blpc 162 pp 3-12 degny

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny

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Calcul des efforts et

dépl cements

dans

les

groupes

de

pieux:

le programme Goupil

Eric DEGNY Jean-Claude ROMAGNY

Ingénieur TPE Technicien supérieur

Docteur-ingénieur

Section des fondations

Division Géotechnlque

-

Mécanique des sols

Laboratoire central

des

Ponts

et

Chaussées

R On présente ici l'analyse théorique et les possibilités du programme Goupil de calcul de la réponse

Ê d'un groupe de pieux soumis à des sollicitations tridimensionnelles en un point de son chevêtre et à

S des

déplacements

de sol de direction quelconque. Les pieux sont

supposés liés

par un

chevêtre

U

rigide.

M , .

g La méthode utilisée est fondée sur les équations générales de la RDM issues de l'équilibre d'un

tronçon infinitésimal

de pieu soumis en chacune de ses

extrémités

à un torseur de force,

appelé

torseur des efforts de la résistance des matériaux, ainsi qu'à des chargements répartis sur sa lon

gueur. Ces équations

sont

simplifiées au cas de faible courbure.

La

généralisation

au cas tridimensionnel de la notion de matrice-transfert et de vecteur

d'état

permet

de définir la notion d'éléments de rigidité en tête de chaque pieu et conduit alors au calcul de la ré

ponse au centre du chevêtre par la résolution d'un système de dimension 6X6, cela quelle que

soit

la complexité du groupe de pieux considéré. L'algorithme général du programme est donné.

La notion de chargement de « courte durée » s'ajoutant à un chargement « permanent » est étudiée.

L'analyse théorique décrite est valable dans le cas général d'un comportement non linéaire du sol.

Un

exemple de calcul d'un groupe de pieux

sous

sollicitation permanente est

présenté

afin de mon

trer les possibilités du programme et d'expliquer les différents résultats fournis par le calcul.

MOTS CLÉS : 42 • Groupe de

pieux

•

Programme

de calcul - Calcul - Comportement • Charge -

Axial - Latéral

•

Déplacement • Sous-sol • /Goupil.

Les

recherches

théoriques

et

expérimentales

sur

ouvrages

de

grandeur

réelle, entreprises dans les

Laboratoires des Ponts et Chaussées pa r Baguelin

et

al.

[1], [2],

Bustamante

et Gianeselli [5] et Frank [10]

ont permis de

proposer

des méthodes de calcul des

pieux isolés pour

les

sollicitations axiales

et

latérales.

Pour le calcul d'un pieu sous sollicitations latérales

diverses, la notion de

courbes

de réaction, extension

du modèle de Winkler, appliquée au déplacement

relatif sol-pieu, permet de prendre en

compte

l'action

de poussées parasites de sol sur le pieu. Un

programme

de calcul numérique, P I L A T E , a été

développé à partir de cette analyse [10]. Le calcul

des paramètres nécessaires à partir du module

pressiométrique Ménard a été décrit par Baguelin

et al. [2], Frank [10] ainsi que dans le projet de

fascicule 62 [14].

Pour le calcul du tassement d'un pieu, on se sert,

comme

dans

le cas des

sollicitations latérales,

de

relations liant l'enfoncement du pieu, d'une part au

frottement

latéral mobilisé le long du pieu, et

d'autre

part à l'effort en

pointe

du pieu. L'analyse théorique

développée

par

Frank

et

Zhao

[12] et

Frank

[10] a

été reprise dans le programme de calcul numérique

P I V E R [11]. Pour la détermination des paramètres

nécessaires et le calcul de la capacité portante ultime

à partir des essais pressiométriques et pénétromé-

triques,

on se

référera

à

Bustamante

et

Gianeselli

[5],

à

Bustamante

et al. [6] et aux règles S É T R A - L C P C [15].

L e

calcul

de la

réponse

d'un

groupe

de

pieux soumis

à

des

déplacements

de sol de

direction quelconque

et, en un point de son chevêtre, à des sollicitations

tridimensionnelles, ne

peut

pas, en général, se

ramener d'une

manière simple au problème d'un

pieu isolé sollicité soit axialement soit latéral emen t.

L e fait que les pieux sont reliés en tête par un

chevêtre implique que la répartition des efforts en

tête de chacun des pieux est a priori inconnue. A

cet effet, que l'on peut qualifier de structurel, s'ajoute

un effet géotechnique appelé effet de

groupe

: les

pieux sont en interaction par le biais des déplacements

et des contraintes qu'ils génèrent dans le sol.

Ces problèmes font partie

des

actions

de

recherches

actuelles

des

Laboratoires

des

Ponts

et

Chaussées.

Des essais

de chargements

horizontaux statiques

et

cycliques

ont été

réalisés

sur un

groupe

de six

pieux

3

Bul.

liaison labo P. et Ch - 1S2 - JuS.-août 1989 - Réf. 3405

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


sur le site de P l a n c o ë t [13] et, afin de mieux

comprendre l'importance des d i f fé re n ts m éc an i sm e s

intervenant dans le comportement d'un groupe de

pieux, un programme de ca lcu l , G O U P I L

,

a été

d é v e l o p p é [3, 7, 8].

L'analyse

théor ique u t i l i s ée

dans le programme

G O U P I L

est l'extension au cas des groupes de pieux

des analyses des programmes P I V E R et P I L A T E Tant

pour la compression (efforts axiaux) que pour la

flexion (efforts l a t é r a u x ) , l'interaction sol-pieu est

r e p r é s e n t é e par des lois de r é a c t i o n non l inéa i re s ,

fonction

du dép lace m e nt re la t i f

sol-pieu.

