cours statistiques , probabilité , analyse numérique " usthb"

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Plan du CoursPlan du Cours Statistique descriptiveStatistique descriptive1. Séries Statistiques : classement de données,

fréquences,variables aléatoires,histogrammes(courbes des fréquences,courbes cumulatives).

2. Paramètres caractéristiques: moyenne, écart-type,variance,moments d’ordre supérieur.

3. Ajustement linéaire: moindres carrés, droite de régression, coefficient de corrélation.

4. Calcul de probabilités : courbe de Laplace-Gauss Analyse numériqueAnalyse numérique 1. Approximation des fonctions (linéaires et non linéaire)2. Interpolation polynomiale: Spline,3. Techniques d’optimisation

Statistique Statistique

Définitions :La statistique est l’ensemble de méthodes et techniques

permettant de traiter des données associées à une situation ou un phénomène.

Selon les objectifs visés, la statistique peut être subdivisée en:1. Statistique descriptive : décrire une situation (faire parler

les chiffres).2. Statistique corrélative: mettre en évidence certaines

relations.3. Séries temporelles ou chronologiques, faire des prévisions

à propos de phénomènes évoluant dans le temps.4. Statistique inférentielle: induire des conclusions générales

à partir de mesures faites sur un échantillon; tester une hypothèse.

Conséquence : Statistique est un outil d’aide à la décision.

Statistique

Statistique descriptive exploration des données mesures et indices représentations graphiques

Statistique inférentielle tester des hypothèses faire des prédictions à partir d’échantillons

EXEMPLESEXEMPLES

Les notes d’un groupe d’élèves Le taux de mortalité par cancer des

fumeurs La fréquence des mots d’un texte

Statistique descriptive

Lorsque je calcule la moyenne d’une classe je trace la courbe d’évolution du

chômage je fais de la statistique descriptive

Statistique Inférentielle

Lorsque je me demande si l’effet d’un médicament

est réel ou s’il est imputable au hasard j’essaie de prédire des intentions de vote

à partir d’un échantillon de 1000 personnes

je fais de la statistique inférentielle

Terminologie

POPULATION : Ensemble que l'on observe et qui sera soumis à une analyse statistique.

Chaque élément de cet ensemble est un individu ou unité statistique.

ÉCHANTILLON : C'est un sous ensemble de la population considérée. Le nombre d'individus dans l’échantillon est la taille de l'échantillon.

CARACTÈRE : C'est la propriété ou l'aspect singulier que l'on se propose d'observer dans la population ou l'échantillon. Un caractère qui fait le sujet d'une

étude porte aussi le nom de variable statistique.

Population

Définition:On appelle population l’ensemble de tous les

objets que l’on étudie.Exemples:

Un groupe d’élèves, un groupe de malade, la population mais aussi les mots d’un texte, un ensemble de documents, etc.

Individus

Définition :Les individus sont les éléments de la population

étudiée.

Exemples :chacune des personnes interrogées pour une enquête chaque jour de l'année pour lequel on dispose de

données météorologiques chaque mot d’un texte chaque texte d’un corpus etc.

Variables

DéfinitionUne variable est une propriété commune aux individus de

la population que l'on souhaite étudier.On dit aussi

Attribut, caractèreExemples

La taille de personnes, la couleur de leurs yeux, leur sexe

Le nombre de lettres des mots, la durée des pauses dans un discours, le genre d'un texte (roman, poésie, etc.)

Modalités

DéfinitionLes modalités d'une variable qualitative sont les

différentes valeurs que celle-ci peut prendre.

Exemplevariable situation familiale : célibataire, marié,

veuf, divorcé. variable sexe : homme, femme.variable prénom : Ali,Ahmed,... (modalités très

nombreuses!)

