matrice multi critères

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0 0-0 Décision multicritères Hélène Fargier, Michel Lemaître d’après beaucoup d’autres ... [email protected] "Décision Multicritère", 2009-2010, Sup Aéro (SSP) 1

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multi critères

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  • 00-0

    Dcision multicritres

    Hlne Fargier, Michel Lematredaprs beaucoup dautres ...

    [email protected]

    "Dcision Multicritre", 2009-2010, Sup Aro (SSP)

    1

  • 21. Introduction

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

    3

    Quelques problmes de dcision et

    dvaluation

    Choisir le site dimplantation dune usine, dun magasin ...

    Engager du personnel.

    Acheter du matriel.

    valuer la qualit des fournisseurs.

    valuer des projets.

    Choisir une stratgie dinvestissement.

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

  • 4Modle unicritre

    Modle unicritre : Optimiser {g(a), a A} o g : A 7 R

    Mathmatiquement bien pos :

    Notion de solution optimale;

    Classement complet des actions;

    conomiquement mal pos :

    Un seul critre ?

    seuils de perception, ...

    Exigence de critres numriques

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

    5

    Choix dune automobile

    alternatives

    Citroen Peugeot Renault Ford

    prix (1000 ) 22 20 21 16

    critres consommation 7.1 7.0 7.2 7.8

    puissance (kW) 55 65 58 55

    type essence gpl gpl diesel

    le nombre fini critres

    le nombre fini dalternatives

    aucune ne simpose a priori (nest meilleure sur tous lescritres)

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

  • 6Exemple : choix dun candidat

    alternatives

    Durant Dupont Dubois Dubosc

    prtentions 53 50 53 45

    critres ge 31 25 32 38

    exprience 7 2 7 15

    comptences moyennes top top forte

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

    7

    Modle multicritre

    Modle multicritre : Optimiser{g1(a), g2(a) . . . gn(a), a A} o gi : A 7 R

    Comment optimiser sur **plusieurs** fonctions ?

    Les critres sont

    Souvent contradictoires (puissance et prix)

    Exprims dans des units diffrentes (puissance et prix)

    Difficiles mesurer quantitativement (type moteur): lescritres qualitatifs ordonnent plutt que nvaluent

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

  • 8Dmarche gnrale en

    dcision/optimisation multicritre

    dfinir lensemble des alternatives possibles (les objets surlesquels portent la dcision : candidats, ordonnancements,plans), et leurs attributs

    dfinir les diffrents points de vue sur lesquels on jugera lesalternatives, tablir des prfrences sur ces points de vue, lestraduire en critres (de manire ordinale ou cardinale)

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

    9

    Attributs et critres

    Attribut: Caractristique dcrivant chaque objet(ge, diplme, rsultats aux tests daptitude, prtentions)

    Critre : exprime les prfrences du dcideur relativement un point de vue (ex: comptence);Intgre la structure de prfrence du dcideur sur ce critre(minimiser les prtentions, maximiser la comptence)

    Tableau des attributs 7 Tableau des performances

    Gnralement (et pour la suite) : attribut critre

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

  • 10

    Dmarche gnrale en

    dcision/optimisation multicritre - cont

    dfinir lensemble des alternatives possibles (les objets surlesquels portent la dcision : candidats, ordonnancements,plans), et leurs attributs

    dfinir les diffrents points de vue sur lesquels on jugera lesalternatives, tablir des prfrences sur ces points de vue, lestraduire en critres (de manire ordinale ou cardinale)

    synthtiser une structure de prfrence globale sur les alt.

    exploiter cette structure de prfrence globale pour dcider(algorithmes, calculs)

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

    11

    Problmatiques daide la dcision MCDM

    Donnes: un ensemble dalternatives, values ou classes pardes critres

    Problmes:

    Slection : Choix dune solution (la meilleure) ou dunensemble de (meilleures) solutions

    Affectation : Tri rsultant de laffectation de chaquealternative une catgorie parmi n (prffinies)

    Classement : ordonner lensemble des alternatives

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

  • 12

    Plan

    Introduction

    Principes de base pour la modlisation des prfrences

    Agrger puis comparer : les principales approches parfonction dagrgation

    Comparer puis agrger : les mthodes de surclassement

    Conclusion

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

    13

    Exercice 1

    alternatives

    Citroen Peugeot Renault Ford

    prix (1000 ) 22 20 21 16

    critres consommation 7.1 7.0 7.2 7.8

    puissance (kW) 55 65 58 55

    type essence gpl gpl diesel

    Avec gpl > essence, diesel; minimiser prix et consommation,

    maximiser performance

    Quelles sont les meilleures solutions ? Que dire si on ne tient compte

    que des critres prix et consommation ?

    Reprsenter les alternatives dans lespace de ces deux critres.

    ISAE Dcision Multi critres 1. INTRODUCTION

  • 14

    2. Principes de base

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    15

    2.1 Modlisation des prfrences

    Dans un problme multicritre, on distingue:

    1. Les prfrences locales, exprimes par les critres

    2. La prfrence globale du dcideur sur lensemble desalternatives

    En gnral, les prfrence locales forment la donne duproblme,et on cherche synthtiser la prfrence globale.

    Les deux niveaux utilisent les mmes modles pour exprimerles prfrences. Attention ne pas les confondre.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 16

    Le modle relationnel

    Ce modle dcrit explicitement toutes les comparaisons deux deux entre alternatives.

    On reprsente les prfrences par une relation sur A: a bsignifiant que a est prfr au sens large b.

    Hypothse minimale : est doit tre rflexive (a est toujoursau moins aussi bon que a).

    Le problme de classement: synthtiser un g global partirdes critres, cad de prfrences locales i, i = 1, n.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    17

    Prfrence stricte, indiffrence et incomparabilit

    dfinit 3 relations exclusives sur A :

    la prfrence stricte, note : a b a b (b a)

    lindiffrence, note : a b a b b a

    lincomparabilit, note : a b< (a b) (b a)

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 18

    Transitivit

    Dfinition [(Quasi) Transitivit] Une relation R est transitivedef aRb et bRc implique aRc.

    Une relation est quasi-transitivedef sa partie stricte esttransitive.

    Les relations dindiffrence (et donc les relations ) nesont pas toujours transitives

    Les relations de prfrence stricte sont gnralementtransitives

    Par exemple dans la vie courante ?

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    19

    Critres seuil ou "quasi critres"

    Un quasi critre se dfini partir dun attribut g numrique

    A maximiser : a b g(a) + q g(b) avec q > 0

    i.e. a b g(a) > g(b) + q,a b |g(a) g(b)| q

    Attribut minimiser: a b g(a) q g(b)(i.e. a b quand g(b) q > g(a))

    Ex: pour lachat voiture, le critre consommation ne fait unediffrence qu plus de 0.1 litre aux 100.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 20

    Quasi critres (cont.)

