avec 3 nombres…

Avec 3 nombres…Avec 3 nombres…

… … ou plus ?ou plus ?

Le problèmeLe problème

Le problème suivant a été posé par Le problème suivant a été posé par XavierXavier

Buff, chercheur à l’université Paul Buff, chercheur à l’université Paul Sabatier : Sabatier :

« Peut-on choisir 3 nombres tels que, « Peut-on choisir 3 nombres tels que, pris séparément ou additionnés les pris séparément ou additionnés les uns aux autres, on ne tombe pas sur 3 uns aux autres, on ne tombe pas sur 3 ou un de ses multiples ? »ou un de ses multiples ? »

SommaireSommaire

Premiers essaisPremiers essais

Recherche par la multiplicationRecherche par la multiplication

Recherche par l’additionRecherche par l’addition

ConclusionConclusion


77 11 55 -> 7 + 1= 8 > OK-> 7 + 1= 8 > OK 7 + 5 = 12 > NON !7 + 5 = 12 > NON !

1010 11 77

88 88 11

-> 10 + 1 = 11 > OK-> 10 + 1 = 11 > OK-> 10 + 7 = 17 > OK-> 10 + 7 = 17 > OK-> 1 + 7 = 8 > OK-> 1 + 7 = 8 > OKMais 10 + 1 + 7 = 18 !!!Mais 10 + 1 + 7 = 18 !!!

-> 8 + 8 + 1 = 17 > OK -> 8 + 8 + 1 = 17 > OK Mais 8 + 1 = 9 !!Mais 8 + 1 = 9 !!

La multiplicationLa multiplication


Pour 2 nombresPour 2 nombres

Le problème a évolué en « Peut-on Le problème a évolué en « Peut-on trouver deux nombres entiers dont le trouver deux nombres entiers dont le produit n’est pas divisible par 2 ? »produit n’est pas divisible par 2 ? »


Règles :Règles :

0 . On ne peut jamais choisir 0 comme 0 . On ne peut jamais choisir 0 comme nombre.nombre.

1. Le produit de deux nombres pairs est pair 1. Le produit de deux nombres pairs est pair

2. Le produit d’un nombre impair par un 2. Le produit d’un nombre impair par un nombre pair est pair.nombre pair est pair.

3. Le produit de deux nombres impairs est 3. Le produit de deux nombres impairs est impair.impair.


Preuve de la règle n°3 :Preuve de la règle n°3 :(Le produit de deux nombres impairs est impair).(Le produit de deux nombres impairs est impair).

Un nombre impair peut toujours Un nombre impair peut toujours s’écrire comme un nombre pair s’écrire comme un nombre pair + 1+ 1

Exemple : 17 = 16 Exemple : 17 = 16 (pair )(pair ) + 1 + 1


Impair x impair = (pair +1 ) x impairImpair x impair = (pair +1 ) x impair

= pair x impair + 1 x= pair x impair + 1 x impairimpair = pair (règle 2) + impair= pair (règle 2) + impair

= = impairimpair

Exemple : 5 x 7 = (4+1) x 7Exemple : 5 x 7 = (4+1) x 7

= 4 x 7 + 1 x 7= 4 x 7 + 1 x 7

= 28 + 7= 28 + 7

= = 3535


Conclusion Conclusion

On peut choisir deux nombres entiers On peut choisir deux nombres entiers impairs dont le produit ne serait pas impairs dont le produit ne serait pas

divisible par 2divisible par 2


Et pour 3 nombres ?Et pour 3 nombres ? Deux pistes de recherche :Deux pistes de recherche :

* soit 3 nombres consécutifs non multiples de 3* soit 3 nombres consécutifs non multiples de 3* soit deux identiques et le troisième obtenu en * soit deux identiques et le troisième obtenu en

ajoutant 3 au précédent.ajoutant 3 au précédent.

Exemples :Exemples :44 55 6677

88 88 1111


Règle : Si on multiplie 2 nombres qui ne sont pas Règle : Si on multiplie 2 nombres qui ne sont pas multiples de 3 leur produit ne sera pas un multiple multiples de 3 leur produit ne sera pas un multiple de 3.de 3.

Exemple :Exemple : 4 - 5 -7 4 - 5 -7 Produits possibles :Produits possibles :

4 x 5 = 204 x 5 = 204 x 7 = 284 x 7 = 285 x 7 = 355 x 7 = 35

(4 x 5)x 7 = 140(4 x 5)x 7 = 140

20, 28, 35, 140 ne sont pas des multiples de 3.20, 28, 35, 140 ne sont pas des multiples de 3.


Conclusion : Conclusion :

on peut choisir 3 nombres de telle on peut choisir 3 nombres de telle sorte que leur produit ne soit pas un sorte que leur produit ne soit pas un

multiple de 3multiple de 3

L’additionL’additionretour au problème initial …retour au problème initial …

L’additionL’addition

Pour 2 nombresPour 2 nombres Peut-on choisir deux nombres tels que pris Peut-on choisir deux nombres tels que pris

séparément ou additionnés on ne retombe séparément ou additionnés on ne retombe pas sur un multiple de 2pas sur un multiple de 2 ? ?