On notera

que la prise en compte du dép lace m e nt re la t i f sol-

pieu,

dans le cas du comportement ax ia l , permet

de calculer la

mobilisation

des frottements négat ifs

é v e n t u e l s . Dans le sol on nég l ige les contraintes de

cisaillement

dues à la torsion du pieu.

L e

programme

G O U P I L

ne comprend pas

volontai

rement de l oi « d'effet de groupe »,

afin

de pouvoir

é t u d i e r , dans le cadre de la recherche, différentes

m é t h o d e s de m o d é l i s a t i o n de cet effet. Cependant,

i l est possible d'en tenir compte lors de la vérif icat ion

d'une fondation sur pieux, soit par d é p l a c e m e n t de

sol , soit par p o n d é r a t i o n des lois de r é a c t i o n de sol

au moyen de coefficients de r é d u c t i o n forfaitaire

(voir Bourges et Frank [4] et le projet de fascicule

62 [14] pour la d é t e r m i n a t i o n de ces coefficients).

L e programme G O U P I L permet aussi de prendre en

compte des actions de courte d u r é e s'ajoutant à des

sollicitations

permanentes, c o n f o r m é m e n t aux règles

de vérif icat ion aux é t a t s limites des fonctions des

ouvrages de

gén ie

c ivi l

e x p o s é e s

dans le projet de

fascicule

62 [14], m ê m e dans le cas où le compor

tement du sol est non l inéa i re . En effet, dans ce

cas, on ne peut plus app liquer le principe de

superposition de l 'é las t ic i té ; la m é t h o d e e m p l o y é e

dans G O U P I L est alors une r é s o l u t i o n i n c r é m e n t a l e .

A p r è s

avoir

r a p p e l é les h y p o t h è s e s m é c a n i q u e s et

les pos s ib i l i t é s du programme au niveau de la

description g é o m é t r i q u e et g é o t e c h n i q u e du p r o b l è m e ,

la

structure et la m é t h o d e de r é s o l u t i o n sont

p r é s e n t é e s dans le cas d'une sol l ic i ta t ion permanente

et dans le cas d'une sol l ic i ta t ion de courte d u r é e .

L a mise en œ u v r e du programme est i l lus t rée par

le calcul

de la

r é p o n s e

d'un groupe de pieux soumis

à une sol l ic i ta t ion permanente tridimensionnelle au

centre du c h e v ê t r e et à un d é p l a c e m e n t libre de sol.

H Y P O T H È S E S ET P O S S I B I L I T É S

D U P R O G R A M M E

D E

C A L C U L

H y p o t h è s e s m é c a n i q u e s

L'approche m é c a n i q u e est celle de la rés i s t ance des

m a t é r i a u x pour des poutres de faible courbure [3, 8].

E n

c o n s é q u e n c e ,

il y a

d é c o u p l a g e

entre

les

différents

types de sollicitations é lém e nta i re s ( f le x ion, compres

s ion , torsion). Par suite, les effets du second ordre

tels que l'influence de la compression sur la r é p o n s e

en flexion ne sont pas pris en compte .

Pour

chacun des pieux, les é q u a t i o n s de la rés i s t ance

des m a t é r i a u x sont e x p r i m é e s dans un r e p è r e « loca l »

dont le centre est la tê te du pieu. Les axes de ce

r e p è r e sont les axes d'inertie de la section droite

d u pieu et l'axe du pieu. Dans ces axes, les é q u a t i o n s

rég i s san t le comportement m é c a n i q u e d'un t r o n ç o n

de pieu de longueur

in f in i t é s im a le

sont les suivantes,

si

l'on suppose que le torseur des effets de la

ré s i s t ance des m a t é r i a u x est le torseur des efforts

de droite (fig. 1) :

dM

v

Q : densité de charge

répartie selon

y

Fig. 1 — Convention de signe

du programme

G OU PIL.

Équilibre

du

tronçon élémentaire

—

R

: compression

dN

~dz

= - s

c

dC

ds

dM

y

dz

dT;

dz

dM

x

dz

torsion

f lexion plan x — z

flexion

plan

y — z

o u :

N

:

C:

M

x

effort normal à la section droite,

couple

de torsion,

moment fléchissant autour de l'axe des x,

moment fléchissant autour de l'axe des y,

effort tranchant selon x,

effort

tranchant selon

y.

d e n s i t é de charge r é p a r t i e selon x,

de ns i t é de charge r é p a r t i e selon y,

d e n s i t é de charge r é p a r t i e selon z,

d e n s i t é de couple r é p a r t i e autour de l'axe z.

4

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Comportement élastique

o ù

/ ,

g, h

sont les trois composantes du

d é p l a c e m e n t

libre de sol .

dw _ N(z)

dz ~ ~ES~

d 9

z

_ C(z)

compression

dz

GK

torsion

M „ = EL

de,

dz

d

2

u

£ 7

V

-T

:

flexion

plan x — z

dz

d 0

x

d

2

u

M ,

= £ 4 —— = £7

X

— T :

flexion

plan

y - z

dz

dz

o u :

u

:

i :

w :

flèche dans la direction x,

flèche dans la direction y,

allongement de la fibre neutre,

6,:

rotation

l'axe

x,

de

la

section droite autour de

6,:

rotation

l'axe

y,

de

la section droite

autour

de

9

Z

:

rotation de la section droite autour de

l'axe z,

E : module d'Young,

v :

coefficient

de

Poisson,

G :

module

de

cisaillement

E/2(l + v)

