Effet d'accrochage et mthode d'valuation du frottement ngatif

O. COMBARIEU Ingnieur

Laboratoire rgional de Rouen

Prsentation F. BAGUELIN

Chef de la section des fondations Laboratoire central

/

L se produit du frottement ngatif sur un pieu, ou un groupe de pieux, lorsque les couches suprieures de sol tassent et tendent ainsi, par frottement, entraner le pieu vers le bas. Il en rsulte une charge verticale parasite dans le ft du pieu, qui

rduit d'autant la valeur disponible en tte du pieu pour supporter la superstructure.

Les situations dans lesquelles se produit du frottement ngatif sont assez bien connues et sont indiques au dbut du paragraphe du dossier FOND 72 * qui traite de ce problme. Dans le domaine routier, un cas trs frquent est celui de cules d'ouvrages d'art comportant un remblai mis en place sur des alluvions compressibles.

G&'a&t$*teTerram naturel y

>Sol mou-.

SuDsiraium

Exemple de frottement ngatif. La prvision de l'amplitude de la charge parasite est plus incertaine. Les diverses mthodes de calcul sont rappeles brive-ment par M. Combarieu dans le prsent article : si l'on met part la mthode propose par M. Mnard, on peut dire que les mthodes actuelles, qui utilisent un schma trs simplifi, donnent certainement une estimation par excs de la valeur de la charge para-site. Dans son tude, M. Combarieu prcise l'effet d'accrochage introduit notamment par Zeevaert et montre qu'en ralit il est plus important que ne le prvoit cet auteur. Bien que des incertitudes demeurent, notamment quant aux valeurs adopter pour le coefficient d'accrochage -, Introduit, l'tude de M. Combarieu devrait permettre de mieux estimer la valeur du frottement ngatif s'exerant sur une fondation sur pieux et donc de dterminer, sans trop de pessimisme, la charge qu'elle peut recevoir de la superstructure.

* Chapitre 5-3 Calcul pratique d'une fondation dans le cas gnral , p. 42-50.

9 3

Bull. Liaison Labo. P. et Ch . - 71 - mai-juin 1974 - Rf. 1459

I. INTRODUCTION ET RAPPEL L e mcanicien des sols est trs souvent confront aux problmes poss par les frottements nga-tifs. L e u r estimation est fort dlicate et ds le dpart l ' on bute, dans bien des cas, sur la dtermina-t ion de l a por t ion de pieu sollicite par de tels efforts parasites. L e sol , soumis aux contraintes extrieures (souvent des remblais) tasse autour du pieu ; ce dernier s'enfonce galement sous l 'ac t ion simultane des charges qu i l u i sont transmises en tte, et le long du ft par frottement ngatif. I l apparat que la dtermination du point neutre, o les tassements du sol et du pieu sont les mmes et o le frottement change de signe se rvle dans b ien des cas fort complexe. Pour le dimensionnement, on se retranchera tout lgitimement, vers l a scurit ; on peut penser que le surdimensionnement ainsi introduit restera faible, dans le cas de figure relativement courant o, traversant une paisseur d 'a l luvions trs compressibles, les pieux s'ancrent dans u n sol rsistant ; le point neutre se situe alors fort bas.

I l reste alors prvoir l'intensit des efforts engendrs : l'unanimit semble faite sur le caractre long terme du phnomne d 'appar i t ion du frottement ngatif ; on fait donc appel l a not ion de contrainte intergranulaire :

S i o-'v reprsente la contrainte effective au niveau z le long du p ieu, le frottement ngatif unitaire f vaudra :

f = Ko tg S a 'v , o 8 reprsente l 'angle de frottement sol-pieu et Ko le coefficient de pousse des terres. L ' app l i ca t i on un pieu de rayon R traversant un sol de poids spcifique y', supportant l u i -mme une surcharge uniforme q 0 , conduit , aprs intgration, l 'expression b ien connue :

F = 2 x R Ko tg 8 (qQ z + y ' -

o F reprsente l'effort parasite ngatif sur la hauteur z de sol compressible.

O n se rend compte immdiatement de l ' insuffisance d 'un tel rsultat qu i ne permet videmment pas de fixer le niveau z o le frottement ngatif cesse d'agir. E n part icul ier, si qo = 0, F n est manifestement nu l , et l a hauteur d 'act ion z introduire ci-dessus doit tre nul le . Cette dernire est donc bien lie q 0 et impl ic i tement aux tassements de la couche compressible. L e Service d'tudes techniques des routes et autoroutes ( S E T R A ) et les Laborato ires des Ponts et Chausses ( L P C ) ont donn [1] des rgles pratiques d 'appl icat ion, tenant compte de cette carence et indiquant l 'ordre de grandeur de l a hauteur d 'act ion z du frottement ngatif en fonct ion de l'paisseur des couches compressibles et de l 'ampl i tude du tassement dont elles seront le sige.

