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Nom du congrès Lieu - date

Introduction à la décision multicritères

Formation ISAM

Sébastien Destercke

Chargé de recherche CNRS, Heudiasyc Equipe Décision et Image (DI)

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Plan Ø  Problème de la décision – introduction et bref historique Ø  Décision monocritère

•  Optimisation (linéaire) •  Exprimer et encoder des préférences

Ø  Décision multicritères •  Optimisation multi-objectifs (linéaire) •  Préférence et encodage: problème complexe •  Le modèle de somme pondérée: hypothèses et identification

(AHP) •  La méthode ELECTRE

Ø  Quelques extensions •  Modéliser les interactions entre critères •  Multicritères et multi-acteurs •  Multicritères en environnement incertains

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Plan

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L’aide à la décision: c’est quoi? Ø  Prise de décision: acte quotidien

•  Simples: café équitable, premier prix ou autre? •  Complexes: quelle politique mettre en place pour

inciter une attitude écologique? •  Individuelle (échelle humaine ou

organisationnelle): quelle isolation choisir pour la maison / l’entreprise?

•  Collective: où installer la nouvelle usine de traitement des déchets?

Ø  Problème potentiellement multicritère, multi-acteurs, non-déterministe (présence d’incertitudes)

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Pourquoi des méthodes formelles? Contre: Ø  Moins efficaces, rapides que la communication directe Ø  Coût (en temps sinon en argent) Ø  Imposent des conditions, des limitations Pour: Ø  Posent un langage formel commun Ø  Permettent d’identifier des structures, de les valider

et/ou d’identifier des incohérences Ø  Evitent les biais « subjectifs » de par leur rationalité

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Un bref historique Ø  Fin XVIII siècle: Bordat et Condorcet s’intéressent à la décision

collective, Benjamin Franklin avec pour/contre Ø  Début XX siècle: premier intérêt pour les probas dans la décision Ø  ~ seconde guerre mondiale

•  Projet RAND et « création » de la recherche opérationnel (Dantzig) comme solution rationnelle unique au problème de décision

•  Savage et Von Neumann / Morgenstern axiomatisent la décision sous incertitudes

Ø  Fin années 1950: critiques (Simon, Allais, Arrow, Tversky & Kannemahn) de ces méthodes pour leur manque de flexibilité, leur contradiction par rapport aux comportements observés

Ø  A la suite, développement de méthodes plus flexibles mais toujours fondées sur des approches axiomatiques, rationnelles à entre autres méthodes multicritères

Ø  Originellement issu de la recherche opérationnelle, domaine maintenant concerné par l’intelligence artificielle (informatique), l’économie, les mathématiques, la psychologie, …

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Plan

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Décision monocritère: introduction Décider selon une seule dimension: Ø  En optimisant un critère unique Ø  En modélisant / élicitant les préférences du décideur

N.B.: un critère peut en cacher « plusieurs » Exemple: optimiser rendement comprend plusieurs composante (marge, coûts employés, etc.)

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Problème d’optimisation

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Ø  Problème générique:

f(x) est l’objectif (ex: rendement) et hj(x) sont les contraintes.

Ø  En général, difficile à résoudre (nombreux algorithmes pour trouver une solution « approchées »)

max f (x)

sous hj (x) ! dj j =1,…,m (inégalités)

x1

x2

max f (x)

x ! 0


Problème d’optimisation linéaire

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f(x) est une fonction linéaire des variables, A une matrice de coefficient et b un vecteur constant

Ø  Exemple: exploitation cultivant blé et maïs à maximiser rendement •  /ha, blé 450€ net et maïs 1000€ net •  /ha, blé demande 25h de travail et maïs 50h de travail •  Surface totale: 50ha et heure de travail disponibles: 2000h

max f (x) = !i xi + cxi

!

sous Ax ! b et x " 0


Problème d’optimisation linéaire

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x1

max f (x)

x2

50

50

40

80


Problème d’optimisation linéaire Ø  Avantage:

•  Problème facilement résolvable (ou vérifiable) •  Solution optimale garantie (si solution existe)

Ø  Défauts: •  Problèmes et objectif (unique) doivent pouvoir se

formuler sous forme liénaire •  Toutes les solutions sont supposées admissibles

ou « réalisables »

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Préférences, propriétés

Ø  Choix entre plusieurs alternatives (numériques ou non)

Ø  Ensemble A={a1,…,am} Ø  Exemple: couleurs={rouge,vert,bleu} Ø  Préférences du décideur modéliser par relation ≥

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!: ai ! aj si ai préféré à aj