S

: section droite

K:

inertie

de

torsion

de la

section droite,

I

x

: inertie autour de l'axe des x,

I

y

: inertie autour de l'axe des y,

Équations différentielles

de la

ligne

élastique

E n

d é r i v a n t les é q u a t i o n s de comportement et en

les combinant aux é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e , on obtient,

pour chacune des sollicitations é l é m e n t a i r e s , les

équa t ions d i f fé re n t i e l l e s rég i s san t le comportement

de

la

ligne

é l a s t i q u e :

d

2

w

ES-^-j + R = 0 : compression

d

2

9

z

GK

—r-

+ S

c

= 0 :

torsion

d z

2

EL

l z

4

d^;

d z

4

flexion

x

—

z

(2 = 0 : flexion y — z

S c h é m a t i s a t i o n

des lois de

réaction

du sol

et

pondé r ation

Loi de

réaction

O n

suppose que les

de ns i t é s

de charge

r é p a r t i e P,

Q

et

R

sont des fonctions du


relatif

sol-pieu

:

P=fi(f-u)

Q=f»(g-v)

R=f

3

(h - w)

Actuellement, on suppose que la de ns i t é de couple

r é p a r t i e S

c

est nulle ; par suite, on néglige la reprise

des efforts par cisaillement du sol dus à la torsion

du

pieu.

Dans le programme

G O U P I L

, les fonctions / , sont

prises

l inéa i re s

par morceaux :

/,(4> =

a{ + b\-\

avec

:

Fig.

2 — Courbe de réaction.

Ave c ces h y p o t h è s e s , on montre que les é q u a t i o n s

différent ie l les régissant le comportement pour chacune

des sollicitations

é l é m e n t a i r e s

ont une

solution

explicite.

Pondération

Chacune

des

courbes

de réac t ion de sol peut être

p o n d é r é e s

par un couple de coefficients suivant la

relation :

(pond2-p) = F [pondl • (/ - u)]

G é o m é t ri e

des pieux

L a

disposition

g é o m é t r i q u e des

pieux

dans

l'espace

peut

ê t re

quelconque. En particulier, les inclinaisons

et les longueurs peuvent être différentes pour chacun

des pieux.

Conditions aux limites en

tête

et en pointe

des pieux

Conditions en

tête

Trois conditions de l ia ison des pieux au che vê t re

sont

possibles

:

—

pieu

e n c a s t r é au che vê t re ,

—

pieu libre en rotation (moment d'encastrement

nul) ,

5

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


— l ia i son é la s t ique

en rotation (moment d'encastre

ment proportionnel à la rotation relative Q, entre

le

pieu

et le c h e v ê t r e ) ,

Mi = —, i = x, y, z ;

/

i

f est la flexibilité en rotation autour de l'axe i.

Conditions en

pointe

E n pointe du pieu, i l est possible d'imposer quatre

types de conditions aux limites :

—

encastrement

:

1

les six

composantes

du

torseur

des

d é p l a c e m e n t s

sont nulles ;

—

libre

: les six

composantes

du

torseur

des

efforts

sont nulles ;

— ar t i cu lé : les trois composantes de moment du

torseur des efforts et les trois composantes de


du

torseur

des


sont nulles

;

—

courbe de

r é a c t i o n

liant la composante du torseur

des efforts à la composante correspondante du

torseur des

d é p l a c e m e n t s .

L es

courbes de

r é a c t i o n

en pointe sont

définies

de

façon

analogue aux courbes de

r é a c t i o n

de sol

(fonction

l inéa i re

par morceaux).

Principe de résolution

L e principe de

r é s o l u t i o n

du

p r o b l è m e g é n é r a l

est

b a s é sur la

solution

analytique de l ' é q u a t i o n

différent ie l le

pour chacune des sollicitations

é l é m e n

taires, g r â c e à une double d i s c ré t i s a t ion : d'une part

une

d i s c r é t i s a t i o n

physique en segments et couches,

et d'autre part une d i s c r é t i s a t i o n n u m é r i q u e en

t r o n ç o n s ,

où les

c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s

des

pieux et les p a r a m è t r e s g é o t e c h n iq u e s sont constants

dans chacune des couches et chacun des

t r o n ç o n s .

D is crét is at ion

physique

Caractéristiques mécaniques des pieux

Chaque pieu

est

d i s c ré t i s é

en

segment

de

pieu,

où

l e s c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s et g é o m é t r i q u e s

sont

constantes. Chaque

pieu

dispose de sa propre

disc ré t i s a t ion .

Loi de réaction de sol

Pour chacune des sollicitations

é lém e nta i re s ( f le x ion ,

compression), on d i s c ré t i s é le sol en

couches

d ' é p a i s s e u r d é s i r é e ,

auxquelles on affecte des

lois

de

réac t ion l inéa i re s par

morceaux

définies au p r é a l a b l e

lors de

l ' e x é c u t i o n

du programme. Comme pour les

pieux, chaque

so l l i c i t a t ion é lém e nta i re a sa

propre

disc ré t i s a t ion .

Zone

de pondération

On dé f in i t

des ensembles de coefficients de

p o n d é

ration pour chacune des sollicitations

é l é m e n t a i r e s .

P u i s ,

pour chacun des pieux, on

déc r i t

des zones

de p o n d é r a t i o n auxquelles on affecte les coefficients

de

p o n d é r a t i o n s o u h a i t é s .

Prise en

compte

de la déformée du sol

L a

d é f o r m é e

du so l est

as s im i lée

à un

p o l y n ô m e

de

d e g r é

3. On

défini t

un ensemble de

p o l y n ô m e s ,

puis pour chacun des pieux on affecte une dé form ée

de sol pour chacune des zones de sol à


libre

définies pour le

pieu

cons idé ré .

