statique des fluides exo 1

NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES

CCCooouuurrrsss eeettt EEExxxeeerrrccciiiccceeesss CCCooorrrrrriiigggsss

Riadh BEN HAMOUDA

Centre de Publication Universitaire

AVANT-PROPOS

Ltude de la mcanique des fluides remonte au moins lpoque de la Grce

antique avec le clbre savon Archimde, connu par son principe qui fut lorigine

de la statique des fluides. Aujourdhui, la dynamique des fluides est un domaine

actif de la recherche avec de nombreux problmes non rsolus ou partiellement

rsolus.

Dans cet ouvrage se trouve expos lessentiel de ce quun tudiant des Instituts

Suprieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes

hydrauliques et pneumatiques sont actuellement trs utiliss en industrie. Donc, un

technicien quelque soit sa spcialit doit acqurir les notions fondamentales en

mcanique des fluides. Nous avons cherch viter les dveloppements

mathmatiques trop abondants et pas toujours correctement matriss par la

plupart des techniciens suprieurs et insist trs largement sur les applications

industrielles et les problmes de dimensionnement. Ainsi, ltude de la mcanique

des fluides sera limite dans cet ouvrage celle des fluides homognes. Les lois

et modles simplifis seront utiliss pour des fluides continus dans une description

macroscopique. Egalement, nous limiterons notre tude celle des fluides parfaits

et rels. Dans ltude dynamique nous serons amens distinguer les fluides

incompressibles et les fluides compressibles.

Le chapitre 1 constitue une introduction la mcanique des fluides dans

laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides rels, les fluides incompressibles

et les fluides compressibles et on dfinit les principales proprits qui seront

utilises ultrieurement.

Le chapitre 2 est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes

fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le

thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de

lhydrostatique sont expliqus.

Dans le chapitre 3 sont traites les quations fondamentales qui rgissent la

dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, lquation de

continuit et le thorme de Bernoulli. Elles sont considres trs importantes

dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des

instruments de mesures de pressions et de dbits quon peut rencontrer dans

beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout.

Dans le chapitre 4 sont dmontrs les quations et les thormes relatifs la

dynamique des fluides incompressibles rels. Une mthode simplifie de calcul

des pertes de charge base sur ces quations est propose. Elle est indispensable

pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problmes de

pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles

est vhicul un fluide etc.)

Le chapitre 5 est consacr ltude des fluides compressibles. Les lois et les

quations fondamentales de la dynamique ainsi que le thorme de Saint-Venant

ncessaires pour traiter un problme dcoulement de gaz sont dmontrs.

Certaines notions de thermodynamique, juges indispensables pour introduire

quelques paramtres, sont ajoutes.

La dernire partie de chaque chapitre est consacre des exercices corrigs.

Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveills que jai propos

lInstitut Suprieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour

leur intrt pratique et pour leur diversit. Chaque exercice traite un domaine

particulier dapplication quun technicien suprieur pourrait rencontrer aussi bien

dans le cadre des travaux pratiques lISET quen industrie dans sa vie active. Les

solutions avec beaucoup de dtail, devraient permettre ltudiant dacqurir, en

peu de temps, la matrise ncessaire des concepts utiliss. Ces exercices

permettront galement de tester lavancement de leurs connaissances.

En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mmes

notations dans la partie exercices corrigs et dans la partie cours. Les points

importants sont crits en caractre gras et les rsultats sont encadrs.

Cet ouvrage constitue une premire version. Il sera certainement rvis. Les

critiques, les remarques et les conseils de tous les comptents du domaine qui

veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et

remerciement.

Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008

TABLE DES MATIERES

Chapitre 1 : Introduction la Mcanique des Fluides ......................................... 1 1 Introduction ........................................................................................................... 1 2 Dfinitions ............................................................................................................. 1

2.1 Fluide parfait .................................................................................................. 2 2.2 Fluide rel ...................................................................................................... 3 2.3 Fluide incompressible .................................................................................... 3 2.4 Fluide compressible ....................................................................................... 3

3 Caractristiques physiques ................................................................................... 4 3.1 Masse volumique ........................................................................................... 4 3.2 Poids volumique ............................................................................................ 4 3.3 Densit .......................................................................................................... 4 3.4 Viscosit ........................................................................................................ 5

4 Conclusion ............................................................................................................ 7 5 Exercices dapplication ......................................................................................... 8

Chapitre 2 : Statique des fluides ......................................................................... 10 1 Introduction ......................................................................................................... 10 2 Notion de pression en un point dun fluide .......................................................... 10 3 Relation fondamentale de lhydrostatique ........................................................... 12 4 Thorme de Pascal ........................................................................................... 14

4.1 Enonc ........................................................................................................ 14 4.2 Dmonstration ............................................................................................. 14

5 Pousse dun fluide sur une paroi verticale ........................................................ 15 5.1 Hypothses .................................................................................................. 15 5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression ........................... 15

5.2.1 Rsultante ............................................................................................ 16 5.2.2 Moment................................................................................................. 16

5.3 Centre de pousse ...................................................................................... 17 6 Thorme dArchimde ....................................................................................... 17

6.1 nonc ........................................................................................................ 17 6.2 Dmonstration ............................................................................................. 18

7 Conclusion .......................................................................................................... 20 8 Exercices daplication ......................................................................................... 21

Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 52 1 Introduction ......................................................................................................... 52 2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 52 3 Equation de Continuit ........................................................................................ 52 4 Notion de Dbit ................................................................................................... 54

4.1 Dbit massique ............................................................................................ 54 4.2 Dbit volumique ........................................................................................... 55 4.3 Relation entre dbit massique et dbit volumique ....................................... 55

5 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement sans change de travail ........... 56 6 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement avec change de travail .......... 57

7 Thorme dEuler : ............................................................................................. 59 8 Conclusion .......................................................................................................... 61 9 Exercices dapplication ....................................................................................... 61

Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88 1 Introduction ......................................................................................................... 88 2 Fluide Rel .......................................................................................................... 88 3 Rgimes dcoulement - nombre de Reynolds ................................................... 88 4 Pertes de charges ............................................................................................... 90

4.1 Dfinition ...................................................................................................... 90 4.2 Pertes de charge singulires ....................................................................... 94 4.3 Pertes de charges linaires : ....................................................................... 94

5 Thorme de Bernoulli appliqu un fluide reel ................................................. 95 6 Conclusion .......................................................................................................... 96 7 Exercices dapplication ....................................................................................... 96

Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120 1 Introduction ....................................................................................................... 120 2 Equations detat dun gaz parfait ....................................................................... 120

2.1 Lois des gaz parfaits .................................................................................. 120 2.2 Transformations thermodynamiques ......................................................... 120

3 Classification des coulements ......................................................................... 122 3.1 Clrit du son ........................................................................................... 122 3.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 122 3.3 Ecoulement subsonique ............................................................................ 122 3.4 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122

4 Equation de continuite ...................................................................................... 122 5 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 123 6 Etat gnrateur : ............................................................................................... 124 7 Conclusion ........................................................................................................ 125 8 Exercices dapplication ..................................................................................... 125

1

CChhaappiittrree 11 :: IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN AA LLAA MMEECCAANNIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS

11 IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN La mcanique des fluides est la science des lois de I'coulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mcanismes de

transfert des fluides. Cest une branche de la physique qui tudie les coulements

de fluides c'est--dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces

ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:

- la statique des fluides, ou hydrostatique qui tudie les fluides au repos. C'est

historiquement le dbut de la mcanique des fluides, avec la pousse d'Archimde

et l'tude de la pression.

- la dynamique des fluides qui tudie les fluides en mouvement. Comme autres

branches de la mcanique des fluides.

On distingue galement dautres branches lies la mcanique des fluides :

l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'arodynamique, Une nouvelle approche a vu

le jour depuis quelques dcennies: la mcanique des fluides numrique (CFD ou

Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'coulement des fluides en rsolvant les quations qui les rgissent l'aide d'ordinateurs trs puissants : les

supercalculateurs.

La mcanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines

comme l'ingnierie navale, l'aronautique, mais aussi la mtorologie, la

climatologie ou encore l'ocanographie.

22 DDEEFFIINNIITTIIOONNSS Un fluide peut tre considr comme tant une substance form d'un grand

nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par

rapport aux autres. Cest donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit

et qui peut s'couler. Les forces de cohsion entres particules lmentaires sont

Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides

Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 2

trs faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la

forme du rcipient qui le contient, par exemple: les mtaux en fusion sont des

fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pices brutes de formes

complexes.

