tp9: fonctions de deux variables. rappels gradient matrice hessienne

TP9: Fonctions de deux variables

Rappels

Gradient

Matrice hessienne

n

n

1

n

1

1

1

x

f ...

.

.

.

x

f ...

x

f

x

f

f

n

z²

f²

²²

zy

²f

y²

²f

²

zx

f²

yx

²f

²

²

)(

yz

f

xz

f

xy

f

x

f

fH

Rappels

Calcul des minima, maxima et points de selle Annulation du gradient

Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées

maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0,

minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0.

Point de selle si dét< 0

Exercices du syllabus

107. 1)

2)

5)

³8xyx

f

²²12 yxy

f

dyyxdxxydf ²²12³8

1 yyxx

f

xxy

f y ln

xdyxdxyxdf yy ln1

²²

2

yx

x

x

f

²²

2

yx

y

y

f

dyyx

ydx

yx

xdf

²²

2

²²

2

)(

²²

2ydyxdx

yxdf

Exercices du syllabus

108

111 f(x,y)=xlny+ylnx1)

2)

p

ctv

²p

ct

p

v

v

c

v

ct

tt

p

)(

?p

v

?t

p

)1,1(

ln

x

yy 1

)1,( 2

ln

ey

xx 2² e

?][ )1.1( x

f

?][ )1².(

ey

f

Exercices du syllabus

116Volume = 64m³: dimension pour aire totale

minimum?

xyzxyz

6464

xyy

xyxxyf

642

64.22 xy

xyf128128

2

0²

1282

xy

x

f 0²

1282

yx

y

f

0²64

1282

²

64

4xx

xy

44

4²4

64

z

x

y

Exercices du syllabus

118. 1)Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant

autour de Oy = cylindre

Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C

Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N

x

z

y

Exercices du syllabus

Plan parallèle à xOy, passant par p Deux droites parallèles Q et R

Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz

Une ellipsePlan perpendiculaire à D et passant par p

Une ellipse

Exercices du syllabus

123Hyperboloide à 1nappe

Plan //Oxy: Cercle

Plan // xOz: hyperbole

Exercices du syllabus

124 tore

Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2

Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8

Si a=origine O? Réduit à 1 point

Questions supplémentaires

1

Calculer les limites

2²²|),(),( 0

2²²,1²²|),(),()1²²ln(),(

yxyxByxsi

yxyxyxAyxsiyx

yx

yxf

),(lim1

xxfx

)1,(lim1

xfx

0)1²²ln(

lim1

xx

xxx

)11²ln(

1lim

1

x

xx ²)ln(

1lim

1 x

xx

2

1

2lim

²21

lim11

x

xx xx

H

Questions supplémentaires

n’existe pas car différent selon la direction qu’on prend

f continue en (1,1)? Non car la limite n’existe pas

),(lim)1,1(),(

yxfyx

Questions supplémentaires

2. Représenter dans l’espace R3 les domaines suivants

Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2)

Intérieur d’un triangle

Questions supplémentaires

intérieur du cercle de centre (0,0) et de

rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1

Questions supplémentaires

3. Représenter dans l’espace R3 les surfaces d’équation (cf cours) a) z² = x² + y²

cone b) x = 3

plan c) z = x² + y²

Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1

sphère e) x² + y² = 1.

cylindre

Questions supplémentaires

4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantesa) xy + y²

y

y²)(xy

²)(

x

yxyf 2y x y

y²

y²)²(xy

²)²(

yx

y²)²(xy

²

²)²(

)(

xy

yxy

x

yxy

fH

2 1

1 0

Questions supplémentaires

e) xy

y

)(

)( yx

x

xf

y

xy ln xx y1-y

y²

)²(

)²(

yx

)²(

²

)²(

)(y

y

x

xy

x

x

x

x

fHy

y

y1-y1

11-y2-y

xln²x. xlnx

ln x1)x-y(yy

y

yx

xyx

Questions supplémentaires

5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction

²2²),(:²: yxyxyxf

)2

3,

2

1(v

21 ),(),(),( vbay

fvba

x

fba

v

f

yxyx

y

f

yxyxx

f

4),(

2),(

9)2,1(

0)2,1(

y

fx

f

2

39

2

3.9

2

1.0)2,1(

v

f

Questions supplémentaires

6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes

a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7 6-4x-2y x²,4y -2xy f

2 4-x2

4-2xy 2)( fH

Questions supplémentaires

Annulation du gradient

Coordonnées (2,5)

Matrice hessienne

Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum

062.424

2

y

x

0642²

042

xyx

yxy

5

2

y

x

064²

0

xx

y

102

0

x

y

2 0

0 10)( fH

Questions supplémentaires

Matrice hessienne

Déterminant <0 point de selle

matrice hessienne

Déterminant<0 point de selle

)0,102(

)0,102(

2 4-)102(2

4)102(2 0)( fH

2 4-)102(2

4)102(2 0)( fH

Questions supplémentaires

c) x²-y²-2xy +2

2x-2y- ,2y -2xf

2- 2-

2- 2)( fH

Questions supplémentaires

Annulation du gradient

Coordonnées (0,0)

Matrice hessienne

Déterminant=0 pas de min, max, point de selle

04x

yx

022

022

xy

yx

0

0

y

x

2 2-

2- 2)( fH

C. Test

1.B 2. D

Toutes les parenthèses avec une soustraction donnent 2 racines

3. B 4.E 5. E

13 cartes par couleur 52-12 6.E