Discrétisation numérique

et processus

itératif

U n e d i s c r ét i sa t i o n n u m é r i q u e

en

t r o n ç o n s

de pieux

d'une longueur maximale

fixée

est

effectuée

en

c o m p a t i b i l i t é

avec

les d i f fére n te s d i s c ré t i s a t ions

phy

siques

p r é c é d e m m e n t d é c r i t e s .

Pour une section d o n n é e d'un

pieu

et pour chacune

des sollicitations

é l é m e n t a i r e s ,

la branche

l inéa i re

de

la courbe de

r é a c t i o n c o n s i d é r é e

sur laquelle se situe

le point d ' é q u i l i b r e n'est d é t e r m i n é e que si l'o n

c o n n a î t

le


relatif

sol-pieu.

Les carac

t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s

et

g é o t e c h n i q u e s é t a n t

sup

p o s é e s

constantes

le long d'un t r o n ç o n , on d é t e r m i n e

la branche

l inéa i re

en

fonction

du


relatif moyen du haut et du bas du

t r o n ç o n

et on

p r o c è d e par i t é r a t i o n s . On d é t e r m i n e les c a r a c t é r i s

tiques m é c a n i q u e s tangentes ou sécan te s pour cette

branche et on calcule le


relatif et la

r é a c t i o n du sol en

haut

et en bas du t r o n ç o n . C e l a

donne de nouvelles c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s et

permet de calculer de nouveaux


relatifs.

O n

dit que le processus a

c o n v e r g é

si le point

correspondant à la moyenne, en haut et en bas du

t r o n ç o n ,

des

r é a c t i o n s

de sol d'une part et des


relatifs sol-pieux d'autre part, pour

chaque

so l l i c i t a t ion é lém e nta i re , se

situe

sur la

courbe

de

r é a c t i o n

correspondante moyennant une certaine

t o l é r a n c e .

L e

processus

de

convergence dans

le cas de

courbes

de

mobilisation

des efforts en pointe est similaire à

ce lui

des courbes de

r é a c t i o n .

On se donne en

pointe,

pour chacune des directions o ù sont

définies

des courbes

de

mobilisation,

une

branche

l inéa i re

compatible avec un


relatif

sol-pieu

p r é c é d e m m e n t c a l c u l é .

On

d é t e r m i n e

alors des

c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s

tangentes

ou sécan te s

q u i

vont permettre de

d é t e r m i n e r

un nouveau


relatif sol-pieu et donc de nouvelles

c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s . On dit que le

processus

i téra t i f a c o n v e r g é si le point d ' é q u i l i b r e effort-


relatif est sur la courbe de

mobilisation

moyennant aussi

une

certaine

t o l é r a n c e .

S T R U C T U R E ET M É T H O D E DE R É S O L U T I O N

L e principe de

r é s o l u t i o n e x p o s é

est

f o n d é

sur une

g é n é r a l i s a t i o n à une sol l ic i ta t ion

tridimensionnelle,

de la notion de matrice de transfert et de vecteur

d 'é ta t .

6

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Vecteur

d'état

On appelle vecteur d'état en une section droite du

pieu, le vecteur :

D

1

où

D

est le vecteur torseur des déplacements,

constitué

du vecteur

déplacement

et du vecteur

rotation 0 ;

D

est donc un vecteur de dimension 6,

U '

u

V

w

0*

0 0,

0

Z

.

D =

et

E

est le vecteur torseur des efforts de la

résistance

des matériaux défini comme le torseur de droite,

torseur des actions de la partie droite sur la partie

gauche, ou encore des actions du haut sur le bas

sur la figure 1 ; E est aussi un vecteur de dimension

6

constitué

du vecteur effort tranchant

F

et du

vecteur moment fléchissant M

:

E =

F

x

F

F

M

x

M My

M

z

V

est un vecteur de dimension 13. La

treizième

composante, toujours égale à 1, est appelée compo

sante

d homogéné ité.

Matrice-transfert

On appelle matrice-transfert d'un tronçon de pieu

sollicité à la flexion, à la compression et à la

torsion, la matrice

T

liant les vecteurs

d'état

de

chacune des deux extrémités :

P

1

T

n

T

12

oc

E

1

=

Tu T

22

P

•

E

B

_

1 _

_ 0 0 1_ _ 1 _

V

1

= TV

a

L a

matrice-transfert

T

est de dimension 13 x 13.

L a dimension de chacune des sous-matrices T

t

7)

est 6 x 6 . La

treizième

colonne,

formée

des sous-

vecteurs a et P, de dimension 6, correspond

notamment aux chargements extérieurs du tronçon

de pieu. Les composantes de

T

sont construites à

partir des solutions analytiques de chacune des

sollicitations

élémentaires.

De même, on peut construire la matrice-transfert

de la

liaison

liant la

tête

du pieu au

chevêtre.

Si

le pieu a une inertie variable ou un chargement

réparti variable, on le divise en tronçons de

caractéristiques

constantes. Pour chacun de ces

tronçons, i l existe une matrice-transfert liant le

vecteur

d'état

en chacune de ses deux

extrémités

:

tronçon 1 : V

x

= 7\ V

0

(liaison pieu-chevêtre)

tronçon

2 :

V

2

= T

2

V

1

t r o n ç o n ; : V¡ = T¡ V

¡

.

l

tronçon n : V

n

= T

n

V

n

.

l

De façon évidente, on obtient :

Tj.