On insiste sur le fait quun fluide est suppos tre un milieu continu : mme si l'on

choisit un trs petit lment de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la

dimension des molcules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de

brouillard, aussi petite soit-elle notre chelle, est toujours immense l'chelle

molculaire. Elle sera toujours considre comme un milieu continu. Parmi les

fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur

viscosit. La viscosit est une de leur caractristique physico-chimique qui sera

dfinie dans la suite du cours et qui dfinit le frottement interne des fluides. Les

fluides peuvent tre classs en deux grande familles : La famille des fluides

"newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non

newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les ptes, les

suspensions, les mulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosit

constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la temprature. La deuxime

famille est constitue par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularit d'avoir

leur viscosit qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent

lorsque ceux-ci s'coulent. Ce cours est limit uniquement des fluides

newtoniens qui seront classs comme suit.

2.1 Fluide parfait Soit un systme fluide, c'est--dire un volume dlimit par une surface ferme fictive ou non.

nr

Fdr

NFdr

TFdr

dS



Considrons Fdr

la force dinteraction au niveau de la surface lmentaire dS de

normale nr entre le fluide et le milieu extrieur.

On peut toujours dcomposer Fdr

en deux composantes:

- une composante TFdr

tangentielle dS.

- une composante NFdr

normale dS.

En mcanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de dcrire son

mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Cest dire quand la

composante TFdr

est nulle. Autrement dit, la force Fdr

est normale l'lment de

surface dS.

2.2 Fluide rel Contrairement un fluide parfait, qui nest quun modle pour simplifier les calculs,

pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide rel les forces tangentielles

de frottement interne qui sopposent au glissement relatif des couches fluides sont

prise en considration. Ce phnomne de frottement visqueux apparat lors du

mouvement du fluide.

Cest uniquement au repos, quon admettra que le fluide rel se comporte comme

un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux

lments de surface sur lesquels elles sexercent. La statique des fluides rels se

confond avec la statique des fluides parfaits.

2.3 Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occup par une masse donn ne

varie pas en fonction de la pression extrieure. Les liquides peuvent tre

considrs comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)

2.4 Fluide compressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occup par une masse donne

varie en fonction de la pression extrieure. Les gaz sont des fluides compressibles.

Par exemple, lair, lhydrogne, le mthane ltat gazeux, sont considrs comme

des fluides compressibles.



33 CCAARRAACCTTEERRIISSTTIIQQUUEESS PPHHYYSSIIQQUUEESS 3.1 Masse volumique

Vm=

o :

: Masse volumique en (kg/m3), m : masse en (kg),

V : volume en (m3).

Exemples :

Fluide Masse volumique (kg/m3) Type de fluide Benzne 0,880. 103

Incompressible Chloroforme 1,489. 103 Eau 103 Huile dolive 0,918. 103 Mercure 13,546. 103 Air 0,001205. 103

compressible1 Hydrogne 0,000085. 103 Mthane 0,000717. 103

3.2 Poids volumique

gVgm .. ==

: Poids volumique en (N/m3). m : masse en (kg),

g : acclration de la pesanteur en (m/s2),

V : volume en (m3).

3.3 Densit

ref

d ==

rfrence de fluideun d' volumiquemassefluidedu volumiquemasse

Dans le cas des liquides en prendra leau comme fluide de rfrence. Dans le cas

des gaz on prendra lair comme fluide de rfrence.

1 Ces valeurs sont prise titre indicatif dans les conditions normales de pression et de temprature.



3.4 Viscosit Cest une grandeur qui caractrise les frottements internes du fluide, autrement dit

sa capacit scouler. Elle caractrise la rsistance d'un fluide son coulement

lorsqu'il est soumis l'application d'une force. Cest dire, les fluides de grande

viscosit rsistent l'coulement et les fluides de faible viscosit s'coulent

facilement. Elle peut tre mesure par un viscosimtre chute de bille, dans lequel

en mesure le temps coul pour la chute dune bille dans le fluide. Elle peut

galement tre mesure par un rcipient dont le fond comporte un orifice de taille

standardise. La vitesse laquelle le fluide s'coule par cet orifice permet de

dterminer la viscosit du fluide.

La viscosit est dtermine par la capacit d'entranement que possde une

couche en mouvement sur les autres couches adjacentes.

Par exemple, si on considre un fluide visqueux plac entre deux plaques P1 et P2,

tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est anime dune vitesse 2V .

Si on reprsente par un vecteur, la vitesse de chaque particule situe dans une

section droite perpendiculaire l'coulement, la courbe lieu des extrmits de ces

vecteurs reprsente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut tre

considr comme rsultant du glissement des couches de fluide les unes sur les

autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On

distingue la viscosit dynamique et la viscosit cinmatique.

Plaque P1 fixe

Plaque P2 2V Z

Z FV

VV +



Viscosit dynamique La viscosit dynamique exprime la proportionnalit entre la force qu'il faut exercer

sur une plaque lorsqu'elle est plonge dans un courant et la variation de vitesse

des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprime par un

coefficient reprsentant la contrainte de cisaillement ncessaire pour produire un

gradient de vitesse d'coulement d'une unit dans la matire.

Considrons deux couches de fluide adjacentes distantes de z. La force de frottement F qui s'exerce la surface de sparation de ces deux couches s'oppose

au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle la diffrence de

vitesse des couches soit v, leur surface S et inversement proportionnelle z : Le facteur de proportionnalit est le coefficient de viscosit dynamique du fluide.

ZVSF

= .. * o :

F : force de glissement entre les couches en (N),

: Viscosit dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m2),

V : cart de vitesse entre deux couches en (m/s), Z : Distance entre deux couches en (m).

Remarque : Dans le systme international (SI), l'unit de la viscosit dynamique

est le Pascal seconde (Pas) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pas = 1 Pl = 1 kg/ms Exemple :

Fluide (Pas) eau (0 C) 1,787103 eau (20 C) 1,002103 eau (100 C) 0,2818103 Huile d'olive (20 C) 100103 glycrol (20 C) 1000103 Hydrogne (20 C) 0,86105 Oxygne (20 C) 1,95105



Viscosit cinmatique

=

L'unit de la viscosit cinmatique est le (m2/s).

Remarque 1 (unit):

On utilise souvent le Stokes (St) comme unit de mesure de la viscosit

cinmatique.

1 St= 10-4 m2/s Remarque 2 (Influence de la temprature) :

Lorsque la temprature augmente, la viscosit d'un fluide dcrot car sa densit

diminue.

Remarque 3 (diffrence entre viscosit dynamique et viscosit cinmatique)

La viscosit cinmatique caractrise le temps d'coulement dun liquide. Par

contre, la viscosit dynamique correspond la ralit physique du comportement

dun fluide soumis une sollicitation (effort). En dautre terme, cette dernire

exprime la rigidit dun fluide une vitesse de dformation en cisaillement (voir

la relation * la page 6).

44 CCOONNCCLLUUSSIIOONN Les fluides peuvent tre classs en fluides parfaits (sans frottement), fluides rels (avec frottement), fluides incompressibles (liquides) et fluides compressibles (gaz). Les fluides sont caractriss par les proprits suivantes: la masse volumique, le poids volumique, la densit et la viscosit. Ces proprits

seront utilises ultrieurement.

Le comportement mcanique et les proprits physiques des fluides

compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diffrents. En effet, les lois

de la mcanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables

uniquement pour une classe de fluides donne. Conformment la classification

qui a t faite, les lois relatives chaque type de fluides seront exposes dans la

suite du cours dune faon indpendante.



55 EEXXEERRCCIICCEESS DDAAPPPPLLIICCAATTIIOONN EExxeerrcciiccee NN11::

11 ENONCE Dterminer le poids volumique de lessence sachant que sa densit d=0,7.

On donne :

- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2

- la masse volumique de leau 3/1000 mkg= 22 REPONSE

gd .. = A.N. 3/686781,9.1000.7,0 mN== EExxeerrcciiccee NN22::

11 ENONCE Calculer le poids P0 dun volume V=3 litres dhuile dolive ayant une densit

d=0,918.

22 REPONSE

gVdPo ...= A.N. NPo 2781,9.10.3.1000.918,0 3 == EExxeerrcciiccee NN33:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2233--0066--22000033

11 ENONCE Quelle est linfluence de la temprature sur la viscosit ?

22 REPONSE Si la temprature augmente la viscosit diminue, et inversement.

EExxeerrcciiccee NN44:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000044

11 ENONCE Convertir le stockes en m2/s.

22 REPONSE

Conversion du stockes : smStockes /101 24= EExxeerrcciiccee NN55:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2244--0066--22000044

11 ENONCE Expliquer le principe de mesure d'un viscosimtre chute de bille.

22 REPONSE



La viscosit cinmatique est proportionnelle au temps mis par une bille sphrique

en chute pour descendre au fond dun tube contenant un fluide de viscosit

inconnue.

