4-10- 2013 j.f.c. mat. p. 1 matrices -...
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4-10- 2013 J.F.C. Mat. p. 1
MATRICES
I GENERALITES
1. Definitions
2. Matrices carrees particulieres
3. Transposee d’une matrice
II ADDITION ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS Mn,p(K)
1. Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K)
2. Base canonique de Mn,p(K)
3. Des sous-espaces usuels de Mn(K)
4. Les deux operations elementaires et la transposition
5. Les deux operations elementaires et la trace
III MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES
1. Matrice d’une famille de vecteurs
2. Matrice d’une application lineaire
3. L’isomorphisme fondamental
4. Matrice d’une forme lineaire
IV RANG D’UNE MATRICE
1. Definition
2. Proprietes
V PRODUIT DE DEUX MATRICES
1. Definition
2. Produit matriciel et bases canoniques
3. Matrice de la composee de deux applications lineaires
4. Definition analytique d’une application lineaire
5. Proprietes usuelles des operations sur les matrices
6. Puissances d’une matrice carree
7. Produit de matrices particulieres
8. Polynomes de matrices
9. Polynomes annulateurs d’une matrice
10. Produit et trace
J.F.C. Mat. p. 2
VI MATRICES INVERSIBLES
1. Definition
2. Matrice inversible et isomorphisme
3. Caracterisations des matrices inversibles
4. Quelques proprietes
5. Inversibilite des matrices triangulaires et des matrices diagonales
6. Inversibilite des matrices d’ordre 2
7. Inversibilite de la transposee
8. Polynome annulateur et inversion
VII CHANGEMENT DE BASE
1. Matrice de passage
2. Changement de base dans un espace vectoriel
3. Changement de base pour un endomorphisme
3’. Changement de base pour une application lineaire
4. Matrices semblables
VIII PRATIQUE DE L’INVERSIBILITE ET DE L’INVERSION
IX SAVOIR FAIRE
X COMPLEMENTS
1. Egalite de deux matrices
2. Une nouvelle caracterisation des bases en dimension finie
3. Simplification par une matrice inversible
4. Matrice de passage again
5. Matrice d’un endomorphisme de Kn[X]
6. Encore du rang
7. Caracterisation des matrices de rang 1
8. Matrice a diagonale strictement dominante
9. Matrice nilpotente
10. Commutant d’une matrice ou d’un ensemble de matrices
11. Exponentielle d’une matrice
12. Interpretation matricielle des operations elementaires dans la methode du pivot
XI DES PHRASES OU DES RHETORIQUES TOUTES FAITES
XII DES ERREURS A NE PAS FAIRE
J.F.C. Mat. p. 3
MATRICES
I Si vous trouvez quelques ”coquilles” dans ces feuilles merci de me les signaler ([email protected]).
P Mentionne des resultats particulierement utiles et souvent oublies dans la pratique des matrices...
⋆ Mentionne des erreurs a ne pas faire ou des hypotheses importantes ou des mises en garde.
SD Mentionne des resultats qu’il serait bon de savoir demontrer.
Dans ce qui suit K est le corps des reels ou des complexes, E et E′ (et meme E′′) sont des K-espaces vectoriels.
Sauf precisions n, p, q sont des elements de N∗.
I GENERALITES
I 1. Definitions
Def. 1 On appelle matrice de type (n,p) ou de format (n, p) ou de taille (n, p) a elements ou a coefficients
dans K toute application de [[1, n]] × [[1, p]] dans K ou encore toute famille d’elements de K indexee par
[[1, n]]× [[1, p]].
On noteMn,p(K) l’ensemble des matrices de type (n,p) a elements dans K.
Un element A = (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] deMn,p(K) se represente par un tableau rectangulaire de n lignes et
p colonnes ou figure a l’intersection de la ieme ligne et de la j eme colonne : ai,j .
Souvent on assimile la matrice et le tableau. On ecrit alors :
A = (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] =
a1,1 a1,2 · · · a1,j · · · a1,pa2,1 a2,2 · · · a2,j · · · a2,p...
......
...ai,1 ai,2 · · · ai,j · · · ai,p...
......
...an,1 an,2 · · · an,j · · · an,p
.
Dans A = (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]], i est l’indice de ligne et j celui de colonne.
Le plus souvent au lieu de parler de l’element A = (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] de Mn,p(K), nous parlerons de l’element
A = (ai,j) deMn,p(K) ; ai,j est le terme general ou l’element generique de la matrice A.
Def. 2 Soit A = (ai,j) un element deMn,p(K).
Si i est un element de [[1, n]], la matrice(ai,1 ai,2 . . . ai,p
)deM1,p(K) est la ieme ligne de A.
Si j est un element de [[1, p]], la matrice
a1,ja2,j...
an,j
deMn,1(K) est la j eme colonne de A.
J.F.C. Mat. p. 4
Def. 3 1. Les matrices de type (n, n) sont appelees matrices carrees d’ordres n ou de taille n.
On noteMn(K) l’ensemble des matrices carrees d’ordre n a coefficients dans K. Mn(K) =Mn,n(K) !
Si A = (ai,j) est un element deMn(K), a1,1, a2,2,..., an,n sont les elements ou coefficients diagonaux
de la matrice A.
2. Les matrices de type (1, n) sont appelees matrices lignes.
3. Les matrices de type (n, 1) sont appelees matrices colonnes.
⋆ Nous confondrons le plus souvent la matrice (a) deM1(K) avec l’element a de K.
Seconde annee
Def. 4 Soit A = (ai,j) un element deMn(K).
La trace de A est la somme des elements diagonaux de A. On la note Tr(A). Tr(A) =
n∑i=1
ai,i .
I 2. Matrices carrees particulieres
Def. 5 1. In est l’element (ai,j) deMn(K) tel que : ∀i ∈ [[1, n]], ai,i = 1 et ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i = j ⇒ ai,j = 0 ;
on parle de matrice identite ou de matrice unite.
2. Soit A = (ai,j) un element deMn(K).
A = (ai,j) est scalaire si : ∃λ ∈ K, A = λ In.
A = (ai,j) est diagonale si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i = j ⇒ ai,j = 0.
A = (ai,j) est triangulaire superieure si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i > j ⇒ ai,j = 0.
A = (ai,j) est triangulaire inferieure si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i < j ⇒ ai,j = 0.
A = (ai,j) est symetrique si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, aj,i = ai,j .
A = (ai,j) est antisymetrique si : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, aj,i = −ai,j .
Dans la suite si n est un element de N∗ et (a1, a2, . . . , an) un element de Kn, Diag(a1, a2, . . . , an) designera la
matrice diagonale deMn(K) dont les elements diagonaux sont, dans l’ordre, a1, a2, ..., an.
I 3. Transposee d’une matrice
Def. 6 Soit A = (ai,j) une matrice deMn,p(K).
La transposee de A est la matrice (bi,j) deMp,n(K) definie par : ∀(i, j) ∈ [[1, p]]× [[1, n]], bi,j = aj,i.
On la note tA.
Le programme de 2013 impose la notation tA mais on trouve parfois dans les problemes de concours la notation
At.
Prop. 1 Soit A une matrice deMn(K).
A est symetrique si et seulement si tA = A.
A est antisymetrique si et seulement si tA = −A.
J.F.C. Mat. p. 5
II ADDITION ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS Mn,p(K)
I 1. Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K)
Th. 1 Si A = (ai,j) et B = (bi,j) sont deux elements deMn,p(K) et α un element de K, on pose :
A+B = (ai,j + bi,j) et α·A = (αai,j) .
(Mn,p(K),+, · ) est un espace vectoriel sur K .
