1 probabilitÉs en 3ème. 2 introduction pourquoi laléatoire au collège ? textes officiels...

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PROBABILITÉS

en 3ème

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Introduction

Pourquoi l’aléatoire au collège ?

Textes officiels

Expériences aléatoires

Notions élémentaires de probabilité

Un exemple d’expérience

Conclusion

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Introduction Des représentations du hasard :

– « Choses imprévisibles qui viennent de l’extérieur »

– « On produit du hasard en répondant au pif »

– « Choses relatives aux coïncidences »

– « Chose où on peut avoir de la chance ou de la malchance»

– « Le hasard n’existe pas »

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Etymologie :

– De l’arabe « az-zahr » qui signifie jet de dé

– Aléa vient du latin alea qui signifie coup de dé

– Chance vient du latin cadere qui signifie choir, tomber

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Pourquoi l’aléatoire au collège ?« Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le

hasard dans une perspective rationnelle »

Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques qui diffère fondamentalement des autres.

Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des phénomènes incertains.

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Un enjeu de citoyenneté :- être capable de distinguer le hasard « calculable

» du hasard de la contingence fortuite.- être capable d’avoir un esprit critique face à

certaines affirmations des médias.

Nos voisins européens ont commencé depuis longtemps à enseigner l’aléatoire, parfois depuis l’école primaire.

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Les textes officiels

Le programme de 3ème a pour objectifs :

de poursuivre la mise en place de paramètres(de position et de dispersion) d'une série statistiqueet d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;

de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité.

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Connaissances

Capacités

1.4. Notion de probabilité 

[ Thèmes de convergence]

- Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.

- Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

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Exemples d’activités, commentaires

Commentaires spécifiques pour le socle

La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités).

La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves.

Dans le cadre du socle, aucune compétence n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves.

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Programme actuel de seconde

Contenu

Statistiques descriptives :Représentations - Moyenne – Médiane - Etendue.

Propriétés de la moyenne.

Simulations.

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Programme actuel de seconde

Le travail sera centré sur :

la réflexion conduisant au choix de résumés numériquesd’une série statistique quantitative.

la notion de fluctuation d’échantillonnage.

la simulation à l’aide d’un générateur aléatoire.

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De l’expérience à la simulation(1)

Lancer effectif de dés :

L’exploitation des résultats permet de réinvestir ce qui a été vu en statistique descriptive.

La mutualisation des résultats permet d’obtenir un effectif total satisfaisant pour une première observation de certains phénomènes (par exemple: A-t-on plus de chance d’obtenir un total de 4 ou 5 en lançant 2 dés ?).

Une fois les caractéristiques de l’expérience comprises et acceptées (chaque face du dé à la même chance d’apparaître,le dé ne se souvient pas du résultat que l’on vient d’obtenir),on peut passer à l’étape suivante.

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De l’expérience à la simulation(2)

Utilisation de la fonction ALEA de la calculatrice ou du tableur :

L’élève peut, grâce à sa calculatrice ou au tableur, simuler un plus grand nombre d’expériences, cela permet d’éviter des lancers de dés trop fastidieux.

L’élève doit être capable de décider d’une stratégie de simulation, par exemple :

Comment simuler un tirage d ’une boule dans une urne

contenant n boules blanches et p boules noires ?

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En première Les simulations faites en classe de seconde amènent la construction de modèles mathématiques : Les probabilités.

On définit ainsi les correspondants théoriques des caractères, moyennes et écarts-types.

La loi des grands nombres introduite comme théorème mathématique justifie alors l’emploi des simulations.

En terminale le paragraphe « Adéquation à une loi équirépartie »permet de réinvestir les statistiques vues en seconde et première tout en constituant une introduction à la problématique des tests.

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Expériences aléatoires Une expérience aléatoire

- est une expérience

- elle peut être décrite par un protocole et peut être répétée dans les mêmes conditions

- on peut déterminer à l’avance la liste des issues

- on ne peut pas prévoir quelle en sera l’issue au moment où on la réalise.

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La réalisation d’expériences permet de donner du sens et de « casser » les fausses représentations.

On utilise un matériel varié : dés, pièces de monnaie,urnes et boules de couleur, punaises, etc…

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Notions élémentaires de probabilité

P F

P F

Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire.

Ils ont la même probabilité : 1/2

Probabilité d’un résultat (d’une issue) obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison.

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La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5.On a 2 chances sur 5 d’obtenir une boule jaune.La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5.

P F

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Expérience à deux épreuves : un exempleOn dispose :

- d’une part, d’un dé ayant une face rouge,deux faces noires et trois faces vertes

- et d’autre part, d’une pièce de monnaie

(les deux, bien équilibrés). On lance le dé puis la pièce.

