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Prof. FELLAH Mohammed-Karim 2007 / 2008 Asservissement – Régulation

Enoncés TD n° 2 : Calcul des Fonctions de Transfert TD2 - 1

Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès Faculté des Sciences de l'Ingénieur Département d'Electrotechnique

Enoncés TD n° 2 Calcul des Fonctions de Transfert

ETL 405 - ETL 412 ETL 423 - ETL 433

Exercice n°1 En supposant les conditions initiales nulles (condensateurs déchargés initialement), calculez les fonctions de transfert des circuits électriques suivants :

a) faire l'étude avec et sans charge initiale 0q du condensateur.

b)

c)

d)

e)

( )ev t

R1

R2

C

( )sv tL

( )ev t

R

C ( )sv t( )i t

+–

( )ev t

R1

R2 C2

( )ov t +–

R3

R4

( )sv t

+–

( )ev t

R1

C1

R2

C2

( )sv t( )1i t

( )2i t

( )ev t

R1

R2

C

C

2( )i t

( )sv t

1( )i t



Exercice n°2 Une sonde atténuatrice connectée à l'entrée d'un oscilloscope peut être schématisée par le circuit électrique ci-contre : Le condensateur C1 sert à "adapter la sonde", c'est-à-dire que si à l'entrée de la sonde on envoie un échelon, nous obtiendrons, également, un échelon à sa sortie. Les 2 échelons peuvent ne pas avoir la même amplitude. C2 est le condensateur d'entrée de l'oscilloscope. Les conditions initiales sont supposées nulles (condensateurs déchargés initialement).

2.a) Débrancher le condensateur C1. Calculer la fonction de transfert ( )G p entre ( )sV p et ( )eV p , puis calculer et tracer ( )sv t lorsque ( )ev t est un échelon unitaire.

2.b) Rebrancher le condensateur C1. Reprendre les calculs de la question a) en donnant les différentes allures de ( )sv t en fonction de (R1.C1) et de (R2.C2).

2.c) Donner la condition particulière pour laquelle ( )sv t est aussi un échelon.

Exercice n°3 En négligeant les transitoires électriques, un moteur à courant continu peut être représenté par le schéma fonctionnel (bloc diagramme) ci-dessous :

a) Calculer la Fonction de Transfert entre u(p) et Ω(p) en supposant C(p)=0. b) Calculer la Fonction de Transfert entre C(p) et Ω(p) en supposant u(p)=0. c) Exprimer Ω(p) en fonction de u(p) et de C(p).

Exercice n°4 Commande en boucle ouverte de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu à excitation indépendante. Soit un moteur à courant continu (appelé également servomoteur) représenté par le schéma électrique ci-dessous.

( )ai t : Courant d'induit ( )av t : Tension d'induit ou d'armature ( )bv t : Force contre électromotrice ( )fi t : Courant d'excitation

( )fv t : Tension d'excitation

( )tθ : Déplacement angulaire ( )tΩ : Vitesse de rotation

( )m tΓ : Couple moteur Ra, La: Résistance et inductance du circuit d'induit. Rf, Lf: Résistance et inductance du circuit d'excitation. J : Moment d'inertie équivalent de la charge + moteur. f : Frottement visqueux équivalent de la charge + moteur.

( )ev tR1 R2

C2 ( )sv t

C1

( )pΩ kR

1Jp+

– +

+

f

A

–

k

( )E p

( )u p ( )U p ( )m pΓ

( )C p

( )av t

Ra Charge

( )m tΓ

M

La

( )bv t( )ai t

( ), ( )t tθΩ

( )fv t

Ra

Rf

Lf

( )fi t

f

J

Inducteur (circuit d'excitation)

Induit (circuit d'armature)



a) Commande par l'induit : ( )fi t cte= ⇒ flux d'excitation ( )t cteφ = Dans ce cas, le flux inducteur est maintenu constant (ex. moteur à excitation indépendante). La vitesse de rotation est commandée par la tension d'armature ( )av t aux bornes de l'induit. En considérant les équations électriques et mécaniques du moteur, calculer la fonction de transfert entre cette tension d'induit ( )av t et le déplacement angulaire ( )tθ du moteur.

b) Commande par l'inducteur : 0( )ai t cte I= = Dans ce cas, le courant inducteur est variable entrainant un flux variable. Le courant d'induit est maintenu constant. La vitesse de rotation est commandée par la tension d'excitation ( )fv t . En considérant les équations électriques et mécaniques du moteur, calculer la fonction de transfert entre cette tension d'excitation ( )fv t et le déplacement angulaire ( )tθ du moteur.