Dans la suite nous noterons 0Mn,p(K) le vecteur nul deMn,p(K). Nous parlerons de la matrice nulle deMn,p(K).
I 2. Base canonique de Mn,p(K)
Th. 2 et def. 7 Si i appartient a [[1, n]] et j a [[1, p]], on note Ei,j la matrice de Mn,p(K) dont les coefficients
sont tous nuls sauf celui situe a l’intersection de la ieme ligne et le j eme colonne qui vaut 1.
La famille (Ei,j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] est une base deMn,p(K). C’est la base canonique deMn,p(K).
Si A = (ai,j) est un element deMn,p(K) :A =
n∑i=1
p∑j=1
ai,j Ei,j donc (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]] est la
famille des coordonnees de A dans cette base.
Mn,p(K) est de dimension np sur K . Mn(K) est de dimension n2 sur K .
Th. 3 1. La base canonique deMn,1(K) est :
10...0
,
01...0
, · · · ,
0...01
.
Les coordonnees d’un element C =
c1c2...cn
deMn,1(K) dans cette base sont : c1, c2, ..., cn.
2. La base canonique deM1,n(K) est :(( 1 0 . . . 0 ) , ( 0 1 . . . 0 ) , . . . , ( 0 0 . . . 1 )
).
Les coordonnees d’un element L = ( ℓ1 ℓ2 . . . ℓn ) deM1,n(K) dans cette base sont : ℓ1, ℓ2, ..., ℓn.
I 3. Des sous-espaces usuels de Mn(K)
Prop. 2 A et B sont deux elements deMn(K) et α est un element de K.
Si A et B sont scalaires, αA et A+B sont scalaires.
Si A et B sont diagonales, αA et A+B sont diagonales.
Si A et B sont triangulaires superieures, αA et A+B sont triangulaires superieures.
Si A et B sont triangulaires inferieures, αA et A+B sont triangulaires inferieures.
Prop. 3 Soient A = Diag(a1, a2, . . . , an) et B = Diag(b1, b2, . . . , bn) deux matrices diagonales deMn(K). Soit α
un element de K.
A+B = Diag(a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn) et αA = Diag(αa1, α a2, . . . , α an) .
J.F.C. Mat. p. 6
Prop. 4 1. L’ensemble des matrices scalaires deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension 1.
C’est la droite vectorielle engendree par In .
2. SD L’ensemble des matrices diagonales de Mn(K) est un sous-espace vectoriel de Mn(K) de
dimension n.
3. SD L’ensemble des matrices triangulaires superieures de Mn(K) est un sous-espace vectoriel de
Mn(K) de dimensionn (n+ 1)
2·
4. SD L’ensemble des matrices triangulaires inferieures de Mn(K) est un sous-espace vectoriel de
Mn(K) de dimensionn (n+ 1)
2·
Prop. 5 A et B sont deux elements deMn(K) et α est un element de K.
Si A et B sont symetriques, αA et A+B sont symetriques.
Si A et B sont antisymetriques, αA et A+B sont antisymetriques.
Prop. 6 1. SD L’ensemble Sn(K) des matrices symetriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K)
de dimensionn(n+ 1)
2·
2. SD L’ensemble An(K) des matrices antisymetriques de Mn(K) est un sous-espace vectoriel de
Mn(K) de dimensionn(n− 1)
2·
3. SD Ces deux sous-espaces vectoriels sont supplementaires dansMn(K). Mn(K) = Sn(K)⊕An(K).
P Soit M un element deMn(K). Il existe une unique matrice symetrique S deMn(K) et une unique matrice
antisymetrique A deMn(K) telles que M = A+ S. S =1
2
(M + tM
)et A =
1
2
(M − tM
).
I 4. Les deux operations elementaires et la transposition
Prop. 7 Soient α un element de K, A et B deux elements deMn,p(K).
t(αA) = α tA t(A+B) = tA+ tB t(tA
)= A .
Prop. 8 1. La transposition definie un isomorphisme deMn,p(K) surMp,n(K).
2. La transposition definie un automorphisme involutif deMn(K).
I 5. Les deux operations elementaires et la trace Deuxieme annee
Prop. 9 Soient A et B deux matrices deMn(K) et soit α un element de K.
Tr(αA) = α Tr(A) Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)
Prop. 10 La trace definie une forme lineaire surMn(K), de rang 1 .
J.F.C. Mat. p. 7
III MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES
I 1. Matrice d’une famille de vecteurs
Def. 8 Soit B = (e1, e2, . . . , en) une base de E et (u1, u2, . . . , up) une famille d’elements de E.
Pour tout j dans [[1, p]] et pour tout i dans [[1, n]] on note ai,j la ieme coordonnee de uj dans la base B.
L’element (ai,j) deMn,p(K) est appele matrice de la famille (u1, u2, . . . , up) dans la base B.
On la note MatB(u1, u2, . . . , up) ou plus simplement MB(u1, u2, . . . , up) .
P MatB(u1, u2, . . . , up) s’obtient en ecrivant en colonne, et successivement, les coordonnees des vecteurs
u1, u2, ..., up dans la base B.
Th. 4 P Les notations sont celles de la definition precedente.
MatB(u1, u2, . . . , up) = (ai,j) ⇐⇒ ∀j ∈ [[1, p]], uj =n∑
i=1
ai,j ei .
Def. 9 Soit B = (e1, e2, . . . , en) une base de E et u un vecteur de E de coordonnees (x1, x2, . . . , xn) dans la base
B.
MatB(u) =
x1
x2...xn
est la matrice des coordonnees du vecteur u dans la base B, ou le vecteur
colonne des coordonnees de u dans la base B comme le dit le programme...
⋆⋆ Dans la situation precedente on est prie de ne pas confondre le vecteur u, la famille (x1, x2, . . . , xn) de ses
coordonnees dans la base B et la matrice
x1
x2...xn
de ses coordonnees dans la base B.
I 2. Matrice d’une application lineaire
Def. 10 E est de dimension non nulle p et E′ de dimension non nulle n.
f est une application lineaire de E dans E′, B = (e1, e2, . . . , ep) une base de E et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n)
une base de E′.
La matrice de f relativement aux bases B et B′ est la matrice de la famille((f(e1), f(e2), · · · , f(ep)
)dans la base B′ = (e′1, e
′2, . . . , e
′n). Nous la noterons MatB′,B(f) ou plus simplement MB′,B(f) .
MatB′,B(f) est l’element de Mn,p(K) obtenu en ecrivant en colonne, et successivement, les coordonnees
des vecteurs f(e1), f(e2), ..., f(ep) dans la base B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n).
⋆ Il convient de bien memoriser qu’une application lineaire d’un espace vectoriel de dimension p dans un espace
vectoriel de dimension n est representee par une matrice de type (n, p). Attention donc a ”l’inversion”.
J.F.C. Mat. p. 8
P Il convient de retenir le ”schema” suivant : MatB′,B(f) =
f(e1) f(e2) . . . f(ep)
e′1e′2......e′n
.
⋆⋆ Le programme 2013 impose la notation MatB′,B(f). Attention a ”l’inversion”. Beaucoup d’auteurs ne font
pas l’inversion et utilisent MatB,B′(f) ou MB,B′(f). Perso j’utilisais jusqu’a maintenant M(f,B,B′). Faire donc
tres attention lorsque vous lirez d’anciennes corrections a la notation utilisee. Attention encore le jour du concours
aux concepteurs un peu distraits...
Th. 5 P Les notations sont celles de la definition precedente.
MatB′,B(f) = (ai,j) ⇐⇒ ∀j ∈ [[1, p]], f(ej) =n∑
i=1
ai,j e′i .
⋆ Cette equivalence doit devenir un reflexe fort.