Variables quantitatives

Les variables quantitatives sont de deux types :Discrètes = valeurs dénombrables (ex.: nombres entiers)

Exemplesnombre d'enfants par famille, nombre de pièces d'un

appartement nombre de mots d’un texte, nombre de lettres d’un mot

Continues = infinité de valeurs, aussi proches qu’on veut (ex.: nombres réels)

Exemples taille, poids, des personnesdurée des pauses d’un discours, fréquence fondamentale

de la voix

Série statistique

Définition :On appelle série statistique la donnée simultanée (dans

un tableau) des valeurs du caractère étudié rangées dans l’ordre croissant, et des effectifs de ces valeurs.

On appelle caractère la propriété étudiée, il peut être discret donc les valeurs prises sont des valeurs finies ou continu dont les valeurs appartiennent à des intervalles.

Exemple : les notes prises par 20 élèves dans une classe:

10,8,11,9,12,10,8,10,7,9,10,11,12,10,8,9,10,9,10,11.

Exemple: séries statistiques

Le caractère étudié est discret : la note prise par chaque élève. Le couple note et nombre d’élèves correspondant est la série

statistique.L’effectif est le nombre d’élèves ayant la même note.

Valeurs du caractère 7 8 9 10 11 12

Effectif(nombre d’élève ayant la même note) 1 3 4 7 3 2

Exemple: séries statistiques

Exemple : supposons que l'on veut faire une étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen. On dispose pour cette étude de la liste des notes obtenues :

Exemple: séries statistiques

On peut regrouper ces notes par ordre croissant : 0,1,1,2,2,3,3,3 ....., et construire le tableau suivant :( dans ce cas la distribution est discrète )

Ou bien regrouper ces notes par intervalle ( classe ) : ( dans ce cas la distribution est continue ) Exemple de regroupement par classe :

Classement de données

On regroupe toutes les données de la série statistique dans un tableau indiquant la répartition des individus selon le caractère étudié. Le regroupement s'effectue par classes :

• Si le caractère est qualitatif ou discontinu, une classe contient tous les individus ayant la même modalité ou la même valeur du caractère.

• Si le caractère est continu, une classe est un intervalle.. Pour construire ces intervalles, on respecte les règles suivantes :1. Le nombre de classes est compris entre 5 et 20 (de préférence entre 6

et 12)2. Chaque fois que cela est possible, les amplitudes des classes sont

égales.3. Chaque classe (sauf la dernière) contient sa borne inférieure mais pas

saborne supérieure.. Dans les calculs, une classe sera représentée par son centre, qui est le

milieu de l'intervalle.

Fréquence

N

nf ii

La fréquence : proportion d'individus de la population ou de l'échantillon appartenant à la classe : on la note fi. fi et ni sont liés par :

où N est le nombre total d’individus dans la population.

Remarque : On peut remplacer fi par fix100 qui représente alors un pourcentage.Nn

k

ii

1

Fréquence Cumulée

La fréquence cumulée d'une modalité est la somme des fréquences des modalités qui lui sont inférieures ou égales. 

i

ppcumul ffi

1

EXEMPLE

Caractère X 0 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10

Effectifs 182 98 46 28 12 5 2 1 0 1 0

fréquences 0.485 0.261 0.123 0.075 0.032 0.013 0.005 0.003 0 0.003 0

Fréquences cumulées

0.485 0.746 0.869 0.944 0.976 0.989 0.994 0.997 0.997 1 1

Représentation graphique

Caractère

Effectifs

Représentation graphique

Caractère

fréquences

Représentation graphique

Caractère

Fréquences

cumulées

Effectif cumulé croissant et décroissant

L’Effectif cumulé croissant d’une valeur X est la somme des effectifs des valeurs y tels que y<=x

L’Effectif cumulé décroissant d’une valeur X est la somme des effectifs des valeurs y tels que y>x

Exemple : Notes d’une classe

Valeurs xi 7 8 9 10 11 12

Effectifs 1 3 4 7 3 2

Effectif cumulé croissant

1 4 8 15 18 20

Effectif cumulé décroissant

19 16 12 5 2 0