    La relation dindiffrence nest pas transitive en gnral

    Peugeot (7 l) conso Citroen (7.1 l) car 7.1 7 0.1Citroen (7.1 l) conso Renault (7.2 l ) car 7.2 7.1 0.1Mais Peugeot conso Renault (car 7.2 7.0 > 0.1)

    La relation de prfrence stricte obtenue par un critre seuilest toujours transitive.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    21

    Vote la majorit

    Cest une rgle pour synthtiser la prfrence globale partirdes prfrences locales ("rgle de dcision")

    a Maj b |{i, a i b}| |{i, b i a}|

    Exemple:

    Votant 1: a 1 b 1 c

    Votant 2: c 2 a 2 b

    Votant 3: b 3 c 3 a

    |{1, 2}| > |{3}| : a Maj b,|{1, 3}| > |{2}| : b Maj c,mais |{2, 3}| > |{1}| : c Maj a

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 22

    Compltude

    Dfinition [relation complte)] Une relation est compltedef a b ou b a pour tout a et b.

    est complte est vide.

    Un critre seuil dfinit une prfrence locale complte

    Le vote la majorit dfinit une prfrence globale complte

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    23

    La rgle dunanimit

    Une rgle de dcision a minima : a Una b i, a i b

    Citroen Peugeot Renault Ford

    prix (1000 ) 22 20 21 16

    critres consommation 7.1 7.0 7.2 7.8

    puissance (kW) 55 65 58 55

    type essence gpl gpl diesel

    Peugeot Una Citroen; Peugeot Una Renault.Ford et Peugeot sont incomparables; Citroen et Renault le sontaussi.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 24

    Le modle ordinal : le prordre complet

    Dfinition [prordre] Un prordre est une relation binairerflexive et transitive.

    Exercice 2 Montrer que la relation de prfrence lunanimit est

    un prordre (partiel)

    Exercice 3 Montrer que si est un prordre, est une relation

    dquivalence (rflexive, symtrique, transitive) et une relation

    dordre (antisymtrique, transitive)

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    25

    Le modle ordinal : le prordre complet (cont.)

    Un prordre dfini donc un ordre sur les classes dquivalencedes ex-quo possibles.

    Un prordre complet dfinit un ordre total sur les classesdquivalence (on peut ranger).

    Modle ordinal prordre complet sur les alternatives

    Un critre ordinal peut tre reprsent par une fonctiong : A N

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 26

    Le modle cardinal

    Dfinition [critre numrique cardinal] Un critre cardinal estune fonction g : A R

    Par rapport au modle ordinal (qui peut aussi tre reprsentnumriquement), le modle cardinal permet dexploiter desdiffrences dintensits entre prfrences. On suppose uneinformation riche.

    Un critre cardinal induit une relation de prfrence ordinale:a b g(a) g(b) (si maximisation)

    Exercice 4 Le prouver.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    27

    Reprsentation des prfrences: en bref

    Trois principaux modles pour exprimer des prfrences :

    le modle relationnel

    modles acceptant lincomparabilit : Paretodominance, surclassement

    modles acceptant lintransitivit: quasicritres,dcision la majorit

    le modle ordinal = modle relationnel + compltude +transitivit

    le modle cardinal = information ordinale + intensitscardinales

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 28

    On fait lhypothse simplificatrice que les prfrences sont localesreprsentes par des critres numriques, ordinaux oucardinaux, ( maximiser, par convention)

    gi : A 7 R, i = 1, n

    Problme de classement: synthtiser la prfrence globale dudcideur (g) qui en dcoule.

    Problme de slection: slectionner une alternative prfre ausens de g.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    29

    Hypothse simplificatrice (cont)

    Puisque les prfrences locales sont des critres numriquesgi : A 7 Ri R, i = 1, n ...

    ... tout a correspond un vecteur g1(a), g2(a), . . . gn(a) desvaleurs de a sur les critres, quon appelle profil de a.

    On le note par convention a = a1, a2, . . . , an, avec ai = gi(a)

    ... on peut passer de lespace des alternatives lespace desprofils: on travaille maintenant sur A = R1 Rn

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 30

    2.2 Quelques principes de base pour une rgle de

    dcision

    Le principe duniversalit: pour toute paire a, b A, on doitpouvoir dcider si a g b ou non.

    Le principe dunanimit: si a est au moins aussi bon que b surtous les critres, alors il faut que a g b

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    31

    Pareto-unanimit

    Pareto : conomiste, premire rfrence historique la dcisionmulticritre (1896).

    Dfinition [dominance faible]

    a domine faiblement bdef i, ai bi

    Dfinition [Principe dunanimit] g satisfait le principedunanimit si et seulement si, si a domine faiblement b alorsa g b.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 32

    2.2 Quelques principes de base pour une rgle de

    dcision

    Le principe duniversalit: pour toute paire a, b A, on doitpouvoir dcider si a g b ou non.

    Le principe dunanimit: si a est au moins aussi bon que b surtous les critres, alors il faut que a g b

    Le principe defficacit: a est au moins aussi bon que b sur tousles critres et meilleur sur certaines (a "domine" b), alors il fautque a g b

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    33

    Pareto-optimalit et efficacit

    Dfinition [dominance (forte)]

    a domine bdef i, ai bi et i, a >i b

    Dfinition [Principe defficacit] : g satisfait le principedefficacit si et seulement si, si a domine b alors a g b.

    Dfinition [Pareto-optimalit] Une alternative a est ditePareto-optimale si elle nest domine par aucune autre.

    Une alternative Pareto-optimale ne peut tre amliore au regard duncritre sans la dtriorer pour un autre.

    Slection: rechercher uniquement des Pareto optimales

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 34

    2.2 Quelques principes de base pour une rgle de

    dcision

    Le principe duniversalit: pour toute paire a, b A, on doitpouvoir dcider si a g b ou non.

    Le principe dunanimit: si a est au moins aussi bon que b surtous les critres, alors il faut que a g b

    Le principe defficacit: a est au moins aussi bon que b sur tousles critres et meilleur sur certaines (a "domine" b), alors il fautque a g b

    Le principe dindpendance prfrentielle (ou "sparabilit"): laprfrence entre a et b ne dpend pas des critres sur lesquelsa et b reoivent la mme valuation.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    35

    Principe dindpendance prfrentielle mutuelle(ou "sparabilit")

    Assure que les dcisions sont cohrentes "toutes choses galespar ailleurs"

    Dfinition [] g satisfait le principe de sparabilit ssi, quel quesoit I X , quels que soient a, b, c, d Rn:

    aIc g bIc aId g bId

    o xIy dsigne le profil t tel que ti = xi si i I , ti = yi sinon.

    Informellement, la prfrence globale entre deux alternativesne dpend pas des critres qui ne les dpartagent pas.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 36

    Exemple du tlviseur [Vincke]

    a b c d

    - prix -1000 -800 -1000 -800

    critres image 5 4 5 4

    son 5 5 3 3

    SAV 4 4 5 5

    Le principe de sparabilit dit que, si le dcideur prfre a b,alors il prfre c d (et rciproquement)

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    37

    Exercices

    Exercice 5 Montrer que :

    est asymtrique : a b implique non b a

    est irrflexive : non a a

    est rflexive : a a

    est symtrique : a b implique b a

    est irrflexive : non a a

    est symtrique : a b implique b a

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 38

    Exercice 6 On dfinit gnralement ,, depuis :

    a b a b et non b a

    a b a b et b a

    a b non a b et non b a

    On pourrait inversement partir de deux relations exclusives

    (asymtrique) et (rflexive, symtrique) et poser:

    a bdef a b ou a b

    Montrer que dfinie partir de et est rflexive.