Def. 11 E est de dimension non nulle n. f est un endomorphisme de E et B = (e1, e2, . . . , en) une base de E.
La matrice de f dans la base B = (e1, e2, . . . , en) est la matrice de la famille((f(e1), f(e2), · · · , f(en)
)dans
la base B = (e1, e2, . . . , en). On la note MatB(f) ou plus simplement MB(f) .
MatB(f) est un element deMn(K). MatB(f)=MatB,B(f) !
Th. 6 P Les notations sont celles de la definition precedente.
MatB(f) = (ai,j) ⇐⇒ ∀j ∈ [[1, n]], f(ej) =n∑
i=1
ai,j ei .
⋆ Cette equivalence doit devenir un reflexe fort.
I 3. L’isomorphisme fondamental
Th. 7 E est de dimension non nulle p et E′ de dimension non nulle n.
B = (e1, e2, . . . , ep) est une base de E et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) une base de E′.
1. Si f et g sont deux applications lineaires de E dans E′ et α un element de K :
MatB′,B(f + g) = MatB′,B(f) +MatB′,B(g) et MatB′,B(αf) = αMatB′,B(f) .
2. Pour toute matrice A deMn,p(K) il existe une application lineaire f , de E dans E′, et une seule telle
que MatB′,B(f) = A.
3. φ :L(E,E′)→Mn,p(K)
f −→ MatB′,B(f)
. φ est un isomophisme d’espaces vectoriels de L(E,E′) surMn,p(K).
J.F.C. Mat. p. 9
P S’il convient de savoir trouver la matrice d’une application lineaire relativement a deux bases il convient
egalement de savoir associer a une matrice une application lineaire. Voila une phrase toute faite permettant de le
faire dans le cas ou A est un element deMn,p(K).
Considerons l’application lineaire f de Kp dans Kn dont la matrice relativement aux bases canoniques
de Kp et de Kn est A.
On dit que f est l’application lineaire canoniquement associee a A.
Th. 8 E est de dimension n non nulle et B = (e1, e2, . . . , en) une base de E.
1. Si f et g sont deux endomorphismes de E et α un element de K :
MatB(f + g) = MatB(f) +MatB(g) et MatB(αf) = αMatB(f) .
2. Pour toute matrice A deMn(K) il existe un endomorphisme f de E et un seul tel que MatB(f) = A.
3. φ :L(E)→Mn(K)
f −→ MatB(f)
. φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels de L(E) surMn(K).
P S’il convient de savoir trouver la matrice d’un endomorphisme relativement a une base il convient egalement
de savoir associer a une matrice carree un endomorphisme. Voila une phrase toute faite permettant de le faire dans
le cas ou A est un element deMn(K).
Considerons l’endomorphisme f de Kn dont la matrice relativement a la base canonique de Kn est A.
On dit que f est l’endomorphisme canoniquement associee a A.
I 4. Matrice d’une forme lineaire
Prop. 11 E est un K-espace vectoriel de dimension n.
La matrice d’une forme lineaire sur E, relativement a une base de E et une base de K, est un element de
M1,n(K) donc une matrice ligne.
Prop. 12 Reciproquement toute matrice ligne est la matrice d’une forme lineaire.
IV RANG D’UNE MATRICE
I 1. Definition
Def. 12 Le rang d’une matrice deMn,p(K) est la dimension du sous-espace vectoriel deMn,1(K) engendre par
les colonnes de cette matrice.
I 2. Proprietes
Prop. 13 P Le rang d’une matrice deMn,p(K) est la dimension du sous-espace vectoriel deM1,p(K) engendre
par les lignes de cette matrice.
Prop. 14 P On ne change pas le rang d’une matrice en effectuant sur cette matrices les operations elementaires
sur les lignes Li ←→ Lj , Lj ← Lj + λLi ou Li ← λLi avec cette fois λ non nul.
On ne change pas le rang d’une matrice en effectuant sur cette matrices les operations elementaires sur
les colonnes Ci ←→ Cj , Cj ← Cj + λCi ou Ci ← λCi avec cette fois λ non nul.
J.F.C. Mat. p. 10
Th. 9 E est de dimension non nulle p et E′ de dimension non nulle n. f est une application lineaire de E dans
E′, B = (e1, e2, . . . , ep) une base de E et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) une base de E′. A est la matrice de f
relativement aux bases B et B′.
rg(f) = rg(A) ou rg(f) = rg (MatB′,B(f)) .
Prop. 15 Soit A un element deMn,p(K). rg(A) 6 Min(n, p).
Prop. 16 Soit A un element deMn,p(K). rg(tA) = rg(A) .
V PRODUIT DE DEUX MATRICES
I 1. Definition
Def. 13 A = (ai,j) est une matrice de type (n, p) a elements dans K et B = (bi,j) une matrice de type (p, q) a
elements dans K.
Le produit de A par B est la matrice C = (ci,j) de type (n, q) a elements dans K definie par :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, q]], ci,j =
p∑k=1
ai,k bk,j .
On le note A×B ou plus simplement AB.
⋆ Le produit de AB n’est defini que si le nombre de colonnes de A est egal au nombre de lignes de B.
⋆ A retenir : ”Type (n, p)× Type (p, q) = Type (n, q)”.
P A = (ai,j) est un element deMn,p(K) et B = (bi,j) un element deMp,q(K). C = AB = (ci,j).
L’intersection de la ieme ligne de AB et de sa j eme colonne est le produit matriciel de la ieme ligne de A avec la
j eme colonne de B ou :
ci,j =(ai,1 ai,2 . . . ai,p
)×
b1,jb2,j...
bp,j
.
P A = (ai,j) est un element deMn,p(K) et B = (bi,j) un element deMp,q(K). C = AB = (ci,j).
Pour tout j dans [[1, q]], la j eme colonne de AB est le produit de A par la j eme colonne de B.
Pour tout i dans [[1, n]], la ieme ligne de AB est le produit de la ieme ligne de A par B.
I 2. Produit matriciel et bases canoniques
Prop. 17 P A = (ai,j) est une matrice deMn,p(K).
La j eme colonne de A est le produit AEj ou Ej est le j eme element de la base canonique deMp,1(K).
La ieme ligne de A est le produit tE′iA ou E′
i est le ieme element de la base canonique deMn,1(K).
Avec les notations precedentes : ∀(i, j) ∈ [[1, p]]× [[1, n]], ai,j =tE′
iAEj .
Ce modeste resultat est tres pratique pour “extraire” une colonne ou une ligne ou un element d’une matrice.
J.F.C. Mat. p. 11
Prop. 18 Soit (Ei)i∈[[1,n]] la base canonique deMn,1(K) et soit (Ei,j)(i,j)∈∈[[1,n]]2 la base canonique deMn(K).
1. ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, Ei,j = Ei
tEj .
2. ∀(p, q, r, s) ∈ [[1, n]]4, Ep,q Er,s =
{Ep,s si q = r
0Mn(K) sinon.
I 3. Matrice de la composee de deux applications lineaires
Th. 10 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E. f et g sont deux endomorphismes de E.
Si A est la matrice de f dans B et B celle de g dans B, alors BA est la matrice de g ◦ f dans B. En clair :
P MatB(g ◦ f) = MatB(g)×MatB(f) .
Th. 11 E, E′ et E′′ sont de dimensions finies non nulles. B, B′ et B′′ en sont des bases respectives. f est une
application lineaire de E dans E′ et g une application lineaire de E′ dans E′′. Alors :
P MatB′′,B(g ◦ f) = MatB′′,B′(g)×MatB′,B(f) .
I 4. Definition analytique d’une application lineaire
Th. 12 E est de dimension non nulle p et E′ de dimension non nulle n. f est une application lineaire de E dans
E′, B = (e1, e2, . . . , ep) une base de E et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) une base de E′.
