big-exo

Haute Ecole d'Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-VD)

Département de la formation en emploiFilière Electricité

Filière Télécommunications (RS et IT)

Traitement de Signal(TS)

Corrigé des exercices

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, janvier 2006,Yverdon-les-Bains

http://www.heig-vd.ch

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/heig-vd-seul.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/iai.pdf

HEIG-VD Traitement de Signal (TS)

Corrigé des exercices, v 1.18 2 MEE \co_ts.tex13 mars 2009



mailto:[email protected]


Table des matières

1 Analyse des signaux périodiques 5

1.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Exercice SF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Exercice SF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Exercice SF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4 Exercice SF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5 Exercice SF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1.6 Exercice SF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.7 Exercice SF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1.8 Exercice SF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.1.9 Exercice SF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.1.10 Exercice SF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.1.11 Exercice SF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.1.12 Exercice SF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Analyse des signaux non périodiques 55

2.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.1 Exercice TF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.2 Exercice TF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.3 Exercice TF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.4 Exercice TF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.5 Exercice TF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.6 Exercice TF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.7 Exercice TF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.8 Exercice TF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.9 Exercice TF 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.10 Exercice TF 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.11 Exercice TF 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.12 Exercice TF 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.13 Exercice TF 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.14 Exercice TF 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.15 Exercice TF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.16 Exercice TF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72






2.1.17 Exercice TF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.18 Exercice TF 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.19 Exercice TF 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.20 Exercice TF 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.21 Exercice TF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.22 Exercice TF 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.23 Exercice TF 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.1.24 Exercice TF 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.1.25 Exercice TF 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.26 Exercice Corr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.27 Exercice Corr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 Echantillonnage des signaux analogiques 83

3.1 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.1 Exercice ECH 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.2 Exercice ECH 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.3 Exercice ECH 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.4 Exercice ECH 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.5 Exercice ECH 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.6 Exercice ECH 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.7 Exercice ECH 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.8 Exercice ECH 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.9 Exercice ECH 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.10 Exercice ECH 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.11 Exercice ECH 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.12 Exercice ECH 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.13 Exercice ECH 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.14 Exercice ECH 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.15 Exercice ECH 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.16 Exercice ECH 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.1.17 Exercice ECH 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.1.18 Exercice ECH 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93






Chapitre 1

Analyse des signaux périodiques

1.1 Corrigé des exercices

1.1.1 Exercice SF 1

Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f0 = 1 [kHz]

x1 (t) = 6− 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t)x2 (t) = 4 + 1.8 · cos

(2 · π · f0 · t+ π

3

)+ 0.8 · sin (6 · π · f0 · t)

1. dessinez leurs spectres d'amplitude et de phase unilatéraux et bilatéraux ;

2. écrivez x1 (t) et x2 (t) sous forme de série de Fourier complexe.

Corrigé

x1 (t) = 6− 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t) :Pour x1(t), en comparant à la relation générale du développement en sériede Fourier,

x (t) =a0

2+∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t) (1.1)

on a :

1. Une composante continue a0

2= 12

2= 6

2. Une harmonique 1 (fondamental) à f0 = 1 [kHz], avec a1 = −2 etb1 = 3

Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On atout d'abord pour la série en cosinus :






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

2

4

6

8

10Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

2

4

6Spectre unilatéral

Ak

k f0

0 1000 2000 3000 4000 5000−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5000 0 50000

2

4

6Spectre bilatéral

|X(jk

)|

k f0

−5000 0 5000−1

−0.5

0

0.5

1/X

(jk)

/ π

k f0

f_ex_SF_1_1_1.eps

Figure 1.1 Spectres unilatéral et bilatéral de x1(t) (chier source).

A0 =a0

2=

12

2= 6

A1 =√a2

1 + b21 =

√(−2)2 + 32 = 3.6056

α1 = arctan

(−b1

a1

)= arctan

(−3

−2

)= −2.1588 [rad] = −123.6901 []

On peut donc écrire :

x1 (t) = 6− 2 · cos (2 · π · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · f0 · t)= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1)

= 6 + 3.6056 · cos (2 · π · f0 · t− 2.1588)

x2 (t) = 4 + 1.8 · cos(2 · π · f0 · t+ π

3

)+ 0.8 · sin (6 · π · f0 · t) :

Pour x2(t), on a en se référant au développement en série de Fourier (1.1 ) :

1. Une composante continue a0

2= 8

2= 4




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/f_ex_SF_1_1_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///ex_sf_1_1.m



2. Des harmoniques à f0 = 1 [kHz] et 3 · f0 = 3 [kHz], avec a1 et b1 àcalculer, a3 = 0, b3 = 0.8

Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On apour la série en cosinus :

A0 =a0

2= 4

A1 = 1.8

(=√a2

1 + b21

)

α1 =π

3

A3 =√a2

3 + b23 =√

02 + 0.82 = 0.8

α3 = arctan

(−b3

a3

)= arctan

(−0.8

0

)→ −π

2

On peut donc écrire :

x2 (t) = 4 + 1.8 · cos(

2 · π · f0 · t+π

3

)+ 0.8 · sin (6 · π · f0 · t)

= 4 + 1.8 · cos(

2 · π · f0 · t+π

3

)+ 0.8 · cos

(6 · π · f0 · t−

π

2

)

= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1) + A3 · cos (6 · π · f0 · t+ α3)

Dans le cas général, il aurait fallu calculer a1 et b1 selon les relations :

ak =2

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 0

bk =2

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dt k ≥ 1

En tenant compte des identités trigonométriques

cos (α) · cos (β) =1

2· cos (α + β) +

1

2· cos (α− β)

sin (α) · cos (β) =1

2· sin (α + β) +

1

2· cos (α− β)






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

2

4

6

8Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

1

2

3


Ak

k f0

0 1000 2000 3000 4000 5000−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5000 0 50000

1

2

3

4Spectre bilatéral

|X(jk

)|

k f0

−5000 0 5000−1

−0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / π

k f0

f_ex_SF_1_2_1.eps

Figure 1.2 Spectres unilatéral et bilatéral de x2(t) (chier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/f_ex_SF_1_2_1.pdf




on a donc :

a1 =2

T·∫ +T

2

−T2

1.8 · cos(

2 · π · f0 · t+π

3

)· cos (2 · π · 1 · f0 · t) · dt

=2

T· 1.8 ·

∫ +T2

−T2

[1

2· cos

(4 · π · f0 · t+

π

3

)+

1

2· cos

(π3

)]· dt

=2

T· 1.8 · 1

2· cos

(π3

)[t]

+T2

−T2

= 0.9

b1 =2

T·∫ +T

2

−T2

1.8 · cos(

2 · π · f0 · t+π

3

)· sin (2 · π · 1 · f0 · t) · dt

=2

T· 1.8 ·

∫ +T2

−T2

[1

2· sin

(4 · π · f0 · t+

π

3

)+

1

2· sin

(−π

3

)]· dt

=2

T· 1.8 · 1

2· sin

(π3

)[t]

+T2

−T2

= −0.9 ·√

3

On vérie que l'on a bien :

A1 =√a2

1 + b21 =

√0.92 +

(−0.9 ·

√3)2

= 1.8

α1 = arctan

(−b1

a1

)= arctan

(0.9 ·√

3

0.9

)= 1.047 =

π

3





HEIG-VD

TraitementdeSignal(TS)

Pour x1(t) :

x1 (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1)

= A0 +A1

2·(e+j·(2·π·f0·t+α1) + e−j·(2·π·f0·t+α1)

)

= A0 +A1

2·(e+j·2·π·f0·t · e+j·α1 + e−j·2·π·f0·t · e−j·α1

)

= X1(j · 0)︸︷︷︸A0

+X2(j · 1)︸︷︷︸A12·e+j·α1

·ej·2·π·f0·t +X2(−j · 1)︸︷︷︸A12·e−j·α1

·e−j·2·π·f0·t

Pour x2(t) :

x2 (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1) + A3 · cos (6 · π · f0 · t+ α3)

= A0 +A1

2·(e+j·(2·π·f0·t+α1) + e−j·(2·π·f0·t+α1)

)+A3

2·(e+j·(6·π·f0·t+α1) + e−j·(6·π·f0·t+α1)

)

= A0 +A1


)+A3


)

= X1(j · 0)︸︷︷︸A0

+X2(j · 1)︸︷︷︸A12·e+j·α1

·ej·2·π·f0·t +X2(−j · 1)︸︷︷︸A12·e−j·α1

·e−j·2·π·f0·t +X2(j · 3)︸︷︷︸A32·e+j·α3

·ej·6·π·f0·t +X2(−j · 3)︸︷︷︸A32·e−j·α3

·e−j·6·π·f0·t

Corrigédesexercices,

v1.18

10MEE\co_ts.te

x13mars

2009





1.1.2 Exercice SF 2

Utilisez les formules d'Euler pour montrer que la série de Fourier du signal suivant

x (t) =(

1 + cos(

2 · π · f0 · t+π

6

))· cos (10 · π · f0 · t)

est décrite par les harmoniques 4, 5 et 6. Pour ce faire :

1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs ; eectuez le produit ;

2. écrivez x (t) sous la forme d'une somme de phaseurs ;

3. que valent les coecients X (j · k) non-nuls ?

4. dessinez les spectres bilatéraux et unilatéraux d'amplitude et de phase.





HEIG-VD


Corrigé

x (t) =(

1 + cos(

2 · π · f0 · t+π

6

))· cos (10 · π · f0 · t)

=(

1 + 0.5 ·(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) + e−j·(2·π·f0·t+π6 )))· 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)

= 0.5 ·(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)+ 0.5 ·

(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) + e−j·(2·π·f0·t+π6 ))· 0.5 ·

(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)

= 0.5 ·(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)+ 0.25 ·

(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) + e−j·(2·π·f0·t+π6 ))·(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)

= 0.5 ·(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)

+ 0.25 ·(ej·(2·π·f0·t+π

6 ) · ej·10·π·f0·t + ej·(2·π·f0·t+π6 ) · e−j·10·π·f0·t + e−j·(2·π·f0·t+π

6 ) · ej·10·π·f0·t + e−j·(2·π·f0·t+π6 ) · e−j·10·π·f0·t

)

= 0.5 ·(ej·10·π·f0·t + e−j·10·π·f0·t)+ 0.25 ·

(ej·(12·π·f0·t+π

6 ) + ej·(−8·π·f0·t+π6 ) + ej·(8·π·f0·t−π6 ) + e−j·(12·π·f0·t+π

6 ))

= X(j ·4)·ej·8·π·f0·t+X(−j ·4)·e−j·8·π·f0·t+X(j ·5)·ej·10·π·f0·t+X(−j ·5)·e−j·10·π·f0·t+X(j ·6)·ej·12·π·f0·t+X(−j ·6)·e−j·12·π·f0·t

avec

X(j · 4) = 0.25 · e−j·π6X(−j · 4) = 0.25 · ej·π6X(j · 5) = 0.5

X(−j · 5) = 0.5

X(j · 6) = 0.25 · ej·π6X(−j · 6) = 0.25 · e−j·π6


v1.18

12MEE\co_ts.te

x13mars

2009





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1

0

1

2Signal temporel

x(t)

temps

0 2 4 6 80

0.5


Ak

k f0

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

α k / π

k f0

−5 0 50

0.5

1Spectre bilatéral

|X(jk

)|

k f0

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / π

k f0

f_ex_SF_2_1.eps

Figure 1.3 Spectres unilatéral et bilatéral de x(t) (chier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/f_ex_SF_2_1.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///ex_sf_2.m



1.1.3 Exercice SF 3

Considérant un signal périodique de période T = 20 [ms] décrit par son spectrebilatéral X (j · k) :

k 0 ±1 ±2

X (j · k) 2 −3± j · 2 +1± j · 3|X|6 X

retrouvez sa description temporelle en cosinus après avoir rempli les cases libresdu tableau.

Corrigé

k 0 ±1 ±2

X (j · k) 2 −3± j · 2 +1± j · 3|X| 2

√32 + 22 = 3.6056

√12 + 32 = 3.16236

6 X 0 ±2.5536 [rad] = ±146.3099 [] ±1.2490 [rad] = ±71.5651 []

x (t) = A0 +A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1) +A2 · cos (4 · π · f0 · t+ α2)

= X(j · 0)︸︷︷︸A0

+ X(j · 1)︸︷︷︸A12·e+j·α1

·ej·2·π·f0·t +X(−j · 1)︸︷︷︸A12·e−j·α1

·e−j·2·π·f0·t + X(j · 2)︸︷︷︸A22·e+j·α2

·ej·4·π·f0·t +X(−j · 2)︸︷︷︸A22·e−j·α2

·e−j·4·π·f0·t

On en déduit

A0 = X(j · 0) = 2 α0 = 0 [rad]

A1 = 2 · |X(j · 1)| = 2 · 3.6056 = 7.2111 α1 = 2.5536 [rad]

A2 = 2 · |X(j · 2)| = 2 · 3.16236 = 6.3246 α2 = 1.2490 [rad]

et nalement :

x (t) = A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1) + A2 · cos (4 · π · f0 · t+ α2)

= 2 + 7.2111 · cos (2 · π · 50 [Hz] · t+ 2.5536) + 6.3246 · cos (4 · π · 50 [Hz] · t+ 1.2490)

1.1.4 Exercice SF 4

À partir des spectres d'amplitude et de phase d'une SIR vus au cours,

1. calculez les spectres complexes des deux signaux de la gure 1.4 page ci-contre ;

2. esquissez leurs spectres bilatéraux d'amplitude et de phase.