Zeevaert [2] a incontestablement amlior les aspects l a fois qualitati f et quantitatif du phno-mne en introduisant l'effet de rduction du frottement ngatif d la prsence de plusieurs pieux. Nous verrons que les rsultats de Zeevaert apparaissent comme un cas l imite et trs par-t icul ier du modle qu i sera propos plus l o in .

U n e deuxime est imation de frottement ngatif propose par L . Mnard [3] fait tout simplement appel la pression l imite d 'expansion d'une cavit cy l indr ique. P o u r le sol susceptible de pro-duire les efforts de frottement, le taux unitaire de frottement est fourni par la figure 1. t (bar)

Fig. 1

0 5 1 B i e n souvent, et chacun a p u le constater, les discordances entre les deux modes d'valuation qu i viennent d'tre voqus apparaissent vite, les carts entre rsultats croissant rapidement avec l a hauteur sur laquel le agit le frottement : cela se c om-prend aisment puisque dans le premier cas cette hauteur intervient sous une forme d u second degr, alors qu'el le n'est que d u

premier degr dans le second. O n peut noter i c i que pour le frottement positif, en revanche, si les deux thories utilises mnent aux mmes discordances, l a p lupart des mcaniciens des sols semblent plutt avoir adopt l'hypothse de l a . linarit qu i rend mieux compte des rsultats exprimentaux et pour laquel le certaines justifications thoriques voient actuellement le jour [4] ; on est tout naturel lement conduit se poser quelques questions sur cet aspect contradictoire.

10 15 P (bar)

L ' examen qu i suit s'efforce, par une approche thorique, de pal l ier les insuffisances actuelles.

94

II. COMPORTEMENT D'UN GROUPE DE PIEUX INFINIMENT ETENDU

1. - O n considre un ensemble de pieux rgulirement espacs s'tendant l ' in f in i et traversant un sol compressible et homogne (fig. 2). Ce sol est uniformment charg par u n rembla i . O n appel-lera 2R le diamtre du pieu, q 0 l a surcharge, H , y ' et

E n part icul ier , quand S tend vers l ' in f in i (cas du p ieu isol) (2 bis) se rduit :

^ - y ' soit q(z) = q + Y ' Z

Si dans l 'expression ( 1 ) du b i lan des forces, on remplace q(z) par l a solut ion gnrale, on a l'galit :

Q u a n d S tend vers l ' in f in i , le dveloppement limit conduit :

F = TCR2 d(z) = 2 x R Ko tg S ^ q 0 z + Y ' qu i , pour le p ieu isol, reprsente le frottement ngatif

sur l a hauteur z ; c'est l a valeur classique bien connue. L ' imper fec t ion d'une telle f o rmulat ion a dj t cite ; elle apparat quand on examine le cas o q 0 tend vers une valeur nul le .

Ce rsultat parat d'autre part quelque peu paradoxa l . Dans le cas du pieu isol, comme o n vient de le voir , l a contrainte verticale vaut uniformment q 0 + Y ' Z ; cela signifie que les charges induites par q 0 et le so l lui-mme, se transmettent intgralement tout niveau. O n conoit ma l cette possibilit ; en effet, pu isqu ' i l y a transmission d'efforts dans le pieu (apparit ion du frotte-ment ngatif), ce mcanisme ne peut s'effectuer corrlativement sans une d iminut ion d'efforts au sein mme du sol entourant le ft ; plus on s'loigne du ft, moins l a transmission des charges se trouve affecte, l ' influence du pieu se faisant moins sentir. Ces rflexions montrent qu ' i l y a ncessairement variation de q(z, x) avec la distance au p ieu du fait mme de la manifestation du frottement ngatif. L a forme mathmatique de l a solut ion de l'quation (2 bis) rend compte effec-tivement d'une rduction de l a contrainte verticale par rapport la contrainte init iale q 0 + Y ' Z . M a i s cette rduction n'est que globale et constante sur S. E l l e amliore de manire trs sensible l 'aspect quantitati f du phnomne, mais ne peut, notre avis, en rendre compte de faon trs satisfaisante, et ce d'autant moins que l ' on se rapproche du cas du pieu isol. L a so lut ion de Zeevaert doit en fait tre considre comme un cas l imite d'une solut ion plus gnrale. L e pessi-misme de la so lut ion de cet auteur a d'ai l leurs conduit ce dernier introduire, dans le cas du pieu seul, l'hypothse d'une transmission de charge 45 conduisant l a not ion de surface d'influence. U n exemple numrique dvelopp part ir de cette thorie [5] montre dans ce cas prcis que cette considration ne conduit qu' une rduction ngligeable de F. A i n s i pour le pieu caisson d'acier expriment en Norvge [5 et 6], l a valeur maximale F, m du frottement ngatif, calcule part ir de l a rpartition uni forme en profondeur q 0 + Y ' Z atteint l a valeur de 649 tonnes. L ' a p p l i -cat ion de l'hypothse introduite par Zeevaert ne rduit ce chiffre qu' 646,4 tonnes ; cette rduction est donc ngligeable et en dsaccord avec la valeur de F = 460 tonnes mesure en fin de conso-l idat ion.