Exercice n°5

a) Considérer le circuit de la figure ci-contre. L'interrupteur K est ouvert pour t<0 et fermé à t=0.

En utilisant les transformées de Laplace, donner l'évolution du courant ( )i t en calculant son expression.

b) Considérer le circuit de la figure ci-contre. L'interrupteur K est en position 1. Le circuit est en régime permanent.

A l'instant t=0, on bascule K sur la position 2.

En utilisant les transformées de Laplace, donner l'évolution du courant ( )i t en calculant son expression.

K

L( )i tE

R

1 2

K

( )i tE L

R


Solutions TD n° 2 : Calcul des Fonctions de Transfert TD2 - 4

Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès Faculté des Sciences de l'Ingénieur Département d'Electrotechnique

Solutions TD n° 2 Calcul des Fonctions de Transfert

ETL 405 - ETL 412 ETL 423 - ETL 433

Exercice n°1 Calcul de fonctions de transfert de circuits électriques. Rappels :

Cir

cuit

élec

triq

ue

Rela

tion

cour

ant-t

ensi

on

dans

le d

omai

ne

tem

pore

l

( ) . ( )v t R i t= ( )

( ) .dv t

i t Cdt

=

( )( ) .

di tv t L

dt=

Rela

tion

cour

ant-t

ensi

on

dans

le d

omai

ne d

e La

plac

e

( ) . ( )V p R I p= ( ) . . ( )I p C pV p= ( ) . . ( )V p L p I p=

Impé

danc

e da

ns le

do

mai

ne d

e La

plac

e ( )( )

( )V p

Z p RI p

= = ( ) 1

( )( ) .

V pZ p

I p C p= =

( )( ) .

( )V p

Z p LpI p

= =

( )v tR

+

( )i t–

C

+

( )i t–

( )v t ( )v tL

+

( )i t–



1.a) On a :

1ère méthode : A partir des équations électriques temporelles : Les équations électriques du circuit sont :

1( ) ( ). (1)

1( ) . ( ) ( ). (2)

s

e

v t i t dtC

v t Ri t i t dtC

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

∫

∫

L'équation (1) donne : ( )

( ) . sdv ti t C

dt=

En remplaçant cette valeur de courant dans (2), nous obtenons : ( )

( ) . ( ) (3)se s

dv tv t RC v t

dt= +

(3) est l'équation différentielle qui décrit la relation entre l'entrée et la sortie du système. Si nous passons du domaine temporelle au domaine de Laplace, alors (3) devient :

[ ]( ) . ( ) (0) ( ) (4)e s s sV p RC pV p v V p= − +

avec : [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )e e s sV p v t V p v t= =L L

(0)sv est la tension au borne du condensateur à l'instant t=0. Elle dépend de la charge initiale 0q et de

capacité C du condensateur : 0(0) (5)sq

vC

=

De (4) et (5) : 0( ) .( ) (6)

1 . .e

sV p Rq

V pRC p+

=+

Si le condensateur n'est pas chargé initialement (conditions initiales nulles), (6) devient : ( )

( )1 . .

es

V pV p

RC p=

+

La fonction de transfert du système est alors : ( ) 1( ) 1 . .

s

e

V p

V p RC p=

+

Ce circuit électrique se comporte donc comme un système de 1er Ordre ( )

( ) 1 .

S p KE p T p

=+

de gain K=1 et de

constante de temps T=RC.

2ème méthode : Utilisation directe des transformées de Laplace : Important : Les conditions initiales sont supposées nulles (condensateur déchargé initialement dans ce cas). Le circuit électrique est un diviseur de tension : Le rapport des tensions est égal au rapport des impédances.

1( ) ( ) 1

1( ) ( ) 1 . .s s

e e

V p V pCpV p V p RC pR

Cp

= ⇒ =++

( )ev t

R

C ( )sv t( )i t



1.b) On a :

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )e e s sV p v t V p v t= =L L Les conditions initiales sont supposées nulles (condensateurs déchargés). Le circuit électrique est un diviseur de tension : Le rapport des tensions est égal au rapport des impédances.