Ø  Antisymétrie: si a≥b et b≥a, alors a=b Interdit l’indifférence entre objets distincts

Ø  Complétude: pour tout a,b, soit a≥b ou b≥a Interdit la notion d’incomparabilité

Ø  Transitivité: si a≥b et b≥c, alors a≥c Pas toujours vérifiée (phénomène « transitoire »)

Selon les propriétés requises, on a ≠ notions d’ordre

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Préférences, propriétés


Préférences, encodage Ø  Associer des valeurs numériques à chaque élémént

de A={a1,…,am} via une fonction u Ø  u(ai): utilité de ai

Encodages possibles: Ø  a≥b si u(a) ≥ u(b): ≥ complet, transitif Ø  a≥b si |u(a)-u(b)|≥ δ: ≥ transitif

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Plan

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Problème d’optim. multicritères

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Plusieurs objectifs –> en général pas de solutions qui les maximise tous

Ø  Dominance au sens de Pareto. Soit x et x’ deux solutions satisfaisant contraintes hj, alors on dit que x domine, au sens de Pareto, x’ si

Ø  Trouver toutes les solutions non-Pareto dominées

Ø  Problème est linéaire quand fonctions linéaires de x

max f1(x), f2 (x),..., fn (x)sous hj (x) ! dj j =1,…,m (inégalités)

x2

x ! 0

fi (x) ! fi (x ') pour i =1,...,n


Max f1(x) = -x1 + 2x2 Max f2(x) = 2x1 – x2 avec x1 ≤ 4, x2 ≤ 4 x1 + x2 ≤ 7 -x1 + x2 ≤ 3 x1 – x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

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Problème d’optim. multicritères Exemple


Comment générer une/des solutions non-pareto dominées Ø  Pondérations: chaque « choix » de poids génère une solution non-dominée. Ø  Hiérarchisation: imposer ordre sur et résoudre

itérativement le problème.

Ø  Problème général: heuristiques (PSO, …)

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wi tel que wii! =1 et wi " 0 et max wi

i! fi (x)

fi (x)


Ø  Même défauts et avantages que l’optimisation monocritère: •  +: Méthodes efficaces pour résoudre le problème. •  - : Nécessite de pouvoir exprimer le problème

sous une forme particulière.

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Préférences et encodage

Ø  Alternatives A={a1,…,am}

Ø  Chaque alternative évaluée sur n critères a=(x1, x2,…, xn)

Avec Critère j à valeur dans Cj (fini ou continu) Ø  Une technique: extraire une relation de préférence

entre alternatives et encoder numériquement (ex: ai ≥ aj à u(ai) ≥ u(aj))

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Préférences et encodage Ø  Problème: difficile de comparer des alternatives sur

plusieurs critères.

Ø  Si 4 critères avec 5 possibilités chacun à 54 (625) comparaisons à faire!

Ø  Exemple: installation d’un site traitement déchets •  3 Critères: C1=coût, C2=prox. Habitations, C3=prox. Autoroute •  Comparer (8,3,5) et (9,3,5) facile •  Comparer (9,0.5,8) et (5,4,4) plus difficile

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Préférences et encodage Ø  Idée: simplifier l’encodage / réduire la complexité

Ø  Supposition: les préférences sur chaque critère sont « séparables » (critères indépendants)

Ø  Une fonction pour chaque critère: •  2 alternatives a1=(x1,…,xn) et a2=(y1,…,yn) 2 exemples: •  a1 ≥ a2 à F(u(x1),…,u(xn)) ≥ F(u(y1),…,u(yn)) •  a1 ≥ a2 à F(d(x1,y1),…,d(xn,yn)) ≥ 0

Ø  En particulier, somme pondérée

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F(u(x1),...,u(xn )) = wii! u(xi )


La méthode AHP Ø  Information à obtenir: fonctions d’utilités et poids des

différents critères (pour 4 critères à 5 valeurs à 24 valeurs)

Ø  Une méthode parmi d’autres: Analytic Hierarchy Process (Saaty, 71), implémentée par ex. dans expertchoice.

