théorie des jeux : les duels
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S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010
Les DuelsS.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR
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S.SORIN - Théorie des jeuxYeganeh FOROUHESHFAR28/10/2010
Sommaire
Introduction..........................................................................................Page 3 Duels bruyants avec une seule balle........Page 5
Duels bruyants avec plusieurs balles......Page 14
Duels silencieux avec une seule balle...Page 24
Les autres types de duel.................................................Page 35
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Introduction
• Le duel est un jeu de «timing».
• Nos hypothèses :
- La probabilité que le joueur tue son adversaire en tirant une balle à l’instant t es où est une fonction croissante ( avec ).
- La fonction de paiement de ce jeu à somme nulle est l’espérance du gain (survivre) du joueur 1 (Bleu).
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Introduction
Distance initiale «D»
• Gains :
- Si le joueur est le seul survivant : 1.
- Si les deux meurent ou survivent : 0.
- S’il est le seul à mourir : -1.
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Duels bruyants avec une seule balle
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Duels bruyants avec une seule balle
• Les joueurs disposent chacun d’un pistolet bruyant et d’une seule balle ainsi si l’un des deux a tiré l’autre l’entend.
• Après le premier tir le comportement optimal du survivant est donc d’avancer jusqu’à une distance nulle et de tuer l’adversaire.
• Une stratégie pure de Bleu est de tirer à l’instant x.
• Une stratégie pure de Rouge est de tirer à l’instant y.
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• Nous avons donc la fonction de paiement de Bleu:
Duels bruyants avec une seule balle
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• On sait que augmente avec x et y donc on a :
• On peut diviser l'intervalle (0,1) en trois intervalles suivants :
Duels bruyants avec une seule balle
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• Ces intervalles sont non nuls, pour l’intervalle A on a :
• On en déduit :
• et :
• Donc pour l’intervalle A on a :
Duels bruyants avec une seule balle
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• L’intervalle B est défini par :
• Qui montre :
• Et donc :
Duels bruyants avec une seule balle
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• L’intervalle C est défini par :
• Donc on a :
• On en déduit donc :
Duels bruyants avec une seule balle
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• On a :
• Où :
• De la même manière, on peut montrer :
• Où :
• Donc on a :
• C'est-à-dire que chaque joueur a une stratégie pure.
Duels bruyants avec une seule balle
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• Résumé du résultat :
• La stratégie optimale pour les joueurs est de tirer simultanément à l’instant . qui satisfait :
• Si Bleu utilise cette stratégie, il peut être sûr de gagner au moins :
• et Rouge perd au plus :
Duels bruyants avec une seule balle
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Duels bruyants avec plusieurs balles
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• Les joueurs disposent de plusieurs balles. À l’instant t Bleu a m(t) et Rouge a n(t) balles.
• On supposera que les fonctions de précision sont :
• Une stratégie optimale pour chaque joueur est de tirer quand :
• mais le joueur qui a moins de balles ne tire avant que :
• la valeur de jeux est :
Duels bruyants avec plusieurs balles
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Preuve par récurrence : pour m(0)=2 et n(0)=1 on obtient :
parce que
C'est-à-dire que le duelliste avec une seule balle préfère attendre jusqu’à l’instant quand l’autre va tirer. S’il est encore vivant, on sera dans le cas «duel bruyant avec une seule balle».
Duels bruyants avec plusieurs balles
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Duels bruyants avec plusieurs balles
• La valeur de ce jeu est :
• Maintenant on considère le cas où les joueurs ont m et n balles.
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la fonction de paiement sera : [ cas avec m-1 et n balles] [cas avec m-1 et n-1 balles]
[cas avec m et n-1 balles]
où
Duels bruyants avec plusieurs balles
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si on aura :
Duels bruyants avec plusieurs balles
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si
on a
Duels bruyants avec plusieurs balles
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Donc si les deux duellistes tirent en même temps le paiement pour Bleu va être plus grand que C’est pour ça que rouge ne préfère pas cette stratégie !
Duels bruyants avec plusieurs balles
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• si
• dans ce cas on a
• supposons
• La fonction de paiement à Bleu sera :
Duels bruyants avec plusieurs balles
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• comme
• Si Rouge tire avant Bleu la fonction de paiement a Bleu sera plus grand que donc Rouge ne préfère pas cette stratégie.
• On déduit que la valeur du jeu est :
Duels bruyants avec plusieurs balles
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Duels silencieux avec une seule balle
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• Les joueurs disposent d’une balle chacun et de pistolets silencieux de sorte qu’aucun des deux ne sait si l’adversaire a déjà tiré ou pas.
• on supposera qu’ils ont la même précision :
• une stratégie pure de Bleu est le moment où il va tirer s’il est encore en vie :
• une stratégie pure de Rouge est le moment où il va tirer s’il est encore en vie:
Duels silencieux avec une seule balle
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• Le paiement à Bleu est :
Duels silencieux avec une seule balle
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• Ce jeu n’a pas de valeur en stratégie pure donc les joueurs doivent utiliser des stratégies mixtes.
• On suppose que Bleu utilise une stratégie mixe F , l’espérance de Bleu est :
• Il est pratique d’assumer que :
Duels silencieux avec une seule balle
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• Où une stratégie optimale pour Bleu est une fonction de densité, comme on va le vérifier .
• De la symétrie du jeu, on conclut :
• et on a pour tout y que est constant et égale à 0.
Duels silencieux avec une seule balle
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• La valeur du jeu est donc :
• Qui est indépendant de y.
• On essaie de résoudre cette équation différentielle :
• où
• La solution est :
Duels silencieux avec une seule balle
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• On substitue les solutions dans l’expression et on trouve :
• Maintenant on montre qu’une stratégie optimale pour Bleu et Rouge est de tirer à x avec la fonction de densité :
• Où :
Duels silencieux avec une seule balle
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• Et de ne jamais tirer avant :
• Supposons que Bleu utilise cette stratégie donc Rouge choisi un y entre 1/3 et 1 :
• Donc on aura :
Duels silencieux avec une seule balle
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• Et si Rouge choisit une stratégie :
• On aura :
Duels silencieux avec une seule balle
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• Résumé :
• Si Bleu utilise la stratégie mixte P(x), il peut être sur de gagner au moins 0.
• On peut aussi montrer que si Rouge utilise la même stratégie mixte, Bleu va gagner au plus 0.
Duels silencieux avec une seule balle
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Précisions sur les duels silencieux :Dans les duels silencieux si les deux joueurs utilisaient des stratégies pures, ils pourraient prédire à quel instant l’autre va tirer, on serait alors dans le même cas que les duels bruyants ! C’est pour cela que dans les duels silencieux les duellistes utilisent des stratégies mixtes.
Duels silencieux avec une seule balle
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Les autres types de duel
• Bruyants :- Avec une seule balle.- Avec une seule balle, fonction de précision arbitraire.- Avec plusieurs balles, même fonction de précision.• Silencieux :- Avec une seule balle, même fonction de précision.- Avec 1 balle contre 2 balles.- Bruyant / Silencieux avec une seule balle.• ...
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