EExxeerrcciiccee NN66:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033

11 ENONCE Dterminer la viscosit dynamique de lhuile dolive sachant que sa densit est

0,918 et sa viscosit cinmatique est 1,089 Stockes.

22 REPONSE

.= A.N. sPa.1,010.089,1.918 4 == EExxeerrcciiccee NN77::

11 ENONCE Du fuel port une temprature T=20C a une viscosit

dynamique sPa.10.95 3= . Calculer sa viscosit cinmatique en stockes sachant que sa densit est d=0,95.

On donne la masse volumique de leau est 3/1000 mkgeau = 22 REPONSE

deau . = A.N. stockessm 1/10.1

95,0.100010.95 243 ===

10

CChhaappiittrree 22 :: SSTTAATTIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS

11 IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN Lors dune plonge sous marine, on constate que la pression de leau augmente

avec la profondeur. La pression deau exerce sur un sous-marin au fond de

locan est considrable. De mme, la pression de leau au fond dun barrage est

nettement plus grande quau voisinage de la surface. Les effets de la pression

doivent tre pris en considration lors du dimensionnement des structures tels que

les barrages, les sous marins, les rservoirs etc. Les ingnieurs doivent calculer

les forces exerces par les fluides avant de concevoir de telles structures.

Ce chapitre est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes

fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le

thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de

lhydrostatique y sont expliqus.

Le calcul des presses hydrauliques, la dtermination de la distribution de la

pression dans un rservoiretc., sont bass sur les lois et thormes

fondamentaux de la statique des fluides.

22 NNOOTTIIOONN DDEE PPRREESSSSIIOONN EENN UUNN PPOOIINNTT DDUUNN FFLLUUIIDDEE La pression est une grandeur scalaire. Cest lintensit de la composante normale

de la force quexerce le fluide sur lunit de surface.

Elle est dfinie en un point A dun fluide par lexpression suivante :

A

dS

nrNFdr

Chapitre 2 : Statique des fluides


dS

dFP

N

A = o :

dS : Surface lmentaire de la facette de centre A (en mtre carr),

n : Vecteur unitaire en A de la normale extrieure la surface,

NdF : Composante normale de la force lmentaire de pression qui sexerce sur la

surface (en Newton),

PA : pression en A (en Pascal),

Sur la surface de centre A, daire dS, oriente par sa normale extrieuren , la force

de pression lmentaire dF sexprime par :

ndSPdF AN ..= Exemple : Chaque cm2 de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force)

reprsentant le poids de l'atmosphre. C'est la pression atmosphrique au niveau

de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses

cavits (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air la mme pression.

Si on s'lve de 5 000 m, la pression atmosphrique est deux fois plus faible qu'au

niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tte est alors moiti

moindre. Do la ncessit dune pressurisation des avions.

En plonge sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le

bar: 1 bar = 1 kg / cm2.



Plus on descend en profondeur, plus la pression est leve car il faut tenir compte

du poids de l'eau au-dessus de nous : 10 mtres de profondeur, chaque cm2 de

notre peau supportera un poids gal :

1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = lquivalent du poids

d1 litre deau. Le poids dun litre deau douce est gal 1kg. Le poids dun litre

deau de mer est un plus important ( cause du sel quelle contient) : 1,026 kg.

En ngligeant cette diffrence, on considrera que de manire gnrale un litre

d'eau pse 1 kg.

Par consquent, la pression due l'eau 10 m de profondeur est donc de 1 kg /

cm2, c'est--dire 1 bar. Si on descend nouveau de -10 m, la pression augmentera

nouveau de 1 bar. Cest ce quon appelle la pression hydrostatique (pression due

l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport la

surface.

La pression hydrostatique (comme la pression atmosphrique) sexerce dans

toutes les directions (et pas simplement de haut en bas).

Remarque :

Lunit internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m. Cette unit est

trs petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mcanique,

rsistance des matriaux , etc.,lunit utilise est le mga pascal :

1 MPa= 1 N/mm2=106 Pa

En mcanique des fluides on utilise encore trs souvent le bar. Le bar est gal

peu prs la pression atmosphrique moyenne :

1 bar = 105 Pa.

33 RREELLAATTIIOONN FFOONNDDAAMMEENNTTAALLEE DDEE LLHHYYDDRROOSSTTAATTIIQQUUEE Considrons un lment de volume dun fluide incompressible (liquide homogne

de poids volumique ). Cet lment de volume a la forme dun cylindre daxe (G, u ) qui fait un angle avec laxe vertical (O, Z ) dun repre R(O, Xr ,Yr ,Zr ). Soit l la longueur du cylindre et soit dS sa section droite.



Soit G1 daltitude Z1 et G2 daltitude Z2, les centres des sections droites extrmes.

Etudions lquilibre du cylindre lmentaire, celui-ci est soumis aux :

- actions distance : son poids : ZdSldPO = - actions de contact : forces de pression sexerant sur :

o la surface latrale : idF .

o les deux surfaces planes extrmes : udSPudSPdF ..).(. 111 == et udSPdF ..22 = .avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1

et en G2.

Le cylindre lmentaire tant en quilibre dans le fluide, crivons que la rsultante

des forces extrieures qui lui sont appliques est nulle :

021 =+++ dFdFdFdP iO En projection sur laxe de symtrie (G,u ) du cylindre,

0..cos... 21 =+ dSPdSPdSl

Z

u

2Fdr

1Fdr

iFdr

l

G1

G2

oPdr

dS

Z2

Z1

G



Exprimons la diffrence de pression P1 P2 aprs avoir divis par dS et remarqu

que 12cos ZZl = )().( 121221 ZZgZZPP == : Relation fondamentale de lhydrostatique.

Autre forme plus gnrale :

En divisant les deux membres de la relation prcdente par :

22

11 ZPZP +=+ . Ou encore 2

21

1 ZgPZ

gP +=+

Comme G1 et G2 ont t choisis de faon arbitraire lintrieur dun fluide de poids

volumique , on peut crire en un point quelconque daltitude Z, ou rgne la pression p :

CteZgPZP =+=+

44 TTHHEEOORREEMMEE DDEE PPAASSCCAALL 4.1 Enonc

Dans un fluide incompressible en quilibre, toute variation de pression en un point entrane la mme variation de pression en tout autre point.

4.2 Dmonstration Supposons quau point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci

devienne 11 PP + . 1P tant un nombre algbrique. Calculons la variation de pression 2P qui en rsulte en G1. Appliquons la relation fondamentale de lhydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide

o ltat initial: )( 1221 ZZPP = (1) o ltat final : ).()()( 122211 ZZPPPP =++ (2) En faisant la diffrence entre les quations (2) et (1) on obtient :

021 = PP . Do 21 PP =



55 PPOOUUSSSSEEEE DDUUNN FFLLUUIIDDEE SSUURR UUNNEE PPAARROOII VVEERRTTIICCAALLEE 5.1 Hypothses

La paroi verticale possde un axe de symtrie (G,Yr

). G est son centre de surface.

Dun cot de la paroi il y a un fluide de poids volumique , de lautre cot, il y a de lair la pression atmosphrique Patm. On dsigne par PG la pression au centre de

surface G du cot fluide.

5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression Connaissant la pression PG au point G, la pression PM au point M est dtermine

en appliquant la relation fondamentale de lhydrostatique : ).( MGGM YYPP = Dans le repre (G, X

r, Y

r,Zr

) dfini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc

yPP GM .= Exprimons la force de pression en M : XdSyPdF G

r.)..( =

Soit { }pousse le torseur associ aux forces de pression relative :

{ }Gs

G

Spousse

dFGMM

dFR

==

=

)(

Xr

Yr

G

dF dS

M y

Go yo



5.2.1 Rsultante XdSyPR

SG

r..).(

)( =

que lon peut crire en mettant en facteur les termes constants :

XdSydSPRSS

G

r....

)()(

=

On note que SdSS

=)(

(aire de la paroi),

0..)(

== SydSy Gs

: Moment statique de la surface S par rapport laxe (G,Z ), donc

XSPR G ..=

5.2.2 Moment

= dFGMMG Dans le repre (G, X , Y , Z ) on peut crire:

YyGMr

.= et XdSyPdF G .)..( = , donc [ ] =

)(

.)..(.S

GG XdSyPYyM r

Sachant que ZXY = donc ).(....)(

2

)(

ZdSydSyPMSS

GG

=

On sait que 0..)(

== SydSy GS

et ),()(

2 . ZGS

IdSy r= : Moment quadratique de la surface S par rapport laxe (G,Z ) passant par le centre de surface G. Donc

ZIM ZGG .. ),( r= En rsum :

{ }GZG

Gpoussee ZI

XSP

=

....

),(r



5.3 Centre de pousse On cherche dterminer un point G0 o le moment rsultant des forces de

pression est nul.

