chapitre 08 exo

7/28/2019 Chapitre 08 Exo

1/20

CHAP 8 Intgration et primitives 121

Application : Il sagit de rechercher une primitive du

type x

e

2

x

[Acos(3

x

) + Bsin(3

x

)] .

F(

x

) = e

2

x

et G(

x

) = e

2

x

.

1. a)

La parit def

est immdiate donc

f

est symtri-

que par rapport laxe (O

y

).

f

(

t

) = t

donc f

est strictement dcroissante sur

[0 ; +

[ ; de plus, f

(0) = 1 et = 0

+

.

b)

Pour tout rel x

n

0 , F(

x

) exprime laire en u.a. du

domaine

: ; F(x

) exprime loppos de

laire en u.a. du domaine

: ; or

et

ont mme aire, donc F(x

) = F(

x

) et F est impaire.

c)

Pour tout relx

de [0 ; +

[ , F

(

x

) =f

(

x

) = . Ainsi

F

> 0 et F est strictement croissante sur [0 ; +

[ .La limite de F en +

correspond laire sous la courbe

f

sur [0 ; +

[ , donc F(

x

) = .

2. a)

Pour tout entier n

n

1 ,

u

n

v

n

= .

b)

Pour tout n

, u

n

v

n

> 0 . On cherche alors un entier n

tel que < 10

2

soit n

> 10

2

a

.

On peut prendre pour n

(

a

) lentier :

n

(

a

) = E + 1 .

c)

Tableau des encadrements obtenus la calculatrice :

Lobjectif de ce TD est de relier les notions de cinmati-que au calcul intgral : expression intgrale de la distance parcourue par unmobile sur un axe ; vitesse moyenne et valeur moyenne de la fonction vitesse.

1.

Pour tout t

de [0 ; +

[ , y

(

t

) = v

(

t

) . Donc v

estune primitive dey

sur [0 ; +

[ .

2.

(

t

1

; t

2

) =y

(

t

2

) y

(

t

1

) = y

(

t

)d

t

= v

(

t

)d

t

.

Application numrique

Par intgration par parties :

(0 ; 10) = ,

do

(0 ; 10) = 10e + 90 , soit

(0 ; 10)

117 m .

1.

V

M

= .

2.

La valeur moyenne de la fonction v

sur [

t

1

; t

2

] est :

.

Application numrique

V

M

= = e + 9 ,

soit V

M

11,7 m s

1

.

matriser le cours (page 221)

a)

I(

f

) = 10 ;

b)

I(

f

) = 16 + ;

c)

I(

f

) = 3 .

I(

f) = I(f) = .

Dessin1. M(x ;y)

f x2 +y2 = 4 et yn 0 .

f

est le demi-cercle de centre O et de rayon 1 situ dansle demi-plan dquation yn 0 .2. I(f) = 2 .

Dessin1. M(x ;y)

f (x 1)2 + (y 1)2 = 2 et y 1 n 0 .

f

est le demi-cercle de centre A(1 ; 1) et de rayon

situ dans le demi-plan dquation yn 1 .2. I(f) = + 2 .

Corrig dans le manuel.

213------ 3x( )cos 3

13------ 3x( )sin+

313------ 3x( )cos 213------ 3x( )sin

2

et2

2----

f t( )t + lim

0 N tN x0 N y N f t( )

x N tN 00 N y N f t( )

ex2

2-----

x + lim 2

2----------

an--- f 0( ) f a( )[ ] a

n--- 1 e

a2

2-----

=

an--- 1 e

a2

2----- 1 ea

2

2-----

102a 1 ea

2

2-----

a n (a) F(a) 0,25 1 [0,24 ; 0,25]

0,5 6 [0,475 ; 0,485]

1 40 [0,85 ; 0,86]

1,5 102 [1,08 ; 1,09]

2 173 [1,19 ; 1,20]

3 297 [1,245 ; 1,255]

TD 6

1

t1

t2

t1t2

t 1+( )et

10------

dt010 10 t 1+( )e

t10------

0

10

10 et

10------

dt010=

2 y t2( ) y t1( )t2 t1

---------------------------- t1; t2( )

t2 t1--------------------=

1

t2 t1

-------------- v t( )dtt1

t2

t1; t2( )

t2 t1

-------------------- VM= =

110------ v t( )dt

010 0 ; 10( )10-----------------------=

Corrigs des exercices

1. et 2. Notion dintgrale.Premires proprits

f(x) =

si 1 NxN 1

si 1


2/20

122

a) Pour toutx de [1 ; 2] :xNx2 xexNx2ex I N J .

b) Pour tout tde [0 ; 1] : n I n J .

c) Pour toutx de [0 ; 1] :

x2sinxNxsinx I N J .

a) Pour tout tde :

lntn ln lntdtn ln2 dt lntdtn .

b) Pour toutx de [1 ; 2] :

N .

c) Pour tout tde :

1 N sin(t2 + 1) N 1 N ,

(ingalit de la moyenne).


Les rsultats sobtiennent en utilisant lingalit de lamoyenne.a) Pour tout tde [0 ; 1] :

N N 1 N N 1 .

b) Pour toutx de [0 ; 2] :e 4N ex

2N 1 2e 4N N 2 .

c) Pour toutx de [2 ; 4] : ln3 N ln(x2 1) N ln15

2ln3 N N 2ln3 + 2ln5 .

= . Or, f

est le demi-cercle de cen-

tre O et de rayon 1 situ dans le demi-plan dquation

yn 0 , donc = et = .

a) = 3 = 6 ;b) = 2 = 2ln2 ;

c) .

a) Pour toutx de [0 ; 1] :

N N 1 N N 1 NN 1 .

b) Pour toutx de [1 ; e] :

0 N lnxN 1 0 N N e 1 0 NN 1 .

c) Pour toutx de [1 ; ] : e N ex2N e2

e( 1) N N e2( 1) e NN e2.

Commentaire : Si fest une fonction continue sur [a ;b], (a


3/20


a) F(x) = . b) F(x) = .

c) F(x) = .

a) F(x) = .

b) F(x) = 3sinx + cos(2x) +x . c) F(x) = .

a) F(x) = . b) F(x) = .

c) F(x) = 2tanx x .

a) F(x) = ln(x 4) . b) F(x) = ln(4 x) .c) F(x) = ln(x x2) .

a) F(x) = . b) F(x) = .

c) F(x) = . d) F(x) = ecosx .

a) F(x) = ; I = .

b) F(x) = ; I = ]0 ; + [ .

c) F(x) = ; I = ; + .

a) F(x) = ; I = .

b) F(x) = ; I = .

c) F(x) = ; I = .


a) F(x) = ; I = .

b) F(x) = ; I = .

c) F(x) = ;

I = ]1 ; + [ .

a) I = 4 . b) I = 6 . c) I = ln2 .

a) I = 4 . b) I = 4 . c) I = . d) I = 1 .

a) I = . b) I = 2 . c) I = .

a) I = 2 2 . b) I = . c) I = . d) I = 0 .

a) I = 3 . b) I = . c) I = 3ln2 + 1 .d) I = 0 .

a) I = . b) I = (e3 1) .

c) I = . d) I = (1 e1) .


a) I = . b) I = .

c) I = .

I = ;

J = .

1.dsigne la courbe de la restriction def [0 ; 1] .M(x ; y) (x 1)2 + y2 = 1 , 0 NxN 1 , yn 0 .est le quart de cercle de centre A(1 ; 0) et de rayon 1dfini pour 0 NxN 1 et yn 0 .

2. I = .

J = .

a) I = .

b) J = .

c) K =

= .

1.f(x) = , .

2. I = .

1.f(x) = , (a = 4 , b = 17 , c = 52) .

2. I = = 26 + 52ln3 52ln5 .


1. 1 .

2. I = .

1. sin2a = , cos2a = .

2. sin4x =

=

= .

6. Calculs dintgrales

26 1x2 x 3+-----------------------

12 x2 2x 3( )----------------------------------

23 x3 8+( )2-------------------------

27 13--- 3x( )sin 12--- 2x( )cos

1

2

---

3

--- 2x

cos

28 12---sin2x 1

3---sin3x 3

2---sin2x 8 xsin+

29

30 e x 1+ 23--- e3x 2

ex

2

2-----

31 x3

3----- x2 12---x

2x---

x2

2-----

32---+ +

12 2x 1+( )-----------------------

12---+

12---

32 12--- 2x

4---

cos 24

-------

13---sin3x 2

3---+

4x2---sin 6

x2---cos 5 2+

33

34 13--- e3x 1+ e

2

3-------

12--- e x

254---+

x 1( )ln x 1+( )ln 3ln+ x2 13

-------------- ln=

35 236------

36 65---

37 158------

6ln4

--------

38 5 37---

12---

39 7 2

40 2ln 13--- 5ln 53---

e7 e3

--------------12---

41

42 14---

256

------ ln 2

e 1 e+-----------------

ln 21 e2+--------------

ln 1+=

5 5 13

-------------------

43 xdx01

1x---dx

13+ 12--- 3ln+=

1x---dx

21 xdx1

12---

+ 2ln 38---=

44

O 1

1

x

y

f

f x( )dx01 f x( )dx1

2+ 4--- 2ln+=

f x( )dx31 f x( )dx1

0+ 3ln 4---=

45 tln t tln+( )dt1

e tdt1

e e

2 12

--------------= =

1 t2+( )dln t11 0=

2tdcos t1

6---

2tdcos t76

------

1+ 2tdcos t76

------

6---

=

2tdcos t6---

6--- +

0=

46 1x2 9--------------

16---

1x 3----------- 1

6---

1x 3+------------= a 16--- , b

16---= =

16---

1x 3-----------dx

45

1x 3+------------ dx

45

13--- 2ln 1

6--- 7ln+ 1

6---

74---

ln= =

47 4x 17 52x 3+------------+

4x 17( )dx20 52

1x 3+------------ dx

20+

48

49 ex

1 ex+--------------

11 ex+--------------=

dx01

ex

1 ex+--------------dx

01 1 2ln 1 e+( )ln+=

50 1 2a( )cos 2-----------------------------1 2a( )cos+

2-----------------------------

1 2x( )cos2

-----------------------------2 1

4---

12--- 2x( )cos 14--- cos

2 2x( )+=

14--- 12--- 2x( )cos 14--- 1 4x( )cos+ 2-----------------------------+

38---

12--- 2x( )cos 18--- 4x( )cos+


4/20

124

3. I =

= .

a) I = .