A = (ai,j) est la matrice de f relativement aux bases B et B′.
u est un element de E de matriceX =
x1
x2...xp
dans la base B. v est un element de E′ de matrice Y =
y1y2...yn
dans la base B′.
P f(u) = v ⇐⇒ MatB′,B(f)MatB(u) = MatB′(v) ⇐⇒ AX = Y ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, n]], yi =
p∑k=1
ai,k xk
⋆ Le resultat precedent doit devenir un reflexe fort.
I 5. Proprietes usuelles des operations sur les matrices
Prop. 19 A est une matrice deMn,p(K). A 0Mp,q(K) = 0Mn,q(K) et 0Mq,n(K) A = 0Mq,p(K) .
Prop. 20 A est une matrice deMn,p(K). AIp = A et In A = A .
Th. 13 A, B et C sont trois matrices a coefficients dans K. α est un element de K.
Si (AB)C a un sens A(BC) aussi et : (AB)C = A(BC).
Si A(B + C) a un sens AB +AC aussi et :A(B + C) = AB +AC.
Si (B + C)A a un sens BA+ CA aussi et : (B + C)A = BA+ CA.
Si AB a sens on peut ecrire : α(AB) = (αA)B = A(αB).
J.F.C. Mat. p. 12
⋆ Si A et B sont deux matrices AB peut etre defini sans que BA le soit.
⋆⋆ Si A et B sont deux element deMn(K) AB n’est en general pas egal a BA.
⋆⋆ Si A et B sont deux matrices AB = 0 ne donne pas necessairement A = 0 ou B = 0.
⋆ Si A, B, C sont trois matrices AB = AC ne donne pas necessairement B = C.
Prop. 21 Soient A un element deMn,p(K) et B un element deMp,q(K). t(AB) = tB tA .
I 6. Puissances d’une matrice carree
Th. 14 et def. 14 Soit A une matrice deMn(K).
On considere la suite (Ak)k∈N definie par la recurrence suivante.
A0 = In et ∀k ∈ N, Ak+1 = Ak A.
Pour tout k dans N, Ak est une matrice deMn(K), appelee puissance keme de A.
Prop. 22 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E et f un endomorphisme de E.
∀k ∈ N, MatB(fk) =
(MatB(f)
)k.
Prop. 23 Soit A une matrice deMn(K). Soient r et r deux elements de N.
Ar As = As Ar = Ar+s et (Ar)s = (As)r = Ars .
Prop. 24 SD A et B sont deux elements deMn(K) qui commutent ⋆ (AB = BA).
∀k ∈ N, (AB)k = Ak Bk .
Pour demontrer cela on peut faire deux recurrences. La premiere consiste a montrer que B commute avec les
puissances de A. La seconde acheve de prouver le resultat.
Prop. 25 A et B sont deux elements deMn(K) qui commutent ⋆ (AB = BA). p est un element de N :
(A+B)p =
p∑k=0
(p
k
)AkBp−k =
p∑k=0
(p
k
)Ap−kBk =
p∑k=0
Ckp A
kBp−k =
p∑k=0
Ckp A
p−kBk .
Prop. 26 A et B sont deux elements deMn(K) qui commutent ⋆ (AB = BA). p est un element de N∗.
Ap −Bp = (A−B)( p−1∑
k=0
AkBp−1−k)= (A−B)
( p−1∑k=0
Ap−1−kBk)
.
Ap −Bp =( p−1∑
k=0
AkBp−1−k)(A−B) =
( p−1∑k=0
Ap−1−kBk)(A−B) .
Prop. 27 A est une matrice deMn(K) et p est un element de N. t(Ap) = (tA)p .
J.F.C. Mat. p. 13
I 7. Produit de matrices particulieres
Prop. 28 Si A et B sont deux elements deMn(K), AB (resp. BA) est un element deMn(K).
Mn(K) est stable pour ×.
Prop. 29 Si L est une matrice ligne de type (1, n) a elements dans K et C est une matrice colonne de type (n, 1)
a elements dans K :
- Le produit LC est une matrice de type (1, 1) que nous assimilerons a un element de K.
- Le produit CL est une matrice carree d’ordre n.
Prop. 30 Soient A et B deux elements deMn(K).
Si A et B sont scalaires, AB est scalaire.
Si A et B sont diagonales, AB est diagonale.
Si A et B sont triangulaires superieures, AB est triangulaire superieure.
Si A et B sont triangulaires inferieures, AB est triangulaire inferieure.
P Si A = (ai,j) et B = (bi,j) sont deux matrices triangulaires deMn(K), les elements diagonaux de AB sont,
dans l’ordre, a1,1 b1,1, a2,2 b2,2, ..., an,n bn,n.
Prop. 31 Soit A un element deMn(K) et soit k un element de N.
Si A est scalaire, Ak est scalaire.
Si A est diagonale, Ak est diagonale.
Si A est triangulaire superieure, Ak est triangulaire superieure.
Si A est triangulaire inferieure, Ak est triangulaire inferieure.
Prop. 32 Soient A = Diag(a1, a2, . . . , an) et B = Diag(b1, b2, . . . , bn) deux matrices diagonales deMn(K).
AB = Diag(a1 b1, a2 b2, . . . , an bn) et ∀p ∈ N, Ap = Diag(ap1, ap2, . . . , a
pn) .
I 8. Polynomes de matrices
Prop. 33 A est une matrice deMn(K) et P =r∑
k=0
ak Xk est un polynome de K[X].
r∑k=0
ak Ak est une matrice deMn(K) que l’on note P (A).
Th. 15 A est une matrice deMn(K), P et Q sont deux elements de K[X] et α est un element de K.
(P +Q)(A) = P (A) +Q(A) (αP )(A) = αP (A) (PQ)(A) = P (A)Q(A) = Q(A)P (A) .
P On retiendra que P (A) et Q(A) commutent.
Cor. A est une matrice deMn(K). {P (A) ; P ∈ K[X]} est un sous-espace vectoriel deMn(K) stable par ×.
Prop. 34 λ est un element de K et P est le polynome constant egal a λ.
Si A est une matrice deMn(K), P (A) = λ In.
J.F.C. Mat. p. 14
⋆ On evitrera d’ecrire P (A) = λ.
Prop. 35 P est un element K[X]. Si A est une matrice triangulaire superieure (resp. inferieure) deMn(K), P (A)
est une matrice triangulaire superieure (resp. inferieure) deMn(K).
Prop. 36 P Soient A = Diag(a1, a2, . . . , an) une matrice diagonale deMn(K).
Si P est un element de K[X], P (A) = Diag(P (a1), P (a2), . . . , P (an)
).
Prop. 37 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E, f un endomorphisme de E et P un element de K[X].
MatB (P (f)) = P(MatB(f)
).
I 9. Polynomes annulateurs d’une matrice
Def. 15 Soit A une matrice deMn(K).
On appelle polynome annulateur de A tout element P de K[X] tel que P (A) = 0Mn(K).
Prop. 38 A est une matrice deMn(K).
1. L’ensemble des polynomes annulateurs de A est un sous-espace vectoriel deMn(K).
2. Si P est un polynome annulateur de A et Q un element quelconque de K[X], PQ est encore un
polynome annulateur A.
Prop. 39 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E, f un endomorphisme de E et P un element de K[X].
P est un polynome annulateur de f si et seulement si P est un polynome annulateur de la matrice de f
dans la base B.
Deuxieme annee
Th. 16 Toute matrice deMn(K) possede un polynome annulateur non nul.
On montre ce resultat en remarquant que si A appartient aMn(K) la famille (In, A,A2, . . . , An2
) est liee...
