blpc 256-257 pp 163-178 semblat

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BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSÉES - 256-257 JUILLET-AOÛT-SEPTEMBRE 2005 - RÉF. 4549 - PP. 163-178 163 Modélisation de la propagation d’ondes et de l’interaction sol-structure : approches par éléments finis et éléments de frontière Jean-François SEMBLAT Laboratoire Central des Ponts et Chaussées Patrick DANGLA LCPC/LMSGC, Institut Navier La modélisation numérique de la propagation d’ondes et de l’interaction dynamique sol-structure est abordée à travers deux méthodes différentes : la méthode des élé- ments finis et la méthode des éléments de frontière. L’influence de la discrétisation spatiale sur la simulation de propagation d’ondes (1D et 2D) est discutée en tenant compte du type d’éléments finis (triangles, quadrilatères, éléments de haut degré). La modélisation numérique de l’amortissement est également abordée (amortissement de Rayleigh). Un exemple de propagation d’ondes dues à la vibration d’une fondation est ensuite traité par la méthode des éléments finis. Pour la méthode des élé- ments de frontière, ses potentialités sont rappelées et des résultats obtenus avec des modèles 2D et 3D sont proposés. Plusieurs exemples d’interaction dynamique sol-structure (bâtiment, tunnel) sont ensuite traités. DOMAINE : Sciences de l’ingénieur. MODELING WAVE PROPAGATION AND SOIL-STRUCTURE INTERACTION: FINITE ELEMENT AND BOUNDARY ELEMENT APPROACHES The numerical modeling of both wave propagation and dynamic soil-structure interaction will be approached in this article by means of two distinct methods: the finite element method, and the boundary element method. The influence of spatial discretization on the simulation of wave propagation (both 1D and 2D) will be examined through incorporating the type of finite element (triangles, quadrilaterals, high-order elements). The numerical modeling of damping will also be introduced (Rayleigh damping). An example of wave propagation due to foun- dation vibration will also be analyzed by application of the finite element method. As for the boundary element method, the possibilities offered will be recalled, along with some results obtained from both 2D and 3D models. Several examples of dynamic soil-structure interaction (building, tunnel) will ultimately be discussed. FIELD: Engineering sciences. RÉSUMÉ ABSTRACT L’étude de la propagation d’ondes intéresse différents domaines liés au génie civil : génie para- sismique, isolation vibratoire, contrôle non destructif, etc. Les problèmes de propagation d’ondes sont caractérisés par différents phénomènes [1, 2] : dispersion, diffraction, amortissement, conver- sions de type d’ondes, etc. Toutes ces caractéristiques sont rarement accessibles directement par l’expérience. Il est généralement nécessaire de recourir à des expérimentations modèles (matériaux modèles, essais à échelle réduite [3, 5], etc.) ou d’utiliser le calcul numérique et/ou des méthodes inver- ses [6, 7] afin de déterminer les paramètres caractérisant le matériau et les ondes qui s’y propagent. La validation des calculs de propagation d’ondes peut être réalisée en confrontant les résultats numé- riques à des résultats expérimentaux, mais la détermination conjointe des paramètres de comportement du matériau et des caractéristiques de propagation d’ondes est souvent peu aisée. La validation des modèles numériques de propagation d’ondes d’après des solutions analytiques est aussi envisageable dans le cas de milieux de géométrie et à comportement simples. Plusieurs méthodes numériques permettent de simuler les phénomènes de propagation d’ondes : différences finies [8, 10], éléments finis [11, 12], éléments de frontière [13, 14], éléments spectraux [15, 16]. Ces méthodes numériques présentent des avantages et des inconvénients différents. INTRODUCTION

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  • BULLETIN DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSES - 256-257JUILLET-AOT-SEPTEMBRE 2005 - RF. 4549 - PP. 163-178

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    Modlisation de la propagation dondes et de linteractionsol-structure : approches

    par lments finis et lments de frontire

    Jean-Franois SEMBLATLaboratoire Central des Ponts et Chausses

    Patrick DANGLALCPC/LMSGC, Institut Navier

    La modlisation numrique de la propagation dondes et de linteraction dynamique sol-structure est aborde travers deux mthodes diffrentes : la mthode des l-ments finis et la mthode des lments de frontire. Linfluence de la discrtisation spatiale sur la simulation de propagation dondes (1D et 2D) est discute en tenant compte du type dlments finis (triangles, quadrilatres, lments de haut degr). La modlisation numrique de lamortissement est galement aborde (amortissement de Rayleigh). Un exemple de propagation dondes dues la vibration dune fondation est ensuite trait par la mthode des lments finis. Pour la mthode des l-ments de frontire, ses potentialits sont rappeles et des rsultats obtenus avec des modles 2D et 3D sont proposs. Plusieurs exemples dinteraction dynamique sol-structure (btiment, tunnel) sont ensuite traits.

    DOMAINE : Sciences de lingnieur.