(Poser u(x) = lnx , u(x) = , v(x) =x , v(x) = .)

b) I = e2 + 1 .

(Poser u(t) = ln t, u(t) = , v(t) = 1 , v(t) = t.)

a) I = 2 .(Poser u(x) =x 1, u(x) = 1 , v(x) = cosx , v(x) = sinx .)b) J = 2e 1 .(Poser u(x) =x + 2 , u(x) = 1 , v(x) = ex , v(x) = ex .)

a) I = . (Poser u(x) = 3x , u(x) = 3 , v(x) = sin(3x) ,

v(x) = cos(3x) .)

b) J = 3 5e1 .

(Poser u(x) = 2x + 1 , u(x) = 2 , v(x) = ex , v(x) = ex .)


F(x) = .

(Poser u(t) = t, u(t) = 1 , v(t) = cos t, v(t) = sint.)

F(x) = .

(Poser u(t) = ln t, u(t) = , v(t) = t2 , v(t) = .)

F(x) = .

(Poser u(t) = ln t, u(t) = , v(t) = , v(t) = .)

F(x) = .

(Poser u(t) = 2 t, u(t) = 2 , v(t) = , v(t) = 2 .)

pour apprendre chercher(page 225)

tablir une ingalit

Les outils :

Calcul intgral.

Expression dune aire par une intgrale.

Comparaison daires.

Les objectifs :

Savoir dmontrer une ingalit.

Savoir exprimer laccroissement dune fonction sous

forme intgrale.

1. a)Sur [a ; b], la fonction t sint est continue et positive

donc I = reprsente laire sous la courbesin .

b) Aire du trapze ABCD :

T = .

Le second terme de cette somme est positif donc :

Tn .

Ainsi I nTn , do :

cosa cosbN .

c) Lorsque a = 0 , le raisonnement prcdent sapplique

en considrant le triangle rectangle OBC, daire ,

et lingalit est encore vrifie. Lorsque b = , linga-lit dmontrer scrit cosa + 1 n 0 et elle est triviale-ment vrifie.

Rechercher une primitive

Les outils : Intgration par parties. Drivations successives.

Relations fonctionnelles.

Les objectifs : Savoir calculer une primitive.

Savoir prvoir une double intgration par parties.

Savoir tablir des relations entre drives successives.

1. a)f est continue sur do le rsultat daprs lethorme 7.b) Poser u (t) = sin(2 t) , u(t) = 2cos(2 t) , v (t) = e t ,

v(t) = et

, do le rsultat par intgration par parties.2. a) Par une seconde intgration par parties :

= .

b) F(x) = , do :

F(x) = .

3. a)f(x) = ex[2cos(2x) + sin(2x)] ;f(x) = ex[4cos(2x) 3sin(2x)] .

b)f(x) = f(x) + f(x) , .

c) Une primitive sur defest dfinie par :

x f(x) + f(x) = .

Note : On retrouve ( une constante prs) lexpression du 2. b).

Primitives de x P(x)e x

Les outils : Identification de deux critures polynomiales.

Drivation.

Forme intgrale dune primitive.

Intgration par parties.

Les objectifs : Savoir prouver lexistence dune primitive dun type donn. Savoir calculer sur des polynmes.

Savoir prvoir une triple intgration par parties.

38--- dx

0

8---

12--- 2x( )dcos x

0

8---

18--- 4x( )dcos x

0

8---

+364------

28

-------1

32------+

51 e2 1+4

--------------

1x---

x2

2-----

1t---

52

53 3---

13---

54

55 t tdcos tx

x xsin xcos 1+ +=

56 t2

tdln t1x

x3

3----- xln

x3

9-----1

9---+=1t---

t3

3----

57 tlnt2

-------dt1

x

xlnx--------1x--- 1+=

1t---

1t2----

1t---

58 2tet2---dt

0

x

4xex2---

8ex2---

8+=

et2---

et2---

59

tdsin ta

b

asin bsin+( ) b a( )2

---------------------------------------------------12--- b a( ) bsin 1

2--- b a( ) asin+=

12--- b a( ) bsin

1

2--- b a( ) bsin

12--- b a( ) bsin

12---b bsin

60

et 2t( )dcos t0x

ex 2x( )cos 1 2 et 2t( )dsin t

0x

+=ex 2x( )cos 1 2F x( )+

ex 2x( )sin 2 ex 2x( )cos 1 2F x( )+[ ]25--- ex 2x( )cos 15--- e

x 2x( )sin 25---+ +

15---

25--- a

15--- , b 2

5---= =

15---

25--- ex 2

5--- 2x( )cos 15--- 2x( )sin+

61


5/20


1. Pour tout relx :

F (x) =f(x) ex(P (x) P(x)) = ex(x3 +x2 +x + 1) P (x) P(x) =x3 +x2 +x + 1 .

2. Immdiat : d(P) N 3 .

Note : Il est ais de prouver quen fait, d(P) = 3 .

3. Pour tout relx, ax3 + (3a b)x2 + (2b c)x + c + d =x3 +x2 +x + 1 ;

par identification des coefficients : a = 1 , b = 4 ,c = 9 , d = 10 et P(x) = x3 4x2 9x 10 .4. On vrifie aisment que x P(x)ex a pour drive

x f(x) . Ainsi F : x (x3 4x2 9x 10)e x estune primitive sur def.6. Par trois intgrations par parties successives :

F(x) =

=

= ex(x3 +x2 +x + 1) + 1 + G(x) [1] ;

G(x) =

=

= ex(3x2 + 2x + 1) + 1 + H(x) [2] ;

H(x) = =

= ex(6x + 2) + 2 + 6( ex + 1) [3].Do F(x) = ex(x3 4x2 9x 10) + 10 .F est la primitive de f, sur qui sannule en 0 do ,

x ex(x3 4x2 9x 10) est une primitive du typecherch.

Une suite dintgralesLes outils :

Intgration par parties.

Calcul algbrique.

Encadrements dintgrales.

Les objectifs :

Savoir calculer le terme gnral dune suite dintgrales.

Savoir tablir puis exploiter une relation de rcurrence.

Savoir prouver la convergence dune suite.

1. I0 = ; I1 = 1 .

2. a) Pour tout entier n (nn 2) :

In

=

=

= ,

soit In

= (n 1)(In 2 In) .

b) Do In

= In 2 .

3. Pour tout entier kn 1 :

I2k = ; I2k 2 = ; ; I4 = ;

I2 = .

a) Pour tout entier n, sinnx > 0 sur 0 ; , donc In > 0 .b) Par multiplication membre membre et simplification :

I2k = ,

soit I2k = .

Note : On peut exprimer I2k

laide de la notation factorielle :

I2k

= .

c) De mme :

I2k + 1 = ,

soit I2k + 1 = .

Note : On peut exprimer I2k+ 1

laide de la notation factorielle :

I2k

= .

Prolongement :

1. a) Pour toutx de 0 ; , 0 N sinxN 1 , do le ran-gement des puissances successives :

0 N sin2n + 1xN sin2nxN sin2n 1xN 1 .

b) Par intgration de ces ingalits sur 0 ; ,0 < I2n + 1N I2nN I2n 1N 1 .

Do n 1 et N ; or,

daprs 2. b), donc 1N N .

Daprs le thorme dencadrement, = 1 .

2. Daprs 4. :

.

Do un

= et un

= .

Convergence dune suite dintgrales

Les outils :

Comparaison de fonctions.

Sens de variation dune suite.

Thorme dencadrement.

Les objectifs :

Savoir tudier la convergence dune suite.

Savoir comparer des intgrales.

Savoir tablir et exploiter une relation de rcurrence.

1.Conjectures : (un) est dcroissante et convergente vers 0.

2. a) Pour tout tde [0 ; 1] , 0 Ntn + 1Nt

0 N N , do 0 Nfn + 1(t) Nfn(t) [1] .b) Par intgration de ces ingalits sur [0 ; 1], 0Nu

n + 1Nu

n

donc la suite (un) est dcroissante.

t3 t2 t 1+ + +( )e t dt0

x

e t t3 t2 t 1+ + +( )[ ]0

x e t 3t2 2t 1+ +( )dt0x

+

e t 3t2 2t 1+ +( )dt0

x

e t 3t2 2t 1+ +( )[ ]0

x e t 6t 2+( )dt0

x

+

e t 6t 2+( )dt0

x

e t 6t 2+( )[ ]0x e t dt

0

x

+

62

2---

tsinn 1 tsin dt0

2---

costsinn 1 t[ ]02---

n 1( ) cos2tsinn 2 tdt0

2---

+

n 1( ) 1 sin2t( ) sinn 2 tdt0

2---

n 1n

------------

2k 12k---------------I2k 2 2k 32k 2---------------I2k 4 34--- I2

12--- I0

2---

2k 12k

---------------2k 32k 2--------------- 3

4--- 1

2--- I0

2k 12k

---------------2k 32k 2--------------- 3

4--- 1

2---

2---

2k( )!22kk!( )2---------------------

2---

2k2k 1+---------------

2k 22k 1--------------- 4

5--- 2

3--- I1

2k2k 1+---------------

2k 22k 1--------------- 4

5--- 2

3--- 1

22kk!( )2

2k 1+( )!-----------------------

2---

2---

I2nI2n 1+--------------

I2nI2n 1+--------------

I2n 1I2n 1+--------------

I2n 1I2n 1+--------------

2n 1+2n

---------------=

I2n

I2n 1+--------------

2n 1+

2n

---------------

I2nI2n 1+--------------

n + lim

I2nI2n 1+--------------

1 3 2n 1( )2 4 2n

---------------------------------------------------2

2n 1+( ) 2---=

I2nI2n 1+--------------

2--- n + lim

2---

63

tn 1+

1 t+-----------tn

1 t+-----------


6/20

126

c) Le graphique permet de conjecturer que cette limiteest 0 .

3. a) Pour tout tde [0 ; 1] ,

N N 1 Nfn(t) Ntn [2] .

b) Par intgration sur [0 ; 1] ,

NunN do 0 Nu

nN .

Daprs le thorme dencadrement, un

= 0 .