L 'ensemble de ces considrations nous a conduits introduire la not ion d'accrochage du matriau autour du ft qu i mne une amlioration dans l ' expl icat ion du processus. E l l e consiste, sous une forme simple, faire intervenir le phnomne de d iminut ion de contraintes verticales part ir du ft. Nous sommes convenus de reprsenter cette fonct ion q(z, x), introduite ci-avant, par une expression mathmatique nous ayant paru susceptible, par son adaptation l a formulat ion des phnomnes transitoires, de reprsenter le phnomne rel.

L 'express ion choisie est l a suivante :

r T r X X R n * q ( z , x ) q ( z , R ) = qo + Y'z q ( z , R ) 1 e R (3)

* On voit immdiatement que l'expression choisie ne peut reprsenter parfaitement la variation de q(z, x). L'ensemble des conclusions qui suivent restant cependant les mmes. E n effet, si d'une manire plus gnrale, on pose

q(z, x) q(z, R) = j^q0 + y'z q(z, R) j ^1 * ~R~" ) ] I a f n c n o n < P ^ ~ i - ) doit possder les proprits suivantes:

elle dcrot constamment avec x, pour x = b, d

E l l e fait apparatre le coefficient X, sans dimension, traduisant l 'ampl i tude de l 'accrochage autour d u pieu.

Quand X devient trs grand, l a fonct ion q(z, x) tend devenir discontinue au contact d u pieu (x = R ) ; pour X = oo, q(z, R ) = q 0 + r ' z pour x > R et q (z, R ) = 0 pour x = R . O n retrouve d'ai l leurs ces rsultats en faisant le b i l an des forces verticales en prsence. Dans ce cas, l 'accro-chage est n u l , le p ieu n'est pas surcharg.

Quand X devient trs petit, l 'accrochage devient excellent. L e cas X = 0 correspond au cas l imite d 'un accrochage parfait ; dans ce cas q(z, x) = q(z, R ) , fonct ion de z seul, et l a solut ion est prci-sment fournie par l'quation (2 bis) de Zeevaert. C'est le cas l imite qu i conduit au frottement ngatif max ima l . L a figure 4 montre l 'a l lure des courbes thoriques.

1 i j n. 4-

Coefficient d'accrochage X Fig. 5

K 0 tg6 m (X,b)

2. - Hauteur maximale d'action du frottement ngatif

L 'express ion de q (z, R) montre qu t le terrain en place le long du p ieu subit u n dchargement progressif, en compara ison avec le cas de l a transmission intgrale de q 0 en profondeur. P o u r une certaine profondeur h, l a contrainte induite q ( h c , R) galera l a contrainte y ' hc init ia le. Au-del de cette mme profondeur, que nous appellerons hauteur maximale d'action du frottement ngatif, ce dernier cessera de se manifester et en ce point , on a l'galit :

m (X, b) + [ q ~ i p ) ] m (X, b) hc _ y , h c

soit . m ( X , b ) h c _ m (X, b) hc 1

m (X, b) -S i _ 1 (6)

Valeurs de m 7

4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

L a dtermination de h c peut se faire gra-phiquement de manire simple, par inter-section de l a fonct ion exponentiel le et d'une droite de pente var iable (fig. 6). E n part icul ier , si qo est nul (pas de charge-ment), hc est galement nul et i l n 'y a pas appar i t ion d'effort parasite.

Dans le cas o h c est infrieur l'pais-seur H d 'a l luvions compressibles, sur cette hauteur h c l a valeur de F atteindra :

2*R Ko tg S

^n /-\ u\ M0 m (X, b)

(6 bis)

Fig. 6 - Calcul de la hauteur critique h c .

q u i s 'annule b ien pour q 0 = 0.

F est donc proport ionne l q 0 .

S i h c > H , on appl iquera l 'expression (5 bis).

9 8

3. - Influence de la surcharge pralable

C o m m e h . et F n augmentent avec qo, i l sera dans b ien des cas, souhaitable, dans l 'opt ique d'une rduction du frottement ngatif, de prvoir l 'avance tout ou partie des remblais d'apport, l'ex-cut ion des fondations n' intervenant qu'aprs une consol idat ion partiel le du sol compressible.