    MODELING WAVE PROPAGATION AND SOIL-STRUCTURE INTERACTION: FINITE ELEMENT AND BOUNDARY ELEMENT APPROACHES

    The numerical modeling of both wave propagation and dynamic soil-structure interaction will be approached in this article by means of two distinct methods: the finite element method, and the boundary element method. The influence of spatial discretization on the simulation of wave propagation (both 1D and 2D) will be examined through incorporating the type of finite element (triangles, quadrilaterals, high-order elements). The numerical modeling of damping will also be introduced (Rayleigh damping). An example of wave propagation due to foun-dation vibration will also be analyzed by application of the finite element method. As for the boundary element method, the possibilities offered will be recalled, along with some results obtained from both 2D and 3D models. Several examples of dynamic soil-structure interaction (building, tunnel) will ultimately be discussed.

    FIELD: Engineering sciences.

    RSUM ABSTRACT

    Ltude de la propagation dondes intresse diffrents domaines lis au gnie civil : gnie para-sismique, isolation vibratoire, contrle non destructif, etc. Les problmes de propagation dondessont caractriss par diffrents phnomnes [1, 2] : dispersion, diffraction, amortissement, conver-sions de type dondes, etc. Toutes ces caractristiques sont rarement accessibles directement parlexprience. Il est gnralement ncessaire de recourir des exprimentations modles (matriauxmodles, essais chelle rduite [3, 5], etc.) ou dutiliser le calcul numrique et/ou des mthodes inver-ses [6, 7] afin de dterminer les paramtres caractrisant le matriau et les ondes qui sy propagent.La validation des calculs de propagation dondes peut tre ralise en confrontant les rsultats num-riques des rsultats exprimentaux, mais la dtermination conjointe des paramtres de comportementdu matriau et des caractristiques de propagation dondes est souvent peu aise. La validation desmodles numriques de propagation dondes daprs des solutions analytiques est aussi envisageabledans le cas de milieux de gomtrie et comportement simples. Plusieurs mthodes numriquespermettent de simuler les phnomnes de propagation dondes : diffrences finies [8, 10], lmentsfinis [11, 12], lments de frontire [13, 14], lments spectraux [15, 16]. Ces mthodes numriquesprsentent des avantages et des inconvnients diffrents.

    INTRODUCTION

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    La mthode des lments finis est trs puissante car elle permet de modliser des gomtries et descomportements complexes. Pour les problmes de propagation dondes, elle prsente toutefois deuxinconvnients principaux : la rflexion dondes parasites sur les frontires du domaine maill et ladispersion numrique des ondes. La dispersion numrique provoque une variation artificielle de lavitesse de propagation des ondes en fonction des caractristiques du modle dlments finis. Cesdeux aspects de la modlisation numrique par lments finis de la propagation dondes serontabords dans la suite.La mthode des lments de frontire prsente lavantage de permettre une modlisation aise de lapropagation dondes en milieu infini ou semi-infini. Les conditions de radiation des ondes linfinisont en effet directement incluses dans la formulation. Par ailleurs, la mthode des lments de fron-tire rsout le problme aux interfaces entre milieux de caractristiques homognes : elle est donclimite des milieux faiblement htrognes, mais permet un gain sensible pour la modlisation dela propagation bidimensionnelle (interfaces unidimensionnelles) ou tridimensionnelle (interfacessurfaciques). Lapplication de cette mthode la propagation dondes sismiques dans des formationssdimentaires sera discute dans cet article.Afin de bnficier des avantages de ces deux mthodes, il peut tre intressant de les combiner (cou-plage lments finis-quations intgrales [14]).

    Propagation dondesDans un milieu viscolastique linaire, lquation des ondes unidimensionnelle peut sexprimer dansle domaine des frquences de la manire suivante :

    (1)

    o u est le dplacement, x la distance, la pulsation, la masse volumique et E*() le module com-plexe [1, 17]. La solution du problme peut alors prendre la forme suivante [12] :

    (2)

    o k*() est le nombre donde complexe tel que : (3)

    Outre le premier terme classique de dphasage, ce nombre donde complexe comprend un termeimaginaire damortissement. Ces deux termes (dphasage, amortissement) dpendent a priori de lafrquence. La dpendance entre la vitesse de phase c() et la frquence traduit la dispersion mat-rielle au sein du milieu [1, 12]. Du point de vue numrique, ces deux proprits ont leurs quivalentssouvent dnomms dispersion numrique et amortissement numrique. La dispersion numriquefait dpendre la vitesse de propagation de londe des caractristiques du modle (schma dintgra-tion en temps, taille et type des lments, etc.). Lamortissement numrique correspond au mmetype de dpendance pour ce qui concerne lamplitude de londe [18].

    Dispersion numriqueDans le domaine de la dynamique des structures, deux types derreurs numriques peuvent tre tu-dis [18] : dune part lerreur relative de priode lie lestimation de la priode de vibration de lastructure et, dautre part, lamortissement algorithmique correspondant une rduction artificiellede lamplitude due un amortissement purement numrique. Il est possible dtudier et de quantifierces erreurs numriques. Lerreur relative de priode varie suivant le schma dintgration en tempsconsidr [18]. Pour les problmes de propagation dondes, lerreur relative de priode apparat travers lestimation de la vitesse de propagation et est appele dispersion numrique. La propagationdune onde dans un schma numrique donn dpend, par exemple, de la taille des lments, duschma dintgration, du type dlment, etc. Ce phnomne est appel dispersion numrique enrfrence la dispersion physique qui fait dpendre la vitesse de propagation de la frquence [11, 12,