5. a) Daprs la remarque, fn(t) +f

n + 1(t) = tn ;

par intgration sur [0 ; 1] , un

+ un + 1

= [3] .

b)u1 =

= 1 ln2 .c) Pour tout nn 1, f

n(t) > 0 sur ]0 ; 1], donc u

n> 0 .

Daprs [3] , un

= , donc un

< .

Do lencadrement 0 Nun + 1

N , puis la conver-

gence de la suite (un) vers 0 .

pour progresser(page 228)

a) F(x) = .

b) F(x) = .

c) F(x) = . d) F(x) = .

a) F(x) = . b) F(x) = .

c) F(x) = . d) F(x) = ln( sinx) .

a) F(x) = . b) F(x) = .

c) F(x) = . d) F(x) = .

a) F(x) =xsinx . b) F(x) = .

c) F(x) = . d) F(x) = .

a) F(x) = . b) F(x) = ln(lnx) .

c) F(x) = ln(ex + ex) .


1. u(x) =

= .

2. Do v(x) = . Les primitives de v sur

sont dfinies par x [u(x) + 2tanx] + k , k.

Or V(0) = 0 , donc k = 0 et V(x) = .

f

(x

) = 1 + ; F(x

) =x

+ ln(x

1) .

f(x) = ; F(x) = .

f(x) = ; F(x) =x2 +x 2ln(x 2) .

a) F(x) = ln(x 3) + ln(x + 3) = ln(x2 9) .

b) F(x) = ln(3 x) + ln(x + 3) = ln(9 x2

) .c) F(x) = ln(3 x) + ln( 3 x) = ln(x2 9) .

f(x) = ;

F(x) = .

f(x) = ; F(x) = .


f(x) = ;

F(x) = .

f(x) = ;

F(x) = .

f(x) = ;

F(x) = .

f(x) = cosx(1 sin2x) = cosx cosxsin2x ;

F(x) = sinx sin3x .

f(x) = sinx(1 + sin2x) = sinx(2 cos2x) = 2sinx sinxcos2x ;

F(x) = 2cosx + cos3x .

f(x) = sinx[sin2xcos2x] = sinx(1 cos2x)cos2x= sinx[cos2x cos4x] ;

F(x) = .

f(x) = cosx[sin4

xcos4

x] = cosxsin4

x(1 sin2

x)2

= cosx[sin4x 2sin6x + sin8x] ;

F(x) = .

12---

11 t+-----------

12--- tn

12 n 1+( )--------------------

1n 1+------------

1n 1+------------

n + lim

1n 1+------------

t1 t+----------- dt

01 1 11 t+-----------

dt01 t 1 t+( )ln[ ]0

1= =

1n 1+------------ un 1+

1n 1+------------

1n 1+------------

Calculs de primitives

64 1

10

------ x2 2x 1+( )5

14---

12x2 2x 1+( )2

-------------------------------------

x2 2x 2+ 112------ 2x 1+( )6

65 23--- 3x 1+( )ln 1

3--- x3 1( )ln

13--- 1 x3( )ln

66 12--- e2x 1+ 2

3--- e 3x 2+

12--- e 2x--- e2

x 1+x 1+---------------

67 xsinx

----------------

xlnx

------------- x x 1+

68 12--- ln2x

69

70 cos4x 3sin2x cos2x+cos6x

---------------------------------------------------

cos2x 3 1 cos2x( )+cos4x

----------------------------------------------------3

cos4x-------------

2cos2x--------------=

13--- u x( ) 2

cos2x--------------+

0 ; 4---

13---

13---

xsincos3x------------- 2 xtan+

71

1x 1-----------

72 2 32x 1+---------------+ 2x 3

2--- 2x 1( )ln+

73 2x 1 2x 2-----------+

74

75 1 2x 2+------------

1x 2+( )2

-------------------+ +

x x 2( )ln 1x 2+------------+

76 2x 1 7x 3+( )2

-------------------+ x2 x7

x 3+------------+ +

77

78 3

4

---1

x 1( )2-------------------

1

4

---+ 1

x 1+( )2-------------------

34---

1x 1-----------

14--- 1

x 1+------------

79 12---

1x 1( )3

-------------------12---+ 1

x 1+( )3-------------------

14---

1x 1( )2

-------------------14--- 1

x 1+( )2-------------------

80 1x 1+( )3

-------------------1

x 1+( )4-------------------+

12---

1x 1+( )2

-------------------13--- 1

x 1+( )3-------------------

8113---

8213---

83

13--- cos3x 1

5--- cos5x+

84

15--- sin5x 2

7--- sin7x 1

9--- sin9x+


7/20


Pour les exercices 85 88, la linarisation laide desnombres complexes a t aborde au chapitre 12, TD 3,page 336, mais elle peut aussi tre traite partir desformules :

sin2x= , cos2x= [1] .

f(x) = sin4x = ;

F(x) = .

Exemple de linarisation laide des formules [1].

f(x) =

=

=

= ;

F(x) = .

f(x) = sin2xcos4x =

= (e2ix 2 + e2ix)(e4ix + 4e2ix + 6 + 4e2ix + e4ix)

= [e6ix + e6ix + 2(e4ix + e4ix) (e2ix + e2ix) 4]

= ;

F(x) = .

f(x) = cos2xsin4 =

= (e2ix + 2 + e2ix)(e2ix 4eix + 6 4eix + e2ix)

= [e4ix + e4ix 4(e3ix + e3ix) + 8(e2ix + e2ix)

12(eix + e ix) + 14]

= ;

F(x) = .


1.f(x) = e2x(2cosx sinx) ;f(x) = e2x(3cosx 4sinx) .

2.f(x) = f(x) + f(x) , .

3. F(x) = f(x) + f(x), do F(x) = e2x(2cosx + sinx).

F(x) = (ax3 + bx2 + cx + d)e2x ;F (x) = e2x[2ax3 + (2b + 3a)x2 + (2c + 2b)x + 2d + c] .Pour tout relx,

F (x) =f(x) a = , b = , c = , d = .

F(x) = e2x .

1. Sil existe un tel polynme P, alors P est non cons-

tant et pour tout relx de ]1 ; + [ , F (x) = ,

soit : P (x) .

Do 2(x 1)P(x) + P(x) = 2x2(x 1) [1]. P est alors unpolynme de degr 3. On pose P(x) = ax3 + bx2 + cx + d .La condition [1] scrit :

7ax3 + (5b 6a)x2 + (3c 4b)x 2c + d = 2x3 2x2 ,do par identification des coefficients :

a = , b = , c = , d = .

On vrifie que le polynme P obtenu est bien solution.

Ainsi F(x) = .

2. Le taux daccroissement de F en 1 est dfini pour toutx > 1 par :

T(x) =

=

= ;

do = 0 .

F est drivable en 1 avec F (1) = 0 =f(0) donc F est uneprimitive defsur [1 ; + [ .

I = ; J = . I = ; J = 0 .

I = ; J = . I = ; J = 3(2 ) .

I = ; J = . I = ; J = e .

I = ; J = .

a = 1, b = 1, c = 1, I = 2ln2 ln3 ;

a = 1, b = 2, c = 3, J = 3ln2 .

I = ln2 ; J = ln2 .

, do :

I = .

, do J = .

a)fimpaire : I = 0 . b)fimpaire : I = 0 .

a)fimpaire : I = 0 . b)fimpaire : I = 0 .

1 2x( )cos2

-----------------------------1 2x( )cos+

2------------------------------

85 38---

12--- 2x( )cos 1

8--- 4x( )cos+

38---x 14--- 2x( )sin 132------ 4x( )sin+

86

cos4x cos2x[ ]2 1 2x( )cos+2

-----------------------------2

= =

14--- 1 2 2x( )cos cos2 2x( )+ +[ ]

14--- 1 2 2x( )cos 1 4x( )cos+

2-----------------------------+ +

38---

12--- 2x( )cos 1

8--- 4x( )cos+ +

38---x

14--- 2x( )sin

132------ 4x( )sin+ +

87 eix e ix

2i----------------------

2eix e ix+

2----------------------

4

164------

164------

132------ 6x( )cos 116------ 4x( )cos

132------ 2x( )cos 1

16------+ +

1192--------- 6x( )sin 164------ 4x( )sin

164------ 2x( )sin 116------x+ +

88 x2---

eix e ix+2

----------------------

2e

ix2---

eix2---

2i-----------------------

4

164------

164------

132------ 4x( )cos 1

8--- 3x( )cos 1

4--- 2x( )cos 3

8--- xcos 7

32------+ +

1128--------- 4x( )sin 1

24------ 3x( )sin 1

8--- 2x( )sin 3

8--- xsin 7

32------x+ +

89

90

15---

45--- a 1

5--- ; b 4

5---= =

15---

45---

15---

91

12--- 34--- 34--- 38---

12---x3

34---x2

34---x

38---+

Calculs dintgrales

92

x2 x 1

x 1 P x( )2 x 1-------------------+ x2 x 1=

27---

235------

8105---------

16105---------

27---x3

235------x2

8105---------x

16105---------

x 1

F x( ) F 1( )x 1

-----------------------------1

105---------

30x3 6x2 8x 16( ) x 1x 1

-----------------------------------------------------------------------=

1105--------- x 1( ) 30x2 24x 16+ +( ) x 1

x 1------------------------------------------------------------------------------

1105--------- 30x2 24x 16+ +( ) x 1

T x( )x 1+

lim

93 154------

548------ 94 12

---

95 5ln2

--------12--- 3ln 3

2--- 2ln 96 4

3--- 2

97 2---6--- 98 e

7 e53

---------------- e12---

99 23---

524------

14---

38

-------

100 16---

52---

101

102

2xx 1( ) x 2+( )----------------------------------

23---

1x 1-----------

43---+ 1

x 2+------------=

43--- 5ln 2 2ln

x2 3x 1+ +2x 3+

---------------------------12---x

34---

54--- 1

2x 3+---------------= 9

2---

58--- 3ln

103

104


8/20

128

1. I1 = .

2. I1 + I2 = , do :

I2 = (I1 + I2) I1 = .


f(x) = (1 x)ex ; f(x) = xex ; f(x) = (x 1)ex ;do f(x) +f(x) = 2f(x) .

f(x) = 2f(x) f(x) donc une primitive de f sur estdfinie par F(x) = 2f(x) f(x) = (2 x)ex . Do :

I = F(1) F(0) = e 2 .

f(x) =xsinx ; f(x) = sinx +xcosx ;f(x) = 2cosx xsinx ; do f(x) +f(x) = 2cosx .f(x) = 2cosx f(x) donc une primitive de f sur estdfinie par F(x) = 2sinx f(x) = sinx xcosx . Do :

I = F F(0) = 1 .

a) I(f) = 3 3 + 2 5 = 1 .

b) I(f) = .

c) I(f) = .