I 10. Produit et trace
Deuxieme annee
Prop. 40 SD Soit A et B deux elements deMn(K). Tr(AB) = Tr(BA) .
⋆ Resulat qu’il vaut mieux savoir demontrer car sa presence au programme n’est pas explicite.
VI MATRICES INVERSIBLES
I 1. Definition
Def. 16 Soit A un element de Mn(K). A est inversible si elle symetrisable pour ×, autrement dit s’il existe un
element A′ deMn(K) tel que AA′ = A′A = In.
Si A est symetrisable, l’element A′ est unique et s’appelle le symetrique ou l’inverse de A et se note
A−1.
Def. 17 On note GLn(K) l’ensemble des matrices inversibles deMn(K). GLn(K) est appele groupe lineaire sur
K de type n ou d’ordre n.
J.F.C. Mat. p. 15
I 2. Matrice inversible et isomorphisme
Th. 17 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E et f un endomorphisme de E de matrice A dans la base B.
A est inversible si et seulement si f est bijectif (resp. injectif ; resp. surjectif).
Autrement dit A appartient a GLn(K) si et seulement si f appartient a GL(E).
Si A est inversible :A−1 est la matrice de f−1 dans la base B ; autrement dit :(MatB(f)
)−1= MatB(f
−1) .
Th. 18 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) une base de E′.
Notons que l’on a dimE = dimE′ < +∞.
f est une application lineaire de E dans E′ de matrice A relativement aux bases B et B′.
A est inversible si et seulement si f est bijective (resp. injectif ; resp. surjectif).
Si A est inversible :A−1 est la matrice de f−1 relativement aux bases B′ et B ; autrement dit :(MatB′,B(f))
−1 = MatB,B′(f−1) .
I 3. Caracterisations des matrices inversibles
Th. 19 Soit A un element deMn(K). Les assertions suivantes sont equivalentes.
i) A est inversible.
ii) P ∀X ∈Mn,1(K), AX = 0Mn,1(K) ⇒ X = 0Mn,1(K).
iii) ∀Y ∈Mn,1(K), ∃X ∈Mn,1(K)AX = Y .
iv) ∀Y ∈Mn,1(K), ∃ !X ∈Mn,1(K)AX = Y .
v) P ∃A′ ∈Mn(K), AA′ = In (inversibilite a droite).
vi) P ∃A′′ ∈Mn(K), A′′A = In (inversibilite a gauche).
vii) 0 n’est pas valeur propre de A.
viii) A admet une reduite de Gauss inversible c’est a dire sans zero sur la diagonale.
ix) rg(A) = n.
Notons que si l’on a v) A est inversible et A−1 = A′.
Notons que si l’on a vi), A est inversible et A−1 = A′′.
J.F.C. Mat. p. 16
I 4. Quelques proprietes
Th. 20 1. Si A et B sont deux elements inversibles deMn(K), le produit AB est inversible et :
(AB)−1 = B−1 A−1 .
2. Plus generalement si A1, A2, ..., Ap sont p matrices inversibles de Mn(K)alors A1 A2 · · ·Ap est une
matrice inversible et : (A1 A2 · · ·Ap
)−1= A−1
p A−1p−1 · · ·A
−11 .
3. Si A est une matrice inversible deMn(K) et si p appartient a N, Ap est inversible et (Ap)−1 = (A−1)p .
Soit A une matrice inversible deMn(K).
Le point trois permet d’envisager la definition des puissances negatives de A en posant :
∀k ∈ Z− N, Ak = (A−1)−k = (A−k)−1.
Si r et s sont dans Z on a encore :
Ar As = As Ar = Ar+s (Ar)s = (As)r = Ars (Ar)−1 = (A−1)r t(Ar) = (tA)r .
Th. 21 A est une matrice inversible deMn(K) et si α est un element non nul de K.
αA est inversible et (αA)−1 =1
αA−1 .
Cor. A est une matrice deMn(K). Si A est inversible, A−1 est inversible et (A−1)−1 = A .
Prop. 41 P A1, A2, ..., Ap sont p elements deMn(K). Si la matrice A1 A2 · · ·Ap n’est pas inversible,
l’une au moins des matrices A1, A2, ..., Ap n’est pas inversible.
Petit resultat anodin qui peut rendre de gros services en reduction...
I 5. Inversibilite des matrices triangulaires et des matrices diagonales
Th. 22 Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si TOUS ses elements diagonaux sont non nuls.
Une matrice triangulaire n’est pas inversible si et seulement si AU MOINS UN de ses elements diagonaux
est nul.
Prop. 42 L’inverse d’une matrice triangulaire superieure (resp. inferieure) inversible est une matrice triangulaire
superieure (resp. inferieure).
Th. 23 Soit D = Diag(d1, d2, . . . , dn) une matrice diagonale deMn(K).
D est inversible si et seulement si pour tout i dans [[1, n]], di = 0.
En cas d’inversibilite :D−1 = Diag
(1
d1,1
d2, . . . ,
1
dn
).
Prop. 43 In est inversible et I−1n = In.
J.F.C. Mat. p. 17
I 6. Inversibilite des matrices d’ordre 2
Prop. 44 Soit A =
(a bc d
)une matrice deM2(K).
1. A est inversible si et seulement si ad− bc = 0.
2. Si A est inversible : A−1 =1
ad− bc
(d −b−c a
).
I 7. Inversibilite de la transposee
Th. 24 Soit A un element deMn(K). tA est inversible si et seulement si A est inversible.
En cas d’inversibilite :(tA
)−1= tA−1 .
I 8. Polynome annulateur et inversion
Th. 25 P A est une matrice deMn(K) et P =r∑
k=0
ak Xk est un polynome annulateur de A.
Ainsi P (A) =r∑
k=0
ak Ak = 0Mn(K).
Si P (0) = a0 n’est pas nul, A est inversible et A−1 = −r∑
k=1
(aka0
)Ak−1.
VII CHANGEMENT DE BASE Seconde annee
I 1. Matrice de passage
Def. 18 E est de dimension n non nulle. B = (e1, e2, . . . , en) et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) sont deux bases de E.
La matrice de passage de la base B a la base B′ est la matrice de la famille (e′1, e′2, . . . , e
′n) dans la
base B. Le programme 2013 propose de la notee PB,B′ .
PB,B′ = MatBB′ .
P On l’obtient donc en ecrivant en colonne les coordonnees des elements de B′ dans la base B.
Perso j’utilise aussi la notation Pas(B,B′)...
P Il peut etre interessant de remarquer que la matrice de passage de B a B′ est aussi la matrice de l’endomorphis-
me IdE relativement aux bases B′ et B (attention a l’ordre). Resultat a bien comprendre et a retenir...
PB,B′ = MatB,B′(IdE) .
P Il peut etre interessant de remarquer que la matrice de passage de B a B′ est aussi la matrice dans la base
B de l’automorphisme de E qui transforme la base B en la base B′.
Th. 26 E est de dimension n non nulle. B = (e1, e2, . . . , en) et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) sont deux bases de E.
La matrice de passage de B a B′ est une matrice inversible de Mn(K) et son inverse est la matrice de
passage de la base B′ a la base B. (PB,B′
)−1= PB′,B .
J.F.C. Mat. p. 18
I 2. Changement de base dans un espace vectoriel
Th. 27 E est de dimension n non nulle. B = (e1, e2, . . . , en) et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) sont deux bases de E.
Si u est un element de E de matrice X dans B et X ′ dans B′ alors :
X = PX ′ et X ′ = P−1X ou MatB(u) = PB,B′ MatB′(u) et MatB′(u) = P−1B,B′ MatB(u) .