Choix ?Choix ? On ne peut pas choisir un nombre pairOn ne peut pas choisir un nombre pair

Seule possibilité : prendre deux Seule possibilité : prendre deux nombres impairsnombres impairs


Mais :Mais :

Impair + impair = (pair +1) + (pair Impair + impair = (pair +1) + (pair +1 )+1 )

= pair + pair + 1 + 1= pair + pair + 1 + 1

= pair + pair + 2= pair + pair + 2

= pair= pair


Conclusion : Conclusion :

On ne peut pas choisir deux nombres On ne peut pas choisir deux nombres entiers tels que pris séparément ou entiers tels que pris séparément ou additionnés, on ne retombe pas sur additionnés, on ne retombe pas sur un nombre divisible par 2.un nombre divisible par 2.

L’additionL’additionPour 3 nombres : Pour 3 nombres : ? ? ? ? ? ?

Rappel :Rappel :

On cherche donc à trouver trois On cherche donc à trouver trois nombres tels que pris séparément ou nombres tels que pris séparément ou

additionnés entre eux, ne donnent additionnés entre eux, ne donnent pas un nombre ou une somme pas un nombre ou une somme

divisible par 3.divisible par 3.


Comment choisir ces trois Comment choisir ces trois nombres ?nombres ?

On ne peut pas prendre de multiple On ne peut pas prendre de multiple de 3.de 3.

Reste les autres nombres non Reste les autres nombres non multiples de 3multiples de 3

L’additionL’additionPrincipe de position Principe de position

: :

0 ---> 30 ---> 3èmeème position position1 ---> 11 ---> 1èreère position position2 ---> 22 ---> 2èmeème position position3 ---> 33 ---> 3èmeème position position4 ---> 14 ---> 1èreère position position5 ---> 25 ---> 2èmeème position position 6 ……6 ……7 …….7 …….8 ……8 …… 9 ……9 ……10 …..10 …..11 ---> 211 ---> 2èmeème position position12 ….12 ….13 ---> 113 ---> 1èreère position position

On appelle :On appelle :

- 1.1. « « nombre de troisième nombre de troisième positionposition » tous les multiples de » tous les multiples de 33

- 2.2. « « nombre de première nombre de première positionposition » tous les nombres qui » tous les nombres qui s’obtiennent en ajoutant 1 à un s’obtiennent en ajoutant 1 à un nombre de troisième position.nombre de troisième position.

- 3. « 3. « nombre de deuxième nombre de deuxième position position » , tous les nombres » , tous les nombres qui s’obtiennent en ajoutant 2 qui s’obtiennent en ajoutant 2 à un nombre de troisième à un nombre de troisième positionposition

L’additionL’additionRègles :Règles :

11. . Nbre 1Nbre 1rere position position + + nbre 1nbre 1èreère position position = = nbre 2nbre 2èmeème positionposition

2. 2. Nbre 1Nbre 1èreère positon positon + + nbre 2nbre 2èmeème position position = = nbre 3nbre 3èmeème positionposition

3. 3. Nbre 2Nbre 2èmeème position position + + nbre 2nbre 2èmeème position position = = nbre 1nbre 1èreère positionposition

L’additionL’additionPreuve de la règle n°3: Preuve de la règle n°3: (Nbre 2(Nbre 2èmeème position position + + nbre 2nbre 2èmeème position position = = nbre 1nbre 1èreère position) position)

On décompose les nombres comme pour les règles pair-impair :On décompose les nombres comme pour les règles pair-impair :

Exemple : Exemple : nbre 2nbre 2èreère position position = = nbre 3nbre 3èmeème position position +2 +2

5 5 = = 3 3 + 2+ 21414 = = 1212 + 2 + 2

DoncDoncnbre 2nbre 2èmeème position position + + nbre 2nbre 2ièmeième position position = = nbre 3nbre 3èmeème position position + 2+ + 2+ nbre nbre

33èmeème + 2 + 2 = = nbre 3nbre 3èmeème position position + 4 + 4

= = nbre 3nbre 3èmeème position position + 3 + 1 + 3 + 1 = = nbre 3nbre 3èmeème position position + 1 = + 1 = nbre nbre

11èreère position position

Pour bien comprendre :Pour bien comprendre : 5 5 ++ 1414 = 19= 19 = = 18 18 ++ 1 1

L’additionL’additionRetour au choix des trois nombres …Retour au choix des trois nombres …

pas de multiple de 3pas de multiple de 3 pas de pas de nombre de 1nombre de 1èreère position position avec un avec un nbre denbre de 22èmeème

positionposition ( règle 2 : on aurait un ( règle 2 : on aurait un nbre de 3nbre de 3èmeème position position..)..)