Dessin 1 : I(f) = .

Dessin 2 : I(f) = .

Dessin 3 : I(f) = .


1.est le quart de cercle de centre O et de rayon rsitu dans le premier quadrant.

2. ; .

1.f1(x) = ; f2(x) = .

2. On utilise une interprtation par les aires. 1 est limage de par donc :

I1 = aire(1) = aire() = = 1 .

2 est limage de

par donc :I2 = aire(2) = aire().

Or, aire() = (e 1) aire() = e 2 donc I2 = 2 e .

Remarque : Un calcul direct partir des expressions de f1(x)

et f2(x) permet dobtenir le rsultat.

1.

Calculs laide des aires

105 12--- 1 x2+( )ln

0

1 2ln2

--------=

x x3+

1 x2+-------------- dx

01 x dx0

1 12---= =

1 2ln2

------------------

106

107

108

2---

109

O 1

1

x

y

6 2 152

------+ +312

------=

O 1

1

x

y

92--- 6 11+ + 25

2------=

O1

1

x

y

110 1 2ln 12---+ +

32--- 2ln+=

2 2---

2 12--- 4ln+ + 3

2--- 2 2ln+=

111

112

r2 x2 dx0r r

2

4--------= r2 x2 dx r

r r2

2--------=

Or

r

x

y

113 1x 1+------------

1x--- 1

T i

1x--- dx

1e

O 1 e

1

x

y

1

1

T j

O 1 e

1

x

y

2

2

114

O 1

1

x

y

18

28

38

48

58

68

78


9/20


2. a) NN ,

soit NN ,

donc NN .

b) Amplitude : [f(0) f(1)] = .

3. 0,753 N I N 0,816 .

1.fest dcroissante et positive sur [0 ; 3] . Par lamthode des rectangles :

= , do < .

2. Il suffit que N 10 2 donc nn 210 . On peut

prendre n0 = 210 .

3. la calculatrice, laide du programme du TD 5,

page 219 : 1,813 N I N 1,824 .Remarque : La condition est seulement suffisante; la prcision

peut tre obtenue avant le rang 210.

2. La fonction aire est dfinie par :

3. Pour tout x de [0 ; 1[ ]1 ; 2] , F est drivable etF (x) =f(x) . Pour tout h tel que 0 < h < 1 ,

T(h) = ,

donc T(h) = 1 .

Pour tout h tel que 1 < h < 0 ,

T(h) = ,

donc T(h) = 1 .

Ainsi F est drivable en 1 avec F (1) = 1 =f(1) . F estdonc une primitive defsur [1 ; 2] .

2. En valuant les aires des trapzes indiqus, ondfinit F(x).

Si 1 Nx < 0 , F(x) = .

Si 0 NxN 1 , F(x) = . Pour toutx de [ 1 ; 0[ ]0 ; 1 ] , F est drivable etF (x) =f(x) .

Pour tout h > 0 dans I ,

T(h) = ,

donc T(h) = 1 .

Pour tout h < 0 dans I ,

T(h) = ,

donc T(h) = 1 .

F est donc drivable en 0 avec F (0) = 1 =f(0) . Ainsi Fest la primitive defsur [ 1 ; 1] telle que F(0) = 0 .

Pour les dmonstrations 1 et 2 par les aires, on netraitera que les cas ofest de signe constant sur [0 ; a] .

1. Par exemple, sifest positive.

Pour 0 NxNa , F(x) = = aire() .

dsigne le domaine symtrique de par rapport (Oy).

F(x) =

= aire() = aire() = F(x) .Donc F est impaire.

2. Par exemple, sifest positive sur [0 ; a] .

Pour 0 NxNa , F(x) = = aire() .

dsigne le domaine symtrique de par rapport O.

F(x) =

= aire() = aire() = F(x) .Donc F est paire.

3. a)x F(x) et x F(x) sont drivables sur [a ; a]donc G lest.

G(x) = F (x) F (x) =f(x) f(x) = 0 ,car fest paire. G est donc constante sur [a ; a] . OrG(0) = 0 donc G est la fonction nulle. Ainsi, pour toutxde [a ; a] , F(x) = F(x) et F est impaire.

b) On pose H(x) = F(x) F(x) . De mme,

H(x) = F (x) + F (x) =f(x) +f(x) = 0 ,car f est impaire. H est la fonction nulle sur [a ; a] ;do F est paire.

F(t) = ;

(voir lexercice rsolu 6, page 211).

Note : Une intgration par parties sans transformation de ln(t2)

est aussi possible.

F(t) =

=

= .

1.f(x) =

x si 0 NxN 11 si 1


10/20

130

F(x) =

=

= .Note : Ne pas oublier que le choix dune primitive ( une cons-

tante prs) peut faciliter les calculs.

F(x) =

=

= (x + 1)2e2x G(x) .

Or G(x) =

= ,

donc F(x) = .


F(x) =

=x(lnx)2 2G(x) .

Or G(x) = (voir lexercice rsolu 6,

page 211), donc F(x) =x(lnx)2 2xlnx + 2x 2 .

1. a) F(x) =

=xcos(lnx) 1 + G(x) .

b) G(x) = =xsin(lnx) F(x) .

2. F(x) = [xcos(lnx) +xsin(lnx) 1] ;

G(x) = [xcos(lnx) +xsin(lnx) + 1] .

1. I = = cos1 + e J .

J = = sin1 + I .

2. I = (sin1 cos1 + e) et J = ( sin1 cos1 + e) .

1. J(x) =

= (x 1)ln(x 1) ( 1)ln( 1) (x ) .2. a) Pour tout tde ]1 ; + [ , on pose :F(t) = (t+ 1)ln(t+ 1) t;

F(t) = ln(t+ 1) , donc F est une primitive de t ln(t+ 1)sur ]1 ; + [ .Pour tout tde ]1 ; + [ , t 1 > 0 et t+ 1 > 0 , do :

H(x) =

=

= + (x 1)ln(x 1) ( 1)ln( 1) (x )

+ (x + 1)ln(x + 1) ( + 1)ln( + 1) (x )

= 2x + (x 1)ln(x 1) + (x + 1)ln(x + 1)

+ 2 ( 1)ln( 1) ( + 1)ln( + 1) .

b) [(x 1)ln(x 1)] = ulnu = 0 , do :

H(x) = 2ln 2 + () ,

avec () = + 2 ( 1)ln( 1) ( + 1)ln( + 1).

1.f(x) = ;

I = .

2. I + J =

= .

Do J = .

Note : Dans lintgration par parties, crire :

.

1. K= .

Or K = = 2K , donc :

K = e 1 4K , do K = .

2. I + J = ; I J = = K.

Do : I = (e 1 + K) = (e 1),

J = (e 1 K) = (e 1) .

3. I =

= .

De mme :

J = .

1. a)f(x) = .

b) I = .

2. a) J + 2I = = K.

b)K = .

c) J = ;

K = J + 2I = .

121 t 2002+( )dln t0

x

t 2002+( ) t 2002+( )ln[ ]0

x dt0

x

x 2002+( ) x 2002+( )ln 2002 2002ln x

122 t 1+( )2e2tdt1

x

12--- t 1+( )2e2t

1

x

t 1+( )e2tdt 1

x

12---

12--- t 1+( )e2t

1

x 12--- e2tdt

1

x

12--- x 1+( )e2x 14---e

2x14---e 2+

e2x x2

2-----

x2---

14---+ +

e 24

-------

123124 tln( )2dt

1

x

t tln( )2[ ]1x

2 tdln t1x=

tdln t1

x

x xln x 1+=

125 t tln( )cos[ ]1x

tln( )sin dt1

x

+

t tln( )sin[ ]1x

tln( )cos dt1

x

12---

12---

126 e1 t tcos[ ]01 e1 t tdsin t

01

e1 t tsin[ ]01 e1 t tdcos t

01+

12---

12---

127 t 1( )dln tx

t 1( ) t 1( )ln[ ]x dt

x

=

t t 1( )ln t 1+( )ln+ +[ ]dtx

tdt

x

J x( ) t 1+( )dln tx

+ +x2

2-----

22

-----

x22

-----

22

-----

x 1+lim

u 0+lim

x 1+lim 3

2---

22

-----

128

1

x2 1------------------

ln x x2 1+( )[ ] 22 2 3+

1 2+----------------

ln=

1

x2 1------------------ x2 1+

dx2

2x2

x2 1------------------dx

22=

x x2 1[ ] 22

x2 1 dx2

2 2 3 2 J=

12--- 2 3 2 I[ ] 3 2

2-------

12---

2 3+1 2+----------------

ln=

x2

x2 1------------------- x

x

x2 1-------------------=

129 ex 2x( )cos[ ]0 2 ex 2x( )dsin x

0

+ e 1 2K +=

ex 2x( )sin[ ]0 2 ex 2x( )dcos x

0

e 15

--------------

exdx0

e 1= ex 2x( )dcos x0

12---

35---

12---

25---

ex 1 2x( )cos+2

----------------------------- dx0

12--- exdx

0

12---K+=

12--- e 1( ) 1

2---+

e 15

-------------- 35--- e 1( )=

ex 1 2x( )cos

1----------------------------- dx

0

1

2--- exdx

0

1

2---K 2

5--- e 1( )= =

130 1

x2 2+------------------

x x2 2++( )ln[ ]01 1 3+( )ln 2( )ln=

x2 2+

x2 2+------------------ dx

02 x2 2+ dx0

2=

x2 2+ dx01 x x2 2+[ ]0

1 x2

x2 2+------------------ dx

01 3 J= =

32------- I

32------- 1 3+( )ln 2( )ln+=

32

------- 1 3+( )ln 2( )ln+


11/20


0 NxN implique 0 NxnN et 0 N 2xN

implique 0 N sin(2x) N 1 , donc 0 Nxnsin(2x) N .

Par intgration sur , 0 N InN .

Daprs le thorme dencadrement, In

= 0 .

Pour tout x > 0 et pour tout tde [0 ;x] ,

N N 1 .