2

1 1 2

1( ) ( )

1( ) ( )s

e

R LpV p Z p CpV p R Z p R R Lp

Cp

+ += =

+ + + +

( )

22

21 2

( ) 1

( ) 1s

e

V p RCp LCp

V p R R Cp LCp

+ +=

+ + +

1.c) On a :

[ ] [ ]

[ ] [ ]1 1

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

e e

s s

I p i t V p v t

I p i t V p v t

⎧ = =⎪⎪⎪⎨⎪ = =⎪⎪⎩

L L

L L

La loi des mailles donne le système d'équation suivant :

1 1 2

1 2 2

1 1( ) ( ) ( ) boucle I

1 20 ( ) ( ) boucle II

eV p R I p I pCp Cp

I p R I pCp Cp

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜= + −⎟⎪ ⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ =− + + ⎟⎜ ⎟⎪ ⎟⎜⎝ ⎠⎪⎪⎩

En déterminant 2( )I p à partir de ce système et en le remplaçant dans : 2 2( ) ( ) ( )s eV p V p R I p= −

on trouve : ( )

2 21 1 2

2 21 2 1 2

( ) 1 2

( ) 1 2s

e

V p RCp RRC pV p R R Cp RRC p

+ +=

+ + +

1.d) On a :

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )e e s sV p v t V p v t= =L L

Les conditions initiales sont supposées nulles (condensateurs déchargés). Le circuit électrique est un montage avec amplificateur inverseur. L'impédance d'entrée de l'amplificateur tend vers l'infini : son courant d'entrée tend vers zéro. Donc : 1 2( ) ( ) 0i t i t+ =

1 21 2

( ) ( ) ( ) ( )0e e s sv t dv t v t dv t

C CR dt R dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⇒ + + + =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 21 2

1 1( ) ( ) 0e sV p C p V p C p

R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⇒ + + + =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1

1 2 2

( ) 1

( ) 1s

e

V p R RC pV p R RC p

− +⇒ =

+

Remarque :

( )ev t

R1

R2

C

( )sv tL

( )Z p

( )ev t

R1

R2

C

C

2( )i t

( )sv t

1( )i t

+ –

( )ev t

R1

C1

R2

C2

( )sv t( )1i t

( )2i t



On peut trouver ce résultat en remarquant que :

2

1

( )

( )s

e

V p ZV p Z

=− avec

11

1 1 1 11

22

2 2 2 22

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1( ) ( )

1 1

Rp Z p

Z R R C pC pR

p Z pZ R R C pC p

⎧⎪⎪ = + ⇒ =⎪ +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = + ⇒ =⎪⎪ +⎪⎪⎩

1.e) On a :

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e o o s sV p v t V p v t V p v t= = =L L L Les conditions initiales sont supposées nulles (condensateur déchargé). Le circuit électrique est un montage avec amplificateur inverseur. En raisonnant de la même manière que l'exercice précédent, on trouve :

2

1

( )

( )o

e

V p ZV p Z

=− avec

1 1

2 2 22 2 2

( )

1 1( ) 1

Z p R

Z p R RC p R C p

⎧ =⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎨ ⎟⎜⎪ ⎟= + = +⎜⎪ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜⎝ ⎠⎪⎩

4

3

( )( )

s

o

V p ZV p Z

=− avec 3 3

4 4

( )

( )

Z p R

Z p R

⎧ =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩

22 24 2 4 2 4

3 1 3 1 3 1

11

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )s s o

e o e

RRC pV p V p V p Z Z Z Z R

V p V p V p Z Z Z Z R R

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⇒ = = − − = =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

2 4

1 3 2 2

( ) 11

( )s

e

V p R RV p R R RC p

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⇒ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ Si 3 4R R= , Alors le 2ème amplificateur est un inverseur pur.

–

( )ev t

R1

R2 C2

( )ov t +–

R3

R4

( )sv t



0 t0

K/avs(t)

Exercice n°2

Le circuit électrique est un diviseur de tension : Le rapport des tensions est égal au rapport des impédances :

2

1 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )s

e

V p Z pG p

V p Z p Z p= =

+

2.a) Sans branchement du condensateur C1.