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

    39

    Exercice 7 Montrer que toute relation de prfrence globale qui est

    transitive, sparable et satisfait le principe de projection des chelles:

    a, b, c,h,i : ai i bi ai{i}h bi{i}h

    satisfait aussi le principe defficacit

    ISAE Dcision Multi critres 2.PRINCIPES BE BASE

  • 40

    3. Agrgation multi critre

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    41

    3.1 Introduction

    Types dapproches

    Agrger puis comparer: calculer une note globale pourchaque alternative, puis prfrer celle qui obtient lameilleure (ce chapitre)

    Comparaison par paires: tablir la prfrence entre deuxalternatives en fonction des degrs de surclassementobtenus sur chaque critre (chapitre suivant)

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 42

    Principe de base

    La relation de prfrence globale est donne par un critrecardinal global h : A R obtenu par agrgation des critresnumriques par une fonction dagrgation f : Rn R.

    Le critre cardinal global est dfini par

    h(a) = f(a1, . . . , an).

    "Agrger puis comparer" : a g b h(a) h(b)

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    43

    Proprits des approches par fonction dagrgation

    a g b f(a1, . . . , an) f(b1, . . . , bn)

    La relation de prfrence globale est forcment un prordretotal.

    Le principe dunanimit exige que f soit monotone croissante.

    Le principe defficacit exige que f soit monotone strictementcroissante.

    Selon les fonctions dagrgation, les principes defficacit et desparabilit peuvent tre ou non satisfaits

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 44

    3.2 Fonctions dagrgation additives

    h(a) =ni=1

    ui(ai)

    avec ui monotones strictement croissantes (ui: fcts. dutilit)

    Cas particulier de la combinaison linaire des critres(ou somme pondre): ui(ai) = i . ai

    h(a) =i

    i . ai, i > 0

    Exercice 8 Montrer que le maximum dune fonction dagrgation

    additive correspond des alternatives Pareto-optimales.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    45

    Sparabilit

    = cohrence des dcisions toutes choses gales par ailleurs.

    Proprit Les fonctions dagrgation additives satisfont leprincipe de sparabilit.

    Exercice 9 Le dmontrer

    Thorme (Debreu 1960) Si A est connexe, sparable etordonn w.r.t. g, alors il existe une fonction dagrgationadditive reprsentant la relation g.

    Inversement, si g nest pas sparable, aucune fonctiondagrgation additive ne peut la reprsenter.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 46

    Le cas particulier de la somme pondre

    u(a) =i=1,n

    wi ai, wi > 0

    Interprtation des poids wi ? un point dlicat :

    les poids wi reprsentent des taux de substitutionentre critres (w1 = bw2 signifie (0, b, ....) (1, 0, ......)))plutt quune importance

    vhicule lide de compensations possibles entre critres -(ab) (a , b+ ) : le gain de compense la perde de .

    suppose implicitement que tous les critres peuventsexprimer indirectement dans la mme unit (euros,secondes, ...) : pb. de normalisation des chelles

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    47

    Somme pondre : critique 2)

    limine des alternatives Pareto-optimalesqui peuvent tre intressantes car quilibres et peut doncfavoriser des alternatives extrmes.

    wi a b c

    g1 0.5 20 5 12

    g2 0.5 5 20 12

    Les deux alternatives extrmes a et b sont considresquivalentes, et meilleures que lalternative quilibre c.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 48

    Somme pondre : critique 3)

    Une faible variation des poids peut entraner de grandesconsquences sur la prfrence globale.

    wi a b c

    g1 0.499 20 5 12

    g2 0.501 5 20 12

    Le jeu de poids 0.499, 0.501 entrane b a, mais le jeu0.501, 0.499 entrane a b.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    49

    3.3 La fonction min

    h(a) = miniui(ai)

    On cherche maximiser le critre le moins satisfait.

    Contrairement aux agrgations additives, elle est adapte auxcritres ordinaux comme aux critres cardinaux.

    Utilis plutt en dcision cooprative (ex: des allocationsmontaires aux agents) :maximiser la satisfaction de lagent lemoins satisfait

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 50

    Sparabilit

    Loprateur min ne distingue pas entre les profils dont lesminimaux sont gaux. Exemple : 4, 2, 3, 2 et 2, 4, 2, 2 sontindistingus.

    Le min ne satisfait pas le principe de sparabilit: 5, 4 5, 3mais 2, 4 2, 3

    Le principe defficacit nest pas respect non plus : 2, 4 2, 3

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    51

    Un raffinement du min : le leximin

    Rattraper le faible pouvoir de dcision du min en raffinantlordre quil propose.

    Lide est donc dter les paires dutilits minimum galesavant de prendre le min, jusqu ce quils soient diffrents.

    Ici : 4, 2, 3, 2 : 2, 4, 2, 2 4, 3, 2 : 4, 2, 2 4, 3 : 4, 2.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 52

    Le leximin (2)

    Ordre leximin = tris non dcroissant des vecteurs,puis ordre lexicographique (inverse)

    Exemples :

    1, 2, 3, 4 =leximin 4, 2, 1, 3, car 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4

    4, 2, 3, 2 leximin 9, 2, 2, 2, car 2, 2, 3, 4 prcde 2, 2, 2, 9dans lordre lexicographique inverse

    Lordre leximin raffine lordre induit par le min :

    v min u v leximin u

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    53

    3.5 Lintgrale de Choquet

    Le principe de sparabilit est loin tre respect lorsque lonobserve des dcideurs en situation

    Il est battu en brche lorsquil y a des interactions entre critres(redondances, oppositions)

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 54

    Un contre exemple la sparabilit

    alternatives = clubs de tenniscritres = quipements: tennis,sauna, hammam, tir larc

    Critres

    sauna hammam arc tennis

    Cat non non OUI oui

    Alternatives Cht non OUI non oui

    Cats oui non OUI oui

    Chts oui OUI non oui

    La plupart des gens prfrent Cht Cat, mais Cats Chts. Lasparabilit nest pas respecte

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    55

    Mesure floue

    Il faut exprimer explicitement limportance des combinaisonsde critres.

    Dfinition [Mesure floue] Une mesure floue sur X est unefonction : 2X [0, 1], avec

    (X) = 1,

    () = 0,

    S T = (S) (T )(monotonie)

    (tend la notion de poids un sous-ensemble de critres)

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 56

    Mesure floue (cont.)

    Sur lexemple:

    ({ten.}) = 0.6, ({ten.} A) = 0.6 + (A) (A t.q. ten. / A)

    ({arc}) = 0.1, ({arc} A) = 0.1 + (A) (A t.q. arc / A)

    ({sauna}) = 0.25, ({sauna, ham.}) = 0.3

    ({ham.}) = 0.25

    Donc, ({sauna, arc}) = 0.35 alors que ({sauna, ham.}) = 0.3,et ce bien que "arc" soit un critre bien moins prioritaire que"hammam"

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    57

    Extension de la somme pondre aux critres

    dependants : Intgrale de Choquet

    Comment calculer une utilit agregge partir dune fonction dutilit u etdune capacit sur les critres ? Retournons dabord sur le cas de lasomme pondre

    Ex: 3 critres, hyp. (non restrictive) : u(a3) u(a2) u(a1))

    h(a) = u(a3).w3 + u(a2).w2 + u(a1).w1

    h(a) = u(a1) . (w3 + w2 + w1)

    + (u(a2) u(a1))) . (w3 + w2)

    + (u(a3) u(a2)) . (w3)

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 58

    Extension de la somme pondre aux critres

    dependants : Intgrale de Choquet

    Pour une capacit additive ((A) = iA({i})):

    Maximiser j=m...1(j j1) . (Aj)

    Avec L = m > > 1 et Aj = {i, u(ai) j}

    Pour une capacit quelconque

    Maximiser Ch((a1, . . . , an)) =

    j=m...1(j j1) . (Aj)

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    59

    Lintgrale de Choquet

    Scruter la dcision par niveau de satisfaction i, croissant.