Daprs lingalit de la moyenne sur [0 ;x] ,

N Nx , soit N ln(1 +x) Nx .

1.x tanx est la primitive sur dex 1 tan2x ,qui sannule en 0 , do lcriture intgrale.

2. a) Pour tout tde ,

0 N tantN 1 1 N 1 + tan2tN 2 .

b) Pour toutx de , daprs lingalit de la moyenne

sur [0 ;x] :

xN N 2x , soit xN tanxN 2x .


sinx siny = .

Pour tout rel t, |cost|N 1 , do N |x y| ,

donc |sinx siny|N |x y| .

Note : La consquence de lingalit de la moyenne est utile

avec des valeurs absolues, les bornes sont alors quelconques.

1. u(x) = 1 e x ;

u(x) n 0 , donc e xn 1 x .

v(x) = 1 +x + ex = u(x) ;

v(x) n 0 , donc e xN 1 x + .

Ainsi pour toutx de [0 ; 1], 1 xN exN 1 x + [1].

2.x [0 ; 1] x2 [0 ; 1] 1 x2N ex2N 1 x2 +

N N .

Do 1 xN N 1 x + [2].

3. a) Vrification immdiate.

b) Pour toutx de [0 ; 1], daprs [2] et 3. a) :1 xN N 1 x + .

Par intgration sur [0 ; 1] : N IN , do

0,5N IN 0,56 ; I 0,53 ( 3 10 2 prs).

1. a)g (x) = ;

TA : y = x + ln2 .

b) P ; aire(OIPA) = u.a. ;

aire (OIBA) = u.a.

2. aire(OIPA) N N aire(OIBA) , soit :

N N .

3.I=

Do lencadrement :

N I N ,

soit N I N .

1.a)I1= ; I0+I1 = = 1; I0 = 1 .

b) In

+ In + 1 = .

2. Pour toutx de [0 ; 1], N N et enx > 0 ,

do N N .

Par intgration sur [0 ; 1], N InN .

3. = + , donc :

In

= + .

N N , daprs le thorme dencadre-

ment, = 0 .

Encadrement.Thorme de la moyenne

x 0 1

u (x) 0 +

u0

x 0 1

v(x) 0 +

v0

131 4---4---

n 2---

4---

n

0 ; 4--- 4--- n 1+

n + lim

132

11 x+------------

11 t+-----------

11 x+------------ x 11 t+----------- dt0

x

x

1 x+------------

133 0 ; 4---

0 ; 4---

0 ; 4---

1 tan2t+( )dt0

x

134

135 tdcos ty

x

tdcos ty

x

136

x

2

2-----

x2

2-----

x 0 1

g (x) +

gln2

ln(1 + e)

x4

2-----

1 x21 x+

--------------ex

2

1 x+------------

1 x21 x+

--------------x4

2 1 x+( )--------------------+

ex2

1 x+------------

x4

2 1 x+( )--------------------

ex2

1 x+------------

12--- x3 x2 x 1 1

1 x+------------+ +

12---

524------

12--- 2ln+

137 ex

1 ex+--------------

12---

12---

1 ; 12--- 2ln+

2ln 14---+

2ln 1 e+( )ln+2

-------------------------------------- 2 1 e+( )[ ]ln=

g x( )dx01

2ln 1

4

---+ g x( )dx01

2 1 e+( )[ ]ln

x 1 ex+( )ln[ ]01 1 ex+( )dln x

01 1 e+( )ln g x( )dx0

1=

1 e+( )ln 2 1 e+( )[ ]ln 1 e+( )ln 2ln 14---

12---

1 e+2

------------ ln 1 e+

2------------

ln 14---

138 1 e+2

------------ ln dx

01

1 e+2

------------ ln

enx dx01 e

n 1n

--------------=

11 e+------------

11 ex+--------------

12---

enx

1 e+------------

enx

1 ex+--------------

enx

2-------

en 11 e+( )n--------------------

en 12n

--------------

en 11 e+( )n

--------------------n +

lim 11 e+------------

enn

-----1n---

n + lim=

n + lim

1 e

n

1 e+( )n--------------------I

nen----- 1 e

n

2n--------------

Inen-----

n + lim


12/20

132

1. = cm2 .

2. = cm2 .

1. = cm2 .

2. = = 24 + 4e 1 4e cm2

(fngative sur [ 2 ; 0]) .

1.=

=

= 4 cm2

fngative sur .2. = 4

= 4 cm2 .

1. Si n = 0 , () = 1 ; si n = 1 , () = ln ;

si nn 2 , () = .

2. Si n = 0, () = + ; si n = 1, () = + ;

si nn 2, () = .

Laire sous la courbe sur lintervalle [1 ; + [ est infinie

si n = 0 ou n = 1 et gale u.a. ds que nn 2 .

aire(1) = = u.a. ;

aire(2) = aire(1) = u.a. ;

aire(3) = 1 aire(1) aire(2) = u.a. .

un

= .

=

Pour tout n de , un + 1 un = , donc (un) est arithm-

tique de raison .

Dans ] 2 ; + [ , ln(x + 2) 1 n 0 xn e 2 .

= = F(e) 2F(e 2) + F( 1)

avec F primitive sur [ 1 ; e] de la fonction :x f(x) = ln(2 +x) 1 .

Une primitive de la fonction x ln(2 +x) est dfinie par :

G(x) =

= .Ainsi on peut prendre F(x) = , doon dduit que = (e + 2)ln(e + 2) 6 u.a.

= = F(4) 2F(1) + F( 1)

avec F primitive defsur [ 1 ; 4] .

Une primitive de la fonction x (x2 1)ex est dfinie par

F(x) = .

Par double intgration par parties :

F(x)= ;

G(x) = ,

do F(x) = (x + 1)2ex . Ainsi = (8e1 25e4) u.a.


f

est symtrique par rapport (Oy), donc m est tel que laire de est la moiti de celle de.

,

soit , do :

m3 = 16 et m = .

1. [f(x) (x 2)] = e1x = 0 , do le

rsultat. Pour tout relx, f(x) (x 2) > 0 donc f

est

au-dessus de d.

2. S1 = [f(x) (x 2)]dx = e1xdx = (e e1 ) u.a.

3. quation de la tangente TB : y = e1 (x ) + e1 ,

do C(1 + ; 0).

S2 = e1 u.a. , do S1 + 2S2 = e (indpendant de ).

1. T : y = 2x + 9 . 2. (FD) : y =x 3 .

3. =

+

=

+ u.a.

Calcul daires et de volumes

139 4 f x( )dx01 263------=

4 f x( )dx14 83---=

140 4 f x( )dx0

4---

2 2=4 f x( )dx

20

141 4 1 t+( )dln t12---

0

4 1 t+( ) 1 t+( )ln[ ] 12---

0 dt12---

0

12---

12---ln 1

2---

2 2ln=

12--- ; 0

f x( )dx12ln 4 x 1+( )e x[ ]12ln e x dx12ln+( )=12--- 2ln 1+( ) 1

2--- e+ 4 e 1( ) 2 2ln=

142

1n 1------------ 1 1

n 1------------

+ lim

+ lim

+ lim 1

n 1------------

1n 1------------

143 x3dx01

14---

x dx01

512------

13---

144 14---x2

14---n2

dxn

n 1+14---

x3

3----- n2x

n

n 1+14--- n

13---+

=

14---

14---

145

f x( )dx1

e 2 f x( )dxe 2

e+

t 2+( )dln t0

x

t 2+( ) t 2+( )ln[ ]0x dt

0

x

=

x 2+( ) x 2+( )ln 2 2ln xx 2+( ) x 2+( )ln 2x

146 f x( )dx11 f x( )dx1

4+

t2 1( )e t dt1

x

t2 1( )

e t

[ ]1x 2 te t dt

1

x

+ x2 1

( )e x 2G x

( )+=

te t[ ]1x e t dt

1

x

+ xe x e x=

147

O 1

1

4

x

y

f

x = m

klm

148

m x2( )dx0

m

12--- 4 x2( )dx

02=

23---m m 8

3---=

1613---

149x +

limx +

lim

0 0

12---

O 1

1

x

y

CA

B

TB

f

150

f x( ) 2x 9+( )[ ]dx14 x 3 f x( )[ ]dx4

7+

f x( ) x 3( )[ ]dx79

x2

8x 16+( )dx14

x2

11x 28+( )dx47

+x2 11x 28+( )dx

79

1336

---------=


13/20


1. Conditions : f(1) = 0 , f(1) = 0 , .

Ainsi a = , b = , c = .

1.f

: y = 1 +x xex2+1 . On pose ;

dans le repre (I; , ), f

: Y = X XeX2+1 .

f

reprsente la fonction X X XeX2+1 dfinie sur ;

celle-ci est impaire donc I est centre de symtrie de f

.

2. [f(x) (x + 1)] = xex2+1

= e = 0 (en posant u =x2).

Donc d : y =x + 1 est asymptote fen + .

3. a)() = 4 xex2+1 dx = 2( e

2+1 + e) cm2 .

b) () = 2e cm2 .

c) |() | = 2e2+1 .

Do 2e2+1N 102 donc n .

On pourra prendre 0 = 2,51 .


1. En raison de la symtrie par rapport au plan pas-sant par O et perpendiculaire (Oy), il suffit de raison-ner avec un plan de coupe dfini pour 0 NyNr.La section est une couronne circulaire centre sur (Oy)daire : [(d + r)2 (d r)2] = 4dr .

Or r est tel que r2 = r2 y2 donc S(y) = 4d .

2. V = ,

donc V = 22dr2 .(Voir lexercice 112 pour le calcul de lintgrale.)

1.f(x) = ex(x 1) .

2. S = .

Par intgration par parties S = ex 3 4,40 cm2 .3. a) Les rels a, b, c sont tels que pour tout rel x ,G (x) =f2(x) , soit :

e2x[2ax2 + (2b + 2a)x + b + c] = e2x(x 2)2 ,

do, par identification, a = , b = , c = .

b) La section du solide par un plan perpendiculaire laxe (Ox) est un disque daire S(x) = f2(x) .

= 32,671 cm3 .

1.=

=

=

= .

Dautre part :

B1 + B2 + 4B3 =

+

=

Ainsi = (B1 + B2 + 4B3) .

2. Il sagit dune application avec f(x) = 12 ,

. R1 = 12 ;

R2 = 12 ; R3 = 12 .