    MODLISATION NUMRIQUE DE LA PROPAGATION DONDES PAR LMENTS FINIS

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    19-21]. Les phnomnes de propagation peuvent tre dlicats modliser par diffrences finies oulments finis car lerreur numrique tend augmenter au cours de la propagation de londe.La solution numrique de lquation (1) peut scrire sous une forme similaire celle de la solutionthorique (2) :

    (4)

    o uh et kh sont respectivement le dplacement et le nombre donde approchs numriquement.Plusieurs travaux thoriques concernent lanalyse de lerreur faite dans lestimation numrique dekh par rapport au nombre donde thorique k [19, 20]. Ihlenburg et Babuka [20] proposent, dans lecas dlments finis interpolation linaire, la relation suivante :

    (5)

    o K est la frquence normalise dpendant du nombre donde thorique k sous la forme :K = k h = h/c.Lexpression (5) montre que la solution numrique de lquation (1) correspond un phnomne depropagation seulement pour les frquences normalises infrieures la frquence de coupure K0[20]. Pour ces valeurs de frquence, londe numrique se propage cependant plus rapidement ouplus lentement que la solution thorique. Il est donc ncessaire danalyser la dispersion numriquedes ondes et de quantifier lerreur numrique qui en rsulte.

    valuation de la dispersion numrique : cas 1D et 2DPour analyser lerreur numrique dans les problmes de propagation donde, on considre toutdabord un cas unidimensionnel o le milieu est homogne, lastique, linaire et isotrope (pas de dis-persion physique). Le tableau I indique le nombre dlments du modle unidimensionnel danschaque cas et la taille dlment correspondante h. Dans la dernire colonne, le rapport h/ carac-trise la taille dlment normalise par rapport la longueur donde .

    La figure 1 donne la forme de londe diffrents instants au cours de la propagation dans chacun descas prsents dans le tableau I. Ces courbes montrent clairement que la taille des lments influenceconsidrablement lerreur numrique. Les maillages grossiers conduisent des rsultats numriquessous-estimant les amplitudes, mais surestimant les vitesses (de groupe et de phase). Cest la cons-quence pratique de la dispersion numrique qui peut tre limite en choisissant une taille dlmentadapte la longueur donde du problme. La taille des lments est classiquement prise gale audixime ou au vingtime de la longueur donde. Cependant, comme le montre la figure 1 dans lescas 3 (200 lments, h/ = 1/10) et 5 (400 lments, h/ = 1/20), lerreur numrique redevient signi-ficative au-del dune distance de propagation denviron 5 10. En revanche, pour le cas 6(800 lments, h/ = 1/40), lerreur numrique est pratiquement nulle.Lapprciation des phnomnes de dispersion numrique est assez simple dans le cas unidimen-sionnel. En deux dimensions, ces phnomnes sont plus dlicats analyser. Comme lindiqueBamberger [19], outre les caractristiques mcaniques du milieu de propagation, il est ncessaire deprendre en compte le type donde, langle dincidence, le type de maillage (triangles, quadrilatres).Des relations de dispersion sont proposes par Bamberger [19] et Ihlenburg [20] pour diffrents typesde discrtisation. Les expressions analytiques des vitesses de phase et de groupe des ondes numri-ques sont donnes pour plusieurs types dondes [19]. Ces relations de dispersion permettent de cons-truire les courbes de la figure 2 qui donnent les vitesses de phase adimensionnelles des ondes P etdes ondes S dans un maillage bidimensionnel. La vitesse de phase adimensionnelle est le rapport

    TABLEAU IFinesse du maillage et rapport taille/longueur dondes pour les diffrents cas tudis

    Nombre dlments 50 100 200 300 400 800

    Taille dlments h 2 m 1 m 0,5 m 0,333 m 0,25 m 0,125 m

    Rapport h/ 2/5 1/5 1/10 1/15 1/20 1/40

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    entre la vitesse des ondes numriques et la vitesse de phase thorique. La figure 2 correspond deslments quadrilatres interpolation linaire. Aprs lexemple essentiellement qualitatif du para-graphe prcdent, ces rsultats permettent de quantifier lerreur numrique en fonction du rapporttaille de maille sur longueur donde pour diffrentes valeurs dangle dincidence.Daprs les courbes de la figure 2, il est possible dtablir quelques conclusions simples pour lesmaillages lments quadrilatres :

    la dispersion numrique (et donc lerreur numrique) est dautant plus importante que la taille demaille est grande (par rapport la longueur donde) ;

    Figure 1Analyse de la dispersion numrique

    unidimensionnelle pour les problmesde propagation dondes

    (profil diffrents instants).

    Figure 2Dispersion numrique dondes P et S (maillage 2D quadrilatres), daprs Bamberger [19].