Compte tenu de lhypothse de symtrie, si ce point existe il appartient laxe

(G,Y ) et il est tel que :

000 =+= RGGMM GG . Ecrivons alors que : GMRGG =0 Avec les rsultats prcdents, on obtient : ZIXSPYy ZGG ..... ),(0 s= , ce qui conduit

SPI

yG

ZG

.

. ),(0

r=

Go existe, il sappelle le centre de pousse de la paroi.

Remarque : Le centre de pousse est toujours au-dessous du centre de surface G.

66 TTHHEEOORREEMMEE DDAARRCCHHIIMMEEDDEE 6.1 nonc

Tout corps plong dans un fluide reoit de la part de ce fluide une force (pousse) verticale, vers le haut dont l'intensit est gale au poids du volume

de fluide dplac (ce volume est donc gal au volume immerg du corps).

PARCH=fluide.Vimm.g

ARCHPr

Fluide

Solide immerg S



6.2 Dmonstration Dans un fluide (E) de poids volumique , imaginons un certain volume de fluide (E1) dlimit par un contour ferm (S) :

Si le fluide est au repos, il est vident que (E1) est en quilibre sous leffet des

actions mcaniques extrieures suivantes :

- Action de la pesanteur, modlisable par le torseur : { })( 1Epes - Action des forces de pression Fd

rdu fluide (E2) qui entoure (E1) modlisable par

le torseur :{ })( 12 EE On peut donc crire lquation dquilibre de (E1) :{ } { } { }0)()( 121 =+ EEEpes Nous savons quen G, centre de gravit du fluide (E1) le torseur des forces de

pesanteur se rduit un glisseur :{ }G

PEpes

=0

)( 1

Il est donc vident quau mme point G le torseur des forces de pression dF se

rduira lui aussi un glisseur :

{ }G

S

dFEE

= 0

)( )(12

Lquation dquilibre de la portion de fluide (E1) scrit : 0)(

=+ PdFS

Fluide

Volume imaginaire (E1) Dlimit par le contour S

Volume (E2) extrieur au contour S

Fdr

Poids de (E1)



(E1) est ici une portion de fluide et P est le poids du fluide occupant le volume

(E1). Si le volume (E1) est occup par un solide immerg ayant le mme contour S,

les forces de pousse sur ce contours (S) sont les mmes , ce qui revient dire

que la force de pousse ne dpend que du volume du fluide dplac et non pas de

la nature du solide immerg (plomb, acier, etc).

Conclusion :

Tout corps solide immerg dans un fluide en quilibre est soumis de la part de

celui-ci des forces de pression dF dont les actions mcaniques sont

modlisables au centre de gravit du fluide dplac par un glisseur dont la

rsultante est directement oppose au poids du fluide dplac.

{ }G

PEE

=0

)( 12

Remarques : - 1er cas : Si le solide immerg est homogne alors le centre de pousse G, point

dapplication de la pousse dArchimde sera confondu avec le centre de gravit

du solide. Lquilibre du solide est indiffrent.

- 2ime cas : Si le solide immerg est htrogne alors le centre de pousse G,

point dapplication de la pousse dArchimde nest pas confondu avec le centre

de gravit Gs du solide. Lquilibre du solide est stable si G est au dessus de GS.

Lquilibre du solide est instable si G est au dessous de GS.

ARCHPr

Fluide

Solide immerg S

G

Poids du solide



77 CCOONNCCLLUUSSIIOONN La statique des fluides est base principalement sur les rsultats suivants:

a) La diffrence de pression entre deux points est proportionnelle leur diffrence

de profondeur : )().( 121221 ZZgZZPP == : Cest la relation fondamentale de lhydrostatique, b) Toute variation de pression en un point engendre la mme variation de pression en tout autre point daprs le thorme de Pascal. c) Le torseur associ aux forces de pression dun fluide sur une paroi plane

verticale est : { }GZG

Gpoussee ZI

XSP

=

....

),(r

d) La position du centre de pousse. est SP

Iy

G

ZG

.

. ),(0

r=

e) Tout corps plong dans un fluide subit une force verticale, oriente vers le haut cest la pousse dArchimde et dont l'intensit est gale au poids du volume de fluide dplac.

ARCHPr

Fluide

Solide immerg S

G

Poids du solide

GS

Position stable



88 EEXXEERRCCIICCEESS DDAAPPLLIICCAATTIIOONN EExxeerrcciiccee NN11:: Extrait du devoir surveill du 30-10-2006

11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente un cric hydraulique form de deux pistons (1) et

(2) de section circulaire.

Sous leffet dune action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force

de pression hPF /1r

sur lhuile. Lhuile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force

2/ phFr

On donne :

- les diamtres de chacun des pistons : D1 = 10 mm; D2 = 100 mm.

- lintensit de la force de pression en A : Fp1/h = 150 N.

Travail demand :

1) Dterminer la pression PA de lhuile au point A. 2) Quelle est la pression PB ? 3) En dduire lintensit de la force de pression Fh/p2.

22 REPONSE

1) Pression PA de lhuile au point A: 21

/1

..4DFP hPA = A.N aA PP

52 10.1901,0.

150.4 ==

2) RFH entre A et B: ).( ABBA ZZPP = , or ZA = ZB donc PascalPP AB 510.19== .

3) Force de pression en B : 4..

22

2/DPF BPh

= .N. NF Ph 56,1492241,0..10.19

25

2/ == Commentaire: On constate que la force Fp1/h = 150 N est relativement faible par rapport Fh/P2=14922,56 N. Avec ce systme nous avons atteint un rapport de

Z

ZA=ZB



rduction de force de presque 100. Ce rapport correspond au rapport des diamtres des cylindres. On utilise souvent le mme principe de rduction deffort dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique).


11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente un rservoir ouvert, quip de deux tubes

pizomtriques et rempli avec deux liquides non miscibles :

- de l'huile de masse volumique 1=850 kg/m3 sur une hauteur h1=6 m, - de l'eau de masse volumique 1=1000 kg/m3 sur une hauteur h2=5 m.

On dsigne par:

- A un point de la surface libre de l'huile,

- B un point sur l'interface entre les deux liquides,

- C un point appartenant au fond du rservoir

- D et E les points reprsentants les niveaux dans les tubes pizimtriques,

- (O,Zr

) est un axe vertical tel que ZC=O.

Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points:

1) B et A. En dduire la pression PB (en bar) au point B. 2) A et E. En dduire le niveau de l'huile ZE dans le tube pizomtrique.

Zr

eau

huile

A

B

C

E

D h1

h2

Tubes pizomtriques



3) C et B. En dduire la pression PC (en bar) au point C. 4) C et D. En dduire le niveau de l'eau ZD dans le tube pizomtrique.

22 REPONSE 1) RFH entre B et A : )(1 BAAB ZZgPP = Or PA=Patm et ZA-ZB=h1 Donc 11 .hgPP atmB += A.N. barPaPB 5,11500316.81,9.850105 ==+= 2) RFH entre A et E : )(1 AEEA ZZgPP = Or PA=PE=Patm Donc 21 hhZZ AE +== A.N. mZE 1156 =+= 3) RFH entre C et B : )(2 CBBC ZZgPP = Or ZB-ZC=h2 Donc 22 .hgPP BC += A.N. barPaPC 21990815.81,9.1000150031 ==+= 4) RFH entre C et D : )(2 CDDC ZZgPP = Or PD=Patm et ZC=0

Donc gPPZ atmCD .2

= A.N. mZD 1,1081,9.100010199081 5 ==


11 ENONCE Soit un tube en U ferm une extrmit qui contient deux liquides non miscibles.

Entre les surfaces :

- (1) et (2) il sagit de lessence de masse volumique essence=700 kg/m3.

- (2) et (3), il sagit du mercure de masse volumique mercure=13600 kg/m3.

La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar.

Lacclration de la pesanteur est g=9,8 m/s2.

La branche ferme emprisonne un gaz une pression P3 quon cherche calculer.

Z

Z1 Z3 Z2

(1)

(2) (3) h

h Essence

Mercure



1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de lHydrostatique) pour lessence, calculer la pression P2 (en mbar) au niveau de la surface de sparation

(2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm.

2) De mme, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la surface (3) sachant que h= (Z3-Z2)= 15 mm.

22 REPONSE 1) RFH pour lessence : ( )2112 .. ZZgPP essence =

hgPP essence ..12 += A.N. mbarpascalP 105010.05,1728,0.8,9.70010 552 ==+= 2) RFH pour le mercure : ( )2332 .. ZZgPP mercure =

'..23 hgPP mercure= A.N. mbarpascalP 103010.03,115,0.8,9.1360010.1050 533 === EExxeerrcciiccee NN44:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033

11 ENONCE

Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimtres. On

verse dans lune des branches un mlange deau - alcool thylique qui forme une

colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lautre branche, on verse de leau

pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu ce que les deux surfaces du

mercure reviennent dans un mme plan horizontal. On mesure alors la hauteur de

la colonne deau h2=24 cm.