Dans ce cas :

1 1 1 1

22

2 2 2 22

( ) ( )

1 1 1( ) ( )1 1

Z p R Z p R

Rp Z pZ R R C pC p

⎧ =⎪ ⎧ =⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= +⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎪ ⎪ +⎪⎩⎪⎩

1 21 21 21 21 2 21 2 2

11( )

( )( )

s

e

K RCV p RC KG p avec R RR RV p p a ap RRCRRC

⎧⎪ =⎪⎪⎪⇒ = = = ⎨ ++ ⎪+ =⎪+ ⎪⎪⎩

( ) ( )s eK

V p V pp a

=+

Si l'entrée 1

( )eV pp

= (échelon unitaire), alors :

1( ) 2 (0 )s

KV p pôles réels et a

p p a= −

+

( )sA B

V pp p a

= ++

1 1( )s

KV p

a p p a

⎛ ⎞⎟⎜⇒ = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠

( )( ) 1 ats

Kv t e

a−⇒ = −

L'entrée étant un échelon, la sortie n'est pas un échelon. Sans le condensateur C1, la sonde n'est pas adaptée. 2.b) Avec branchement du condensateur C1

Dans ce cas :

111 1

1 1 1

22

2 2 2 22

1 1 1( ) ( )1

11 1 1

( ) ( )1 1

Rp Z pZ R C p R C pR

p Z pZ R R C pC p

⎧⎪ ⎧⎪ ⎪= +⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎪ +⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪= + =⎪ ⎪⎪ ⎪ +⎪ ⎪⎩⎪⎩

( )( )

1

1 21 1 1

1 11 21 21 21 2 1 2

1 2 1 2

1( ) 1( )( )

s

e

CK

C CpV p C RC p a

G p K avec a RCR RV p C C p bpR RRR C C b

RR C C

⎧⎪⎪ =⎪⎪ +⎪⎪+ ⎪+ ⎪⇒ = = = =⎨+ ⎪+ + ⎪+ ⎪ +⎪+ ⎪ =⎪⎪ +⎪⎩

( )

( ) ( )s eK p a

V p V pp b

+=

+

( )ev tR1 R2

C2 ( )sv t

C1

Z2

Z1



0 t0

vs(t)

R1C1>R2C2

R1C1<R2C2

C1--------

C1+C2

C1--------

C1+C2

R2--------

R1+R2

R1C1=R2C2

Si l'entrée 1

( )eV pp

= (échelon unitaire), alors :

( )1 1( ) 2 (0 )s

K p a p a A BV p K K pôles réels et b

p p b p p b p p b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎟ ⎟⎜ ⎜= = = + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1( )s

a b aV p K

b p b p b

⎛ ⎞− ⎟⎜⇒ = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠

( )1 2

1 2 1 21 2 2

1 2 1 2 1 2( )

R Rt

R R C Cs

C R Rv t e

C C R R R R

⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⇒ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + + +⎝ ⎠

Différentes allures de ( )sv t en fonction de (R1.C1) et de (R2.C2).

2.c) Condition particulière pour laquelle ( )sv t est aussi un échelon.

La condition d'adaptation de la sonde (entrée échelon et sortie échelon) est qu'il n'y ait pas de terme en

exponentielle dans l'expression de ( )sv t , c'est à dire 1 21 1 2 2

1 2 1 20

C RC R C R

C C R R

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + +⎝ ⎠

Dans ce cas : 2

1 2( )s

Rv t

R R=

+, c'est-à-dire un échelon < 1



Exercice n°3 En négligeant les transitoires électriques, un moteur à courant continu peut être représenté par le schéma fonctionnel (bloc diagramme) ci-dessous : Cet exercice constitue une application du théorème de superposition pour les systèmes linéaires.

a) Calcul de la Fonction de Transfert G1(p) entre u(p) et Ω(p) en supposant C(p)=0.

Dans ce cas la sortie vaut Ω1(p).

Avec 1

( )F pJp f

=+

11 2

( ) ( )( )

( )1 ( )

p F pkG p A

u p R kF p

R

Ω= =

+

b) Calcul de la Fonction de Transfert G2(p) entre C(p) et Ω(p) en supposant u(p)=0.