S i pour une surcharge q 0 prvue, l'excution des pieux a l ieu aprs transmission d'une fraction 6q (0 < 6 < 1) de cette surcharge, lors de l a mise en place de l a fraction (1 6) q 0 restante, l 'expression de l a contrainte q (z, R ) est toujours donne en (5). L a hauteur h c sera modifie et telle que :

m (X, b)

^ U M . 1 m (X , b) 0 ^ soit e - m f c b ) h . = m ( > , b ) h c _ - l + jr ( ? )

m ( X , b ) - ^ _ l m ( X , b ) -511 Y V

L a dtermination de h c reste galement simple ; elle se traduit sur l a figure 6 par l ' intersection de la mme fonct ion exponentiel le et d'une droite parallle celle du cas prcdent. O n peut vo i r d 'ai l leurs que l'effet du prchargement conduit b ien une d iminut ion trs sensible de h c , donc de F. Sur hc, F n atteint l a valeur :

2 R Ko tg 8

F - = m ( X , b ) ( 1 - 9 ) q ( 7 b i s )

et si 8 = 1 (surcharge q 0 mise l 'avance et totalement consolide), F = 0.

4. - Evolution du frottement ngatif avec la consolidation

L ' examen de l 'augmentation progressive du frottement ngatif en fonct ion de l a consol idat ion est ais. A l ' instant t, o le degr de consol idat ion atteint U (0 < U < 1), l a contrainte intergranulaire pour z = 0 vaut Uqo. L a hauteur maximale correspondante h c est donc dfinie par (6) o q 0 est

remplac par U q 0 ; F (U) atteint donc - - U q 0 . F est donc proport ionne l U . A titre m (X, b)

d'exemple, l 'essai d 'un pieu mtallique, ralis par Bozo zuk [7], justifie trs correctement ce rsultat.

I l s'agissait d 'un pieu de 0,30 m de diamtre et de 40 m de longueur, flottant, fich dans une argile marine, sur lequel on a enregistr, en fonct ion d u temps, les valeurs de F ci-contre :

Temps (anne) F (tonne)

0,1 * 37 0,5 65 1 80 3 117 5 140

Si o n admet qu 'au bout de c inq ans, le degr de consol idat ion est de 95 %>, auquel correspond u n facteur temps T Y de 1,13 on trouve, en admettant la proportionnalit entre U et F, les rsultats suivants :

F . (tonne)

U Temps (anne)

140 1,13 0,95 5 117 0,55 0,79 2,5

80 0,238 0,54 1,05 65 0,150 0,44 0,6 37 0,049 0,25 0,2

L a comparaison entre les temps

thoriques et mesurs est donc

fort honorable, compte tenu en

part icul ier des variations possi-

bles de C v (coefficient de conso-

l idation) avec U .

5. - In f luence de l a compressibilit d u so l

E n admettant, tout lgitimement, qu'une augmentation de Y ' correspond une d iminut ion de l a compressibilit, l a figure 6 montre, en supposant toutes choses gales par ail leurs, que si Y ' aug-mente, he d iminue, mais que F n'est pas modifi.

99

6. - Influence du coefficient d'accrochage X sur la hauteur h .

Cette influence est d'autant plus importante que l 'espacement entre pieux crot. P o u r en juger, i l nous a paru plus simple de choisir un exemple numrique ; cet effet, o n a pris des p ieux de rayon R = 0,26 m avec Ko tg 8 = 0,26 et on trace (fig. 7), en fonct ion de X, les valeurs de h c pour diverses valeurs de q 0/' et deux couples b/R (oo et 5). O n note particulirement que pour les espacements faibles qu i sont les cas les plus courants (groupe de pieux) , l ' influence de X reste faible.

Coefficient d'accrochage X

40 50 Hauteur critique h. (m)

V

300 Effort (t) (courbe B) 500 600 700

Courbe A 9s. - 10 , hauteur critique. I en fonction de X

Courbe B : Effort ngatif sur le pieu pour _44 m d'argile,en fonction de X_

Fig. 7 - Calcul de la hauteur critique. Influence de l'entre-axe des pieux (b/R). Coefficient d'accrochage X.

R = 0,26 m, K 0 tg o? = 0,26.

D / R = oo (pieu isol). b/R = 5.

js 0.30 u o 8 0,25 TD

| 0,15

Nous part irons de cette valeur X = 0,1 et examinerons prsent le cas de figure d 'un grand nombre de pieux traversant cette mme couche d'argile, et tel que b/R = 5.