1) Appliquer la relation fondamentale de lhydrostatique pour les trois fluides.

Z

Eau

Mercure

Alcooles h1 h2

(1)

(2) (3)

(4)



2) En dduire la masse volumique du mlange eau alcool thylique.

22 REPONSE 1) Relation fondamentale de lhydrostatique :

Alcool : 112 .. hgPP alcool= Mercure : 032 = PP Eau : 243 .. hgPP eau= 2) On sait que P1=P2=Patm et P2=P3 donc 21 .... hghg eaualcool =

Donc 1

2.hh

eaualcool = A.N. 3/8003024.1000 mkgalcool ==

EExxeerrcciiccee NN55::

11 ENONCE On considre un tube en U contenant trois liquides:

- de leau ayant une masse volumique 1 = 1000 kg/m3, - du mercure ayant une masse volumique 2 = 13600 kg/m3, - de lessence ayant une masse volumique 3 = 700 kg/m3. On donne :

Z0 Z1 = 0,2 m

Z3 Z2 = 0,1 m

Z1 + Z2 = 1,0 m

Z3

Z2

Z0

Z1

eau

mercure

essence

Zr



On demande de calculer Z0, Z1, Z2 et Z3.

22 REPONSE Daprs (RFH), chapitre 2, on peut crire:

P1 P0 = 1.g.( Z0 Z1) P2 P1 = 2.g.( Z1 Z2) P3 P2 = 3.g.( Z2 Z3) Puisque que P0 = P3 = Patm, en faisant la somme de ces trois quations on obtient :

1.( Z0 Z1) + 2.( Z1 Z2) + 3.( Z2 Z3) = 0 ).().()( 23

2

310

2

112 ZZZZZZ =

A.N: (Z2 Z1) = 0,0096 m

or (Z1 + Z2) = 1,0 m donc Z2 = 0,5048 m et Z1 = 0,4952 m

(Z3 Z2) = 0,1 m donc Z3 = 0,6048 m

(Z0 Z1) = 0,2 m donc Z0 = 0,6952 m


11 ENONCE

La figure ci-dessus reprsente un barrage ayant les dimensions suivantes :

longueur b=200 m, hauteur h=60 m

Le barrage est soumis aux actions de pression de leau.

Le poids volumique de leau est : 33 /10.81,9 mN= . On demande de :

Yr

Zr

(S)

G

Go

yo h=60

b = 200 m



1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de leau.

2) Calculer la position y0 du centre de pousse G0.

22 REPONSE

1) Calcul de R :

SPR G .= , On applique la RFH entre le point G et un point A la surface de leau on obtient :

AG PhP +=2

. En A, sommet du barrage, la pression de leau est suppos gale la pression

atmosphrique.

La surface du barrage est : hbS .= , donc :

.

.).2

.( hbhPR atm += A.N. .

10.73,460.200).2

60.981010( 95 NR =+=

2) Calcul de y0 :

R

Iy ZGr

r),(

0

.=

Le moment quadratique12. 3

),(

hbI ZG =r , donc

R

bh

y r12.

3

0

= A.N. my 46,7

10.73,412

60.200.98109

3

0 ==

Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs au dessous du centre de surface. Dans le calcul de stabilit du barrage il est hors de question de confondre ces deux points.


11 ENONCE Un piston de vrin a un diamtre d=60 mm. Il rgne au centre de surface G du

piston une pression de 40 bar, soit environ PG=4 MPa.



Lhuile contenue dans le vrin a un poids volumique 33 /10.8,0.81,9 mN= . On demande de :

1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de lhuile.

2) Calculer la position y0 du centre de pousse G0.

22 REPONSE

1) Calcul de R :

SPR G .= avec 4. 2dS = , donc

4..

2dPR G= A.N. NR 310.3,11=

2) Calcul de y0 :

R

Iy ZGr

r),(

0

.= avec 64.),(

4dzGI = , donc R

d

y r64..

4

0

=

A.N. my 73

4

0 10.4,410.3,1164

06,0..8,0.9810==

Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs voisin du centre de surface. Dans le calcul de pousse du vrin il est, donc, tout fait normal de les confondre.

Yr

Zr

d = 60

Go yo

G




11 ENONCE Un rservoir de forme paralllpipdique ayant les dimensions suivantes :

- hauteur h = 3m,

- longueur L1= 8 m,

- largeur L2 = 6 m.

est compltement remplie dhuile de masse volumique 3/900 mkg= .

1) Calculer le module de la rsultante des forces de pression sur chaque surface du rservoir (les quatre faces latrale et le fond).

2) Dterminer pour les surfaces latrales la position du point dapplication (centre de pousse).

22 REPONSE

1) SPR G .= Sur les parois latrales :

12

11 ....21..

2. LhgLhhR == A.N. NR 3178448.3.81,9.900.

21 2

1 ==

22

22 ....21..

2. LhgLhhR == A.N. NR 2383836.3.81,9.900.

21 2

2 == Sur le fond du rservoir :

h

L1

L2



21213 ...... LLhgLLhR == A.N. NR 12713768.6.3.81,9.9003 ==

2) Les points dapplication sont mh 13

= du fond pour les faces latrales.


11 ENONCE On considre un rcipient en forme de paralllpipde de largeur b=2 m, ouvert

lair libre et rempli jusqu une hauteur h=1,5 m avec du mercure de masse

volumique =13600 kg/m3.

On dsigne par:

- G le centre de gravit de la surface mouille S.

- ( )ZYXG rrr ,,, un R.O.D. o Xr est orthogonal S et Yr est vertical. On donne lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.

1) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer la pression PG.

2) Dterminer lintensit de la rsultante Rr

des forces de pression agissant sur S.

3) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r de la surface S.

h

G Xr

Yr

Zr

b



4) Calculer la position Y0 du centre de pousse.

22 REPONSE 1) RFH entre G et M : ( )GMMG YYgPP = .. or YM=h/2 , YG=0 et PM=Patm donc

2.. hgPP atmG +=

A.N. barPG 210.225,1.81,9.1360010 55 ==+=

2) Intensit de la rsultante : bhPSPR GG .. ==r

A.N. NR 55 10.65,1.2.10.2 ==r

3) Moment quadratique : 12

3

),(

bhI ZG =r A.N. 43

),( 5625,0125,1.2 mI ZG ==r

4) Position du centre de pousse :R

IY ZGo r

r),(.=

A.N. mYo 125,010.65625,0.81,9.13600

5 ==


11 ENONCE On considre un aquarium gant utilis dans les parcs dattraction reprsent par

la figure suivante :

X

H

O

a=2 m

Z

vitre

1 m

Rr

G0

ZR



Il est rempli deau une hauteur H= 6m, et quip dune partie vitre de forme rectangulaire de dimensions (2m x 3m) qui permet de visualiser lintrieur. Travail demand :

1) Reprsenter le champ de pression qui sexerce sur la partie vitre.

2) Dterminer le module de la rsultante Rr

des forces de pression.

3) Calculer la profondeur ZR du centre de pousse. 4) Reprendre les questions 2. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la partie vitre par une forme circulaire de diamtre d= 2m.

22 REPONSE 1) Le champ de pression agissant sur le vitrage a lallure suivante :

2) Si on nglige la pression atmosphrique, la rsultante des forces de pressions :

XSPR G ..= avec baS .= donc gZSgR ...=r

A.N. NR 2354404.6.81,9.1000 ==r 3) La profondeur ZR du centre de pousse est donne par lexpression suivante :

GG

YGR ZSZ

IZ +=

.),(

r ou 4

3

),( 2123.2 mI YG ==r A.N. mZR 0833,4=

4) Cas dune partie vitre de forme circulaire de diamtre d= 2 m :

22

141,34. mdS == , 4

4

),( 785,064. mdI YG == r

gZSgR ...=r

A.N. NR 123252=r

X

H

O

2 m

Z 1 m



GG

YGR ZSZ

IZ +=

.),(

r A.N. mZR 0625,4414,3.4

785,0 =+=


11 ENONCE Une vanne de vidange est constitue par un disque de diamtre d pivotant autour

dun axe horizontal (G,Zr

). Le centre G du disque est positionn une hauteur

h=15,3 m par rapport au niveau deau.

On donne :

- le diamtre de la vanne : d = 1 m,

- la pression atmosphrique Patm = 1 bar,

- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2,

- la masse volumique de leau =1000 kg/m3. Travail demand :

1) Dterminer le poids volumique de leau. 2) Dterminer la pression PG de leau au point G.