    Vite

    sse

    de p

    hase

    1,5

    1,4

    1,3

    1,2

    1,1

    1,0

    1,5

    1,4

    1,3

    1,2

    1,1

    1,0

    0,0 0,00,1 0,10,2 0,20,3 0,30,4 0,40,5 0,5

    Onde P Onde S

    Rapport taille de maille / longueur d'onde

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    lerreur est maximale pour une incidence nulle (jusqu 40 % en onde P et 50 % en onde S) et mini-male pour une incidence 45 degrs (pour ce schma numrique particulier) ;

    pour les faibles valeurs de taille de maille, les ondes P sont plus sensibles langle dincidence queles ondes S.Lensemble de ces rsultats est donn pour un coefficient de Poisson = 0,25 et pour une valeur

    donne du rapport = t/t* = 1 avec t* = h/ (t est le pas de temps utilis pour le calcul ;VP et VS sont respectivement les clrits des ondes P et S).

    Pour un maillage en lments triangulaires (triangles rectangles), linfluence de lincidence est diff-rente suivant que langle est positif ou ngatif (il ny pas de symtrie). Dans le cas des ondes P, il nya aucune dispersion numrique pour une incidence = 45 degrs (vitesse de phase constante). Lesangles dincidence donnant la dispersion numrique la plus faible sont diffrents pour les ondes P etles ondes S [12, 19].

    Efficacit dlments finis de haute prcisionLa dispersion numrique est galement influence par le degr dinterpolation polynomiale deslments finis considrs. Les lments finis de degr dinterpolation lev sont connus pour leur trsbonne prcision dans les calculs dlastoplasticit. En propagation dondes, plusieurs travaux tho-riques proposent des expressions analytiques de lerreur numrique exprime en termes de dispersion[11, 19, 20]. Les lments finis de degr dinterpolation plus lev conduisent gnralement unedispersion numrique plus faible [22].Afin de comparer lefficacit dlments finis de diffrents degrs dinterpolation, un cas de propa-gation donde unidimensionnelle est tudi en dtail dans [21]. Trois types dlments (triangulaires)diffrents sont considrs : des lments linaires trois nuds, des lments quadratiques sixnuds et des lments quinze nuds de degr dinterpolation gal quatre [18]. Pour que lacomparaison soit reprsentative, le nombre dlments de chacun des maillages par lments finiscorrespondant est choisi de telle sorte que le nombre de nuds total dans la direction de propagationsoit le mme pour les trois types dlments [21]. Il savre ainsi que la proportionnalit du nombredlments correspond au rapport entre les degrs dinterpolation des trois types dlments. Lestrois maillages sont en effet constitus de 80 lments linaires pour le premier (degrdinterpolation : 1), 40 lments pour le deuxime (degr dinterpolation : 2), et 20 lments pour letroisime (degr dinterpolation : 4). Ainsi un maillage constitu dlments de degr dinterpolationdeux fois suprieur comportera deux fois moins dlments pour un nombre de nuds total dans ladirection de propagation identique.Les rsultats obtenus [21] montrent que, pour les lments linaires (T3), la dispersion numrique esttrs forte. Pour les lments quadratiques (T6), les rsultats sont bien meilleurs, mais au-del dunecertaine distance le cumul derreur devient significatif. Dans le cas des lments degr dinterpola-tion lev (T15), la dispersion numrique est pratiquement nulle. nombre de nuds identiquesdans la direction de propagation, la simulation utilisant ces lments donne donc de trs bons rsul-tats. Lefficacit dlments finis de degr dinterpolation lev vis--vis des phnomnes de disper-sion numrique semble donc excellente.

    Validation des calculs en milieu amortissantLanalyse des phnomnes de propagation en milieu amortissant ncessite la mise en uvre dunmodle damortissement adapt. Un des modles damortissement trs usit en dynamique est lemodle d Rayleigh qui consiste construire une matrice damortissement comme la combinaisonlinaire des matrices de masse et de rigidit [18, 23]. Le principal intrt de cette formulation est deconduire une matrice damortissement diagonale dans la base des modes propres rels [24]. En pro-pagation dondes, ce modle damortissement de Rayleigh correspond un modle rhologique deMaxwell gnralis [25]. Cette quivalence permet de valider les calculs de propagations dondes parlments finis laide de rsultats analytiques ou semi-analytiques obtenus avec ce modle rholo-gique. Cette validation nest toutefois possible que pour des valeurs damortissement faibles mod-res [25]. Des validations analytiques semblables peuvent tre ralises lorsque les caractristiquesdamortissement correspondent celles dun modle rhologique connu.Les courbes de la figure 3 proposent une comparaison des rsultats analytiques obtenus partirdun modle de Maxwell gnralis avec les rsultats issus de calculs par lments finis

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    incluant de lamortissement de Rayleigh. La concidence entre les deux approches est bonnelorsque le coefficient damortissement ne dpasse pas 20 %. Cette interprtation rhologique delamortissement de Rayleigh permet en outre une dtermination aise des deux coefficientsutiliss dans la formulation partir de paramtres de comportement dtermins exprimenta-lement [25].Dans le cas des milieux amortissants, la dispersion des ondes est la fois dorigine physique (du faitde lamortissement) et dorigine numrique (du fait de la discrtisation). La validation des calculs depropagation dondes doit donc tenir compte de ces deux aspects. Lamortissement des ondes peut enoutre masquer lerreur due la dispersion numrique [12].