Notons que ce resulat ne nous est pas tres favorable ! En effet il nous faut P−1B,B′ pour obtenir les coordonnees de u
dans la base B′ a partir de ses coordonnees dans la base B...
I 3. Changement de base pour un endomorphisme
Th. 28 E est de dimension n non nulle. B = (e1, e2, . . . , en) et B′ = (e′1, e′2, . . . , e
′n) sont deux bases de E.
f est un endomorphisme de E de matrice A dans B et A′ dans B′.
P est la matrice de passage de la base B a la base B′ .
MatB′(f) =(PB,B′
)−1MatB(f)PB,B′ et MatB(f) = PB,B′ MatB(f)
(PB,B′
)−1.
A′ = P−1AP et A = PA′P−1 .
I 3’. Changement de base pour une application lineaire. Hors programme...
Th. 29 SD E est un espace vectoriel de dimension non nulle p. B et B1 sont deux bases de E et P est la
matrice de passage de B a B1.
E′ est un espace vectoriel de dimension non nulle n. B′ et B′1 sont deux bases de E′ et Q est la matrice
de passage de B′ a B′1.
f est une application lineaire de E dans E′ de matrices A relativement aux base B et B′ et de matrices A1
relativement aux base B1 et B′1.
A1 = Q−1 AP ou MatB′1,B1
(f) =(PB′,B′
1
)−1MatB′,B(f)PB,B1 .
I 4. Matrices semblables
Def. 19 A et B sont deux elements deMn(K).
B est semblable a A s’il existe une matrice inversible P deMn(K) telle que :B = P−1AP .
Prop. 45 A, B et C sont trois elements deMn(K).
A est semblable a A.
Si B est semblable a A, A est semblable a B. Nous pourrons alors dire que A et B sont semblables.
Si A est semblable a B et B est semblable a C, A est semblable a C.
Ainsi la semblablite definit une relation d’equivalence surMn(K).
Th. 30 1. f est un endomorphisme de E de dimension n sur K.
Les matrices de f relativement a deux bases de E sont semblables.
P 2. A et B sont deux matrices deMn(K).
A et B sont semblables si et seulement si elles sont les matrices d’un meme endomorphisme d’un espace
vectoriel E de dimension n sur K relativement a deux bases de E.
J.F.C. Mat. p. 19
P Pour montrer que deux matrices A et B deMn(K) sont semblables on procede le plus souvent de la maniere
suivante :
1. On se donne l’endomorphisme f de Kn de matrice A dans la base canonique de B de Kn (f est l’endomorphisme
canoniquement associe A).
2. On montre (apres une petite analyse) l’existence d’une base B′ de Kn telle que MatB′(f) = B.
Th. 31 Deux matrices semblables ont meme rang.
Th. 32 1. A est une matrice deMn(K) et P est une matrice inversible deMn(K). Tr(A) = Tr(P−1AP
).
2. Deux matrices semblables ont meme trace.
Notons que ce dernier resultat permet de definir la trace d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension
non nulle n sur K comme etant la trace d’une de ses matrices dans une base.
Prop. 46 P A et B sont deux matrices semblables de Mn(K). Soit P une matrice inversible de Mn(K) telle
que B = P−1AP .
Si p est un element de N et si Q est un element de K[X] :
Bp = P−1ApP et Q(B) = P−1Q(A)P .
VIII PRATIQUE DE L’INVERSIBILITE ET DE L’INVERSION
Evoquons quelques methodes pour inverser une matrice inversible A = (ai,j) deMn(K).
1 On part de deux elements X =
x1
x2...xn
et Y =
y1y2...yn
deMn,1(K) tels que AX = Y .
On exprime alors x1, x2,..., xn en fonction de y1, y2 ,..., yn.
On obtient alors une matrice A′ telle que A′Y = X qui n’est autre que A−1.
Notons qu’il est inutile de raisonner par equivalences si l’on sait que A est inversible...
2 On considere l’automorphisme f de Kn dont la matrice dans la base canonique B = (e1, e2, . . . , en) de Kn est A.
A est encore la matrice de passage de la base B = (e1, e2, . . . , en) a la base(f(e1), f(e2), · · · , f(en)
).
A−1 est alors la matrice de passage de(f(e1), f(e2), · · · , f(en)
)a la base B = (e1, e2, . . . , en).
Trouver A−1 revient alors a exprimer e1, e2,..., en en fonction de f(e1), f(e2),..., f(en).
Trouver A−1 revient encore a exprimer les elements de la base canonique deMn,1(K) en fonction des colonnes de A.
2’ On considere la famille (e′1, e′2, . . . , e
′n) de Kn dont la matrice dans la base canonique B = (e1, e2, . . . , en) de
Kn est A. A etant inversible, B′=(e′1, e′2, . . . , e
′n) est une base de Kn.
A est encore la matrice de passage de la base B = (e1, e2, . . . , en) a la base B′=(e′1, e′2, . . . , e
′n).
A−1 est alors la matrice de passage de la base B′=(e′1, e′2, . . . , e
′n) a la base B = (e1, e2, . . . , en).
Trouver A−1 revient alors a exprimer e1, e2,..., en en fonction de e′1, e′2,..., e
′n.
Trouver A−1 revient encore a exprimer les elements de la base canonique deMn,1(K) en fonction des colonnes des A.
J.F.C. Mat. p. 20
3 Le pivot de Gauss.
On part de In = AA−1. On effectue des operations elementaires sur les lignes de A pour obtenir une matrice
triangulaire, puis pour obtenir In. En effectuant SIMULTANEMENT les memes operations sur la matrice In figurant
a gauche de l’egalite initiale on obtient A−1.
4 A est un element deMn(K). Si l’on trouve A′ (resp. A′′) tel que AA′ = In (resp. A′′A = In), on peut alors dire
que A est inversible et que A−1 = A′ (resp. A−1 = A′′).
5 A est un element deMn(K).
On suppose qu’il existe un element P =
q∑k=0
ak Xk de K[X] tel que P (A) =
q∑k=0
ak Ak = OMn(K) et P (0) = 0 (c’est a
dire a0 = 0).
Alors A est inversible et A−1 = − 1
a0
q∑k=1
akAk−1.
6 B est un element deMn(K). On suppose qu’il existe un element q de N∗ tel que :Bq = 0Mn(K).
In = Iqn−Bq = (In−B)
( q−1∑k=0
Bk).
Alors A = In−B est inversible et d’inverse :
q−1∑k=0
Bk = In +B + B2 + · · · + Bq−1. En changeant B en −B on obtient
l’inversibilite et l’inverse de In +B.
IX SAVOIR FAIRE
• Trouver la matrice d’une application est lineaire.
• Associer une application lineaire a une matrice.
• Definir analytiquement une application lineaire a partir de sa matrice.
• Utiliser toutes les operations (et leurs proprietes) sur les matrices.
• Travailler sur les puissances de matrices.
• Travailler sur les polynomes de matrices.
• Calculer la puissance neme d’une matrice.
• Trouver le rang d’une matrice.
• Montrer qu’une matrice est inversible.
• Trouver l’inverse d’une matrice inversible.
• Trouver la matrice de passage entre deux bases.
• Utiliser les formules de changement de base.
• Montrer que deux matrices sont semblables.
J.F.C. Mat. p. 21
X COMPLEMENTS
I 1. Egalite de deux matrices
Prop. 47 P Soit A et B deux matrices deMn,p(K).
1. A = 0Mn,p(K) ⇐⇒ ∀X ∈Mp,1(K), AX = 0Mn,1(K).
2. A = B ⇐⇒ ∀X ∈Mp,1(K), AX = BX.
Prop. 48 P Soient A et B deux matrices deMn,p(K). Soit (E1, E2, . . . , Ep) la base canonique deMp,1(K).