3) Calculer lintensit de la pousse Rr

sur le disque.

4) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r du disque par rapport laxe (G,Zr

).

5) Calculer le moment GMr

des forces de pression agissant sur le disque.

6) Dterminer la position du centre de pousse y0.

22 REPONSE 1) Poids volumique g. =

X G

Y

eau h



A.N. 3/981081,9.1000 mN== 2) Pression au point G hPP atmG .+= . A.N. PascalPG

55 10.5,23,15.981010 =+=

3) Intensit de la pousse 4..

2dPR G=s

A.N. NR 5,19634941..10.5,2

25 == s

4) Moment quadratique 64. 4

),(

dI ZG=r

A.N. 44

),( 049,0641. mI ZG == r

5) Moment des forces de pression ZIM ZGGrr

r .. ),(=

A.N. mNMG .6,480049,0.9810 ==r

6) Position centre de pousse : ( )R

Iy ZGc r

r,.=

A.N. myc310.44,2

5,196349049,0.9810 ==


11 ENONCE Une conduite AB de longueur L =646 mm est soude sur un rservoir cylindrique

de diamtre D = 3 m. Le rservoir est rempli jusqu'au point A avec du ptrole brut

de densit d = 0,95.



Le repre (G, Xr

,Yr

,Zr

) a t choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S

(fond de rservoir). (G, Xr

) est l'axe de rvolution du rservoir et (G,Yr

) est vertical. On donne:

- la masse volumique de l'eau eau=1000 kg/m3 ,

- l'acclration de la pesanteur g=9,81 m.s-2,

- la pression PA=Patm=1bar.

Travail demand :

1) Quelle est la masse volumique du ptrole?

2) En dduire son poids volumique . 3) En appliquant la RFH entre G et A, dterminer la pression PG au point G.

4) Calculer le module de la rsultante Rr

des forces de pression du ptrole sur le fond du rservoir.

5) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r de la surface circulaire S par rapport

l'axe (G, Zr

).

6) Dterminer la position y0 du centre de pousse G0.

22 REPONSE

Yr

Zr

Xr

Yr

G

G0

G

G0 y0 R

r

L

D

A

B B

A

Surface S



1) Masse volumique du ptrole: eaud .= A.N. 3/95081,9.95,0 mkg== 2) Poids volumique : g. = A.N. 3/5,931981,9.950 mN== 3) RFH entre G et A : )(. GAAG YYgPP = Or PA=Patm et YG=0

Donc )2

.(. DLgPP atmG ++=

A.N. barPaPG 2,164,119999)5,1646,0.(81,9.950105 ==++=

4) Intensit de la rsultante :4..

2DPR G=r

A.N. NR 47,84822743..64,119999

2

== r

5) Moment quadratique: 64. 4

),(

DI ZG=r A.N. 4

4

),( 976,3643. mI ZG == r

6) Position du centre de pousse : R

Iy ZGr

r),(

0

.=

A.N. my 04368,047,848227976,3.5,9319

0 ==


11 ENONCE Suite au naufrage dun ptrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter lpave et

reprer dventuelles fuites. Lpave repose une profondeur h= 1981 m.

On donne :

- lacclration de la pesanteur g= 9,8 m/s2, - la pression atmosphrique Patm= 1 bar,

- la masse volumique de leau de mer est = 1025 kg/m3, Le sous marin est quip dun hublot vitr de diamtre d= 310 mm., de centre de

gravit G, et de normale ( ),( XGr

est situ dans un plan vertical ),,( ZYGrr

. Laxe

),( ZGr

est vertical.

Travail demand :

1) Calculez la pression PG de leau cette profondeur au point G.



2) Quelle est lintensit ( Rr

) de la rsultante des actions de pression de leau sur

le hublot ?

3) Calculer le moment quadratique ),( ZGI r du hublot.

4) Quelle est lintensit ( GMr

) du moment des actions de pression de leau sur le

hublot ?

22 REPONSE 1) RFH entre le point G et un point M la surface : ( ) hgZZgPP GMMG .... ==

hgPP atmG ..+= A.N. barpascalPG 20010.2001981.8,9.102510

55 ==+=

2) Intensit de la rsultante : 4...

2dPSPR GG==r

A.N. NR 52

5 10.154310,0..10.200 == r

3) Moment quadratique : 64. 4

),(

dI YG=r

A.N 444

),( 10.533,464310,0. mI YG

== r

4) Intensit du moment : ),(. YGG IM rr =

A.N NmMG 5,410.533,4.8,9.1025' == r


11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente une vanne de scurit de forme rectangulaire

destine un barrage. Elle permet dvacuer leau stocke dans le barrage surtout

lorsque le niveau du fluide devient lev.



Les dimensions de la vanne sont : b=4 m et h= 2 m. Sa partie suprieure affleure la surface du plan deau.

Un repre (G, Xr

,Yr

,Zr

) est reprsent sur la figure tel que : G est le centre de

surface de la vanne.

On donne : la masse volumique de leau =1000 kg/m3 et lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2,

Travail demand :

1) En ngligeant la pression atmosphrique, calculer la pression PG de leau au centre de gravit.

2) Dterminer la rsultante Rr


yr

xr G h

A

(vanne)



3) Dterminer le moment GMr


4) Calculer lordonne y0 du centre de pousse.

22 REPONSE 1) RFH entre G et A: ).(. GAAG yygPP = Or yG=0, yA=h/2, PA=Patm (nglige)

Donc 2

.. hgPG =

A.N. PaPG 98191.81,9.1000 == 2) xSPR G

rr ..= avec hbS .= donc xbhPR G r

r..=

A.N. NR 784802.4.9810 ==r

3) zIgM zGGrr

r ... ),(= Avec 123

),(bhI zG =r

Donc zbhgMG

rr .12

..3

=

A.N. NMG 26160128.4.81,9.1000 ==r

4) R

My Gr

r=0

A.N. my 33,07848026160

0 ==


11 ENONCE On considre un rservoir deau quip au niveau de sa base dune plaque

rectangulaire qui peut tourner dun angle ( 0 ) autour dun axe (A, Z ).



Dun cot, la plaque est soumise aux forces de pression de leau et de lautre cot,

elle est soumise la pression atmosphrique (Patm). Sous leffet des forces de

pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure dune

faon naturelle la fermeture tanche ( 0= ) ou louverture ( 0 ) du rservoir. Lobjectif de cet exercice est de dterminer la valeur h0 du niveau deau partir de

laquelle le rservoir souvre automatiquement.

On donne :

- le poids volumique de leau : 33 /10.81,9 mN= - les dimensions de la plaque : a=0,75 m (selon laxe Z ) , b=1,500 (selon laxe

Y )

- la distance entre le centre de surface G et laxe de rotation (A,Z ) est : d=50 mm

- la pression au point O est Po=Patm

Travail demand :

1) En appliquant le principe fondamental de lhydrostatique, donner lexpression de la pression de leau PG au centre de surface G en fonction de la hauteur h.

db

Y

O

Patm

Patm

X

Y

Z

A

G

a

Axe de rotation

Vue suivant X de la plaque

eau h



2) Dterminer les expressions de la rsultante R et du moment GM associs au

torseur des forces de pression hydrostatique dans le repre ( )ZYXG ,,, . 3) En dduire lexpression du moment AM des forces de pression de leau, par

rapport laxe de rotation (A, Z ).

4) Donner lexpression du moment AM ' des forces de pression atmosphrique

agissant sur la plaque, par rapport laxe de rotation (A,Z ).

5) A partir de quelle valeur h0 du niveau deau la plaque pivote ( 0 ) ? 22 REPONSE

1) Principe fondamental de lhydrostatique : ( )GG YYPP = 00 . or 20bhY = ;

0=GY et atmPP =0 Donc

+=2

. bhPP atmG

2) XSPR G ..= avec baS .= donc XbabhPR atm ...2.

+=

3) ( )ZzGIMG .,.= avec 12. 3baI = donc ZabMG .12. 3= RAGMM GA += avec YdAG .= donc ZbabhPdbaM atmA ...2..12

..3

+=

4) ZdbaPM atmA ....' =

5) La plaque pivote ( 0



On considre une sphre pleine en bois de rayon r=20 cm et une sphre creuse

en acier de rayon r=20 cm et dpaisseur e=8 mm.

On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide.

On donne :

- la masse volumique du bois : bois = 700 kg/m3 - la masse volumique de lacier : acier = 7800 kg/m3 - la masse volumique de leau : eau = 1000 kg/m3 1) Dterminer le poids dune chaque sphre. 2) Dterminer la pouss dArchimde qui sexercerait sur chacune de ces sphres

si elles taient totalement immerges dans leau.

3) Ces sphres pourraient-elles flotter la surface de leau ? 4) Si oui quelle est la fraction du volume immerg ?