Daprs la formule des trois niveaux :

= 8[R12 + R2

2 + 4R32] = 10 944 , soit 34 382 m3.

Do le systme

a + b + c = 0

a + b + c = 0

4a + 2b = 0 4a + 2b = 0

3a+5b+15c = 5

x 0 + f(x) (x+ 1)

= xex2 + 1 + 0

position

fau-dessus de d

fau-dessous de d

point commun

151 f t( )dt01 13---=

a5---

b3--- c+ +

13---=

58---

54---

58---

152X x=Y y 1=

i j

x + lim

x + lim

u + lim u

12---

eu-----

0

+ lim

1 1200---------ln

1 200( )ln+

153

154

r2 y2

S y( )dy0r 8d r2 y2 dy0

r 8d r24

--------= =

A

plan de coupe

AJ = dJK = JL =r

K J L J L

I

r

ry

x

0 1 2

f

(

x

)

0 +

f

2 e

0

155

O 1 2

1

2

x

y

f x( )dx02

12---

52---

134

------

S x( )dx02 f

2x( )dx

02 e

4 13( )4

-------------------------= =

156 f2

x( )dx

ax2

bx c+ +( )dx

=

a3--- 3 3( ) b

2--- 2 2( ) c ( )+ +

( )6

--------------------- 2a 2 2+ +( ) 3b +( ) 6c+ +[ ]

h6

------ 2a 2 2+ +( ) 3b +( ) 6c+ +[ ]

a2 b c+ +[ ] a2 b c+ +[ ]+

4 a +

2------------- 2

b +

2------------- c+ +

2a 2 2+ +( ) 3b +( ) 6c+ +[ ]

h6---

1 x2

242--------+

P x( ) 144 x2

4-----+=

1 362

242--------+ 6 13=

1 122

242--------+ 6 5= 1

12( )2

242-----------------+ 6 5=


14/20

134


1. Par intgration par parties, I = 1 2e 1 .

2. a) Sn

= .

Do lide de penser la mthode des rectangles.b)f(x) = ex(1 x) .

fest continue, strictement croissante sur [0 ; 1].S

nreprsente la somme des aires des rectangles sup-

rieurs associs la subdivision de [0 ; 1] en n sous-inter-valles de mme amplitude.

La suite (Sn) converge donc vers I = .

1. a)

I1 =

= .

b) Pour toutx de [0 ; 1], 0 N 1 xN 1 et ex > 0 , donc :

0 N (1 x)exN ex .

Par intgration sur [0 ; 1], 0 N InN .

Do 0 N InN et, daprs le thorme

dencadrement, In

= 0 .

c) In + 1 =

=

= .

2. a) + ( 1)I1 = 0 = a1 donc la relation est vraie au rang 1 .

On suppose la relation vraie pour un entier nn 1 , alors :

an + 1 =

= ,

donc elle est vraie au rang n + 1 .Do le rsultat pour tout n (nn 1).

b) Or In

= 0 donc an

= .

1. I0 = 1 ; J0 = 1 .

2. a) In

= ;

Jn

= .

b) do In = et Jn = .

3. ;

.

1. a)(t) = .

b) Pour tout tde [0 ; 2], N(t) N , do par

intgration sur [0 ; 2], N N

soit : NunN [1] .

c) On pose h = , alors :

= 2 .

Par passage la limite dans [1], 3 NN .

2. a) Pour tout tde [0 ; 2],

(t) = .

I = = 4 ln2 .

b) La fonction t est strictement croissante sur [0 ; 2] :

pour tout tde [0 ; 2], 1N N ; do, puisque (t) > 0 :

(t) N(t) N(t) .

Par intgration sur [0 ; 2] , I NunN I .

c) Daprs le thorme dencadrement, (un) converge

vers I .

1. a) Pour toutx de ]1 ; e[, 0 < lnx < 1 .

Pour tout entier nn 1 , (lnx)n > 0 et 1 lnx > 0 , do

(1 lnx)(lnx)n

> 0 , soit (lnx)n

(lnx)n + 1

> 0 .b) I

n I

n + 1= > 0 , donc (I

n) est

dcroissante.

Suites et intgrales

x 0 1

f(x) + 0

f0

e 1

157

158

1n--- f

kn---

k 1=

n

f x( )dx01 1 2e 1=

O

0,1

x

y

f

1n

nn

2n

(n1)n

=1

159

1 x( )exdx01

1 x( )ex[ ]01 exdx011e---=

1n!-----

1n!-----

1n!----- exdx

01

1n!----- 1 e 1( )

n + lim

1n 1+( )!------------------- 1 x( )

n 1+ exdx01

1n 1+( )!------------------- 1 x( )

n 1+ ex[ ]01

n 1+( ) 1 x( )nexdx01

1n 1+( )!------------------- 1 n 1+( )n!In[ ]

1n 1+( )!

------------------- In=

1e---

an 1( )n

n 1+( )!-------------------+1e--- 1( )nIn

1( )n 1+n 1+( )!---------------------+ +=

1e--- 1( )n 1+ 1

n 1+( )!------------------- In+1e--- 1( )n 1+ In 1++=

n + lim

n + lim 1

e---

t 0 2

(t) +

160

e nx xcos[ ]02---

n e nx xdsin x0

2---

1 nJn=

e nx xsin[ ]02---

n e nx xdsin x0

2---

+ en

2---

nIn+=

In nJn+ 1=

nIn Jn+ en

2---

=

1 nen

2---

1 n2+-----------------------n e

n2---

+

1 n2+--------------------

Inn +

lim

1n--- e

n2---

1n--- n+

-------------------n +

lim 0= =

Jnn +

lim1 e

n2---

n----------+

1n--- n+

--------------------n +

lim 0= =

161 1

t 2+( )2------------------

32---

74---

32--- e

tn---

etn--- 7

4--- e

tn---

32--- e

tn---dt

02 t( ) e

tn---dt

02

74--- e

tn---dt

02

32---n e

2n---

1 7

4---n e

2n---

1

2n---

n e2n---

1

n + lim 2 e

h 1h

--------------

h 0+lim=

72---

2t 3+t 2+

--------------2 t 2+( ) 1

t 2+---------------------------- 2 1

t 2+-----------= =

t( )dt02 2 1t 2+-----------

dt02 2t t 2+( )ln[ ]0

2= =

etn---

etn---

e2n---

etn---

e2n---

e2n---

162

xln( )n xln( )n 1+[ ]dx1

e


15/20


c) Pour tout nn 1 et toutx de [1 ; e], (lnx)nn 0, doncI

nn 0 .

In

est dcroissante minore par 0, donc elle converge.

2. a) I1 = .

b) Pour tout nn 1 ,

In + 1 =

= [1] .c) I2 = e 2 0,718 ; I3 = 2e + 6 0,563 ;I4 = 9e 24 0,464 .

3. a) Daprs [1], (n + 1)In

= e In + 1

et In + 1

n 0, donc :

(n + 1)InN e .

Ainsi 0 N InN et, daprs le thorme dencadre-

ment, (In) converge vers 0 .

b) Daprs [1], nIn

+ (In

+ In + 1) = e .

Do n In

= e (In

+ In + 1) ; or, (In + In + 1) = 0

donc nIn

= e .

1. Pour toutx de ]0 ; + [ , f(x) = .

= 0 ,

= = + .

2.

= .

=

= .

3. a) Pour toutx de [k ; k + 1] , N N ;

daprs lingalit de la moyenne, N N .

b) = .

Daprs 3. a), N N , do :

0 Nf(k) N , soit 0 Nf(k) N .

4. a) Vrification immdiate.

b) Sn

=

= ,

do Sn

= 0 .

c) Daprs 3. b), 0 Nf(n) N ,

0 Nf(n + 1) N ; ;

0 Nf(2n) N ;

do la sommation : 0 N f(k) N Sn.

Or, Sn

= 0 donc, daprs le thorme dencadre-

ment, = 0 .

5. a) Daprs 3. b), f(k) = .

Par sommation des relations crites pour k = n k = 2n ,

et, en utilisant la rela-

tion de Chasles, , soit :

,

do : .

b) Ainsi un

= , do :

un

= ln2 .

1. I0(a) = = 1 e a .

2.fn(x) =

= .

De plus, fn(0) = 0 .

= ,

soit .

3. Pour tout nn 1 ,

In(a) = In 1(a) fn(a) ;I

n 1(a) = In 2(a) fn 1(a) ; ;

I2(a) = I1(a) f2(a) ;

I1(a) = I0(a) f1(a) .

Par sommation, In(a) = I0(a) , soit :

In(a) = .

4. a) Pour tout n, fnn 0 sur I donc u

nn 0 . u

nexprime

laire sous n

sur [0 ; 1] en u.a.

b) Pour toutx de [0 ; 1], 0 < exN 1 do, par multiplica-

tion par n 0 , 0N exN , soit 0Nfn(x)N .

x 0 +

f(x)

f+

0

tdln t1

e t tln[ ]1

e dt1

e 1= =

xln( )n 1+ dx1

e x xln( )n 1+[ ]1

en 1+( ) xln( )ndx

1

e=

e n 1+( )In

en 1+------------

n + lim

n +

lim

163

1x2 x 1+( )----------------------

f x( )x +

lim

f x( )x 0+

lim 1x--- 1 x xln+( ) x 1+( )ln

x 0+lim

xx 1+------------ln dx

1 x xx 1+------------ln 1

1x 1+------------ln dx

1=

1+-------------ln 1+( )ln 2 2ln+

f t( )dt1

1t---dt

1

tt 1+-----------ln dt

1

+=

ln

1+-------------ln 1+( )ln 2 2ln+ +

1+( ) 1+------------- ln 2 2ln+

1k 1+------------

1x---

1k---

1k 1+------------

1x---dx

k

k 1+1k---

1x---dx

k

k 1+ k 1+( )ln kln k

k 1+------------ln 1

k--- f k( )= =

1k 1+------------

1k--- f k( )

1k---

1k---

1k 1+------------

1k k 1+( )--------------------

1n---

1n 1+------------

1n 1+------------

1n 2+------------

12n------

12n 1+---------------

+ + +

1n--- 1

2n 1+---------------

n + lim

1n n 1+( )--------------------

1n 1+( ) n 2+( )----------------------------------

12n 2n 1+( )---------------------------

k n=

2n

n + lim

f k( )k n=

2n

n + lim

1k---

1x---dx

k

k 1++

f k( )k n=

2n

1k---k n=

2n

1x---dxkk 1+

k n=

2n

=

f k( )k n=

2n

u

n

1

x---dx

n

2n 1+

=

f k( )k n=

2n

un 2n 1+( )ln nln+=

f k( )k n=

2n

un 2ln 1 12n------+ ln=

f k( )k n=

2n

2ln 1 12n------+ ln+ +

n + lim

164 e x dx

0

a

ex xn

n!-----

nxn 1

n!--------------+

xn 1

n 1( )!------------------ ex x

n

n!----- ex=

fn 1 x( ) fn x( )

In a( ) In 1 a( ) fn x( ) fn 1 x( )[ ]dx0a

=

fn x( )dx0a

fn a( )=

In a( ) In 1 a( ) an

n!----- e a=

fn a( )k 1=

n

1 e a ake a

k!--------------

k 1=

n

1 ak

k!-----

k 0=

n

e a=

xn

n!-----

xn

n!-----

xn

n!-----

xn

n!-----


16/20

136

c) Par intgration sur [0 ; 1], 0NunN , soit :

0 NunN .

Daprs le thorme dencadrement, un

= 0 .

d) Or un

= , donc .