0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

6

8

10

x 1(t)

[V]

Ex. SF4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−4

−2

0

2

4

6

x 2(t)

[V]

t [ms]

f_exgraphes_7.eps

Figure 1.4 Exercice SF 4 (chier source).

Corrigé

Le premier signal est une SIR d'amplitude A = 10 de période T = 1f0

=

10 [ms], de largeur ∆t = 2 [ms], retardée d'une durée td = ∆t2

= 1 [ms]. On endéduit :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t· e−j·2·π·k·f0·td

= 10 · 2

10· sin (k · π · 100 [Hz] · 2 [ms])

k · π · 100 [Hz] · 2 [ms]· e−j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]

= 2 · sin (k · π · 0.2)

k · π · 0.2 · e−j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]

= 2 · sin(k · π · 1

5

)

k · π · 15︸︷︷︸

0 pour k = 5, 10, 15, . . .i.e. pour

f = 500 [Hz], 1000 [Hz], 1500 [Hz], . . .

·e−j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]

Les résultats (spectres bilatéraux d'amplitude et de phase) sont donnés sur lagure 1.5 page 17. Sur la même gure, on trouve la synthèse de x(t) basée sur les




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/f_exgraphes_7.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///exgraphes.m



N = 10 premiers termes X(j ·k) du développement en série de Fourier complexe :

x10 (t) =+10∑

k=−10

X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t






−1000 −500 0 500 10000

0.5

1

1.5

2

f [Hz]

|X(j · k)|

−1000 −500 0 500 1000−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

0 0.005 0.01 0.015 0.02

02468

10

t [s]

xN(t),x(t)

Figure 1.5 xN(t) est la synthèse du signal x(t) basée sur les N = 10 premierstermes de la série de Fourier complexe : x10 (t) =

∑+10k=−10X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t.

On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu'il apparaît surle haut de la gure 1.4 .




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/sf4_1_0.pdf




Le second signal est une SIR d'amplitude A = 9 de période T = 1f0

= 10 [ms],

de largeur ∆t = T2

= 5 [ms], retardée d'une durée td = ∆t2

= 2.5 [ms] à laquelle ona soustrait un oset de 3. On en déduit :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t· e−j·2·π·k·f0·td

= 9 · 5 [ms]10 [ms]

· sin (k · π · 100 [Hz] · 5 [ms])k · π · 100 [Hz] · 5 [ms]

· e−j·2·π·k·100 [Hz]·2.5 [ms]

ce à quoi il faut soustraire l'oset de 3 pour k = 0.Les résultats (spectres bilatéraux d'amplitude et de phase) sont donnés sur la

gure 1.6 page ci-contre. Sur la même gure, on trouve la synthèse de x(t) baséesur les N = 10 premiers termes X(j · k) du développement en série de Fouriercomplexe :

x10 (t) =+10∑

k=−10

X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

Un code MATLAB permettant de calculer X2(j · k) et tracer les spectres bila-téraux de gain et de phase est donné ci-dessous.

(chier source)

%I n i t i a l i s a t i o n

c l c ; c l e a r a l l ; c l o s e a l l ;

%Parametres

A=9;T = 10e−3;delta_t = 5e−3;td = −2.5e−3;

%numeros des harmoniques a c a l c u l e r

N = 10 ;k = [−N:N ] ;

%k<>0

X = A∗delta_t /T∗ s i n c ( k /2 ) .∗ exp(− j ∗k∗ pi / 2 ) ;%k=0

X(8)=−3+A∗delta_t /T;

%Tracage

f i g u r esubplot (211)stem (k/T, abs (X) )x l ab e l ( ' kf_0 [Hz ] ' )







−1000 −500 0 500 10000

1

2

3

f [Hz]

|X(j · k)|

−1000 −500 0 500 1000−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

0 0.005 0.01 0.015 0.02−4−2

0246

t [s]

xN(t),x(t)

Figure 1.6 xN(t) est la synthèse du signal x(t) basée sur les N = 10 premierstermes de la série de Fourier complexe : x10 (t) =

∑+10k=−10X(j · k) · e+j·2·π·k·f0·t.

On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu'il apparaît surle bas de la gure 1.4 (chier source).






http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/sysquake///exsf.lml



y l ab e l ( ' |X_2( jk ) | ' )g r i dsubplot (212)stem (k/T, ang le (X)/ p i )x l ab e l ( ' kf_0 [Hz ] ' )y l ab e l ( ' arg X_2( jk ) ' )g r i d






0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

Ak [

V]

Ex. SF5

0 1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

α k / π

f [kHz]

f_exgraphes_6.eps

Figure 1.7 Exercice SF 5 (chier source).

1.1.5 Exercice SF 5

Considérant les spectres unilatéraux (gure 1.7) d'un signal x (t) :

1. donnez l'expression de x (t) ;

2. dessinez son spectre bilatéral ;

3. calculez sa puissance et sa valeur ecace.

Corrigé

1. Au spectre unilatéral est associé directement le développement en série encosinus. On a donc :

x(t) = 4+4·cos(2·π·1 [kHz]·t)+2·cos(2·π·3 [kHz]·t+0.2·π)+1·cos(2·π·5 [kHz]·t−0.45·π)

2. Les spectres d'amplitude et de phase sont représentés sur la gure 1.8.

3.

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k = 42 +

42

2+

22

2+

12

2= 26.5 [V2]

Xe =√P =

√26.5 = 5.15 [V]




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/f_exgraphes_6.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///exgraphes.m



−4000 −2000 0 2000 40000

1

2

3

4

f [Hz]

|X(j · k)|

−4000 −2000 0 2000 4000−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

Figure 1.8 Ex SF 5.







k 0 1 2 3 4

x1 (t) ak +2 +5 -2 +1 0bk +4 +3 1 0

k 0 1 2 3 4x2 (t) Ak 1 3 0 2 0

αk 0 −π3

0 +π2

0

k 0 ±1 ±2 ±3 ±4x3 (t) X (j · k) 5 4± j · 3 0 −2± j 0

Table 1.1 Exercice SF 6.

1.1.6 Exercice SF 6

Considérant les trois signaux x1 (t), x2 (t), x3 (t) de période T = 1 [ms] décritspar leurs spectres respectifs (tableau 1.1) :

1. donnez l'expression temporelle des trois signaux ;

2. écrivez ces expressions à l'aide de cosinus seulement ;

3. dessinez leurs spectres d'amplitude et de phase uni- et bilatéraux.





HEIG-VD


Corrigé

1. Expressions temporelles de x1(t), x2(t) et x3(t) :

x1(t) =a0

2+∞∑

k=1

ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +∞∑

k=1

bk · sin (2 · π · k · f0 · t)

=2

2+ 5 · cos (2 · π · 1 · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · 1 · f0 · t)− 2 · cos (2 · π · 2 · f0 · t) + 3 · sin (2 · π · 2 · f0 · t)

+ 1 · cos (2 · π · 3 · f0 · t)− 1 · sin (2 · π · 3 · f0 · t)= 1 + 5 · cos (2 · π · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · f0 · t)− 2 · cos (4 · π · f0 · t) + 3 · sin (4 · π · f0 · t)+ 1 · cos (6 · π · f0 · t)− 1 · sin (6 · π · f0 · t)

x2(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t+ αk)

= 1 + 3 · cos(

2 · π · 1 · f0 · t−π

3

)+ 2 · cos

(2 · π · 3 · f0 · t+

π

2

)


v1.18

24MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


x3(t) =∞∑

k=−∞X(j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= X(−j · 3) · e−j·2·π·3·f0·t +X(−j · 1) · e−j·2·π·1·f0·t +X(j · 0) · ej·2·π·0·f0·t +X(j · 1) · ej·2·π·1·f0·t +X(j · 3) · ej·2·π·3·f0·t

= (−2− j) · e−j·2·π·3·f0·t + (4− j · 3) · e−j·2·π·1·f0·t + 5 + (4 + j · 3) · ej·2·π·1·f0·t + (−2 + j) · ej·2·π·3·f0·t

=√

(−2)2 + (−1)2 · ej·arctan (−1−2) · e−j·2·π·3·f0·t +

√42 + (−3)2 · ej·arctan (−3

4 ) · ej·2·π·1·f0·t

+ 5 +√

42 + 32 · ej·arctan ( 34) · ej·2·π·1·f0·t +

√(−2)2 + 12 · ej·arctan ( 1

−2) · ej·2·π·3·f0·t

=√

5 · ej·arctan (−1−2) · e−j·2·π·3·f0·t +

√25 · ej·arctan (−3

4 ) · e−j·2·π·1·f0·t + 5 +√

25 · ej·arctan ( 34) · ej·2·π·1·f0·t +

√5 · ej·arctan ( 1

−2) · ej·2·π·3·f0·t

=√

5 · e−j·2.6779 · e−j·2·π·3·f0·t + 5 · e−j·0.6435 · e−j·2·π·1·f0·t + 5 + 5 · ej·0.6435 · ej·2·π·1·f0·t +√

5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0·t

= 5 + 2 ·√

5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0·t + e−j·2.6779 · e−j·2·π·3·f0·t

2+ 2 · 5 · e

j·0.6435 · ej·2·π·1·f0·t + e−j·0.6435 · e−j·2·π·1·f0·t

2

= 5 + 2 ·√

5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t+ 2.6779) + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ 0.6435)

2. Expressions de x1(t), x2(t) et x3(t) à l'aide de cosinus seulement. partant des résultats ci-dessus, on a :

x1(t) = 1 + 5 · cos (2 · π · f0 · t) + 4 · sin (2 · π · f0 · t)− 2 · cos (4 · π · f0 · t) + 3 · sin (4 · π · f0 · t)+ 1 · cos (6 · π · f0 · t)− 1 · sin (6 · π · f0 · t)

= 1 +√

52 + 42 · cos

(2 · π · f0 · t+ arctan

(−4

5

))+√

(−2)2 + 32 · cos

(4 · π · f0 · t+ arctan

(−3

−2

))

+√

12 + (−1)2 · cos

(6 · π · f0 · t+ arctan

(−(−1)

1

))

= 1 +√

41 · cos (2 · π · f0 · t− 0.675) +√

13 · cos (4 · π · f0 · t− 2.16) +√

2 · cos(

6 · π · f0 · t+π

4

)

= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α1) + A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α2) + A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α3)


v1.18

25MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


x2(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t+ αk)

= 1 + 3 · cos(

2 · π · 1 · f0 · t−π

3

)+ 2 · cos

(2 · π · 3 · f0 · t+

π

2

)

= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α1) + A3 · cos (2 · π · 3 · f0 · t+ α3)

x3(t) = 5 + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ 0.6435) + 2 ·√

5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t+ 2.6779)


3. Spectres unilatéraux et bilatéraux d'amplitude et de phase de x1(t), x2(t) et x3(t) :

x1(t) Le spectre unitlatéral correspond directement à l'expression de x1(t) en cosinus :

x1(t) = 1 +√

41 · cos (2 · π · f0 · t− 0.675) +√

13 · cos (4 · π · f0 · t− 2.16) +√

2 · cos(

6 · π · f0 · t+π

4

)

= A0 + A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α1) + A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α2) + A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ α3)

Le spectre bilatéral s'en déduit facilement :

k 0 1 2 3

Ak A0 = 1 A1 =√

41 A2 =√

13 A3 =√

2αk α0 = 0 α1 = −0.675 α2 = −2.16 α3 = +π

4

k 0 ±1 ±2 ±3

X(j · k)X(j · 0) = A0

= 1

X(±j · 1) = A1

2· e±j·α1

=√

412· e∓j·0.675

X(±j · 2) = A2

2· e±j·α2

=√

132· e∓j·2.16

X(±j · 3) = A3

2· e±j·α3

=√

22· e±j·π4

La représentation graphique des spectre uni- et bilatéraux est donnée sur la gure 1.9.


v1.18

26MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD



x2(t) = A0 +∞∑

k=1

Ak · cos (2 · π · k · f0 · t+ αk)

= 1 + 3 · cos(

2 · π · 1 · f0 · t−π

3

)+ 2 · cos

(2 · π · 3 · f0 · t+

π

2

)