L a matrice-transfert du pieu est le produit des

matrices-transferts de chacun des

tronçons

qui la

composent. Ce résultat constitue l intérêt premier de

cette

méthode de calcul.

Prise

en

compte

des

conditions

aux

limites.

Éléments de rigidité en tête d'un

pieu

Les

conditions aux limites

envisagées

en pointe d'un

pieu peuvent s'exprimer sous la forme de la relation

linéaire suivante :

A-E

+ B-D

x

= C

où A et B sont des matrices 6 x 6 et C est un

vecteur de dimension 6.

Par

exemple, l'encaissement en pointe est

réalisé

par

les conditions : A matrice nulle, B matrice unité, C

vecteur nul et le pieu libre en pointe par :

A

matrice

unité, B

matrice nulle et

C

vecteur nul.

On montre que, moyennant ces hypothèses, en tête

du

pieu le torseur des efforts s'exprime

linéairement

en fonction du torseur des déplacements :

E = R-D + G,

R

et

G étant

respectivement la matrice de

rigidité

(dimension 6 x 6) et le vecteur de rigidité (dimen

sion 6) en tête du pieu.

Les éléments

de

rigidité

au centre du

chevêtre

sont

alors la somme des différents éléments de rigidité

de chacun des pieux,

exprimés

au centre du

chevêtre.

L e système à résoudre pour déterminer les compo

santes

de

déplacements

et d'efforts inconnues au

centre du chevêtre est d'ordre 6. Une fois déterminées

les composantes inconnues des torseurs de dépla

cement et d'effort au centre du

chevêtre,

on calcule

les résultats intermédiaires (efforts et déplacements),

en

chacun des niveaux de

discrétisation

de tous les

pieux.

Algorithme

L

'algorithme de

calcul

du programme G O U P I L

présente les trois étapes suivantes :

7

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


Étape

1,

d é t e r m i n a t i o n

des

é l é m e n t s

de

r ig id i t é

pour

chaque

pieu

:

— ca lcu l

des matrices-transferts pour chaque

t r o n ç o n

é l é m e n t a i r e ,

— ca lcu l de la matrice-transfert totale du

pieu,

— ca lcu l

des

é l é m e n t s

de

r ig id i t é

(R et G) en

tê te

du

pieu,

l i a i son non comprise.

Étape

2,

r é s o l u t i o n

au centre du

c h e v ê t r e

:

—

pour chaque pieu, prise en compte de la

l ia ison

au che vê t re ,

— d é t e r m i n a t i o n

des

é l é m e n t s

de

r ig id i t é

au centre

du che vê t re ,

— r é s o l u t i o n du vecteur d ' é t a t au centre du che vê t re

(D, E),

— ca lcu l du vecteur d ' é t a t en tê te de chaque

pieu.

Étape

3,

r é s u l t a t s i n t e r m é d i a i r e s

pour chaque pieu :

— ca lcu l

du vecteur

d ' é t a t

en bas de chaque

t r o n ç o n

constituant le pieu, et des

r é a c t i o n s

de sol

*c r i t è re

1

de convergence sur les courbes de

r é a c t i o n

de sol,

— ca lcu l

du vecteur

d ' é t a t

en pointe du

pieu

*cr i t è re

2 de convergence sur les courbes de

r é a c t i o n

en

pointe.

Test

: Si (c r i t è re 1 et c r i t è re 2) = « vra i » : a r r ê t du

calcul ,

«

faux » : retour à

l ' é t a p e

1.

Fig.

3 — Loi de comportement du pieu.

On vo i t alors que l'on peut superposer, au niveau

d u m a t é r i a u

constituant le pieu, le comportement

sous

sol l ic i ta t ion

« permanente » et le comportement

sous

sol l ic i ta t ion

« de courte

d u r é e

». En

c o n s é q u e n c e ,

l ' é q u a t i o n

de comportement sous

sol l ic i ta t ion

de

courte

d u r é e

peut

s 'écrire

pour chacune des

sol l ic i

tations

é l é m e n t a i r e s

:

compression

dvv^

ds

N

c

_

E'-S'

E

c

, module d ' Y o u n g sous so l l i c i t a t ion de courte

d u r é e ,

torsion :

d6z

c

~ds~ G-K'

Sollicitations

de

courte

durée

Dans

les paragraphes

p r é c é d e n t s

ont été

d é t e r m i n é s

les é léments permettant d'effectuer le calcul de la

r é p o n s e

d'un groupe sous une

so l l i c i ta t ion do nn ée

(« permanente »). A cette so l l i c i t a tion , on veut ajouter

une

so l l i c i t a t ion

qui va produire un

i n c r é m e n t

de

r é p o n s e « de courte d u r é e ».

Loi de comportement du

pieu

Sous

l'effet de la

sol l ic i ta t ion

permanente seule, en

un point quelconque du

pieu,

l ' équ i l ib re se situe au

point 0' (rj

p

, e

p

), sur la figure 3 et la lo i de

comportement est

l inéa i re

et de module E

p

. On

suppose que, sous l'effet de la

sol l ic i ta t ion

« de

courte

d u r é e

», la lo i de comportement

a p r è s

le

point 0' est

l inéa i re

mais de module E

c

au

l ieu

de

E . L 'éq u i l ib re f inal

(r j

r

, e

7

) correspond aux relations

suivantes :

o-

T

=/ (e

î

) = E -e

p

+ E

c

(e

T

- s ).