Dans ce cas, la sortie vaut Ω2(p). L'entrée u(p)=0. Donc U(p)=0.

( )pΩ kR

1Jp+

– +

+

f

A

–

k

( )E p

( )u p ( )U p ( )m pΓ

( )C p

1( )pΩkR

( )F p+

– A

k

( )E p

( )u p ( )U p ( )m pΓ

1( )pΩ( )

kF p

R+ –

A

k

( )E p

( )u p ( )U p 1( )pΩ

2( )

1 ( )

F pkA

R kF p

R+

( )u p

2( )pΩkR

1Jp

– +

+

f–

k

( )E p

( )m pΓ

( )C p



Avec 1

( )F pJp f

=+

22 2

( ) ( )( )

( )1 ( )

p F pG p

C p kF p

R

Ω= =

+

c) Expression de Ω(p) en fonction de u(p) et de C(p).

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )p p p u p G p C p G pΩ = Ω +Ω = +

2 2( ) ( )

( ) ( ). ( ).

1 ( ) 1 ( )

F p F pkp u p A C p

R k kF p F p

R R

⇒ Ω = +

+ +

2( )

( ) ( ). ( ) .

1 ( )

F pkp u p A C p

R kF p

R

⎛ ⎞⎟⎜⇒ Ω = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+

avec 1

( )F pJp f

=+

2( )pΩkR

1Jp

+

f–

k

( )C p

–

2( )pΩ

2kR

1Jp

+

f–

( )C p

–

2( )pΩ

2kR

1Jp

+

f

–

( )C p+

–

2( )pΩ

2kR

+ ( )C p

–

( )F p 2( )pΩ

2( )

1 ( )

F p

kF p

R+

( )C p



Exercice n°4 Commande en boucle ouverte de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu à excitation indépendante. Soit un moteur à courant continu (appelé également servomoteur) représenté par le schéma électrique ci-dessous.

( )ai t : Courant d'induit ( )av t : Tension d'induit ou d'armature ( )bv t : Force contre électromotrice ( )fi t : Courant d'excitation

( )fv t : Tension d'excitation

( )tΩ : Vitesse de rotation ( )m tΓ : Couple moteur

Ra, La: Résistance et inductance du circuit d'induit. Rf, Lf: Résistance et inductance du circuit d'excitation. J : Moment d'inertie équivalent de la charge + moteur. f : Frottement visqueux équivalent de la charge + moteur.

a) Commande par l'induit : ( )fi t cte= ⇒ flux d'entrefer ( )f t cteφ = Dans ce cas, le flux inducteur est maintenu constant (ex. moteur à excitation indépendante). La vitesse de rotation est commandée par la tension d'armature ( )av t aux bornes de l'induit. En considérant les équations électriques et mécaniques du moteur, calculons la fonction de transfert entre cette tension d'induit ( )av t et la vitesse de rotation ( )tΩ du moteur. Le couple électromagnétique eΓ développé par le moteur est proportionnel au produit du courant d'induit

( )ai t et du flux d'excitation :

1( ) . ( ). ( )e f at K t i tφΓ = Ce flux d'excitation est lui-même proportionnel au courant d'excitation ( )fi t :

2( ) . ( )f ft K i tφ = . D'où :

1 2( ) . . ( ). ( )e f at K K i t i tΓ = Le courant d'excitation étant constant dans ce cas, il devient : ( ) . ( )e a at K i tΓ = (1) avec :

1 2. .a fK K K i= Remarque : Noter que si le signe du courant ( )ai t est inversé, le signe du couple sera inversé, ce qui provoquera une inversion du sens de rotation du moteur. Le couple moteur mΓ (ou couple utile) est égale à :

m e pΓ = Γ −Γ

Avec : eΓ : couple électromagnétique pΓ : couple de pertes (pertes fer + pertes mécaniques)

Si on néglige les pertes ( 0pΓ ≈ ), alors l'équation (1) devient :

. ( )m a aK i tΓ = (2)

( )av t

Ra Charge

( )m tΓ M

La

( )bv t( )ai t

( )tΩ

( )fv t

Ra

Lf

Rf

( )fi t

f

J

Inducteur (circuit d'excitation)

Induit (circuit d'armature)



Lorsque le moteur tourne en entrainant sa charge, une tension ( )bv t (force contre électromotrice) est induite dans l'armature et tend à s'opposer à la tension d'induit.