O n aura (fig. 5) Ro

m (X,b) = 0,104 Ko tg 9

soit m (X, b) = 0,113

L a hauteur d 'act ion h c est alors telle que (fig. 6) m h c = 1,045 et hc = 9,25 m. L e frottement F ne se dveloppera donc que sur cette paisseur de sol mou , sa valeur

_ , 2 T C R K O te ?

tant F = . , f q 0 = 40 tonnes. m (X, b)

I l est intressant d 'examiner ce que pourrai t donner l a thorie pressiomtrique dans ce cas. L a cohsion non draine mesure au scissomtre est de l 'ordre de 3 t/m z ; nous estimerons qu'el le correspond une pression l imite de l 'ordre de 1,8 bar. L ' app l i ca t i on de la mthode donnerait u n frottement ngatif unitaire de 0,13 bar, soit, sur 44 m : F = 95 tonnes. L e rsultat est trs loign des 460 tonnes mesurs sur le p ieu isol, mais en revanche, b ien plus proche de ce lui calcul ci-dessus pour u n grand nombre de pieux. Les cas de figure les plus frquents de groupe de pieux tant intermdiaires entre ces deux tats, mais tout de mme plus proches du second, l a valeur de 95 tonnes moyennes par pieu peut paratre acceptable. L e rsultat n'est cependant pas satisfaisant pour autant, puisque l 'appl icat ion de cette dernire thorie aurait conduit une valeur de F double pour une paisseur double de sol compressible, le chiffre de 40 tonnes n'tant vi-demment pas modifi. L ' exp l i ca t i on rside bien sr dans l'incapacit de fixer, avec le pressiomtre, la longueur d u pieu sur laquelle agit F.

U n e autre srie d'essais concernant le frottement ngatif a t ralise aux Pays-Bas [8]. I l s'agis-sait, pour des sites diffrents, de sept pieux mouls en place, type V i b r o , un pieu tube acier et trois pieux V i b r o , comprenant des dispositifs de rduction de frottement ngatif (bitume ou ben-tonite). L es pieux traversaient 20 25 m de sols susceptibles de tassement et taient fichs dans des sables trs rsistants. Les surcharges en tte, uniformment rparties, atteignaient en moyenne 9 t/m 2 (4,50 m). L a valeur de F tait mesure par des appareillages situs lgrement au-dessus de l a couche rsistante ; l'interprtation que nous avons faite des mesures effectues concerne les efforts finaux mesurs et on a admis que l a distance tte de pieu-cel lule de mesure reprsente h c * .

Pour chaque pieu, connaissant donc h c , F, q 0 , R , on peut, sans difficult, calculer X l 'aide de la figure 5, puis aprs quelques ttonnements, calculer Ko tg S.

Pour les onze pieux tests, on a reprsent sur l a figure 9 le graphique donnant X en fonct ion de Ko tg S ; le point figuratif de l 'essai de Norvge y a t report et s ' inscrit trs correctement sur la courbe. L 'ensemble des rsultats est, sur le p lan qualitatif, parfaitement logique.

Coefficient d'accrochage X ' ,5

1,0

0,5

L Pieu 7 biti m

*^ ieu8^ aentonite

" l 1 1 I 1 1 1 1

11 bentonite

Pieu 9 I I 1 1

Pieu 10 bton

acier 5 I I I I

3ieux bton

ftT" Pi - *

et 6 3 et 4 I I I I

>u Norvge acier

I I I Fig. 9 - Relation entre X et K 0 tg .

K tg

8. - Chemisage des pieux

Choisissons u n cas de figure o l a hauteur d 'act ion du frottement F atteigne h c . O n sera tent, au n iveau du dimensionnement, de rduire F, ce qu i conduit souvent, dans l a pratique, prvoir un chemisage perdu efficace dispos sur l a hauteur h c des pieux. Nous supposerons, et c'est ce quo i on cherche parvenir, que cette chemise est idalement efficace, ce qu i revient assigner au coefficient X l a valeur oo. A u c u n effort n'est donc transmis au pieu le long de cette chemise ;

* Ce n'est qu'une hypothse, non vrifiable. Une exploitation complte aurait ncessit plusieurs niveaux de mesure de l'effort le long du pieu.

101

dans ces condit ions, b ien entendu, l a pro fondeur h c au sein d u sol , l a contrainte verticale vaut uniformment q 0 + y'hc. O n en conclut donc que d u frottement ngatif apparatra ce niveau et se dveloppera sur une hauteur h'c. La. chemise prvue ne peut donc se rvler totalement efficace et i l y a l i eu de s'inquiter de l'intensit des efforts transmis en une partie plus basse d u p ieu. O n montre aisment que l a nouvel le hauteur d 'act ion h ' c (compte part ir du niveau infrieur chemis) est donne par :

e m (X, b) h'c =

de forme identique (7).