Si l'on pose :

alors

:

a

c

= E

c

• e

c

,

G, inertie de tors ion sous

sol l ic i ta t ion

de courte

d u r é e ,

flexion

d 0

c

ds

pour

la

flexion

dans les plans

x —

z ou y

—

z

Équations d équilibre d'un tronçon sous sollicitation

de courte

durée

L e s é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e

de la

rés i s t ance

des

m a t é r i a u x

ne font pas intervenir de loi de compor

tement ; elles sont donc

vérifiées

lorsqu'on ajoute à

la

sol l ic i ta t ion

« permanente » la

sol l ic i ta t ion

de

«

courte

d u r é e

». On examine le cas de la

flexion

dans le plan

x

- z ; les

r é s u l t a t s

obtenus

g é n é r a l i s e n t aux autres types de sol l ic i ta t ions .

Le s équa t ions d 'équ i l ib re s ' éc r ive n t

:

dT

x

se

dz

dM

y

dz

+ P = 0

+ T=0

o ù

T

x

, M

y

, P

r e p r é s e n t e n t ,

respectivement, l'effort

tranchant et le moment

fléchissant

et la

r é a c t i o n

du

sol

dus à la somme des

sollicitations

« permanente »

et « de courte

d u r é e

».

8

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


Courbe permanente

Point d'équilibre sous sollicitation

e

courte durée

Courbe e courte durée

\ ^ (t-u)

c

déplacement relatif de courte durée

] Point d'équilibre sous so llic itation perman ente

(f-u)

p

f-u déplacement relatif

Déplacement relatif

permanent

Fig.

4

—C omportement sous sollicitation permanente

et

e

courte durée.

O n

peut

éc r i re :

T

x

= + T

x

M

x

= M

p

x

+ M

x

P = P + P

c

o ù l'indice s u p é r i e u r

p

r e p r é s e n t e la solution sous

la

sol l ic i ta t ion permanente, l'indice s u p é r i e u r e

c

r e p r é s e n t a n t l ' i n c r é m e n t à ajouter dû à la sol l ic i ta t ion

de courte d u r é e . La loi de comportement du pieu

s 'écri t :

T

d

2

u

p

l y

dz

2 h

d

2

u

c

dz

2

o ù

u

p

est la solution de la ligne é la s t ique sous

sol l ic i ta t ion « permanente » et u ° l ' i n c r é m e n t à ajouter

d û

à la

sol l ic i ta t ion

« de courte

d u r é e

».

En

tenant

compte des é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e , u et u

c

vérifient

l 'équat ion différent ie l le :

E

P

L

d V

d z

4

0

+ P

p

+ E

c

-L

d V

' d z

4

+ P

c

= 0

L a

somme des deux premiers termes est nulle

puisque u est la solution de l 'éq ua t io n différentie l le

due à la charge permanente seule. L ' i n c r é m e n t de

la

ligne

é l a s t i q u e dû à la sol l ic i ta t ion «

de courte

d u r é e » vérifie donc l 'équat ion différent ie l le :

E

c

-L

d V

' dz

4

+

P

c

= 0

O n remarque donc que le ca lcu l de la r é p o n s e de

la

sol l ic i ta t ion sous courte d u r é e peut employer le

m ê m e algorithme que ce lui du calcul de la r é p o n s e

sous sol l ic i ta t ion permanente, mais à condition de

c o n s i d é r e r les c a r a c t é r i s t iq u e s m é c a n i q u e s et g é o

techniques vis -à-vis du comportement de courte

d u r é e .

L a l i n é a r i s a t i o n de la courbe de r é a c t i o n de sol

« de courte d u r é e » est re prése n tée dans la figure 4.

Pour l inéa r i s e r P

c

en r e p r é s e n t a t i o n s é c a n t e ou

tangente, il faut exprimer cette l inéa r i s a t ion par

rapport au r e p è r e d'origine 0 , point d 'équ i l ib re

obtenu sous la sol l ic i ta t ion permanente.

MISE

EN Œ U V R E

DU

P R O G R A M M E

Le

programme G O U P I L est

écrit

en

F O R T R A N

77 et

est i m p l a n t é sur l'ordinateur du centre de calcul

informatique de P I N R E T S

.

Des versions pour micro

ordinateur compatible P C et station de travail sont

en

cours

de d é v e l o p p e m e n t .

E n t r é e

des

données

L ' e n t r é e des d o n n é e s s'effectue au moyen du logicie l

de construction d un jeu de d o n n é e s E D I P P R. Ce

logic ie l

permet,

à

partir

d un fichier

« mode d'em

p lo i

», de construire de façon interactive le jeu de

d o n n é e s en r é p o n d a n t aux questions p o s é e s . Il a

été ainsi possible de rédu i re l ' e n t rée des d o n n é e s en

ne demandant que les don née s néce s sa i re s au calcul

e nv i sagé .

D e f aç o n g é n é r a l e , les d o n n é e s

sont

classées en six

groupes :

— groupe 1 : d o n n é e s g é n é r a le s au calcul ,

— groupe 2 : d o n n é e s relatives aux sols,

— groupe 3 : d o n n é e s relatives aux pieux,

—

groupe

4

: sollicitations

a p p l i q u é e s au che vê t re ,

— groupe 5 : d é p l a c e m e n t

libre

de sol,

— groupe 6 : coefficients de p o n d é r a t i o n .

Sortie des

résultats

Seuls

les résu l t a t s in té re s san t le ca lcu l e nv i sagé sont

fournis. De façon géné ra le , les

sorties sont

classées

en trois groupes :

— rappel des d o n n é e s constantes,

— r é s u l t a t s globaux relatifs au che vê t re ,

— résu l t a t s dé ta i l l é s par pieu.