Le spectre bilatéral s'en déduit facilement :k 0 1 2 3Ak A0 = 1 A1 = 3 A2 = 0 A3 = 2αk α0 = 0 α1 = −π

3α2 = 0 α3 = +π

2

k 0 ±1 ±2 ±3

X(j · k)X(j · 0) = A0

= 1X(±j · 1) = A1

2· e±j·α1

= 32· e∓j·π3 X(±j · 2) = 0

X(±j · 3) = A3

2· e±j·α3

= 22· e±j·π2

= e±j·π2



x3(t) = 5 + 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t+ 0.6435) + 2 ·√

5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t+ 2.6779)


Le spectre bilatéral a dédjà été obtenu au précédemment : on avait :

x3(t) =∞∑

k=−∞X(j · k) · ej·2·π·k·f0·t

= X(−j · 3) · e−j·2·π·3·f0·t +X(−j · 1) · e−j·2·π·1·f0·t +X(j · 0) · ej·2·π·0·f0·t +X(j · 1) · ej·2·π·1·f0·t +X(j · 3) · ej·2·π·3·f0·t

=√

5 · e−j·2.6779 · e−j·2·π·3·f0·t + 5 · e−j·0.6435 · e−j·2·π·1·f0·t + 5 + 5 · ej·0.6435 · ej·2·π·1·f0·t +√

5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0·t


v1.18

27MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


Si l'on répète néanmoins la même opération que pour x1(t) et x2(t), on a :

k 0 1 2 3

Ak A0 = 5 A1 = 10 A2 = 0 A3 = 2 ·√

5αk α0 = 0 α1 = 0.6435 α2 = 0 α3 = 2.6779

k 0 ±1 ±2 ±3

X(j · k)X(j · 0) = A0

= 5

X(±j · 1) = A1

2· e±j·α1

= 102· e±j·0.6435

= 5 · e±j·0.6435

X(±j · 2) = 0

X(±j · 3) = A3

2· e±j·α3

= 2·√

52· e±j·2.6779

=√

5 · e±j·2.6779



v1.18

28MEE\co_ts.te

x13mars

2009





•

•

•

•

0 1000 2000 30000

2

4

6

fHz

Ak

••

•

•

0 1000 2000 3000

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

fHz

αk

π

•

•

•

•

•

•

•

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 30000

1

2

3

fHz

|X(j · k)|

•

•

••

•

•

•

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

−0.6−0.4−0.2

00.20.40.6

fHz

argX(j·k)π

−2 −1 0 1 2

−5

0

5

10

t [ms]

x(t)

Figure 1.9 (chier source).

•

•

•

•

0 1000 2000 30000

1

2

3

f [Hz]

Ak

•

•

•

•

0 1000 2000 3000

−0.2

0

0.2

0.4

f [Hz]

αk

π

•

•

•

•

•

•

•

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 30000

0.5

1

1.5

f [Hz]

|X(j · k)|

•

•

•

•

•

•

•

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000

−0.4−0.2

00.20.4

f [Hz]

argX(j·k)π

−2 −1 0 1 2−4

−2

0

2

4

6

t [ms]

x(t)





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/ex_ts_sf_6_1_2.pdf






•

•

•

•

0 1000 2000 300002468

10

f [Hz]

Ak

••

•

•

0 1000 2000 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

f [Hz]

αk

π

•

•

• • •

•

•

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000012345

f [Hz]

|X(j · k)|

•

• • • • •

•

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000−0.8−0.6−0.4−0.2

00.20.40.60.8

f [Hz]

argX(j·k)π

−2 −1 0 1 2−10

0

10

20

t [ms]

x(t)









1.1.7 Exercice SF 7

Calculez la puissance de chacun des trois signaux de l'exercice 1.1.6 page 23.

Corrigé

x1(t) :

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k

= A20 +

1

2·(A2

1 + A22 + A2

3

)

= 12 +1

2·[√

52 + 422

+√

(−2)2 + 322

+√

1 + (−1)22]

= 1 +1

2· [41 + 13 + 2]

= 29 [V2]

x2(t) :

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k

= A20 +

1

2·(A2

1 + A22

)

= 12 +1

2·[32 + 22

]

= 7.5 [V2]

x3(t) :

P =∞∑

k=−∞|X(j · k)|2

= |X(j · 0)|+ 2 ·∞∑

k=1

|X(j · k)|2

= 52 + 2 ·(√

42 + 322

+√

22 + 122)

= 85 [V2]






1.1.8 Exercice SF 8

Considérant le signal x (t) = 2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)1. écrivez x (t) dans les formes cosinus et complexe ;

2. donnez les composantes spectrales dans les trois représentations :

ak, bk Ak, αk X (j · k)

3. vériez que la puissance de ce signal calculée à l'aide des trois représenta-tions donne le même résultat ;

4. comment calculeriez-vous la puissance dans l'espace temps ? voyez-vous desmoyens de simplier ce calcul ? Si oui, le résultat est immédiat.





HEIG-VD


Corrigé

1. On a pour la série en cosinus :

x (t) = 2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)= 2 + cos

(2 · π · f0 · t−

π

2

)+ 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)

= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t+ α1) + A3 · cos (6 · π · f0 · t+ α3)

Partant de la série en cosinus, on obtient facilement la série complexe en faisant usage des formule d'Euler :

x (t) = 2 + cos(

2 · π · f0 · t−π

2

)+ 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)

= 2 +1

2· e+j·(2·π·f0·t−π2 ) +

1

2· e−j·(2·π·f0·t−π2 ) + 0.25 · 1

2· e+j·(6·π·f0·t) + 0.25 · 1

2· e−j·(6·π·f0·t)

= X (0) +X (+j · 1) · e+j·2·π·f0·t +X (−j · 1) · e−j·2·π·f0 +X (+j · 3) · e+j·6·π·f0·t +X (−j · 3) · e−j·6·π·f0·t

= 2 +1

2· e−j·π2 · e+j·2·π·f0·t +

1

2· e+j·π

2 · e−j·2·π·f0·t +0.25

2· e+j·6·π·f0·t +

0.25

2· e−j·6·π·f0·t

2. Série en cosinus :

A0 = 2

A1 = 1 α1 = −π2

A3 = 0.25 α3 = 0


v1.18

33MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


Série de Fourier :

a0 = 2 · A0 = 2 · 2 = 4

a1 = +A1 · cos (α1) = cos(−π

2

)= 0

b1 = −A1 · sin (α1) = − sin(−π

2

)= 1

a3 = +A3 · cos (α3) = 0.25 · cos (0) = 0.25

b3 = −A3 · sin (α3) = −0.25 · sin (0) = 0

Série complexe :

X(j · 0) = 2

X(±j · 1) = 0.5 · e∓j·π2X(±j · 3) = 0.125 · ej·0

3. Série de Fourier :

P =(a0

2

)2

+1

2·∞∑

k=1

(√a2k + b2

k

)2

=(a0

2

)2

+1

2·[a2

1 + b21 + a2

3 + b23

]

=

(4

2

)2

+1

2·[02 + 12 + 0.252 + 02

]

= 4.52125 [V2]


v1.18

34MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


Série en cosinus :

P = A20 +

1

2·∞∑

k=1

A2k

= 22 +1

2·[A2

1 + A23

]

= 22 +1

2·[12 + 0.252

]

= 4.52125 [V2]

Série complexe :

P =+∞∑

k=−∞|X (j · k)|2

= |X (−j · 3)|2 + |X (−j · 1)|2 + |X (j · 0)|2 + |X (j · 1)|2 + |X (j · 3)|2

= 0.1252 + 0.52 + 22 + 0.52 + 0.1252

= 4.52125 [V2]

4. La puissance dans l'espace temps se calcule comme :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

T·∫ +T

2

−T2

[2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)]2 · dt


v1.18

35MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


La fonction à intégrer peut être mise sous la forme :

[2 + (sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t))]2

= 22 + 2 · 2 ·

sin (2 · π · f0 · t)︸︷︷︸∫

T=0

+0.25 · cos (6 · π · f0 · t)︸︷︷︸∫T=0

+ (sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t))2

Pour la somme de sinus au carré, on a :

(sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t))2

= sin2 (2 · π · f0 · t) + 2 · sin (2 · π · f0 · t) · 0.25 · cos (6 · π · f0 · t) + 0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)= sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.5 · sin (2 · π · f0 · t) · cos (6 · π · f0 · t)︸︷︷︸

12·sin (2·π·f0·t+6·π·f0·t)+ 1

2·sin (2·π·f0·t−6·π·f0·t)

+0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)

= sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.25 · (sin (8 · π · f0 · t) + sin (−4 · π · f0 · t))︸︷︷︸∫T=0

+0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)

Pour le calcul de la puissance dans le domaine temporel, il sut donc d'évaluer :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

T·∫ +T

2

−T2

[2 + sin (2 · π · f0 · t) + 0.25 · cos (6 · π · f0 · t)]2 · dt

= . . .

=1

T·∫ +T

2

−T2

[22 + sin2 (2 · π · f0 · t) + 0.252 · cos2 (6 · π · f0 · t)

]· dt


v1.18

36MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


Autrement dit, il sut de sommer les carrés des valeurs ecaces de 2, sin (2 · π · f0 · t) et 0.25 ·cos (6 · π · f0 · t), soit :

P = 22 +

(1√2

)2

+ 0.252 ·(

1√2

)2

= 4.53125 [V2]


v1.18

37MEE\co_ts.te

x13mars

2009





1.1.9 Exercice SF 15

Considérant une SIR centrée de période T = 100 [µs], de largeur ∆t = 20 [µs] etd'amplitude A = 10 [V],

1. calculez le pourcentage de puissance comprise dans le premier lobe du sinuscardinal ;

2. admettant que cette SIR est appliquée à un ltre passe-bas d'ordre 1 dontla fonction de transfert est

H (j · f) =1

1 + j · ffc

fc = 10 [kHz]

que valent l'amplitude et la phase des composantes 10 [kHz], 40 [kHz] et150 [kHz] ?

Corrigé

La série de Fourier complexe d'une SIR a été calculée dans le cours. On a :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t

= 10 [V] · 20 [µs]100 [µs]

·sin(k · π · 1

100 [µs]· 20 [µs]

)

k · π · 1100 [µs]

· 20 [µs]

= 2 [V] · sin (k · π · 0.2)

k · π · 0.2Le spectre d'amplitude s'annule pour la première fois pour k = 5 (gure 1.12page ci-contre). Le premier lobe du spectre est donc constitué des raies (pourmémoire, on a |X(j · k)| = |X(−j · k)|)

X(−j · 5) = 0

X(−j · 4) = 0.4677

X(−j · 3) = 1.0091

X(−j · 2) = 1.5136

X(−j · 1) = 1.871

X(j · 0) = 2

X(j · 1) = 1.871

X(j · 2) = 1.5136

X(j · 3) = 1.0091

X(j · 4) = 0.4677

X(j · 5) = 0






−100 −50 0 50 1000

0.5

1

1.5

2

f [kHz]

|X(j · k)|

−100 −50 0 50 100−1

−0.5

0

0.5

1

f [kHz]

argX(j·k)π

Figure 1.12 f0 = 1100 [µs]

= 10 [kHz] (chier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/SF15_1_0.pdf




1. La puissance correspondante est ainsi :

P±5 =+5∑

k=−5

|X (j · k)|2 = X (0)2 + 2 ·+5∑

k=1

|X (j · k)|2

= 22 + 2 ·(1.8712 + 1.51362 + 1.00912 + 0.46772

)= 18.05756 [V2]

La puissance totale du signal se calcule aisément dans le domaine temporel :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

100 [µs]·∫ +

100 [µs]2

− 100 [µs]2

x2 (t) · dt

=1

100 [µs]·∫ +

10 [µs]2

− 10 [µs]2

(10 [V])2 · dt

=1

100 [µs]· (10 [V])2 ·

∫ +10 [µs]

2

− 10 [µs]2

dt

=1

100 [µs]· (10 [V])2 · [t]+

10 [µs]2

− 10 [µs]2

=1

100 [µs]· (10 [V])2 ·

[+

10 [µs]2− (−10 [µs]

2)

]

=20 [µs]100 [µs]

· (10 [V])2

= 20 [V2]

La puissance contenue dans le premier lobe de X(j · k) représente donc

P±5

P=

18.05756 [V2]

20 [V2]≈ 90%

de la puissance totale du signal.