    Au niveau de satisfaction de plus bas (1) : soutien deA1 = S - force (S) = 1

    Pour chaque increment dutilit i i1, i = 2,m, soutien :Ai = {j, u(aj) i},

    Utilit pondre pour lincrement i i1 :(i i1) (Ai)

    A sommer sur tous les increments de satisfaction:Ch((a1, . . . , an)) = 1 . (A1) + i=2,m(i i1) . (Ai)

    Pour retrouver les moyenne pondres, poser (A) = jA({j})

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  • 60

    Lintgrale de Choquet (cont.)

    Avec 1 = non (u(non) = 0) et 2 = oui (u(oui) = 1)

    C(Cat) = 0 ({ham., ten., sauna, arc}) + (1 0) ({arc, ten.})

    = ({arc, ten.}) = 0.7

    C(Cht) = 0 ({ham., ten., sauna, arc}) + (1 0) ({ham., ten.})

    = ({ham., ten.}) = 0.85

    C(Cats) = 0 ({ham., ten., sauna, arc}) + (1 0) ({arc, ten., sauna})

    = ({arc, ten., sauna}) = 0.95

    C(Chts) = 0 ({ham., ten., sauna, arc}) + (1 0) ({ham, ten., sauna}

    = ({ham, ten., sauna}) = 0.9

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    61

    Lintgrale de Choquet (cont.)

    Le min est une intgrale de Choquet particulire

    Exercice 10 Le montrer

    Plus gnralement, on peut montrer que les moyennespondres ordonnes sont des intgrales de Choquetparticulires.

    En fait, les intgrales de Choquet recouvrent toute une gammede compromis entre le min et le max, en passant par lesmoyennes pondres et la mdiane.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 62

    3.6 Utilisation des approches agregatives

    thorie de lutilit multi attribut

    On ne connait pas au dpart les critres du dcideur, maissimplement lespace des vecteurs dattributs A = A1 An.

    Le dcideur ne peut pas exprimer toute sa relation deprfrence sur A.

    Le problme: Essayer, en fonction des proprits souhaites dela rgle de dcision et dexemples de deviner et calibrer la rglede dcision ("Thorie du Mesurage Conjoint"). Puis lutiliser ensituation de dcision.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    63

    Lutilit multiattribut

    Cest LE modle standard, traditionnel, appel aussi modle ditde lcole amricaine . Ref: R. L. Keeney and H. Raiffa, 1976:Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs.

    Hypothse fondamentale : La relation de prfrence globaleg est un prordre total, donc

    il existe un critre global u : A R, (fonction dutilit globale)avec

    a b u(a) u(b)

    Cette relation est pr-existante mais cache. Le rle dunemthode daide la dcision est de rvler cette relation.

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  • 64

    Lutilit multiattribut (cont.)

    Autres hypothses :

    les prfrences sur les points de vue sexpriment par desattributs numriques (utilits) g1, g2, . . . , gn

    lutilit globale ne dpend que des critres, est donne parune fonction dagrgation :u(a) = f(a1, a2, . . . , an) avec ai = gi(a).

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

    65

    Lutilit multiattribut cas sparable

    Lorsquon admet la sparabilit des critres, on se tourne(quasi) forcment vers un modle additif (Debreu)

    u(a) =

    i=1,n ui(ai) avec ui monotones strictementcroissantes

    La question essentielle reste donc de trouver les ui.Principales voies :

    1. apprentissage des ui par points partir dune basedalternatives values sur tous les critres et classesglobalement. Dans cette voie : mthode UTA, logicielUTA+

    2. recherche de courbes iso-prfrence.

    ISAE Dcision Multi critres 3. AGRGATION MULTI CRITRE

  • 66

    Cas non sparable

    Lorsque

    la proprit de sparabilit nest pas vrifie

    on cherche exprimer des synergies entre critres

    Se tourner plutt vers des fonction dagrgation non additives :

    des fonctions simples commeu(a) = [u1(a1) + u2(a2)] u3(a3)

    les moyennes pondres ordonnes (OWA)

    les intgrales de Choquet

    A paramtrer correctement (liciter les poids ou plusgnralement la mesure floue .....)

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    67

    Exercice 11 Montrer que lordre leximin est un prordre complet et

    respecte le principe defficacit.

    Exercice 12 Imaginez un exemple raliste dune situation de

    dcision multicritre pour laquelle la proprit de sparabilit des

    critres nest pas vrifie.

    1. Donnez pour votre exemple (1) le tableau alternatives / critres

    habituel, (2) les prfrences globales du dcideur sur les

    alternatives, et montrez pourquoi la proprit nest pas vrifie.

    2. Quelle consquence majeure cela a-t-il sur lexpression de

    relation de prfrence globale du dcideur ?

    3. Sur votre exemple, imaginez une fonction dutilit globale,

    agrgeant les critres, capable dexprimer les prfrences globales.

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  • 68

    Exercice 13 (prfrence globale lexicographique) On se donne

    un ordre total (un classement sans ex-aequos) sur les critres,

    reprsentant leur importance.

    Soit deux alternatives a et b. Si on peut dcider laquelle est la

    meilleure au regard du premier critre seul (le plus important), alors

    on ne tient pas compte des autres. Sinon, cest que ces alternatives

    sont indiscernables au regard du premier critre. On cherche alors trancher entre celles-ci laide du second critre, ... et ainsi de suite.

    Questions :

    1) exprimer formellement la relation de prfrence globale.

    2) est-ce bien un prordre complet ? est t il sparable ? efficace ?

    3) On supposera que les domaines des critres sont finis. laborer uncritre cardinal global reprsentant la relation de prfrence globale.

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    69

    4. Mthodes de

    surclassement

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

  • 70

    4.1 Introduction

    Lapproche par fonctions dagrgation procde par rductiondune logique multicritre au cas monocritre, au prix dhypothsesextrmement restrictives

    Dans le monde rel

    les critres ne sont pas sparables

    les chelles des diffrents critres ne sont pascommensurables (unit commune ?)

    lindiffrence nest pas transitive

    lindiffrence (on peut choisir au hasard) est diffrente delincomparabilit (incapacit choisir si critres en conflit)

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

    71

    Rsum de la dmarche

    Contrairement au modle traditionnel, on ne prsuppose pasquune relation de prfrence sur les dcisions soit totale, nitransitive, ni mme quelle pr-existe.

    Laide la dcision multicritre est plutt considre commeun processus dlaboration dune structure de prfrences.

    Recherche dun compromis entre

    la relation de dominance au sens de Pareto, juge troppauvre,

    et une relation dordre total dcoulant dune agrgationjuge trop arbitraire et rductrice (finalement, cest dumonocritre).

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

  • 72

    Exemple: la mthode interactive "STEM"

    Aider lutilisateur se dplacer dans lespace des alternatives.

