algébre td (partie 1)
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-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
1/61
MATHEMATIQUES (Semestre 4 )
ALGEBRE II
Travaux Dirigs -TD-
Professeur : M.REDOUABY
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
2/61
Srie dexercices
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
3/61
Partie 1
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
4/61
Exercice 1
On considre les trois matrices suivantes :
;
=
02A
=07
B
30 110
=
4005C
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
5/61
Exercice 1
1) Calculer :
- -
3
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
6/61
Exercice 1
2) Calculer :
; ; ; ;
1-
A
4
A
6
A
2
B
3
C
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
7/61
Exercice 1
3) Calculer : INnn
C)B(6A ++ ,
n
Peut-on parler de : ,++
n entier ngatif
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
8/61
Corrig
1) Les trois matrices sont diagonales, il
suffit de reporter les calculs sur lestermes diagonaux homologues des trois
:
=
550
054C3B-2A +
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
9/61
Corrig
Le dterminant dune matrice diagonale est
gal au produit des termes diagonaux :
01
33 2C))B-(det(A)2C)B-det((A +=+
220==-
1064822
3
==
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
10/61
Corrig
2) De mme :
630
02=
=det(A) ;
77
110
07=
=det(B)
2040
05==det(C)
;
.
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
11/61
Corrig
Les matrices sont diagonales, il suffit de
reporter les calculs sur les termes diagonaux :
0210211-
3/10301
4A
=
=
810
016
30
0)2(4
4
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
12/61
Corrig
=
=
729/10
064/1
300)2( 6
66
A
2B
=
=
121/10
049/1
)11(0
07
2
2
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
13/61
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
14/61
Corrig
La matrice 6A+B+C nest pas inversible :
000 ==++
dtCB6A
On ne peux parler de puissance ngative
que dans le cas o la matrice est inversible,ce qui nest pas le cas ici
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
15/61
Exercice 2
On considre la matrice suivante :
= 01/20
001-
D
31/00
Calculer :1-
D
8-
D
5
DnD
det(D); ;
; n entier relatif
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
16/61
Corrig
Il sagit dune matrice diagonale :
1001
323/100
-
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17/61
Corrig
Pour inverser la matrice D, Il suffit dinverser
ses termes diagonaux :
-
=
300
020D1-
C
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
18/61
Corrig
==8
8
8
020
00(-1)
DD81-8-
)(
=
8100
02560
001
E i 2
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
19/61
Exercice 2
=5
5
5
31/(0001/20
00(-1)
D
5
)
=
31/900
01/320
001-
-
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20/61
D est une matrice inversible, donc :
=n
n
01/2000(-1)
Dn
n31/(00 )
n entier relatif : - 3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, .
E i 3
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
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Exercice 3
On considre la matrice suivante :
0010
0005
4000
0300
Calculer : ; ; ; ;
1-
D
3
D
2-
D)det(Dn
D
C i
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
22/61
Corrig
Il sagit dune matrice diagonale :
Le dterminant est gal au produitdes termes diagonaux :
604315 == det(D) ;
C i
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
23/61
Corrig
La matrice inverse est obtenue en inversant
les termes diagonaux :
00051
=
41000
03/100
00101-D
C i
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
24/61
Corrig
On reporte le calcul sur les termes
diagonaux :
000125
=
64000
02700
00103D
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
25/61
Corrig
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
26/61
Corrig
On reporte le calcul sur les termes
diagonaux ; n est un entier relatif :
n
000)5(
=
n
n
nnD
)4(000
0300
00)1(0
Exercice 4
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
27/61
Exercice 4
On considre les matrices suivantes :
et
= 020
001-
D
= 110
111
P
1) Calculer la matrice
2) Que pouvez-vous dire des matrices D etM ?