2. Il sut d'injecter dans H (j · f) = 1

1+j· ffc

les harmoniques de x(t) corres-

pondant à 10 [kHz], 40 [kHz] et 150 [kHz], soit X(j · 1), X(j · 4) et X(j · 15),et d'extraire le module et l'argument du résultat Y (j · k) :

Y (j · 1) =1

1 + j · ffc·X(j · 1) =

1

1 + j · 10 [kHz]10 [kHz]

· 1.871 = 0.9355− 0.9355 · j = 1.323 · e−j·π4

Y (j · 4) =1

1 + j · ffc·X(j · 4) =

1

1 + j · 40 [kHz]10 [kHz]

· 0.4677 = 0.0275− 0.1100 · j = 0.1134 · e−j·1.3258

Y (j · 15) =1

1 + j · ffc·X(j · 15) =

1

1 + j · 150 [kHz]10 [kHz]

· 0 = 0






On remarquera le cas particulier où f = fc = 10 [kHz], i.e. celui où la fré-quence du signal d'excitation x(t) coïncide avec la fréquence caractéristique(ou fréquence de coupure) du ltre H(j · f) :

(a) Le déphasage est d'exactement arg H(j · fc) = −π4;

(b) L'atténuation est de |H(j · f)| = 1.3231.871

= 0.7071 =√

22

= −3 [dB].


Un ltre passe-bas RC réalisé avec R = 1 [kΩ] et C = 0.1 [µF] est excité parun signal carré u1 (t) de période T = 1 [ms] et d'amplitude comprise entre 0 et20 [V] :

1. esquissez le signal de sortie u2 (t) et le courant i (t) ;

2. pour chacun des 3 signaux u1 (t), u2 (t), i (t), calculez leurs valeurs DC,ecace totale et ecace AC.

Corrigé

On a pour la tension de sortie u2(t) ainsi que le courant i(t) :






0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

t [ms]

u1(t) [V]

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

t [ms]

u2(t) [V]

0 1 2 3 4 5−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

t [ms]

i(t) [A]





HEIG-VD


Puissance du signal u1(t) La valeur DC n'est autre que la valeur moyenne X (j · 0) du signal. Partant de la dénitionde X(j · k)

X (j · k) =1

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · e−j·2·π·k·f0·t · dt −∞ < k < +∞

on a, pour k = 0 :

U1 (j · 0) =1

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · e−j·2·π·0·f0·t · dt

=1

T·∫ +T

2

−T2

x (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

− 1 [ms]2

x (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

0

20 [V] · dt

= 10 [V]

La puissance AC se calcule par déduction de la puissance DC Pdc = |U1 (j · 0)|2 = 100[V2]de la puissance totale


v1.18

43MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


P . La puissance totale s'écrit :

P =1

T·∫ +T

2

−T2

x2 (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

− 1 [ms]2

x2 (t) · dt

=1

1 [ms]·∫ +

1 [ms]2

0

(20 [V])2 · dt

=1

1 [ms]· (20 [V])2 · [t]+

1 [ms]2

0

=1

1 [ms]· (20 [V])2 ·

[+

1 [ms]2− 0

]

= 200[V2]

La valeur ecace est donc :

U1e =√P =

√200

[V2]

= 10 ·√

2 [V]

On déduit de la puissance totale P et de la puissance DC Pdc la puissance AC :

P1,AC = P1 − P1,DC = 200[V2]− 100

[V2]

= 100[V2]

La valeur ecace AC est :

U1eAC =√P1,AC = 10 [V]

Puissance du signal u2(t) La valeur DC sera égale à celle de u1(t) puisque l'on a aaire à un ltre passe-bas. Par calcul,


v1.18

44MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


on aurait :

U2 (j · 0) = H(j · f) · U1(j · 0)

=1

1 + j · 2 · π · 0 · f0 · τ· U1(j · 0)

= 1 · U1(j · 0)

= 10 [V]

Pour la puissance totale, on peut procéder selon Parseval dans le domaine fréquentiel ou temporel. On peut aussinoter que si le rapport des amplitudes de la sortie et de l'entrée est donné par

U2(j · k)

U1(j · k)= H(j · f)|f=k·f0

celui des puissances est par suite donné par :

P2(j · k)

P1(j · k)=|U2(j · k)|2

|U1(j · k)|2= |H(j · f)|2f=k·f0

Il s'ensuit que

P2 (j · k) = |H(j · k · f0)|2 · P1(j · k)

=1

1 + (2 · π · k · f0 · τ)2 · P1(j · k)

Pour la puissance DC de u2(t) on a donc :

P2 (j · 0) =1

1 + (2 · π · 0 · f0 · τ)2 · P1(j · 0)

= 1.0 · P1 (j · 0)

= 1.0 · |U1 (j · 0)|2

= 100[V2]


v1.18

45MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


La puissance totale est plus facilement calculée dans le domaine temporel :

P2 =1

T·∫ T

0

u22 (t) · dt

=1

T·∫ T

2

0

(U0 ·

(1− e− 1

R·C ·τ))2

· dτ +1

T·∫ T

T2

(U0 · e−

1R·C ·(τ−

T2 ))2

· dτ∣∣∣∣∣t′=τ−T

2

=U2

0

T·∫ T

2

0

(1− e− 1

R·C ·τ)2

· dτ +1

T·∫ T

2

0

(e−

1R·C ·t′

)2

· dt′

=U2

0

T·∫ T

2

0

(1− e− 1

R·C ·τ)2

· dτ +U2

0

T·∫ T

2

0

e−2· 1R·C ·t′ · dt′

=U2

0

T·∫ T

2

0

(1− 2 · e− 1

R·C ·τ + e−2· 1R·C ·τ

)· dτ +

U20

T·∫ T

2

0

e−2· 1R·C ·t′ · dt′

=U2

0

T·[t− 2 · 1

− 1R·C· e− 1

R·C ·t +1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·t]+T

2

0

+U2

0

T·[

1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·t]+T

2

0

=U2

0

T·[t− 2 · 1

− 1R·C· e− 1

R·C ·t + 2 · 1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·t]+T

2

0

=U2

0

T·[+T

2− 0− 2 · 1

− 1R·C·(e−

1R·C ·

T2 − e− 1

R·C ·0)

+ 4 · 1

−2 · 1R·C·(e−2· 1

R·C ·T2 − e−2· 1

R·C ·0)]

=U2

0

T·[+T

2− 2 · 1

− 1R·C·(e−

1R·C ·

T2 − 1

)+ 4 · 1

−2 · 1R·C·(e−2· 1

R·C ·T2 − 1

)]

=U2

0

T·[+T

2− 2 · 1

− 1R·C· e− 1

R·C ·T2 + 4 · 1

−2 · 1R·C· e−2· 1

R·C ·T2

]

= U20 ·[

1

2+ 2 · R · C

T· e− T

2·R·C − 2 · R · CT· e− T

R·C

]∣∣∣∣T=1 [ms]R·C=1 [kΩ]·0.1 [µF]=0.1 [ms]

≈ 1

2· U2

0

≈ 1

2· (20 [V])2

≈ 200[V2]


v1.18

46MEE\co_ts.te

x13mars

2009




HEIG-VD


La puissance AC de u2(t) est dès lors :

P2,AC = P2 − P1,DC = 200[V2]− 100

[V2]

= 100[V2]

La valeur ecace AC est :U2eAC =

√P2,AC = 10 [V]

Puissance du signal i(t) Suite du corrigé en préparation.


v1.18

47MEE\co_ts.te

x13mars

2009





R

Cx(t) y(t)



Soit un ltre RC passe-bas dont la constante de temps est mal connue. On luiapplique une SIR x (t) d'amplitude A = 10 [V], de période T = 20 [ms] et delargeur ∆t = 1 [ms].

1. que valent les composantes continues des signaux d'entrée et de sortie ?

2. quelle est la fonction de transfert H (j · ω) du circuit ;

3. que valent les spectres bilatéraux X (j · k) et Y (j · k) ?

4. admettant que la constante de temps est de l'ordre de 2 [ms], esquissez lessignaux d'entrée x (t) et de sortie y (t) ; estimez la valeur maximum de y (t) ;

5. pour la fréquence f = 5 · f0, l'analyseur spectral du signal de sortie fournitle coecient complexe Y (j · 5) = −0.0659− j · 0.154 ; calculez l'amplitudeet l'argument de la fonction de transfert pour cette fréquence ;(Rép. : |H| = 0.37, 6 H = −68 [])

6. que valent la constante de temps et la fréquence de coupure du ltre ?(Rép. : τ = 1.6 [ms], fc = 100 [Hz])

Corrigé

1. Comme il s'agit d'un ltre passe-bas (gure 1.13), la composante continueX(j · 0) de l'entrée x(t) se retrouve telle quelle à la sortie :

Y (j · 0) = X(j · 0)

2. Sous l'hypothèse de régime sinusoïdal permanent, la fonction de transferten j ·ω s'obtient en raisonnant avec des impédance complexes et en faisantusage de la règle du diviseur de tension :

Y (j · k) =

1j·ω·C

R + 1j·ω·C

·X(j · k)





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///ex_sf_17_2.mp



d'où :

H(j · ω) =Y (j · k)

X(j · k)=

1

1 + j · ω ·R · C =1

1 + j · ω · τ =1

1 + j · ffc

∣∣∣∣∣fc=

12·π·τ

3. Pour X(j · k), c'est le spectre bien connu d'une SIR :

X(j·k) = A·∆tT·sinc(k · f0 ·∆t) = 10· 1 [ms]

20 [ms]·sinc

(k · 1

20 [ms]· 1 [ms]

)= 0.5·sinc(0.05 · k)

avec f0 = 1T. Y (j · k) est donc simplement :

Y (j ·k) = H(j · ω)|ω=2·π·f=2·π·k·f0·X(j ·k) =

1

1 + j · k · f0

fc

·0.5 · sinc(0.05 · k)

Graphiquement, les résultats se présentent comme indiqué sur la gure 1.14.

4. La gure 1.15 montre le signal de sortie, obtenu ici non par calcul analytique(résolution de l'équation diérentielle régisant le circuit de la gure 1.13)par synthèse à partie des N = 41 premiers termes de Y (j · k), i.e. par :

yN (t) =+N∑

k=−NY (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

5. On a :

H(j · ω)|ω=2·π·5·f0=Y (j · 5)

X(j · 5)

=0.0659− j · 0.154

0.5 · sinc(0.05 · 5)

= −0.1464− 0.3421 · j= 0.3721 · e−j·113.1671 []

6. Du point précédent, on tire :

|H(j · ω)|ω=2·π·5·f0= 0.3721

=

∣∣∣∣∣1

1 + j · ffc

∣∣∣∣∣

=1√

1 +(ffc

)2






−2000 −1000 0 1000 20000

0.10.20.30.40.5

f [Hz]

|X(j · k)|

−2000 −1000 0 1000 20000

0.20.40.60.8

1

f [Hz]

|H(j · k)|

−2000 −1000 0 1000 20000

0.10.20.30.40.5

f [Hz]

|Y (j · k)|

Figure 1.14 exsf.lml.







−0.04 −0.02 0 0.02 0.040

1

2

3

4

t [s]

yN(t)

Figure 1.15 Signal de sortie y(t) ≈ y41(t), obtenu par synthèse à partie desN = 41 premiers termes de Y (j·k), i.e. par : y41 (t) =

∑+41k=−41 Y (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

(chier source).

D'où :

1

0.37212= 1 +

(f

fc

)2

√1

0.37212− 1 =

f

fcf√

10.37212 − 1

= fc

5 · f0√1

0.37212 − 1= fc

5 · 50 [Hz]√1

0.37212 − 1= fc

100.22 [Hz] = fc

On en déduit :

τ =1

ωc=

1

2 · π · fc=

1

2 · π · 100.22 [Hz]= 1.59 [ms]









Un circuit non linéaire de type parabolique est modélisé par la caractéristique detransfert suivante :

u2 (t) = α · u1 (t) + β · u21 (t)

Sachant qu'on lui applique une tension sinusoïdale u1 (t) = A · sin (ω0 · t) :

1. déterminez les composantes spectrales que l'on obtient à la sortie ;

2. quelle est la puissance normalisée P2 du signal de sortie ?

3. que vaut-elle par rapport à celle du signal d'entrée P1 ?

4. faites l'A.N. avec A = 10 [V], ω = 2 · π · 100[rads

], α = 1, β = 0.2

[V−1

]

5. esquissez u2 (t) ; quel est son taux de distorsion harmonique ?