    Par exemple, optimiser sur deux critres =

    1. Optimiser sur le premier, puis sur le second (ex:maximiser h(a) = g1(a) + g2(a) avec grand)

    2. Demander lutilisateur de combien il peut en rabattresur C1 : poser une contrainte g1(a) sur C1 et optimisersur C2

    3,4,5,... : On recommence : Demander lutilisateur decombien il peut en rabattre sur C2 et optimiser sur C1, etc.

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

    73

    Mthodes de surclassement (outranking)

    Une mthode de surclassement cherche tablir et explorerune relation de surclassement.

    aSbdef il existe suffisamment darguments pour admettreque a est au moins aussi bonne que b, sans quil y ait de raisonimportante de refuser cette affirmation.

    Deux tapes :

    la construction de la relation de surclassement (pasforcement transitive ni quasi transitive)

    son exploitation: en extraire un "noyau" de bonnesalternatives

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

  • 74

    4.2 Construction dune relation de

    surclassement

    La dmarche : on compare (phase 1) puis on agrge (phase 2)

    Phase 1 : les alternatives sont compares par paires (a, b),

    Pour chaque critre i, une fonction i : R R R, tablit ledegr de surclassement de a sur b:

    On obtient n indices i(ai, bi)

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

    75

    Construction dune relation de surclassement

    (cont.)

    Phase 1 n indices i(ai, bi)

    Phase 2 : on agrge les rsultats des comparaisonspar une fonction : Rn Rce qui dcide de la prfrence globale :

    aSb

    (1

    (a1, b1

    ), . . . , n

    (an, bn

    )) 0

    En gnral cela donne une relation de prfrence globale quinest pas un prordre complet, donc pouvant tre difficile exploiter.

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  • 76

    Exemple: surclassement la majorit

    Exemple trs simple (majorit relative, mthode de Condorcet)

    i(x, y) = 1 si x >i y,

    i(x, y) = 0 si x =i y,

    i(x, y) = 1 si x

  • 78

    Dtermination du noyau

    Tout graphe sans circuit admet un noyau unique.Un graphe avec circuits admet 0, 1 ou plusieurs noyaux.

    Le problme gnral de dcider si un graphe possde un noyaude moins de k nuds est NP-complet (dc on ne connat pasdautres algorithmes que croissant exponentiellelement avec lataille des donnes).

    Ce problme nadmet pas dalgorithme dapproximationpolynmial.

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    79

    4.4 Un exemple historique :

    la mthode ELECTRE I

    (Roy, 1968), la plus ancienne mais bien reprsentative.

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  • 80

    ELECTRE I : dfinition de la relation de

    surclassement

    on attribue chaque critre gi un seuil dindiffrence i etun poids pi refltant son importance (avec

    i pi = 1)

    matrice de concordance : on calcule pour chaque pairedalternatives (a, b) le nombre

    c(a, b) =

    i:ai+ibi

    pi

    Le nombre c(a, b) est un rel entre 0 et 1 ; il rsume laforce des arguments qui ne sopposent pas aSb , par unesorte de vote pondr.

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    81

    ELECTRE I : dfinition de la relation de veto

    on attribue chaque critre gi un seuil de veto vi

    matrice de veto : on calcule pour chaque paire dalternatives(a, b) le nombre

    d(a, b) = 1 si i, bi > ai + vi, d(a, b) = 0 sinon

    d(a, b) = 1 veto sur la prfrence aSb car b est bienmeilleur que a sur un critre au moins i

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  • 82

    ELECTRE I : dfinition de la relation de

    surclassement

    Finalement:

    on se fixe un seuil de concordance avec 0 < 1

    on dfinit

    aSb def c(a, b) et d(a, b) 6= 1

    Exercice 15 Exprimer la relation de surclassement de la mthodeELECTRE I dans le modle gnral des relations de surclassement.

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

    83

    ELECTRE Is : dfinition du Noyau et +

    Tout graphe sans circuit admet un noyau unique.

    Ide : supprimer les cycles dans S en condensant les classesdquivalence et supprimant des artes (selon une matrice derobustesse)

    En gnral on revient ensuite la phase 1 et on essaiedautres seuils de concordance, voire dautres poids (analyse desensibilit), afin de conforter les opinions.

    Logiciels associs bureau dtude.

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  • 84

    Autres mthodes ELECTRE

    ELECTRE-1, ELECTRE-1S choix dune ou de quelquesalternatives

    ELECTRE-TRI tri (dans des classes prdfinies)

    ELECTRE III et IV rangement (prordre)

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    85

    Exercices

    Exercice 16 Soit la proprit de monotonie suivante :

    a, b :(j : gj(a) gj(b) et i 6= j : gi(a) = gi(b)

    )implique aSb

    Quelles exigences sur les et i peuvent traduire cette hypothse ?

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  • 86

    Exercice 17 Un cabinet de recrutement fait subir 3 tests aux 6candidats un poste. Ces tests concernent les points de vue suivants:lvaluation des comptences (critre g1), la culture gnrale (critreg2) et la motivation (critre g3). Chaque test est not sur une chellede 0 20. Les rsultats sont les suivants

    candidats

    A B C D E F

    g1 16 10 18 18 16 6

    critres g2 14 18 12 4 10 14

    g3 16 12 6 20 12 18

    On considre que le critre de comptence est primordial (poids relatif0.6), le critre de motivation deux fois moins important (poids relatif0.3) et le critre de culture gnrale secondaire (poids relatif 0.1).

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

    87

    Quels sont les alternatives pareto efficaces

    Quelles seraient les meilleurs candidats au sens de la sommepondre

    candidats

    A B C D E F

    g1 16 10 18 18 16 6

    critres g2 14 18 12 4 10 14

    g3 16 12 6 20 12 18

    Comptence: 0.6; motivation : 0.3 ; culture gnrale : 0.1.

    Etablir la matrice de concordance (pour chacun des critres, onprend un seuil dindiffrence egal 3) et la matrice de vto (seuilde vto gal 9). On rappelle que c(a, b) = j:aj+qjbjpj et

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

  • 88

    d(a, b) = 1 si j, aj + vj < bj , d(a, b) = 0 sinon.

    Etablir la relation de surclassement pour un seuil 1correspondant aux conditions les plus svres. Extraire le noyau.

    Dterminer un ou deux autres seuil(s) offrant une relation plusriche sans pour autant introduire de cycle. Quel serait daprscette analyse le meilleur candidat ?

    Comparer les resultats obtenus par les deux mthodes (sommepondre et surclassement)

    ISAE Dcision Multi critres 4. MTHODES DE SURCLASSEMENT

    89

    5. Conclusion: loptimisation

    multicritre en pratique

    ISAE Dcision Multi critres 5. CONCLUSION: LOPTIMISATION MULTICRITRE EN PRATIQUE

  • 90

    Loptimisation multicritre en pratique

    Problmatiques essentielles:

    Quelles sont les proprits souhaitables/intressantes de larelation de prfrence globale ? monotonie, sparabilit des critres, compltude,transitivit, compensation possibles entre critres

    Lorsque cest possible (hypothses fortes) se tourner versun approche agrgative:

    Quelle est la bonne fonction dagrgation ? comment la paramtrer (ex: utilit multi attribut) ?

    ISAE Dcision Multi critres 5. CONCLUSION: LOPTIMISATION MULTICRITRE EN PRATIQUE

    91

    Le modle additif ou non ?