22 REPONSE

1) Poids de chaque sphre: poids = .g.V )..34.(. 3rgpoids boisbois = A.N.

Npoidsbois 2300335,08,9700 == )]).(.34()..

34.[(. 33 errgpoids aciersacier =

A. N. Npoidsacier 29500386,08,97800 == 2) Pousse dArchimde : La pouss dArchimde est gale au poids du volume dplac. Or lorsquelles sont

totalement immerges, ces deux sphres vont dplacer le mme volume e volume

donc: )..34.(. 3rgP eauARCH = A.N. NPARCH 3280335,08,91000 ==

3) Ces deux sphres peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont infrieurs la pouss dArchimde.

4) A lquilibre la pouss dArchimde est gale au poids : 5)

230 = 1000.9,8.Vbois immergVbois immerg = 0,0234 m3 soit F=70%.

295 = 1000.9,8.Vacier immerg Vacier immerg = 0,0301 m3 soit F=90%. EExxeerrcciiccee NN1177:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000077



11 ENONCE Une sphre de rayon R=10 cm flotte moiti (fraction du volume immerg F1=50

%) la surface de leau de mer (masse volumique mer=1025 kg/m3). 1) Dterminer son poids P. 2) Quelle sera la fraction du volume immerg F2 si cette sphre flottait la surface

de lhuile (masse volumique huile=800 kg/m3) ? 22 REPONSE

1) Equation dquilibre : gRFgVFPPoids mermerARCH ...34.... 311 ===

A.N. NPoids 2181,9.1025.1,034

21 3 ==

2) PoidsgVFPPoids huileARCH == ...2

quivaut huile

merF

21

2 = AN. %648001025

21

2 ==F


11 ENONCE La glace -10C a une masse volumique glace= 995 kg/m3. Un iceberg sphrique

de 1000 tonnes flotte la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique

eau = 1025 kg/m3.

Travail demand :

1) Dterminer la fraction F du volume immerge ? 2) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ?

22 REPONSE

Eau de mer

glace



1) Equation dquilibre : Parch=Poids immergeautotalglace VgVg .... =

donc 100.100.eau

glace

total

immerg

VV

F ==

A.N. %97100.1025995 ==F

2) La fraction F ne dpend que du rapport des masses volumiques. Elle est indpendante de la forme. Donc F=97% si la forme tait cubique.


11 ENONCE Un cube en acier de cot a=50 cm flotte sur du mercure.

On donne les masses volumiques :

- de lacier 1= 7800 kg/m3

- du mercure 2= 13600 kg/m3

1) Appliquer le thorme dArchimde, 2) Dterminer la hauteur h immerge.

22 REPONSE 1) Thorme dArchimde : la pousse dArchimde est gal au poids du volume

dplac: ghaPARCH ... 22 = .

2) Equation dquilibre : PoidsPARCH = Donc gagha ..... 1

32

2 =

quivaut ah .2

1

=

A.N. cmh 676,2850.136007800 ==


11 ENONCE

ha



On considre une plate-forme compose dune plaque plane et de trois poutres

cylindriques en bois qui flottent la surface de la mer.

On donne:

- les dimensions dune poutre: diamtre d=0,5 m et longueur L=4 m,

- la masse volumique du bois : 3/700 mkgbois = , - la masse volumique de leau de mer: 3/1027 mkgmer = , - la masse de la plaque Mc = 350 kg,

- lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2.

Travail demand:

1) Calculer le poids total P0 de la plate-forme. 2) Ecrire lquation dquilibre de la plate-forme. 3) En dduire la fraction F(%) du volume immerg des poutres. 4) Dterminer la masse Mc maximale quon peut placer sur la plate-forme sans limmerger.

22 REPONSE

1) Poids total de la plate-forme : ( ) ).4...3(..3

2

0 LdMgMMP boispbp

+=+=

A.N. NP 49,1961381,9.4.4

5,0..700.33502

0 =

+=

2) Equation dquilibre : P0 = Pousse dArchimde 3) PARCH= poids du volume deau dplac

gPVPgVPeau

immergoimmergeeauARCH ..3...3 0 ===

Eau de mer

Plaque

Bois d



La fraction du volume immerg : 100....3

100.(%) 0poutreeaupoutre

immerge

VgP

VV

F ==

A.N. %62,82100.4.

45,0..81,9.1027.3

49,19613(%)2

=

= F

4) Poutre compltement immerge : F(%)=100 % c'est--dire Vimmerg=Vpoutre

poutreeau

C VggMP =+

..3.0

. On obtient : ( )opoutreeauc PVggM = ..3.1 A.N. kgMc 47,42049,196134.4

5,0..81,9.1027.3.81,91 2 =

=


11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente un montage destin pour la pche la ligne.

Il est compos dune sphre pleine (1) de rayon R1 =10 mm en plomb suspendu,

par lintermdiaire dun fil souple et lger (3), un flotteur (2) en forme de sphre

creuse en matire plastique de rayon R2=35 mm et dpaisseur e=5 mm.

On donne :

- la masse volumique de leau de mer : =1027 kg/m3,

(2)

(1)

(3) Eau de mer



- la masse volumique du plomb : 1 =11340 kg/m3 , - la masse volumique du matriau du flotteur : 2 =500 kg/m3, - lacclration de la pesanteur g=9,81m.s-2.

Travail demand:

1) Calculer le poids P1 de la sphre (1). 2) Dterminer la pousse dArchimde PARCH1 qui agit sur la sphre (1). 3) Ecrire lquation dquilibre de la sphre (1). En dduire la tension T du fil. 4) Calculer le poids P2 du flotteur (2). 5) Ecrire lquation dquilibre du flotteur. En dduire la pousse dArchimde PARCH2 agissant sur la sphre (2).

6) En dduire la fraction F% du volume immerg du flotteur.

22 REPONSE

1) Poids de la sphre (1) : gRP ..34

1311 = A.N. NP 4659,081,9.11340.01,0.3

4 31 ==

2) Pousse dArchimde sur la sphre (1) : gRPARCH ..34 3

11 =

A.N. NPARCH 0422,081,9.1027.01,0.34 3

1 ==

3) Equation dquilibre : OPPT ARCHrrrr =++ 1

Tension du fil : T=P1-PARCH1 A.N. T=0,4659-0,0422=0,4237 N

4) Poids du flotteur (2) : [ ] geRRP ..)(34 232322 = A.N. [ ] NP 3262,081,9.500.030,0035,0.34 332 == 5) Equation dquilibre du flotteur (2) : OPPT ARCH

rrrr =++ 22 Pousse dArchimde agissant sur la sphre (2) : PARCH2=P2+T

A.N. PARCH2=0,3262+0,4237=0 ,7499 N

6) Fraction du volume immerg : 100..

34

100.

34 3

2

2

32 R

gP

R

VF

ARCH

im

==



A.N. %4449,41100.035,0.

34 3

2

==

gP

F

ARCH


11 ENONCE On considre un densimtre form dun cylindrique creux de longueur L=400 mm

et de diamtre d, dans lequel est place une masse de plomb au niveau de sa

partie infrieure. Le centre de gravit G du densimtre est situ une distance a

=10 mm par rapport au fond. Le densimtre flotte la surface dun liquide de

masse volumique inconnu. Il est immerg jusqu' une hauteur h. Lorsque le densimtre est plac dans de leau de masse volumique

30 /1000 mkg= , la hauteur immerge est h0 = 200 mm.

Travail demand :

1) Quel est la masse volumique du liquide si la hauteur immerge h=250 mm? 2) Quel est la masse volumique min quon peut mesurer avec ce densimtre ? 3) Jusqu quelle valeur de la masse volumique du liquide le densimtre reste dans une position dquilibre verticale stable?

4) Donner un exemple de liquide dans lequel on risque davoir un problme de stabilit.

22 REPONSE

h L

d

Ga



1) Le densimtre est soumis son poids propre dintensit m.g et la pousse

dArchimde dirige vers le haut et dintensit hdgVg deplaceliquide .4.....

2 = .

Lquation dquilibre est : hdggm .4....

2= quivalente hdm .4..

2= (1)

De mme si le liquide tait de leau on a : 02

0 .4.. hdm = (2)

(1) et (2) entrane 00.. hh = donc 00 . hh= A.N. 3/800 mkg=

2) La masse volumique min correspond une hauteur immerge h=400 mm.

00

min . hh=

A.N. 3/500 mkg= 3) Le densimtre reste en position dquilibre stable si le centre de gravit du liquide dplac (situ une distance h/2 de la base) est au dessus du centre de

gravit (situ une distance a de la base).

Donc, il faut que ah >2

pour assurer la stabilit du densimtre.

Or 00 .hh = donc il faut que 00 ..2

1

1 donc lcoulement est supersonique.