Corrigé

1. u2(t) a pour expression :

u2 (t) = α · u1 (t) + β · u21 (t)

= α · A · sin (ω0 · t) + β · (A · sin (ω0 · t))2

= α · A · sin (ω0 · t) + β · A2 · 1− 2 · cos (2 · ω0 · t)2

= β · A2

2+ α · A · sin (ω0 · t)− β ·

A2

2· cos (2 · ω0 · t)

Pour obtenir rapidement le spectre U2(j · k de u2(t), on peut dans ce casfaire usage des relations d'Euler :

u2 (t) = β · A2

2+ α · A · e

j·ω0·t − e−j·ω0·t

2 · j − β · A2

2· e

j·2·ω0·t + e−j·2·ω0·t

2

= β · A2

2+α · A2 · j · e

j·ω0·t − α · A2 · j · e

−j·ω0·t − β · A2

4· ej·2·ω0·t − β · A2

4· e−j·2·ω0·t

= 0.2 · 102

2+

1 · 10

2 · j · ej·ω0·t − 1 · 10

2 · j · e−j·ω0·t − 0.2 · 102

4· ej·2·ω0·t − 0.2 · 102

4· e−j·2·ω0·t

= 10 + 5 · e−j·π2 · ej·ω0·t + 5 · e+j·π2 · e−j·ω0·t + 5 · ej·π · ej·2·ω0·t + 5 · e−j·π · e−j·2·ω0·t

= U2(j · 0) + U2(j · 1) + U2(−j · 1) + U2(j · 2) + U2(−j · 2)

2. La puissance du signal d'entrée est donnée par le carré de sa valeur ecace,soit

P1 = U21e =

A√2

2

=A2

2=

102

2= 50

[V2]






Pour le signal de sortie u2(t), on a en faisant usage de Parseval :

P2 =+∞∑

k=−∞|X (j · k)|2

= |U2 (−j · 2)|2 + |U2 (−j · 1)|2 + |U2 (j · 0)|2 + |U2 (j · 1)|2 + |U2 (j · 2)|2

=∣∣5 · e−j·π

∣∣2 +∣∣5 · e−j·π2

∣∣2 + 102 +∣∣5 · e+j·π

2

∣∣2 +∣∣5 · ej·π

∣∣2

= 52 + 52 + 102 + 52 + 52

= 200[V2]

3. On a :P2

P1

=200

[V2]

50[V2] = 4

4. cf ci-dessus

5. Le taux de distortion harmonique (TDH) est donné par :

TDH =Xe (k > 1)

Xe (k = 1)=

√X2 (2) +X2 (3) +X2 (4) + . . .

X2 (1)

On a donc :

TDH =

√U2

2 (2)

U22 (1)

=

√52

52= 100%






Chapitre 2

Analyse des signaux nonpériodiques


2.1.1 Exercice TF 1

À partir de la seule observation du signal temporel de la gure 2.1, précisez ce quevaut sa densité spectrale en f = 0 [Hz] puis calculez et esquissez sa transforméede Fourier.

Corrigé

Selon la propriété de la transformée de Fourrier

X(0) =

∫ +∞

−∞x(t) · dt

on a :X(0) = 1 · 2 [ms] + 2 · 2 [ms] + 1 · 2 [ms] = 8 [ms]

Le signal de la gure 2.1 page suivante est constitué de 3 impulsions rectangulairesdécalées et pondérées. Si y(t) est une impulsion rectangulaire dénie comme

y(t) =

0 si |t| > ∆t

2

1 si |t| ≤ ∆t2

dont la transformée de Fourier est

Y (j · f) = Fy(t) = ∆t · sinc(f ·∆t)

alors x(t) peut être exprimé comme suit :

x(t) = y (t+ 4 [ms]) + 2 · y (t) + y (t− 4 [ms])






−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

0

0.5

1

1.5

2

temps [msec]

x(t)

Figure 2.1 Exercice TF1.

En faisant usage des propriétés de linéarité

a · x(t) + b · y(t)←→ a ·X(j · f) + b · Y (j · f)

et de décalagex(t+ td)←→ X(j · f) · e+j·2·π·f ·td

de la transformée de Fourier, on a :

X(j · f) = Fx(t)= Y (j · f) · e+j·2·π·f ·4 [ms] + 2 · Y (j · f) + Y (j · f) · e−j·2·π·f ·4 [ms]

= ∆t · sinc(f ·∆t) · e+j·2·π·f ·4 [ms] + 2 ·∆t · sinc(f ·∆t) + ∆t · sinc(f ·∆t) · e−j·2·π·f ·4 [ms]

= ∆t · sinc(f ·∆t) ·[e+j·2·π·f ·4 [ms] + 2 + e−j·2·π·f ·4 [ms]

]

= ∆t · sinc(f ·∆t) · [2 · cos (2 · π · f · 4 [ms]) + 2]

= 2 · 2 [ms] · sinc(f · 2 [ms]) · [cos (2 · π · f · 4 [ms]) + 1]

= 4 [ms] · sinc(f · 2 [ms]) · [1 + cos (2 · π · f · 4 [ms])]

2.1.2 Exercice TF 2

Partant de la TF d'une impulsion rectangulaire et de la propriété d'intégration,calculez les TF de x(t) et y(t) (gure 2.2). Après calculs, vous remarquerez queY (j · f) peut s'écrire sous la forme d'un sinc2.






−400 −200 0 200 400 600−1

0

1

x(t)

−400 −200 0 200 400 6000

0.5

1

y(t)

−400 −200 0 200 400 6000

0.5

1

temps [msec]

z(t)

Figure 2.2 Exercices TF2 et TF3.

Corrigé

x(t) est constituée la superposition de 2 impulsions de largeur ∆t = 200 [ms],l'une avancée de td1 = 100 [ms] = ∆t

2et l'autre retardée de td2 = −100 [ms] = −∆t

2

et de polarité négative (gure 2.1.2). On a donc :

X(j · f) = Fx(t)= A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · e+j·2·π·f ·∆t

2 − A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · e−j·2·π·f ·∆t2

= A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) ·[e+j·2·π·f ·∆t

2 − e−j·2·π·f ·∆t2]

= A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · 2 · j · sin (π · f ·∆t)= j · 2 · A ·∆t · sinc(π · f ·∆t) · sin (π · f ·∆t)

Application numérique :

X(j · f) = j · 2 · A ·∆t · sinc(f ·∆t) · sin (π · f ·∆t)= j · 2 · 1 · 200 [ms] · sinc(π · f · 200 [ms]) · sin (π · f · 200 [ms])

= j · 400 [ms] · sinc(π · f · 200 [ms]) · sin (π · f · 200 [ms])





HEIG-VD


+

=

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

u (t)

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

u(t + ∆t

2

)

∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

−u(t − ∆t

2

)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x (t) = u(t + ∆t

2

)+ u

(t − ∆t

2

)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

1∆t

·∫ t

−∞ u(τ + ∆t

2

)· dτ

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

1∆t

·∫ t

−∞−u(τ − ∆t

2

)· dτ

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

y(t) = 1∆t

·∫ t

−∞ x (τ) · dτ

Figure 2.3 En traitillé l'intégrale sans prise en compte du facteur 1∆t.


v1.18

58MEE\co_ts.te

x13mars

2009





y(t) correspond, à un facteur 1∆t

près, à l'intégrale de x(t) (gure 2.1.2) :

y(t) =1

∆t·∫ t

−∞x(τ) · dτ

Connaissant la propriété de la TF

∫ t

−∞x(τ) · dτ ←→ 1

j · 2 · π · f ·X(j · f) +1

2·X(0) · δ(f)

avec X(0) =∫ +∞−∞ x(t) · dt, l'on peut ainsi écrire :

Y (j · f) = Fy(t)

=1

∆t·

1

j · 2 · π · f ·X(j · f) +1

2·

∫+∞−∞ x(t)·dt=0︷︸︸︷X(0) ·δ(f)

=1

∆t· 1

j · 2 · π · f ·X(j · f)

=1

∆t· 1

j · 2 · π · f · A ·∆t · sinc(f ·∆t) · 2 · j · sin (π · f ·∆t)

= A ·∆t · sinc(f ·∆t) · sin (π · f ·∆t)π · f ·∆t ·

= A ·∆t · sinc2(π · f ·∆t)

Application numérique :

Y (j · f) = A ·∆t · sinc2(π · f ·∆t)= 1 · 200 [ms] · sinc2(π · f · 200 [ms])

2.1.3 Exercice TF 3

Partant de la TF d'une impulsion et d'un saut unité, trouvez celle de z(t) (gure2.2). Est-il possible de trouver Z(j · f) à partir de Y (j · f) ? Vous pouvez vériervotre résultat en calculant Z(j · f = 0) qui doit être égal à ∆t

2.

Corrigé

1. z(t) correspond à la somme (gure 2.4 ) de

(a) l'intégrale d'une impulsion rectangulaire v(t) de largeur ∆t, retardéede ∆t

2et d'amplitude − 1

∆t:

(b) et d'un saut unité ε(t)






∆t

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−5−4−3−2−1

01

t [s]

v (t)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

∫ t

−∞ v (τ) · dτ

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

ε (t)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

z (t) =∫ t

−∞ v (τ) · dτ + ε(t)

Figure 2.4






z(t) =

∫ t

−∞v(τ) · dτ + ε(t)

D'où :

Z(j · f) = Fz(t)

Z(j · f) = F∫ t

−∞v(t) · dt

+ Fε(t)

=1

j · 2 · π · f · V (j · f) +1

2·

∫+∞−∞ v(t)·dt=−1︷︸︸︷V (0) ·δ(f) +

1

j · 2 · πf +1

2· δ(f)

=1

j · 2 · π · f ·1

−∆t·∆t · sinc(f ·∆t) · e−j·2·π·f ·∆t2 +

−1

2· δ(f) +

1

j · 2 · πf +1

2· δ(f)

=1

j · 2 · π · f ·[−sinc(f ·∆t) · e−j·π·f ·∆t + 1

]

2. On voit quey(t) = z(−t) + z(t)

Comme y(t) est paire, on sait que =Y (j · f) = 0. On a :

Y (j · f) = Z∗(j · f) + Z(j · f) = 2 · < Z(j · f)Si on connaît Y (j·f), on ne peut déduire que <Z(j · f) et pas =Z(j · f).

3. On a par la propriété de la TF :

Z(0) =

∫ +∞

−∞z(t) · dt =

∆t

2

On obtient le même résultat en faisant tendre f vers 0 dans l'expression deZ(j · f) :

limf→0

Z(j · f) = limf→0

1

j · 2 · π · f ·[−sinc(f ·∆t) · e−j·π·f ·∆t + 1

]

= limf→0

1

j · 2 · π · f · [−1 · (1− j · π · f ·∆t) + 1]

= limf→0

1

j · 2 · π · f · [−1 + j · π · f ·∆t+ 1]

=∆t

2

2.1.4 Exercice TF 4

Soit un signal carré symétrique (à valeur moyenne nulle) d'amplitude A. Esquissez

1. le signal x(t) ;

2. le spectre que l'on obtient avec les séries de Fourier ;

3. le spectre que l'on obtient avec la transformation de Fourier.





HEIG-VD


Corrigé

La série de Fourier complexe d'un signal carré périodique (gure 2.5) de période T = 1f0, de valeur moyenne nulle (pas

d'oset) se calcule comme suit :

X (j · k) =1

T·∫ +T

4

−T4

(+A) · e−j·2·π·k·f0·t · dt+1

T·∫ + 3·T

4

T4

(−A) · e−j·2·π·k·f0·t · dt

=A

T·(∫ +T

4

−T4

e−j·2·π·k·f0·t · dt−∫ + 3·T

4

T4

e−j·2·π·k·f0·t · dt)

=A

T·( −1

j · 2 · π · k · f0

·(e−j·2·π·k·f0·T4 − e+j·2·π·k·f0·T4

)− −1

j · 2 · π · k · f0

·(e−j·2·π·k·f0· 3·T4 − e−j·2·π·k·f0·T4

))

=A

T·

T

2· sin

(k · π · f0 · T2

)

k · π · f0 · T2− −1

j · 2 · π · k · f0

· e−j·2·π·k·f0·T2︸︷︷︸−1k

·(e−j·2·π·k·f0·T4 − e+j·2·π·k·f0·T4

)

=A

T·(T

2· sin

(k · π · f0 · T2

)

k · π · f0 · T2− (−1)k · −1

j · 2 · π · k · f0

·(e−j·2·π·k·f0·T4 − e+j·2·π·k·f0·T4

))

=A

T·(T

2· sin

(k · π · f0 · T2

)

k · π · f0 · T2− (−1)k · T

2· sin

(k · π · f0 · T2

)

k · π · f0 · T2

)

=

0 pour k = 0 et k paire

A · sin(k·π2 )k·π

2= sinc

(k · π

2

)pour k impaire

Ce résultat est représenté sur la gure 2.6.


v1.18

62MEE\co_ts.te

x13mars

2009





−4 −2 0 2 4−1

−0.5

0

0.5

1

t [s]

x(t)

Figure 2.5

Le signal carré périodique x(t) s'exprime partant de sa série de Fourier com-plexe X(j · k) :

x (t) =∞∑

k=−∞X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t

La transformée de Fourier de x(t) s'écrit alors, en appliquant la dénition et entenant compte de la transformée de Fourier d'un phaseur :

X(j · f) =

∫ +∞

−∞x(t) · e−j·2·π·f ·t · dt

=

∫ +∞

−∞

∞∑

k=−∞X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t · e−j·2·π·f ·t · dt

=∞∑

k=−∞

∫ +∞

−∞X (j · k) · e+j·2·π·k·f0·t · e−j·2·π·f ·t · dt

=∞∑

k=−∞X (j · k) ·

∫ +∞

−∞e+j·2·π·k·f0·t︸︷︷︸

phaseur

·e−j·2·π·f ·t · dt

=∞∑

k=−∞X (j · k) · δ(f − k · f0)

On obtient donc bel et bien un spectre de raies, représentées par des impulsionsde Dirac pondérées par X(j · k) (gure 2.7).