Quant l a contrainte q (z, R ) , elle est reprsente entre h c et h'c par :

( Z ' R ) = m - ( b ) + ( * + ^ - "m 1 ) e ~ m ( Z _ h c )

M a i s si o n doit, vis--vis d u p ieu, considrer l 'ensemble q 9 + y ' h c comme l a surcharge, le terme r'hc joue le rle d'une surcharge pralable.

L a seule f ract ion agissante de l a surcharge est donc q 0 et on en dduit (7 bis) que F' = F * .

C e rsultat est important et tend montrer que le chemisage idal est en fait inuti le s ' i l n'est pas prvu sur toute l a hauteur H de sol compressible. I l est cependant ncessaire de nuancer lar-gement l a porte d'une telle conc lus ion. Nous n'avons, en effet, jamais fait intervenir au cours de cette tude, les notions de charge en tte de p ieu et de dplacement relatif sol-pieu, qu i peuvent modif ier trs largement le comportement qu i vient d'tre dcrit. O n se rapprochera probablement assez sensiblement d 'un tel comportement dans le cas de p ieux reposant au travers de sols compres-sibles, sur u n substratum pratiquement indformable. Dans l a mesure o h c est trs largement infrieur H , et si les condit ions de chargement imposent l ' annih i la t ion d u frottement ngatif, i l sera ncessaire de prvoir le chemisage efficace souhait sur l a hauteur totale H . P a r contre, dans le cas de p ieux flottants, i l en sera tout autrement.

III. LE FROTTEMENT NEGATIF SUR UN GROUPE LIMIT DE PIEUX

Nous avons, jusqu' prsent, raisonn sur u n mai l lage de p ieu suppos inf ini , avec, de mme, une surcharge q 0 uni forme et indfinie. L a ralit est diffrente et nous admettrons, dans u n premier stade, que l a surcharge q 0 reste indfinie, mais que le groupe de pieux, ceux-c i tant rgulirement

espacs, reste fini. On est amen rechercher, comme dans le cha-pitre II, l'lment de vo lume (relatif u n p ieu quelconque d u groupe), l'intrieur duquel on pour ra dterminer le comportement mcanique d u systme sol-pieu.

Pour le p ieu isol, cet lment est l 'ensemble g lobal indfini. P o u r deux pieux, i l est constitu du demi-espace indfini limit par l 'axe

y de symtrie des deux p ieux (fig. 10).

Fig. 1 0 P o u r quatre pieux, disposs suivant u n carr, c'est le quart de l 'espace g lobal (fig. 11).

Lorsque le nombre des pieux est trs grand, pour les p ieux centraux, le comportement est analogue au cas d u groupe indfini. P o u r ceux de l'extrieur, le comportement sera perturb. O n est tout naturel le-ment amen chois ir pour lment le vo lume dlimit autour de chaque pieu par l a surface, l i eu des points situs mi-distance des pieux. I l y a donc, par exemple, pour le cas de l a figure 12, trois types de p ieux : deux pieux centraux, quatre pieux d'angle, et

Fig. n six pieux extrieurs.

102

Choisissons u n pieu quelconque. Nous appellerons

1,5

1,0

0,5

\

\, \ x ( X d \ R ; \

I I I I I I I I I I I I I I I I 0,5 1.0 1,5 X d

et K v = o (X d/R).

Application numrique

O n considre des groupes successifs de pieux, traversant une trs forte paisseur H de so l compres-sible (telle que h c , pour un pieu isol, soit infrieur H ) . Les paramtres du problme sont :

Ko tg 8 = 0,282 ; y ' = 1 t/m 2 ; R = 0,26 m ; ^ = 5 (soit ^- = 4,4), X = 0,1 ; q 0 = 10 t/m 2 . R R

L e ca lcu l de F (1), F (2) et F (3) donne respectivement F (1) = 10 tonnes ; F (2) = 28 tonnes ; Fn (3) = 115 tonnes. Ces trois valeurs permettent de calculer F pour des groupes successifs de pieux.

