rg A = n − 1, cela signifie, par la formule du rang, que Ker f est de dimension 1. Parailleurs, d’apres a) Cof(A) 6= O. On a donc detA = 0, et A tCof(A) = O. Donc si Ci est unecolonne de tCof(A), on a ACi = f(Ci) = O. Les colonnes de tCof(A) appartiennent a Ker f .

9

Soit (V ) une base de Ker f . Tous les vecteurs Ci sont donc multiples de V . Donc tCof(A) etaussi Cof(A), sont de rang 1. Alors d’apres a) puisque rg Cof(A) = 1 ≤ n− 2, on en deduit queCof(Cof(A)) = O.

(c) Si A =(

a bc d

), on a successivement

Cof(A) =(

d −c−b a

),

puis

Cof(Cof(A)) =(

a bc d

)= A .

(d) Si A est inversible, alors, d’apres I, la matrice Cof(A) est inversible et

det(Cof(A)) = (det A)n−1 .

DonctCof(Cof(A))Cof(A) = (det Cof(A))I = (det A)n−1I .

Puis en transposant,tCof(A) Cof(Cof(A)) = (det A)n−1I .

En multipliant a gauche par A, on obtient

A tCof(A) Cof(Cof(A)) = (det A)n−1A ,

maisA tCof(A) = (det A)I ,

d’ou(detA) Cof(Cof(A)) = (det A)n−1A ,

et en divisant par detA qui n’est pas nul,

Cof(Cof(A)) = (det A)n−2A .

(e) La formule obtenue ci-dessus est vraie pour n ≥ 2.- Si n ≥ 3 et A est inversible c’est donc (d)- Si n ≥ 3 et A n’est pas inversible, d’apres les questions a et b, les deux membre sont nuls.- Si n = 2 c’est la question (c).

10