A = B ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, p]], AEi = BEi
.
I 2. Une nouvelle caracterisation des bases en dimension finie
Th. 33 B = (e1, e2, . . . , en) est une base de E et (u1, u2, . . . , un) une famille de n elements de E.
(u1, u2, . . . , un) est une base de E si et seulement si la matrice MatB(u1, u2, . . . , un) de cette famille dans
la base B est inversible.
Si (u1, u2, . . . , un) est une base, l’inverse de MatB(u1, u2, . . . , un) est la matrice de la famille (e1, e2, . . . , en)
dans la base (u1, u2, . . . , un).
I 3. Simplification par une matrice inversible
Prop. 49 A, B et C sont trois elements deMn(K).
Si AB est la matrice nulle et si l’une des matrices est inversible l’autre est nulle.
Si AB = AC (resp. BA = CA) et si A est inversible alors B = C.
I 4. Matrice de passage again
Prop. 50 B, B′ et B′′ sont trois bases de E. PB,B′′ = PB,B′ × PB′,B′′ .
I 5. Matrice d’un endomorphisme de Kn[X]
Prop. 51 • La matrice d’un endomorphisme de Kn[X] dans une base quelconque est d’ordre n+ 1 !
• P Si f est un endomorphisme de Kn[X] et si, pour tout element P de Kn[X], deg f(P ) 6 degP
alors la matrice de f dans la base canonique est triangulaire superieure (ce qui donne immediatement le
spectre de f).
I 6. Encore du rang
Prop. 52 A est une matrice deMn,p(K).
Si B est une matrice inversible deMn(K) : rg(BA) = rgA.
Si C est une matrice inversible deMp(K) : rg(AC) = rgA.
Th. 34 Soit A une matrice deMn,p(K) et r un element non nul de N. A deux petits abus pres, A est de rang r si
et seulement si :
∃(P,Q) ∈ Glp(K)×Gln(K), Q−1AP =
(Ir Or,p−r
On−r,r On−r,p−r
)Ir est la matrice indentite de Mr(K), Or,p−r, On−r,r et On−r,p−r sont les matrices nulles de Mr,p−r(K),
Mn−r,r(K) etMn−r,p−r(K).
J.F.C. Mat. p. 22
I 7. Caracterisation des matrices de rang 1
Prop. 53 1. X et Y sont deux matrices non nulles deMn,1(K). XtY est une matrice deMn(K) de rang 1.
2. Reciproquement si A est une matrice de rang 1 deMn(K), il existe deux matrices non nulles X et Y
deMn,1(K) telles que A = XtY .
Ce resultat se generalise sans probleme dansMn,p(K).
I 8. Matrice a diagonale strictement dominante
Def. 20 Une matrice A = (ai,j) deMn(K) est a diagonale strictement dominante si :
∀i ∈ [[1, n]], |ai,i| >n∑
j=1j =i
|ai,j |.
Prop. 54 Toute matrice deMn(K) a diagonale strictement dominante est inversible.
I 9. Matrice nilpotente
Def. 21 Soit A une matrice deMn(K).
1. A est nilpotente s’il existe un element k de N∗ tel que Ak = 0Mn(K).
2. Si A est nilpotente, l’indice de nilpotence de A est le plus petit element p de N∗ tel que Ap = 0Mn(K).
Prop. 55 Soit A une matrice deMn(K). On note p l’indice de nilpotence de A.
1. ∀k ∈ [[0, p− 1]], Ak = 0Mn(K) et ∀k ∈ [[p,+∞[[, Ak = 0Mn(K).
2. Xp est un polynome annulateur non nul de A (c’est meme son polynome minimal...).
3. (In, A, . . . , Ap−1) est une famille libre de L(E).
4. (In, A, . . . , Ap−1) est une base du sous-espace vectoriel {P (A) ; P ∈ K[X]} deMn(K).
Prop. 56 Soient A et B deux matrices deMn(K) qui commutent .
A+B et AB sont deux matrices nilpotentes deMn(K).
Prop. 57 Soit A une matrice nilpotente deMn(K) et r un element de N∗ tel que Ar = 0Mn(K).
In −A est une matrice inversible deMn(K) et (In −A)−1 =r−1∑k=0
Ak.
I 10. Commutant d’une matrice ou d’un ensemble de matrices
Def. 22 Soit P est une partie non vide deMn(K). Le commutant de P est l’ensemble des matrices qui commutent
avec tous les elements de P. Nous le noterons C(P). C(P) = {B ∈Mn(K) | ∀P ∈ P, BP = PB} .
Soit A une matrice de Mn(K). Le commutant de A est l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
Nous le noterons C(A). C(A) = {B ∈Mn(K) | BA = AB} .
Prop. 58 Soit P une partie non videMn(K).
1. Le commutant C(P) de P est un sous-espace vectoriel deMn(K).
2. ∀B ∈ C(P), ∀C ∈ C(P), BC ∈ C(P).
3. ∀Q ∈ K[X], ∀B ∈ C(P), Q(B) ∈ C(P).
J.F.C. Mat. p. 23
Prop. 59 Soit A une matrice deMn(K).
1. Le commutant C(A) de A est un sous-espace vectoriel deMn(K).
2. ∀B ∈ C(A),∀C ∈ C(A), BC ∈ C(A).
3. ∀Q ∈ K[X], ∀B ∈ C(A), Q(B) ∈ C(A).
4. Si A est inversible, C(A) = C(A−1).
Prop. 60 L’ensemble des matrices deMn(K) qui commutent avec toutes les matrices deMn(K) est l’ensemble des
matrices scalaires. Donc C(Mn(K)) = Vect(In)
Prop. 61 L’ensemble des matrices de Mn(K) qui commutent avec toutes les matrices de GLn(K) est l’ensemble
des matrices scalaires. Donc C(GLn(K)) = Vect(In)
Prop. 62 P SD Soit D une matrice diagonale de Mn(K) dont les elements diagonaux sont deux a deux
distincts.
1. L’ensemble des matrices deMn(K) qui commutent avec D est l’ensemble des matrices diagonales de
Mn(K).
2 . Vect(In, D,D2, . . . , Dn−1) est une base du commutant de D.
I 11. Exponentielle d’une matrice
Th. 35 et def. 23 A est une matrice deMn(K). Pour tout p dans N on pose Ap =(ai,j(p)
).
Pour tout element (i, j) de [[1, n]]2, la serie de terme general
ai,j(p)
p!converge.
On pose pour tout (i, j) dans [[1, n]]2on pose SA
i,j =+∞∑p=0
ai,j(p)
p!·
La matrice(SAi,j
)deMn(R) est l’exponentielle de A. On la note eA ou
+∞∑p=0
1
p!Ap.
Prop. 63 A est un element deMn(R).
1. e0Mn(R) = In.
2. eA est inversible et (eA)−1 = e−A.
3. teA = etA.
4. Si A = Diag (d1, d2, . . . , dn) alors eA = Diag (ed1 , ed2 , . . . , edn).
5. Si P est une matrice inversible deMn(K), eP−1 AP = P−1 eA P .
6. eA est un polynome de A.
Prop. 64 A et B sont deux elements deMn(R) qui commutent. eA+B = eA eB = eB eA .
I 12. Interpretation matricielle des operations elementaires dans la methode du pivot
Prop. 65 Soit A un element deMn,p(K).
Pour transformer A par une operation elementaire sur les lignes il suffit de la multiplier a gauche par
la matrice deduite de In par la meme operation elementaire.
Pour transformer A par une operation elementaire sur les colonnes il suffit de la multiplier a droite par
la matrice deduite de Ip par la meme operation elementaire.