−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

|X(j · k)|

−10 −5 0 5 10−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·k)π

Figure 2.6

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

|X(j · f)|

−10 −5 0 5 10−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

argX(j·f)π

Figure 2.7






2.1.5 Exercice TF 5

Considérant le signal x(t) = e−a·|t|, calculez et esquissez x(t) et X(j · f), puisvériez les 2 égalités suivantes :

X(0) =

∫ +∞

−∞x(t) · dt

x(0) =

∫ +∞

−∞X(j · f) · df

Corrigé

En préparation.

2.1.6 Exercice TF 6

fréquence temps

1 la partie réelle de X(j · f) estnulle

2 la partie imaginaire de X(j · f)est nulle

3 il existe un décalage t0 tel que

ej·2·π·f ·t0 ·X(j · f)

est réel4 X(j · f) est continu

1. Considérant les quatre propriétés fréquentielles du tableau ci-dessus, expri-mez leur équivalent temporel dans la colonne de droite.

2. Pour chacun des signaux temporels de la gure 2.8, quelles sont les proprié-tés du tableau qui s'y appliquent ?

3. Construisez un signal qui ne possède aucune des quatre propriétés mention-nées dans le tableau.

Corrigé

En préparation.






−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (a)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1(b)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (c)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (d)

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

0.5

1(e)

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

−0.5

0

0.5

1 (f)







5.−2 −1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(

t)

temps [msec]


2.1.7 Exercice TF 7

Soit X(j ·f) la transformée de Fourier du signal x(t) de la gure 2.9. Sans calculerexplicitement X(j · f), recherchez :

1. la densité spectrale de phase de X(j · f) ;

2. la valeur de X(f = 0) ;

3. la valeur de∫ +∞−∞ X(j · f) · df ;

4. la valeur de∫ +∞−∞ |X(j · f)|2 · df .

Corrigé

En préparation.

2.1.8 Exercice TF 8

Connaissant la TF d'une sinusoïde amortie x(t) = A · e−a·t · sin(2 · π · f0 · t) · ε(t) :

1. calculez la transformée de Fourier d'une sinusoïde démarrant à l'instantzéro :

y(t) = A · sin(2 · π · f0 · t) · ε(t)2. esquissez les spectres X(j ·f), Y (j ·f) et celui d'une sinusoïde permanente ;

3. discutez les diérences existant entre ces trois spectres.






Corrigé

En préparation.

2.1.9 Exercice TF 9

On applique une exponentielle décroissante u1(t) = U0·e−a·t·ε(t), d'amortissementa = 100 [s−1] à un ltre passe-bas de constante de temps τ = 1 [ms] ;

1. calculez la TF U2(j · f) de la tension de sortie u2(t) du ltre ;

2. utilisez le tableau des transformées pour déduire l'expression temporelle deu2(t).

Corrigé

1. La fonction de transfert du ltre, exprimée dans le domaine fréquentiel, est :

H(j · f) =U2(j · f)

U1(j · f)=

1

1 + j · 2 · π · f · τ

On a donc, en tenant compte du fait que la transformée de Fourier de u1(t)a été calculée au 2.3.1 :

U2(j · f) = H(j · f) · U1(j · f)

=1

1 + j · 2 · π · f · τ · U1(j · f)

=1

1 + j · 2 · π · f · τ · U0 ·1

a+ j · 2 · π · f=U0

τ· 1

1τ

+ j · 2 · π · f ·1

a+ j · 2 · π · f

2. La transformée de Fourier inverse fournit directement u2(t) (annexe 2.A) :

u2(t) =U0

τ· 1

a− 1τ

·(e−

tτ − e−a·t

)· ε(t)

=U0

a · τ − 1·(e−

tτ − e−a·t

)· ε(t)

=U0

1− a · τ ·(e−a·t − e− t

τ

)· ε(t)

2.1.10 Exercice TF 10

Soit un message m(t) = A · cos(2 ·π ·f1 · t) modulé en amplitude par une porteusesinusoïdale p(t) = sin(2 · π · f0 · t) :






1. calculez la TF du signal modulé x(t) = m(t) · p(t) = A · sin(2 · π · f0 · t) ·cos(2 · π · f1 · t) ;

2. esquissez le spectre du signal modulé |X(j · f)| si f1 = 10 [kHz] et f0 =800 [kHz] ;

3. idem que le point 2) lorsque le signal m(t) possède un spectre continu|M(j · f)| triangulaire et non-nul entre 2 [kHz] et 10 [kHz].

Corrigé

En préparation.


Soit le signal :

u(t) =

U0 · cos(2 · π · f0 · t) si |t| ≤ t0

0 si |t| > t0

1. esquissez u(t) ;

2. calculez sa TF U(j · f) ;

3. esquissez |U(j · f)| pour U0 = 1 [V] T = 1f0

= 1 [ms] t0 = 10 [ms].

Ce signal correspond à l'observation d'une fonction sinusoïdale pendant une duréenie 2 ·t0. On remarquera, une fois le calcul eectué, que l'analyse spectrale d'unesinusoïde pendant une durée nie revient à remplacer les raies spectrales situéesen f = ±f0 par la fonction sinus cardinal.

Corrigé

On sait que

1.

2. On peut exprimer u(t) comme

u(t) = rect (t, 2 ·∆t)·U0·cos(2·π·f0·t) = rect (t, 2 ·∆t)·U0·ej·2·π·f0·t + e−j·2·π·f0·t

2

où la fonction rect (t,∆t) est dénie comme suit :

rect (t,∆t) =

0 si |t| > ∆t

2

1 si |t| ≤ ∆t2

Sa TF est (2.2.1)∆t · sinc (π · f · δt)






Sachant que (2.1.4, propriété de modulation)

x(t) · e+j·2·π·f0·t ←→ X (j · (f − f0))

on peut écrire :

U(j ·ω) = U0 ·2 ·∆t ·sinc (π ·∆t · (f − f0))+U0 ·2 ·∆t ·sinc (π ·∆t · (f + f0))

3.


Soit la fonction :

u(t) =

12· [1− cos(2 · π · f0 · t)] si |t| ≤ T

2

0 si |t| > T2

1. esquissez u(t) ;

2. calculez sa TF U(j · f) ;

3. esquissez U(j · f) et la TF d'une impulsion rectangulaire de même durée ;

4. observez les diérences.

Corrigé

En préparation.


Connaissant la transformée E(j · f) d'un saut unité ε(t), calculez la transforméeS(j · f) de la fonction signe s(t).

Corrigé

En préparation.


Montrez qu'un produit simple dans l'espace des fréquences correspond à un pro-duit de convolution dans l'espace temps :

Y (j · f) = X(j · f) ·H(j · f) ⇔ y(t) = x(t) ∗ h(t) =

∫ +∞

−∞x(θ) · h(t− θ) · dθ






Pour démontrer ce résultat important et bien connu, vous pouvez d'abord expri-mer la TFI de Y (j · f) :

y(t) =

∫ +∞

−∞Y (j · f) · e+j·2·π·f ·t · df =

∫ +∞

−∞H(j · f) ·X(j · f) · e+j·2·π·f ·t · df

puis y introduire la TF de x(t) :

X(j · f) =

∫ +∞

−∞x(θ) · e−j·2·π·f ·θ · dθ

Corrigé

En préparation.


Considérant la réponse d'un ltre h(t) dont le spectre est le suivant :

H(j · f) =

1 si |f | ≤ 100 [Hz]0 sinon

1. esquissez H(j · f) ;

2. calculez, puis esquissez h(t) ;

3. ce signal correspond à la réponse impulsionnelle du ltre décrit par H(j ·f);ce ltre est-il réalisable ? Justier la réponse.

Indication Le calcul de la transformée de Fourier inverse (TFI) peut se faireen appliquant la dénition telle quelle ; mais il est immédiat si l'on se souvientque

F x(t) = X(j · f)⇐⇒ F−1 x(j · f) = X(−t)

Corrigé

1. H(j ·f) est une fenêtre fréquentielle rectangulaire de hauteur 1 et de largeur2 · fc = 2 · 100 [Hz] (gure 2.10). On peut donc écrire :

H(j · f) = ε(f + fc)− ε(f − fc)






2 · fcA

−300 −200 −100 0 100 200 3000

0.20.40.60.8

1

f [Hz]

|X(j · f)|

Figure 2.10 (chier source)

A · 2 · fc

12·fc

−0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03−100

0

100

200

t [s]

x(t)


2. La TFI de H(j · f) est, en tenant compte de la propriété de symétrie de latransformée de Fourier

F x(t) = X(j · f)⇐⇒ F−1 x(j · f) = X(−t)

h(t) = A · 2 · fc · sinc (−π · t · 2 · fc)= 200 [Hz] · sinc (π · 200 [Hz] · t)

C'est un sinus cardinal (sinc) en fonction de t (gure 2.11).

3. h(t) est la réponse impulsionnelle du ltre, i.e. la réponse à une impulsionde Dirac δ(t) ; celle-ci intervenant en t = 0 [s], on voit (gure 2.11) que laréponse h(t) existe pour t < 0 [s]. Le système "ltre passe-base idéal" estdonc non causal et par suite irréalisable.


Considérant un signal u(t) dont le spectre est le suivant :

U(j · f) =

1 si 100 [Hz] ≤ |f | ≤ 200 [Hz]0 sinon




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/metapost///ex_TS_TF_9.mp

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/metapost///ex_TS_TF_9.mp



1. esquisser U(j · f) ;

2. calculer puis esquissez u(t) ;

3. que vaut sa puissance ?

Corrigé

1.

2. En protant de la propriété de symétrie

F x(t) = X(j · f)⇐⇒ F−1 x(j · f) = X(−t)

et en expimant X(j · f) sous la forme de 2 impulsions décalées dans ledomaine des fréquences,

X(j · f) = rect

f + f0︸︷︷︸

150 [Hz]

, ∆f︸︷︷︸100 [Hz]

+ rect (f − f0,∆f)

on a :

x(t) = ∆f · sinc(π ·∆f · (−t)) · e−j·2·π·f0·t + ∆f · sinc(π ·∆f · (−t)) · e+j·2·π·f0·t

= 2 ·∆f · sinc(π ·∆f · t) · cos (2 · π · f0 · t)

3. La puissance de x(t) est avantageusement calculée dans l'espace des fré-quences :

Wx =

∫ +∞

−∞Sx(f) · df

=

∫ +∞

−∞|X(j · f)|2 · df

= 1 ·∆f + 1 ·∆f= 2 ·∆f


Utiliser la transformation de Fourier pour trouver le courant circulant dans uncircuit RC série sachant que le signal appliqué est un saut de tension d'amplitudeE.






Corrigé

Le circuit est décrit par l'équation diérentielle (conditions initiales nulles) :

u(t) = R · i(t) +1

C·∫ t

−∞i(τ) · dτ

La transformée de Fourier des 2 membres de cette équation diérentielle donne :

U(j · f) = R · I(j · f) +1

C·(

1

j · 2 · π · f · I(j · f) +1

2· δ(f) · I(0)

)

= R · I(j · f) +1

C·

I(j · f) +

0∀f︷︸︸︷1

2· δ(f) · I(0) · j · 2 · π · fj · 2 · π · f

= R · I(j · f) +1

C· I(j · f)

j · 2 · π · f

=

(R +

1

C· 1

j · 2 · π · f

)· I(j · f)

=j · 2 · π · f ·R · C + 1

j · 2 · π · f · C · I(j · f)

On en déduit :

I(j · f) =j · 2 · π · f · C

1 + j · 2 · π · f ·R · C · U(j · f)

=j · 2 · π · f

1 + j · 2 · π · f ·R · C ·(

1

j · 2 · π · f · E +1

2· δ(f) · E

)

=C

1 + j · 2 · π · f ·R · C ·

j · 2 · π · fj · 2 · π · f · E + j · 2 · π · f · 1

2· δ(f) · E

︸︷︷︸0

=C

1 + j · 2 · π · f ·R · C · E

De façon à être compatible avec les formes de présentation des transformées deFourier utilisées dans la tables, on s'arrange pour que les coecients des plushaute puissance de j · ω (ici 1 au dénominateur, 0 au numérateur) soient uni-






taires :

I(j · f) =CR·C

j · 2 · π · f + 1R·C· E

=1R

j · 2 · π · f + 1R·C· E

=1

R· 1

j · 2 · π · f + 1R·C· E

En se référant à l'annexe 2A, on a, avec a = 1R·C :

i(t) = F−1 I(j · f) =E

R· e− 1

R·C ·t · ε(t)


On applique une fonction signe u1(t) d'amplitude E à un ltre RC passe-bas.