Do .

1. F (x) = ln(1 + e 2x) sur ]0 ; + [ .

F > 0 sur ]0 ; + [ donc F est strictement croissante.

2. Pour tout tde [1 ; 1 + a], N N 1 (dcroissance

de la fonction inverse sur [1 ; 1 + a]).

Daprs le thorme de la moyenne, N Na

soit :N Na .

3. On pose a = e 2t(a > 0), do :

N ln(1 + e 2t) N e 2t.

Par intgration sur [0 ;x] : N F(x)N ,

soit N F(x)N , donc :

N F(x)N .

4. Par passage la limite en + : NN .

5. a) Sur [n ; n + 1], la fonction t ln(1 + e 2t) estdcroissante, do 0N ln(1 + e 2t)N ln(1 + e 2n) et,daprs lingalit de la moyenne, 0Nu

nN ln(1 + e 2n) .

b) Daprs le thorme dencadrement, (un) converge

vers 0 .

6. Sn

=

=

(daprs la relation de Chasles), soit Sn

= F(n + 1) .

Or F(n + 1) = , donc (Sn) converge vers .

1. ln(n!) = . Par comparaison des aires :

N N .

(La premire intgrale est majore par la somme desaires des rectangles suprieurs alors que la secondeest minore par celle des rectangles infrieurs .)

Do N ln(n!)N [1].

2. Pour tout entier nn 2 , un

= .

Pour toutx > 0, .

Donc, daprs [1] :

N ln(n!)N ,

do par division par nlnn > 0 :

NunN [2].

Or donc = 0 . De plus :

= ,

do = 1 .

Ainsi les termes extrmes de lingalit [2] ont pourlimite 1 et, daprs le thorme dencadrement, (u

n)

converge vers 1.

1n!----- xn dx

01

1n 1+( )!-------------------

n + lim

1 1k!----

k 0=

n

e1 1k!----

k 0=

n

1 un( )e=

1k!----

k 0=

n

n +

lim e=

165

11 a+------------

1t---

a1 a+------------

1t---dt

11 a+

a1 a+------------ 1 a+( )ln

e2 t

1 e2 t+------------------

e2 t

1 e2 t+------------------ dt

0

x

e2 tdt0x

12--- 1 e2 t+( )ln

0

x

12---e2 t

0

x

1

2--- 2ln

1

2--- 1 e2x

+( )ln1

2---1

2---e2x

12--- 2ln 1

2---

ukk 0=

n

1 e2 t+( )ln dtk

k 1+k 0=

n

=

1 e2 t+( )ln dt0n 1+

n + lim

166 klnk 2=

n

tln dt1n kln

k 2=

n

tln dt1n 1+

tln dt1n tln dt1

n 1+

Vrai ou faux ?

Vrai : pente de (AB) : ;

valeur moyenne : = .

Faux : x F(2x 1) a pour drive :x 2F (2x 1) = 2f(2x 1) .

Vrai : dans un repre orthogonal, les courbesassocies t 2 t et t 2 t sont symtriques parrapport (Oy). Si est le domaine situ entre les droi-tes dquations y = 0 , x = 0 , x = 1 et la courbedquation y = 2x , alors :

= aire() ; = aire(),

avec domaine symtrique de par rapport (Oy).Do le rsultat.

Note : On peut aussi faire un calcul direct.

O 1 2 n n+1

1

x

y

n!( )lnnn( )ln

----------------n!( )ln

n nln---------------=

tln dt1

x

t tln[ ]1x dt

1

x

x xln x 1+= =

n nln n 1+ n 1+( ) n 1+( )ln n

1 n 1

n nln

------------n 1+( ) n 1+( )ln

n nln

----------------------------------------1

nln

--------

n 1n nln------------

1 1n---

nln------------=

n 1n nln------------

n + lim

n 1+( ) n 1+( )lnn nln

----------------------------------------

n 1+( ) nln 1 1n---+

ln+

n nln--------------------------------------------------------------=

n 1+n

------------n 1+

n------------

1 1n---+

ln

nln------------------------+

n 1+( ) n 1+( )lnn nln----------------------------------------n + lim

167 eb eab a

----------------

1b a------------

e

x

dxab

1

b a------------

e

b

e

a

( )=

168

169

2tdt01 2tdt0

1


17/20


problmes de synthse(page 239)

Partie A1.: y =g (x) ; : y =g(x) .Le signe deg dtermine le sens de variation deg .2.g (0) = 1 .

Partie B

1.f0(x) = (x2 + 2x)ex ; f0(x) = (2 x

2)ex .

Pour tout relx, f0(x) + f0(x) = 2(x + 1)ex , doncf0 est

une solution de (E).2. a)fsolution de (E) f +f=f0 +f0 f f0 +ff0 = 0 (ff0) + (ff0) = 0 ;

fsolution de (E) u =ff0 solution de (E).b) (E) :y = y . Solutions dans : x u(x) = Cex ;

C

. Les solutions de (E) sont les fonctionsfdu typef= u +f0 . Donc f(x) = (x2 + 2x + C)ex, C .

3.g(0) = 1 et g(x) = (x2 + 2x + C)ex do C = 1.Ainsi g(x) = (x + 1)2ex .4.h(x) = (x2 + 2x + C)ex et h (0) = 0.Or h (x) = (x2 C + 2)ex donc C = 2 .Ainsi h(x) = (x2 + 2x + 2)ex .

Partie C

1. f(x) = x2 ex . = + ; = 0 .

2. T : y = ex .

3. a) F est une primitive defsur quivaut , pour toutrelx, F (x) =f(x) , soit :

ex[ ax2 + (2a b)x + b c] = ex(x2 + 2x + 2) ,

do a = 1 , b = 4 , c = 6 .

Ainsi F(x) = (x2 4x 6)ex .

b)() = 4 = 4[( 2

4 6)e

+ 6] cm2

.

Note : () = 24 cm2 .

Faux : sur [ 1 ; 1], t (t) = est impaire

car pour tout t, ( t) = = (t) .

Ainsi lintgrale est nulle.

Vrai : par intgration par parties :

= .

Do le rsultat.

Faux : contre-exemple : sur [0 ; + [ , f(t) = t 1 ;

f(t)Nt. Alors F(t) = et :

F(t) > sur 0 ; .Remarque : On pose, pour tout tde [0 ; + [ ,

(t) = F(t) t2 .(t) = f(t) t, donc (t)N 0 ; est dcroissante sur [0 ; + [

avec (1) = .La valeur de (0) = F(0) est alors dterminante.

170 et 1

et 1+-------------

e t 1e t 1+----------------

1 et1 et+-------------=

171

tf t( )dta

b

t f t( )[ ]a

bf t( )dt

a

b

=

b f b( ) a f a( ) f t( )dta

b f t( )dtab=

172

u 1( )du1t

12--- t 1( )2=

12---t2

12---

12---

1

2---

t 0 1 +

(t)

?

Faux :x a pour primitive sur ]0 ; 1[

la fonction x .

(x 1 est ngatif sur ]0 ; 1[.)

Vrai : sifadmet une telle primitive F, alors :F(x) =x + a sur ]0 ; + [ , F(x) =x + b sur ] ; 0[ .F est drivable donc continue en 0, do :

F(0) = F(x) = F(x) soit a = b.

Ainsi pour tout x , F(x) = x + a . Mais alors,F(x) = 1 . En particulier F(0) = 1 , ce qui est absurde

puisque par hypothse, F(0) =f(0) = 0 .Doncfna pas de primitive sur .

12---

173 1x 1-----------

1x---

1 x( )ln xln 1 xx

----------- ln=

174

x 0+lim

x 0lim

x 0 +

f(x) 0

f+

0

175

f x( )x

lim f x( )x +

lim

2

O 1 2 3 4 51

1

2

3

4

e

x

y

T

f

f x( )dx0

+ lim


18/20

138

Partie A

1.g (x) = ; = .

Sur lintervalle [1 ; + [ , g est continue strictementdcroissante et change de signe donc lquation g(x) = 0admet une solution unique .

g 0,106 et g(2) 0,009 sont de signes contraires,

donc < < 2 .

2. a) T2 : y = .

b)x0 = , do v1 = 1,980 et v2 = 0,181 .

g(v1) 1,4 10 4 et g(v2) 3,4 10 4 sont de signescontraires, donc 1,980 < < 1,981 .

c)g(x)n 0 sur [0 ; ] ; g(x) < 0 sur ] ; + [ .

Partie B

1. Taux daccroissement defen 0 : lorsque x 0,

T(x) = .

On pose h =x2, T(x) = .

Doncfest drivable en 0 et f(0 = 1 . fest une fonction

impaire, il suffit dtudier ses variations sur .+

Pour toutx > 0, f(x) = ;

f est du signe deg .

= .

2. On pose pour toutx de ] 1 ; + [,

(x) = ln(1 +x) x ; (x) ;

Ainsi pour toutx de ] 1 ; + [ ,(x) N 0 donc ln(1 +x) Nx [1] .

T0 : y =x . La position de fet T0 est dtermine parle signe de la fonction diffrence :

d(x) :x f(x) x = .