( )bv t est proportionnelle au flux d'entrefer ( )f tφ (constant dans ce cas) et à la vitesse de rotation ( )tΩ :

( ) . ( )b bv t K t= Ω (3) La vitesse de rotation du moteur est contrôlée par la tension d'armature ( )av t . Or, le circuit électrique d'armature obéit à l'équation différentielle suivante :

( )

( ) ( ) ( )aa a a a b

di tv t R i t L v t

dt= + + (4)

Ce qui donne avec l'équation (3) :

( )

( ) ( ) . ( )aa a a a b

di tv t R i t L K t

dt= + + Ω (5)

Le couple est lié à ( )tΩ par :

( )

( )md t

J f tdtΩ

Γ = + Ω (6)


( )

( ) . ( )a ad t

J f t K i tdtΩ

+ Ω = (7)

En définitive, les 2 équations (5) et (7) définissent complètement les comportements électrique et mécanique du moteur. En supposant toutes les conditions initiales nulles, et en prenant les transformées de Laplace de ces équations, on obtient :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )a a a a a b

a a

V p R I p L pI p K p

Jp p f p K I p

⎧⎪ = + + Ω⎪⎨⎪ Ω + Ω =⎪⎩

En éliminant le courant entre les 2 équations, on ne considère plus que la relation entrée-sortie entre la tension d'armature ( )aV p et la vitesse de rotation ( )pΩ (Fonction de transfert F(p)) :

( )2

( )( )

( )a

a a a a a a b

KpF p

V p L Jp L f R J p R f K K

Ω= =

+ + + +

( )( )( )

( )( )

a

a a a a b

KpF p

V p R L p f Jp K K

Ω= =

+ + +

L'inductance aL est, en général, très faible et peut être négligée. F(p) se réduit à :

( )( )

( )1

a

a a b

a a

a a b

K

R f K KpF p

V p R Jp

R f K K

+Ω= =

++

Si on note :

am

a a b

am

a a b

KK Gain du moteur

R f K KR J

T Constante de temps du moteurR f K K

⎧⎪⎪ =⎪ +⎪⎪⎨⎪⎪ =⎪⎪ +⎪⎩



Alors, la relation entrée-sortie entre la tension d'armature ( )aV p et la vitesse de rotation ( )pΩ , est :

( )

( )( ) 1

m

a m

KpF p

V p T pΩ

= =+

A partir des différentes équations, on peut modéliser la relation entre la tension d'armature ( )aV p et la vitesse de rotation ( )pΩ par le schéma fonctionnel suivant :

b) Commande par l'inducteur : 0( )ai t cte I= = Dans ce cas, le courant inducteur est variable entrainant un flux variable. Le courant d'induit est maintenu constant. La vitesse de rotation est commandée par la tension d'excitation ( )fv t . En considérant les équations électriques et mécaniques du moteur, calculons la fonction de transfert entre cette tension d'inducteur ( )fv t et la vitesse de rotation ( )tΩ du moteur.

Le couple électromagnétique eΓ développé par le moteur est proportionnel au produit du courant d'induit

( )ai t et du flux d'excitation :

1( ) . ( ). ( )e f at K t i tφΓ = Ce flux d'excitation est lui-même proportionnel au courant d'excitation ( )fi t :

2( ) . ( )f ft K i tφ = . D'où :

1 2( ) . . ( ). ( )e f at K K i t i tΓ = Le courant d'induit étant constant dans ce cas, il devient : ( ) . ( )e f ft K i tΓ = (1) avec :

1 2. .f aK K K i= Remarque : Noter que si le signe du courant ( )fi t est inversé, le signe du couple sera inversé, ce qui provoquera une inversion du sens de rotation du moteur. Le couple moteur mΓ (ou couple utile) est égale à :

m e pΓ = Γ −Γ

Avec : eΓ : couple électromagnétique pΓ : couple de pertes (pertes fer + pertes mécaniques)