    Le modle additif fait des hypothses fortes : compltude,commensurabilit donc compensations possibles entre points devue, sparabilit, transitivit

    Il convient bien pour les applications de type

    technique (critres quantitatifs mesurables objectivement)

    rptitif dans le temps

    Les modles non additifs : pour prendre en compte desinteractions entre critres (synergies, non-sparabilit), la noncommensurabilit, lordinalit des valuations

    ISAE Dcision Multi critres 5. CONCLUSION: LOPTIMISATION MULTICRITRE EN PRATIQUE

  • 92

    Approches constructives

    Approches constructives: "fonder progressivement une convictionplutt que de rvler un optimum ou une prfrence pr-existante

    On ne prsuppose pas quune relation de prfrence sur lesdcisions soit totale, ni transitive, ni mme quelle pr-existe.

    Laide la dcision multicritre est plutt considre commeun processus dlaboration dune structure de prfrences.

    ISAE Dcision Multi critres 5. CONCLUSION: LOPTIMISATION MULTICRITRE EN PRATIQUE

    93

    Optimiser sur un espace combinatoire

    Approches agregatives simples (critres indpendants)

    Programmation par contraintes, contraintes values

    Critres dpendants: Choquet en programmation parcontraintes (a commence)

    Mthodes de surclassement: plus dur, il faut comparer unnombre exponentiel de paires

    Mais on peut toutefois garder laspect interactif (ex:STEM)

    ISAE Dcision Multi critres 5. CONCLUSION: LOPTIMISATION MULTICRITRE EN PRATIQUE

  • Decision Multicrite`re Exercices corriges

    3e`me annee ISAE

    Hele`ne Fargier

    2009-2010

    1 Choix dune automobile

    On considere le proble`me de choix dune automobile suivant :

    alternativesCitroen Peugeot Renault Ford

    prix (1000 ) 22 20 21 16crite`res consommation 7.1 7.0 7.2 7.8

    puissance (kW) 55 65 58 55type essence gpl gpl diesel

    Avec gpl > essence, diesel ; minimiser prix et consommation, maximiser performanceQuelles sont les meilleures solutions ? Que dire si on ne tient compte que des crite`res prix et consom-

    mation ?Representer les alternatives dans lespace de ces deux crite`res.

    Si lon compare les alternatives sur les 4 crite`res : Peugeot domine Renault (consomption plus faible,plus puissante et moins cher pour le meme type de moteur). Elle domine egalement Citroen. En revanche,elle ne domine pas Ford. Ford ne domine ni nest dominee par aucune autre alternative. Peugeot et Fordsont appelees decisions efficaces ou Pareto-optimales. Ce sont les deux meilleures solutions

    Meme resultat si lon ne prend en compte que les crite`res consommation et prix :C et R sont dominees par P (moins bonnes sur les deux crite`res. Elles peuvent donc etre rejetees a

    priori.

    2 Preference a` lunanimite

    Montrer que la relation de preference a` lunanimite est un preordre (partiel)

    On montre facilement a` partir de sa definition que la relation de preference globale a` lunanimite quela reflexivite des preferences locales ( i, ai i ai) entrane celle de la relation globale.

    Pour la transitivite, on suppose que a Una b et b Una c, i.e. par definition, i, ai Una bi eti, bi Una ci. Donc i, ai Una bi et bi Una ci. Par transitivite des i, cela donne i, ai i ci. Donci, a Una c. a Una est transitive.

    Reflexive et transitive, Una est un preordre.Il est partiel (pas complet) : on peut exhiber un cas dincomparabilite, e.g. sur lexemple du choix

    dautomobiles.

    3 Decompositions dun preordre

    Montrer que si est un preordre, est une relation dequivalence (reflexive, symetrique, transitive)et une relation dordre (antisymetrique, transitive)

    est reflexive parce que lest. est symetrique : supposons a b. Par definition on a a betb a ce qui est aussi la definitionde b a.

    1

  • est transitive : a b et b c secrit a b et b c et b a et c b. Par transitivite de , celadonne a c et c a donc a c.

    est irreflexive : a a est par definition a aetnona a ce qui est impossible. Donc non(a a). est transitive : supposons a b et b c. On a donc les assertions suivantes : a b, non(b a),b c, non(c b). De la` nous tirons que a c par transitivite de .Pour montrer maintenant que non(c a), supposons que cela soit : c a. Par transitivite de ,avec a b, nous tirons c b, ce qui est en contradiction avec non(c b). Donc on a non(c a).Mais nous avions montre a c, ce qui, avec non(c a), secrit a c et termine la demonstration.

    Supposons a b. On doit montrer que est asymetrique, cest-a`-dire non(b a). Supposons quecela soit, cest-a`-dire b a. Par la transitivite on tire a a, en contradiction avec lirreflexibilitedemontree plus haut. G est donc asymetrique.

    4 Relation de preference induite par un crite`re numerique

    Montrer quun crite`re cardinal induit une relation de preference ordinale : a b g(a) g(b) (simaximisation)

    On pose a b g(a) g(b)et on montre les proprietes de ainsi definie :

    est vide :Evident : on a soit g(a) > g(b) soit g(b) > g(a), soit g(a) = g(b), et jamais impossibilite de comparer.

    est complete (ou comple`te) : a b ou b a pour tout aetb Aparce que est vide

    et sont transitives :Evident : par transitivite de > et =

    et donc = est reflexive et transitive (cest un preordre) est reflexive parce que lest. est transitive parce que et le sont.

    5 Decomposition dune relation de preference quelconque

    Soit une relation de preference. Montrer que : est asymetrique : a b implique non b a est irreflexive : non a a est reflexive : a a est symetrique : a b implique b a est irreflexive : non a a est symetrique : a b implique b a

    Trivial a partir des definitions

    6 Definition dune relation a` partir de ses parties stricte et as-

    symetrique

    On definit generalement ,, depuis :a b a b et non b aa b a b et b aa b non a b et non b a

    On pourrait inversement partir de deux relations exclusives (asymetrique) et (reflexive, symetrique)et poser :

    a b a bmbox ou a b

    Montrer que definie a` partir de et est reflexive.

    2

  • Evident : a a donc a a

    7 Relation de preference a` lunanimite

    Montrer que toute relation de preference globale qui est transitive, separable et satisfait le principe deprojection des echelles :

    a, b, c,h,i : ai i bi ai{i}h bi{i}h

    satisfait aussi le principe defficacite

    Se demontre par recurrence sur le nombre de crite`res ou` ai i bi.

    Cas 1 : Si pour tous les crite`res sauf un, aj = bj (sur ces crite`res, les deux vecteurs sont iden-tiques), et que sur le dernier crite`re, disons i, ai i bi. Le principe de projection des echelles assure queai{i}h bi{i}h, en posant h = a = b, cela donne ai{i}a bi{i}b, i.e. a b.

    Cas m + 1 : Supposons que , quels que soient a et b, si sur tous crite`res sauf m, aj = bj et que sur lesm autres crite`res ai i bi, alors a b.

    On choisit maintenant a et b tels que, sur tous crite`res sauf m+1, aj = bj et que sur les m+1 autrescrite`res ai i bi. On note j lun des crite`res ou` ai i bi. Par recurrence, a{j}a a{j}b et a` cause duprincipe de projection a{j}b b{j}b. Par transitivite, a{j}a b{j}b, i.e. a b

    8 Aggregation additive et Pareto optimalite

    Montrer que le maximum dune fonction dagregation additive correspond a` des alternatives Pareto-optimales.