3) En dduire det(M) et4) En dduire , expliciter le cas n=8
DPPM1-
=
1-
MnM
Corrig
-
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28/61
Corrig
1) On commence par calculer P-1 :
1111110
111
det(P) ===
100
Rappel : Le dterminant dune matricetriangulaire infrieure ou suprieure est gal au produit des termes diagonaux
Mthode de la comatrice
-
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+
++
== 011
001
0011
1011
1011
0010
1010
1011
P)(Com
Mthode de la comatrice
++
1011
1011
1111
==
100
1-1001-1
PPP1-1-
)(
det(P)
1Com
t
On obtient :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
30/61
On obtient :
= 110
111
020
001-
1-10
01-1
DPP1-
=
1/200
3/220
3-3-1-
M Triangulairesuprieure
Corrig
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
31/61
Corrig
2) Les matrices M et D sont semblables
3) Par consquent : M et D ont mmedterminant :
--ee ===
1-1-1-1-1-1- )(PDPMDPPM ==
Pour la matrice inverse :
PDPM
1-1-1-
=
Ainsi :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
32/61
Ainsi :
= 110
111
01/20
001-
1-10
01-1
M1-
=
200
3/2-1/20
3/2-3/2-1-
M 1- Triangulairesuprieure
Vrification
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
33/61
Vrification
=
1 23/220
3-3-1-
23/2-1/20
3/2-3/2-1-
MM
1-
I1MM
100
010
001
==
4) Proprits des matrices semblables
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
34/61
4) Proprits des matrices semblables
11100(-1)01-1n
PDPMnn 1-
=DPPM1-
=
=
100110
1/200020
1001-10M
n
n
D1-
P P
On obtient :
-
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35/61
On obtient :
=nnn
nnnnn
n 21)(21)((-1)
n200
ndsigne un entier : positif ou ngatif
Matrice Triangulaire suprieure
Application
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
36/61
Application
n = -1, on retrouve le rsultat prcdent :
3/2-3/2-1-
-
=
200-
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
37/61
Application
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
38/61
Application
n = 1, on retrouve la matrice M :
3-3-1-
M1/2003/220M ==
Application
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
39/61
Application
n = 2, on trouve :
3-3-1
=
1/400
etc
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
40/61
etc.
n = 8, on trouve :
255-255-1
=
1/25600
2560M 65535/256
Remarque importante
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
41/61
Remarque importante
Sur les matrices triangulaire
Les proprits vues dans le Cours sur les
gnralises au matrices triangulaires(infrieures ou suprieures)
Exercice 5
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
42/61
On considre les matrices suivantes :
et
= 030
003
D
= 201-
111
P
1) Calculer la matrice
2) Que pouvez-vous dire des matrices D etN ?
3) En dduire det(N) et4) En dduire , expliciter le cas n=5
DPPN1-
=
1-N
nN
Exercice 5
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
43/61
Exercice 5
5) Donner , N est telle que :NN'=
NN'2=
6) Donner , n entier naturelnN
Corrig
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
44/61
g
1) On commence par calculer P-1 :
201-
111
det(P)=
110
2130111
2111 =+=
+
=
On peut dveloppersuivant la 3me ligne
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
45/61
On obtient :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
46/61
= 201-
111
030
003
-31-1-
2-02
DPP21
1-
=
21-0
360
2-2-3
N
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
47/61
Ainsi :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
48/61
=
110201-
111
1/50001/30
001/3
1-1131-1-
2-02
2
1N
1-
=
610
3-20
225
151N 1-
Vrification
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
49/61
=
21-360
2-2-3
13-20
225
15
1NN
1-
INN
100
010
001
1 ==
4) Proprits des matrices semblables
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
50/61
PDPNnn 1-
=DPPN1-
=
1110032-02 n
n
D1-
P P
=
110-
5001-11-- n2
On obtient :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
51/61
=nnnn
nnnnn
n)33(53530
)52(352(332
N 1)
nnnn 5335302
n dsigne un entier : positif ou ngatif
Application
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
52/61
Application
n = -1, on retrouve le rsultat prcdent :
225
=
6103-2015N
-
Application
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
53/61
pp cat o
n = 0, on retrouve le rsultat :
001
100==
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
54/61
Application
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
55/61
pp
n = 2, on trouve :
16-16-9
=
18-0
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
56/61
5) Donner :NN'=
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
57/61
5) Donner :
N est telle que :
NN =
NN'
2=
Utilisons la factorisation diagonale de N :
DPPN 1-= 1-QDQ=
avec :1-
PQ=ou
Gardons la premire criture avec les
notation de lexercice :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
58/61
notation de l exercice :
DPPN 1-=
Daprs les proprits des matrices diagonales,si on pose :
=
500
030D'
On a : DD'2=
Et daprs les proprits des matrices
-
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59/61
PD'PN'
1-=
Et d aprs les proprits des matrices
semblables, si on pose :
''21-2==
D
Finalement : PD'PN' 1-=
On obtient :
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
60/61
=
110201-
111
500030
003
1-1131-1-
2-02
PD'P 2
11-
=533530
)353(3530
)532()532(32
N'
-
7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)
61/61
6) Donner :n N
Mme raisonnement que le prcdent, il suffit
de remplacer la racine carre par laracine nime n
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