tp9: fonctions de deux variables. rappels gradient matrice hessienne
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TP9: Fonctions de deux variables
Rappels
Gradient
Matrice hessienne
n
n
1
n
1
1
1
x
f ...
.
.
.
x
f ...
x
f
x
f
f
n
z²
f²
²²
zy
²f
y²
²f
²
zx
f²
yx
²f
²
²
)(
yz
f
xz
f
xy
f
x
f
fH
Rappels
Calcul des minima, maxima et points de selle Annulation du gradient
Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées
maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0,
minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0.
Point de selle si dét< 0
Exercices du syllabus
107. 1)
2)
5)
³8xyx
f
²²12 yxy
f
dyyxdxxydf ²²12³8
1 yyxx
f
xxy
f y ln
xdyxdxyxdf yy ln1
²²
2
yx
x
x
f
²²
2
yx
y
y
f
dyyx
ydx
yx
xdf
²²
2
²²
2
)(
²²
2ydyxdx
yxdf
Exercices du syllabus
108
111 f(x,y)=xlny+ylnx1)
2)
p
ctv
²p
ct
p
v
v
c
v
ct
tt
p
)(
?p
v
?t
p
)1,1(
ln
x
yy 1
)1,( 2
ln
ey
xx 2² e
?][ )1.1( x
f
?][ )1².(
ey
f
Exercices du syllabus
116Volume = 64m³: dimension pour aire totale
minimum?
xyzxyz
6464
xyy
xyxxyf
642
64.22 xy
xyf128128
2
0²
1282
xy
x
f 0²
1282
yx
y
f
0²64
1282
²
64
4xx
xy
44
4²4
64
z
x
y
Exercices du syllabus
118. 1)Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant
autour de Oy = cylindre
Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C
Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N
x
z
y
Exercices du syllabus
Plan parallèle à xOy, passant par p Deux droites parallèles Q et R
Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz
Une ellipsePlan perpendiculaire à D et passant par p
Une ellipse
Exercices du syllabus
123Hyperboloide à 1nappe
Plan //Oxy: Cercle
Plan // xOz: hyperbole
Exercices du syllabus
124 tore
Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2
Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8
Si a=origine O? Réduit à 1 point
Questions supplémentaires
1
Calculer les limites
2²²|),(),( 0
2²²,1²²|),(),()1²²ln(),(
yxyxByxsi
yxyxyxAyxsiyx
yx
yxf
),(lim1
xxfx
)1,(lim1
xfx
0)1²²ln(
lim1
xx
xxx
)11²ln(
1lim
1
x
xx ²)ln(
1lim
1 x
xx
2
1
2lim
²21
lim11
x
xx xx
H
Questions supplémentaires
n’existe pas car différent selon la direction qu’on prend
f continue en (1,1)? Non car la limite n’existe pas
),(lim)1,1(),(
yxfyx
Questions supplémentaires
2. Représenter dans l’espace R3 les domaines suivants
Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2)
Intérieur d’un triangle
Questions supplémentaires
intérieur du cercle de centre (0,0) et de
rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1
Questions supplémentaires
3. Représenter dans l’espace R3 les surfaces d’équation (cf cours) a) z² = x² + y²
cone b) x = 3
plan c) z = x² + y²
Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1
sphère e) x² + y² = 1.
cylindre
Questions supplémentaires
4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantesa) xy + y²
y
y²)(xy
²)(
x
yxyf 2y x y
y²
y²)²(xy
²)²(
yx
y²)²(xy
²
²)²(
)(
xy
yxy
x
yxy
fH
2 1
1 0
Questions supplémentaires
e) xy
y
)(
)( yx
x
xf
y
xy ln xx y1-y
y²
)²(
)²(
yx
)²(
²
)²(
)(y
y
x
xy
x
x
x
x
fHy
y
y1-y1
11-y2-y
xln²x. xlnx
ln x1)x-y(yy
y
yx
xyx
Questions supplémentaires
5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction
²2²),(:²: yxyxyxf
)2
3,
2
1(v
21 ),(),(),( vbay
fvba
x
fba
v
f
yxyx
y
f
yxyxx
f
4),(
2),(
9)2,1(
0)2,1(
y
fx
f
2
39
2
3.9
2
1.0)2,1(
v
f
Questions supplémentaires
6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes
a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7 6-4x-2y x²,4y -2xy f
2 4-x2
4-2xy 2)( fH
Questions supplémentaires
Annulation du gradient
Coordonnées (2,5)
Matrice hessienne
Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum
062.424
2
y
x
0642²
042
xyx
yxy
5
2
y
x
064²
0
xx
y
102
0
x
y
2 0
0 10)( fH
Questions supplémentaires
Matrice hessienne
Déterminant <0 point de selle
matrice hessienne
Déterminant<0 point de selle
)0,102(
)0,102(
2 4-)102(2
4)102(2 0)( fH
2 4-)102(2
4)102(2 0)( fH
Questions supplémentaires
c) x²-y²-2xy +2
2x-2y- ,2y -2xf
2- 2-
2- 2)( fH
Questions supplémentaires
Annulation du gradient
Coordonnées (0,0)
Matrice hessienne
Déterminant=0 pas de min, max, point de selle
04x
yx
022
022
xy
yx
0
0
y
x
2 2-
2- 2)( fH
C. Test
1.B 2. D
Toutes les parenthèses avec une soustraction donnent 2 racines
3. B 4.E 5. E
13 cartes par couleur 52-12 6.E