    Rappel : une fonction dagregation additive est de la forme h(a) =n

    i=1 fi(ai) ou` les fi sont desfonctions monotones strictement croissantes.

    Soit a une alternative maximisant sur A la fonction h(a), et supposons que cette alternative ne soitpas Pareto optimale. Il existe donc une alternative a qui la domine, et donc :

    i : ai ai , et i : a

    i > a

    i

    Utilisons maintenant le fait que les fonctions fi sont monotones strictement croissantes par definition :

    i : fi(ai) fi(a

    i ), et i : fi(a

    i) > fi(a

    i )

    et doncni=1

    fi(ai) >

    ni=1

    fi(ai ),

    dou` une contradiction puisque a ne maximiserait pas h(a).

    9 Separabilite des methodes dagregation additives

    Montrer que les relations de preference definies par de es fonctions dagregation additives satisfont leprincipe de separabilite.

    Soient a, b, c trois alternatives et V un ensemble de crite`res tels que aV c bV c au sens dune agregationadditive, i.e. iV fi(ai) + i/V fi(ci) iV fi(bi) + i/V fi(ci). Ceci est logiquement equivalent a`iV fi(ai) iV fi(bi), cette dernie`re inegalite etant elle meme equivalente a` iV fi(ai)+i/V fi(di) iV fi(bi) + i/V fi(di), quel que soit lalternative d. Donc aV c bV c est logiquement equivalent a`aV d bV d.

    3

  • 10 Le min comme integrale de Choquet

    Montrer que le min est une integrale de Choquet particulie`re

    Pour exprimer le min par une integrale de Choquet, on pose (S) = 1, (A) = 0A 6= S.Pour exprimer un OWA quelconque par une integrale de Choquet, poser (A) = i=nCard(A)+1,nwiVoir : M. Grabisch, On equivalence classes of fuzzy connectives : The case of fuzzy integrals. IEEE

    Transactions on Fuzzy Systems 3 1 (1995), pages 96 a` 109.

    11 Le leximin et le principe defficacite

    Montrer que lordre leximin est un preordre complet et respecte le principe defficacite.

    Lordre leximin est complet car on peut toujours comparer lexicographiquement (ordre du diction-naire) deux vecteurs. Il est reflexif car lordre lexicographique sur les vecteurs est reflexif.

    Supposons que a leximin b et b leximin c.Si on a deux indifferences, cest que les trois vecteurs sont identiques a` une permutation pre`s ; une fois

    ranges ils sont donc equivalent pour lordre lexicographique. Donc ils sont equivalents pour le leximin.Si a leximin b et b leximin c, cela signifie que, jusqua` une composante i

    les vecteurs classescorrespondant a` a et a` b, notes a et bsont identiques, et quen i, ai > b

    i . De la meme facon, jusqua`

    une composante j les vecteurs classes correspondant a` b et a` c, sont identiques, et quen j, bj > bj .

    Soit k = min(i, j). Jusquen k, les trois vecteurs classes sont identiques ; en k, soit ak > bk et

    bk = ck , soit ak = b

    k et b

    k > ck . Donc en k

    ak > ck . Les vecteurs classes a et c etant identiques

    jusquen k, avec de plus ak > ck , on a par definition a leximin c.Pour prouver le principe defficacite, prenons a et b tels que a domine b au sens de Pareto (sens fort).

    a leximin b est impossible car les deux vecteurs classes sont different du fait de la dominance. Consideronsles deux vecteurs classes, et supposons que b leximin a. Cela signifie quil existe une composante desvecteurs classes tels que ai < b

    i et j < i, a

    j = b

    j .

    Soit k le crite`re qui fournit ai ; sur ce crite`re, ak bk, puisque a domine b au sens de Pareto parhypothe`se . Ce crite`re bk ne peut pas apparaitre dans les vecteur classe b

    apre`s le rang i car toutes lesnotes a partir du rang i sont superieurs ou egales a` bi et b

    i > a

    i = ak.

    On fait le meme raisonnement pour tous les crite`res qui fournissent les aj , j < i : aucun dentre deuxne peut pas apparaitre dans les vecteur classe b apre`s le rang i.

    Soient donc i+ 1 notes a apparatre avant le rang i, ce qui est impossible.

    12 Un contre exemple a` la separabilite

    Imaginez un exemple realiste dune situation de decision multicrite`re pour laquelle la propriete deseparabilite des crite`res nest pas verifiee.

    1. Donnez pour votre exemple (1) le tableau alternatives / crite`res habituel, (2) les preferences globalesdu decideur sur les alternatives, et montrez pourquoi la propriete nest pas verifiee.

    2. Quelle consequence majeure cela a-t-il sur lexpression de relation de preference globale du decideur ?

    3. Sur votre exemple, imaginez une fonction dutilite globale, agregeant les crite`res, capable dexprimerles preferences globales.

    On compare 4 types dautomobiles selon 3 crite`res : prix (en kE), consommation (en l/100 km), confort(note sur 20).

    alternativesa b c d

    g1 consommation -10 -9 -10 -9crite`res g2 confort 15 13 15 13

    g3 prix -10 -10 -30 -30g -35 -34 -40 -43

    On suppose que les preferences globales du decideur sont d c a b. Le decideur prefe`re b a` a(lorsque le prix est faible, il privilegie la consommation au confort), mais il prefe`re c a` d (lorsque le prixest eleve, il privilegie le confort a` la consommation).

    4

  • La consequence importante de la non-separabilite est que la preference globale ne peut pas etrerepresentee par une fonction dutilite qui soit une fonction dagregation additive sur les crite`res.

    Pour aller au plus simple, on va utiliser un crite`re global h le crite`re global defini par test sur lecrite`re cout (on aurait pu alternativement construire une integrale de Choquet) :

    si g3 < 20 : h = g1 + 2g2 + 2g3 si g3 20 : h = 3g1 + g2 + 2g3.

    Les valeurs de g sont representees dans le tableau ci-dessus. Elles permettent de representer les preferencesglobales : (x y) (h(x) < h(y))

    13 Preference globale lexicographique

    On se donne un ordre total (un classement sans ex-aequos) sur les crite`res, representant leur impor-tance.

    Soit deux alternatives a et b. Si on peut decider laquelle est la meilleure au regard du premier crite`reseul (le plus important), alors on ne tient pas compte des autres. Sinon, cest que ces alternatives sontindiscernables au regard du premier crite`re. On cherche alors a` trancher entre celles-ci a` laide du secondcrite`re, ... et ainsi de suite.

    Questions :1) exprimer formellement la relation de preference globale.2) est-ce bien un preordre complet ? est t il separable ? efficace ?3) On supposera que les domaines des crite`res sont finis. Elaborer un crite`re cardinal global representant

    la relation de preference globale.

    On classe les crite`res du moins important (petit indices) au plus important (gros indices).1) exprimer formellement la relation de preference globale. a b ssi existe un crite`re j tel que aj > bj et si ak = bk pour tous les crite`res k plus importantsque j, i.e. pour tout k > j.

    a b ssi ak = bk pour tout k. comme = .