Ø  Intérêt de AHP: permet de hiérarchiser / regrouper les critères et reste « simple »

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La méthode AHP Critères et valeurs des critères vont être « comparées » entre elles pour fournir poids et fonctions, selon échelle de 1 à 9:

•  C1 équivalent à C2 : C12=1 •  C1 légèrement plus imp. que C2 : C12=3 •  C1 plus important que C2 : C12=5 •  C1 beaucoup plus important que C2 : C12=7 •  C1 indiscutablement plus important que C2 : C12=9

•  Score inversé pour la comparaison opposée, par ex. si C12=3 alors C21=1/3

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La méthode AHP 1. On obtient alors une matrice carrée (taille= nbre de critères) de comparaisons

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Coûts Prox. H Prox. Auto

Coûts 1 1/3 5

Prox. H 3 1 7

Prox. Auto 1/5 1/7 1


La méthode AHP 2. Poids (« valeurs propres ») obtenus de la manière suivante:

•  Normalisation des colonnes •  Sommation sur les lignes •  Normalisation du vecteur

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Coûts 1 1/3 5

Prox. H 3 1 7


Somme (/)4.2 (/)1.48 (/)13

Somme

0.84

1.92

0.22

2.99

Poids

0.28

0.64

0.07


La méthode AHP 3. Vérifier la cohérence des informations:

•  Si parfaite cohérence, valeur propre max = nbre critère •  Vérifier que nous n’en sommes pas loin •  Calculer (A*poids)/poids •  Indice de cohérence: (moyenne – nb critère)/(nb critères -1 )

*

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Coûts 1 1/3 5

Prox. H 3 1 7


Poids

0.28

0.64

0.07

* /

Poids

0.28

0.64

0.07

=

Poids

3.06

3.12

3

IC=0.03 < 0.1 à pondération cohérente


Etablir les fonctions d’utilités Rendre les valeurs d’utilité des critères « commensurable » pour éviter les problèmes d’échelles numériques. à typiquement, 1 valeur maximale, 0 valeur minimale

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0

1 Coût

Site A Site B Site C

Coûts 9 5 9

Prox. H 200 1500 500

Prox. Auto 500 2000 1000

15

3

5

9

0.75

0.2

u(Coût)


Déterminer la meilleure solution Une fois qu’on a les coûts et utilités à prise de décision

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U(Coûts) 0.2 0.75 0.2

U(Prox. H) 0.1 1 0.4

u(Prox. Auto) 1 0.6 0.8


Coûts 9 5 9

Prox. H 200 1500 500

Prox. Auto 500 2000 1000

U(…) Poids

0.28

0.64

0.07

Sites

0.19

0.89

0.37

à Choisir le site B


Méthodes pour somme « pondérée »

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Ø  Méthode AHP : pratique + hiérarchisation possible

Ø  Autres méthodes pour la somme pondérée : méthode MACBETH (comparaisons d’alternatives « triviales »), méthode directe, …

Ø  Autres méthodes résumant les alternatives à des évaluations numériques: Multi-Attribute Utility Theory (MAUT), sans pondération.


ELECTRE: méthode de surclassement

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Ø  Méthode venant de l’ « l’école française », développée par Bernard Roy.

Ø  Deux notions: •  Concordance: mesure combien une alternative

« surclasse » l’autre à si suffisamment haute, une alternative « surclasse » l’autre.

•  Discordance: mesure combien deux alternatives sont différentes à si trop différentes, déclarées incomparables via le droit de veto.


ELECTRE: niveau de concordance

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Ø  Concordance de l’hypothèse « A surclasse B »: somme des poids des critères pour lesquels A au moins aussi bon que B.

Ø  Si concordance > seuil s, alors « A surclasse B »


Site A - {prox. A} {prox. A, cout}

Site B {cout, prox. H} - {cout, prox. H}

Site C {prox. H, cout} {prox. A} -

Critère Poids

cout 0.28

prox. H 0.64

prox. A 0.07


Site A - 0.07 0.35

Site B 0.93 - 0.93

Site C 0.93 0.07 -


ELECTRE: niveau de discordance

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Ø  Discordance de l’hypothèse « A surclasse B »: pour chaque critère, prendre écart normalisé et conserver le plus grand.

Ø  Si niveau > t, alors « A ne surclasse pas B »


Site A - {prox. H, cout} {prox. H.}

Site B {prox A.} - {prox. A.}

Site C {prox A.} {prox. H, cout} -

Critère Min-Max

cout 3-‐15

prox. H 200-‐3000

prox. A 500-‐10000


Site A - 0.46 0.10

Site B 0.16 - 0.10

Site C 0.05 0.33 -


ELECTRE: extensions

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Ø  Il existe de nombreuses extensions à ELECTRE (ELECTRE II, III, IV, PROMETHEE I, II).

Ø  La plupart introduisent plus de « flexibilité » dans la

méthode, tout en conservant l’idée de concordance/discordance à dominances fortes/faibles, capacité de construire des ordres complets, constructions de « profils »


Résumé

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Hypothèses: •  un seul décideur (mono-acteur), •  monde « certain » (conséquences de chaque alternative connues parfaitement).