Schma du Groupe V a l e u r de F

par type de pieu

F n moyen par p i eu (tonne)

(1) Fn = 4 F (3) = 460 t 460

(1) 1 (1) Fn = 2 F , (3) + 2 F (2) = 286 t 286

(1) 1 (2) ! (1) p ieu pieu 1 Fn = 2 F (3) + 2 F (2) = 2 F = 4 F (2) = 112 t

286 t 228

(1) 1 (2) 1 (1) p ieu 1 Fn = Fn (1) + 2 Fn (2) + Fn (3) = 180 t 145 (1) 1 (2) 1 (1) p ieu 2 Fn = 2 F . (1) + 2 Fn (2) = 76 t (1) 1 (2) 1 (2) (3) 1 (1) 1 (2) 1

(1) (2) (1)

pieu p ieu pieu

1 Fn = 180 t 2 F = 76 t 3 Fn = 40 t

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IV. LE FROTTEMENT NEGATIF INDUIT SUR UN GROUPE LIMITE DE PIEUX PAR UNE CHARGE DE GOMTRIE QUELCONQUE

O n convient de dfinir les lments de vo lume relatifs chaque pieu, de manire identique celle expose au chapitre III.

O n appelle : q 0 i r (z, p, 9 ) l a contrainte induite par le rembla i en l 'absence de pieux,

q (z, 0, 9 ) l a contrainte verticale dans le sol , en prsence du frottement ngatif.

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E n outre, o n choisit une l o i de var iat ion de cette contrainte, de type :

R

q (z, p, 9 ) q (z, R, 9 ) = [q , (z, p, 9 ) + Y z q (z, p, 9 ) ] 1 e R X

L e dveloppement des calculs, avec l'hypothse d'une contrainte radiale uni forme dans le p ieu (mais variant avec 9 ) , conduit l'quation diffrentielle :

n, e 1 P ~ R ) R l J ( z > P , ? ) e l * p d p

m [X, b ( 9 ) ] q (z, R , 9 ) + ^ (z, R , 9 ) = y ' + q ( 1 0 )

8 z -b -x p ~ R e R pdp

soit m [X, b ( 9 ) ] q (z, R , 9 ) + ^ (z, R , 9 ) = Y ' + q 0 F (z, 9 )

E n intgrant cette quation diffrentielle entre 0 et z, on obtient :

ou

$0 q ( z'R'* } d z + iTIxW [q ( z'R' ?)Jo = + ^ S F ( Z'? ) d Z

^ q (z, R , 9 ) dz = m ^ |V z q (z, R , 9 ) + q , (0, R , 9 ) + q . ^ F (z, 9 ) d z j S i pour chaque gnratrice du pieu l a hauteur d 'act ion maximale du frottement ngatif h c est atteinte, c'est--dire si v 'z = q (z, R, 9 ) , alors q est proportionnel au premier membre, qui , l u i -mme, reprsente, un facteur prs, et une intgration de 0 2 TC prs, le frottement ngatif le long du pieu.

I l sera videmment souvent impossible, mme pour des distributions simples de l a charge sur le so l , d 'obtenir sous forme analytique simple l 'expression de l a fonct ion F (z, 9 ) et mme dans ce cas, de rsoudre l'quation diffrentielle qu i l a contient. O n pourra rechercher pour l 'expression de o-r (z, p, 9 ) des formes analytiques approches simples pouvant conduire une solut ion aise de l'quation diffrentielle.

Exemp l e d ' app l i ca t i on ( f ig . 15)

O n considre un demi-rembla i inf ini , recouvrant un ensemble infiniment tendu de pieux rguli-rement espacs. O n s'intresse un p ieu situ en dehors de l 'emprise de la surcharge. L a contrainte en un point P de l 'axe du pieu, situ l a distance L d u rembla i et l a cote z vaut :

o-r (P) = f arc tg -y- + m ^ L L 2 + z 2

O n admettra, pour une surface S relativement peu tendue (cas le plus souvent rencontr pour les espacements courants entre pieux) que pour toute cel le-ci , l a contrainte 0-,, la cote z, conserve l a mme valeur.

D 'autre part, comme ^ ne se prte pas l'intgration de l'quation diffrentielle, on a chois i

4 z

de l a reprsenter par l a fonct ion approche s imple 5i e * L . TtL

L a so lut ion est alors fournie par : _ 4 z

m ( X , b ) q ( z , R ) + - ^ ( z , R ) = y ' + ^ e

4 z

/ n \ Y ' Y ' 2q0 \ m z 2q0 ~ ~ ^ f soit q (z, R ) = + M ; e + ^ - e L

m \ m TC m L 4 / TC m L 4 h c , hauteur maximale d 'act ion de F , est dtermine par q (hc, R ) = y ' h c . O n dmontre aisment

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F (t)

Fig. 15

40 t 4 0 -

q = 10 t / m ' , I

^ 2 0 30 L (m)

, * * 4 4 4 illlilii1111i , I ^ 2 0 30 L (m)

0

5 -

9,25 m 10

(m) Fig. 16

que cette quation a toujours deux racines en h c , dont la premire vidente hc = 0. L a seconde qu i nous intresse, tend vers 0 si q0 0 quelle que soit L (racine double pour q 0 = 0) et de mme tend vers 0 si L oo quel que soit q 0 .