1. utilisez la transformation de Fourier pour trouver la tension de sortie ;

2. esquissez u1(t) et u2(t).

Corrigé

En préparation.


On applique une exponentielle symétrique u1(t) = U0 · e−a·|t| à un ltre passe-basde constante de temps τ .

1. avant de vous lancer dans les calculs, esquissez u1(t) et imaginez ce quepeut être u2(t) ;

2. calculez la tension de sortie du ltre.

La marche à suivre est la même que celle utilisée avec la transformation de La-place : décomposition en somme de fractions simples puis recherche des coe-cients par identication avec des transformées connues.

Corrigé

En préparation.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_TS/cours_ts.pdf#table.TS_TF_table




On applique une exponentielle décroissante u1(t) = U0 · e−a·t · ε(t) à un ltrepasse-bas idéal de fréquence de coupure fc.

1. exprimez U1(j · f) et U2(j · f) ; esquissez leur module ;

2. en admettant U0 = 10 [V] et a = 1000 [s−1], calculez les énergies E1 et E2

des signaux d'entrée et de sortie lorsque :

(a) fc = 1 [kHz]

(b) fc = a2·π

Corrigé

En préparation.


On applique à un ltre passe-bas de constante de temps τ = 1 [ms] un signal u1(t)dont le spectre est déni par :

U1(j · f) =

1[VHz

]si 100 [Hz] <= |f | <= 300 [Hz]

0[VHz

]sinon

1. exprimez la fonction de transfert H(j · f) du ltre ; que vaut sa fréquencecaractéristique fc ?

2. esquissez U1(j · f), H(j · f) et U2(j · f) pour −500 [Hz] < f < +500 [Hz] ;

3. quelles sont les énergies E1 et E2 des signaux d'entrée et de sortie ?

4. comment évoluera E2 si la constante de temps τ diminue ?

5. comment calculeriez-vous u2(t) ? Ne faites pas les calculs, mais précisezpoint par point votre démarche ; essayez d'entrevoir les dicultés de cecalcul.

Corrigé

En préparation.


On applique à un ltre passe-bas de constante de temps τ = R ·C = 10 [ms] unetension exponentielle u1(t) = 10 · e−a·t · ε(t) avec a = 1000 [s−1].






1. esquissez u1(t) et u2(t) ;

2. calculez les énergies contenues dans les signaux d'entrée et de sortie. 1

Corrigé

En préparation.


On applique une impulsion de Dirac δ(t) à un ltre passe-bande dont la fonctionde transfert vaut :

H(j · f) =D0 · j·ff0

1 +D0 · j·ff0+(j·ff0

)2 D0 =1

Q0

1. esquissez les spectres des signaux d'entrée et de sortie ;

2. exprimez l'énergie du signal de sortie contenue dans la bande passante ∆fsachant que :

f0 =1

2 · π ·√LC

= 1 [kHz] D0 =1

Q0

= 0.1

fi,s =∆f

2·[±1 +

√1 + 4 ·Q2

0

]∆f = f0 ·D0

Corrigé

En préparation.


Considérant le spectre X(j · f) de la gure 2.12 constitué d'un sinus cardinald'amplitude X(0) = 2 · 10−3 et de 2 impulsions de Dirac de surface 1

2, trouvez

puis esquissez le signal x(t) correspondant.

1. Si le calcul de l'intégrale dénie nécessaire pour obtenir l'énergie vous paraît trop dicile,essayez la démarche suivante :

(a) esquissez la fonction à intégrer ;

(b) estimez des limites raisonnables pour la valeur de l'énergie ;

(c) à l'aide d'un petit programme (une douzaine de lignes), intégrez numériquement la densitéspectrale d'énergie. Si le nombre de pas est susant, le résultat obtenu sera tout à faitsatisfaisant.






−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20x 10−4

fréquence [kHz]

X(jf

)

1/21/2


Corrigé

En préparation.


A partir du signal x(t) = e−a·t · ε(t), trouvez le spectre de y(t) = sgn(t).

Corrigé

En préparation.

2.1.26 Exercice Corr 1

Considérant le signal x(t) déni comme suit :

x(t) =

−A si −∆t < t < 00 si t = 0

+A si 0 < t < ∆t0 si |t| ≥ ∆t

on demande :

1. esquissez x(t)

2. calculez sa fonction d'autocorrélation pour les valeurs particulières suivantes

τ = 0 τ = ±∆t τ = ±2 ·∆t

3. esquissez la fonction rxx(τ) −∞ < τ < +∞.






Corrigé

1. L'esquisse de x(t) est présenté à la gure 2.13(a).

2. Pour τ = 0 [s], la fonction d'autocorrélation est

rxx(0) = Wx =

∫ +∞

−∞x(t) · x(t) · dt =

∫ +∞

−∞x2(t) · dt

On a :rxx(0) = 2 · A2 ·∆t

Pour τ = ∆t, la situation est décrite sur la gure 2.13(b), avec en grisla surface dénie par le produit x(t) · x(t+ τ). Comme, par dénition, lafonction d'autocorrélation est l'intégrale de ce produit, i.e.

rxx(τ) =

∫ +∞

−∞x(t) · x(t+ τ) · dt

on a :rxx(∆t) = −A2 ·∆t

Pour τ = 2 ·∆t, la situation est décrite sur la gure 2.13(c). On a claire-ment :

rxx(2 ·∆t) = 0

3. Comme les surfaces dénies par le produit x(t)·x(t+τ) évoluent linéairementavec τ et que l'on dispose des valeurs de rx(τ) pour τ = 0 [s], τ = ∆t etτ = 2 ·∆t, on peut facilement esquisser rx(τ) (gure 2.14).






∆t∆t

+A

−A

−1 −0.5 0 0.5 1−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t)

(a) x(t)

∆t∆t

τA

−1 −0.5 0 0.5 1−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + τ)

(b) τ = ∆t

∆t∆t

τA

−1 −0.5 0 0.5 1−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + τ)

(c) τ = 2 ·∆t

∆t∆t

τA

−1 −0.5 0 0.5 1−4

−2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + τ)

(d) τ = 0.33 [s]

Figure 2.13 (a) : signal x(t).(b) : décalage de τ = ∆t. (c) : décalage deτ = 2 ·∆t. (d) : décalage de τ = 0.33 [s] (chier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices//Figures/corr1_4.pdf




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/metapost///corr1.mp



−1 −0.5 0 0.5 1−2

−1

0

1

2

t [s]

x(t)

−A2 · ∆t −A2 · ∆t

2 · A2 · ∆t

−∆t +∆t

−1 −0.5 0 0.5 1−2

−1

0

1

2

3

τ [s]

rx(τ)





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/metapost///corr1.mp



2.1.27 Exercice Corr 2

Considérant les 3 signaux suivants : x(t) = une exponentielle décroissante d'amplitude A et de constante de

temps τ1

y(t) = une impulsion rectangulaire centrée en t = 0, d'amplitude A et delargeur ∆t

z(t) = une impulsion triangulaire centrée en t = 0, d'amplitude A et debase 2 ·∆t

on demande :

1. esquissez ces 3 signaux ;

2. calculez des valeurs particulières de leur fonction d'autocorrélation ;

3. calculez leur fonction d'autocorrélation pour τ compris entre +∞ et −∞ ;

4. esquissez ces fonctions.

Remarque Le calcul de la troisième fonction n'est pas simple ; sans entrer dansle détail des calculs, imaginez comment vous devriez vous y prendre pour le faire.

Corrigé

En préparation.






Chapitre 3

Echantillonnage des signauxanalogiques


3.1.1 Exercice ECH 1

Considérant un signal dont le spectre est représenté à la gure 3.1, déterminezla fréquence d'échantillonnage minimum pour qu'il n'y ait pas de recouvrementspectral. Admettant fe = 16 [kHz],

1. dessinez le spectre du signal échantillonné pour f compris entre ±16 [kHz] ;

2. que faut-il faire pour éviter le recouvrement spectral ?

3. dessinez le nouveau spectre ; quel en est l'avantage ?

Corrigé

On constate que le spectre proposé est borné par fmax = 10 [kHz] ; la fréquenced'échantillonnage devrait donc être supérieure à 2 · fmax = 20 [kHz].

1. Cependant, comme on propose fe = 16 [kHz], il y aura inévitablement durecouvrement spectral pour f > fe − fmax = 6 [kHz].

2. En ltrant analogiquement le signal temporel avant de l'échantillonner, onpourra supprimer les fréquences supérieures à fN = fe

2= 8 [kHz] et éviter

ainsi tout recouvrement jusqu'à la fréquence de Nyquist fN .

3. On a ainsi gagné 2 [kHz] de bande passante non perturbée par le recouvre-ment spectral.






−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

f [kHz]

X(jf

) [V

/Hz]

f_xechant1_1.eps

Figure 3.1 Exercice 1 (chier source).


On échantillonne un signal xa(t) = cos(2 · π · 1000 · t) ;1. esquissez xa(t) sur 3 périodes T au moins puis échantillonnez xa(t) avec

(a) Te = T4;

(b) Te = T2;

(c) Te = 3 · T4;

2. esquissez Xa(j · f) ;

3. esquissez les 3 spectres Xe(j · f) correspondant aux 3 échantillonnages ;analysez et commentez.

Corrigé

En préparation.


On considère une SIR d'amplitude A = 10 [V], de période T0 = 1 [ms] et delargeur ∆t = T0

4que l'on échantillonne avec Te = T0

20;

1. esquissez x(t) et xe(t) ;

2. esquissez X(j · f) et Xe(j · f) ;

3. que valent X(j · f) et Xe(j · f) pour f = 3 [kHz] ?Rép. : Xe(+j · 3) = X(+j · 3) +X(−j · 17) +X(+j · 23)




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///xechant1.m



Corrigé

1. En préparation.

2. La densité spectrale d'amplitude d'une SIR a été calculée au chap.1 :

X (j · k) = A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t

Comme les raies spectrales des séries de Fourier complexes X(j · k) de-viennent des impulsions de Dirac lorsque l'on passe à la transformée deFourier (cf.ex.TF4), on a pour X(j · f) :

X (j · f) =+∞∑

k=−∞A · ∆t

T· sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t· δ(f − k · f0)

Par suite de l'échantillonnage, cette densité spectrale va se répéter et accu-muler tous les fe, i.e. dans le cas particulier tous les fe = 20 · f0 = 20 [kHz].

Xe (j · f) =+∞∑

m=−∞X(j · (f −m · fe)) (3.1)

Comme X(j · f) n'est pas à bande limitée, il y aura recouvrement spectral,i.e. on retrouvera dans la bande de base −fe

2. . . + fe

2= −10 [kHz] . . . +

10 [kHz] des raies spectrales correspondant à des fréquences du spectre ori-ginal X(j · f) supérieures à fe

2= 10 [kHz].

3. Pour la raie spectrale de Xe(j · f) située à f = 3 [kHz], on aura : La raie originale de X(j · f), correspondant à m = 0 et k = 3 dans

l'expression (3.1) ci-dessus ; La raie de Xe(j · f), correspondant à m = 1 et k = −17 de (3.1) ; La raie de Xe(j · f), correspondant à m = −1 et k = +23 de (3.1) ;On aura donc, en négligeant le recouvrement pour |m| > 1 :

Xe(j · 3 [kHz]) = X(j · 3 [kHz]) +X(−j · 17 [kHz]) +X(+j · 23 [kHz])


Soit un signal en dents de scie d'amplitude A = 5 [V], de période T0 = 1 [ms] quel'on échantillonne avec la fréquence fe = 8 [kHz] ;

1. esquissez x(t) et xe(t) ;

2. sachant que X(j · k) = (−1)k+1 · Aj·k·π , esquissez X(j · f) et Xe(j · f) ;

3. que valent X(j · f) et Xe(j · f) pour f = 1 [kHz] ?






Corrigé

En préparation.


Considérant le signal analogique

xa(t) = 2·cos(100·π·t)+5·sin(

250 · π · t+π

6

)−4·cos(380·π·t)+16·sin

(600 · π · t+

π

4

)

1. quelle valeur minimum faut-il choisir pour fe si l'on veut respecter le théo-rème d'échantillonnage ?

2. soit fe = 3 ·fe min, esquissez les spectres d'amplitudes et de phases du signalxe(t).

Corrigé

1. Ce signal comporte quatre composantes spectrales situées en f = 50, 125, 190, 300 [Hz].La fréquence d'échantillonnage devra donc valoir au moins 2·fmax = 600 [Hz].