Exemple

L'exemple

est insp i ré de ce lui du programme PSH 1

de la pièce 5 bis du document F O N D 72. Il s'agit

de calculer la r é p o n s e d un groupe de pieux soumis

à

un

chargement permanent

c o m p o s é

d'une

sol l ic i

tation

tridimensionnelle

au

centre

de son che vê t re

et à des poussée s l a té ra le s de sol. La descrip

tion

g é o m é t r i q u e du groupe est p r é s e n t é e sur la

figure 5.

9

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


2.4m

1

I

2.4m

L

3.60m

1

2m

2,4m

2m

2m

r

y

T

9m 3

z

Fig.

5

— Description du groupe.

L

- o. (KPO)

200

100

0,1 0,3

2 |f -u)/B

y

= 2 lg-v)/B„

Fig.

6 — Courbe de réaction transversale.

Caractéristiques des pieux

L es

sept

pieux sont circulaires et de c a r a c t é r i s t i q u e s

m é c a n i q u e s identiques. Ils sont e n c a s t r é s dans le

c h e v ê t r e . Les c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s sont les

suivantes :

—

module

d ' Y o u n g

E = 10 kPa

— inertie de flexion

I

x

= I

y

=

0,04909 m

- 4

— largeur frontale

B

x

= B

y

= 1 m

— section droite

S

= 0,7854 m

2

k B

2

/4)

— surface la té ra le unitaire SL = 3,142 m

2

(n B)

L es

sept

pieux s ' a r r ê t e n t à la m ê m e profondeur.

P a r suite, les longueurs sont les suivantes :

—

pieu n

o s

1 à 4: 10,154 m,

— pieu n

o s

5 à 7 : 10 m.

Caractéristiques

du sol ; courbes de

réaction

en pointe

O n suppose que tous les pieux sont dans le m ê m e

so l , m odé l i s é par une couche dont les c a r a c t é r i s t i q u e s

m é c a n i q u e s sont d o n n é e s sur la figure 6. On suppose

que le sol ne mobilise pas de frottement la té ra l .

Pour chacun des pieux, les courbes de mobili sat ion

en pointe liant le moment fléchissant à la rotation

et l'effort tranchant au


sont

d o n n é e s

sur la figure 7.

L es

pieux

é t a n t

circulaires, on suppose que les

courbes de mobili sation sont identiques pour la

flexion dans la direction

x

et la flexion dans la

direction y.

Vis -à -v i s de la compression, les pieux sont c o n s i d é r é s

comme

e n c a s t r é s

en pointe.

Sollicitations sur le groupe de

pieux

L e

groupe de pieux est soumis à une

sol l ic i ta t ion

tridimensionnelle

au centre du che vê t re (déc r i t e sur

10

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


la

figure 8) et à un d é p l a c e m e n t libre du sol sur

toute

la hauteur de la couche d ' é q u a t i o n :

/ ( Z ) = 0,146-0,355-10-

1

-Z-0,6514-10

- 2

-Z

2

-0,2118-10

3

-Z

3

g(Z) = h(Z) = 0.

0

M,

=

10kN.m

-20kN

F

y

= lO kN

+ 3

M„ = -50kN.m

F „ 20kN

Fig.

8

— Chargement du chevêtre.

Pondération

Pour

chacun des pieux, on effectue sur les courbes

de r é a c t i o n transversale les p o n d é r a t i o n s p r é s e n t é e s

dans le tableau I. Les p o n d é r a t i o n s sont différentes

pour la flexion dans les plans

x - z

et

y - z

du

re pè re loca l de chacun des pieux. Cette p o n d é r a t i o n

n 'a

pas de

signification

physique

pa r t i cu l i è re

et

n'est

mise

que pour montrer les po s s ib i l i té s du programme.

T A B L E A U

I

Coefficient de pondération

Num éro

Flexion Flexion

de

x -

-

z y -

-

z

pieu

P ondi

Pond2 P ondi Pond2

1

1

1

1 1

2 0,9

0,9

0,8 0,8

3 0,8 0,8

0,9

0,9

4 0,7 0,7

0,8

0,6

5 0,6 0,8 0,7

0,7

6

0,6

0,7 0,8

0,9

7 0,9 0,6 0,8

0,9

Résultats

L a convergence est obtenue à la q u a t r i è m e i t é r a t i o n .

L e processus i t é ra t i f é t an t tangent et les lois de

réac t ion l inéa i re s ,

la convergence s'effectue avec une

préc i s ion éga le à zé ro .

O n rappelle ci-contre le chargement et les résu l t a t s

relatifs

au che vê t re .

Sol l ic i ta t ion du che vê t re :

force

X =

0,2000 £ + 02

force

Y

= 0,1000

E +

02

force Z = 0,2000 E + 02

moment X = 0,5000 £ + 02

moment

Y

= 0,1000

E

+ 03

moment Z = 0,1000 £ + 02

Convergence obtenue à i t é r a t i o n 4, avec une préc i s ion

de 0.0000

E

+ 00

vecteur d ' é t a t au point 0 :

(0,0000 £ 00, 0,0000 £ + 0 0 , 0,0000 £ + 0 0 )

«

= 0,1007

£ + 0 0 , v =

0,8909 £ - 0 4 ,

w = 0,3498 £ - 0 2

Ox =

0,3984 £ - 0 5 , 0y = O , 3 1 9 2 £ - O 2 ,

0 z = 0,2576 £ - 0 4

fx = 0,2000 £ + 0 2 , /y = 0 , 1 0 0 0 £ + 0 2 ,

fx =

0,2000 £ + 0 2

m x —

0,5000 E + 02, my = 0,1000

£ + 0 3 ,

mz = 0 , 1 0 0 0 £ + 0 2

Pour le pieu 1, les

profils

du


transversal

u et du moment fléchissant

M

y

correspondant à la

direction de chargement la plus importante sont

d o n n é s sur les figures 9 et 10. Ces profils sont

d o n n é s par rapport au re pè re loca l du pieu, dont

l'axe des z est l'axe du pieu, en conséque nce inc l iné

de 10° par rapport à l'axe

vertical

(fig. 5).