4) Temprature darrt

+= 2.2

11. MTTi

A.N. KTi04683100.

214,11.223 =

+=

5) Pression darrt :

12.2

11.

+=

MPPi A.N. PaPi 11246100.214,11.26500

14,14,1

=

+=


11 ENONCE Un rservoir contient de lair comprim une pression Pi= 4 bar, suppose

pression darrt ltat initial. Louverture dune vanne dans ce rservoir provoque

la dtente de lair vers lextrieur sous forme dun jet ayant un diamtre d = 5 mm.

Les paramtres extrieurs du jet dair ltat final sont :

- Pression P= 1 bar,

- Temprature T=250 C,

On donne 4,1= et r=287 J/Kg.0K. 1) Calculer la vitesse du son C lextrieur du rservoir en (m/s).

2) Dterminer la masse volumique de lair lextrieur du rservoir en (kg/m3). (On suppose que lair est un gaz parfait.)

3) Ecrire lquation de Saint-Venant, en terme de rapport de pression, entre un point darrt et un point sur le jet dair.

4) En dduire le nombre de Mach M au niveau du jet dair. 5) Quelle est la nature de lcoulement ? 6) Calculer la vitesse dcoulement V du jet dair en (m/s). 7) En dduire le dbit massique qm (kg/s).

22 REPONSE

1) Clrit du son : rTC .= A.N. smC /346298.287.4,1 ==

2) Masse volumique :rTP= A.N. 3

5

/169,1298.287

10 mkg==

3) Equation de Saint-Venant

12.2

11

=+PPM i

Chapitre 5 : Dynamique des fluides compressibles


4) Nombre de Mach :

=

1.1

21

pp

M i A.N. 558,1=M

5) M>1 donc lcoulement est supersonique.

6) Vitesse dcoulement : CMV .= A.N. smV /48,549346.558,1 ==

7) Dbit massique : VdVSqm .4...

2 ==

A.N. skgqm /52,2448,549.4005,0..169,1 ==


11 ENONCE La figure ci-dessous reprsente une chaudire qui produit de la vapeur d'eau un

dbit massique qm=13,4 kg/s.

Par une canalisation cylindrique, la vapeur arrive dans une section S de diamtre

d=10 cm une pression P=15 bar et une temprature T=541 K. On donne les caractristiques de la vapeur d'eau :

- =1,3. - r=462 J/kgK.

Travail demand:

Canalisation

S

Chaudire

Eau

Vapeur Pi



1) On suppose que la vapeur est un gaz parfait, calculer la masse volumique de la vapeur d'eau en sortie de la chaudire.

2) Dterminer la vitesse d'coulement V. 3) Calculer la clrit du son C. 4) En dduire le nombre de Mach M. Prciser la nature de l'coulement. 5) Ecrire l'quation de Saint-Venant en terme de rapport de pression, et calculer la pression d'arrt Pi l'intrieur de la chaudire.

22 REPONSE

1) Masse volumique de la vapeur : rTP= A.N. 3

5

/6541.462

10.15 mkg==

2) Vitesse dcoulement : ...4

2dqV m= A.N. smV /356,284

6.1,0.4,13.4

2 ==

3) Clrit du son: Trc ..= A.N. smc /021,570541.462.3,1 ==

4) Nombre de Mach : CVM = A.N. 5,0

021,570356,284 ==M

M



Travail demand :

1) En appliquant lquation de Saint- Venant , dterminer la pression Pi (en bar) lintrieur du rservoir.

2) A partir de quelle pression Pi, lcoulement devient supersonique ?

22 REPONSE

1) Equation de Saint-Venant :

=+ 12.

211

PPM i donc

+= 122

11. MPPi

A.N. barPaPi 5,121,15009777,0.214,11.10.014,1

14,14,1

25 ==

+=

2)

+>> 12

1.1PPM i

A.N. barPi 2191943214,1.10.014,1

14,14,1

5 =

+>


11 ENONCE Lazote est comprim dans une bouteille dans laquelle rgne une pression darrt

Pi = 3 bar. Il schappe travers un orifice vers lextrieur ou la pression ambiante

est P= 1 bar.

On donne 4,1= .

Pi



1) En appliquant lquation de Saint-Venant, dterminer le nombre de Mach M. 2) Prciser la nature de lcoulement.

22 REPONSE

1) Thorme de Saint-Venant :

12.2

11

=+PPM i

Nombre de Mach

=

1.1

21

PPM i A.N. 357,11

13.

14,12 4,1

14,1

=

=

M .

2) M>1 donc lcoulement est supersonique.


11 ENONCE De l'air, suppos gaz parfait, s'chappe par la valve d'une chambre air d'un

pneu. La pression lintrieur de la chambre air est Pi = 1,7 bar. On suppose que

la dtente de lair, seffectue vers lextrieur une pression P=1 bar et une

temprature ambiante T=25 C.

On donne les caractristiques de lair suivantes :

- r= 287 J/kgK,

- =1,4. Travail demand :

1) Calculer la clrit du son. 2) En appliquant lquation de Saint-Venant, dterminer le nombre de Mach. 3) Dterminer la vitesse dchappement V de lair.

22 REPONSE

1) Trc ..= A.N. : smc /346298.287.4,1 == 2) Equation de Saint-Venant :

=+ 12.

211

PPM i quivaut

=

11

21

PPM i



A.N. 9,0117,1

14,12 4,1

14,1

=

=

M

3) cMV .= smV /4,311346.9,0 ==


BIBLIOGRAPHIE

[1] Dynamique des fluides. Inge L. Ryhming Presse Polytechniques et Universitaires Romandes

[2] Mcanique de fluides Prpas PC-PSI

Cline Anthoine Guillaume Levvre Samuel Marque- 1999 [3] Mcanique des fluides.

Cours, exercices et problmes corrigs. Classes prparatoires- Premier cycle universitaire. Christian Grossette -1999

[4] Hydraulique.

Cours et Exercices. Souha Bahlous El Ouafi Centre de Publication Universitaire (CPU) 2002

[5] Mcanique des fluides.

Comolet (Masson) [6] Mcanique des fluides incompressibles

Mohamed MAALEJ Centre de Publication Universitaire (CPU) 2001

Cet ouvrage est une introduction la mcanique des fluides. Il est

conforme aux programmes de formation des techniciens suprieurs en

maintenance industrielle ou en gnie mcanique. Il est destin aux tudiants

des Instituts Suprieurs des Etudes Technologiques, aux enseignants et aux

auditeurs de la formation continue. Centr sur les lois et leurs applications en

statique et en dynamique des fluides, Il fournis aux techniciens suprieurs les

notions lmentaires ncessaires pour dimensionner plusieurs appareils

(rservoirs, tuyauterie, pompe, turbine, distributeur, vrins etc.) quil

rencontrent dans la vie active.

Accompagn de 70 exercices corrigs dune faon dtaille, cet ouvrage

rassemble un volume dapplications pratiques intressant qui en font une

bonne prparation aux examens, aux concours et la vie professionnelle.

Riadh BEN HAMOUDA Ingnieur principal de lEcole Nationale dIngnieurs de Tunis, Diplm de lEcole Nationale Suprieure de lAronautique et de lEspace ENSAE- SUPAERO de Toulouse. Enseignant agrg en Gnie Mcanique et Technologue lInstitut Suprieur des Etudes Technologiques de Djerba.

Centre de Publication Universitaire, Tunis 2008

ISBN : 978-9973-37-494-3 Prix : 12 dinards

P

1 Introduction2 Dfinitions2.1 Fluide parfait2.2 Fluide rel2.3 Fluide incompressible2.4 Fluide compressible

3 Caractristiques physiques3.1 Masse volumique 3.2 Poids volumique3.3 Densit3.4 Viscosit

4 Conclusion1 Enonc2 Rponse1 Enonc2 RponseExercice N3: Extrait de lexamen du 23-06-20031 Enonc2 RponseExercice N4: Extrait de lexamen du 15-01-20041 Enonc2 RponseExercice N5: Extrait de lexamen du 24-06-20041 Enonc2 RponseExercice N6: Extrait du devoir surveill du 21-04-20031 Enonc2 Rponse1 Enonc2 Rponse1 Introduction2 Notion de pression en un point dun fluide3 Relation fondamentale de lhydrostatique4 Thorme de Pascal4.1 Enonc4.2 Dmonstration

5 Pousse dun fluide sur une paroi verticale5.1 Hypothses5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression5.2.1 Rsultante 5.2.2 Moment

5.3 Centre de pousse

6 Thorme dArchimde6.1 nonc6.2 Dmonstration

7 Conclusion8 Exercices daplication1 Enonc2 RponseExercice N2: Extrait du dev

statique des fluides exo 1

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