Sur une hauteur de pieu z, F atteindra :

2 % R Ko te 8 [ , Y Z Fn (Z ) = m (X, b) q ( z , R ) + f ( l

4_z_N

E n part icul ier , pour z = hc, 4hc

2 R K S / ^ F n (hc) = ( i " ~2~ \^ e ^ j> qu i s'annule bien pour q 0 = 0 et pour L co.

Si par contre, on choisit un pieu, situ sous l 'emprise d u rembla i , la contrainte q (z, R ) vaut alors :

4 z

q ( z , R ) = ^ + U o + q o | - - 4 - ^ i e - m Z m \ i m L 4 m 2qo

7t m L 4 1L

L a solut ion q (hc, R ) = Y ' h c n'admet, dans ce cas, qu'une seule racine et

2 7 c R K t g S q o / * Fn (hc) = ,. . . p - ~ 1 + e T C L

m (X, b) 2 \

O n voit que pour L = 0, les deux expressions de F n conduisent Fn = 2 T : R Ko tg 8 qo

m ( X , b ) T

O n a reprsent sur l a figure 16, l a var iat ion de h c et de F n avec L pour un pieu (R = 0,26 m)

d 'un groupe rgulier dfini par = 5 (entre-axe entre pieux d = 1,15 m) ; les autres caract-R

ristiques sont q 0 = 10 t/m 2 , Y ' = 1 t/m 3 , Ko tg 8 = 0,26 et X = 0,1.

O n a dj vu en II.7, que pour ce mme pieu avec un rembla i indfini, F = 40 t et h c = 9,25 m .

C O N C L U S I O N

L ' imper fec t ion actuelle des mthodes de ca lcu l du frottement ngatif nous a conduits introduire la not ion d'accrochage du sol soumis aux tassements autour du ft d u pieu. L ' appar i t i on mme du phnomne de frottement ngatif, entranant des contraintes dans les lments de l a fondat ion, ne peut en effet se manifester sans un dchargement du sol immdiatement autour du pieu. L e coefficient d'accrochage X, variant de zro l ' in f in i , dtermine le degr plus ou moins fort de l 'accrochage. I l conduit , tout naturellement, l a dfinition de l a hauteur maximale d 'act ion d u

* L reprsente la valeur absolue de l'abscisse du centre du pieu sur l'axe orient O L ; h c dans un cas ou l'autre dpend 4

videmment de la valeur algbrique de L. L'quation diffrentielle (11) admet une solution particulire pour L = , les conclusions concernant h c et F n restant inchanges.

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frottement ngatif. O n a p u montrer, part ir de rsultats d'essais en vraie grandeur, l 'a l lure de la relat ion l iant X au terme Ko tg 8. D'autres essais pourront permettre de mieux prciser les valeurs de ces coefficients en vue des applications pratiques.

En f in , le ca lcu l prvoit l a proportionnalit entre frottement ngatif engendr et degr de conso-l idat ion de l a charge transmise au sol , prvision qu i a p u tre vrifie lors d 'un essai effectu au Canada .

B I B L I O G R A P H I E

[1] Service d'tudes techniques des routes et auto-routes et Laborato ire des Ponts et Chausses, Fondations courantes d'ouvrages d'art, F O N D . 72, oct. 72.

[2] Z E E V A E R T , Rduction de la capacit portante des pieux due au frottement ngatif, F i r s t pan ame-r i can confrence of soils mechanics, Mexico, sept. 1959.

[3] Rgles d'utilisation des techniques pressiom-triques pour le calcul des fondations, Brochure D/60/67, oct. 1967.

[4] G R E S I L L O N J . -M. , Etude des fondations profondes en milieu pulvrulent, Fac . des Sciences de l'Universit de Grenoble, sept. 1970.

[5] D E B E E R E . et W A L L A Y S , Quelques problmes

que posent les fondations sur pieux dans les zones portuaires, La technique des travaux, nov. dc. 1968, p. 375-384.

[6] J O H A N N E S S E N et B J E R R U M L., Measurement of the compression on a steel pi le de rock due to settlement of the surrounding clay, Norwegian Geotechnical Institute, Oslo 1965.

[7] B O Z O Z U K M., Downdrag measurement on a 160 F T floating, P ipe test pi le i n mar ine clay, Canadian geotechnical journal, vo l . 9, n" 2, ma i 1972, p. 127-136.

[8] B R O N S K.-F., A M E S Z A . - W . et R I N C K J . , Frotte-ment ngatif et tassements des fondations sur pieux, T Congr. Int. Mec. Sols Trav . Fond . , Mexico 1969. Sance spciale.

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