J.F.C. Mat. p. 24
Prop. 66 n est dans N∗, i et j sont dans [[1, n]].
1. La matrice deduite de In par l’operation Li ←→ Lj est inversible et egale a son inverse.
2. α est un element non nul de K. La matrice deduite de In par l’operation Li ←− αLi est inversible et
son inverse est la matrice deduite de In par l’operation Li ←− 1/αLi.
3. α est un element de K. La matrice deduite de In par l’operation Lj ←− Lj +αLi est inversible et son
inverse est la matrice deduite de In par l’operation Lj ←− Lj − αLi.
Prop. 67 p est dans N∗, i et j sont dans [[1, p]].
1. La matrice deduite de Ip par l’operation Ci ←→ Cj est inversible et egale a son inverse.
2. α est un element non nul de K. La matrice deduite de Ip par l’operation Ci ←− αCi est inversible et
son inverse est la matrice deduite de Ip par l’operation Ci ←− 1/αCi.
3. α est un element de K. La matrice deduite de Ip par l’operation Cj ←− Cj +αCi est inversible et son
inverse est la matrice deduite de Ip par l’operation Cj ←− Cj − αCi.
Prop. 68 A est un element deMn(K).
1. Par une suite d’operations elementaires sur les lignes on peut transformer A en une matrice triangulaire
A′.
Il existe alors une matrice inversible P deMn(K) telle que :A′ = PA.
P est la matrice obtenue en effectuant sur In les operations effectuees sur A.
A est inversible si et seulement si A′ est inversible.
2. Par une suite d’operations elementaires sur les colonnes on peut transformer A en une matrice trian-
gulaire A′′.
Il existe alors une matrice inversible Q deMn(K) telle que :A′′ = AQ.
Q est la matrice obtenue en effectuant sur In les operations effectuees sur A.
A est inversible si et seulement si A′′ est inversible.
Th. 36 A est une matrice inversible deMn(K).
1. Par des operations elementaires sur les lignes on peut transformer A en In.
A−1 est la matrice obtenue en effectuant sur In les memes operations.
2. Par des operations elementaires sur les colonnes on peut transformer A en In.
A−1 est la matrice obtenue en effectuant sur In les memes operations.
XI DES PHRASES OU DES RHETORIQUES TOUTES FAITES
I Inverser une matrice
A est une matrice inversible deMn(K).
Pour trouver l’inverse de A Considerons un element X =
x1
x2...xn
deMn,1(K). Posons : Y =
y1y2...yn
= AX .
On exprime alors les composantes de X en fonction de celles de Y sans raisonner par equivalences.
J.F.C. Mat. p. 25
A est une matrice deMn(K). Pour traiter simultanement l’inversibilite et l’inversion eventuelle de A.
Soit X =
x1
x2...xn
et Y =
y1y2...yn
deux elements deMn,1(K). AX = Y ⇔ ....
On resout ensuite ce systeme en raisonnant par equivalences.
I Associer un endomorphisme a une matrice carree
Soit A une matrice deMn(K).
Posons E = Kn. Soit B = (e1, e2, . . . , en) la base canonique de E = Kn. Considerons l’endomorphisme f
de E dont la matrice dans la base B est A (A = MB(f)).
I Associer une application lineaire a une matrice.
Soit A une matrice deMn,p(K).
Posons E = Kp, et E′ = Kn. Soient B = (e1, e2, . . . , ep) la base canonique de E = Kn et B′ =
(e′1, e′2, . . . , e
′n) la base canonique de E′ = Kn. Considerons l’application lineaire f de E dans E′ dont la
matrice relativement aux bases B et B′ est A (M(f,B,B′) = A).
I Semblablite
Soit a montrer que deux matrices A et B deMn(K) sont semblables.
Soient B = (e1, e2, . . . , en) la base canonique de E = Kn et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans
la base B est A. Cherchons une base B′ de E dans laquelle la matrice de f est B.
On fait alors une analyse du probleme en commencant par supposer que B′ existe et on termine par une synthese.
XII DES ERREURS A NE PAS FAIRE
⋆ Confondre un vecteur et la matrice de ses cordonnees.
⋆ A est un element deMn,p(K). Ecrire A = ai,j (au lieu de A =(ai,j
)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]]
ou de A =(ai,j
)).
⋆ A et B sont deux elements deMn,p(K).
Ecrire A = B ⇐⇒ ai,j = bi,j (au lieu de A = B ⇐⇒ ∀(i, j) ∈ [[1, n]]× [[1, p]], ai,j = bi,j).
⋆ A est un element deMn(K). Ecrire dimA = n.
⋆ A est un element deMn(K).
(Up)p>p0 est une suite d’elements deMn,1(K) telle que ∀p ∈ [[p0,+∞[[, Up+1 = AUp.
Ecrire que (Up)p>p0 est une suite geometrique.
⋆ A et B sont deux elements deMn(K). Ecrire AB = BA sans le justifier.
⋆ A et B sont deux elements deMn(K).
Ecrire que AB = 0Mn(K) donne A = 0Mn(K) ou B = 0Mn(K).
Ecrire que AB = 0Mn(K) et A non nulle donne B = 0Mn(K).
Ecrire que AB = 0Mn(K) et B non nulle donne A = 0Mn(K).
J.F.C. Mat. p. 26
⋆ A, B et C sont trois elements deMn(K). Ecrire que AB = AC et A non nulle donne B = C.
⋆ A, B et C sont trois elements deMn(K). Ecrire que BA = CA et A non nulle donne B = C.
⋆ A est une matrice deMn(K).
• Si P = X − α est un element de K[X] ecrire P (A) = A− α (a la place de P (A) = A− α In).
• Si P = aX2+bX+c est un element de K[X] ecrire P (A) = aA2+Af+c (a la place de P (A) = aA2+Af+c In).
Meme chose lorsque P est un element quelconque de K[X].
⋆ A est une matrice deMn(K).
• Ecrire des (A− 1)(A− 3) ou (A− Id)(A− 3 Id) a la place de (A− In)(A− 3 In).
• Ecrire des A3 − 4A = 0Mn(K) donne A (A2 − 4) = 0Mn(K) a la place de A (A2 − 4 In) = 0Mn(K).
⋆ A et B sont deux matrices semblables deMn(K), P est une matrice inversible deMn(K) telle que B = P−1AP
et Q est un element de K[X].
Ecrire que Q(B) = Q(P−1)Q(A)Q(P ) (a la place de Q(B) = P−1Q(A)P ).
⋆ A et B sont deux elements deMn(K). Ecrire que (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 sans verifier que AB = BA.
⋆ Plus generalement ecrire la formule du binome pour deux matrices sans verifier qu’elles commutent.
⋆ A et B sont deux elements deMn(K). Ecrire que (AB)p = Ap Bp sans verifier que AB = BA.
⋆ Ecrire LA reduite de Gauss de A.
⋆ La matrice A est inversible car elle n’a pas de zero sur sa diagonale.
⋆ La trace de ABC est egale a la trace de BAC (en s’appuyant sur le fait que la trace de UV est la trace de
V U).
⋆ Si A = (ai,j) est un element deMn(K), TrA2 =
n∑i=1
a2i,i alors que TrA2 =
n∑i=1
n∑k=1
ai,kak,i.
⋆ Si A est un element deMn(R) les coefficients de A2 sont positifs (si A =
(0 −11 0
)alors A2 =
(−1 00 −1
)...)
⋆ Ecrire, pour une matrice inversible A deMn(K),1
Aa la place de A−1.
⋆ A est un element deMn,p(K) et B est un element deMp,n(K). On suppose que n = p.
Ecrire AB = In donne A et B inversibles.