    Traitement des rflexions aux bords du modleLa modlisation de la propagation dondes par lments finis ncessite par ailleurs de tenir comptedes conditions aux limites du problme. Dans la ralit, la propagation dondes sismiques se produitdans des milieux dextension pratiquement infinie (par rapport lchelle danalyse du problme) etil est donc ncessaire de tenir compte des conditions de radiation des ondes qui en rsultent. Dansun modle par lments finis, il faut alors mettre en uvre des traitements particuliers sur les limitesdu modle (frontires absorbantes, lments infinis) afin de rduire les rflexions dondes parasitessur les frontires du domaine discrtis [24, 26-28].

    Lexemple de la figure 4 prsente les rsultats de la modlisation par lments finis de la propagationdondes dues la vibration dune fondation (module DYNI de CESAR-LCPC [29]). Le modle parlments finis est axisymtrique ; il comprend 2 600 lments quadrilatres et la rsolution est faitepar intgration directe dans le temps.Sur la figure 4, les rsultats obtenus deux instants diffrents sont reprsents sous deux formes :diagrammes disovaleurs de dplacement (centre) et champ de dplacement sous forme de vecteurs(droite). linstant T2, les diagrammes disovaleurs montrent clairement les ondes de compression,qui se propagent plus rapidement, et les ondes de cisaillement, de clrit plus faible. Sur la figure 4,les rsultats en champ de dplacement (droite) indiquent que, dans une zone situe prs de lasurface, le mouvement dcrit une ellipse. Ce type de mouvement traduit la prsence dondes deRayleigh dont lamplitude dcrot rapidement avec la profondeur [30].Un exemple de modlisation par lments finis de la propagation dondes tridimensionnelle est pro-pos dans [31] mais, comme les lments doivent tre petits pour limiter la dispersion numrique, cetype de simulation savre extrmement coteux en volume de calcul.

    Figure 3Comparaison amortissement de Rayleigh/modle de Maxwell gnralis (daprs [25]).

    = 26%

    0,00,0 0,0

    0,25

    0,5 0,5

    0,5

    1,0 1,0

    0,75

    1,5 1,5

    1,0

    2,0

    Am

    plitu

    de

    Temps (ms) Temps (ms)

    = 5%

    Amortissement de Rayleigh Rsultats analytiques

    EXEMPLE : PROPAGATION DONDES DUES LA VIBRATION DUNE FONDATION

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    Outre la mthode des lments finis, la mthode des lments de frontire est particulirement int-ressante pour modliser les problmes de propagation dondes [13, 32-34]. Cette mthode repose surla connaissance de solutions lmentaires des quations de llastodynamique dans des domainesinfinis (solutions connues sous le nom de fonctions de Green). Elle permet de saffranchir, totalementou partiellement, des phnomnes de rflexion parasite sur les frontires du domaine discrtis. Enrevanche, elle ncessite la mise en uvre de mthodes de rgularisation dintgrales singulires[13, 35] et est essentiellement adapte aux milieux comportement linaire. Pour les applicationspratiques, cette mthode permet par exemple de modliser de faon plus rigoureuse la propagationdondes sismiques dans les sols ou mme lchelle dun bassin sdimentaire.Ces mthodes sont dveloppes dans CESAR-LCPC depuis maintenant plusieurs annes et permet-tent de rsoudre des problmes difficiles traiter rigoureusement avec la mthode des lments finis.Plus gnralement, la mthode des lments finis et la mthode des quations intgrales de frontireont des spcificits trs complmentaires. Ainsi, il est possible de les combiner afin de bnficier deleurs avantages respectifs [14].

    Validation daprs une solution analytiqueLa diffraction dune onde plane par une cavit cylindrique peut par exemple tre totalement caractri-se de faon analytique. Dans le cas dune onde SH plane se propageant de gauche droite, la figure 5donne, en trait pointill, le dplacement calcul analytiquement [2] suivant plusieurs directions autourde la cavit. Quant la rsolution numrique du problme (symboles), elle est ralise par la mthodedes lments de frontire dans le domaine des frquences laide du module DYNF de CESAR-LCPC[29]. Comme la mthode des lments de frontire permet de modliser de faon rigoureuse les milieuxdextension infinie, les rsultats analytiques et numriques concident parfaitement.

    Figure 4Modlisation par lments finis de la propagation dondes dues la vibration dune fondation (modle (gauche), isovaleurs de dplacement (centre) et champ de dplacement (droite).

    t

    F(t)

    T 1

    T 2 LCPC

    LCPC

    T 1

    T 2

    Modle axisymtrique

    2600 lments

    100 pas de temps

    onde de

    Rayleigh

    F

    MODLISATION NUMRIQUE DE LA PROPAGATION DONDES PAR QUATIONS INTGRALES DE FRONTIRE

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    Une telle comparaison serait plus difficilement envisageable avec la mthode des lments finis carcela ncessiterait la mise en uvre de techniques particulires comme les frontires absorbantes[24, 27, 28]. La validation dans des cas plus gnraux (gomtrie complexes, milieux htrognes,caractristiques de la sollicitation, etc.) peut savrer extrmement dlicate. Des validations pour desproblmes de propagation dondes en milieu htrogne [7], pour la mthode des lments finis, ouen trois dimensions [13], pour la mthode des lments de frontire, sont par exemple disponibles.Une analyse raliste de propagation dondes sismiques est par ailleurs propose plus loin.