1. Ecrire tous les résultats possibles.2. Déterminer la probabilité d’obtenir Vert puis Pile.

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Présentation des résultats : tableau

P F R (R;P) (R;F)

N (N;P) (N;F) N (N;P) (N;F) V (V;P) (V;F)

V (V;P) (V;F)

La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

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Résultats possibles

(R;P) (R;F) (N;P) (N;F) (V;P) (V;F) Total

Eff ectif 1 1 2 2 3 3 12

Probabilité 112

112

212

212

312

312 1

Résumé

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Présentation des résultats : arbre

R

V

V

N

N

V

P

P

P

P

P

P

F

F

F

F

F

F

(R;P)

(N;F)

(V;P)

(V;F)

(V;F)

(V;F)

(R;F) (N;P)

(N;F) (N;P)

(V;P)

(V;P)

La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 ou 1/4

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Arbre : autre présentation

R

V

N

P

P

P

F

F

F

1/6

2/6

3/6

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

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Pour un grand nombre d’expériences,en moyenne :

3/6 d’entre elles « donneront » Vert pour le lancer de dé.

Parmi les lancers « Vert », la moitié d’entre eux « ira » sur Pile.

1/2 de 3/6 des expériences donneront (V;P).

La probabilité d’obtenir (V;P) est donc 1 3 1× =42 6

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Probabilité d’un résultat (d’une issue)

obtenue par approche « fréquentiste »

Exemple du lancer de punaise

La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers.

On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par l’expérimentation.

P F

P

G

P F

P

G

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« Si je dois parier sur la somme des points obtenus lorsque je lance deux dés, quelle valeur faut-il que j’annonce avant le lancer pour avoir le plus de chance de gagner ? »

1) Réalise 60 lancers de deux dés et note, à chaque fois,la somme des points obtenus.Donne une synthèse de tes résultats.

2) Représente graphiquement tes résultats.

3) Sur quelle valeur de la somme des deux dés vas-tu parier ?Explique ta réponse.

Un exemple d’expérience

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Sommes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TotalLouis 1 2 4 7 9 13 4 9 4 5 2 60Thomas 3 2 6 6 6 11 11 3 5 4 3 60Dylan 6 10 8 3 12 14 6 3 4 2 2 70Marie-Charlotte 2 3 6 7 8 7 7 4 8 5 3 60Benjamin W 2 2 10 8 7 10 9 3 6 3 0 60Amel 2 3 3 10 10 9 9 3 2 8 1 60Mylène 1 8 6 9 8 12 8 5 2 0 1 60Gaëtan 3 3 5 6 3 10 8 6 5 5 4 58Manon 3 5 3 4 11 16 6 5 4 3 0 60Marc 0 4 8 7 8 8 6 12 5 2 0 60Benjamin C 0 3 3 9 12 13 5 4 6 5 2 62Hélène 3 3 6 5 11 5 10 8 6 3 0 60Franck 0 2 2 8 8 11 9 6 7 5 2 60Valérie D 6 3 4 3 12 16 5 3 4 2 1 59Hulya 3 3 4 9 9 6 9 7 5 4 1 60Margaux S 1 7 4 13 5 13 3 5 5 2 2 60Valérie C 3 3 3 7 7 13 13 3 4 2 4 62Margaux F 0 2 6 5 8 12 9 9 3 3 2 59Laura 4 4 4 9 9 11 7 5 4 1 2 60Musa 1 2 7 2 7 10 6 9 10 3 3 60

Totaux 44 74 102 137 170 220 150 112 99 67 35 1210

Fréquences 0,04 0,06 0,08 0,11 0,14 0,18 0,12 0,09 0,08 0,06 0,03 1

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Somme obtenue lors des lancers des deux dés

0

50

100

150

200

250

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

somme obenue

no

mb

re d

e fo

is

Somme obtenue lors des lancers des deux dés

44 74 102

137

170220

150

112

99 67 35

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Somme obtenue lors des lancers des deux dés

0

200

4002

3

4

5

678

9

10

11

12

Somme obtenue lors des lancers des deux dés

0

50

100

150

200

250

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

somme obenuen

om

bre

de

fois

Graphiques

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A l’intérieur de la classe, les échantillons varient, fluctuent.

C’est le regard sur un grand nombre de résultats qui peut permettre de parier.

Qu’y avait-il de prévisible ?

Après débat et mise en commun, onpeut dégager les points suivants :

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Pour répondre à cette dernière question,on peut faire un tableau comme celui qui suit, qui indique et dénombre les différents totaux :

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

dé 1 dé 2

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Simulation d'un lancer de deux dés

Il est possible alors de montrer aux élèves une simulation d’un lancer de deux dés.

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Déjà enseigné dans de nombreux pays.

Nouvelle forme de pensée à acquérir.

Fil rouge tout au long de l’année.

Favoriser la démarche par l’expérience et laisser du temps.

Allers-retours entre expérience et modèle.

Document d’accompagnement à venir.

Conclusion