En résumé :En résumé :

Possibilité 1 : Possibilité 1 : Nbre1Nbre1èreère position position ; ; Nbre 1Nbre 1èreère position position ; ; Nbre 1Nbre 1èreère position position Pas possible car l’addition des 3 donne un Pas possible car l’addition des 3 donne un nombre de 3nombre de 3èmeème position position ! !

Possibilité 2 : Possibilité 2 : Nbre 2Nbre 2èmeème position position ; ; Nbre 2Nbre 2èmeème position position ; ; Nbre 2Nbre 2èmeème position position -> pas possible : car -> pas possible : car 22èmeème + + 22èmeème = = 11èreère et et 11èreère + + 22èmeème = = 33èmeème


Pour 2 nombresPour 2 nombres Pour 3 nombresPour 3 nombres Pour 4 nombres…Pour 4 nombres…

(les titres sont décidément très variés)(les titres sont décidément très variés) ...Et plus ?...Et plus ?

L’additionL’additionLe principe de position des nombres est le même, sauf que cette fois, Le principe de position des nombres est le même, sauf que cette fois,

les nombres de 1les nombres de 1èreère position sont ceux qui succèdent aux position sont ceux qui succèdent aux nombres de 4nombres de 4èmeème position …( nombre 4 position …( nombre 4èmeème position = multiple de position = multiple de 4)4)

On a établi les règles :On a établi les règles :

1.1. Nbre 1Nbre 1èreère position + nbre 1 position + nbre 1èreère position = nbre 2 position = nbre 2èmeème position position2.2. Nbre 1Nbre 1èreère position + nbre 2 position + nbre 2èmeème position = nbre 3 position = nbre 3èmeème position position3.3. Nbre 1Nbre 1èreère position + nbre 3 position + nbre 3èmeème position = nbre 4 position = nbre 4èmeème position position4.4. Nbre 2Nbre 2èmeème position + nbre 2 position + nbre 2èmeème position = nbre 4 position = nbre 4èmeème position position5.5. Nbre 2Nbre 2èmeème position + nbre 3 position + nbre 3èmeème position = nbre 1 position = nbre 1èreère position position6.6. Nbre 3Nbre 3èmeème position + nbre 3 position + nbre 3èmeème position = nbre 2 position = nbre 2èmeème position. position.

L’additionL’addition 00

11

22

33

44

55

66

77

88

99

1010

1111

1212

1313

1414

1515

1616

17 17 ……

Exemple :Exemple :

-> on enlève tous les multiples de 4-> on enlève tous les multiples de 4

-> on choisit un nombre de 1-> on choisit un nombre de 1èreère position position

55-> on ne peut pas choisir un nombre de 3-> on ne peut pas choisir un nombre de 3èmeème position position

-> on choisit un nombre de 2-> on choisit un nombre de 2èmeème position position

1010

-> on ne peut plus prendre de nombre en 2-> on ne peut plus prendre de nombre en 2èmeème positionposition

-> il ne reste plus que les nombres de 1-> il ne reste plus que les nombres de 1èreère positionposition

-> -> Mais … Mais …

Nbre 1Nbre 1èreère pos. + Nbre 2 pos. + Nbre 2èmeème pos. + Nbre 1 pos. + Nbre 1èreère pos. = nbre 4éme pos. pos. = nbre 4éme pos.


On a étudié tous les choix possibles …On a étudié tous les choix possibles …

et conclu qu’on ne pouvait pas choisiret conclu qu’on ne pouvait pas choisir

4 nombres répondant au problème.4 nombres répondant au problème.

Puis pareil avec 5 nombres.Puis pareil avec 5 nombres.

Conclusion pour l’additionConclusion pour l’addition

La recherche pour 6 nombres s’est La recherche pour 6 nombres s’est avérée plus difficile à organiser, mais avérée plus difficile à organiser, mais le principe des « nombres de 1le principe des « nombres de 1èreère, , 22èmeème, 3, 3èmeème , … position » marche aussi. , … position » marche aussi.

On suppose que le problème posé n’a On suppose que le problème posé n’a pas de solution, on est capable de le pas de solution, on est capable de le prouver jusqu'à 5 nombres mais on prouver jusqu'à 5 nombres mais on n’a pas su trouver une preuve n’a pas su trouver une preuve générale.générale.

Vous ont présenté cet exposé :Vous ont présenté cet exposé :Mattéo MielletMattéo MielletDamien KermelDamien KermelElodie MansalierElodie Mansalier

David CassinDavid CassinBenjamin GuyotBenjamin GuyotAubry DesmartinAubry Desmartin

Claire PoueyClaire Pouey

Ont aidé à la préparation mais n’ont Ont aidé à la préparation mais n’ont malheureusement pas pu venir :malheureusement pas pu venir :

Florette MartinezFlorette MartinezManon DelhomManon Delhom

Julien EsnayJulien Esnay

Merci d’avoir suivi Merci d’avoir suivi notre exposénotre exposé

Au revoir !Au revoir !

avec 3 nombres…

Documents