U = 0,1004 m

Fig. 9

Profil

des

déplacements

U.

Pieu

n* 1.

-1690 kN.m

-2350 kN.m

Fig, 10

Profil

des

moments

fléchissants My.

Pieu

n° 1.

M

a

= -35.4 kN.m

TN

11

7/23/2019 BLPC 162 Pp 3-12 Degny


L a mise

au

point

du

programme G O U P I L

est une

é t a p e importante pour l ' é t u d e

et

l ' i n t e r p r é t a t i o n des

essais

de

groupes

de

pieux. C e c i devrait conduire

à

la

formulation dans

le

programme

de

relations

prenant en compte l'effet de groupe.

Dans la pratique courante, c ' e s t -à -d i re le dimen-

sionnement et la v é r i f i ca t ion de fondations sur pieux,

le programme G O U P I L n'est

pas un

ou t i l

de

p r é d i m e n s i o n n e m e n t . Cette phase p r é a l a b l e

du

di-

mensionnement

néce s s i t e

une

réflexion

où

la

connais

sance et l ' e xpé r ie nce du géo te chn ic ie n sont indispen

sables. L ' i n t é r ê t de G O U P IL se situe dans les phases

de vérif icat ion des différentes solutions et dans leur

optimisation.

Son domaine d'application couvre aussi

bien les

fondations

sur

pieux d'ouvrages tels

que

les b â t i m e n t s

et

les ouvrages

d'art,

que les fondations

d'ouvrages maritimes

:

quais, ducs d'albe...

L a pos s ib i l i t é d'ajouter à un chargement permanent

un chargement de courte d u r é e , et d'obtenir la

r é p o n s e d un groupe

de

pieux m ê m e dans

le

cas où

le comportement

du

sol

est

non l inéa i re , permet

la

vérif icat ion rigoureuse

du

dimensionnement

des

fondations

sur

pieux,

c o n f o r m é m e n t

aux

règles

des

éta ts l imites .

Afin

que

G O U P IL puisse être ut i l isé plus a i s é m e n t ,

l'effort est

actuellement

mis sur

l ' é l a b o r a t i o n

de

p r é p r o c e s s e u r s d ' e n t r é e , notamment pour

la

d é t e r

mination

des courbes

de

r é a c t i o n

à

partir des essais

p r e s s i o m é t r i q u e s ,

et de

postprocesseurs graphiques

éc r i t s

en

G K S .

Si

un

ca lcu l G O U P I L peut ê t re e nv i sagé

sur un

compatible PC AT

(l'exemple prése n té néce s s i te

5 minutes

de

temps

de ca lcu l sur un

Logabax

P

1800

é q u i p é

d'un

coprocesseur a r i t h m é t i q u e ) , l'univers de

préd i l e c t ion

pour

le

programme

G O U P I L

est

celui

des stations de t rava i l , dont la puissance de calcul

et

de

traitement graphique permet d'envisager

la

conception

ass is tée

par

ordinateur d'une fondation

sur pieux.

R É F É R E N C E S B I B L I O G R A P H I Q U E S

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mai.

[8]

D E G N Y

E. 1988), Calcul

des groupes

de

pieux,

notice

théorique

du

programme Goupil,

Rapp.

de la

Division

G éotechnique M écanique

des

sols, déc.

[9] F O N D

72-Additif

1976), pièce 5 bis 2

: Fondations

courantes d ouvrages, programme

de

calcul PSH

1

LCPC-SÉTRA, ministère

de

l Aménagement

du territoire,

de

l Équipement,

du

Logement et

du

Tourisme,

oct.

[10] FRANK R. (1984), Études théoriques de fondations

profondes et d'essais en

place

par

autoforage

dans

les Lpcet résultats pratiques (1972-1983), Rapp.

rech.

Lpc

128, juin, 95

p.

[11]

FRANK R. (1989), Les méthodes et modèles de

calcul

des déformations des sols mous et leurs vérifications

expérimentale, Symposium franco-soviétique, Moscou,

avr.,

pp. 105-114.

[12] FRANK R.,ZHAO S.-R.

(1982),

Estimation par les

paramètres pressiométriques

de

l'enfoncement

sous

charge

axiale de pieux

forés

dans des

sols

fins, Bull,

liaison Labo. P. et

Ch. 119, mai-juin,

pp.

17-24.

[13] JÉZ ÉQ UE L J. - F . (1984), Groupes

de six pieux

à Plancoët

1983, CR rech.

du

L R

de

Saint-Brieuc.

[14] Projet de fascicule 62, titre

V

: règles techniques de

conception et de

calcul

des fondations des

ouvrages

de

génie

civil, Cahier

des Clauses Techniques G é n é

rales.

[15]

SÉTRA-LCPC (1985),

Règles

de justification des

fondations

sur pieux

à

partir des essais

pressiométriques, ministère

de l'Urbanisme,

du Logement et des

Transports,

Direction

des

Routes,

oct.

[16]

R OM AGNY

J.-C.

(1988), Mode

d emploi de la Bibliothèque

PROFOND, Rapp.

de la

Division G éotechnique M éca

nique des

sols.

blpc 162 pp 3-12 degny

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