    Propagation dondes sismiques dans un bassin sdimentaire 2D laide de la mthode des lments de frontire, lamplification des ondes sismiques (ou effets desite ) peut tre tudie numriquement en tenant compte de lextension infinie du milieu de propa-gation. Pour ce type de problmes, il est pratiquement indispensable de recourir de telles mthodes.La pertinence des rsultats numriques obtenus pourra alors tre analyse partir denregistrementssismiques raliss in situ.Les effets de sites sismiques conduisent une amplification locale importante du mouvement sismi-que [37-44]. Cette amplification du mouvement se produit essentiellement dans des zones de rem-plissage alluvionnaire dont les caractristiques (gomtrie, proprits mcaniques) rgissentlampleur du phnomne [45-53].Dans le cas de Nice, la figure 6 donne les isovaleurs du facteur damplification dans le remplissageet le substratum pour diffrentes valeurs de frquence en considrant une onde SH incidence ver-ticale (mouvements faibles). Lamplification apparat clairement la surface du remplissage et elleprend une valeur maximale de 15,0 pour une frquence de 1,6 Hz. Cest dans la partie la plus paissedu remplissage que lamplification est la plus forte. Toutefois, pour la frquence la plus leve(f = 2,0 Hz), le facteur damplification dans la zone de remplissage la plus mince augmente sensible-ment (longueurs donde plus faibles frquence plus leve).Les courbes amplification-frquence mesures sur le site de Nice sont prsentes sur la figure 7(fuseau des mesures exprimentales en gris, valeur moyenne en trait fin). Pour un remplissagehomogne, les rsultats numriques obtenus par la mthode des lments de frontire laide dunmodle bidimensionnel [36] correspondent trois valeurs diffrentes de module de cisaillement (1,2 et 3) de la couche de surface. La relation amplification-frquence est bien restitue par les simu-lations numriques et le niveau damplification maximal est bien estim pour le module de cisaillementle plus faible (3). partir de ce modle bidimensionnel, il est mme possible, en considrant diff-

    Figure 5Diffraction dune onde plane SH par une cavit cylindrique : comparaison analytique/numrique (les valeurs de dplacementsont rapportes lamplitude de londe incidente et donc adimensionnelles).

    1,0

    0,9

    0,8

    0,7

    0,6

    = 45 = 901,2

    1,0

    0,8

    1,4

    = 1351,4

    1,0

    0,6

    1,8

    0,86

    0,82

    0,74

    0,78

    = 0

    1,2

    0,8

    0,46 8 10 12 14

    6 8 10 12 14 6 8 10 12 14

    6 8 10 12 14

    6 8 10 12 14

    1,6

    2,0

    = 180

    Solution analytique Solution numrique

    Distance (m) Distance (m)

    Dp

    lace

    men

    tD

    pla

    cem

    ent

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    rents types donde sismique, danalyser la propagation des ondes sismiques suivant les trois direc-tions de lespace : deux mouvements plans et un mouvement antiplan. Les rsultats obtenus dans lecas de Nice sont trs intressants de ce point de vue [36].

    Modlisation de la propagation dondes tridimensionnelle laide de la mthode des lments de frontire, il est galement possible de simuler la propagationdondes sismiques en trois dimensions [13, 35, 54]. Lexemple de la figure 8 correspond au cas dun

    Figure 6Modlisation par lments de frontire de lamplification des ondes sismiques dans le centre de Nice : facteur damplification A0 diffrentes frquences F0 (daprs [36]).

    Figure 7Amplification locale des ondes sismiques dans le centre de Nice : comparaison entre mesures et modlisation par lments de frontire (daprs [36]).

    LC

    PC

    LC

    PC

    Ouest

    Est

    F0 = 1,2 Hz - A0 = 6,5

    F0 = 1,6 Hz - A0 = 15,0

    F0 = 2,0 Hz - A0 = 6,0

    Frquence (Hz)0,2 0,5 1 2 5 10 20

    Rapport spectral

    0,5

    1

    2

    5

    10

    20

    50

    Nord-sud

    Fonct, transfert (exp.)

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    bassin sdimentaire hmisphrique reposant sur un substratum rocheux plus rigide. Les lments defrontire sont des lments surfaciques disposs linterface entre les diffrents milieux tridimen-sionnels. Dans le cas dune onde P plane incidence verticale, les rsultats obtenus diffrentesfrquences sont reprsents sur la figure 9.

    On constate que lamplitude des ondes sismiques est plus grande lintrieur du bassin sdimen-taire. Cela est d au contraste de caractristiques mcaniques entre le bassin et le substratumrocheux, qui conduit une amplification des ondes la surface du bassin. De plus, la gomtrie dubassin influence galement lamplitude des ondes en surface puisquelle peut occasionner une foca-lisation des ondes dans le bassin [37, 55, 56].

    Au-del de la propagation dondes sismiques dans les formations sdimentaires, linteractiondynamique sol-structure est galement aborde. Les problmes dinteraction sol-structure serencontrent en calcul des structures aux sismes et dans tous les problmes de transmission desvibrations par les sols. La prise en compte de linteraction sol-structure est trs importante pourcalculer la rponse des structures aux sismes [31, 33, 57-59]. Cette dernire est en effet fortementinfluence par le couplage mcanique entre la structure et le sol qui la supporte. Lorsque la struc-ture vibre sous leffet du sisme, le mouvement sa base dpend des caractristiques du solsupport : modification de la raideur au niveau de la fondation, dune part, et rayonnement dner-

    Figure 8Modlisation par lments de frontire

    de la propagation dondes sismiques entrois dimensions : modle de bassin

    sdimentaire hmisphrique(daprs [54]).