Résumé

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Ø  Intérêts: •  Méthodes « pratiques », applicables avec un minimum

d’expertise (! Si hypothèses vérifiées !) •  Sont transparentes (chaque étape est suivie)

Ø  Dangers à éviter: •  Pas le Graal: une analyse/validation d’experts reste

indispensable à il s’agit d’aide à la décision •  « sensibles » au choix numériques: nécessité de faire

une analyse de sensibilité pour vérifier la robustesse du choix à faire varier légèrement poids/utilités et observer conséquences sur classement.


Plan

Ø  Quelques extensions •  Modéliser les interactions entre critères •  Multicritères et multi-acteurs •  Multicritères en environnement incertains

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Interaction via les poids Ø  Idée: dans somme pondérée, poid individuel à chaque

critère à donner des poids à des sous-ensembles de critères pour modéliser les interactions

Ø  Exemple sur deux critères i,j •  •  à critères

indépendants, on retrouve somme pondérée • 

Ø  Outils utilisés: mesures floues et intégrales non-additives (Sugeno, Choquet).

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µ({Ci,Cj})> µ({Ci})+µ({Cj}) : Synergie positiveµ({Ci,Cj}) = µ({Ci})+µ({Cj}) : Pas de synergie

µ({Ci,Cj})> µ({Ci})+µ({Cj}) : Synergie positive


Intégrale de Choquet Ø  Espace des critères C={C1,…,Cn} et mesure μ: 2|C| à

[0,1] telle que si , alors μ(A) ≤ μ(B)

Ø  Soit x1 , x2 , … , xn les valeurs prises par une alternative, alors l’intégrale de Choquet s’écrit avec x(1) ≤ x(2) ≤ … ≤ x(n) et x(0) = 0 .

Ø  N.B. si μ({C(i),…, C(n)})=μ({C(i)}) + … + μ({C(n)}) pour tout i, alors on retrouve une somme pondérée.

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A ! B

Ch(x1,..., xn ) = (x(i) ! x(i!1) )µ({C (i) ,...,C (n)})i=1

n

"


Court exemple Ø  Trois alternatives A={a1,a2},B={b1,b2},C={c1,c2} sur deux

critères.

Ø  Utilités: A={0.4,0.4},B={0,1},C={1,0}

Ø  Décideur indifférent entre B et C, auxquelles il préfère A

A > {B ~ C}

Si somme pondérée

B ~ C <-> w1=w2 A > B <-> 0.4(w1+w2) > w2

Ø  Impossible de satisfaire ces inégalités à somme pondérée ne prend pas en compte « l’inacceptabilité » d’avoir un critère non-satifait (~ pas de prise en compte de la synergie positive entre critères).

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Plusieurs acteurs, une seule décision Ø  Une théorie parente de la décision multicritères: le choix

social (A. Sen) et la théorie du vote (Condorcet, Borda, …).

Ø  Supposition: m candidats (alternatives) A={a1,…,am} et k votants (décideurs, acteurs).

Ø  Chaque acteur fournit un ordre total (transitif, complet, antisymétrique), un vote sur les candidats (hypothèse assez forte en multicritère)

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Vous avez dit majorité? Ø  Choix majoritaires parfois peu représentatifs d’un

compromis.

Ø  Exemple: 4 candidats A,B,C,D, et 100 votants •  40 votants tels que A > B > C > D •  30 votants tels que C > B > D > A •  30 votants tels que D > B > C > A

Ø  En vote majoritaire, A choisit (à la française, C ou D), alors que A rejeté majoritairement et B apparaît comme meilleur compromis.

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Méthode de Condorcet Ø  Principe: un candidat A bat un candidat B si

une majorité de votants préfère A à B

Ø  Problème: transitivité non-garantie •  3 votants et 3 candidats A,B,C:

1: A > B > C 2: B > C > A 3: C > A > B

•  A > B (1 et 2), B > C (1 et 2), C > A (2 et 3)

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Méthode de Bordat

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Ø  Principe: pour chaque voteur, le candidat reçoit son rang comme « score »

Ø  Problème: peut être incohérent avec la majorité •  3 votants et 3 candidats A,B,C,D:

1 et 2: B > A > C > D 3: A > C > D > B

•  Scores: A = 10, B = 9, C = 7, D = 4 à A choisit mais B préféré par une majorité (et choix de A dépend de la présence de C et D à non-indépendance)

N.B. : en terme de choix, B apparaît comme un bon compromis.