( )pΩ 1

a aR L p+

+ –

( )aV p ( )aI paK

+

–

( )p pΓ

( )e pΓ ( )m pΓ 1f Jp+

bK

( )bV p

Charge Moteur



Si on néglige les pertes ( 0pΓ ≈ ), alors l'équation (1) devient :

. ( )m f fK i tΓ = (2) La vitesse de rotation du moteur est contrôlée par la tension d'excitation ( )fv t . Or, le circuit électrique d'excitation obéit à l'équation différentielle suivante :

( )

( ) ( ) ff f f f

di tv t R i t L

dt= + (3)

Le couple est lié à ( )tΩ par :

( )

( )md t

J f tdtΩ

Γ = + Ω (4)


( )

( ) . ( )f fd t

J f t K i tdtΩ

+ Ω = (5)

En définitive, les 2 équations (3) et (5) définissent complètement les comportements électrique et mécanique du moteur. En supposant toutes les conditions initiales nulles, et en prenant les transformées de Laplace de ces équations, on obtient :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )f f f f f

f f

V p R I p L pI p

Jp p f p K I p

⎧⎪ = +⎪⎪⎨⎪ Ω + Ω =⎪⎪⎩

En éliminant le courant entre les 2 équations, on ne considère plus que la relation entrée-sortie entre la tension d'excitation ( )fV p et la vitesse de rotation ( )tΩ (Fonction de transfert F(p)) :

( )2

( )( )

( )f

f f f f f

KpF p

V p L Jp L f R J p R f

Ω= =

+ + +

( )( )( )

( )( )

f

f f f

KpF p

V p R L p f Jp

Ω= =

+ +

( )( )

( )1 1

f

f

f f

f

K

R fpF p

V p L Jp p

R f

Ω= =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟+ +⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎟⎝ ⎠⎟⎜⎝ ⎠

Si on note :

fm

f

m

ff

f

KK Gain du moteur

R f

JT Constante de temps mécanique du moteur

fL

T Constante de temps électrique du moteurR

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩



Alors, la relation entrée-sortie entre la tension d'excitation ( )fV p et la vitesse de rotation ( )pΩ , est :

( )( )

( )( )

( ) 1 1m

f f m

KpF p

V p T p T p

Ω= =

+ +

A partir des différentes équations, on peut modéliser la relation entre la tension d'excitation ( )fV p et la

vitesse de rotation ( )pΩ par le schéma fonctionnel suivant :

( )pΩ1

f fR L p+ ( )fV p

( )fI pfK

+

–

( )p pΓ

( )e pΓ ( )m pΓ 1f Jp+

Charge Moteur



Exercice n°5

a) Pour t < 0 :

L'interrupteur K est ouvert. Aucun courant ne circule dans R et L vaut : (0 ) 0i − = . Pour t ≥ 0 :

A t=0, l'interrupteur K est fermé. Le courant circule dans R et L selon l'équation électrique :

( ). . ( ) (0) 0di t

L R i t E avec idt

+ = = .

[ ]. ( ) (0) . ( )E

L pI p i R I pp

⇒ − + = ( )

1( )I p E

p Lp R

⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ = ⎢ ⎥+⎣ ⎦

1 1( )

EI p

RR p pL

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⇒ = −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 1R

tLE

i t eR

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

(0) 0i = et ( )E

iR

∞ =

b)

Pour t < 0 : L'interrupteur K est en position 1. Le courant circulant dans R et L vaut, en régime permanent : (0 ) Ei R

− = .

Pour t ≥ 0 : A t=0, l'interrupteur K bascule sur la position 2. Le courant circulant dans L ne peut pas varier instantanément. Il vaut donc :

(0 ) (0 ) (0) Ei i i R+ −= = = .

Ce courant constitue le courant initial à t=0. L'équation électrique est :

( ). . ( ) 0 (0)di t E

L R i t avec idt R

+ = =

[ ]. ( ) (0) . ( ) 0L pI p i R I p⇒ − + =

1

( )E

I pRR pL

⇒ =+

( )R

tLE

i t eR

−⇒ =

(0)E

iR

= et ( ) 0i ∞ =

K

( )i tE L

R

K

L( )i tE

R

1 2

00

E / RAllure du courant

Temps (sec)

Cou

rant

00

E / RAllure du courant i(t)

Temps (sec)

Cou

rant

61545151-td-2-ex-sol

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