    Figure 9Modlisation par lments de frontire de la propagation dondes sismiques en trois dimensions : dforme du bassin sdimentaire diffrentes frquences (voir validation de ce rsultat dans [54]).

    Bassinsdimentaire

    Surface libre

    z

    xy

    f=0,35Hz

    f=0,20Hz f=0,25Hz

    f=0,30Hz

    INTERACTION SOL-STRUCTURE

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    gie dans le sol, dautre part. Par ailleurs, la structure met des ondes qui peuvent ainsi perturberle mouvement quaurait le sol en champ libre (cest--dire sans la structure). Dans la gamme defrquence des sismes, cette perturbation peut tre nglige pour les structures lgres, mais paspour les structures massives.

    Pour calculer la rponse des structures massives aux sismes, il faut donc modliser lensemble sol-structure. Le sol tant semi-infini, la mthode des lments finis nest pas rellement adapte cetype de calcul. Certaines mthodes permettent dattnuer les ondes sur les frontires du maillage, demanire rendre compte de lamortissement gomtrique, mais on connat trs rarement (sauf pourdes gomtries trs particulires) limpact exact de ces mthodes sur lerreur commise. Il est souventprfrable davoir recours la mthode des quations intgrales de frontire (module DYNF deCESAR-LCPC).

    Rponse sismique de btimentsLe premier exemple propos pour illustrer la problmatique de linteraction sol-structure est repr-sent sur la figure 10. Un btiment de 50 m de hauteur et de 30 m de largeur repose sur la surface dusol. Le sol et le btiment sont soumis une onde harmonique incidente SH (cest--dire polarisedans la direction perpendiculaire au plan de la figure). Le btiment et le sol sont supposs lastiques,homognes et isotropes. La figure 10 reprsente le dplacement de la base et du sommet du btimentcalculs en fonction de la frquence pour une onde SH dincidence verticale et damplitude unit.Pour les trs basses frquences (grandes longueurs dondes), les ondes ne peroivent pas la prsencedu btiment et on obtient ainsi lamplitude du champ libre (somme de londe incidente et de londerflchie) soit 2. On remarque des frquences caractristiques pour lesquelles le dplacement de labase sannule. Elles correspondent aux frquences de rsonance du btiment avec sa base encastre. ces frquences, le dplacement de la base ne peut qutre nul car sil ne ltait pas, lnergie absor-be dans le btiment serait infinie, ce qui est absurde. Ce rsultat est caractristique du phnomnede linteraction sol-structure et il est fondamental de le prendre en compte au voisinage de ces fr-quences de rsonance si lon veut obtenir des rsultats pertinents.

    La prise en compte de linteraction sol-structure permet destimer avec justesse les frquences pourlesquelles le mouvement du btiment est maximum. La figure 10 montre que ces frquences ne sontpas les frquences de rsonance du btiment reposant sur le sol, lamplitude maximale du sommettant obtenue pour 0,25 Hz. En modifiant les caractristiques mcaniques du sol, les rsultatsseraient diffrents, ce qui montre quil y a bien interaction entre le sol et la structure.

    La figure 11 (en haut) montre les zones diso-dplacement dans le sol et permet dapprcier qualita-tivement les zones de renforcement du mouvement par interfrence. Du fait de linteraction sol-structure, on obtient ainsi des zones de forte ou de faible amplitude la fois dans le sol et dans lastructure. Sur la mme figure (en bas), le cas de trois btiments distants de 100 m est aussi trait. Onpeut ainsi visualiser les btiments les plus sollicits en fonction de la frquence et les interactionsmutuelles entre btiments via le sol. Des rsultats dtaills en dimensions 2 et 3 sont proposs dansles rfrences [31, 33, 55, 57, 58, 60, 61].

    Figure 10Modle dinteraction sol-structure considr (gauche) ; dplacements adimensionnels la base et au sommet de la structure en fonction de la frquence (droite).

    Onde SH

    4,0

    3,0

    2,0

    1,0

    0,00,0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50

    Sommet

    Base

    Dplacement

    Frquence(Hz)

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    Vibrations dun tunnel ferroviaireLe deuxime exemple concerne un tunnel ferroviaire de 10 m de diamtre sous une couverture de10 m (Fig. 12). Le revtement en bton a une paisseur de 50 cm. Le tunnel est tout dabord soumis une sollicitation sismique en onde SH (Fig. 12, gauche). La figure 13 montre les zones diso-dplacement

    Figure 11Mouvement du sol

    et des structures diffrentes frquences.

    Figure 12Tunnel soumis une onde sismique SH (a) ou une excitation ponctuelle (b).