Théorème d’Arrow Quelques propriétés:

Ø  Universalité: capable de gérer toute configuration de votants Ø  Transitivité: le résultat devrait être une liste ordonnée

(Condorcet) Ø  Unanimité: le résultat devrait respecter les préférences

unanimes des votants Ø  Absence de dictateurs: la méthode ne devrait pas permettre

la présence de « dictateurs » Ø  Independence: la comparaison entre deux candidats ne

devrait dépendre que de leurs places respectives. (Borda)

Arrow a montré qu’il n’existait aucune méthode satisfaisant toutes ces propriétés simultanément

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Environnement incertain Deux cas « classiques » Ø  Décision dans le « risque »: probabilités,

théorie de l’utilité espérée Ø  Décision dans l « incertain »: ensemble d’états

possibles, maximin de Gilboa/schmeidler

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Décision dans le risque Ø  On ne connaît « pas » exactement l’état du monde

(cours de la bourse, présence de polluants, nombre de travailleurs disponibles, effets du changement climatique, …)

Ø  Conséquences (utilité) d’une décision/alternative Aj vont dépendre de l’état xi du monde

Ø  A chaque état xi correspond une utilité uj(xi) et une probabilité p(xi) (supposée indépendante de Aj)

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Décision dans le risque Ø  Savage (probabilités subjectives) et Von Neumann –

Morgenstern (probabilités objectives) ont justifié que la « valeur » espérée E(Aj) de Aj pouvait se calculer comme

Ø  L’exemple de l’omelette: un bol avec 5 œufs cassé –> que faire du 6ième?

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E(Aj ) = uj (xi )xi

! p(xi )

X1 : Œuf 6 pourri X2 : Œuf 6 pas pourri

A1: Casser Bol U1(X1)=-15 U1(X2)=7

A2: Casser Ass. U2(X1)=3 U2(X2)=5

A3: Jeter U3(X1)=4 U3(X2)=4


Décision dans le risque Ø  Théorie axiomatique et théoriquement justifiée Ø  Passage au multicritère: demande à construire proba sur toutes les

alternatives (à décomposition par supposition « d’indépendance » des états sur chaque critère) et hypothèse plus « fortes » que pour la somme pondérée.

Problèmes / difficultés Ø  Identifier les probas est un problème « difficile » à recourt à

des modèles non-additifs pour modéliser l’incertitude. Ø  Paradoxe d’Ellsberg montre que les décideurs n’agissent pas

toujours conformément à la théorie.

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Décision dans l’incertain Ø  On ne sait rien sur les probabilités des états à Gilboa et

Schmeidler: stratégie du maximin, on choisit la décision pour laquelle la « pire » (min) situation est la plus intéressante (maxi)

Ø  L’exemple de l’omelette: un bol avec 5 œufs cassé –> que faire du 6ième?

51

X1 : Œuf 6 pourri X2 : Œuf 6 pas pourri

Min

A1: Casser Bol U1(X1)=-15 U1(X2)=7 -15

A2: Casser Ass.

U2(X1)=3 U2(X2)=5 3

A3: Jeter U3(X1)=4 U3(X2)=4 4


Décision dans l’incertain

Ø  Plus simple que l’approche probabiliste, mais modèle d’information « pauvre » (pas de vraisemblance sur les états)

Ø  Décision selon Maximin « pessimiste » (supposé le pire et choisir la meilleure solution dans ce cas) à Critère de Hurwicz permet de balancer entre « pessimisme » et « optimisme » (maximax)

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Conclusions

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Ce qui n’a (presque) pas été abordé Ø  La modélisation qualitative et/ou logique des préférences,

incertitudes: théorie des possibilités (Dubois), CP-nets pour préférences conditionnelles (Kaci), relations binaires, …

Ø  L’explication des résultats dans un langage « informels » à argumentation (Amgoud), extraction d’explication (Labreuche)

Ø  Autres méthodes liées au monde économique (analyse coût/bénéfice) ou sociologique (théorie des organisations).

Ø  Aspects de dynamique (planification dans le temps, décisions successives/multiples) et d’évolution (feedback, coopération)

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En résumé Ø  Domaine relativement récent (~ années 1950), très

large et touchant de nombreuses disciplines, aux finalités pratiques

Ø  Méthodes d’aide à la décision, et non de prise de décision à il ne s’agit pas d’oracles, mais de méthodes permettant de formaliser un raisonnement

Ø  Mise en œuvre: collaboration entre expert en aide à la décision, décideurs/acteurs et experts de terrain

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Quelques références Ø  Evaluation and decision models: a critical perspective Ø  Evaluation and decision models: stepping stones Ø  Decision-making Process: Concepts and Methods

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