Or pour tout relx, x2 > 1 , donc daprs [1] :ln(x2 + 1) x2N 0 ;

le signe de d(x) est loppos de celui dex .Ainsi,

fest au-dessus de T

0sur ]

; 0[ , au-dessous

sur ]0 ; + [ et T0 coupefen O.

Note :f traverse sa tangente en O ; lorigine O est un point

dinflexion.

Partie C

1. Pour r> 0, F(r) = = aire() . fest impairedonc

fest symtrique par rapport O. Si est le

domaine symtrique de par rapport O :

F( r) = = aire() .

Do F( r) = F(r) . Ainsi F est paire.

2. Daprs B. 2., pour tout t de [0 ; 1], 0 Nf(x) Nt, do

par intgration, 0 N F(1) N .

3. Pour tout rel tn 1 ,0N 1Nt2t2Nt2 + 1N 2t2 ln(t2)N ln(t2+1)N ln(2t2)

N N [2].

4. Pourxn 1, J(x) = .

F(x) = .

Or, pour tout tde [1 ;x], daprs [2],

Nf(t) N ,

do, par intgration sur [1 ;x] ,2J(x) N N ,

et, en ajoutant F(1) chaque membre :F(1) + 2J(x) N F(x) N F(1) + ln2 lnx + 2J(x) ,

soit F(1) + (lnx)2N F(x) N F(1) + ln2 lnx + (lnx)2 [3].On en dduit que F(x) = + .

Pourxn 1, daprs (3),

N N .

Or et ,

donc, daprs le thorme dencadrement, .

x 0 1 +

g (x) 0 + 0

g0

1 ln2

x 0 +

f(x) 0 + 0

f0

f()0

x 1 0 +

(x) + 0

0

176

2x 1 x2( )x2 1+( )2

------------------------- g x( )x +

lim

74---

74---

1225------x

6425------ 5ln+

163

------2512------ 5ln

f x( ) f 0( )x

--------------------------x2 1+( )lnx2

-------------------------=

x 0lim

1 h+( )lnh

-----------------------h 0lim 1=

2x2

x2 1+-------------- x2 1+( )ln

x2----------------------------------------------

g x( )

x2---------=

f x( )x +

limx

2

1

1x2-----+

lnx

-------------------------------------x +

lim=

2 xlnx

------------

1 1x2-----+

ln

x--------------------------+

x + lim 0=

x1 x+------------

x 0 + F (x) = f(x) 0 +

F0

x2 1+( )ln x2x

------------------------------------

O

1 r

1

x

y T02

f t( )dt0r

f t( )dt0

r

f t( )dtr0=

12---

t2( )lnt

---------------t2 1+( )lnt

------------------------2t2( )lnt

------------------

tlnt

-------dt1

x

12--- xln( )2=

f t( )dt01 f t( )dt1

x+ F 1( ) f t( )dt1x+=

2 tlnt

-----------2ln

t--------

2 tlnt

-----------+

f t( )dt1x 2ln xln 2F x( )+

x + lim

F 1( )x

----------xln( )2

x----------------+

F x( )x

----------F 1( )x

---------- 2ln xlnx

-------- xln( )2

x----------------+ +

xln

x

--------

x +

lim 0=xln( )2

x

----------------

x +

lim xln

x12-----------

2

x +

lim 0= =

F x( )x

----------x +

lim 0=


19/20


5.

1. = + .

Pour toutx de I,

f(x) x = .

2.f(x) x > 0 et [f(x) x] = 0 , donc d :y =x est

asymptote f

en + et, sur I, f

est au-dessus de d .

3.x est continue et positive sur I, donc

exprime laire (en u.a.) du domaine sous la

courbef

sur [0 ; m]. Do lon dduit que :

.

4. a)a1 = u.a. ; a2 = u.a.

b) MNH est un triangle rectangle isocle dhypotnsuse

[MN], do a3 = MN2 = .

5. a) =x +y ;

= X + Y = X( + ) + Y( + )

= (X Y) + (X + Y) .

Do les formules de changement de repre

quivalentes

On notef

:y = , xn 0 et : 4XY = 1 , X n .

M.

De ces ingalits on dduit : x + yn 1 n x + y doxn 0 puis y >xn 0 .

Donc f

= .

b) Dans le repre (O; , ), K est tel que :

XK = XA = (xA +yA) = ;

H est tel que YH = YM = (xM +yM) = (m + ) .

Lunit daire du nouveau repre est 2 u.a., do :

a4

= 2 = .

Ainsi a4 =

= u.a.

c)

= ,

do .

Partie A

1. f(x) = (1 x)ex . = ; = e xex = 0 .

2. Par intgration par parties,

I1 = .

Partie B1. a) Sur [0 ; 1], 0 N 1 xN 1 , do 1 N e1 xN e , puis :

xnNxne1 xN exn .

b) Jn

= .

c) Par intgration de lingalit 1. a) sur [0 ; 1],

N InN .

2. Pour nn 1,

In+1

=

= = 1 + (n+1)In .3. a)k

n + 1 = (n+1)!e In+1 = (n+1)!e + 1 (n+1)In

= (n+1)(n!e In) + 1 = (n+1)k

n+ 1 .

M f

y2 x2 = 1

4XY = 1

4XY = 1

X nxn 0 X Yn 0yn 1 X + Y n 1

Rciproquement, M

4XY = 1

y2 x2 = 1

X n x + yn1

0 0

O 1

1

0,4

x

yF

177 f x( )

x + lim

1 x2+ x 1

1 x2+ x+----------------------------=

x + lim

x2 1+

x2 1+ dx0

m

x2 1+ dx0

m

a1 a2 a4 a3+ +=

14---

m2

2------

13---

14--- 1 m2+ m( )2

OM i j

OM u v i j i j

i j

x X Y=y X Y+=

X 12--- x y+( )=

Y 12--- x y+( )=

1 x2+ 12---

12---

12---

12---

1 x2+

x

1 +

f

(

x

)

+ 0

f

10

u v

12---

12---

12---

12--- 1 m2+

1

4X--------dX

12---

12--- m 1 m2++( )

1

2---

1

X----dX

12---

12--- m 1 m2++( )

12---

12--- m 1 m2++( )

ln 12---

ln

12--- m 1 m2++( )ln

1 x2+ dx0

m

a1 a2 a4 a3+ +=

14---

m2

2------

12--- m 1 m2++( )ln 1

4--- 1 m2+ m( )2+ +

1 x2+ dx0

m

m1 m2+2

-------------------------12--- m 1 m2++( )ln+=

178

f x( )x

lim f x( )x +

limx +

lim

O 1

1

x

y

f

f x( )dx01 x e1 x( )[ ]0

1 e1 x dx01+ e 2= =

1n 1+------------

1n 1+------------

en 1+------------

xn 1+ e1 x dx01

xn 1+

e1 x

[ ]01

n 1+( ) xn

e1 x

dx01

+


20/20

b)k1 = e I1 = 2 . Ainsi k1 .On suppose quil existe un entier n (nn 1) tel quek

n ; alors k

n + 1= (n+1)k

n+ 1 donc k

n + 1 .

Do le rsultat.

c) Pour tout nn 2, 0 < N InN < 1 donc I

n .

Par labsurde : si n!e , alors In

= n!e kn , ce

qui contredit le rsultat prcdent.

Donc n!e .

4. a) Si nnq, alors q divise n! et donc .

b) Si e tait un rationnel , alors pour nnq , on aurait

n!e = entier, ce qui est absurde daprs 3. c).

Donc e est irrationnel.

pour chercher plus (page 240)

Sur [0 ; 1], f(x) =x x3 ; f(x) = 1 3x2 ;

On cherche la valeur du coefficient directeur tde d tel quelaire S reprsente la moiti de laire S sous la courbe.

S = . Lintersection de d et f

a pour

coordonnes ( ).

S =

= .

Donc test tel que (1 t)2 = et comme test ncessairement

positif, t= 1 .

Une primitive sur de x f(x) = e xsinx est

dfinie par F(x) = .

Par double intgration par parties,

F(x) =

=

= .

Do F(x) = .

Ainsi x est aussi une primitive de

fsur .

In

=

=

= .

Pour tout entier n,

In + 1 =

= .

(In) est une suite gomtrique de raison q = e et de

premier terme I0 = (1 + e) .

Sn

= est la somme des n + 1 premiers termes de

cette suite gomtrique, do Sn

= I0 .

Or |q | < 1 do Sn

= , soit Sn

= .

Note : Daprs la relation de Chasles,

Sn

= et = .

R est le rayon de la demi-sphre.La section de par un plan perpendiculaire laxe (Oy),dfini par la hauteur y (0 NyNh) est une couronnecirculaire centre sur laxe.

Rayon intrieur : tel que 2 = R2 h2 .Rayon extrieur : rtel que r2 = R2 y2 .Aire de la couronne : S(y) = (r2 2) = (h2 y2) .

Do = .

Note : Ce volume quivaut celui de la demi-boule de rayonh.

1n 1+------------

en 1+------------

n!pq

--------

pq---

n!pq

--------

x 0 1

f(x) + 0

f0 0

179

33

-------

2 3

9-----------

O 1

0,5

x

y

S

f

d

y=tx

x x3( )dx01 14---=

1 t ; t 1 t

f x( ) tx( )dx0

1 t 1 t( )x x3( )dx01 t=

1 t( )x2

2-----

x4

4-----

0

1 t 1 t( )24

------------------=

12---

2

2-------

180

e t tdsin t0

x

e t tsin[ ]0x e t tdcos t

0

x

+

e x xsin e t tcos[ ]0x e x tdsin t

0

x

+

e x xsin e x xcos 1 F x( )+12---e x xcos xsin+( ) 1

2---+

12---e x xcos xsin+( )

12---e x xcos xsin+( )

n

n 1+( )

12--- e n n( )cos e n 1+( ) n 1+( )( )cos[ ]

1( )n2

-------------- e n 1 e +( )

1( )n 1+2

--------------------- e n 1+( ) 1 e +( )

e 1( )n

2-------------- e n 1 e +( ) e In=

12---

Ipp 0=

n

1 qn 1+1 q

---------------------

n + lim

I01 q------------

n + lim 1

2---

et

tdsin t0

n 1+( ) et

tdsin t0

n 1+( )n + lim12---

181

S y( )dy0h h2 y2( )dy0

h 2h3

3------------= =

chapitre 08 exo

Documents