    2) est-ce bien un preordre complet ? complete, forcement : si deux alternatives ont les meme evaluations sur tous les crite`res, elle sontjugees indifferente. Sinon, on conside`re le plus important des crite`res ou` les notes diffe`rent, et la` cecrite`re impose sa preference stricte.

    reflexif evident aussi car a a pour tout a, par definition transitif : est transitif, elle correspond a` lidentite des vecteurs. Soient a, b, c tel que a b etb c. Soit k le plus important des crite`res sur lesquels soient a diffe`re de b, soit b diffe`re de a. Surtous les crite`res plus importants, ai = bi = ci. En k, on a soit ak >k bk et bk k ck, soit ak k bk etbk >k ck ; dans les deux cas, par transitivite des preferences locale, ak > ck. Puisque ai = cii > ket ak > ck la definition induit a c. Donc est transitive. Puisque la relation est comple`te et queses deux composantes et sont transitives, elle est transitive.

    3) elaborer un crite`re numerique global representant la relation de preference globaleOn va chercher a` encoder la relation de preference globale par une somme ponderee.

    h(a) = iai . pi

    Pour y parvenir, il faut que les niveaux de preference sur chaque crite`re soient en nombre fini. Sup-posons quon sy rame`ne, avec par exemple N + 1 niveaux par crite`re, par exemple entre 0 et N (ceci sefait sans perte de generalite). Soit n le nombre de crite`res.

    Le cas le moins favorable pour une preference lexicographique a b est quand, sur le crite`re decisifk, ak bk = 1 et que sur tous les crite`res moins important que k, b est excellent (note N) et a mauvais(note 0).

    La traduction de a b par une somme ponderee exige que :

    i>kai . pi + ak . pk + 0 > i>kbi . pi + bk . pk +i

  • ak . pk + 0 > +bk . pk +i +bk . pk + (n 1)N.pk1k

    Soit (ak bk) . pk > (n 1)N.pk1k, i.e. pk > (n 1)N.pk1Il suffit alors que choisir les poids pk de manie`re a` respecter cette inequation. Par exemple pk = n

    k.Nk

    . En effet nkNk > (n 1).N.nk1.Nk1, puisque n 1.La somme ponderee choisie est donc celle ou` pour tout crite`re i, pi = n

    iN i (ou pi = M2i avec

    M = max(n,N)), les indices de crite`res devant etre dautant plus forts que le crite`re est important.En toute rigueur, il faut maintenant prouver que a est meilleur que b au sens lexicographique ssi a

    est meilleur que b au sens de cette somme ponderee. Il est evident que si a est indifferent a` b au senslexicographique, cest quil a les meme evaluations sur tous les crite`res et que donc il recoit la meme noteau sens de la somme ponderee. Maintenant, si a est strictement prefere a` b par la re`gle lexicographique,on utilise la condition elaboree plus haut pour montrer que cest egalement vrai en utilisant la sommeponderee.

    La relation etant comple`te, on en deduit que a lexicographique b au sens lexicographique ssi a sommepondereb.

    14 Le paradoxe de Condorcet

    Construire, selon la methode de classement a` la majorite, un exemple pour lequel la relation depreference nest pas transitive (paradoxe de Condorcet).

    Trois alternatives a, b, c.g1(a) = 3, g1(b) = 2, g1(c) = 1g2(a) = 2, g2(b) = 1, g2(c) = 3g3(a) = 1, g3(b) = 3, g3(c) = 2

    15 Electre I comme instance du mode`le comparer puis agreger

    Exprimer la relation de surclassement de la methode ELECTRE I dans le mode`le general des relationsde surclassement.

    On suppose P = 1 (somme des pj).

    i(aj , bj) =

    (1 ) pj si aj bj(j est daccord pour a b)M si (aj , bj) Dj (veto de j pour a b) pj sinon

    (1)

    avec M un nombre suffisamment grand. Et pour on fait la somme.Verification : sil y a veto dun crite`re, alors

    s(a, b) = (1(g1(a), g1(b)), . . . , n(gn(a), gn(b)) < 0,et on ne peut avoir a b.

    Sil ny a pas veto, alors

    (a, b) =

    j:ajbj

    (1 ) pj

    j:aj

  • Quelles exigences sur les et i peuvent traduire cette hypothe`se ?Soit la propriete de monotonie suivante :a, b :(

    j : aj bj et i 6= j : ai = bi)= a b

    Quelles exigences sur les et i permettent dassurer cette propriete ?

    On suppose i(v, v) = 0v, i, i croissantes sur le premier argument et decroissante sur le second (i(u, v) croit quand u croit et decrot quand v croit, et ce pour tout i ).

    Sur , on suppose (0, ....., 0) = 0 et que est croissante avec ses arguments.Dans ce cas en effet, pour tous les i 6= j, i(ai, bi) = i(ai, ai) = 0. Comme les i sont croissante dans

    leur premier argument, j(aj , bj) j(bj , bj) = 0.Comme j(aj , bj) 0, que i(ai, bi) = 0 pour tout i 6= j, et que est croissante (j(aj , bj), 0, ..., 0)

    (0, ....., 0). Puisque psi(0, ....., 0) = 0, on obtient (a, b) 0 donc a b

    17 Electre I

    candidatsA B C D E F

    g1 (0.6) 16 10 18 18 16 6crite`res g2(0.1) 14 18 12 4 10 14

    g3(0.3) 16 12 6 20 12 181 - Alternatives pareto optimales : toutes, sauf E qui est domine par A

    2 - Alternative optimale pour la moyenne ponderee : D, qui a une note globale ponderee de 17.2 (suivide A : 15.8)

    3 - Matrice de concordance :A B C D E F

    A 1 0.9 1 0.7 1 1B 0.1 1 0.4 0.1 0.4 0.7C 0.7 0.6 1 0.7 0.7 0.7D 0.9 0.9 0.9 1 0.9 0.9E 0.6 0.9 1 0.7 1 0.6F 0.4 0.3 0.4 0.4 0.4 14 - Matrice de discordance : veto sur (C,A), (C,D), (C,F ), (D,A), (D,B), (D,F ), (F,A),(F,C),

    (F,D), donc des 1 sur ces cases, 0 sur les autres et non discordance5- Matrice de concordance : et non discordance

    A B C D E FA 1 0.9 1 0.7 1 1B 0.1 1 0.4 0.1 0.4 0.7C v 0.6 1 v v 0.7D v v 0.9 1 0.9 vE 0.6 0.9 1 0.7 1 0.6F v 0.3 v v 0.4 1

    Avec = 1, la relation de surclassement est la relation de dominance forte aux seuils dindifferencepre`s. Cest une relation tre`s pauvre (peu de couples la satisfont) : A surclasse C, E et F ; E surclasseC ; Noyau {A,B,D}

    On obtient des relations plus riches pour = 0.9 et = 0.7. Le noyau est {A,D} dans le premiercas, {A} dans le second.

    On recommande A, qui est dans tous les noyaux lorsque lon fait varier le seuil (en dessous de0.7, le consensus devient vraiment mou ; en dessous de 0.5, na pas de sens).

    avec la somme ponderee, D se detache tre`s nettement, bien quil ne soit pas equilibre (sa culturegenerale est catastrophique). A se detache avec lapproche par surclassement : cette approche limiteles effets de compensation et degage des candidats plus equilibres.

    7

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