2. En choisissant fe = 3 · fe,min = 1800 [Hz], il n'y aura pas de recouvrementspectral. Dans la bande de base, il n'y aura donc pas d'autres raies spectralesque celles données au point 1.


Un signal analogique

xa(t) = cos(2 · π · 240 · t) + 3 · cos(

2 · π · 540 · t+π

6

)

est échantillonné à raison de 600 échantillons par seconde.

1. que vaut la fréquence de Nyquist fN = fe2?

2. si elles existent, que valent les fréquences repliées fr ?

3. si x[n] est restitué à l'aide d'un convertisseur NA suivi d'un ltre passe-basidéal tel que fc = fe

2, que vaut le signal reconstruit ya(t) ?

Corrigé

1. Comme l'on a fe = 600 [Hz], la fréquence de Nyquist vaut fN = fe2

=300 [Hz]. On constate que le théorème d'échantillonnage n'est pas respectéet qu'il y aura du recouvrement spectral.






2. Les fréquences repliées vaudront fr = ±fe± fmax = ±600± 540 = ±60 [Hz]dans la bande de base. Le cosinus de fréquence 540 [Hz] sera donc perçucomme un cosinus de fréquence 60 [Hz].

3. Le signal reconstruit et suivi d'un ltre passe-bas idéal vaudra donc

ya(t) = cos(2 · π · 240 · t) + 3 · cos(

2 · π · 60 · t− π

6

)

Le changement de signe de la phase provient du fait que la composante+60 [Hz] est due à la raie −540 [Hz] dont la phase vaut −π

6.


Considérant qu'un signal est échantillonné à 40 [kHz] et numérisé avec 16 bits,quelle est la durée d'enregistrement que l'on peut stocker dans 1 Moct ?

Corrigé

En préparation.


Un ltre numérique est constitué des éléments suivants : un convertisseur AN à 12 bits avec un temps de conversion de 5 [µs], un processeur DSP de 16 bits avec un cycle d'horloge de 50 [ns], un convertisseur NA à 12 bits avec un temps d'établissement de 0.5 [µs].

Calculez la bande passante maximum que peut traiter ce ltre sachant que pourchaque valeur échantillonnée le DSP calcule le signal de sortie avec l'équationsuivante :

y[n] =19∑

m=0

h[m] · x[n−m]

en eectuant une multiplication et une addition en un seul cycle d'horloge.

Corrigé


Un signal sinusoïdal d'amplitude 6 [V] est numérisé à l'aide d'un convertisseur16 bits. Sachant que celui-ci travaille entre ±10 [V] et qu'il est entâché d'unenon-linéarité de ±1

2LSB, calculez :

1. sa résolution et son pas de quantication ;

2. les valeurs ecaces du signal et du bruit de quantication ;

3. le rapport signal sur bruit du signal numérisé.






Corrigé

En préparation.


On échantillonne un signal sinusoïdal d'amplitude 5 [V] avec un CAN 16 [bit]±10 [V]

en-

tâché d'une de non-linéarité de ±12LSB. Est-il possible de garantir un SNR d'au

moins 90 [dB] ?

Corrigé

En préparation.


On échantillonne un signal analogique

x(t) = 4 · cos(2 · π · 300 · t) + 2 · cos(2 · π · 900 · t) [V]

avec un convertisseur AN 16 bits travaillant entre + et −5 [V] qui possède une nonlinéarité de ±1

2LSB. Les valeurs numériques du CAN sont transmises à travers

une ligne dont le débit est de 104[octs

]. On demande :

1. y a-t-il repliement spectral ?

2. que valent la résolution et le pas de quantication du convertisseur ?

3. que vaut la puissance du signal x(t) ? quelle est sa valeur ecace ?

4. que vaut le rapport signal sur bruit de conversion AN?

Corrigé

En préparation.


On utilise un ltre analogique passe-bas de Butterworth d'ordre 6 et de fréquencede coupure 4 [kHz] comme ltre antirepliement. Considérant que le signal échan-tillonné est perturbé par une composante spectrale d'amplitude A = 5 [V] et defréquence f0 = 8 [kHz], on demande :

1. quelle fréquence d'échantillonnage chosissez-vous pour que le repliement dela perturbation se fasse en f ≥ fc ?

2. quelle sera l'amplitude Ar du signal replié en f = fc ?






Corrigé

En préparation.


On utilise un ltre analogique passe-bas de Butterworth d'ordre 3 (sa fréquencede coupure fc est xée par l'application) comme ltre antirepliement en amontd'un convertisseur AN 12 bits avec ±1

2LSB de non linéarité.

1. quelle est la résolution du convertisseur comprenant la quantication et lanon-linéarité ;

2. esquissez la réponse fréquentielle du ltre et celle causée par le repliementspectral ;

3. calculez la fréquence d'échantillonnage nécessaire pour que l'aaiblissementdu repliement spectral en f = fc soit inférieur à la résolution du convertis-seur.Rép. : fe = 13.7 · fc

Corrigé

En préparation.


Un signal x(t) sinusoïdal d'amplitude A = 10 [V] de fréquence f = 1 [kHz] estéchantillonné très rapidement (à 1 [MHz], par exemple) à l'aide d'un convertisseuranalogique-numérique 4 [bit] travaillant entre + et −10 [V].

1. esquissez les signaux x(t), xe[n], xq(t) ;

2. esquissez l'erreur de quantication e(t) ;

3. quelle est la valeur ecace de ce bruit de quantication ?

4. que vaut le SNR?

Corrigé

1. Voir gure 3.2 page suivante

2. Voir gure 3.2 page suivante

3. Selon le cours, la puissance du bruit de quantication est donnée par :

PQ =Q2

12






0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−3

−10

−5

0

5

10

temps

Am

plitu

de

Quantification d’un signal analogique

originalcodageBruit

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10−3

−1

−0.5

0

0.5

1

temps

Am

plitu

de

Quantification d’un signal analogique. Qeff

=0.34541[V]

Bruit

f_ex_ECH_14_3.eps





http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///ex_ECH_14.m



La valeur ecace du bruit est par dénition :

Qe =√PQ =

Q√12

En tenant compte des valeurs numérique, on a :

Qe =Q√12

=Umax

2n−1√12

=10 [V]24−1√

12

= 0.3608

A noter que si l'on calcule eectivement la puissance de e(t) puis sa va-leur ecace sur la base de ses valeurs numériques successives telles qu'ellesapparaissent sur la gure 3.2 page ci-contre par la formule

Px =1

T·∫ t0+T

t0

x2(t) · dt −→ Px ≈1

N·N−1∑

n=0

x2[n]

on obtient PQ = 0.1193 et donc

Qe =√PQ = 0.3454

qui est très proche de la valeur calculée plus haut.

4. Le rapport signal-sur-bruit (SNR) se calcule comme suit :

SNR =Xe

Qe

=

10 [V]√2

0.3608 [V]

= 18.56

= 25.37 [dB]


On remplace le signal sinusoïdal de l'exercice précédent par un signal triangulairede mêmes amplitude et fréquence. Qu'est ce qui change ?

Corrigé

En préparation.







On dit qu'un signal ne peut pas avoir simultanément une durée temporelle nieet une bande passante fréquentielle nie. Jusitiez cette armation au travers dequelques exemples bien connus. Du point de vue de l'échantillonnage, qu'est-ceque cela implique ?

Corrigé

En préparation.


Considérant une exponentielle décroissante x(t) = e−a·t·ε(t) que l'on échantillonneavec une fréquence fe, montrez que le spectre du signal échantillonné vaut :

Xe(j · f) =1

a+ j · 2 · π · f ++∞∑

k=1

2 · (a+ j · 2 · π · f)

(a+ j · 2 · π · f)2 + (2 · π · k · fe)2

Corrigé

La densité spectrale d'amplitude de x(t) = e−a·t · ε(t) vaut (chap.2) :

X(j · f) =1

a+ j · 2 · πf

L'échantillonnage avec une fréquence fe conduit à la recopie de ce spectre en tousles multiples de m · fe de fe. On a donc :

Xe(j · f) =+∞∑

m=−∞

1

a+ j · 2 · π · (f −m · fe)

=−1∑

m=−∞

1

a+ j · 2 · π · (f −m · fe)+

1

a+ j · 2 · πf ++∞∑

m=+1

1

a+ j · 2 · π · (f −m · fe)

Considérant deux termes symétriques (m < 0 et m > 0) de chaque somme,






on voit que l'on a

1

a+ j · 2 · π · (f −m · fe)

∣∣∣∣m<0

+1

a+ j · 2 · π · (f −m · fe)

∣∣∣∣m>0

=1

a+ j · 2 · π · (f +m · fe)

∣∣∣∣m>0

+1

a+ j · 2 · π · (f −m · fe)

∣∣∣∣m>0

=1

(a+ j · 2 · π · f) + j · 2 · π ·m · fe+

1

(a+ j · 2 · π · f)− j · 2 · π ·m · fe=

(a+ j · 2 · π · f)− j · 2 · π ·m · fe + (a+ j · 2 · π · f) + j · 2 · π ·m · fe(a+ j · 2 · π · f)2 − (j · 2 · π ·m · fe)2

=2 · (a+ j · 2 · π · f)

(a+ j · 2 · π · f)2 − (j · 2 · π ·m · fe)2

=2 · (a+ j · 2 · π · f)

(a+ j · 2 · π · f)2 + (2 · π ·m · fe)2

Ce qui donne nalement

Xe(j · f) =1

a+ j · 2 · π · f + 2 ·+∞∑

m=1

a+ j · 2 · π · f(a+ j · 2 · π · f)2 + (2 · π ·m · fe)2


Considérant un signal carré à valeur moyenne nulle de période T0 = 1 [ms] etd'amplitude A = 1 [V] que l'on échantillonne à la fréquence fe = 9.8 [kHz], ondemande :

1. Quelles sont les fréquences et amplitudes des raies spectrales du signal ana-logique ? Esquissez le spectre d'amplitudes.

2. Quelle est la largeur de la bande de base ? Quelles sont les composantesspectrales réelles présentes dans la bande de base ?

3. Quelles sont les fréquences apparentes d'ordre n ∈ [0, . . . , 15] présentes dansla bande de base ?

4. Quelles sont les amplitudes de chacune de ces raies ?

5. Les résultats de l'analyse spectrale sont donnés dans la gure 3.4 ; asso-ciez les numéros des composantes spectrales théoriques aux raies spectralesobtenues après échantillonnage.

Corrigé

1. Le spectre d'un signal carré d'amplitude A est décrit par

X(j·k) = A·∆tT·sin (k · π · f0 ·∆t)

k · π · f0 ·∆t=A

2·sin

(k · π

2

)

k · π2

=

0 si k pair ou k = 0± Ak·π si k impair






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−0.5

0

0.5

1

Signal échantillonné xe(t)

temps [ms]

x(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−30

−20

−10

0Spectre théorique (o) et spectre dû au repliement spectral (−)

fréquence [kHz]

|X(jf

)| [d

B]

f0 = 1

f_xechcarre_1.eps

Figure 3.3 Echantillonnage et repliement spectral pour un signal carré(chier source).




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ts/exercices/matlab///xechcarre.m



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0Spectre théorique (o) et spectre dû au repliement spectral (−)

fréquence [kHz]

|X(jf

)| [d

B]

f0 = 1

fN

5

7

911

1315

1719

2123

252729 31 33 353739 41 43 45

f_cx_echcarre_1.eps

Figure 3.4 Repliement spectral pour un signal carré.

2. La bande de base est comprise entre ±fe2

= 4.9 [kHz]. Les composantesspectrales réelles présentes se situent donc en ±1 kHz et ±3 [kHz].

3. Les fréquences apparentes sont présentées dans la gure 3.4.

4. L'amplitude de chaque raie d'ordre k vaut Ak·π .

5. Voir gure 3.4






Versions du document

Version du docu-ment

Date Notes

v1.8 29 janvier 2006 erreur oset (1.5 → 3) ex.4.2 (gure1.6)

v1.9 31 janvier 2006 erreur calcul puissance (75 [V2] →85 [V2]) ex. SF7, erreur (2±j)→ (−2±j) ex.SF6, terminé ex.SF6

v1.10 3 février 2006 erreur gure 2.5v1.11 25 février 2006 erreur ∆t ex. TF 2v1.12 11 mars 2006 erreur phase X(j · k) ex. SF 15. Listing

MATLAB exercice SF4v1.13 18 mars 2006 erreur transformée de Fourier I(j · f)

(manque C au numérateur) ex. TF 17v1.14 20 mars 2006 Corrigé exercice Corr 1v1.15 19 mai 2006 Corrigés exercices Ech1, Ech5, Ech6,

Ech17, Ech18v1.16 19 mai 2006 Corrigé exercice Ech14v1.18 12 mars 2009 Recompilation avec adresse du nouveau

serveur

Table 3.1 Versions publiées





big-exo

Documents