    Figure 13Zones diso-dplacement

    pour une onde SHdincidence verticale et incline.

    f = 0,2 Hz

    f = 0,2 Hz

    f = 0,4 Hz

    f = 0,4 Hz

    f = 0,6 Hz

    f = 0,6 Hz

    Onde SH

    (a) Sollicitation sismique (b) Sollicitation ponctuelle

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    pour une incidence verticale et une incidence de 60 degrs par rapport lhorizontale et pour troisfrquences diffrentes. Les figures dinterfrence, dues la diffraction de londe par le tunnel,permettent de localiser les mouvements les plus forts du sol et notamment ceux de la surface. Parailleurs, des zones de faible amplitude (zones dombre) peuvent tre remarques en aval du tunnel(par rapport la direction de propagation). Les interactions entre londe sismique et le tunnel dpen-dent des dimensions du tunnel, de sa profondeur, de la longueur donde de la sollicitation, etc. Uneanalyse dtaille de linfluence de ces diffrents paramtres a t propose laide de mthodesnumriques [55, 62, 63] ou dune approche analytique [64].

    Le tunnel est soumis aussi une sollicitation vibratoire due par exemple au passage dun train(cf. Fig. 12, droite). La figure 14 montre les zones diso-dplacement obtenues. Par ailleurs, lesvaleurs de contrainte en paroi sont galement influences par les caractristiques du problme[55, 64]. Ce type de calcul a fait lobjet dune comparaison avec les rsultats dune exprience devibration en vraie grandeur sur un tunnel de la ligne Paris-Strasbourg [14]. Les mouvements du solont t enregistrs la surface et la verticale du tunnel. La figure 15 montre les rsultats de lacomparaison calcul-exprience. Le modle 2 se distingue du modle 1 par la prise en compte delhtrognit du sol grce une modlisation couplant la mthode des lments finis et celle desquations intgrales de frontire. Les calculs bidimensionnels ont t corrigs par un facteur tho-rique tenant compte de la gomtrie hors plan du tunnel, ce qui permet dinclure de faon approcheleffet tridimensionnel. Ces rsultats sont dans lensemble assez satisfaisants puisque les amplitudesobtenues sont assez comparables. On doit tout de mme observer un dcalage en frquence, auvoisinage de 5 Hz, entre les courbes calcules et les rsultats exprimentaux.

    Figure 14Zones diso-dplacement pour une excitation ponctuelle.

    Figure 15Comparaison entre le calcul et lexprience sur un tunnel rel.

    f = 5 Hz

    f = 20 Hz

    f = 10 Hz

    f = 25 Hz

    f = 15 Hz

    f = 40 Hz

    0,01

    0,005

    010 20

    Vitesse verticale (mm/s)

    Frquence (Hz)

    Exprience

    Modle 1

    Modle 2

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    La modlisation numrique par lments finis des problmes de propagation dondes peut savrerassez dlicate. Il est en effet ncessaire de contrler des aspects particuliers des phnomnes depropagation : dispersion, diffraction, amortissement, etc. Dans le cas linaire, la validation des rsultatspeut tre ralise laide de rsultats analytiques ou exprimentaux. Pour les comportementscomplexes, les rsultats analytiques de propagation dondes sont peu nombreux et les exprimenta-tions de ce type sont particulirement dlicates. Dans le cas linaire, la modlisation numrique parlments finis des problmes de propagation dondes doit tenir compte des principales sourcesderreur numrique : dispersion numrique, amortissement numrique et rflexions dondes para-sites. La dispersion numrique, qui traduit lerreur numrique sur la vitesse de propagation desondes, est influence par de nombreux facteurs : taille des lments, degr dinterpolation, schmadintgration dans le temps, incidence, etc.Une autre spcificit importante des modles lments finis de propagation dondes concerne lesrflexions parasites des ondes sur les frontires du domaine discrtis. Certaines mthodes numri-ques (frontires absorbantes, lments infinis) permettent de saffranchir de ce problme, mais celarend dlicate la validation des rsultats numriques dans les cas les plus complexes. La modlisationde lamortissement est particulirement importante pour les problmes de propagation. Il est toutefoisncessaire de disposer de modles simples interprter et relier aux valeurs des paramtres dter-mines exprimentalement.Les principaux avantages de la mthode des lments finis sont de permettre la modlisation de lapropagation dans des milieux gomtrie et comportement complexes, et prsentant de forteshtrognits. En revanche, il est ncessaire de discrtiser finement le modle afin de limiter lerreurnumrique (dispersion numrique). Cela conduit des volumes de calcul trs importants notam-ment en trois dimensions.La mthode des lments de frontire est trs efficace pour modliser les problmes de propagationdondes en domaine non born. En revanche, elle nest pas adapte la modlisation de milieux trshtrognes ou comportement complexe. La validation de calculs raliss avec cette mthode peutsappuyer sur des solutions analytiques de propagation en milieu infini assez facilement accessibles.Elle constitue une bonne mthode danalyse des phnomnes sismiques tels que les effets de site oulinteraction sol-structure.Les exemples prsents (fondation, amplification des ondes sismiques, interaction sol-structure)montrent la varit des problmes de propagation dondes quil est possible de modliser numri-quement. Comme ces mthodes prsentent des avantages et inconvnients diffrents, il peut trencessaire de les coupler afin dadapter le choix de la mthode aux diverses composantes du pro-blme (champ proche, champ lointain, type de comportement, htrognits, gamme de frquence,etc.).

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    CONCLUSION

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